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ANÁLISE TERMOQUÍMICA DE BARRAGENS DE BETÃOReação de hidratação

Entidade ou Projeto a que se destina (Estilo: 01-Rosto-entidade, Arial 11, Normal)

LISBOA ● janeiro de 2015

I & D DEPARTAMENTO

RELATÓRIO 000/2015 – DXX/NXX

Título (Estilo: 02-Verso do rosto - Título, Arial 10, Negrito)TITULO DO RELATÓRIO (EM MAÍUSCULAS, Estilo: 02-Verso do rosto – Autor, Arial 8, Negrito)Subtítulo do relatório (Estilo: 02-Verso do rosto – Categoria, Arial 8, Normal)

Autoria

DEPARTAMENTO X (ESTILO: 02-VERSO DO ROSTO – DEPARTAMENTO, ARIAL 8, NORMAL)

Nome do 1º autor (Estilo: 02-Verso do rosto – Autor, Arial 8, Negrito)Categoria + Núcleo (ex.: Investigador Principal) (Estilo: 02-Verso do rosto – Categoria, Arial 8, Normal)

Nome do 2º autorCategoria + Núcleo (ex.: Investigador Principal, Núcleo de Xxxx)

DEPARTAMENTO Y

Nome do 3º autorCategoria + Núcleo (ex.: Investigador Principal, Núcleo de Xxxx)

Colaboração (eliminar quando não for aplicável)

DEPARTAMENTO X (ESTILO: 02-VERSO DO ROSTO – DEPARTAMENTO, ARIAL 8, NORMAL)

Nome do colaborador (Estilo: 02-Verso do rosto – Autor, Arial 8, Negrito)Categoria + Núcleo (ex.: Técnico Superior) (Estilo: 02-Verso do rosto – Categoria, Arial 8, Normal)

Nome do colaboradorCategoria + Núcleo (ex.: Técnico Superior)

Copyright © Laboratório Nacional de Engenharia Civil, I. P.Av. do Brasil 101 • 1700-066 Lisboae-mail: [email protected]

Relatório xxx/201x (Toda a ficha técnica é feita no Estilo: 02-Verso do rosto – Categoria, Arial 8, Normal)

Proc. 1234/123/12345, xxxx/xxx/xxxxx, xxxx/xxx/xxxxx

ANÁLISE TERMOQUÍMICA DE BARRAGENS DE BETÃOReção de hidratação


Resumo

No sentido de melhorar e uniformizar a apresentação dos Relatórios e Notas Técnicas do LNEC foi

criado em Word um Documento Modelo. Encontra-se disponível na Intranet, na pasta Edições e Artes

Gráficas o ficheiro para iniciarem o processamento e paginação dos documentos.

A ordem dos Resumos é em função da língua em que os Relatórios e Notas Técnicas são editados.

Palavras-chave: Relatório / Nota técnica / Formatação (estilo: 03-Resumo-palavras-chave, Arial 10,

Normal)

THERMOCHEMICAL ANALYSIS OF CONCRETE DAMSHydration reaction

Abstract

Texto (estilo: Normal)

Keywords: Report / Technical note / Formatting (estilo: 03-Resumo-palavras-chave, Arial 10,

Normal)

LNEC - Proc. xxxx/xxxx/xxxxx I


II LNEC - Proc. xxxx/xxxx/xxxxx


Sumário executivo (estilo: 03-Resumo, Arial 14, Normal)

O Sumário Executivo dos Relatórios deve ser um "breve" resumo do conteúdo do relatório (1 ou 2

páginas), que deve incluir as seguintes componentes:

- breve descrição do problema;

- informação de base;

- análise concisa; e,

- conclusões principais.

O Sumário Executivo é facultativo

LNEC - Proc. xxxx/xxxx/xxxxx III


Índice (estilo: 04-Índices, Arial 14, Normal)

(O índice deve ser gerado automaticamente, usando os estilos)

1 | Introdução...................................................................................................................................... 91.1 Enquadramento geral 91.2 Tema e objetivo do trabalho 101.3 Organização 10

2 | MODELO TERMOQUIMICO DO BETÃO DURANTE AS PRIMEIRAS IDADES.........................122.1 Cinética da hidratação 121.4 Evolução dos campos de temperatura e hidratação 131.5 Resolução numérica 14

1.5.1 Discretização no espaço 141.5.2 Discretização no tempo 15

3 | Programa de Análise TermoQuímica – PATQ_1.........................................................................171.6 Listagem do programa e glossário das variáveis utilizadas 171.7 Descrição do programa 231.8 Exemplos de verificação 28

4 | SIMULAÇÃO DO PROCESSO CONSTRUTIVO.........................................................................331.9 Introdução 331.10 Implementação das fases construtivas em PATQ_1 341.11 Exemplos de verificação 44

2. PROGRAMA DE ANÁLISE TERMOQUÍMICA – PATQ_2.......................................................................522.1 Descrição do programa 522.2 Exemplo 56

3. COMENTÁRIOS FINAIS...............................................................................................................14.1 Páginas sem numeração (estilo: Cabeçalho 2 ou Heading 2 – Arial 13, Negrito) 14.2 Páginas com numeração romana sequencial 24.3 Páginas com numeração árabe 3

5 | Formatação (estilo: Cabeçalho 1 ou Heading 1 – Arial 15, Negrito)..............................................55.1 Dimensão da página e margens (estilo: Cabeçalho 2 ou Heading 2 – Arial 13, Negrito)

55.2 Tipos de letra e estilos (estilo: Cabeçalho 2 ou Heading 2 – Arial 13, Negrito) 5

5.2.1 Tipo de letra (estilo: Cabeçalho 3 ou Heading 3 – Arial 12, Normal) 55.2.2 Estilos (estilo: Cabeçalho 3 ou Heading 3 – Arial 12, Normal) 55.2.3 Notas de rodapé (estilo: Cabeçalho 3 ou Heading 3 – Arial 12, Normal) 65.2.4 Transcrições (estilo: Cabeçalho 3 ou Heading 3 – Arial 12, Normal) 65.2.5 Equações (estilo: Cabeçalho 3 ou Heading 3 – Arial 12, Normal) 6

6 | Conclusões (estilo: Cabeçalho 1 ou Heading 1 – Arial 15, Negrito)..............................................7Referências Bibliográficas (estilo: Cabeçalho 1 s/n, Arial 15, Negrito)...................................................8Anexos (estilo: Anexos-separador, Arial 16, Normal)...........................................................................11ANEXO I (estilo: Anexo-Título).............................................................................................................13

LNEC - Proc. xxxx/xxxx/xxxxx V


Índice de figuras (estilo: 04-Índices, Arial 14, Normal)

Figura 2.1 – Capa de relatório (estilo: Legenda, Arial Narrow 10, Negrito)............................................4Figura 2.2 – Capa de relatório conjunto (estilo: Legenda, Arial Narrow 10, Negrito)..............................4Figura 2.3 – Capa de nota técnica (estilo: Legenda, Arial Narrow 10, Negrito)......................................5

VI LNEC - Proc. xxxx/xxxx/xxxxx


Índice de quadros (estilo: 04-Índices, Arial 14, Normal)

Quadro 2.1 – Página de resumos (estilo: Legenda, Arial Narrow 10, Negrito).......................................2

LNEC - Proc. xxxx/xxxx/xxxxx VII


1 | Introdução

1.1 Enquadramento geral

A investigação e a prática têm demonstrado que a durabilidade e a funcionalidade das estruturas de

betão dependem grandemente das condições em que se processa a cura e o endurecimento do

betão. Após a betonagem, inicia-se a hidratação do cimento caracterizada por ser uma reação

química exotérmica e termoativada. Isto quer dizer que, ao mesmo tempo que os campos térmicos da

massa de betão são alterados pela evolução da reação, a própria cinética desta reação é alterada em

função da temperatura da massa de betão aquecida.

O betão, nesta fase, sofre alterações volumétricas rápidas e complexas, tais como a retração

autógenea e as deformações térmicas que conduzem a um rápido desenvolvimento de tensões de

tração no material. Simultaneamente, a resistência e a rigidez do material vão aumentando à medida

que avança o processo de hidratação. Estabelece-se, assim, uma concorrência entre o

desenvolvimento das tensões de tração e o desenvolvimento da resistência. Se, em dado instante, as

tensões de tração geradas igualarem a correspondente resistência do material, ocorrem fendas.

Este fenómeno é tradicionalmente controlado na construção de estruturas maciças de betão (sapatas

e maciços de encabeçamento de grandes dimensões, blocos de amarração de cabos, barragens,

etc.) mediante a colocação de camadas sucessivas a um ritmo controlado, por forma a limitar as

temperaturas e a minorar os efeitos de retração associados ao processo de cura e endurecimento do

betão. Assim, um sistema de simulação numérica do comportamento termo-químico-mecânico que

permita prever e reduzir o risco de fissuração prematura de betões jovens seria uma ferramenta

extremamente útil na tomada de decisões no processo construtivo.

Nesta perspetiva, elaborou-se um projeto denominado “Modelação termo-químico-mecânica do betão

jovem” que visa, como objetivo último, a implementação de um modelo numérico bi e tridimensional

baseado no método dos elementos finitos que permita o cálculo dos campos térmicos, de hidratação

e de tensões num sólido de betão. Para se alcançar este objetivo é necessário, como metodologia de

trabalho, a implementação parcelar dos diferentes fenómenos em consideração. Assim, o projeto,

implica a modelação dos seguintes fenómenos, os quais constituem objetivos intermédios: (i) reação

de hidratação (modelo termoquímico); (ii) incremento da rigidez e da resistência como consequência

da hidratação do betão e retração autógenea (modelo termoquímico e elastoplástico); (iii) fluência

(modelo termoquímico e viscoelastoplástico) e (iv) microfissuração (modelo termoquímico e

viscoelastoplástico com dano).

Como todo o trabalho de simulação numérica, este projeto envolve o desenvolvimento e adaptação

de programas computacionais. A fim de contar com uma base sólida estes programas serão

concebidos em forma sequencial, partindo da formulação mais simples até atingir a formulação final

em que se implementam todas as especificidades do problema tratado.

LNEC - Proc. xxxx/xxxx/xxxxx 9


1.2 Tema e objetivo do trabalho

Este trabalho está inserido no primeiro objetivo intermédio, isto é, modelação da reação de

hidratação. O presente documento resulta na sequência do relatório de Análise Térmica de Barragens

de Betão – Ações térmicas ambientais (Leitão, 2012) e tem por finalidade apresentar o programa

computacional correspondente à modelação termoquímica da reação de hidratação.

A reação de hidratação do cimento é uma reação química exotérmica e termoativada. Assim, ao

mesmo tempo que os campos térmicos da massa de betão são alterados pela evolução da reação, a

própria cinética desta reação é alterada em função da temperatura da massa de betão aquecida.

A hidratação do cimento é constituída por uma série de reações químicas interdependentes e com

cinéticas distintas, não obstante, pode ser considerada de seguinte maneira: a água livre e seus iões

difundem-se, através das camadas de hidratos já formadas, na direção dos grãos de cimento anidro,

a reação de hidratação se processa quando este é atingido, tornando a camada de hidratos cada vez

mais espessa e densa.

Pode-se considerar que a cinética da reação de hidratação é imposta pela microdifusão da água

através das camadas de hidratos. Isto permite que se modele a hidratação pela seguinte mudança de

fase:

água livre → água combinada

A água combinada corresponde por sua vez à água quimicamente ligada nos hidratos e à água

fisicamente ligada pela adsorsão, fazendo assim, parte integrante do esqueleto do material. A reação

acima traduz, na escala microscópica, o mecanismo responsável pela evolução das características

mecânicas do material na escala macroscópica.

Dentre os diversos modelos que têm sido propostos para representar o processo de hidratação, neste

trabalho foi adotado o modelo proposto por Ulm e Coussy (1995, 1996) também conhecido como

modelo dos acoplamentos termo-químico-mecânicos. Este modelo considera o betão como um meio

porosos quimicamente reativo e é desenvolvido dentro do formalismo teórico da termodinâmica.

O objetivo do presente trabalho é a implementação de um programa bi e tridimensional baseado no

método dos elementos finitos que permita o cálculo dos campos térmico e de hidratação num sólido

de betão permitindo a simulação do processo construtivo e das ações térmicas ambientais.

1.3 Organização

Este relatório está organizado em seis capítulos que incluem a formulação matemática dos

fenómenos em estudo, os algoritmos de resolução utilizados e a sua implementação em linguagem

FORTRAN 90, exemplos de aplicação e reflexões e contributos para desenvolvimentos futuros.

10 LNEC - Proc. xxxx/xxxx/xxxxx


O primeiro capítulo corresponde a esta introdução, onde foram explicitadas as questões do estudo e

onde é apresentada a organização do trabalho.

O segundo capítulo começa com uma introdução à formulação matemática adotada para representar

a cinética da hidratação. De seguida, estabelece-se a equação diferencial associada ao problema da

determinação dos campos de temperaturas e de hidratação do sólido de betão e aborda-se a

resolução numérica adotada.

No terceiro capítulo descreve-se a implementação do algoritmo no programa de cálculo PATQ_1

(Programa de Análise TermoQuímica) e apresentam-se alguns exemplos numéricos.

No capítulo quarto discutem-se os problemas associados à simulação do processo construtivo e

apresenta-se o algoritmo implementado no programa PATQ_1fases, o qual é verificado com dois

exemplos.

No capítulo quinto descreve-se o programa de cálculo PATQ_2 (Programa de Análise TérmoQuimica

de barragens), o qual é uma adaptação do código PATQ_1fases às especificidades das barragens,

designadamente, modelação das condições térmicas ambientais (temperatura da água da albufeira,

temperatura do ar, radiação solar). A utilização do programa é ilustrada com um exemplo.

No capítulo sexto, o último deste trabalho, são identificados alguns dos aspetos a explorar em futuros

desenvolvimentos na área da modelação da reação de hidratação do betão.



2 | MODELO TERMOQUIMICO DO BETÃO DURANTE AS PRIMEIRAS IDADES

2.1 Cinética da hidratação

A teoria dos meios porosos quimicamente reativos formulada por Ulm e Coussy (1995, 1996)

considera que o betão é um meio poroso estando os poros saturados por duas fases fluidas, a fase

reativa e a fase produto, e que uma reação química pode ocorrer entre elas de modo que se produza

uma mudança de fase de água livre a água combinada. A água combinada corresponde à água

quimicamente ligada nos hidratos e à água fisicamente ligada pela adsorção, fazendo assim, parte

integrante do esqueleto do material. A evolução da massa do esqueleto proposta segue a equação de

Arrhenius:

dmdt

= 1η (m )

A (m ) exp(−Ea

RT ) (2.1)

onde dm /dt indica a variação da massa do esqueleto no tempo [mol/s], η (m ) é uma medida de

viscosidade, A (m ) é a força temodinâmica que conduz o processo, Ea é a energia de ativação da

reacção em [J/mol], R é a constante universal dos gases perfeitos [8,314 J/(mol K)], T é a

temperatura em [K] e o exponencial tem em conta a termoativação do processo.

Do ponto de vista prático é conveniente reescrever o modelo em termos do grau de hidratação, ξ ,

definido como a relação entre a massa de hidratos já formada e a massa total de hidratos final

(teórico) da reação de hidratação:

ξ = m(t)m∞

(2.2)

com o que a expressão (2.1) pode expressar-se como:

dξdt

= ξ=~A (ξ )exp (−Ea

RT ) (2.3)

A função:

~A (ξ )= A (m(ξ ))m∞η (ξ)

(2.4)

é a afinidade química normalizada que caracteriza a cinética macroscópica da hidratação.



Os valores de ~A (ξ ) podem ser obtidos experimentalmente, seja através de ensaios adiabáticos, seja

através de ensaios de compressão uniaxial realizados em diversas idades (Carvalho, 2002; Silvoso,

2002).

Para representar a afinidade química normalizada adotou-se, neste trabalho, a expressão analítica

apresentada por Cervera et al. (1999) dada por:

~A (ξ , T )= kηo

( Ao

k ξ∞+ξ)(ξ∞−ξ)exp(−η ξ

ξ∞ ) (2.5)

em que no, η e k são constantes do material, Ao é a afinidade inicial da reação e ξ∞é o grau de

hidratação a tempo infinito. Para estimar ξ∞ Cervera et al. (1999) sugerem utilizar a expressão:

ξ∞ = 1,031 w /c0,194+w /c

(2.6)

sendo w /c a relação água/cimento do betão.

Introduzindo a expressão (2.5), a expressão (2.3) toma a forma:

ξ= kηo

( Ao

k ξ∞+ξ)(ξ∞−ξ)exp(−ηξ

ξ∞ )exp(−Ea

RT ) (2.7)

Pode observar-se que nesta expressão a ativação térmica expressa pelo fator de Arrhenius, isto é,

exp (−Ea/RT ), é de importância primordial no início da reacção, mas, a medida que a reacção

avança, produz-se uma atenuação devido a presença do exponencial exp (−η ξ/ξ∞ ) e pelo fator

(ξ∞−ξ), que cancela a evolução do grau de hidratação quando este atinge o seu valor final ξ=ξ∞.

2.2 Evolução dos campos de temperatura e hidratação

Dada uma massa de betão, a descrição da evolução da reação de hidratação é dada a partir da

solução da equação de evolução dos campos térmicos num dado volume. De esta forma, a equação

do calor no tempo, considerando o acoplamento termoquímico (geração de calor de hidratação com

termoativação) pode ser expressa como (Ulm e Coussy, 1995, 1996):

∂∂ x [k x

∂T∂ x ]+ ∂

∂ y [k y∂T∂ y ]+ ∂

∂ z [k z∂ T∂ z ]+G+Lm

dmdt

=ρ c ∂T∂ t

(2.8)

Onde os termos ∂

∂ x [k x∂T∂ x ]+ ∂

∂ y [k y∂T∂ y ]+ ∂

∂ z [k z∂ T∂ z ]+G=ρ c ∂ T

∂t representam a equação

standard de evolução dos campos térmicos, sendo k x , k y ek z as condutibilidades térmicas do

material em [W/(m K)], T a temperatura em [K], G a fonte externa de geração de calor em [W/m3], ρ

a massa específico do material em [kg/m3], e c o calor específico do material, expresso em [J/(kg K)].



O termo Lm dm /dt corresponde ao acoplamento termoquímico e representa a geração de calor pela

reação de hidratação (exotermia); sendo Lm o calor latente de hidratação, positivo devido à natureza

exotérmica da reacção de hidratação e dm /dta velocidade da reação representada pela velocidade

com que a massa de esqueleto aumenta. A partir de (2.2) resulta:

dmdt

=m∞dξdt

=m∞ ξ (2.9)

com o qual a equação (2.8) toma a forma:

∂∂ x [k x

∂T∂ x ]+ ∂

∂ y [k y∂T∂ y ]+ ∂

∂ z [k z∂ T∂ z ]+G+L ξ=ρ c T (2.10)

onde L=m∞ Lm e o ponto indica derivada respeito do tempo.

A equação (2.10) permite calcular o campo de temperatura considerando a geração de calor de

hidratação dada pelo termo L ξ. É importante notar que a velocidade da reacção de hidratação dada

por ξ depende do estado em que se encontra a reacção de hidratação, isto é, ξ (ξ ).

A solução numérica da equação (2.10) implica que seja calculado o campo das hidratações ξ para

todos os passos de tempo em que será calculado o campo de temperaturas T .

Como se viu no relatório anterior (Leitão, 2012) o campo de temperaturas que satisfaz a equação

(2.10) deve satisfazer ainda as condições de fronteira:

T=T em Γ T (2.11)

k x∂T∂ x

l+k y∂ T∂ y

m+k z∂ T∂ z

n+q+h(T−T a)=0 em Γq (2.12)

e a condição inicial:

T=T o em Ω para t=t o (2.13)

em que T é a temperatura prescrita na parte ΓT da fronteira e q é o fluxo prescrito na parte Γq da

fronteira, sendo a fronteira Γ=ΓT∪Γq, h é o coeficiente de transmissão térmica total, T a é a

temperatura ambiente, T o é a temperatura no instante de tempo t o, e l ,men são os cossenos

diretores.

2.3 Resolução numérica

2.3.1 Discretização no espaço

A temperatura é discretizada da forma:



T (x , y , z , t)=∑i=1

n

N i(x , y , z )T i(t ) (2.14)

donde N isão as funções de forma, n é o número de nós no elemento, e T i(t) são as temperaturas

nodais dependentes do tempo.

Tendo em conta a expressão (2.30) do documento (Leitão, 2012), resulta fácil ver que a equação que

governa o fenómeno em estudo vem expressa por:

−∫Ω

❑ [kx∂ N i

∂ x∂ N j

∂ xT j( t )+k y

∂ N i

∂ y∂ N j

∂ yT j(t)+k x

∂ N i

∂ z∂ N j

∂zT j(t )]d Ω+¿+∫

Ω

❑ [N i L ξ+N iG−N i ρc N j∂T j(t)

∂t ] d Ω−∫Γq

❑

N iq d Γ q−∫Γq

❑

N i h(T−T a)d Γq=0(2.15)

ou, em forma matricial:

[ C ]{∂ T∂ t }+[ K ] {T }= {f } (2.16)

em que:

[ C ]=∫Ω

❑

ρ c [ N ]T [ N ] d Ω (2.17)

[ K ]=∫Ω

❑

[ B ]T [ D ] [B ] d Ω+∫Γ q

❑

h [N ]T [ N ] d Γ q (2.18)

{f }=∫Ω

❑

(L ξ+G) [ N ]T d Ω−∫Γq

❑

q [ N ]T d Γ q+∫Γq

❑

hT a [ N ]T d Γ q (2.19)

A equação (2.15), conjuntamente com a equação (2.3), constituem um problema não linear em T e ξ ,

o qual vai ser resolvido aplicando um procedimento iterativo, nomeadamente, o método de Newton-

Raphson.

2.3.2 Discretização no tempo

A discretização no tempo é efetuada utilizando o método das diferenças finitas, em que as derivadas

no tempo da temperatura e do grau de hidratação vêm expressas como:

T ≅ T n+1−T n

∆t(2.20)

ξ ≅ ξn+1−ξn

∆ t(2.21)

em que n representa o número de incrementos e ∆ t representa o incremento no tempo.



Utilizando o método implícito (ponto 2.4.2 LNEC, 2012) a equação matricial que governa o problema

resulta:

[ C ]{Tn+1−Tn

∆ t }+[ K ] {Tn+1 }= {f }n+1 (2.22)

Finalmente, reordenando (2.22) obtêm-se a expressão:

( [ C ]+∆ t [ K ]) {Tn+1 }=[ C ] {Tn }+∆ t {f }n+1 (2.23)

Devido à dependência da taxa do grau de hidratação da temperatura, expressa em (2.3), a resolução

de (2.23) implica dois níveis de iteração: (i) a nível estrutural, devido à dependência não linear de

{f }n+1 sobre {Tn+1 }; (ii) a nível local (isto é, em cada ponto de integração), devido a dependência não

linear da variável interna sobre a variável T.

A nível local a equação a resolver resulta de substituir (2.21) em (2.3), sendo para o tempo t=tn+1

(Hellmich et al., 1999):

∆ ξn+1 - Δ t n+1~A (ξn+1, T n+1 ) exp( −Ea

R Tn+1 )=0 (2.24)

Segundo Hellmich et al. (1999) a resolução da equação não linear (2.24) pelo método de Newton não

é incondicionalmente estável, devido a que esta expressão não é, necessariamente, uma função

convexa. Para evitar este inconveniente recomendam a utilização do método iterativo de regula falsi,

o que é utilizado em cada ponto de integração a fim de determinar o grau de hidratação ξn+1

associado à temperatura local T n+1. Esta temperatura é obtida mediante a interpolação das

temperaturas nodais obtidas.



3 | Programa de Análise TermoQuímica – PATQ_1

3.1 Listagem do programa e glossário das variáveis utilizadas

PROGRAM PATQ_1!------------------------------------------------------------------------------! Programa de Análise TermoQuímica! Obtém a distribuição espacial das temperaturas através da resolução da! equação fundamental da transferencia de calor por condução em regime ! transiente considerando a geração de calor de hidratação do betão!------------------------------------------------------------------------------ USE rotinas_PATQ_1 IMPLICIT NONE INTEGER,PARAMETER::iwp=SELECTED_REAL_KIND(15) INTEGER::fixed_freedoms,hfbc,htbc,i,ibound,iel,indic,iside,j,ndim,nels,neq, & nip,nip_s,nn,nod,npri,nprops,np_types,nres,nside,nstep,nod_s INTEGER::iters,limit REAL(iwp)::cp,det,dtim,g1,g2,g3,hg,htco,penalty=1.0e20_iwp,qq,rho,ta,theta, & time1,val0,zero=0.0_iwp REAL(iwp)::a,b,c,d,e,csi_0,csi_1,local_temp,one=1.0_iwp,root,tol,x_n,xacc CHARACTER(len=15)::element,element_s LOGICAL::converged!-------------------------------"arrays" dinâmicos----------------------------- INTEGER,ALLOCATABLE::etype(:),g_num(:,:),iflux(:,:),inci_s(:,:),itrans(:,:), & kdiag(:),node(:),node2(:),num(:) REAL(iwp),ALLOCATABLE::bk(:),bp(:),coord(:,:),der(:,:),deriv(:,:),fun(:), & g_coord(:,:),jac(:,:),kay(:,:),kp(:,:),loads(:),loadsf(:),loadsh(:), & loadsq(:),newlo(:),ntn(:,:),pm(:,:),points(:,:),prop(:,:),qflux(:), & storbp(:),ttrans(:),value(:),value2(:),vec(:),weights(:) REAL(iwp),ALLOCATABLE::elem_temp(:),csi(:,:),csi_old(:,:),newloe(:),oldlds(:)!------------------------leituras e inicialização------------------------------ OPEN(10,file='PATQ1.dad',status='old',action='read') OPEN(11,file='PATQ1.res',status='replace',action='write') READ(10,*)element,nels,nn,nip,nod,ndim,dtim,nstep,npri,nres READ(10,*)tol,limit nprops=ndim+9 neq=nn ALLOCATE(coord(nod,ndim),der(ndim,nod),deriv(ndim,nod),etype(nels),fun(nod), & g_coord(ndim,nn),g_num(nod,nels),jac(ndim,ndim),kay(ndim,ndim),kdiag(neq), & kp(nod,nod),num(nod),ntn(nod,nod),pm(nod,nod),points(nip,ndim),vec(nod), & weights(nip)) ALLOCATE(elem_temp(nod),csi(nels,nip),csi_old(nels,nip)) READ(10,*)np_types ALLOCATE(prop(nprops,np_types)) ; READ (10,*) prop etype=1 ; IF(np_types>1) READ(10,*) etype READ(10,*)g_coord ; READ(10,*)g_num WRITE(11,'(a)')"Coordenadas Globais " DO i=1,nn WRITE(11,'(a,i5,a,3e12.4)')"Nó",i," ",g_coord(:,i) END DO WRITE(11,'(a)') "Incidências " DO i=1,nels WRITE(11,'(a,i5,a,20i5)')"Elemento ",i," ",g_num(:,i) END DO CALL sample(element,points,weights)!-----------------------------temperaturas prescritas-------------------------- READ(10,*)fixed_freedoms IF(fixed_freedoms/=0)THEN ALLOCATE(node(fixed_freedoms),value(fixed_freedoms),storbp(fixed_freedoms)) READ(10,*)(node(i),value(i),i=1,fixed_freedoms) END IF!-----------------------------fluxo de calor prescrito------------------------- READ(10,*)hfbc



IF(hfbc/=0)THEN ALLOCATE(iflux(hfbc,2),qflux(hfbc)) READ(10,*)(iflux(i,:),qflux(i),i=1,hfbc) END IF !----------------------transferencia de calor por convecção e radiação--------- READ(10,*)htbc IF(htbc /= 0)THEN ALLOCATE(itrans(htbc,2),ttrans(htbc)) READ(10,*)(itrans(i,:),ttrans(i),i=1,htbc) END IF!-------------definição da banda e inicializão dos "arrays" globais------------ kdiag=0 elements_1: DO iel=1,nels num=g_num(:,iel) CALL fkdiag(kdiag,num) END DO elements_1 DO i=2,neq kdiag(i)=kdiag(i)+kdiag(i-1) END DO WRITE(11,'(2(A,i5))') & " There are",neq," equations and the skyline storage is ",kdiag(neq) ALLOCATE(bp(kdiag(neq)),bk(kdiag(neq)),loads(0:neq),newlo(0:neq), & loadsq(0:neq),loadsh(0:neq),loadsf(0:neq)) ALLOCATE(newloe(0:neq),oldlds(0:neq))!------------------------inicalização da temperatura--------------------------- loads=zero READ(10,*) indic IF (indic==0) THEN READ(10,*)val0 ; loads=val0 ELSE ALLOCATE(node2(indic), value2(indic)) READ(10,*)(node2(i),value2(i),i=1,indic) DO i=1,indic ; loads(node2(i))=value2(i) ; END DO END IF bp=zero ; bk=zero ; loadsf=zero ; loadsq=zero ; loadsh=zero!------arrays elementares e montagem (integração no domínio)------------------- elements_2: DO iel=1,nels kay=0.0 ; DO i=1,ndim ; kay(i,i)=prop(i,etype(iel)); END DO num=g_num(:,iel) coord=TRANSPOSE(g_coord(:,num)) j=etype(iel) rho=prop(ndim+1,j) ; cp=prop(ndim+2,j) ; hg=prop(ndim+4,j) a=prop(ndim+5,j) ; b=prop(ndim+6,j) ; c=prop(ndim+7,j) d=prop(ndim+8,j) ; e=prop(ndim+9,j) ; elem_temp=loads(num) kp=zero ; pm=zero ; vec=zero gauss_pts: DO i=1,nip CALL shape_der(der,points,i) ; CALL shape_fun(fun,points,i) jac=MATMUL(der,coord) det=determinant(jac) ; CALL invert(jac) ; deriv=MATMUL(jac,der) local_temp=DOT_PRODUCT(fun,elem_temp)+273 x_n=zero kp=kp+MATMUL(MATMUL(TRANSPOSE(deriv),kay),deriv)*det*weights(i) CALL cross_product(fun,fun,ntn) ; pm=pm+ntn*det*weights(i)*rho*cp vec=vec+fun*det*weights(i)*hg*csi_ponto(a,b,c,d,e,x_n,local_temp) END DO gauss_pts CALL fsparv(bk,kp,num,kdiag) ; CALL fsparv(bp,pm,num,kdiag) loadsf(num)=loadsf(num)+vec END DO elements_2!------arrays elementares e montagem (integração na fronteira)----------------- IF(hfbc/=0.or.htbc/=0)THEN DEALLOCATE(coord,der,fun,jac,num,points,weights) CALL fronteira(element,nod,element_s,nod_s,nip_s,nside) ALLOCATE(coord(nod_s,ndim),der(ndim-1,nod_s),fun(nod_s), & inci_s(nside,nod_s),jac(ndim-1,ndim),num(nod_s),points(nip_s,ndim-1), & weights(nip_s)) CALL inci_lados(element,nod,inci_s) CALL sample(element_s,points,weights) END IF



IF(hfbc/=0)THEN boundary_1: DO ibound=1,hfbc iel=iflux(ibound,1) ; iside=iflux(ibound,2) ; qq=qflux(ibound) num=g_num(inci_s(iside,:),iel) ; coord=TRANSPOSE(g_coord(:,num)) vec=zero gauss_pts1: DO i=1,nip_s CALL shape_der(der,points,i) CALL shape_fun(fun,points,i) jac=MATMUL(der,coord) det=det_s(jac,g1,g2,g3) vec=vec-fun*det*weights(i)*qq END DO gauss_pts1 loadsq(num)=loadsq(num)+vec END DO boundary_1 END IF! IF(htbc /= 0)THEN boundary_2: DO ibound=1,htbc iel=itrans(ibound,1) ; iside=itrans(ibound,2) num=g_num(inci_s(iside,:),iel) ; coord=TRANSPOSE(g_coord(:,num)) vec=zero ; kp=zero htco=prop(ndim+3,etype(iel)) ; ta=ttrans(ibound) gauss_pts2: DO i=1,nip_s CALL shape_der(der,points,i) CALL shape_fun(fun,points,i) jac=MATMUL(der,coord) det=det_s(jac,g1,g2,g3) vec=vec+fun*det*weights(i)*htco*ta CALL cross_product(fun,fun,ntn) ; kp=kp+ntn*det*weights(i)*htco END DO gauss_pts2 loadsh(num)=loadsh(num)+vec CALL fsparv(bk,kp,num,kdiag) END DO boundary_2 END IF IF(hfbc/=0.or.htbc/=0)THEN DEALLOCATE(coord,der,fun,jac,num,points,weights) ALLOCATE(coord(nod,ndim),der(ndim,nod),fun(nod),jac(ndim,ndim), num(nod),points(nip,ndim),weights(nip)) END IF!-------------------------------matrizes globais------------------------------- theta=1 ! fully implicit method bk=bk*theta*dtim ; bp=bp+bk ; bk=bp-bk/theta!-------------------------------temperaturas prescritas------------------------ IF(fixed_freedoms/=0)THEN bp(kdiag(node))=bp(kdiag(node))+penalty storbp=bp(kdiag(node)) END IF!------------------------factorização do membro esquerdo----------------------- CALL sparin(bp,kdiag)!---------------definição de parâmetros para o cálculo não linear-------------- csi_0=zero csi_1=one csi=zero csi_old=zero xacc=10.e-6_iwp!--------------------------iteração no tempo----------------------------------- WRITE(11,'(a,i5)')" Tempo Temperatura no nó" , nres timesteps: DO j=1,nstep!--calcula a parcela do vector de termos independentes que não depende do grau ! de hidratação - newloe (parcela linear) CALL linmul_sky(bk,loads,newloe,kdiag) time1=j*dtim newloe=newloe+dtim*(loadsh*t_a(time1)+loadsq*rad(time1))!--------------------------iteração não linear--------------------------------- oldlds=zero iters=0 its: DO



iters=iters+1!---soma a parcela não linear do vector de termos independentes e resolve o ! sistema newlo=newloe+dtim*loadsf IF(fixed_freedoms/=0) newlo(node)=storbp*value*t(time1) CALL spabac(bp,newlo,kdiag) ; loads=newlo!----------------------controla a convergencia--------------------------------- CALL checon(loads,oldlds,tol,converged) ; IF(iters==1)converged=.FALSE.!-----------calcula o grau de hidratação nos pontos de integração-------------- loadsf=zero elements_3: DO iel=1,nels i=etype(iel) ; hg=prop(ndim+4,i) ; vec=zero IF (hg /= zero) THEN num=g_num(:,iel) coord=TRANSPOSE(g_coord(:,num)) a=prop(ndim+5,i) ; b=prop(ndim+6,i) ; c=prop(ndim+7,i) d=prop(ndim+8,i) ; e=prop(ndim+9,i) ; elem_temp=loads(num) gauss_pts_2: DO i=1,nip CALL shape_der(der,points,i) ; CALL shape_fun(fun,points,i) jac=MATMUL(der,coord) ; det=determinant(jac) local_temp=DOT_PRODUCT(fun,elem_temp)+273 x_n=csi_old(iel,i) root=rtflsp(fp,csi_0,csi_1,xacc,x_n,dtim,a,b,c,d,e,local_temp) csi(iel,i)=root vec=vec+fun*det*weights(i)*hg*csi_ponto(a,b,c,d,e,root,local_temp) END DO gauss_pts_2 loadsf(num)=loadsf(num)+vec END IF END DO elements_3 IF(converged.or.iters==limit) EXIT END DO its IF(j/npri*npri==j)THEN WRITE(11,'(5e13.5)')time1,loads(nres) END IF csi_old=csi END DO timestepsEND PROGRAM PATQ_1

Glossário das variáveis utilizadas

Variáveis escalares inteiras:fixed_freedom número de nós com temperatura prescrita

hfbc número de lados ou faces de elementos com fluxo de calor prescrito

htbc número de lados ou faces de elementos com transferencia de calor por

convecção e radiação

i contador

ibound contador

iel contador, identifica o número do elemento

indic número de nós onde se inicializa a temperatura, indic=0 todos os nós

inicializam-se à mesma temperatura val0

iside identifica o lado ou face do elemento (ver Leitão, 2012, ponto 3.3.3)

iters conta as iterações não lineares

j contador

limit máximo número de iterações não lineares



ndim dimensão do problema

nels número de elementos

neq número de equações

nip número de pontos de integração de Gauss para cada elemento

nip_s número de pontos de integração de Gauss para o lado ou a face do

elemento

nn número de nós

nod número de nós por elemento

npri os resultados são impressos a cada npri incrementos de tempo

nprops número de propriedades do material

np_types número de diferentes tipos de materiais

nres número do nó para o qual se imprime o resultado

nside número de lados ou faces de cada elemento

nstep número de incrementos de tempo

Variáveis escalares reais:

a1 parâmetro k /no utilizado em (2.5)

a2 parâmetro Ao/k utilizado em (2.5)

a3 grau de hidratação final ξ∞ em condições ideais

a4 parâmetro n utilizado em (2.5)

a5 parâmetro Ea/ R

cp calor específico

csi_0,csi_1 intervalo onde está definido o grau de hidratação 0≤ξ≤1det determinante da matriz Jacobiana

dtim intervalo de tempo

g1,g2,g3 cosenos directores da normal ao lado ou à face do elemento

hg calor latente L

htco coeficiente de transmissão térmica total

local_temp temperatura no ponto de integração

one igual a 1.0

penalty igual a 1x1020

qq fluxo de calor prescrito

rho densidade do material

root raíz da expressão (2.24)

ta temperatura do fluído nas fronteiras com troca de calor por convecção e

radiação



theta parâmetro de peso para a integração no tempo

time1 tempo tn

tol tolerancia para a convergencia do cálculo não linear

val0 temperatura inicial para indic=0

xacc precição para determinar a raiz no método de Regula Falsi

x_n valor do grau de hidratação no ponto de integração

zero igual a 0.0

Variáveis escalares caracteres:

element tipo de elemento

element_s tipo de elemento correspondente ao lado ou à face do elemento

Variáveis escalares caracteres:

converged igual a .TRUE. se o ciclo não linear atingiu a convergência

Variáveis indexadas inteiras:

etype vector com o grupo de propriedades correspondente a cada elemento

g_num matriz de incidências

iflux matriz de dados da fronteira com fluxo de calor prescrito

itrans matriz de dados da fronteira com troca de calor por convecção e radiação

kdiag vector de localização do termo da diagonal pincipal da matriz de

coeficientes

node vector de nós com temperaturas prescritas

node2 vector de nós com temperaturas iniciais

num vector de incidencias do elemento

Variáveis indexadas reais:

bk matriz de rigidez global

bp matriz de massa global

coord coordenadas nodais do elemento

csi matriz de graus de hidratação nos pontos de integração do elemento

csi_old matriz de graus de hidratação nos pontos de integração do elemento da

iteração anterior

der derivadas das funções de forma em ordem às coordenadas locais

deriv derivadas das funções de forma em ordem às coordenadas globais

elem_temp temperatura nos nós do elemento

fun funções de forma

g_coord coordenadas nodais globais

jac matriz jacobiana



kay matriz de conductividades

kp matriz de rigidez do elemento

loads cargas térmicas e temperaturas nodais

loadsf cargas nodais devidas à geração de calor interna

loadsh cargas nodais devidas à transferência de calor por convecção e radiação

loadsq cargas nodais devidas ao fluxo de calor prescrito

newlo novo vector de cargas térmicas e temperaturas nodais

newloe parcela linear do novo vector de cargas térmicas e temperaturas nodais

ntn armazena o producto vectorial das funções de forma

oldlds temperaturas nodais da integração anterior

pm matriz de massa do elemento

points armazena as coordenadas locais dos pontos de integração de Gauss

prop matriz de propriedades dos materias

qflux vector de fluxos de calor prescritos

storbp armazena os termos da diagonal principal aumentados com o factor de

penalidade

ttrans vector de temperatura do fluido nas fronterias com troca de calor por

convecção e radiação

value vector de temperaturas nodais fixas

value2 vector de temperaturas iniciais

vec vector de carga térmica nos nós do elemento

weights factores de peso na integração de Gauss

3.2 Descrição do programa

Seguindo a abordagem sistemática e sequencial adotado neste projeto, o programa PATQ_1 foi

desenvolvido a partir do programa mais simples PAT_1 (Leitão, 2012). Assim, ambos os programas

partilham grande parte das características, tais como estrutura, variáveis e rotinas, descritas no

relatório anterior.

A maior diferença entre estes programas reside no sistema de equações a resolver que, neste caso,

assume um comportamento não linear do tipo:

A Tn+1=f (Tn+1) (3.1)

Para resolver (3.1) recorreu-se a uma técnica de linearização, isto é, a solução do sistema de

equações não linear é obtida mediante à solução de uma sequência de equações lineares. A

metodologia implementada corresponde à formulação mais simples utilizada em elementos finitos,

chamada método de Picard ou método de substituição sucessiva (Cuvelier et al., 1986), onde um dos



vetores T da equação (3.1) é tomado da iteração anterior e o outro é calculado nessa iteração. O

esquema seguido pode ser esquematizado como:

(i) Inicializar Tn+1=Tn

(ii) Para i = 1, 2 ... resolver:

A Ti+1n+1=f (Ti

n+1) (3.2)

onde o supra índice corresponde ao intervalo de tempo e o sub índice ao ciclo iterativo não linear. O

vetor Tn indica a solução encontrada no intervalo de tempo prévio, para o primeiro intervalo de tempo

é adotado o campo de temperatura inicial, isto é, Tn=To. A iteração é interrompida quando é

alcançado o critério de convergência.

Em termos gerais, o programa PATQ_1 começa com a declaração de variáveis. As novas variáveis

utilizadas em PATQ_1 são declaradas em instruções separadas das já utilizadas em PAT_1.

A leitura de dados é formada basicamente por:

Parâmetros escalares (tipo de elemento, número de elementos, número de nós, etc.);

Tolerância para a convergencia e número máximo de iterações para o cálculo não linear;

Propriedades do material;

Coordenadas dos pontos nodais;

Incidência dos elementos finitos;

Vetores para à descrição dos nós com temperaturas fixas;

Vetores e matrizes para a descrição das condições de fronteira;

Campo de temperatura inicial.

Os dados são introduzidos através de um ficheiro designado como PATQ1.dad. Os valores são

escritos em formato livre e seguem a arquitetura descrita no relatório precedente (Leitão, 2012).

O processo de formação das matrizes e vetores elementares mantêm-se mediante a realização de

dois ciclos, um correspondente à integração no domínio de cada um dos elementos, e outro onde é

efetuada a integração nas fronteiras onde exista transferência de calor por convecção-radiação e/ou

fluxo de calor prescrito (ver ponto 3.3 em Leitão, 2012).

A integração no tempo adota o método implícito, θ=1. Aproveitando a independência da matriz de

coeficientes em relação à temperatura, a factorização desta matriz, chamada de bp, é efetuada uma

única vez antes de iniciar o processo incremental no tempo. A factorização é efetuada mediante a

rotina sparin a qual está baseada no método de Cholesky.

Na formação do vetor de termos independentes são reconhecidas duas parcelas, a primeira,

correspondente à parcela linear (parcela independente das variáveis T e ), é calculada ao início de

cada intervalo de tempo. Esta parcela compreende o vetor loadsh, que tem em conta a transferência

de calor por convecção-radiação, o vetor loadsq, que tem em conta o fluxo de calor prescrito, e o



produto [ C ] {T }n. A segunda parcela, correspondente à contribuição do calor gerado pela reação de

hidratação, vetor loadsf, de comportamento não linear, é formada dentro do ciclo de iterações não

linear.

O ciclo de iterações de equilíbrio global é finalizado quando a variação no valor da temperatura

calculada entre uma iteração e a seguinte seja menor que o valor da tolerância tol. A verificação da

convergência é realizada pela subrotina checon, a qual determina a variável lógica converged. Esta

subrotina coloca converged como .TRUE. se a solução atingiu a convergência e como .FALSE. se

é ainda preciso seguir iterando.

Como se referiu no capítulo anterior, além do procedimento iterativo para resolver a equação de

equilíbrio global (2.23) é preciso realizar um ciclo local, ao nível de cada ponto de integração, para

resolver a equação (2.24) de modo de obter ξ i+1n+1. Este processo iterativo é realizado pela subrotina

rtfldp, pertencente ao livro Numerical Recipes in FORTRAN (Press et al., 1992), onde está

implementado o método regula falsi. A equação (2.24) está implementada na rotina function fp a qual

é introduzida como dado na subrotina rtflsp.

A Figura 3.1 representa o diagrama de estruturas correspondente ao programa PATQ_1.


Leitura de dados e inicialização

Para cada elemento

Para cada ponto de integração(Integração no domínio)

∫dL o

TNMonta as matrizes e vetores elementares no sistema global

Para cada fronteira com fluxo de calor prescrito e/ou transmissão de calor por convecção e radiação

∫

qqh dh TNf

Para cada ponto de integração(Integração na fronteira)

Monta as matrizes e vetores elementares no sistema global

Forma a matriz ([C] + t [K]) Se existem temperaturas prescritas, corrige o membro esquerdo da equação

Fatoriza o membro esquerdo da equação

Para cada instante de tempo

hn

aqnn Tqt ffTC 11newloe

Para cada iteração não linear

1newloenewlo

n

ift fPara cada elemento

Para cada ponto de integração(integração no domínio)

∫

dL n

in

ifTNf 1

11

1

Converge?sim não

Passa ao seguinte instante de tempo

Itera novamente


Figura 3.1 – Diagrama de estruturas para o programa PATQ_1



As subrotinas e funções utilizadas em PATQ_1 encontram-se na biblioteca rotinas_PATQ_1

chamada pela sentencia USE no início do programa. No Anexo I, descrevem-se, resumidamente,

estas subrotinas e funções.

3.3 Exemplos de verificação

Exemplo 3.1: Em este exemplo reproduz-se um dos ensaios adiabáticos de betão apresentado por

Bentz et al. (1998) e que foi utilizado por Cervera et al. (1999 e 2002) para validar o modelo

termoquímico do betão durante as primeiras idades. No quadro 3.1, apresentam-se as propriedades

utilizadas para caracterizar o betão e na figura 3.2 a idealização adotada. O ficheiro de dados e a

malha de elementos finitos utilizada estão ilustrados na figura 3.3.

Quadro 3.1 – Propriedades térmicas do betão.

Parâmetro Unidade Valor

Relação água/ligante 0,45

Calor específico c [J/(m3 °C)] 2,33x106

Condutividade térmica kii [J/(m h °C)] 5,40x103

Massa específica [kg/m3] 2400

Grau de hidratação a tempo infinito ξ∞ 0,72

Temperatura inicial To [°C] 21,0

Energia de activação Ea/ R [K] 5000

Afinidade química normalizada ~A (ξ )

k /no [1/h] 0,28x108

Ao/k 0,5x10-5

n 5,30

Calor latente L [J/m3] 2,02x108



Fronteira adiabática

1 m

1 m

Figura 3.2 - Idealização do exemplo 3.1

element nels nn nip nod ndimquadrilateral 16 65 9 8 2

dtim nstep1 300

npri nres1 33

tol limit0.0001 1000

np_types1

prop(kx,ky,,c,h,L,k/no,Ao/k,h,ñ,Ea/R) 5400. 5400. 2400. 970.8 0.0 2.02e8 0.28e8 0.5e-5 0.72 5.3 5000.

g_coord 0.0000E+00 0.0000E+00

⋮ 0.1000E+01 -0.1000E+01

g_num 15 10 1 2 3 11 17 16

⋮ 63 55 49 50 51 56 65 64

fixed_freedoms0

hfbc0

htbc0

indic0

val021.0

Figura 3.3 - Malha e ficheiro de dados para o exemplo 3.1


43 44 45 46 47 48 49 50 51

52 53 54 55 56

57 58 59 60 61 62 63 64 65

1 2 3 4 5 6 7 8 9

10 11 12 13 14

15 16 17 18 19 20 21 22 23

24 25 26 27 28

29 30 31 32 33 34 35 36 37

38 39 40 41 42

y

x


Na Figura 3.4 representam-se os resultados obtidos no cálculo. A fim de comparar resultados,

reproduz-se o diagrama de temperaturas dado por Bentz et al.(1998), onde os pontos representam os

resultados experimentais.FEM

20

30

40

50

60

70

80

90

100

0 20 40 60 80 100 120

tempo [h]

tem

pera

tura

[ºC

]

FEM

Figura 3.4 - Evolução da temperatura para o ensaio adiabático

Exemplo 3.2: Considere-se novamente a placa do exemplo anterior mas com os quatro lados com

troca de calor por convecção (Figura 3.5). A temperatura do fluído envolvente é de 20 ºC e o

coeficiente de convecção é 7200 J/(h m2 ºC). Para este caso o ficheiro de dados resulta como o

indicado na Figura 3.6.

Fronteira com troca de calor por convecção

1 m

1 m30 ºC

Figura 3.5 - Idealização do exemplo 3.2




dtim nstep1 10000

npri nres1 33


np_types1

prop(kx,ky,,c,h,L,k/no,Ao/k,h,ñ,Ea/R) 5400. 5400. 2400. 970.8 7200. 2.02e8 0.28e8 0.5e-5 0.72 5.3 5000

g_coord 0.0000E+00 0.0000E+00

⋮ 0.1000E+01 -0.1000E+01

g_num 15 10 1 2 3 11 17 16

⋮ 63 55 49 50 51 56 65 64

fixed_freedoms0

hfbc0

htbc16

((itrans(i,j),j=1,2),ttrans(i),i=1,htbc) 1 4 20.0 2 4 20.0 3 4 20.0 4 4 20.0 1 1 20.0 4 2 20.0 5 1 20.0 8 2 20.0 9 1 20.012 2 20.013 1 20.016 2 20.013 3 20.014 3 20.015 3 20.016 3 20.0

indic0

val021.0

Figura 3.6 - Ficheiro de dados para o exemplo 3.2

A Figura 3.7 apresenta os resultados obtidos.



20

30

40

50

60

70

80

90

100

0 200 400 600 800 1000 1200

tempo [h]

tem

pera

tura

[ºC

]FEM

Figura 3.7 - Evolução da temperatura



4 | SIMULAÇÃO DO PROCESSO CONSTRUTIVO

4.1 Introdução

A simulação do processo construtivo numa análise por elementos finitos não é direta. O código deve

adaptar-se para incluir as seguintes capacidades:

Os elementos que representam o material a ser construído devem estar presentes na malha

original de elementos finitos, mas devem estar desativados no início da análise.

A construção deve efetuar-se em forma incremental (ciclo através das fases construtivas).

Para um incremento particular os elementos a serem construídos devem ser ativados.

As temperaturas do material já construído, calculadas no passo anterior, devem entrar no

novo passo como temperaturas iniciais.

As matrizes de “rigidez” e “massa” e as correspondentes condições de fronteira devem ser

atualizadas em cada incremento.

Reddy e Gartling (2000) referem que a ativação e desativação dos elementos (element birth and

death na literatura inglesa) pode ser implementada mediante dos procedimentos diferentes. Na

primeira abordagem, os elementos são adicionados ou suprimidos do conjunto global de elementos, o

que leva a uma nova numeração dos graus de liberdade e a reorganização das matrizes globais para

refletir o novo conjunto de elementos. Este esquema tem a vantagem de resolver sempre um

problema de dimensão mínima, embora precise de esforço adicional para reorganizar os dados. A

segunda abordagem constrói sempre o sistema de equações (matrizes) que corresponde ao conjunto

total de elementos, utilizando uma numeração fixa dos graus de liberdade. Se o elemento não se

encontra ativo, a correspondente equação é zerada e substituída por uma temperatura imposta

constante. As matrizes são maiores que na primeira abordagem mas não é preciso mais trabalho

para ativar o desativar um elemento que ajustar um indicador.

Referente ainda à segunda abordagem, uma outra forma de implementar a desativação dos

elementos consiste em multiplicar a sua “rigidez” (condutividade) por um fator de redução, por

exemplo 10-6, zerar as cargas associadas e colocar em zero a “massa” (calor específico), este

procedimento é utilizado, por exemplo, no código comercial ANSYS (2004).

Por outro lado, na representação do processo construtivo há que ter me conta a atualização das

condições de fronteira concomitantes com as mudanças da topologia da malha de elementos finitos.

Relativamente a este aspeto, Reddy e Gartling (2000) referem que um método para tratar este

problema é atribuir a cada face de cada elemento informação sobre a face do elemento adjacente.

Com a ativação o desativação de um elemento, a informação da face do elemento adjacente é

atualizada para refletir a nova condição (face exposta ou coberta).



Em relação ao livro de Smith e Griffiths (2004) o procedimento de ativação e desativação de

elementos encontra-se tratado na simulação do processo geotécnico de terraplenagem e escavação

(programas p67 e p68, respetivamente).

4.2 Implementação das fases construtivas em PATQ_1

Como o cálculo térmico envolve campos escalares com somente uma incógnita por nó, até agora se

tinha associado a numeração dos graus de liberdade do problema com a numeração do nos da

malha. No entanto, adotando a primeira abordagem para representar a ativação dos elementos, o

critério de fazer coincidir a numeração dos graus de liberdade com a numeração dos nós pode deixar

de ser válido, por quanto os nós ativos não seguirão, necessariamente, uma numeração sequencial.

Este problema surge, por exemplo, na simulação da construção dos blocos de uma barragem tipo

abóbada, figura 4.1.

Figura 4.8 - Construção da barragem de Alqueva

Assim, para cada incremento, o programa efetua uma numeração interna dos graus de liberdade,

armazenado a informação sobre o grau de liberdade associado a cada nó na matriz inteira nf (node

freedom array), formada pela subrotina formnf.

A formação da matriz nf responde, em essência, à formulação do problema mecânico, em que os

graus de liberdade associados a deslocamentos restringidos são eliminados. Esta matriz tem

dimensões nodofxnn em que nodof é o número de graus de liberdade por nó, neste caso nodof =



1. Inicialmente a matriz nf contém zeros e uns, indicando com zeros os graus de liberdade

restringidos (a ser eliminados) e com uns os que não estão restringidos. Para o caso em estudo, os

zeros corresponderão aos graus de liberdade desativados e os uns aos graus de liberdade ativos.

Posteriormente, a matriz nf é transformada na subrotina formnf, que passa a numerar os graus de

liberdade indicados com um (graus de liberdade não restringidos ou ativos) em forma sequencial.

Para cada elemento os graus de liberdade associados serão dados pelo vetor g (steering vector) o

qual é obtido comparando o vetor num (vetor de incidências) com a matriz nf. Esta operação é

realizada pela subrotina num_to_g.

Nos ciclos através dos elementos, o vetor g substitui ao vetor num, utilizado em PATQ_1, para a

montagem das matrizes elementares de “rigidez” e de “massa”, assim como do vetor {f f }.

PROGRAM PATQ_1fases!------------------------------------------------------------------------------! Programa de Análise TermoQuímica considerando as fases construtivas! Obtém a distribuição espacial das temperaturas através da resolução da! equação fundamental da transferencia de calor por condução em regime ! transiente considerando a geração de calor de hidratação do betão!------------------------------------------------------------------------------ USE rotinas_PATQ_1 IMPLICIT NONE INTEGER,PARAMETER::iwp=SELECTED_REAL_KIND(15) INTEGER::fixed_freedoms,hfbc,htbc,i,ibound,iel,indic,iside,j,ndim,nels,neq, & nip,nip_s,nn,nod,npri,nprops,np_types,nres,nside,nstep,nod_s INTEGER::iters,limit INTEGER::ii,lifts,newele,oldele REAL(iwp)::cp,det,dtim,g1,g2,g3,hg,htco,penalty=1.0e20_iwp,qq,rho,ta,theta, & time1,time2,val0,zero=0.0_iwp REAL(iwp)::a,b,c,d,e,csi_0,csi_1,local_temp,root,tol,x_n,one=1.0_iwp,xacc CHARACTER(len=15)::element,element_s LOGICAL::converged!-------------------------------"arrays" dinâmicos----------------------------- INTEGER,ALLOCATABLE::etype(:),g_num(:,:),iflux(:,:),inci_s(:,:),itrans(:,:), & kdiag(:),node(:),node2(:),num(:) INTEGER,ALLOCATABLE::elem_vec(:),g(:),g_g(:,:),nf(:,:) REAL(iwp),ALLOCATABLE::bk(:),bp(:),coord(:,:),der(:,:),deriv(:,:),fun(:), & g_coord(:,:),jac(:,:),kay(:,:),kp(:,:),loads(:),loadsf(:),loadsh(:), & loadsq(:),newlo(:),ntn(:,:),pm(:,:),points(:,:),prop(:,:),qflux(:), & storbp(:),ttrans(:),value(:),value2(:),vec(:),weights(:) REAL(iwp),ALLOCATABLE::elem_temp(:),csi(:,:),csi_old(:,:),newloe(:),oldlds(:) REAL(iwp),ALLOCATABLE::temperaturas(:)

!------------------------leituras e inicialização------------------------------ OPEN(10,file='PATQ1_fases.dad',status='old',action='read') OPEN(11,file='PATQ1_fases.res',status='replace',action='write') READ(10,*)element,nels,nn,nip,nod,ndim,dtim,npri,nres READ(10,*)tol,limit nprops=ndim+9 ALLOCATE(coord(nod,ndim),der(ndim,nod),deriv(ndim,nod),etype(nels),fun(nod), & g_coord(ndim,nn),g_num(nod,nels),jac(ndim,ndim),kay(ndim,ndim), & kp(nod,nod),num(nod),ntn(nod,nod),pm(nod,nod),points(nip,ndim),vec(nod), & weights(nip)) ALLOCATE(elem_temp(nod),csi(nels,nip),csi_old(nels,nip)) ALLOCATE(elem_vec(nels),g(nod),g_g(nod,nels),nf(1,nn),temperaturas(0:nn)) READ(10,*)np_types ALLOCATE(prop(nprops,np_types)) ; READ (10,*) prop etype=1 ; IF(np_types>1) READ(10,*) etype



READ(10,*)g_coord ; READ(10,*)g_num WRITE(11,'(a)')"Coordenadas Globais " DO i=1,nn WRITE(11,'(a,i5,a,3e12.4)')"Nó",i," ",g_coord(:,i) END DO WRITE(11,'(a)') "Incidências " DO i=1,nels WRITE(11,'(a,i5,a,20i5)')"Elemento ",i," ",g_num(:,i) END DO oldele=0 temperaturas=penalty time2=zero csi_old=zero csi=zero!-----------------------------simulação do processo construtivo---------------- READ(10,*)lifts ; WRITE(11,'(a,i5)')"Número de fases construtivas=",lifts lift_number: DO ii=1,lifts READ(10,*)newele,nstep READ(10,*)elem_vec(oldele+1:oldele+newele) WRITE(11,'(a,i5)')"Construção da fase= ",ii oldele=oldele+newele!-----------activação dos nós-------------------------------------------------- nf=0 DO iel=1,oldele num=g_num(:,elem_vec(iel)) nf(:,num)=1 END DO CALL formnf(nf) ; neq=MAXVAL(nf) ALLOCATE(kdiag(neq))!-----------------------------temperaturas prescritas-------------------------- READ(10,*)fixed_freedoms IF(fixed_freedoms/=0)THEN ALLOCATE(node(fixed_freedoms),value(fixed_freedoms),storbp(fixed_freedoms)) READ(10,*)(node(i),value(i),i=1,fixed_freedoms) DO i=1,fixed_freedoms j=node(i) node(i)=nf(1,j) END DO END IF!-----------------------------fluxo de calor prescrito------------------------- READ(10,*)hfbc IF(hfbc/=0)THEN ALLOCATE(iflux(hfbc,2),qflux(hfbc)) READ(10,*)(iflux(i,:),qflux(i),i=1,hfbc) END IF !----------------------transferencia de calor por convecção e radiação--------- READ(10,*)htbc IF(htbc/=0)THEN ALLOCATE(itrans(htbc,2),ttrans(htbc)) READ(10,*)(itrans(i,:),ttrans(i),i=1,htbc) END IF

!-------------definição da banda e inicializão dos "arrays" globais------------ kdiag=0 elements_1: DO iel=1,oldele num=g_num(:,elem_vec(iel)) CALL num_to_g(num,nf,g) ; g_g(:,elem_vec(iel))=g CALL fkdiag(kdiag,g) END DO elements_1 DO i=2,neq kdiag(i)=kdiag(i)+kdiag(i-1) END DO WRITE(11,'(2(A,i5))') & " There are",neq," equations and the skyline storage is ",kdiag(neq) ALLOCATE(bp(kdiag(neq)),bk(kdiag(neq)),loads(0:neq),newlo(0:neq), & loadsq(0:neq),loadsh(0:neq),loadsf(0:neq)) ALLOCATE(newloe(0:neq),oldlds(0:neq))!------------------------inicalização da temperatura---------------------------



DO i=1,nn ; loads(nf(1,i))=temperaturas(i) ; END DO READ(10,*) indic IF (indic==0) THEN READ(10,*)val0 DO i=1,neq IF(loads(i)==penalty) loads(i)=val0 END DO ELSE ALLOCATE(node2(indic), value2(indic)) READ(10,*)(node2(i),value2(i),i=1,indic) DO i=1,indic ; loads(node2(i))=value2(i) ; END DO END IF bp=zero ; bk=zero ; loadsf=zero ; loadsq=zero ; loadsh=zero!------arrays elementares e montagem (integração no domínio)------------------- CALL sample(element,points,weights) elements_2: DO iel=1,oldele kay=0.0 ; DO i=1,ndim ; kay(i,i)=prop(i,etype(elem_vec(iel))); END DO num=g_num(:,elem_vec(iel)) coord=TRANSPOSE(g_coord(:,num)) ; g=g_g(:,elem_vec(iel)) j=etype(elem_vec(iel)) rho=prop(ndim+1,j) ; cp=prop(ndim+2,j) ; hg=prop(ndim+4,j) a=prop(ndim+5,j) ; b=prop(ndim+6,j) ; c=prop(ndim+7,j) d=prop(ndim+8,j) ; e=prop(ndim+9,j) ; elem_temp=loads(g) kp=zero ; pm=zero ; vec=zero gauss_pts: DO i=1,nip CALL shape_der(der,points,i) ; CALL shape_fun(fun,points,i) jac=MATMUL(der,coord) det=determinant(jac) ; CALL invert(jac) ; deriv=MATMUL(jac,der) local_temp=DOT_PRODUCT(fun,elem_temp)+273 x_n=csi_old(elem_vec(iel),i) kp=kp+MATMUL(MATMUL(TRANSPOSE(deriv),kay),deriv)*det*weights(i) CALL cross_product(fun,fun,ntn) ; pm=pm+ntn*det*weights(i)*rho*cp vec=vec+fun*det*weights(i)*hg*csi_ponto(a,b,c,d,e,x_n,local_temp) END DO gauss_pts CALL fsparv(bk,kp,g,kdiag) ; CALL fsparv(bp,pm,g,kdiag) loadsf(g)=loadsf(g)+vec END DO elements_2!------arrays elementares e montagem (integração na fronteira)----------------- IF(hfbc/=0.or.htbc/=0)THEN DEALLOCATE(coord,der,fun,g,jac,num,points,weights) CALL fronteira(element,nod,element_s,nod_s,nip_s,nside) ALLOCATE(coord(nod_s,ndim),der(ndim-1,nod_s),fun(nod_s),g(nod_s), & inci_s(nside,nod_s),jac(ndim-1,ndim),num(nod_s),points(nip_s,ndim-1), & weights(nip_s)) CALL inci_lados(element,nod,inci_s) CALL sample(element_s,points,weights) END IF IF(hfbc/=0)THEN boundary_1: DO ibound=1,hfbc iel=iflux(ibound,1) ; iside=iflux(ibound,2) ; qq=qflux(ibound) num=g_num(inci_s(iside,:),iel) ; coord=TRANSPOSE(g_coord(:,num)) g=g_g(inci_s(iside,:),iel) vec=zero gauss_pts1: DO i=1,nip_s CALL shape_der(der,points,i) CALL shape_fun(fun,points,i) jac=MATMUL(der,coord) det=det_s(jac,g1,g2,g3) vec=vec-fun*det*weights(i)*qq END DO gauss_pts1 loadsq(g)=loadsq(g)+vec END DO boundary_1 END IF! IF(htbc/=0)THEN boundary_2: DO ibound=1,htbc iel=itrans(ibound,1) ; iside=itrans(ibound,2) num=g_num(inci_s(iside,:),iel) ; coord=TRANSPOSE(g_coord(:,num))



g=g_g(inci_s(iside,:),iel) vec=zero ; kp=zero htco=prop(ndim+3,etype(iel)) ; ta=ttrans(ibound) gauss_pts2: DO i=1,nip_s CALL shape_der(der,points,i) CALL shape_fun(fun,points,i) jac=MATMUL(der,coord) det=det_s(jac,g1,g2,g3) vec=vec+fun*det*weights(i)*htco*ta CALL cross_product(fun,fun,ntn) ; kp=kp+ntn*det*weights(i)*htco END DO gauss_pts2 loadsh(g)=loadsh(g)+vec CALL fsparv(bk,kp,g,kdiag) END DO boundary_2 END IF IF(hfbc/=0.or.htbc/=0)THEN DEALLOCATE(coord,der,fun,g,jac,num,points,weights,inci_s) ALLOCATE(coord(nod,ndim),der(ndim,nod),fun(nod),g(nod),jac(ndim,ndim), & num(nod),points(nip,ndim),weights(nip)) CALL sample(element,points,weights) END IF!-------------------------------matrizes globais------------------------------- theta=1 ! fully implicit method bk=bk*theta*dtim ; bp=bp+bk ; bk=bp-bk/theta!-------------------------------temperaturas prescritas------------------------ IF(fixed_freedoms/=0)THEN bp(kdiag(node))=bp(kdiag(node))+penalty storbp=bp(kdiag(node)) END IF!------------------------factorização do membro esquerdo----------------------- CALL sparin(bp,kdiag)!---------------definição de parâmetros para o cálculo não linear-------------- csi_0=zero csi_1=one xacc=10.e-6_iwp time2=time1!--------------------------iteração no tempo----------------------------------- WRITE(11,'(a,i5)')" Tempo Temperatura no nó" , nres timesteps: DO j=1,nstep!--calcula a parcela do vector de termos independentes que não depende do grau ! de hidratação - newloe (parcela linear) CALL linmul_sky(bk,loads,newloe,kdiag) time1=time2+j*dtim newloe=newloe+dtim*(loadsh*t_a(time1)+loadsq*rad(time1))!--------------------------iteração não linear--------------------------------- oldlds=zero iters=0 its: DO iters=iters+1!---soma a parcela não linear do vector de termos independentes e resolve o ! sistema newlo=newloe+dtim*loadsf IF(fixed_freedoms/=0) newlo(node)=storbp*value*t(time1) CALL spabac(bp,newlo,kdiag) ; loads=newlo!----------------------controla a convergencia--------------------------------- CALL checon(loads,oldlds,tol,converged) ; IF(iters==1)converged=.FALSE.!-----------calcula o grau de hidratação nos pontos de integração-------------- loadsf=zero elements_3: DO iel=1,oldele i=etype(elem_vec(iel)) ; hg=prop(ndim+4,i) ; vec=zero IF(hg/=zero)THEN num=g_num(:,elem_vec(iel)) ; g=g_g(:,elem_vec(iel)) coord=TRANSPOSE(g_coord(:,num)) a=prop(ndim+5,i) ; b=prop(ndim+6,i) ; c=prop(ndim+7,i) d=prop(ndim+8,i) ; e=prop(ndim+9,i) ; elem_temp=loads(g) gauss_pts_2: DO i=1,nip CALL shape_der(der,points,i) ; CALL shape_fun(fun,points,i) jac=MATMUL(der,coord) ; det=determinant(jac)



local_temp=DOT_PRODUCT(fun,elem_temp)+273 x_n=csi_old(elem_vec(iel),i) root=rtflsp(fp,csi_0,csi_1,xacc,x_n,dtim,a,b,c,d,e,local_temp) csi(elem_vec(iel),i)=root vec=vec+fun*det*weights(i)*hg*csi_ponto(a,b,c,d,e,root,local_temp) END DO gauss_pts_2 loadsf(g)=loadsf(g)+vec END IF END DO elements_3 IF(converged.or.iters==limit) EXIT END DO its IF(j/npri*npri==j)THEN IF(nf(1,nres)/=0)THEN WRITE(11,'(5e13.5)')time1,loads(nf(1,nres)) ELSE WRITE(11,'(e13.5,a)')time1,"nó não activado" END IF END IF csi_old=csi END DO timesteps loads(0)=penalty DO i=1,nn temperaturas(i)=loads(nf(1,i)) END DO IF(fixed_freedoms/=0)DEALLOCATE(node,value,storbp) IF(hfbc/=0)DEALLOCATE(iflux,qflux) IF(htbc/=0)DEALLOCATE(itrans,ttrans) IF(indic/=0)DEALLOCATE(node2,value2) DEALLOCATE(kdiag) DEALLOCATE(bp,bk,loads,newlo,loadsq,loadsh,loadsf,newloe,oldlds) END DO lift_numberEND PROGRAM PATQ_1fases

Variáveis escalares inteira novas:ii contador

lifts número de fases construtivas

newele número de elementos ativados em cada fase

oldele número total de elementos ativos em cada fase

Variáveis indexadas inteiras:elem_vec vetor de elementos activos em cada fase

g vetor de graus de liberdade associados ao elememto

g_g vetor global de graus de liberdade associados aos elementos

nf matriz de nós ativos

Variáveis indexadas reais:temperaturas vector de temperaturas nodais, se temperaturas(i) = 10-20 i é um nó desactivado.

4.3 Exemplos de verificação

Exemplo 4.1: Considere-se, novamente, o caso de uma placa retangular com troca de calor entre

uma parede, submetida a temperatura constante, e um reservatório de fluido, estudada no exemplo



4.1 do documento (Leitão, 2012). Como se tinha visto, quando o equilíbrio é atingido, o fluxo de calor

através da placa e a distribuição de temperaturas adotam valores constantes. Esta condição não

deverá alterar-se se a placa é construída por fases.

A placa tem 8,33 cm de altura, 33,33 cm de largura e é infinitamente comprida. A placa está fixa a

uma parede de temperatura constante de 1100 ºC, e está imersa num fluido à temperatura de 100 ºC.

A placa tem uma condutividade térmica de 15W/(m ºC) e um coeficiente de convecção de 15 W/(m2

ºC), Figura 4.9.

Temperatura prescrita = 1100ºC

Fronteira com troca de calor por convecção100 ºC

8,33

cm

33,33cm

Figura 4.9 − Idealização do exemplo

Na resolução deste problema foi adotado uma discretização em 9 elementos e um total de 40 000

incrementos de 0,01s. No presente problema considerar-se-á que a placa é construída em duas

fases, na primeira são construídos os 5 primeiros elementos, entanto que na segunda, construída 100

segundos mais tarde, se terminarão de colocar os 4 elementos restantes. O ficheiro de dados

utilizado está ilustrado na figura 4.3. Note-se que para indicar que não existe geração de calor devido

ao processo de hidratação, o calor latente L foi colocado em zero, os restantes parâmetros podem

assumir qualquer valor, mas tendo sempre cuidado de que o grau de hidratação final ξ∞ seja diferente

de zero devido a que aparece no denominador da expressão (2.5)(2.15).

Os resultados obtidos no final do cálculo convergem com os resultados analíticos, na figura 4.4 são

apresentados as temperaturas obtidas no nó 3, cujo resultado analítico é de 813.374ºC.


dtim0.01

npri nres5000 3

tol limit0.001 1

np_types 1

prop(kx,ky,,c,h,L,k/no,Ao/k,h,ñ,Ea/R) 15. 15. 100. 300. 15. 0. 1. 1. 1. 1. 1.

g_coord 0.0000E+00 0.0000E+00



0.3703E-01 0.0000E+00

⋮ 0.2963E+00 -0.8330E-01 0.3333E+00 -0.8330E-01

g_num 11 1 2 12 12 2 3 13

⋮ 19 9 10 20

lifts2

newele nstep5 10000

elem_vec(oldele+1:oldels+newele)1 2 3 4 5

fixed_freedoms2

(node(i), value(i), i=1,fixed_freedoms) 1 1100 11 1100

hfbc0

htbc10

((itrans(i,j),j=1,2),ttrans(i),i=1,htbc)1 4 100.2 4 100.3 4 100.4 4 100.5 4 100.1 3 100.2 3 100.3 3 100.4 3 100.5 3 100.

indic0

Val00.0

newele nstep4 30000

elem_vec(oldele+1:oldels+newele)6 7 8 9

fixed_freedoms2

(node(i), value(i), i=1,fixed_freedoms) 1 1100 11 1100

hfbc0

htbc19

((itrans(i,j),j=1,2),ttrans(i),i=1,htbc)1 4 100.2 4 100.3 4 100.

Figura 4.10 - Malha e ficheiro de dados para o exemplo 4.1 (continua)


1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

11 12 13 14 15 16 17 18 19 20

1 2 3 4 5 6 7 8 9

x

y


4 4 100.5 4 100.6 4 100.7 4 100.8 4 100.9 4 100.1 3 100.2 3 100.3 3 100.4 3 100.5 3 100.6 3 100.7 3 100.8 3 100.9 3 100.9 2 100.

indic0

val00.0

Figura 4.10 (continuação) - Malha e ficheiro de dados para o exemplo 4.1

⋮Construção da fase= 1 Tempo Temperatura no nó 3 0.50000E+02 0.84159E+03 0.10000E+03 0.89396E+03

Construção da fase= 2 Tempo Temperatura no nó 3 0.15000E+03 0.79054E+03 0.20000E+03 0.80702E+03 0.25000E+03 0.81172E+03 0.30000E+03 0.81300E+03 0.35000E+03 0.81335E+03 0.40000E+03 0.81345E+03

Figura 4.11 - Ficheiro de resultados do exemplo 4.1

Exemplo 4.2: Neste caso voltar-se-á a utilizar a placa do exemplo 3.1, mas considerando que a placa

é construída em 4 fases como indica o ficheiro de dados da figura 4.5.


dtim1

npri nres1 19


np_types1

prop(kx,ky,,c,h,L,k/no,Ao/k,h,ñ,Ea/R) 5400. 5400. 2400. 970.8 1. 2.02e8 0.28e8 0.5e-5 0.72 5.3 5000

Figura 4.12 - Malha e ficheiro de dados para o exemplo 4.2 (continua)



g_coord 0.0000E+00 0.0000E+00 0.1250E+00 0.0000E+00

⋮ 0.8750E+00 -0.1000E+01 0.1000E+01 -0.1000E+01

g_num 15 10 1 2 3 11 17 16 17 11 3 4 5 12 19 18

⋮ 59 53 45 46 47 54 61 60 61 54 47 48 49 55 63 62 63 55 49 50 51 56 65 64

lifts4

newele nstep4 100


fixed_ freedoms0

hfbc0

htbc0

indic0

val021.0

newele nstep4 100


fixed_freedoms0

hfbc0

htbc0

indic0

val021.0

newele nstep4 100


fixed_ freedoms0

hfbc0

Figura 4.12 (continuação) - Malha e ficheiro de dados para o exemplo 4.2 (continua)


1 2 3 4 5 6 7 8 9

10 11 12 13 14

15 16 17 18 19 20 21 22 23

24 25 26 27 28

29 30 31 32 33 34 35 36 37

38 39 40 41 42

43 44 45 46 47 48 49 50 51

52 53 54 55 56

57 58 59 60 61 62 63 64 65

1 2 3 4

5 6 7 8

9 10 11 12

13 14 15 16

y

x


htbc0

indic0

val021.0

newele nstep4 1000


fixed_freedoms0

hfbc0

htbc0

indic0

val021.0

Figura 4.12 (continuação) - Malha e ficheiro de dados para o exemplo 4.2

Na Figura 4.13 apresentam-se os resultados obtidos para os nós 19; 33 e 47. Como se observa na

figura. o nó 47 está a convergir para a solução obtida no exemplo 3.1 quando é colocada a segunda

camada, o que resulta numa diminuição da temperatura devido à menor temperatura da camada

recém colocada, seguida de um aumento da temperatura devido a geração de calor originada nesta

segunda camada. O mesmo acontece. mas de forma mais atenuada, quando são colocadas as

restantes camadas. Quanto ao nós 33 e 19, observa-se que após a colocação atingem uma

temperatura superior à observada no nó em contacto com a camada inferior, seguido de uma

diminuição até convergir a uma temperatura uniforme em toda a placa.



10

20

30

40

50

60

70

80

90

100

0 100 200 300 400 500 600

time [h]

tem

pera

ture

[ºC

]

nó 47nó 33nó 19

Figura 4.13 - Evolução da temperatura nos nós 47, 33 e 19

Um comentário especial merecem as temperaturas calculadas nos nós 33 e 18 a 1 segundo após a

colocação da camada. Em ambos os casos observam-se temperaturas inferiores à temperatura de

colocação (21°C). Esta diminuição da temperatura, a qual é fisicamente impossível, reflete uma

perturbação da solução encontrada. Este fenómeno acontece em problemas contendo

descontinuidades na condição inicial ou entre a condição inicial e as condições de fronteira. Para

evitar tais perturbações Thomas e Zhou (1997) recomendam utilizar as seguintes relações entre as

discretizações adotadas no espaço e no tempo:

∆ t ≥ L2 ρ c2 k

(4.1)

∆ t ≥ L2 ρ c20 k

(4.2)

para o quadrilátero de 4 nós e se 8 nós, respetivamente.



5 | Programa de Análise TermoQuímica – PATQ_2

5.1 Descrição do programa

O programa PATQ_2 é um programa de cálculo não linear que permite simular a reação de

hidratação, as condições térmica ambientais, e, através da variação da geometria da malha, a

evolução da temperatura para as diversas etapas construtivas presentes numa barragem. Assim, o

programa foi elaborado sobre a base dos códigos PATQ_1fases e PAT_2.

Os dados são introduzidos a través de um ficheiro designado como PATQ2.dad. Os valores estão

escritos em formato livre com a seguinte ordem de entrada:

PROGRAM PATQ_2!------------------------------------------------------------------------------! Programa de Análise TermoQuímica de barragens de betão! Obtém a distribuição espacial das temperaturas através da resolução da! equação fundamental da transferencia de calor por condução em regime ! transiente considerando a geração de calor de hidratação do betão!------------------------------------------------------------------------------

⋮ READ(10,*)element,nels,nn,nip,nod,ndim,dtim READ(10,*)idate,ihour ; CALL dia_juliano(idate,ihour,jd_i) READ(10,*)utemp READ(10,*)fi,azimute_y

⋮ READ(10,*)npri,nres READ(10,*)tol,limit

⋮ READ(10,*)np_types ALLOCATE(prop(nprops,np_types)) ; READ (10,*) prop etype=1 ; IF(np_types>1) READ(10,*) etype READ(10,*)g_coord ; READ(10,*)g_num

⋮!-----------------------------simulação do processo construtivo---------------- READ(10,*)lifts ; WRITE(11,'(a,i5)')"Número de fases construtivas=",lifts lift_number: DO ii=1,lifts READ(10,*)newele READ(10,*)elem_vec(oldele+1:oldele+newele) READ(10,*)idate,ihour

⋮!-----------------------------temperaturas prescritas-------------------------- READ(10,*)fixed_freedoms IF(fixed_freedoms/=0)THEN ALLOCATE(node(fixed_freedoms),value(fixed_freedoms),storbp(fixed_freedoms)) READ(10,*)(node(i),value(i),i=1,fixed_freedoms)

⋮ END IF!-----------------------------fluxo de calor prescrito------------------------- READ(10,*)hfbc IF(hfbc/=0)THEN ALLOCATE(iflux(hfbc,2)) READ(10,*)(iflux(i,:),i=1,hfbc) END IF

!----------------------transferencia de calor por convecção e radiação---------



READ(10,*)htbc IF(htbc/=0)THEN ALLOCATE(itrans(htbc,3)) READ(10,*)(itrans(i,:),i=1,htbc) END IF

⋮!------------------------inicalização da temperatura---------------------------

⋮ READ(10,*) indic IF (indic==0) THEN READ(10,*)val0 DO i=1,neq IF(loads(i)==penalty) loads(i)=val0 END DO ELSE ALLOCATE(node2(indic), value2(indic)) READ(10,*)(node2(i),value2(i),i=1,indic) DO i=1,indic ; loads(node2(i))=value2(i) ; END DO END IF

⋮ END DO lift_numberEND PROGRAM PATQ_2

Glossário das variáveis de entrada

Variáveis escalares inteiras:idate data no formato aaaammdd

ihour horas no formato hhmm

fixed_freedom número de nós com temperatura prescrita (nós submersos)

hfbc número de lados ou faces de elementos com fluxo de calor prescrito (faces

expostas a considerar para o efeito da radiação solar)

htbc número de lados ou faces de elementos com transferencia de calor por

convecção e radiação (faces expostas a considerar para o efeito da troca de

calor com o ar)

indic número de nós onde se inicializa a temperatura, indic=0 os nós activados

nessa camada são inicializados à temperatura val0, indic<0 os nós

activados nessa camada são inicializados à temperatura do ar

limit máximo número de iterações não lineares

ndim dimensão do problema

nels número de elementos

lifts número de fases construtivas

newele número de elementos ativados em cada fase

nip número de pontos de integração de Gauss para cada elemento

nn número de nós

nod número de nós por elemento

npri os resultados são impressos a cada npri incrementos de tempo

np_types número de diferentes tipos de materiais

nres número do nó para o qual se imprime o resultado



Variáveis escalares reais:azimute_y azimute do eixo global y (para o caso tridimensional)

dtim intervalo de tempo

fi latitude da barragem

tol tolerancia para a convergencia do cálculo não linear

val0 temperatura inicial para indic = 0

Variáveis escalares caracteres:element tipo de elemento

utemp unidade de tempo (d, h ou s)

Variáveis indexadas inteiras:elem_vec vector de elementos activos em cada fase

etype vector com o grupo de propriedades correspondente a cada elemento

g_num matriz de incidências

iflux matriz de dados da fronteira com fluxo de calor prescrito

itrans matriz de dados da fronteira com troca de calor por convecção e radiação

node vector de nós com temperaturas prescritas

Variáveis indexadas reais:g_coord coordenadas nodais globais

prop matriz de propriedades dos materias

value vector de temperaturas nodais fixas

value2 vector de temperaturas iniciais

Similarmente ao adotado para o programa PAT_2, os modelos representativos dos fatores térmicos

ambientais, isto é, temperatura do ar, temperatura da água da barragem e radiação solar, são

introduzidos no cálculo através de rotinas tipo function denominadas, respetivamente,

temperatura_ar, temperatura_agua e radiacao_global.

5.2 Exemplo

A modo de exemplo simulou-se a construção de uma barragem com betão compactado com cilindros

(BCC). O método de construção de barragens com BCC consiste na colocação contínua,

frequentemente de margem a margem, de camadas pouco espessas (da ordem de 30 cm) de betão

que é compactado com cilindros vibradores. Para este caso, dadas as especificidades do método

construtivo e a direção predominante do fluxo de calor, resulta representativo adotar um modelo

bidimensional de transmissão do calor.



A Figura 5.14 representa a malha adotada para a barragem composta por 9585 elementos

isoparamétricos de 8 nós, e a Figura 5.15 mostra a malha completa (barragem e maciço de fundação)

que compreendeu um total de 10 510 elementos e 32 175 nós.

81,00 m

64,65 m

Figura 5.14 - Malha de elementos finitos utilizada para a análise termo-química da secção da barragem



Figura 5.15 - Malha de elementos finitos completa utilizada para a barragem

As condições de fronteira do problema térmico foram consideradas como troca de calor por

radiação/convecção entre o betão da barragem e o ar, e entre o maciço de fundação e o ar; para as

restantes fronteiras do maciço rochoso (fronteiras laterais e base) foram adotadas condições

adiabáticas.

A temperatura do ar foi modelada mediante a expressão:

T ar=T med (d)−SA (d ) cos [2 π24

(h−B)] (5.1)

onde:

SA(d)= [T max (d )−T min(d )] /2 (5.2)

T max(d)=23,1−9,7 cos[ 2π365

(d−16)] (5.3)

T min(d)=10,9−6,0 cos[ 2 π365

(d−32)] (5.4)



T med(d)=17,7−7,6 cos [ 2π365

(d−23)] (5.5)

em que d são os dias desde o início do ano; h é a hora do dia e B é a fase da onda diária definida no

Quadro 5.2.

Quadro 5.2 - Valores da fase B da onda diária da temperaturaMês B

Janeiro 4,205Fevereiro 4,066

Março 3,559Abril 3,734Maio 3,296Junho 3,067Julho 3,253

Agosto 3,725Setembro 4,239Outubro 4,225

Novembro 4,147Dezembro 4,199

Em relação à radiação solar, foram realizados dois cálculos, no primeiro desprezou-se o efeito da

radiação solar e no segundo considerou-se uma irradiância dada pela expressão:

I t=I h

cosZ=qoexp (−0,968+0,76 cos Z ) (5.6)

em que qo é a constante solar de valor 1367 W/m2, e Z é a distância zenital do sol, a qual é função

da latitude do local da barragem, da declinação solar e da hora.

Considerou-se que a barragem encontra-se à latitude 39° 44’ e que o ângulo entre o eixo global x com a direção Sul, no sentido do movimento dos ponteiros do relógio, é de 98°.

O coeficiente de convecção considerado nas superfícies da barragem expostas ao ar foi estimado em

h=20 W/ ( m2 ℃ ). No caso de existir cofragem, este coeficiente é reduzido para

h '=2 W/ ( m2 ℃). Para o cálculo foi determinado que a cofragem é removida aos dois dias após a

betonagem.

Em relação à temperatura de colocação do betão considerou-se a temperatura correspondente à hora

da betonagem, sendo o cronograma da betonagem o indicado na Figura 5.16.



143.3146.3149.3152.3155.3158.3161.3164.3167.3170.3173.3176.3179.3182.3185.3188.3191.3194.3197.3200.3203.3206.3209.3212.3215.3218.3221.3224.3

16-Abr 23-Abr 30-Abr 7-Mai 14-Mai 21-Mai 28-Mai 4-Jun 11-Jun 18-Jun 25-Jun 2-Jul 9-Jul 16-Jul 23-Jul

cota

(m)

Figura 5.16 - Cronograma da evolução das betonagens

Relativamente às propriedades térmicas do betão e da rocha de fundação, foram utilizados os valores

indicados no Quadro 5.3.

Quadro 5.3 - Propriedades térmicas adotadas para a fase de construção

Parâmetro Unidade ValorRocha

Calor específico c [J/(kg K)] 879Condutividade térmica kii [W/(m K)] 2,18Massa específica [kg/m3] 2600Coeficiente de absorção a 0

BetãoCalor específico c [J/(kg K)] 984Condutividade térmica kii [W/(m K)] 4,60Massa específica [kg/m3] 2300Coeficiente de absorção a 0,65

Grau de hidratação a tempo infinito ξ∞ 0,82

Energia de ativação Ea/ R [K] 4000

k /no [1/dia] 2,28x105

Ao/k 8x10-3

n 5,57

Calor latente L [J/m3] 5,86x107

Por forma a esclarecer a entrada de dados do programa PATQ_2, apresenta-se na figura 5.4 alguns

excertos do ficheiro de dados utilizado na resolução deste problema.




dtim0.1

idate ihour (data e hora de início da análise)20130415 1647

utempd

fi azimute_y39.73 98

npri nres 1 10855 10856 29338 29339 9932


np_types2

prop(kx,ky,,c,h,Q,a,k/no,Ao/k,h,ñ,Ea/R) 95 95 2600. 210.0e-3 0. 0 0 1. 1. 1. 1. 0 45 45 2300. 235.0e-3 0. 14000 0.65 5.472e6 8e-3 0.82 5.57 4000

etype 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1

⋮ 2 2 2 2 2

g_coord-0.1000E+03 0.0000E+00

⋮ 0.9000E+01 0.8100E+02

g_num 1 44 66 67 68 45 3 2

⋮ 32144 32155 32173 32174 32175 32156 32146 32145

lifts392

newele (fundação)925

elem_vec(oldele+1:oldels+newele) 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

⋮ 921 922 923 924 925

idate ihour (data e hora de colocação da primeira camada de betonagem)20130416 1647

fixed_freedoms0

hfbc (faces expostas à radiação solar)0

htbc (faces com troca de calor por convecção e radiação)83

((itrans(i,j),j=1,3),i=1,htbc) 1 1 410

⋮874 4 410

Figura 5.17 - Malha e ficheiro de dados para o exemplo (continua)



indic2881

(node2(i),value2(i), i=1,indic) 1 0.2243E+02

⋮ 2881 0.1000E+21

newele (comezo da betonagem) 62

elem_vec(oldele+1:oldels+newele) 926 927 928 929 930 931 932 933 934 935

⋮ 986 987

idate ihour (data e hora de colocação da camada seguinte20130417 0000

fixed_freedoms0

hfbc (faces expostas à radiação solar)62

((iflux(i,j),j=1,2),i=1,hfbc)926 4

⋮987 4

htbc (faces com troca de calor por convecção e radiação)85

((itrans(i,j),j=1,3),i=1,htbc) 1 1 410

⋮ 905 4 410 926 1 41 987 2 41 926 4 410

⋮1111 4 410

indic-1

⋮

Figura 5.17 (continuação)- Malha e ficheiro de dados para o exemplo

Como se vê na figura anterior, o cálculo foi efetuado utilizando unidades diferentes às do sistema SI,

em particular, foram adotadas para as diferentes grandezas as unidades:

Comprimento – m

Tempo – dias

Temperatura - °C

Massa – kg

Calor – kcal

Chama-se também à atenção que, devido ao facto do coeficiente de convecção/radiação mudar

conforme exista ou não cofragem, e aproveitando que neste caso o valor pode ser introduzido como



um número inteiro, foi incorporada à matriz itrans uma nova coluna correspondente ao coeficiente de

convecção/radiação da fase considerada.

O período analisado compreendeu desde o início da construção, assumido em 2013-04-16, até vários

anos após finalizada a mesma, nomeadamente, 2020-01-21. Esta simulação não teve em conta a

temperatura da água da albufeira sob o paramento de montante. O cálculo foi conduzido com um

intervalo de tempo constante de 0,1 h.

Nas figuras 5.5 e 5.6, comparam-se as distribuições de temperaturas obtidas considerando o efeito de

radiação solar com as obtidas quando não se considera este efeito para diferentes etapas da

construção, nomeadamente, quando se atingem as cotas 158,3; 176,3; 194,3; 212,3 e 224,3 m, o que

corresponde às datas 2013-05-01; 2013-05-18; 2013-06-07 e 2013-07-19, respetivamente, e algumas

datas após a construção, em particular, quando se atinge o máximo de temperatura, que corresponde

à data 2013-08-24, no primeiro Inverno a seguir a construção, correspondente à data 2014-01-21, e

no Verão e Inverno subsequentes, datas 2014-07-20 e 2015-01-21, respetivamente.

Relativamente à caracterização da evolução da temperatura no corpo da barragem, foram escolhidos

os 10 pontos distribuídos ao longo do eixo b-b mostrado na figura 5.7, para os quais se representou a

variação de temperatura calculada durante, aproximadamente, 7 anos, figura 5.8.

A máxima temperatura calculada foi de 52,1°C a 9 m do paramento de montante e à cota 207,2 m,

ponto B, quando se considera a radiação solar, e de 47,8°C a 9 m do paramento de montante e à

cota 207,95 m, ponto C, quando não se considera a radiação solar. Em ambos os casos a

temperatura máxima registou-se em 2013-08-19.



2013-05-01 2013-05-01

2013-05-18

2013-06-17

2013-05-18

2013-07-10 2013-07-10

sem radiação solar com radiação solar

2013-06-17

Figura 5.18 - Comparação entre as temperaturas calculadas durante a construção com e sem o efeito da radiação solar (continua)



2013-08-19 2013-08-19

2014-01-21

2014-07-20

2014-01-21

2014-07-20

2015-01-21 2015-01-21

sem radiação solar com radiação solar

Figura 5.18 (continuação)- Comparação entre as temperaturas calculadas durante a construção com e sem o efeito da radiação solar



b

b

144,8

149,3

158,3

167,3

176,3

185,3

194,3

203,3

212,3

221,3225,0

cota

(m)

0 10 20 30 40 50 60 70

x (m)

Figura 5.19 - Pontos escolhidos para representar a evolução da temperatura no corpo da barragem1

1 Para facilitar a legibilidade, no esquema anterior foi feita uma simplificação da malha utilizada no cálculo mediante uma concentração de 5 elementos em altura)




051015202530354045505560 2013

-01-

0120

14-0

1-01

2015

-01-

0120

16-0

1-01

2017

-01-

0120

18-0

1-01

2019

-01-

0120

20-0

1-01

Temperatura (ºC)

com

radi

ação

sol

ar

cota

144

,8co

ta 1

49,3

cota

158

,3co

ta 1

67,3

cota

176

,3se

m ra

diaç

ão s

olar

cota

144

,8co

ta 1

49,3

cota

158

,3co

ta 1

67,3

cota

176

,3

Figu

ra 5

.20

- Evo

luçã

o da

tem

pera

tura

no

corp

o da

bar

rage

m c

onsi

dera

ndo

e se

m c

onsi

dera

r o e

feito

da

radi

ação

sol

ar (c

ont.)



051015202530354045505560 2013

-01-

0120

14-0

1-01

2015

-01-

0120

16-0

1-01

2017

-01-

0120

18-0

1-01

2019

-01-

0120

20-0

1-01

Temperatura (ºC)

com

radi

ação

sol

ar

cota

185

,3co

ta 1

94,3

cota

203

,3co

ta 2

12,3

cota

221

,3po

nto

Bse

m ra

diaç

ão s

olar

cota

185

,3co

ta 1

94,3

cota

203

,3co

ta 2

12,3

cota

221

,3po

nto

C

Figu

ra 5

.20(

cont

.) - E

volu

ção

da te

mpe

ratu

ra n

o co

rpo

da b

arra

gem

con

side

rand

o e

sem

con

side

rar o

efe

ito d

a ra

diaç

ão s

olar

(con

t.)


6 | COMENTÁRIOS FINAIS

No presente trabalho foi apresentado o algoritmo correspondente à teoria do acoplamento

termoquímico para o betão considerado como meio poroso quimicamente reativo, exotérmico e

termicamente ativado.

A simulação do processo construtivo permite acompanhar o problema real ocorrido durante a

execução das diferentes fases de betonagens e avaliar a influência de cada variável envolvida nesse

processo, tal como temperatura inicial de colocação, número de camadas, tipo de material e ritmo de

construção.

Com referência a trabalhos futuros, no primeiro relatório deste trabalho (Leitão, 2012) já foram

apontados alguns dos aspetos que podem ser melhorados e outros que podem ser implementados,

no sentido de tornar os programas mais versáteis e de facilitar a sua interação com o utilizador.

Nesta parte é de referir que outro ponto que deveria ser aprofundado, prende-se com a linearização

do sistema de equações a resolver. Se bem que nos problemas resolvidos não se encontraram

problemas de estabilidade, seria desejável implementar alguma outra técnica de linearização mais

elaborada. Nesse sentido aponta-se como de interesse a formulação da matriz tangente consistente

no marco do método iterativo de Newton Raphson apresentada por Hellmich et al. (1999).

Também deve assinalar-se como desejável o aprofundamento do conhecimento da reação de

hidratação correspondente a betões utilizados na construção de barragens em Portugal, explorando a

utilização de novas expressões analíticas para a afinidade química normalizada.

Finalmente, assinala-se a necessidade de estudar a simulação do arrefecimento artificial do betão

mediante a utilização de tubos com circulação de água. A água, ao circular nos tubos, vai arrefecer o

betão e, por seu lado, vai aquecer, tendo temperaturas gradualmente crescentes desde a entrada do

tubo até a saída.

Lisboa, LNEC, mês de 201x

VISTOS AUTORIA

O(A) Chefe do Núcleo de ….

(Assinatura) (Assinatura)

Nome Nome

Categoria

O(A) Diretor(a) do Departamento de ….



(Assinatura)

Nome



Referências Bibliográficas

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Bentz, D.P.; Waller, V.; de Larrard, F., 1998 - Prediction of adiabatic temperature rise in

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Tese de mestrado Universidade Federal do Rio de Janeiro – COPPE, Rio de Janeiro,

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Cervera, M.; Faria, R.; Olivier, J.; Prato, T. 2002, - Numerical modeling of concrete curing,

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Leitão, N.S., 2012 - Análise Térmica de barragens de Betão - Ações térmicas ambientais .

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International Journal for Numerical Methods in Engineering , Vol.40, pp 3865-3880.

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Ulm, F.-J.; Coussy, O., 1996 Strength Growth as chemo-plastic hardening in early age concrete.

Journal of Engineering Mechanics ASCE, 122 (12), December 1996, pp. 1123-1132.



Anexos



ANEXO IRotinas utilizadas em PATQ_1 e PATQ_2



Rotinas de Smith e Griffiths (2004):

Nome Argumentos Descriçãochecon Loads, oldlds, tol,

convergedColoca a variável lógica converged em .FALSE. se a diferença relativa em loads e oldlds é inferior a tol.

cross_product b, c, a Calcula a matriz a correspondente ao produto vetorial do vetor coluna b e o vetor fila c.

determinat jac Função que calcula o determinante da matriz quadrada jac.

fkdiag kdiag, g Calcula a partir de g o vetor kdiag correspondente ao perfil da skyline.

formnf nf Determina a matriz de graus de liberdade nf a partir das condições de entrada em 0 e 1.

fsparv kv, km, g, kdiag Monta as matrizes elementares km na matriz global kv. A matriz global kv é armazenada na forma skyline.

invert matrix Calcula a inversa da matriz matrix.linmul_sky kv, disps, loads,

kdiagCalcula o vetor loads correspondente ao produto da matriz kv, armazenada na forma skyline, e o vetor disps.

num_to_g num, nf, g Determina o vetor g a partir da numeração dos nós do elemento num e da matriz de graus de liberdade nf.

sample element, s, wt Determina as coordenadas locais s e os fatores de peso wt para a integração numérica do elemento tipo element.

shape_der der, points, i Calcula as derivadas das funções de forma der para o i-ésimo ponto de integração cujas coordenadas locais estão guardadas em points.

shape_fun fun, points, i Calcula as funções de forma fun para o i-ésimo ponto de integração cujas coordenadas locais estão guardadas em points.

spabac kv, loads, kdiag Resolve o sistema de equações pelo método de Cholesky. O vetor solução loads se sobrepõe ao membro direito da equação.

sparin kv, kdiag Fatoriza a matriz kv (método de Cholesky) armazenada na forma de skyline.

Rotinas desenvolvidas para PAT_1 (Leitão, 2012):

Nome Argumentos Descriçãodet_s jac,g1,g2,g3 Função que calcula o determinante LNEC - Proc. xxxx/xxxx/xxxxx 9


reduzido para integração no lado ou face e os cosenos diretores do vetor normal g1, g2, g3 no ponto de integração.

fronteira element,nod,element_s, nod_s,nip_s,nside

Determina o tipo de elemento element_s, o número de nós nod_s, o número de pontos de integração nip_s e o número nside dos lados ou faces do elemento tipo element.

inci_lados element,nod,inci_s Determina as incidências dos lados ou faces do elemento tipo element.

q time Função que calcula a variação no tempo time da geração de calor por unidade de volume.

rad time Função que calcula a variação no tempo time do fluxo de calor prescrito.

t time Função que calcula a variação no tempo time da temperatura prescrita.

t_a time Função que calcula a variação no tempo time da temperatura do fluido nas trocas de calor por convecção-radiação.

Rotinas desenvolvidas para PAT_2 (Leitão, 2012)

Nome Argumentos Descriçãodia_1_a_365 jd_i,time,d,ut Calcula os dias d e a fração horária ut

decorridos desde o início do ano para o



tempo time após a data inicial jd_idia_calendario jd,m,k,j Determina ano m mes k e dia j

correspondentes ao dia juliano jd.dia_juliano idate,ihour,jd Determina o dia juliano jd para a data

idate e a hora ihour.radiacao_global cos_z Função que calcula a radiação global

num plano horizontal.radiacao_solar d,ut,fi,delta,omega,q_m Determina o valor do ângulo zenital

cos_z a partir do azimute fi, a declinação delta e o ângulo horário omega, e chama à função radiacao_global para determinar a radiação num plano horizontal q_m.

redcl tz Função que calcula a declinação para o dia tz.

temperatura_agua z,d Função que calcula a temperatura da água para o dia d para o ponto à cota z.

temperatura_ar d Função que calcula a temperatura do ar no dia d.

Rotinas desenvolvidas para PATQ_1

Nome Argumentos Descriçãocsi_ponto a, b, c, d, e, x_n,

local_tempFunção que calcula a derivada do grau de hidratação mediante à expressão (2.7).

fp x, x_n, dtime, a, b, c, d, e, local_temp

Função que representa a expressão (2.24) a ser resolvida pelo método de regula falsi.

Rotina de Numerical Recipes in FORTRAN (Press et al., 1992) (adaptada)

Nome Argumentos Descriçãortflsp func, x1, x2, xacc,

x_n, dtime, a, b, c, d, e, local_temp

Função que determina a raiz da função func pelo método de regula falsi sabendo que a mesma se encontra entre x1 e x2. A raiz é dada com uma precisão de ±xacc


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