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Curso: Engenharia de Produção

Por que aparecem as filas?

Não é eficiente, nem racional, que cada um

disponha de todos os recursos individualmente.

Por exemplo:

Prof. Lorí Viali, Dr. – PUCRS – FAMAT: Departamento de Estatística

Por exemplo:

que cada pessoa disponha do uso exclusivo de

uma rua para se movimentar;

que cada pessoa tenha um supermercado para o

seu abastecimento exclusivo;


Recursos limitados devem ser

compartilhados.

Ao compartilhar recursos, pode acontecer

que no momento em que se queira fazer uso


que no momento em que se queira fazer uso

de um recurso, este esteja ocupado;

necessidade de esperar

aparecem as filas


Um fluxo é o movimento de alguma

entidade através de um ou mais canais de

capacidade finita para ir de um ponto a


capacidade finita para ir de um ponto a

outro.

Capacidade finita significa que o canal só

pode satisfazer a demanda a uma taxa finita.


Exemplos:

� fluxo de automóveis (entidades)

através de uma rede de caminhos


(canais)

� transmissão de mensagens telefônicas

(entidades) através da rede (canal)


Os fluxos podem ser classificados em:

� Determinísticos: sistemas no qual o

comportamento da demanda pelo serviço é


previsível;

� Aleatório: não é possível predizer como

vai se comportar a demanda pelo serviço.


Para descrever um sistema de filas

um processo de entrada e um de saída


devem ser especificados. Alguns

exemplos podem ser vistos na tabela

seguinte:


Sistema Entrada Saída

Banco Correntistas Atendentes

Pizzaria Requisição de Atendente envia


on-line pizza motoqueiro com a pizza

Pedágio Automóveis Atendente cobra e libera o

veículo


A entrada é geralmente denominada de

processo de chegada. Chegadas são

denominadas de clientes. Em todos os


denominadas de clientes. Em todos os

sistemas será assumido que não mais do que

uma chegada pode ocorrer em um único

instante.


Será assumido que o processo não é

afetado pelo número de clientes no sistema. Se

o processo de chegada não é afetado pelo

número de consumidores presentes ele é


número de consumidores presentes ele é

descrito pela especificação de uma distribuição

de probabilidade para os tempos inter

chegadas sucessivas.


Para descrever o processo de saída

(processo de atendimento) de um sistema de

filas é normalmente especificado uma


distribuição de probabilidade – distribuição

do tempo de serviço – que fornece o tempo de

atendimento dos clientes.


Em muitas situações será assumido que o

tempo de atendimento é independente do

número de clientes presentes. Geralmente dois


número de clientes presentes. Geralmente dois

regimes de atendimento são considerados: em

série e em paralelo.


Regimes de atendimento



O serviço é paralelo se todos os atendentes

fornecem o mesmo tipo de atendimento e o

cliente só precisa passar por um atendente. Ele

é em série se o cliente precisa passar por vários


é em série se o cliente precisa passar por vários

atendentes antes de ter seu serviço completado.

Uma linha de montagem é um exemplo de tal

tipo de serviço.


A disciplina da fila descreve o método

usado para determinar a ordem em que os

consumidores serão atendidos. O método mais


comum é o FIFO (First In First Out) em que os

clientes são atendidos pela ordem de chegada.

Outro métodos é o LIFO (Last In First Out).


Em alguns casos a ordem em que os

clientes chegam não faz diferença é o método

SIRO (Service In Randon Order). Um último

método de atendimento é o atendimento por


método de atendimento é o atendimento por

prioridade que classifica cada cliente de

acordo com a maior ou menor necessidade de

atendimento.


Outro fator que deve ser considerado é o

processo que um cliente utiliza para decidir

em qual fila ele vai entrar. Por exemplo em


alguns bancos o cliente deve entrar numa fila

única. Quando existem várias ele vai optar

pela mais curta.


Na maioria das aplicações de filas

deve-se tentar refletir a realidade e

mantê-la computacionalmente tratável,


mantê-la computacionalmente tratável,

assim a escolha mais comum é a

distribuição Exponencial.


Uma variável aleatória T tem uma

distribuição exponencial de parâmetro λ se sua

fdp for do tipo:


<

≥λ=

λ

0 t se

t se e.)t(f

t

0

0-


Considere que a duração, em minutos,

seja uma VAC exponencial com duração média

de µ = 10. Se alguém chegou justo na sua


de µ = 10. Se alguém chegou justo na sua

frente na cabine telefônica, determine a

probabilidade de que você tenha que esperar

mais do que 10 minutos.


[ ] )e(elim

dte,)X(P

t,

t,1010

110

10

10

=−−=

=∫=≥

−−

∞−


[ ]

%,,e

)e(elim t,

t

7936367901

110

===

=−−=

−

−−

∞→


1,0

1,5

2,0


0,0

0,5

1,0

1 11 21 31 41 51 61 71 81 91 101


A função F(t) = P(T ≤ t) é dada por:

0 < t se 0

)t(F

=


0 t se e-1

0 < t se 0)t(F

t-

≥=

λ

Obs.: Tente determinar!


0,50

0,60

0,70

0,80

0,90

1,00


0,00

0,10

0,20

0,30

0,40

0,50

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10


=∫+−=

=∫ λ=∫=

∞ λ−λ− ∞

∞ λ−+∞∞−

dte]et[

dte.tdt)t(f.t)T(E

0tt

0

0t


λ=

λ−−

=∫+−=

λ−λ−

∞1e

et

dte]et[

tt

0

00


σ2 = V(T) = E(T2) – E(T)2

=∫ λ=∫= ∞ λ−+∞∞− 0

t222 dte.tdt)t(f.t)T(E


λ=

λλ=∫ λ

λ=

=∫+−=

∞ λ−

∞ λ−λ− ∞

20t

0tt2

0

21.

2dtet

2

dtte2]et[


A variância será então:

=−=

−=

=−==σ

2

222

11212

)T(E)T(E)T(V


λ=

λ−

λ=

λ

−λ

=222

2

2

11212

E o desvio será:λ

=σ1


Assim se T tem uma distribuição exponencial,

então:

ee)t(F)t(F)tTt(P

e)tT(P

e1)tT(P)t(F

eλ f(t)

λ-λ-

tλ-

tλ-

tλ-

t2t1−=−=≤≤

=>

−=≤=

=


λ

1σ

λ

1)T(E)T(E)T(Vσ

λ

1)T(Eµ

ee)t(F)t(F)tTt(P

2

222

λ-λ-1221

t2t1

=

=−==

==

−=−=≤≤


Seja T uma VAC com distribuição

exponencial de parâmetro λ. Determinar o


a probabilidade de T assumir valores

superiores ao seu valor esperado.


%79,36 3679,0 e

]e1[1)µ(F1)µX(P

1

λt

===

=−−=−=≥

−

−


%79,36 3679,0 e ===


Seja T uma VAC com distribuição

exponencial de parâmetro λ. Determinar


exponencial de parâmetro λ. Determinar

o valor mediano de T.


Um dos motivos da utilização da

Exponencial na teoria das filas é a sua

propriedade de falta de memória:


propriedade de falta de memória:

P(T > t + h/ T ≥ t) = P(T > h)

Para quaisquer valores não negativos de

t e h.


Pode ser mostrado que nenhuma

outra VAC tem esse mesmo tipo de

propriedade. Essa propriedade é


propriedade. Essa propriedade é

denominada de falta de memória da

variável.


Isto significa que se sabemos que

um tempo t transcorreu desde a

última chegada então a probabilidade


última chegada então a probabilidade

de transcorra um tempo h até a

próxima chegada não depende de t.


Assim se quisermos saber o tempo

para a próxima chegada não importa há

quanto tempo tenha ocorrido a última


quanto tempo tenha ocorrido a última

chegada. Essa propriedade pode

simplificar a análise dos sistemas de filas.


Se o tempo entre chegadas é

exponencial então a distribuição do

número de chegadas em qualquer


número de chegadas em qualquer

intervalo de tempo t é dado pelo seguinte

teorema:


Tempos interchegadas são

exponenciais com parâmetro λλλλ se e só se o

número de chegadas que ocorre num


número de chegadas que ocorre num

intervalo de tempo t segue uma

distribuição de Poisson com parâmetro λλλλt.


Uma VAD X tem uma distribuição de

Poisson com parâmetro λλλλ se, para x = 0, 1, 2, ...,

a probabilidade de P(X = x) é dada por:


a probabilidade de P(X = x) é dada por:

f(x) = P(X = x) = (e-λλλλλλλλx)/x!

para x = 0, 1, 2, …


Se X tem uma distribuição de

Poisson com parâmetro λλλλ então, tem-se

que: λ=σ


que:

E(X) = V(X) = λλλλ

Assim:

λ=σ


Se definirmos x como o número de

chegadas que ocorrem durante

qualquer intervalo de tempo t, então o


qualquer intervalo de tempo t, então o

teorema diz que:

P(Xt = x) = [e-λt(λt)x]/x!


Como Xt tem uma distribuição de Poisson

com parâmetro λλλλt então:

E(Xt) = V(Xt) = λλλλt


Uma média de λλλλt chegadas ocorre durante

um intervalo de tempo t, assim λλλλ pode ser

pensado como o número médio de chegadas

por unidade de tempo ou taxa de chegadas.


Para que a taxa de chegadas seja

considerada exponencial algumas hipóteses

devem ser satisfeitas:

1. Chegadas sobre intervalos de tempo não


1. Chegadas sobre intervalos de tempo não

sobrepostos são independentes;

2. Para valores de t pequenos, a probabilidade

de uma chegada é proporcional ao tamanho

do intervalo.


Se as condições 1 e 2 forem

verdadeiras então:

Xt segue uma distribuição de Poisson


Xt segue uma distribuição de Poisson

com parâmetro λλλλt onde os tempos

interchegadas são exponenciais de

parâmetro λλλλ.


Em resumo: se a taxa de chegadas é

estacionária e chegadas passadas não afetam as

futuras, então os tempos interchegadas seguem


uma distribuição exponencial com parâmetro λλλλ

e o número de chegadas em qualquer intervalo

de tempo t é Poisson com parâmetro λλλλt.


Sabe-se que a variável aleatória X é bimodal para

x = 1 e x = 2 e que tem uma distribuição de Poisson.

Sabendo que X é diferente de zero, a probabilidade de


X assumir um valor menor do que 3 é dada por:

(a) 4/e2 (b) 4/(e2 – 1) (c) 2/e

(d) 1 – 4/e2 (e) 4/(1 – e2).


Se o tempo interchegadas não é

exponencial, então ele pode ser modelado pela

distribuição de Erlang. Uma distribuição de

Erlang é uma VAC cuja fdp depende de dois


Erlang é uma VAC cuja fdp depende de dois

parâmetros: r = taxa e k = forma (que deve ser

um inteiro positivo). Dados os parâmetros r e k

a fdp da Erlang é dada por:


Uma VAD T tem uma distribuição de

Erlang de parâmetros r e k

f(t) = [r(rt)k-1e-rt]/(k – 1)! para t ≥ 0


f(t) = [r(rt)k-1e-rt]/(k – 1)! para t ≥ 0

Obs. A distribuição de Erlang será

representada por E(r, k).


A distribuição de Erlang é

um caso particular da

distribuição Gama.

Agner Krarup Erlang (1878 –


Agner Krarup Erlang (1878 –

1929), engenheiro dinamarquês

que utilizou a teoria da

Probabilidade para modelar e

resolver problemas de telefonia.


Utilizando integração por partes podemos

mostrar que se T tem uma distribuição de

Erlang com parâmetros r e k, então:


Erlang com parâmetros r e k, então:

E(T) = k/r

V(T) = k/r2


DANTAS, Carlos Alberto Barbosa. Probabilidade:

Um Curso Introdutório. 2 ed. São Paulo:

EDUSP, 2000.

GRIMMETT, G. R., SITRZAKER, D. R.

Probability and Random Processes. Oxford


Probability and Random Processes. Oxford

(London): Oxford University Press, 1991.

WISTON, Wayne L. Operations Research:

Applications and Algorithms. 3 ed. Belmont

(CA): Duxbury Press, 1994.

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