Curso Introdutório à Física Quântica

7/23/2019 Curso Introdutrio Fsica Quntica

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Curso Introdutrio Fsica Quntica - 12 aulas

Adalberto Tripicchio MD hD

aula 1

Fsica Quntica! para "ue e para "ue#

Comeando pelo pblico, lembremos que divulgao significa transmisso de certoconhecimento que pretenda alcanar a todos, sem restrio alguma. Tentando neutralizar aomximo meu ncleo narcsico!onipotente, " minha inteno respeitar esse significado com umanica salva!guarda# ao longo do trabalho nesta minha seo, diri$o!me aos %filo!sofos%, assimescrito para ressaltar o "timo da palavra# amantes do conhecimento.

& evidente que esses no se$am necessariamente fil'sofos, pois para ler estes artigos no serequer nenhum conhecimento de filosofia. Tampouco algum conhecimento de fsica, al"m dosditados pelo sentido comum, ministrados no (nsino )"dio, e farei um esforo didtico paraevitar o $argo da fsica quelhe permite a matemtica.

*ssim, no peo ao leitor nem fsica nem matemtica nem filosofia, mas sim, to somente umaatitude aberta frente ao conhecimento, uma curiosidade, um chamado a penetrar no fascinantemundo da fsica qu+ntica, ainda que isto signifique abandonar algumas id"ias cu$a validadenunca se tenha questionado. (m sntese, s' peo amor ao conhecimento.

a elaborao desta -ntroduo /sica 0u+ntica de divulgao levei em contafundamentalmente ao eventual leitor sem conhecimentos de mec+nica qu+ntica. Contudo, osleitores com conhecimentos, mesmo os especialistas, no foram esquecidos, e podem,tamb"m, encontrar nesta leitura algo que lhes se$a enriquecedor porque trato alguns temas queso quase sempre ignorados no ensino curricular convencional da mec+nica qu+ntica.

* mec+nica qu+ntica possui um excelente formalismo, cu$as predi1es t2m sido verificadasexperimentalmente com surpreendente preciso, por"m falta!lhe uma interpretao satisfat'ria.o se sabe o que significam exatamente todos os smbolos que aparecem neste formalismo.(sta situao, " ilustrada sem exagero pelo obel, 3. /e4nman ao dizer que %ningu"m entendea mec+nica qu+ntica%. -sto se refere ao fato de que os livros!texto, com algumas exce1es,deixam de lado os aspectos conceituais que buscam a interpretao para esta teoria.

3etomando o ttulo inicial# 5ara que fsica qu+ntica6 5or que considero importante que umaparte significativa da populao tenha algum conhecimento da fsica qu+ntica6

7o perguntas de se esperar encontrar, pois a mesma estuda sistemas fsicos que esto muitodistantes de nossa percepo sensitivo!sensorial. 5or isso mesmo, o comportamento de taissistemas no interv2m, ao menos diretamente, nos procedimentos dirios dos nossos atos.5ara $ustificar a ci2ncia bsica e sua divulgao recorre!se com freq82ncia s suasconseq82ncias tecnol'gicas. o caso da mec+nica qu+ntica, a lista " enorme.

* mec+nica qu+ntica permitiu o desenvolvimento de materiais semicondutores para afabricao de componentes eletr9nicos cada vez menores e mais eficazes, usados emcomputao. (la permitiu um melhor conhecimento do ncleo dos tomos abrindo o campopara mltiplas aplica1es em medicina e gerao de energia el"trica. * mec+nica qu+ntica per!mitiu conhecer melhor o comportamento dos tomos e mol"culas, fato de enorme import+nciapara a qumica. *s futuras aplica1es da supercondutividade, fen9meno cu$o estudo "

impossvel sem a mec+nica qu+ntica, esto al"m de toda imaginao.*ssim podemos continuar falando sobre esta ci2ncia bsica por suas conseq82ncias

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tecnol'gicas e $ustificar sua divulgao mostrando a todos que devem conhecer to grandeconquista. )as, tomemos cuidado, as excelentes ferramentas que da surgem no tornam o serhumano mais feliz e mais livre. & s' lembrar de Chernob4l, 7eveso. o " necessriomencionar a monstruosa estupidez das armas qumicas, nucleares e convencionais, para p9rem dvida se a tecnologia gerada pela ci2ncia tem sido boa para a humanidade.

o " minha inteno analisar se a ci2ncia bsica " ou no responsvel pelas conseq82nciasda tecnologia que gerou. :asta mencionar que a tecnologia no " uma boa $ustificativa para aci2ncia, pois os mesmos argumentos que pretendem demonstrar que " %boa% podem utilizar!separa provar o contrrio. Considero que pretender $ustificar a ci2ncia bsica " um falso problemadesde que a ci2ncia no pode no!existir; surge de uma curiosidade intrnseca ao ser humano.e fato, um fen9meno fascinante da historia da cultura " que as revolu1es culturais e as

linhas de pensamento t2m seus paralelos em diferentes aspectos da cultura. (xistemsemelhanas estruturais entre as revolu1es artsticas, cientficas e filos'ficas. 5or exemplo,3ichard ?agner libera a composio musical dos sistemas de refer2ncia representados pelasescalas, da mesma forma que (instein libera as leis naturais dos sistemas de refer2ncia es!paciais.

* teoria de campos qu+nticos " filosoficamente materialista ao estabelecer que as foras eintera1es no so outra coisa que o interc+mbio de partculas. @ estruturalismo dosantrop'logos e ling8istas no " outra coisa que a teoria de grupos dos matemticos, quetamb"m fez furor na fsica dos anos sessenta e setenta. * msica de *nton ?ebern poderia serchamada msica qu+ntica. 7e bem que se$a improvvel uma causalidade direta entre estasid"ias e movimentos, " difcil crer que as semelhanas se devam exclusivamente ao acaso.0ualquer que se$a o motivo para estas correla1es, o conhecimento da revoluo qu+ntica, que

est em andamento, pode revelar aspectos e estruturas ocultos em outros terrenos do lastrocultural.

=ma conseq82ncia interessante de divulgar a mec+nica qu+ntica " a de conectar o ser humanocom sua hist'ria atual. Talvez ignoremos as principais caractersticas do momento hist'rico queestamos vivendo porque se encontram veladas pelas mltiplas quest1es cotidianas quepreenchem os espaos dos meios de difuso. 0uando ho$e pensamos na -dade )"dia,imaginamos seus elementos caractersticos, as catedrais g'ticas, as cruzadas e outros fatosdiferenciais. @ 3enascimento nos lembra o colorido da pintura italiana da "poca. * hist'riabarroca est gravada pelas fugas de :ach.

Contudo, o homem que viveu em tais perodos hist'ricos, seguramente, no era consciente dapintura do 3enascimento nem da msica barroca. 5rovavelmente estava preocupado com a

colheita deste ano, ou se seu cavalo ficou atolado no barro, ou pelo perigo de conflito entre oprncipe de seu condado e o do vizinho, ou pelos bandidos que se escondiam no bosque.

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ingu"m sabe com certeza quais sero as caractersticas determinantes de nossa "poca. 7emdvida, no sero as notcias que aparecem todos os dias nos noticirios. )as podemosafirmar que a ci2ncia ser uma delas e, entre as ci2ncias, a mec+nica qu+ntica tomar umpapel importante $ que sobram dados que indicam a nova revoluo qu+ntica que se estperfilando. (sta divulgao pretende, ento, conectar o homem contempor+neo com algo que o

futuro assinalar como um evento caracterstico da historia que estamos construindo.Talvez a motivao mais importante para divulgar a teoria qu+ntica se$a o prazer est"tico quebrinda o conhecimento em si, sem $ustificativas. (ssa necessidade que temos de aprender ecompreender. (ssa curiosidade cientfica que est na base de todo conhecimento. @ amor aoconhecimento ", sem dvida, a motivao fundamental.

* meta principal que se quer alcanar com estes artigos " a divulgao da mec+nica qu+ntica.(mbora, nela participem conceitos que foram herdados da mec+nica clssica e, ainda queambas se contradigam no essencial, compartilham muitas estruturas matemticas e conceitos.& por isto que o leitor encontrar aqui numerosas id"ias e conceitos que se originam da fsicaclssica, mas que sero necessrios para uma apresentao compreensvel da mec+nicaqu+ntica. (xistem numerosos livros de divulgao da fsica qu+ntica de variada qualidade.

)inha seo pretende diferenciar!se de todos eles por no assumir um enfoque hist'rico dotema, apresentando de forma compreensvel os conceitos atuais, sem adentrar os tortuososcaminhos que levaram ao conhecimento que ho$e se tem do fen9meno qu+ntico. Tal enfoque "vanta$oso porque, contrariamente ao que acontece com a teoria da relatividade de (instein, ahist'ria da mec+nica qu+ntica ainda no acabou. *o longo de seu desenvolvimento, a fsicaqu+ntica penetrou em vrios becos sem sada e em caminhos pantanosos sem meta certa quelhe deixaram numerosos conceitos pouco claros. * no exist2ncia de uma interpretaouniversalmente aceita, apesar das formidveis conquistas de seu formalismo, indica que afsica qu+ntica est ainda em ebulio.

* deciso de dar um enfoque conceitual e no hist'rico, permite excluir longos discursos. 7e$asobre ondas e partculas, radiao do corpo negro, tomo de :ohr, fun1es de ondas, difrao

de mat"ria. Tais temas so comuns a todos os livros de divulgao com enfoque hist'rico, queem certo sentido, pode ser considerado como complementar ao nosso.

osso plano " comear definindo o sistema fsico, motivo de estudo de toda teoria fsica,podendo!se ver a estrutura geral das mesmas# o formalismo e a interpretao.

@ comportamento dos sistemas qu+nticos " difcil de se compreender ao pretendermos faz2!lobaseados em nossa intuio. o confronto entre a mec+nica qu+ntica e a intuio seapresentam duas alternativas# AB ou, abandonamos a teoria qu+ntica, AD ou, educamos emodificamos nossa intuio.

(videntemente elegemos a segunda. 5or este motivo, depois de haver apresentado as ob!serva1es bsicas dos sistemas fsicos e de classific!los, se dar 2nfase em preparar o leitor,

em um terceiro momento, para que possa p9r em dvida a sua acostumada infalibilidade daintuio. Eencida esta meta, poder apreciar a beleza escondida no comportamento dossistemas qu+nticos e gozar da vertigem que produzem as ousadas id"ias que aparecem nateoria qu+ntica.

=m pr2mio obel em fsica expressou certa vez estar vivendo uma "poca fascinante da hist'riada cultura porque um questionamento filos'fico bsico poderia ho$e ser resolvido em umlaborat'rio de fsica. @utro fsico batizou com a denominao de %filosofia experimental% parase referir a tais experimentos.

5ossivelmente estas afirma1es se$am algo exageradas pelo entusiasmo, mas " inegvel queo debate da mec+nica qu+ntica e certos debates filos'ficos tenham se fundido desta vez noterreno da fsica e no, como antes, no da filosofia. 5or este motivo veremos, tamb"m, os

conceitos filos'ficos relevantes para a teoria qu+ntica.

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aula 2

$iste#as %sicos& For#alis#o e Interpreta'(o

*inda que este$amos seguros do conceito intuitivo que se tem de um sistema fsico, conv"mbuscarmos uma definio precisa, pois de sua anlise surgiro alguns elementos importantes.

>eixando para mais adiante a questo da exist2ncia ou no de um mundo externo nossaconsci2ncia e supondo que algo externo a n's, ao que chamamos %realidade%, existe, pode!sedefinir o sistema fsico como uma abstrao da realidade que se faz ao selecionar da mesmaalguns observveis relevantes. @ sistema fsico est composto, ento, por um con$unto deobservveis que se elegem em forma algo arbitrria.

=m exemplo desta definio. Tomemos uma pedra. * simples observao revela que arealidade da pedra " complexa# possui uma forma pr'pria; sua superfcie tem uma texturaparticular; seu peso nos indica uma quantidade de mat"ria; notamos que sua temperaturadepende de sua recente interao com seu meio ambiente; pode estar posicionada emdiferentes lugares e mover!se e girar com diferentes velocidades; sua composio qumica "muito ampla, contendo um grande nmero de elementos, entre os quais o silcio " o mais

abundante; uma anlise microsc'pica revelar que est formada por muitos domniospequenssimos em cu$o interior os tomos integram uma rede cristalina regular; a pedra podeesconder algum inseto petrificado h milhares de anos; at" chegar a nossas mos, teve umahist'ria que lhe deixou traos; ainda que se$a altamente duvidoso, nenhuma observao ouraciocnio nos permite afirmar com certeza que a pedra no tenha consci2ncia de sua pr'priaexist2ncia e por a vai.

Eemos que a realidade da %simples% pedra " muito complexa, com caractersticas que delaparticipam, sem prioridades. Contudo, quando um fsico estuda a queda livre dos corpos etoma uma pedra como exemplo, de toda essa complexa realidade seleciona somente sua posi!o e velocidade. *ssim, o fsico define um sistema fsico simples. *s demais caractersticasforam declaradas irrelevantes para o comportamento fsico do sistema, se bem que algumaspodem ser includas nele segundo as necessidades.

5or exemplo, podemos incluir a forma e a rugosidade da superfcie da pedra se dese$amosestudar o atrito com o ar durante a queda, mas se sup1e que a hist'ria da pedra no afetaresta ao.

@ exemplo apresentado p1e em evid2ncia que " um erro identificar o sistema fsico com arealidade; nosso sistema sensitivo!sensorial nos informa rapidamente disso, porque perce!bemos que a pedra " algo mais que sua posio. * percepo sensorial nos protege. Contudo,os sistemas fsicos que se estudam com a mec+nica qu+ntica no t2m um contato direto comnossos sentidos e dita proteo " desativada. 7eria um equvoco se afirmssemos que osistema fsico composto por um tomo de hidrog2nio ou um el"tron abarca necessariamente atotalidade da realidade dos mesmos.

o podemos estar seguros de no haver omitido em nossa seleo do sistema fsico algumapropriedade relevante da realidade que ainda no tenha se manifestado ao nosso estudo ouque nunca o far. (stas considera1es so importantes para conceber a possibilidade decertas interpreta1es da mec+nica qu+ntica, onde estas propriedades, relevantes, mas noconhecidas Aou no conhecveis, levam o nome de %variveis ocultas%, que trataremos maisadiante.

@ conceito de %observvel% que aparece na definio de sistema fsico surgir inmeras vezesem nossos artigos. Como o nome indica, um observvel " uma qualidade susceptvel de serobservada. )as em fsica " necessrio ser um pouco mais preciso# um observvel " umaqualidade da realidade qual existe um procedimento experimental, a medio, cu$o resultadopode ser expresso por um nmero.

(sta definio " suficientemente ampla para abarcar a todos os observveis que participamnos sistemas fsicos, mas exclui muitas qualidades que em outros contextos podem ser

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qualificadas como observveis. 5or exemplo, um matiz de cor em um quadro de :otticelli "%observvel% porque existem formas de caracteriz!-o mediante certos nmeros, tais como asintensidades e freq82ncias de luz absorvida ou refletida, mas a beleza do %ascimento da5rimavera% de :otticelli no seria observvel. @ som que surge de um violino 7tradivarius "observvel no sentido do fsico, mas a emoo que este som transmite no o ".

& o que se chama em /ilosofia da )ente de %qualia%.-sso no significa que o fsico se$a insensvel beleza ou que no sinta emo1es. *o contrrio," possvel demonstrar que $ustamente a busca de beleza e harmonia foi um dos principaismotores na gerao de novos conhecimentos na hist'ria da fsica. 3. /e4nman nos lembra quepode haver tanta beleza na descrio que um fsico faz das rea1es nucleares no 7ol como aque h na descrio que um poeta faz do p9r!do!7ol.

@s observveis de um sistema fsico sero designados neste escrito por uma letra *, : etc.Consideremos um observvel qualquer * e suponhamos que se realizou o experimentocorrespondente para observ!-o, o qual teve como resultado um nmero que designamos pora. @ observvel * tem assinalado o valor a, evento que ser simbolizado por * F a, e que serdenominado uma %propriedade do sistema%.

Tomemos, por exemplo, uma partcula que se move ao longo de uma reta Aalgu"m caminhandopela rua. 5ara este sistema fsico simples, a posio relativa a algum ponto eleito comorefer2ncia " um observvel que podemos designar com G. =ma propriedade deste sistemafsico " G F H metros, que significa que a posio da partcula " de H metros desde a origemeleita. >o mesmo modo, se E " o observvel correspondente velocidade da partcula, umapropriedade pode ser E F I metros por segundo. @ leitor pode assombrar!se de que senecessite tanta preciso para dizer coisas mais ou menos triviais como que a posio " tal eque a velocidade " qual, mas veremos mais adiante que isto no " em vo.

3esumimos#

@ sistema fsico est definido por um con$unto de observveis *, :, C... 5ara cada um deles sedefine um con$unto de propriedades * F aB, * F aD, * F aJ... : F bB, : F bD..., que representamos possveis resultados da observao experimental das mesmas.

>iz!se anteriormente que o sistema fsico no " mais que uma abstrao da realidade e,portanto, um e outra no devem ser confundidos. Contudo, uma das caractersticas fascinantesda fsica consiste em que esta mera aproximao brinda uma perspectiva sumamenteinteressante da realidade que pode ser estudada em detalhe com teorias fsicas at" revelarseus segredos mais profundos. 5or um lado deve!se ser modesto e lembrar que o fsico s'estuda uma parte, uma perspectiva da realidade, mas, por outro lado, pode!se estar orgulhosodo formidvel avano que este estudo possibilitou ao conhecimento das estruturas ntimas domundo externo nossa consci2ncia do que chamamos realidade.

@ estudo dos sistemas fsicos se faz por meio de teorias fsicas cu$a estrutura analisaremos.)as antes vale a pena mencionar que tais teorias permitem fazer predi1es sobre ocomportamento dos sistemas fsicos, e que podem ser comparadas mediante experimentosfeitos na realidade. Como na hist'ria da fsica os experimentos nem sempre confirmaram aspredi1es feitas pelas teorias fsicas, isto motivou modifica1es nas mesmas ou a incluso denovos observveis nos sistemas fsicos. 5or sua vez, as novas teorias fsicas permitiram novaspredi1es que requeriam novos experimentos, acelerando uma espiral vertiginosa onde oconhecimento fsico aumenta exponencia-mente.

*o intrincado enlace entre a teoria e o experimento, onde o conhecimento gera maisconhecimento, se alude quando se diz que o m"todo da fsica " te'rico!experimental. -sto queho$e nos parece elementar no foi sempre assim na historia, $ que o m"todo te'rico!experimental comeou a ser aplicado em princpios do s"culo GE--, nessa maravilhosa "poca

de Kepler, Lalileu, >escartes, 5ascal, 7haMespeare e Cervantes, em que a cultura comeou aacelerar!se vertiginosamente.

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*t" ento, e desde a Lr"cia *ntiga, a fsica havia sido puramente especulativa e estavatomada de argumentos teol'gicos e de pr"!$uzos que estancaram seu avano. (xperimentosto simples como o da queda dos corpos, ao alcance de qualquer um, foram realizados emforma sistemtica somente em BNOO, rompendo o pr"!$ulgamento intuitivo que sugere que omais pesado cai mais rpido. Po$e, quatro s"culos depois, muita gente de elevado nvel cultural

compartilha ainda esse pr"!conceito. >este fato assombroso pode!se tirar conclus1esinteressantes sobre a deficiente formao em fsica da populao e sua incapacidade paraobservar o fen9meno cotidiano com uma viso de fsico.

Todas as teorias fsicas constam de duas partes# formalismo e interpretao. & importantemencionar isso porque, como veremos mais adiante, a mec+nica qu+ntica " uma teoria quetem um excelente formalismo, mas carece de uma interpretao universalmente aceita.

5ara compreender bem o significado destas partes consideremos, por exemplo, o sistemafsico correspondente ao movimento de um corpo submetido a certas foras conhecidas. ossapercepo sensorial nos indica alguns conceitos bsicos que participaram no sistema fsico# aposio do corpo, seu movimento ou velocidade e acelerao, a quantidade de mat"ria docorpo, e tamb"m inclumos um conceito mais ou menos intuitivo do que " a fora. (stes

conceitos bsicos so bastante imprecisos, mas apesar disso, os combinamos em rela1esconceituais que t2m originalmente uma forma verbal e correspondem a pr"!$uzos, intui1es eobserva1es qualitativas que se revelaram algumas corretas e outras falsas, tais como# %paramanter um corpo em movimento " necessrio lhe aplicar uma fora% Afalso ou %maior fora,maior acelerao% Acorreto. 3apidamente se encontram as limita1es que implica umaformulao verbal destas rela1es conceituais# impreciso, impossibilidade de comprovar suavalidez por meio de experimentos quantitativos, ambig8idade no significado etc. *parece anecessidade de formalizar, ou se$a, de matematicizar a teoria.

5ara isso se associa a cada conceito bsico um smbolo matemtico, o qual representa ospossveis valores num"ricos que lhe assinalam segundo o resultado de um procedimentoexperimental de medio. 5or exemplo, quantidade de mat"ria se assinala o smbolo m cu$ovalor se obt"m com uma balana comparando o corpo em questo com outros corpos definidos

convencionalmente como padr1es de medida.Com estes smbolos, as rela1es conceituais se transformam em equa1es matemticas quepodem ser manipuladas com o formidvel aparato matemtico nossa disposio. (stasmanipula1es sugerem a criao de novos conceitos, compostos a partir dos conceitosbsicos, para interpretar as novas equa1es obtidas.

* teoria adquiriu um formalismo. (m nosso exemplo, massa, posio, velocidade, acelerao efora, so representadas por m, x, v, a, f, respectivamente, e relacionadas entre si porequa1es do tipo f F ma. estas equa1es aparecem a mido as quantidades mv e mvDQD, oque sugere interpret!las consignando!lhes o conceito de impulso e energia cin"tica. (m umadireo, os conceitos so formalizados quando lhes assinalamos um smbolo matemtico, e,em outra, os smbolos matemticos so interpretados ao assinalar!lhes um significado que

corresponde a alguma caracterstica do sistema fsico. @ con$unto formado pelos smbolos e asrela1es matemticas que os combinam constitui o formalismo da teoria, e os conceitos que lhedo significado a todos os smbolos so a interpretao da mesma.

-nterpretao

Conceitos bsicosConceitos compostos7ignificados de smbolos3ela1es conceituais

/ormalismo

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7mbolos matemticos(struturas(qua1es3ela1es matemticas

* mec+nica qu+ntica ocupa um lugar nico na hist'ria da fsica por ter um formalismoperfeitamente definido e vitorioso para predizer o comportamento de sistemas fsicos tovariados como partculas elementares, ncleos, tomos, mol"culas, s'lidos cristalinos,semicondutores e supercondutores etc., mas, apesar dos s"rios esforos feitos durante maisde meio s"culo por cientistas de indubitvel capacidade tais como :ohr, Peisenberg, (instein,5lancM, >e :roglie, 7chrRdinger e muitos outros, no se conseguiu ainda que todos ossmbolos que aparecem no formalismo tenham uma interpretao sem ambig8idades e se$amuniversalmente aceitas pela comunidade cientfica. Eeremos alguns aspectos do formalismo damec+nica qu+ntica e os graves problemas de interpretao que a acusam. Como exemplo do2xito deste formalismo para predizer os resultados experimentais, mencionemos aqui seugrande feito.

* mec+nica qu+ntica, em uma verso relativista chamada eletrodin+mica qu+ntica, permite

calcular o momento magn"tico do el"tron com a preciso suficiente para confirmar o valorexperimental dado por S F B.OOBBHNHDBJ S:. * incerteza experimental " de BO nas duas lti!mas cifras. @ el"tron pode ser considerado como um pequenssimo im, sendo o momentomagn"tico o observvel associado a essa propriedade, e ao que se mede nas unidadesexpressas por S: , o magneto de :ohr.

5ara ilustrar a assombrosa preciso no valor te'rico e experimental do momento magn"tico doel"tron, consideremos que o mesmo " conhecido com um erro de uma parte em BO BO, ou se$a, Bem BO.OOO milh1es. enhuma teoria na hist'ria da ci2ncia foi confirmada com tal precisonum"rica. Contudo, apesar deste 2xito, a mec+nica qu+ntica no pode considerar!se comodefinitivamente satisfat'ria enquanto dela no se obtiver uma interpretao que permitacompreender todas as partes essenciais de seu formalismo. 7eguramente est se realizandoalgo de bom, mas no se sabe bem o que ".

aula )

*bser+,+eis cine#,ticos e din#icos& # %sica h, a'(o e ener.ia& Classi%ica'(o dossiste#as %sicos e dos li#ites da intui'(o

*t" agora os observveis do sistema fsico e das propriedades associadas foram apresentadosem forma abstrata. este artigo insistirei em um con$unto de observveis de grandeimport+ncia para a descrio dos sistemas fsicos. 7o eles# as coordenadas generalizadas, osimpulsos can9nicos, a energia e a ao. (m continuao definirei escalas caractersticas paratodos os sistemas fsicos, o que permitir estabelecer uma classificao dos mesmos e assim

definir os graus de aplicao das diferentes teorias fsicas disponveis para seu estudo. estecontexto " fundamental determinar os limites de validez de nossa intuio quando ela se aplicaaos sistemas fsicos.

@ conceito de posio dos ob$etos no espao " formalizado nos sistemas fsicos com oobservvel de posio G ao qual se assinalam valores que correspondem dist+ncia do ob$etoa certos pontos ou eixos eleitos convencionalmente, e que recebe o nome de %coordenada%.


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liberdade% do mesmo.

os exemplos anteriores, as coordenadas eram dist+ncias a pontos ou eixos. 5ara certossistemas fsicos " conveniente eleger coordenadas que correspondem a +ngulos que fixamdire1es, referidas a uma direo dada. @ estado de uma biruta que indica a direo do ventose caracterizar mais naturalmente com um +ngulo. @ mesmo sucede com a posio de todo

sistema fsico onde a rotao se$a relevante.>enominam!se coordenadas generalizadas aos observveis Adist+ncias, +ngulos, o que se$aeleitos para determinar sem ambig8idade a posio ou localizao do sistema fsico. * estesobservveis os designamos com as letras 0B, 0D, 0a,... 0M.

ossa experi2ncia nos indica que os valores associados s coordenadas variam com o tempo.7e para uma partcula em movimento ao longo de uma linha temos em um instante apropriedade G F H m, em algum instante posterior poderemos ter a propriedade G F I m. -stosignifica que, associado a cada coordenada, podemos definir outro observvel# a velocidadecom que muda o valor assinalado coordenada. 5or exemplo, se E "o observvel, o sistemafsico definido pode ter a propriedade E F D metros por segundo. 7e a coordenada em questo" um +ngulo, a velocidade associada ser uma velocidade angular de rotao. * velocidade "

uma quantidade essencialmente cinemtica, pois se refere descrio espao!temporal domovimento.

@ formalismo da mec+nica clssica nos ensinou que a velocidade associada a umacoordenada " relevante, mas muito mais o " uma quantidade que depende da velocidade etamb"m da quantidade de mat"ria que se encontra em movimento. =m mosquito que avana aNO MmQh no " o mesmo que uma locomotiva a essa velocidade. >efine!se, ento, o impulsocomo o produto da velocidade pela massa 5 F m E. (sta " uma quantidade din+mica !vinculada s causas que originam o movimento !, cu$o valor se conserva quando nenhumafora atua e cu$a mudana temporal depende da fora aplicada na direo indicada pelacoordenada. 7e a coordenada " um +ngulo, o impulso associado ser a velocidade angularmultiplicada por uma quantidade que indica a in"rcia ou resist2ncia que op1e o corpo a serrodado com maior velocidade.

Leneralizamos isto dizendo que, para cada coordenada generalizada, se define umaquantidade din+mica chamada impulso cannico, que indicamos pelas letras 5B, 5D, 5a,... 5M ,e que est relacionado com a velocidade e com a in"rcia ou resist2ncia que o sistema op1e smudanasde dita velocidade. *s coordenadas generalizadas 0B, 0D, 0a,... 0M, e os impulsoscan9nicos correspondentes 5B, 5D, 5a,... 5M, so observveis que participam na descrio dacinemtica e din+mica do sistema fsico.

* meta da mec+nica clssica " determinar como variam com o tempo as propriedadesassociadas a todas as coordenadas e impulsos simultaneamente. 5ara propor as equa1esmatemticas que permitem alcanar esta meta " de grande utilidade definir duas quantidadesque dependem de todas as coordenadas e impulsos do sistema fsico, a saber# a energia e aao. *mbas as quantidades tamb"m so importantes em nosso caso, apesar de que, como

veremos mais adiante, a meta proposta para a mec+nica clssica seria inalcanvel para amec+nica qu+ntica.

Todo corpo em movimento possui uma quantidade de energia devido ao mesmo movimento,que se denomina %energia cin"tica%. 0uando um corpo choca contra algum ob$eto e se det"m,libera sua energia cin"tica, a qual fica de manifesto nos danos e deforma1es produzidos. (staenergia pode ser incrementada pela ao de uma fora, que efetua um trabalho e aumenta avelocidade do corpo. 7e no se aplica nenhuma fora, a energia cin"tica, como o impulsotamb"m, mant"m seu valor constante. (m geral, a energia cin"tica se expressamatematicamente como uma funo que depende de todas as velocidades associadas a todasas coordenadas generalizadas. )ais adequado " express!la como funo dos impulsoscan9nicos.

*l"m disso, da energia cin"tica ou do movimento, que " fcil de imaginar, existe outra forma deenergia algo mais abstrata que se chama %energia potencial%. & a energia, ainda no realizada,

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que existe nas foras aplicadas ao corpo e que eventualmente se transformar em energiacin"tica.

5ara ilustrar a relao entre estas duas formas de energia, consideremos um p2ndulo queoscila subindo e baixando pela ao de seu peso, isto ", da fora de gravidade. Xembremosnossa inf+ncia, quando nos balanvamos no parque dominando esse sistema fsico que " o

p2ndulo. o ponto mais baixo do p2ndulo corresponde a mxima velocidade. 5ortanto, aenergia cin"tica " mxima. este ponto, a fora, ou se$a, o peso " perpendicular ao movimentoe no pode produzir!se nenhuma mudana em seu valor. *li comeamos a elevar!nos,%carregando% de energia potencial fora de atrao da Terra e diminuindo a energia cin"tica.-sto continua at" chegar ao ponto mais alto do p2ndulo, onde o movimento se det"m; a energiacin"tica transformou!se totalmente em potencial, a que novamente comear a transformar!seem cin"tica ao iniciar a queda com velocidade crescente. o p2ndulo, a energia vai mudandoem forma peri'dica entre cin"tica e potencial, permanecendo a soma de ambas constante emtodo o processo. * energia potencial, que neste exemplo est associada coordenada %altura%,ser, em geral, dependente de todas as coordenadas do sistema fsico.

@ conceito de energia se formaliza na mec+nica clssica pela funo chamada hamiltoneana,que se obt"m somando a energia cin"tica mais a potencial associada a todas as coordenadas

generalizadas e impulsos can9nicos do sistema fsico. * partir desta funo se obt"m namec+nica clssica as equa1es chamadas %de Pamilton%, que determinam o comportamentotemporal de todas as posi1es e impulsos, relacionando as varia1es temporais das mesmascom a variao hamiltoneana com respeito s coordenadas e impulsos. (m outras palavras, oconhecimento hamiltoneano nos permite alcanar a meta proposta para a mec+nica clssica.

5elo visto, a energia tem um papel de fundamental import+ncia na fsica. @s fsicos se sentemultra$ados quando esse belssimo conceito " manuseado e desvirtuado por pseudo!cientificismos que o adotam para dar!lhe algum brilho a suas charlatanices roubando oprestgio que o mesmo tem na fsica. 0uando se fala de energia das pir+mides, quando seaplica parapsicologia, astrologia, telecinesia e outros inumerveis esoterismos e enganos quese alimentam da ignor+ncia do povo, os fsicos reclamamos a aus2ncia de leis que penalizem o%exerccio ilegal da fsica%.

@ outro conceito que determina a din+mica dos sistemas fsicos " o da ao. (sta quantidadepode expressar!se em vrias formas equivalentes que envolvem uma evoluo temporal ouespacial do sistema. (ntre a energia e a ao existe uma diferena importante. * energia sepode expressar como uma funo generalizada de todas as coordenadas e de seus impulsoscan9nicos correspondentes em qualquer instante. Xembremos que o impulso can9nicoassociado a uma coordenada " a varivel din+mica relacionada %velocidade% de variao dacoordenada em questo e resist2ncia mudana na mesma. * ao no depende do valorinstant+neo que tomam as coordenadas e os impulsos, mas, pelo contrrio, depende de todosos valores que estes tomam durante um processo de evoluo do sistema que pode estardefinido entre dois instantes dados. * ao ", ento, uma quantidade global, caracterstica daevoluo temporal e espacial do sistema e no do estado instant+neo e local do mesmo. odarei aqui a expresso matemtica para a ao, porque no ser necessria para as nossas

metas.7omente " importante ressaltar que cada coordenada 0Kcom seu impulso can9nico associado5Kcontribui para a ao em uma quantidade que podemos aproximar mediante o produto da%dist+ncia% Y0Krecorrida pelo sistema em sua evoluo pelo impulso m"dio Z5K[. *l"m destascontribui1es, a energia do sistema contribui em uma quantidade que tamb"m podemosaproximar mediante o produto do tempo YTde evoluo pela energia m"dia. 5ara alcanar ameta da fsica clssica, que, como $ se mencionou, " obter a depend2ncia temporal do valorde todas as coordenadas e impulsos, a partir da ao, " necessrio postular o famoso princpioda mnima ao Aprincpio de Pamilton, o qual estabelece que as coordenadas e impulsoscomo fun1es do tempo, 0MAte 5MAtsero tais que a ao adquira um valor mnimo.

\ mido, fsicos e matemticos utilizam palavras que t2m um significado usual na linguagem

comum para nomear conceitos com significados precisos em suas teorias. onecessariamente ambos os significados so compatveis, o que pode gerar confuso. 5or

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exemplo, aos quarks, partculas elementares que formam os pr'tons, n2utrons e outraspartculas, lhes assinalam certas propriedades chamadas %cor% e %sabor% que, evidentemente,nada t2m em comum com o sabor e cor de uma fruta. @s matemticos falam de nmeros%naturais%, que no so nem mais nem menos naturais que os outros. @s nmeros %reais% noso atributos de reis nem t2m mais realidade que os %complexos%, os quais, por sua vez, noso mais complicados que os demais.

* palavra %ao% tem um significado bastante claro na linguagem comum e " natural perguntar!se se este significado " compatvel com o conceito fsico que nomeia. *contece que o nome "bastante adequado porque, tamb"m em fsica, designa a capacidade que o sistema tem demodificar seu entorno e de inter!atuar com outros sistemas fsicos. =m sistema fsicocaracterizado em sua evoluo por um valor grande de ao pode modificar fortemente aoutros de pequeno valor sem sofrer grandes altera1es. @ $ogo de t2nis " possvel porque os$ogadores esto caracterizados por valores de ao muito grandes comparados com o da bola.A@s el"trons se repelem porque t2m cargas el"tricas de igual sinal, mas tamb"m se pode dizerque o fazem porque pretendem $ogar o t2nis com f'tons. @ $ogo no dura muito tempo porque,ao ser a ao dos %$ogadores% equiparvel ao da %bola%, aqueles so repelidos. * energiatotal Acin"tica mais potencial ou a ao fixam a din+mica dos sistemas fsicos. a mec+nicaclssica permitem calcular a depend2ncia temporal de todas as coordenadas generalizadas e

de seus impulsos can9nicos.* variedade e o nmero de sistemas fsicos a estudar " enorme. & to grande a variedade eso to grandes as diferenas entre os sistemas que podemos duvidar de que uma s' teoriafsica possa trat!los a todos. 5ara ter uma noo dos mltiplos sistemas fsicos " tilestabelecer uma classificao dos mesmos. )as com que crit"rios6 @ primeiro que seapresenta " classificar os sistemas fsicos em %pequenos e grandes% ou, mais precisamente, deacordo com uma escala espacial G que corresponde extenso que o sistema abarca.

@ sistema fsico mais extenso que podemos pensar " simplesmente todo o universo fsico, comuma escala espacial de G F BOBOanos!luz ABOBOF BO.OOO.OOO.OOO. =m ano!luz " a dist+nciaque percorre a luz em um ano, ] BOBNmetros. *s galxias, con$untos de muitos milh1es de s'is,esto caracterizadas por uma escala espacial de muitos milhares de anos!luz, e ao sistema

solar lhe podemos assinalar como escala espacial seu di+metro, na ordem dos BOBDmetros.*queles sistemas fsicos com os quais o ser humano estabelece um contato direto atrav"s deseus sentidos t2m uma escala espacial em torno de um milmetro a um quil9metro. *baixo distoencontramos escalas microsc'picas para sistemas biofsicos, e chegamos s mol"culas etomos com escalas espaciais de BO!BOmetros, dimenso que leva o nome de *ngstrom e osmbolo ^ ABO!BOF BQBOBO. @s ncleos e as partculas elementares esto caracterizados porescalas espaciais de BO!BH metros AB fermi. (stes so os sistemas fsicos menores conhecidosho$e. Com os gigantescos aceleradores de partculas se pode sondar escalas at" de BO !Bmetros.

>a mesma forma que nos foi fcil classificar os sistemas fsicos segundo seu tamanho,tamb"m " possvel faz2!lo segundo uma escala temporal T, que corresponde ao tempo tpico

de evoluo, de transformao ou de estabilidade dos sistemas fsicos. *s partculaselementares e ncleos at9micos t2m tempos caractersticos entre BO!BOe BO!DOsegundos. *smol"culas e tomos se situam em uma escala temporal entre TF BO!Ne TF BO!segundos. *escala temporal do ser humano e dos ob$etos de sua experi2ncia sensorial pode situar!se emtorno do segundo ao s"culo. Tempos tpicos para o sistema solar sero de um ano; para asgalxias, muitos milhares de anos, e para todo o universo podemos eleger sua idade de BO !BOanos.

Classificamos aqui os sistemas fsicos segundo dois conceitos cinemticos de extenso erapidez de evoluo. (sta classificao " simples, mas forosamente incompleta, porque nocont"m informao sobre os conceitos din+micos que, como temos visto, so importantes paraa descrio dos sistemas fsicos. >evemos, ento, completar nossos crit"rios de classificaocom duas escalas din+micas# o impulso 5e a energia (, que correspondem aos valores tpicos

que se encontram nos sistemas fsicos para estas quantidades.

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Contamos, portanto, com quatro escalas G, T, 5, (para classificar todos os sistemas fsicos.(stas quatro escalas so claramente suficientes, mas, de certa forma, redundantes, porque,como veremos, somente com duas escalas, deduzidas das anteriores, obtemos umaclassificao completa que p1e em evid2ncia as diferenas essenciais entre os sistemasfsicos. (stas escalas so a velocidade e a ao. * primeira " cinemtica e a segundadin+mica.

=m sistema fsico com uma extenso G, e cu$as transforma1es se fazem em um tempo Testar caracterizado por uma velocidade E ]G Q T. (sta escala de velocidade se obt"mtamb"m combinando o impulso e a energia E ] ( Q 5. =m sistema fsico com energia (queevolui em um tempo tpico Testar caracterizado por um valor de ao * ](T, que tamb"m sepode obter considerando sua extenso G e seu impulso 5 #* ] G5. *s rela1es entre as quatroescalas iniciais AG, T, 5, (e as duas ltimas propostas se p1em em evid2ncia na /igura B.

G ____ T E ] G Q T ] ( Q 5 ACinemtica` `5____ ( * ] ( . T ] G . 5 A>in+mica

/-L=3* B. (scalapara classificar os sistemas fsicos.

7e classificamos todos os sistemas fsicos conhecidos de acordo com as escalas de velocidadee ao, nos enfrentamos com duas leis fundamentais da natureza s quais no se lhesconhece nenhuma exceo.

5rimeira Xei#(m nenhum sistema fsico a mat"ria ou a energia se move com velocidade superior ao valorlimite

c ]J.BOImetros por segundo Avelocidade da luz.

5ortanto# E c

7egunda Xei#a evoluo de nenhum sistema fsico a ao toma um valor inferior ao valor limite ]BO!JW$oules por segundo Aconstante de 5lancM.

5ortanto# *

(stas duas leis imp1em uma restrio aos possveis valores de velocidade e ao que podemrealizar!se na natureza. Contudo, os limites impostos foram descobertos no s"culo GG devido aque#

B a velocidade da luz " um valor relativamente grande comparado com as velocidades queusualmente percebemos, eD a constante de 5lancM " muito pequena comparada com a ao dos sistemas acessveis

nossa percepo sensorial.*s implica1es destas duas leis so enormes# a primeira foi o ponto de partida da teoria darelatividade de (instein, e a segunda " conseq82ncia da mec+nica qu+ntica.5ara classificar todos os sistemas fsicos segundo suas escalas de velocidade e ao "conveniente construir um diagrama com dois eixos perpendiculares. o eixo verticalassinalamos os valores da velocidade caracterstica dos sistemas a classificar e no eixohorizontal os correspondentes ao inverso da ao# -F B Q *, que podemos denominar %inao%.3egistramos o inverso da ao e no a ao porque a segunda lei, ao estabelecer um limiteinferior para esta, fixa um limite superior para aquela.

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a figura acima se pode ver esta construo, que designamos com o nome de %diagrama E ! -"Avelocidade!inao. este, cada sistema fsico estar representado por um ponto ou umapequena regio e as duas leis fundamentais implicam que os mesmos se posicionaro dentrode um ret+ngulo limitado pelos eixos e pelos valores#

%c% e %B Q %

& um sonho dos fsicos Aou um pre$uzo que em "poca pr'xima se desenvolva uma teoria

completa, no sentido de que contenha em seu formalismo uma representao para todos oselementos relevantes da realidade fsica, e concluda, no sentido de que todos os aspectos deseu formalismo tenham uma interpretao clara e sem ambig8idades, e que se$a aplicvel atodos os sistemas fsicos posicionados dentro do ret+ngulo do diagrama E!-, podendo predizercomportamentos que se corroborem experimentalmente. 5ara completar o sonho podemospedir, al"m disso, que esta teoria se$a de grande beleza, simples e de fcil divulgao.Tal sonho no se realizou ainda, mas existem boas aproxima1es teoria dese$ada que soaplicveis em certas regi1es parciais do diagrama E!-.

5ara apresentar estas teorias consideremos o ret+ngulo do diagrama dividido em quatroregi1es que correspondem velocidades muito menores que %c%ou pr'ximas a e-a, e a a1esmuito maiores ou pr'ximas a %%. @s limites entre estas quatro regi1es so difusos. 5ara aanlise e estudo dos sistemas fsicos que se posicionam na regio inferior esquerda do

diagrama E!-, ou se$a, para aqueles caracterizados por velocidades muito menores que avelocidade da luz e por uma ao muito maior que dispomos de uma teoria, a mec+nicaclssica A)C, que nasceu com Lalileu e eton no s"culo GE-- e se foi aperfeioando at"adquirir um formalismo de grande beleza e pot2ncia no s"culo G-G.

(sta teoria conta, al"m disso, com uma interpretao clara e sem ambig8idades e, no s"culoG-G, ningu"m supunha que fracassaria rotundamente quando fosse aplicada a sistemas fsicosposicionados fora da regio marcada por )C no diagrama. 5ensava!se que se haviaencontrado a teoria definitiva da fsica, sem suspeitar que o s"culo GG traria duas revolu1escientficas que fariam estremecer sua hegemonia.

* mec+nica clssica explicava desde o movimento dos planetas at" o comportamento dosob$etos menores acessveis a nossos sentidos. Com 2xito se estendeu a sistemas de muitas

partculas na mec+nica estatstica, termodin+mica e mec+nica de sistemas contnuos como osgases, fluidos e s'lidos. 5ensava!se que no havia mais que refinar os m"todos de clculopara explicar o comportamento de todos os sistemas fsicos. (ra uma "poca de grande

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soberba. >izia!se que conhecendo a posio e velocidade de todas as partculas do universopoderamos calcular sua posio at" o final dos tempos. 7omente alguns pequenos problemasopunham resist2ncia# no se podia explicar a distribuio de freq82ncia Acor da luz emitidapelos corpos quando se esquentam e tampouco se podia detectar o incremento na velocidadeda luz quando a fonte que a emite se move. * soluo a estes %pequenos% problemas gerariaduas grandes revolu1es paradigmticas# por um lado, a mec+nica qu+ntica e, por outro, a

teoria da relatividade.@s sistemas fsicos representados na regio marcada por )C3, ou se$a, aqueles de grandeao Ainao pequena, mas velocidades que se aproximam da luz, devem ser estudadoscom a teoria da relatividade que denomino aqui mec+nica clssica relativista A)C3. @s queesto caracterizados por ao pr'xima a e velocidades pequenas sero tratados com amec+nica qu+ntica A)0, que " a teoria que nos ocupa nesta seq82ncia de aulas. /inalmente,para os sistemas fsicos que requerem um tratamento qu+ntico e relativista, dispomos da me!c+nica qu+ntica relativista A)03 para seu estudo.

Considerando o formalismo e a interpretao destas quatro teorias, encontramos diferenassignificativas. *s duas teorias %clssicas%, )C e )C3, podem ser consideradas completas econcludas por ter um formalismo que abarca todas as propriedades do sistema fsico e porque

todos os elementos daquele possuem uma interpretao clara e sem ambig8idades. *l"mdisso, ambas as teorias se conectam em forma contnua entre si, porque tanto seus formalis!mos como suas interpreta1es coincidem no limite de considerar velocidade da luz %c%togrande, comparada com as velocidades do sistema fsico, que possa ser tornada infinita.-sto significa que se em qualquer f'rmula da )C3 tomamos o limite c, obt"m!se uma f'r!mula vlida em )C e, do mesmo modo, todos os conceitos de massa, velocidade, acelerao,fora, energia etc., coincidem neste limite.

Com respeito ao grau de validez de ambas as teorias se deve esclarecer que, se bem que a)C no se pode aplicar na regio )C3 do diagrama, a )C3 sim se pode aplicar na regio )Ccom resultados corretos. 5ode!se calcular o lento movimento do p2ndulo de um rel'gio com a)C3, ainda que com a )C chega!se mais facilmente a resultados suficientemente precisospara todos os fins prticos. @ mesmo sucede com os graus de aplicao da )0 e da )C. *

)0 " vlida na regio da )C, mas no o inverso, e torna!se bastante estranho, ainda quecorreto, calcular o p2ndulo do rel'gio com a )0. Contrariamente ao que sucede entre a )C3 ea )C, no existe entre )C e )0 uma transio suave para seus formalismos nem para suasinterpreta1es. * )0 conta com um belssimo formalismo, mas este no se transforma noformalismo da )C quando fazemos o limite O.

& certo, contudo, que as predi1es experimentais da )0 se conectam com as correspondentesda )C neste limite. Temos mencionado vrias vezes que a )0 no tem ainda umainterpretao definitiva, pelo que nem sempre est clara a relao entre o significado doselementos do formalismo da )0 com os conceitos da )C. * )03 ", em princpio, aplicvel atodos os sistemas fsicos do diagrama E!-.Contudo, esta teoria dista muito de ser a teoriasonhada pelos fsicos, $ que seus problemas de interpretao so, todavia, mais graves queos da )0 e, apesar dos formidveis avanos feitos nas tr2s ltimas d"cadas, seu formalismo

tem ainda s"rias dificuldades matemticas no resolvidas./inalizo a apresentao das diferentes teorias fsicas mencionando o posicionamento nodiagrama E!- do eletromagnetismo.(sta teoria estuda os campos el"tricos, magn"ticos e as ondas eletromagn"ticas. Contudo,pode considerar!se que o sistema fsico de estudo que lhe corresponde " o f'ton, partcula demassa zero que se move velocidade da luz, o que coloca esta teoria na linha superior dodiagrama E!-. *inda que se ignore sua origem, o eletromagnetismo acabou sendo uma teoriarelativista. Tampouco mencionamos a teoria da relatividade geral, necessria quando o sistemafsico em questo possui campos gravitacionais to intensos que modificam a geometriaeuclidiana introduzindo uma %curvatura% local. * rigor, para introduzir esta nova teorianecessitaramos uma nova dimenso no diagrama.

@ diagrama E!-nos permitiu classificar os sistemas fsicos e, em particular, definir a )0 fixandoseu grau de aplicao. *$uda!nos, al"m disso, apresentar um argumento de import+ncia para

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poder estudar a )0. otemos que no diagrama se posicionou uma figura humana na regio)C. -sto significa que todos os sistemas fsicos com os que o ser humano inter!atua, que soaqueles que vo formar nossa intuio, so sistemas clssicos. >e fato, nossa expectativa, oque intuitivamente esperamos do comportamento dos sistemas fsicos, se formou, ou foigerado, a partir do contato que temos atrav"s de nossa percepo sensorial com sistemasfsicos clssicos. )as sabemos que existem sistemas fsicos nos quais a teoria clssica

fracassa rotundamente; portanto, no devemos nos assombrar demasiado que a pr'pria intui!o tamb"m fracasse quando pretendemos aplic!la em tais casos.

>evemos estar preparados a tolerar que o estudo dos sistemas qu+nticos ou relativistas exi$a aaceitao de certos conceitos que podem ser altamente contrrios nossa intuio. 5orexemplo, o contato com os sistemas clssicos nos acostumou a somar as velocidades como sefossem nmeros# se lanamos uma pedra a DO MmQh de um veculo que se move a BO MmQh, avelocidade da pedra relativa ao solo ser DO BO F JO MmQh. )as se o veculo se move metade da velocidade da luz AO,Hce a pedra " um f'ton que via$a velocidade da luz, nossaintuio se equivocar ao predizer c O,Hc F B,Hc violando a lei fundamental E c.* intuioclssica nos diz que as fitas e rel'gios que usamos para medir dist+ncias e tempos soinvariantes absolutos para todos os observadores.

Contudo, a relatividade viola nossa intuio clssica ao propor que ao longo das fitas e operodo dos rel'gios variam segundo a velocidade que estes tenham. (sta contrao dasdist+ncias e dilatao do tempo tem sido confirmada, sem lugar a dvidas, em numerososexperimentos. @utro exemplo# o contato com sistemas clssicos nos acostumou a que umapedra est em um lugar ou no est ali; na mec+nica qu+ntica a um el"tron se lhe assinalauma probabilidade de estar em certo lugar que, em algumas ocasi1es, no " nem zero Anoest, nem um Aest, ou algum valor intermedirio.

* intuio " clssica por haver sido gerada em contato com sistemas fsicos clssicos. @estudo de sistemas relativistas ou qu+nticos requer adotar alguns conceitos contrrios intuio.

aula /

0# pouco de Filoso%ia Quntica

-ntroduo

7e perguntarmos a uma pessoa escolhida ao acaso se o mundo externo existe, o das rvores,casas, nuvens ou outras pessoas, provavelmente ela nos olhe com estranheza e comece aduvidar de nossa sade mental. 7e insistirmos com a pergunta# (xiste essa rvore6 ! passadoo assombro e o temor de ser vtima de alguma piada com uma c+mara oculta ! provavelmentenos responda# %& claro que sim, existe o a estou vendo6 *l"m disso, posso toc!la eprovocar rudo se a golpear. 5osso sentir o aroma de suas flores, o gosto de seus frutos. Claroque existe o pergunte bobagens%, e sair aborrecida pelo tempo perdido.

5or"m, responder $ustificadamente essa %bobagem% " um dos s"rios problemas da filosofia quetem dividido os pensadores em doutrinas irreconciliveis, surgidas em adotar diferentesrespostas pergunta da exist2ncia do mundo externo. *nalisemos este problema e algumascorrentes filos'ficas que dele emanam.

)as o que isso tem a ver com mec+nica qu+ntica6

)uito. *s diferentes posturas que se podem assumir a respeito do problema da exist2ncia domundo externo, considerando que o sistema fsico e suas propriedades so extrados dasuposta realidade do mesmo, so de fundamental import+ncia para se tentar desenvolver umainterpretao da mec+nica qu+ntica.

Eeremos que certos eventos implicam em uma tomada de posio definida referente aoproblema filos'fico exposto. 0uem o desconhea no poder apreciar as graves diferenas

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entre as mencionadas interpreta1es da mec+nica qu+ntica.

3etomemos os argumentos que a pessoa consultada deu para %demonstrar% a exist2ncia darvore. E2!la, toc!la, cheir!la, ouvi!la. Todas estas %provas% da exist2ncia da rvore fazemaluso percepo sensorial que se tem da suposta rvore. Eeremos, contudo, que asmesmas no demonstram sua exist2ncia, mas que, na melhor hip'tese, somente demonstram

a exist2ncia da percepo ou, mais precisamente, daquilo que :ertrand 3ussell chama, osdados sensoriais.

0uando afirmo %ve$o a rvore%, o que eu ve$o no " a rvore, mas um grande nmero de raiosde luz que se propagam da suposta rvore at" meus olhos. %Eer a rvore% no demonstra suaexist2ncia, apenas a somat'ria desses raios de luz. a obscuridade total, no se veria arvore, mas suponho que a mesma no deixa de existir. @u se$a, que %ver a rvore% no "equivalente que %a rvore existe%. 5ior ainda, %ver% tampouco demonstra a exist2ncia dosraios de luz, seno, talvez, a de uma imagem que se forma em minha retina depois que essesAsupostos raios de luz passam pela c'rnea e se combinam como em uma tela de cinema.

)as podemos continuar questionando. %Eer% faz aluso a certas vibra1es e excita1es decertas c"lulas fotossensveis, chamadas cones e bastonetes, que comp1em a retina. (, mais.

/az aluso a complexos sinais bioel"tricos que se propagam no interior das c"lulas do trato'ptico e que se transmitem por rea1es fsico!qumicas, que os neurobi'logos conhecem maisou menos bem. Continuando, ver " certa excitao de c"lulas de certa regio do c'rtexoccipital do c"rebro.

7uponho que este$amos convencidos de que %ver a rvore% no demonstra inequivocamenteque a rvore existe. 7itua1es nas quais vemos coisas que provavelmente no existem,abundam. >e noite contemplamos as estrelas e confiamos em sua exist2ncia; quandorecebemos um golpe na cabea tamb"m vemos estrelas Ae as vemos to bem como s outras,pois produzem similares excita1es dos cones e bastonetes causadas pela comoo, por"mcremos que no existem. (m um caso %ver% demonstraria a exist2ncia de algo, mas em outrono. @ que vemos nos sonhos existe6 (xiste o arco!ris como ob$eto que podemos tocar efazer rudo6

7e %ver% no " prova da exist2ncia do que estamos vendo, nos perguntamos o que " que estaviv2ncia to clara que chamamos %ver% demonstra sem dar lugar a dvidas. *quilo cu$aexist2ncia " demonstrada sem possibilidade de dvida " o dado sensorial. %Eer a rvore%demonstra a exist2ncia de um dado sensorial associado, to somente. @ mesmo ocorre com asoutras %provas% da exist2ncia da rvore# toc!la, ouvi!la etc., no demonstram em absoluto aexist2ncia da mesma, mas sim, demonstram a exist2ncia de algo indubitvel que so os dadossensoriais.

(ssa dvida metodol'gica que nos levou a descobrir a exist2ncia de algo indubitvel, os dadossensoriais, " equivalente ao raciocnio de >escartes que o leva a concluir que somente aexist2ncia do pensamento " indubitvel. 5enso, logo existo, se transforma para n's em# sinto,logo meus dados sensoriais existem.

0uando questionamos a exist2ncia, no somente da rvore, mas de todo o mundo externo#devemos clarear o significado da palavra %externo%. (xterno a qu26

Cada indivduo reconhece a exist2ncia de um mundo interno e privado, composto por suaconsci2ncia, seu pensamento, seus dados sensoriais e suas lembranas, que denominamosmente. * exist2ncia deste mundo interno no " questionvel, $ que s' o fato de se propor advida a confirma. *o mundo da mente de cada individuo " externo o mundo cu$a exist2nciaestamos analisando.

*ssim#@s dados sensoriais, cu$a exist2ncia " inquestionvel, no so prova suficiente da exist2nciado mundo externo.

0ue existe coer2ncia entre os dados sensoriais de diferentes indivduos " um fato facilmente

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comprovvel. *nalisemos esta afirmao. Consideremos o con$unto total dos dados sensoriaisde um indivduo Acada leitor 5si pode tomar!se como exemplo. (ste con$unto no s' estformado pelos dados sensoriais presentes, os quais esto sendo gerados neste mesmoinstante, mas tamb"m por aqueles registrados na mem'ria do indivduo. >entro do con$unto,existem dados sensoriais associados a outros indivduos# a imagem visual de seus corpos, osom de suas vozes etc. (stes sons t2m associado um significado de acordo com algo bastante

complicado, que excede nosso pro$eto, que " a linguagem. Lraas a ela, o indivduo pode obterinformao sobre os dados sensoriais dos outros indivduos Acu$a exist2ncia est!se supondo.

* comparao entre os dados sensoriais de diferentes indivduos permite constatar que, emcerta medida, so coincidentes, compatveis, ainda que quase nunca exatamente id2nticos e,algumas vezes, at" contradit'rios. otemos que esta coer2ncia entre os dados sensoriais sed no mundo interno e privado de cada indivduo. Tomemos, por exemplo, os dados sensoriaisque o autor destes artigos, tenho de uma mulher e que segundo meus c'digos est"ticos, mefazem dizer %tal mulher " bela%. & provvel que em uma conversa com um amigo, ele tamb"mdiga o mesmo, frase cu$o som se integra a meus dados sensoriais estabelecendo!se umacoincid2ncia entre estes e a informao que tenho dos dados sensoriais de meu amigo !informao que prov"m de uma interpretao dos dados sensoriais que tenho de meu amigoAsupostamente existente !. 7em dvida, encontrarei muitos indivduos cu$os dados sensoriais

se$am compatveis com os meus, mas, devido a diferentes c'digos est"ticos, alguns poucoshaver que os contradigam. (m todo caso, da mesma maneira que meus dados sensoriaisreferentes bela mulher no so prova suficiente de sua exist2ncia, tampouco o " acoincid2ncia com os de outros indivduos.

Leneralizando a partir desse exemplo afirmamos que a maioria de nossos dados sensoriais "coincidente com os de todos os outros indivduos. *nte esta correlao podemos tomar duasposturas# Aa constat!la e deix!la como um fato primordial que no requer mais explicao;Ab tentar explic!la apelando a algum princpio ou teoria que a demonstre. * postura filos'ficachamada %realismo% toma a segunda opo, postulando a exist2ncia ! ob$etiva e independentedos observadores ! do mundo externo, que " a origem dos dados sensoriais de todos osindivduos. >esta maneira se explica a coer2ncia entre os dados sensoriais de diferentesindivduos, porque todos so gerados pela mesma realidade.

* maioria de n's est de acordo em que %essa mulher " bela%, porque existe ob$etivamente etem propriedades reais que nossos c'digos qualificam como bela. *ssim mesmo, " importantenotar que no demonstramos que a mulher existe, seno que a temospostulado,$ que umademonstrao rigorosa parece ser impossvel. (ste postulado tem a virtude de explicar nosomente a coincid2ncia entre os dados sensoriais de diferentes indivduos, mas, tamb"m suasdiferenas, que podem dever!se, no exemplo dado, a componentes culturais, educativos,sociais, raciais etc., que geraram diferentes c'digos est"ticos.

5ara consolidar o que foi dito tomemos um exemplo mais simples. 7uponhamos uma mesaretangular ao redor da qual esto sentados vrios indivduos. Cada um deles ter umaperspectiva diferente da mesa segundo sua posio# alguns a vero mais ou menos trapezoidalou romboida-, mais ou menos brilhante, mais ou menos grande. Todos os dados sensoriais so

diferentes, ainda que no totalmente contradit'rios. 7e postulamos a exist2ncia real e ob$etivada mesa retangular, podemos explicar todas as diferenas e similitudes entre os dadossensoriais dos indivduos ao seu redor.

@utra possibilidade ", em vez de muitos indivduos ao redor da mesa, considerarmos asituao equivalente de um indivduo que se move ao redor da mesa e cu$os dados sensoriaisvo mudando com o tempo ao ocupar diferentes posi1es. este caso o postulado realistaexplicaria a evoluo temporal dos dados sensoriais. A*lgo parecido equival2ncia entremuitos observadores estticos em torno da mesa e um observador que se move ao seu redor," o que os fsicos chamam %teorema erg'dico%. @ postulado realista se mostra altamenteecon9mico e eficiente, por sua simplicidade, e porque ele explica algo de enorme complexidadecomo o so as coincid2ncias e diferenas entre os dados sensoriais de muitos indivduos.

*ssim#o realismo se postula a exist2ncia do mundo externo ob$etivo e independente da observao,

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gerador dos dados sensoriais. (ste postulado explica as correla1es entre os dados sensoriaisde diferentes indivduos.

* postura realista, com seu grande poder explicativo, " to sensata que parece assombrosoque existam pensadores que a rechacem. AEeremos, contudo, que muitos fsicos, sem sab2!lo,a negam. 7e ningu"m a recusasse, se fosse aceita universalmente, no haveramos feito tanto

esforo em apresent!la. @ realismo existe como linha de pensamento filos'fico porqueexistem alternativas a ele.

*nalisemos primeiro a negao mais violenta e extrema do realismo, denominada %solipsismo%.

@ solipsismo surge da constatao, que n's mesmos temos feito anteriormente, de que todapercepo do mundo externo est no mundo interno e privado de nossa mente em forma dedados sensoriais. * partir da, se decide que o mundo externo no exis te e que tudo o quechamamos desse modo no " mais que uma construo mental. 7ignifica, ento, que o leitor5si deste artigo " solipsista, e se nega que tudo o que o rodeia existe, includos os outrosleitores e o autor. @ artigo que tem s mos tampouco existe, no " mais que uma construomental que est fazendo neste instante. Tampouco existem suas mos nem seu corpo nem ame que o pariu.

@ fil'sofo irland2s L. :erMele4 ABNIH!BHJ demonstrou que esta id"ia, que beira dem2ncia," perfeitamente defensvel em termos l'gicos. & impossvel convencer a um solipsista, pormeio de argumentos, de que est errado, $ que para ele, quem est tentando convenc2!lotampouco existe. o figura entre as metas deste pequeno curso Anem " da compet2ncia deseu autor discutir em detalhe os diferentes matizes e graus de solipsismo, nem sua relaocom o idealismo, que subordina a realidade da mat"ria realidade da mente. *qui " suficienteapelar ao senso comum para recha!lo, apesar de que no h nenhuma falha l'gica nos ar!gumentos que se podem apresentar em sua defesa A; pelo contrrio, quanto mais extrema einaceitvel " a posio solipsista, mais fcil " sua defesa, argumentada em termos l'gicos. @solipsismo " uma dem2ncia perfeitamente l'gica. & a 7ndrome de *sperger da filosofia, comseus idiotas!sbios. -sto nos leva a constatar que o rigor l'gico no " um crit"rio suficiente deverdade para uma doutrina, ainda que, toda ideologia que pretenda ser verdadeira deva ser

impecvel em sua argumentao l'gica.)ais interessante que a negao do realismo que faz o solipsismo " a alternativa queapresenta o %positivismo%, perspectiva que trataremos com maior detalhe por sua relev+nciapara uma interpretao da mec+nica qu+ntica. @ positivismo se iniciou na segunda metade dos"culo G-G, sem dvida, influenciado pelo 2xito das ci2ncias exatas, as quais possuem crit"riospara determinar a verdade de suas frases, tais como, por exemplo, a experimentao.*ugust Comte ABI!BIH prop9s depurar a filosofia de toda a metafsica limitando!se a frases%positivas% de demonstrada validez. (sta filosofia, ou, melhor dito, metodologia, se estendeu nos"culo GG com o aporte de vrios pensadores, em particular os do %Crculo de Eiena%, queformalizaram e complementaram a id"ia original com a anlise l'gica.

* corrente filos'fica assim gerada, denominada tamb"m neo!positivismo, teve grande influ2ncia

no pensamento cientfico e filos'fico contempor+neo, propondo que o sentido de toda frase "determinado exclusivamente por seu carter de ser verificvel, se$a empiricamente, pelosdados sensoriais, ou como deduo l'gica a partir destes. * filosofia neo!positivista se poderesumir apresentando a %regra de ouro% que, segundo ela, deve regular todo raciocnio ouafirmao# %limitar!se exclusivamente a empregar frases com sentido% Aal"m disso, so tole!rados os nexos l'gicos, matemticos e ling8sticos. >efine!se que uma frase tem sentidoquando existe um procedimento experimental que a verifica Aou a refuta, acrescentou Carnap,ou quando " logicamente demonstrvel a partir de outras frases com sentido. =ma frase semsentido tamb"m recebe o nome de pseudofrase. \ primeira vista, esta filosofia parece bastantesensata; contudo, veremos que apresenta s"rias dificuldades.

Com respeito ao problema da exist2ncia do mundo externo, o positivismo declara que a fraseque define o realismo, %existe o mundo externo ob$etivo, independente da observao%, " sem

sentido $ que, como vimos, " impossvel demonstrar %experimentalmente% sua validez. >estamaneira, o positivismo se op1e ao realismo, no demonstrando sua falsidade, seno

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declarando que no tem sentido. * negao de uma pseudofrase tamb"m " uma pseudofrase,segundo a qual, o positivismo no somente nega o realismo, mas que, tamb"m nega osolipsismo. a anlise feita para mostrar a conveni2ncia do postulado realista, se ressaltou aevid2ncia das correla1es entre os dados sensoriais de diferentes indivduos. *nte estacorrelao, o positivismo se abst"m de pretender explic!la e a aceita como um fato primordialque no requer mais anlise, pois, do contrrio, inevitavelmente se violar a %regra de ouro%.

*ssim#@positivismo imp1e a limitao de formular exclusivamente frases com sentido, que soaquelas para as quais existe um procedimento que as verifique ou refute. *firmar ou negar aexist2ncia do mundo externo " uma pseudofrase.

7o mltiplas as crticas que se pode fazer a esta filosofia. @ primeiro argumento contrrio " decarter formal. izer que o sol nascer pela manh no tem sentido e permanece sem sentido, ainda que oafirme com um grau de confiabilidade estabelecido por alguma probabilidade estimada dealguma maneira. >izer %se planto esta semente, brotar uma rvore% " uma frase sem sentido.Toda predio para o comportamento futuro de algum sistema Afsico ou no carece desentido. o somente se encontram dificuldades com refer2ncia ao futuro, mas tamb"m comas refer2ncias ao passado, porque certas frases puderam fazer sentido em algum momento,mas no ho$e.

5or exemplo, dizer %Cle'patra tem uma mancha no quadril% " uma frase que teve sentido na"poca em que )arco *ntonio pode fazer o experimento para verific!la ou neg!la, mas ho$e, amesma frase no tem sentido. 0ue o sentido das frases varie com o tempo " altamenteinadequado para sua utilizao em ci2ncia, $ que esta se ocupa principalmente de explicar opassado e predizer o futuro, ainda que se$a em forma aproximada. @ positivismo lhe nega esta

funo e a limita a constatar as correla1es entre fatos experimentais e os possveis resultadosnum"ricos, mas sem que isto nos autorize a fazer frases sobre o comportamento dos sistemasem estudo em sua realidade ob$etiva.

=ma proposta assim lhe subtrai o interesse fsica e " fatal para outras ci2ncias como, porexemplo, a hist'ria, $ que a limitaria a comprovar correla1es e diferenas entre papeisamarelados tirados de um arquivo, sem poder dizer nada da realidade de uma revoluo socialou de um personagem hist'rico crucial. @ crit"rio emprico para determinar se uma frase temsentido ou no implica uma observao experimental, a qual lhe introduz um elementosub$etivo.

Todo experimento cont"m uma mente ao final de uma complexa cadeia, cu$os elos so# osistema que se observa; intermedirios que recebem alguma ao do sistema e a transformam

em algum sinal que ser transmitido ao pr'ximo elo, que pode ser um aparelho eletr9nico comagulhas, que marcam valores em escalas ou visores onde aparecem nmeros que sero lidospor algum observador, que, ento, ap's o complicado processo que tem lugar ao nvel do olho,retina, trato 'ptico etc., tomar consci2ncia da observao.

(ste componente sub$etivo " iniludvel no positivismo. 5ropor que o experimento o efetue umrob9 sem que participe nenhuma consci2ncia levaria indefectivelmente a frases sem sentido.Como conseq82ncia, todas as frases que participam na ci2ncia, em vez de fazer aluso aalguma propriedade do sistema em estudo, se referem a conceitos que alguma mente, aindaque se$a hipot"tica, tem do sistema. @ sub$etivismo presente no positivismo pode extremar!seat" a fronteira com o solipsismo. =m convicto positivista deve concluir que no tem sentidoafirmar a exist2ncia ob$etiva do corpo de outro indivduo, e muito menos ainda de sua mente, $que %os experimentos% s' confirmam a exist2ncia de seus dados sensoriais privados.

3apidamente chegaria concluso de que, exceto sua mente, no tem sentido dizer que existetodo o resto. @ solipsista diz# %minha mente existe e nego que todo o resto exista%. @ positivista

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diz# %minha mente existe e no tem sentido dizer que todo o resto exista%. * diferencia " nfima,quase nula.

)ais adiante veremos que o componente sub$etivo do positivismo tem graves conseq82nciasnas possveis interpreta1es da mec+nica qu+ntica, mas se pode adiantar que, em troca, notem graves conseq82ncias na fsica clssica. -sto significa que, entre um fsico clssico realista

e um fsico clssico positivista, " possvel estabelecer um pacto de no!agresso, pelo qual orealista assinalar um contedo ob$etivo, no sistema fsico, a todas as refer2nciasexperimentais sub$etivas que faa o positivista, e este traduzir todas as frases %sem sentido%daquele em um possvel resultado de uma observao. (m outras palavras, ambos osdiscursos so equivalentes, porque para todo con$unto de propriedades ! reais e ob$etivas,segundo o realista ! assinaladas ao sistema fsico clssico, existe sempre um experimento quepermite medi!las simultaneamente com qualquer preciso dese$ada. A=m matemtico diria queh um isomorfismo entre os dois discursos. Como veremos um pacto de no!agressosemelhante " impossvel entre fsicos qu+nticos.

este quarta aula apresentei, obrigatoriamente resumidas e simplificadas, duas grandestend2ncias filos'ficas que sero relevantes para se tentar estabelecer alguma interpretao damec+nica qu+ntica, e destaquei algumas das dificuldades que apresenta a opo positivista.

-mporta clarear que existe uma forma de positivismo metodol'gico evidentemente intocvel einiludvel para toda ci2ncia te'rico!experimental como o " a fsica. (stas ci2ncias promovempredi1es sobre o comportamento dos sistemas que estudam comportamento que deve serverificado, ou negado, experimentalmente. *t" que no ha$a uma confrontao com o experi!mento, a predio no tem assinala um valor que a transforme em uma verdade cientfica.* grande diferena entre este positivismo metodol'gico e o positivismo essencial, filos'fico, aque aludamos mais acima reside em que o experimento, para o primeiro, brinda a confirmaoou refutao de um comportamento ob$etivo do sistema, enquanto que para o segundo, oexperimento ", por assim dizer, a nica realidade por detrs da qual no tem sentido pensarque exista algo.

aula

A essncia da teoria "untica

esta aula veremos alguns dos elementos essenciais da teoria qu+ntica, ao qual sernecessrio apelar disposio do leitor psi a aceitar alguns conceitos que vo contra suaintuio clssica. @s argumentos apresentados na classificao dos sistemas fsicos segundosuas escalas de velocidade e ao, e a posio do ser humano na mesma, t2m de serpreparados o suficiente. @ carter contrrio intuio de certos conceitos torna difcil dotar!lhes de um significado, vale dizer, interpret!los. 5ior ainda, para alguns elementos doformalismo existem vrias interpreta1es contradit'rias, segundo se$a a postura filos'ficaadotada. >eixo para depois a discusso detalhada destas interpreta1es, apresentando aqui osconceitos sem insistir demasiado, por ora, em dar!lhes significado.

@ conceito de %(stado% tem um papel importante no formalismo de toda teoria fsica. aaplicao prtica das teorias fsicas, qualquer que se$a o sistema em estudo, se prop1e mido o problema de predizer o valor que se lhe dotar a algum observvel do sistema quandoconhecemos algumas de suas propriedades ou, em outras palavras, quando conhecemos oestado do sistema. o formalismo, o estado do sistema est representado por um elementomatemtico que, em alguns casos, " uma equao, em outros, um con$unto de nmeros ou umcon$unto de fun1es. @ formalismo cont"m, al"m disso, receitas matemticas bem definidaspara, a partir do estado, poder calcular o valor de qualquer observvel. -sto ", conhecendo oestado se pode responder qualquer pergunta relevante sobre o sistema.

@s sistemas fsicos, em geral, evoluem com o tempo, vo mudando de estado. * teoria deve,ento, permitir calcular o estado em qualquer instante, quando aquele " conhecido em um

instante inicial. *s equa1es matemticas que possibilitam este clculo so as chamadas%equa1es de movimento%. 5ara o sistema clssico formado por uma partcula que se move no

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espao, o estado " determinado em cada instante pe-a posio e velocidade Aou melhor, oimpulso da mesma. *s equa1es de eton nos permitem se conhecemos as foras aplica!das, calcular a posio e velocidade para qualquer instante posterior. * partir deste exemplopodemos generalizar estabelecendo que, em um sistema clssico, o estado fica determinadopelo valor que toman as coordenadas generalizadas e os impulsos can9nicos correspondentesno instante em questo. 3ecordando que temos definido as propiedades do sistema pe-a

assuno de valores aos observveis, concluimos que o estado de um sistema clssico estfixado pelo con$unto de propriedades que cont"m todas as coordenadas e impulsos.

Todos os observveis de um sistema clssico se podem expressar como fun1es dascoordenadas e dos impulsos# * A0M, 5M. 5ortanto, conhecendo o estado, ou se$a conhecendoo valor das coordenadas e impulsos A0M F q4 5M F 5, podemos calcular o valor das fun1es, oque traz um conhecimento do valor que tomam todos os observveis do sistema clssico A* F apara qualquer observvel *. & possvel fixar o estado de um sistema qu+ntico da mesmamaneira6 Eeremos que no, pois o principio de incerteza, que apresentaremos mais adiante,nos probe faz2!lo. @ estado qu+ntico est determinado por um con$unto de propriedades, masele no pode incluir propriedades associadas a todas as coordenadas e impulsos. 7e cont"muma coordenada, por exemplo, G F H, no pode conter o impulso associado mesma. 5F I.

Como " possvel, ento, se o estado qu+ntico no cont"m todas as coordenadas e impulsos,fazer predi1es para os observveis que no inclui6


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quando a mesma comeou. 3essaltemos isto.

* observao experimental de uma propriedade deixa ao sistema qu+ntico no estadocorrespondente mesma, mas nada diz sobre o estado do sistema antes da observao.

* impossibilidade de saber com certeza experimental qual era o estado de um sistema antes de

uma observao adquire particular import+ncia no debate filos'fico, realismo versuspositivismo, $ que, segundo este ltimo, falar das propriedades do sistema ou do estado domesmo antes de uma observao seria uma frase sem sentido. =m experimento que determineque a posio de uma partcula fica caracterizada pe-a propriedade G F Hm no nos autoriza aafirmar que antes da observao a posio era de Hm.

5odemos dizer, sim, que essa " a posio imediatamente depois do experimento, mas nadasabemos, nem podemos saber, sobre sua situao anterior. 5ortanto, para o positivista, todaafirmao acerca da posio da partcula antes do experimento carece de sentido, enquantoque para o realista " perfeitamente legal falar da posio ou da posio da partcula, ainda queno se lhe possa designar um valor determinado. *s duas posturas so irreconciliveis. 5ara opositivista, a experimentao gera a propriedade que resulta no experimento e no " aconstatao de uma qualidade pr"!existente no sistema, enquanto que, para o realista, a

experimentao p1e em evid2ncia alguma caracterstica do sistema, pr"!existente, ainda quese$a impossvel dar!lhe um valor num"rico preciso. Continuar.

/oi mencionado que entre as propriedades que definem o estado de um sistema qu+ntico nopodem aparecer, simultaneamente, posio e impulso Aou, momento. Tendo em conta que oestado " o resultado de uma observao experimental, se conclui que no deve poder existirnenhum experimento que nos d2 ao mesmo tempo a posio e o impulso de uma partcula. -stomerece uma discusso mais detalhada. 5rimeiro devemos corrigir# a mec+nica qu+ntica noimpede a medio simult+nea da posio e o impulso. @ que no deve ser possvel " que estasmedi1es possam fazer!se com infinita preciso, $ que as propriedades G F H e 5 F I implicamum conhecimento exato, sem erro, de ambas. * mec+nica clssica no imp1e tais restri1es,pelo qual este experimento clssico sim deve ser possvel. *nalisaremos um experimento dotipo e tentaremos lev!lo ao mundo qu+ntico.

Consideremos o sistema fsico clssico composto por um ciclista Aque pode, ou no, ser umfsico, clssico ou qu+ntico que se move em seu %todo terreno% ao longo de uma rua. 5aramedir experimentalmente a posio do ciclista ou sua velocidade, podemos utilizar uma t"cnicafotogrfica que consiste em#

B eleger um tempo muito curto de abertura do obturador a fim de medir a posio com muitapreciso, ouD colocar um tempo longo para medir a velocidade.

7e o tempo de exposio do filme " muito curto, BQBOOO segundo, a foto obtida ser muitontida, o que permite determinar com preciso a posio do ciclista durante a foto, como vemosna /igura J, mas a velocidade ficar indeterminada. 7e, pelo contrrio, elegemos um tempo de

abertura longo, B segundo, a foto no ser ntida, ficando a posio mal definida, mas nospermite calcular a velocidade dividindo a passagem pelo tempo de exposio. 7e contamoscom uma mquina fotogrfica, ento teramos que optar por medir precisamente a posio,deixando a velocidade incerta, ou medir a velocidade com alta preciso s custas daimpreciso na posio. (ncontramo!nos ante algo parecido ao princpio de incerteza, mas quenada tem que ver com a mec+nica qu+ntica, $ que esta limitao se deveria a baixopressuposto de investigao que nos toca atualmente.

(m um pas que reconhea a import+ncia da investigao disporamos de duas maquinasfotogrficas# uma para determinar a posio e outra para determinar a velocidade, com o qual oestado clssico ficaria perfeitamente fixado# G F H m, E F B mQs. otemos, contudo, que paraesta determinao simult+nea da posio e da velocidade fizemos a suposio, vlida noexemplo clssico, de que a tomada da fotografia para fixar a posio no modifica a velocidade

do ciclista e de que, ao fotograf!lo para determinar a velocidade, no mudamos sua posio.7egundo o visto anteriormente, estas suposi1es no so vlidas no sistema qu+ntico. *ssim,

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se em vez de um ciclista temos um el"tron, as %fotos% se obteriam com f'tons de alta energiapara conhecer a posio, e de baixa energia para a velocidade. )as estes f'tons modificambrutalmente o estado do el"tron. *qui sim estamos frente ao princpio de incerteza que emforma iniludvel nos impede determinar com preciso arbitrria a posio e impulso de umapartcula qu+ntica. (m uma parte importante do debate entre :ohr e (instein, este tentou sem2xito, demonstrar a possibilidade de medir experimentalmente posio e impulso com exatido

e em forma simult+nea. Eoltaremos a isto mais adiante.

aula 3

*4 *5 e e# Mecnica Quntica

* quase totalidade das caractersticas essenciais da fsica qu+ntica podem ser resumidas emduas propriedades atribudas aos sistemas qu+nticos, ambas estranhas para nossa intuioclssica.

* primeira " que o valor que se pode assinalar aos observveis nem sempre " um nmeropreciso; a segunda est relacionada com a independ2ncia, ou melhor, depend2ncia entre osobservveis.

*nalisemos a primeira.

Consideremos a propriedade G F Hm correspondente ao observvel de posio. a fsicaclssica, as propriedades de um mesmo observvel se excluem mutuamente. 0uer dizer quese uma partcula clssica tem a propriedade G F Hm, com certeza, a partcula no tem G F Nm.7e est em um lugar, seguramente no est em outro.

5ara sermos mais formais diga!se que G F Hm " uma 5ropriedade @b$etiva 5ossuda A5@5 nosistema, e que G F Nm " uma 5ropriedade @b$etiva o 5ossuda A5@5 no sistema. -stoparece abarcar todas as possibilidades para uma propriedade# se d, ou no se d no sistema.7e temos um grande nmero de sistemas fsicos id2nticos e no mesmo estado, e realizamos,em cada um deles, um experimento para detectar se certa 5@5 se faz, o resultado sersempre positivo.

Caso se trata de uma 5@5, o resultado ser sempre negativo. * mec+nica qu+nticaapresenta, al"m disso, uma terceira possibilidade# existem estados do sistema onde certaspropriedades * F a, no so nem 5@5 nem 5@5; diz!se que esta propriedade " uma5ropensidade A55 no sistema. * comprovao experimental de uma propriedade 55 nosistema algumas vezes ter resultado positivo e outras negativo, apesar de que todos ossistemas em que se experimenta so id2nticos e esto exatamente no mesmo estado.

ada nos permite predizer em cada experimento se o resultado ser positivo ou negativo, mas

o formalismo da mec+nica qu+ntica permite calcular a porcentagem de vezes em que oresultado ser de um sinal ou de outro. (sta porcentagem define na mec+nica qu+ntica aprobabilidade assinalada propriedade em questo.

0ue uma propriedade se$a 5@5, 5@5 ou 55 depende do estado em que se encontra osistema. 7e realizamos um experimento relacionado com um observvel * e obtemos comoresultado o valor aB, sabemos que o estado do sistema ser fixado pela propriedade * F aB;ento, imediatamente depois de concludo o experimento, esta propriedade " uma 5@5 e todasas outras propriedades associadas ao mesmo observvel * F aD, * F aJ..., sero 5@5 AaD eaJ so nmeros distintos de aB, mas existem alguns observveis, : por exemplo, cu$aspropriedades sero 55.

7e agora se faz outro experimento para este ltimo observvel com o resultado : F b, esta

propriedade passar a ser uma 5@5 e todas as outras * F aB, * F aD, * F aJ, passaro a ser55. *qui se apresenta uma importante diferena entre a medio em sistemas clssicos equ+nticos.

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(m um sistema clssico sempre " possvel desenhar a medio de forma tal que aumente ou,no pior dos casos, que deixe constante a quantidade de informao que temos sobre osistema. 7egundo o visto, em um sistema qu+ntico uma medio, por melhor desenhada queeste$a, pode diminuir a quantidade de informao que possumos sobre o sistema. * novainformao trazida pela medio pode destruir a informao que possuamos antes da mesma

em vez de acumular!se a ela.* inevitvel interao entre o aparato de medio e o sistema dificulta certo conhecimentosobre o estado deste ltimo. =ma propriedade pode deixar de ser uma 5@5 pela observaoexperimental de outro observvel, mas existe, al"m disso, outra possibilidade para que istoocorra# a evoluo temporal do estado. @ estado do sistema, em geral, varia com o tempo,variao que pode alterar o carter com que certas propriedades se acham presentes nosistema.

5or exemplo, caso se determine experimentalmente que a posio de uma partcula qu+ntica "G F Hm, esta propriedade " 5@5 e qualquer outra posio ser 5@5. -sto " vlido para oinstante em que terminou o experimento, mas para tempos posteriores, as propriedades deposio se transformam em 55 e $ no teremos a partcula perfeitamente localizada em G F

Hm, mas, teremos que todas as possveis posi1es adquiriro uma probabilidade de realizar!seque aumentar medida que transcorra o tempo.

& como se a exist2ncia da partcula se difundisse da posio exata inicial a todas as posi1esad$acentes; perde localidade e se torna difusa. @ formalismo da mec+nica qu+ntica permitecalcular a velocidade com que a partcula ir se difundir, comportamento este, que se tornaestranho e contrrio ao que nos diz nossa intuio. >e fato, nunca %vimos% difundir!se um livroou uma lapiseira ou uma moeda. 7e no o encontramos onde o deixamos " porque algu"m oslevou.

*contece que, para os ob$etos que podemos captar com nossos sentidos, o clculo indica quepassaram tempos milh1es de vezes maiores que a pr'pria idade do universo para difundir!seem uma medida que pudesse ser observada. )uito diferente " o que ocorre com um el"tron,

que por estar caracterizado por pequenssima ao, rapidamente se difunde perdendo apropriedade de localizao e adquire uma probabilidade no nula de ocupar distintas posi1es.

Contudo, em um novo experimento para conhecer sua posio, que mostra o valor G F m, oel"tron volta a localizar!se nesta posio para comear outra vez a difundir!se. Tal processo detransio de um estado de posicionamento difuso para um estado, exatamente localizadoproduzido pela observao experimental se chama %colapso do estado% e " um dos aspectossu$eitos a controv"rsia na interpretao da mec+nica qu+ntica.

ingu"m entende plenamente este processo. 0ual " a sua causa6 7eria, por acaso, aconsci2ncia do observador6 @ que determina que o colapso se produza a G F m ou, talvez, GF Im6

o formalismo da mec+nica qu+ntica se caracteriza a possibilidade das propriedades de ser5@5, 5@5 ou 55 ao assinalar!lhes uma probabilidade de realizao ou forma de pesoexistencial. * probabilidade " um para as 5@5, zero para as 5@5, e toma um valor entre zeroe um para as 55.

@ valor desta probabilidade, que pode calcular!se com o formalismo quando se conhece oestado Aou se$a, a propriedade que o determina, se manifesta experimentalmente nafreq82ncia com que a propriedade em questo " comprovada ao realizar o experimento umgrande nmero de vezes em sistemas id2nticos no mesmo estado. Consideremos novamente oobservvel de posio.

7uponhamos que todas as propriedades relacionadas ao mesmo so 55, se$a devido evoluo temporal de um estado inicial onde certa posio era uma 5@5 AG F Wm, por

exemplo, ou porque o estado do sistema corresponde a alguma propriedade incompatvel coma posio. (m qualquer caso, a probabilidade associada a cada posio ter certo valor que

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estar distribudo de alguma maneira.

* distribuio de probabilidades est caracterizada por um valor m"dio e por um amplo. @ valorm"dio " o chamado %valor de expectao% do observvel posio, simbolizado por

*s denomina1es eleitas# %valor de expectao% e %incerteza%, so muito adequadas. * primeira

indica a melhor aposta para o observvel. 7e devemos assinalar!lhe um valor, este " o maisrazovel, a melhor estimativa, para esta caracterstica do sistema que no tem assinalado umvalor exato. * incerteza, por seu lado, " uma medida da bondade desta estimativa. 7e o amploda distribuio " grande, ou se$a, se a incerteza " grande, a estimativa " a melhor possvel,mas resultar falsa muitas vezes; enquanto que se a incerteza " pequena, a estimativa " boa.

7e uma propriedade, G F Wm, por exemplo, fosse uma 5@5, ento a distribuio seriainfinitamente fina# Y G F O, com um valor muito grande para a propriedade G F Wm e zero paratodas as demais posi1es A5@5. * estimativa " exata, a incerteza nula. Leneralizemos esteexemplo para todo observvel#

>ado um sistema qu+ntico em um estado conhecido, o formalismo permite calcular umaprobabilidade para qualquer propriedade * F a, que ser igual a um, se a mesma " 5@5, zero

se " uma 5@5, ou um valor entre zero e um, caso se trate de uma 55. 7e * F a, " 5@5, aobservao experimental em um grande nmero de sistemas id2nticos e no mesmo estadoser sempre * F a. 7e " uma 5@5, nunca, e se " uma 55, algumas vezes ser * F a, e outrasno. este ltimo caso, no h forma de predizer quando ser * F a, e quando no. 7omente "possvel calcular a probabilidade destes eventos. *s probabilidades definem um valor deexpectao para o observvel e uma incerteza neste valor Y *.

aula 6

robabilidades .noseol.icas e ontol.icas

@s problemas de interpretao sero apresentados mais adiante, mas achamos convenientepropor agora a questo do significado das probabilidades mencionadas.

5odemos reconhecer duas possibilidades para o significado do carter das probabilidades#gnoseol'gicas ou ontol'gicas.

7o gnoseol'gicas se representam a falta de conhecimento que temos do sistema. estainterpretao, os observveis do sistema assumem algum valor preciso, definido com exatido,mas a teoria no " completa e no pode calcular este valor. @ mais que pode fazer " dar umaprobabilidade para as propriedades, sendo aquela uma manifestao de nossa ignor+ncia dosistema.

0uando determinamos experimentalmente a distribuio de probabilidades medindo umobservvel em um grande nmero de sistemas supostamente id2nticos e no mesmo estado, adistribuio dos valores resultantes prov"m de diferenas no valor que tomam certas variveis

ocultas, inobservveis, que desconhecemos, mas que determinam as diferenasexperimentais.

a interpretao ontol'gica, a distribuio dos valores que toma um observvel " manifestaode uma indefinio ob$etiva do observvel nos sistemas. Todos os sistemas so id2nticos e oestado " o mesmo em todos, mas certos observveis assumem valores difusos por umaindefinio essencial,

Curso Introdutório à Física Quântica

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