Lista 01 - Revisão de Física Quântica
17
BC0104: Int. Atômicas e Moleculares UFABC Resolução da Lista 01 (Geral) v1.3 Fernando Freitas Alves [email protected] 02/05/13 – pág. 1/17 1. (a) Qual é a velocidade de um elétron cujo comprimento de onda é 3,00 ? (b) Qual a velocidade de um próton com o mesmo comprimento de onda? (c) Qual a razão para obter velocidades que diferem por três ordens de grandeza, uma vez que os comprimentos de onda são iguais? (d) Considere que um elétron e um próton tenham a mesma velocidade = 1,00 × 10 6 /. Quais os respectivos comprimentos de onda? (e) Nessas condições, você esperaria que efeitos quânticos fossem mais importantes para o elétron ou para o próton? Justifique sua resposta. çã (a) De acordo com a relação de onda-partícula de de Broglie: = ℎ = Logo, para um elétron com = 3,00 × 10 −2 : = ℎ ⇒= 6,626 × 10 −34 9,109 × 10 −31 · 3,00 × 10 −2 ≈ 0,0242 / (b) Para um próton com o mesmo comprimento de onda, basta adequar o valor de sua massa: = 6,626 × 10 −34 1,673 × 10 −27 · 3,00 × 10 −2 ≈ 0,132 × 10 −4 / (c) A razão implicaria: 1 2 = ℎ/ 1 ℎ/ 2 1 2 = 2 1 ≈ 10 3 ⇒ 2 ≈ 1 × 10 3 (d) Para um elétron com = 1,00 × 10 6 /, temos: = ℎ ⇒ = 6,626 × 10 −34 9,109 × 10 −31 · 1,00 × 10 6 ≈ 7,27 Å Enquanto que, para um próton com mesma velocidade, temos:
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BC0104: Int. Atmicas e Moleculares UFABC Resoluo da Lista 01 (Geral) v1.3
Fernando Freitas Alves [email protected] 02/05/13 pg. 1/17
1. (a) Qual a velocidade de um eltron cujo comprimento de onda 3,00 ?
(b) Qual a velocidade de um prton com o mesmo comprimento de onda?
(c) Qual a razo para obter velocidades que diferem por trs ordens de grandeza, uma vez
que os comprimentos de onda so iguais?
(d) Considere que um eltron e um prton tenham a mesma velocidade = 1,00 106 /.
Quais os respectivos comprimentos de onda?
(e) Nessas condies, voc esperaria que efeitos qunticos fossem mais importantes para o
eltron ou para o prton? Justifique sua resposta.
(a) De acordo com a relao de onda-partcula de de Broglie:
=
=
Logo, para um eltron com = 3,00 102 :
=
=6,626 1034
9,109 1031 3,00 102 0,0242 /
(b) Para um prton com o mesmo comprimento de onda, basta adequar o valor de sua massa:
=6,626 1034
1,673 1027 3,00 102 0,132 104 /
(c) A razo implicaria:
12
=/1
/2
12
=21
103
2 1 103
(d) Para um eltron com = 1,00 106 /, temos:
=
=6,626 1034
9,109 1031 1,00 106 7,27
Enquanto que, para um prton com mesma velocidade, temos:
-
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=6,626 1034
1,673 1027 1,00 106 3,96 103
(e) Nessas condies, os efeitos qunticos seriam mais importantes para o eltron, pois sua
massa inferior e portanto as leis da Fsica Quntica teriam mais influncia. Isso notado
pelos resultados do item anterior, onde o comprimento de onda se torna to pequeno na
medida em que a massa aumenta tal que no possamos mais medi-la por nenhum aparelho
atual.
2. Uma lmpada de sdio emite luz amarela com comprimento de onda = 550 . Quantos
ftons so emitidos por segundo, se a potncia da lmpada for de (a) 1,00 ? e (b) 100 ?
(c) Qual o momento linear dos ftons emitidos pela lmpada de sdio?
(d) Sabendo que os ftons so emitidos por uma transio entre dois nveis eletrnicos do
tomo de sdio, obtenha a diferena entre esses nveis de energia.
(a) Como a potncia da lmpada de 1,00 , temos:
= 1,00 /
Ou seja, por segundo esto sendo emitidos ftons com 1,00 de energia total somada.
Como o comprimento de onda da luz amarela que emite esses ftons de 550 109 ,
de acordo com a equao de Einstein, cada fton possui energia:
= =
onde a velocidade da luz em que um fton viaja.
Juntando os resultados, obtemos que a quantidade de ftons emitidos por segundo :
=
=
=550 109 1,00
6,626 1034 2,998 108 2,77 1018 1
(b) Para uma potncia de 100 , temos que a quantidade de ftons emitidos :
=100
= 100 2,77 10
20 1
-
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(c) O momento linear desses ftons dado pela relao de de Broglie:
=
=
6,626 1034
550 109 1,20 1027 /
(d) Como cada fton possui uma energia especfica e cada um resultado de uma mudana de
nvel onde sua energia especfica exatamente a diferena de energia entre esses dois
nveis do tomo de sdio. Assim, sabemos que, para um fton de qualquer lmpada, sua
energia dependente somente de seu comprimento de onda:
= =
=
6,626 1034 2,998 108
550 109 3,61 1019
3. Considere que a funo de onda de um eltron confinado em uma caixa unidimensional de
comprimento seja dada por:
() = cos (
) , /2 /2
() = 0 , || > /2
(a) Essa funo de onda quadraticamente integrvel?
(b) Essa funo de onda normalizada?
(c) Em caso negativo, normalize-a.
(d) Qual a probabilidade de encontrar o eltron nos seguintes intervalos: /2 0, 0
/2, /4 /4?
(a) Para ser quadraticamente integrvel, essa funo de onda precisa ter energia finita, ou seja:
<
Por se tratar de uma funo senoidal confinada, ou seja, por possui valor diferente de nulo
apenas dentro de um espao definido (neste caso, entre /2 a /2), sua energia
certamente finita. Matematicamente, isso pode ser provado calculando:
= 0
/2
+ cos2 (
)
/2
/2
+ 0
/2
-
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(2) = ( + ) = 2() 2()
(2) = 2() [1 2()]
2() =1 + (2)
2
= 1 + cos (
2
)
2
/2
/2
=1
2[
/2
/2
+ cos (2
)
/2
/2
]
=1
2[ +
2sen (
2
)]
/2
/2
=1
2[
2 (
2)] +
1
2
2[sen() sen()]
=
2<
(b) Essa funo no est normalizada, pois o resultado final do item anterior deveria ter sido
1.
(c) Sua forma normalizada teria uma constante multiplicativa com valor 2/, pois:
(2
) (
2
)
=2
=2
2= 1
(d) Como o eltron est confinado em /2 e /2, por simetria, a probabilidade de encontrar
o eltron entre /2 0 e 0 /2 de 1/2. Matematicamente isso provado
por:
2
0
/2
=2
1
2[ +
2sen (
2
)]
0
/2
=1
2
2
/2
0
=2
1
2[ +
2sen (
2
)]
/2
0
=1
2
Analogamente, para /4 /4, temos:
2
/4
/4
=2
1
2[ +
2sen (
2
)]
/4
/4
=1
2+
1
-
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4. Em cada caso, mostre que () uma autofuno do operador dado. Ache o autovalor:
()
(a) 2
2 cos()
(b)
(c) 2
2+ 2
+ 3
(d)
26
Para que () seja uma autofuno, ao se aplicar o operador
nela, preciso que o resultado seja igual a um mltiplo dela mesma:
[()] = ()
onde dito autovalor.
(a) 2
2[cos()] = (2) cos()
(b)
() = ()
(c) 2
2() + 2
() + 3() = 2 + 2 + 3 = (2 + 2 + 3)
(d)
(26) = (6)26
-
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5. Mostre que
(a)
sen2 (
)
0
=
2
(b)
sen2 (
)
0
=2
4
(a)
sen2 (
)
0
=
(2) = ( + ) = 2() 2()
(2) = [1 2()] 2()
2() =1 (2)
2
=1
2 1 cos (
2
)
0
=1
2[
2sen (
2
)]
0
=1
2[
2sen(2)]
=
2
(b)
sen2 (
)
0
=1
2 cos (
2
)
0
= =
= cos (2
) =
2sen (
2
)
=1
2[2
2 [
2sen (
2
) + (
2)
2
cos (2
)]]
0
-
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=1
2[2
2 [
2sen(2) + (
2)
2
[cos(2) 1]]]
=2
4
6. a) Mostre que a funo de onda (, ) = () no satisfaz a equao de Schrdinger
dependente do tempo.
b) Mostre que a funo (, ) = () satisfaz tanto a equao de Schrdinger
dependente do tempo quanto a equao de onda clssica
2(, )
2=
1
22(, )
2
(a) Para satisfazer a equao de Schrdinger, basta que (, ) respeite a igualdade:
2
2
2(, )
2+ (, )(, ) =
(, )
2
2
2
2[()] + (, )() =
[()]
22
2() + (, )() = ()
22
2+ (, ) =
242
822+ (, ) =
22
2
22+ (, ) =
2
2 (, ) =
= !
-
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(b)
2
2
2(, )
2+ (, )(, ) =
(, )
2
2
2[()]
2+ (, )() =
[()]
2
22() + (, )() = ()
22
2+ (, ) =
+ =
2(, )
2=
1
22(, )
2
2[()]
2=
1
22[()]
2
2() = 21
2()
2 =2
2
(2
)
2
=(2)2
2
1
2=
2
2
=
-
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7. Determine (a) e (b) 2 para o segundo estado excitado ( = 3) de um poo quadrado
infinito.
Em um poo quadrado infinito temos:
{ () = 0 , 0 < < () ,
2
2
2()
2+ 0 () = ()
2()
2=
2
2()
Assumindo () = e como = 0 = :
2[]
2=
2
2
=2
2 =
2
= =
2
2 =22
= 2
2 = 2
(/2)2
2 = (2
)
2
= 2 =
() = +
Resolvendo as condies de contorno:
(0) = () = 0
{ 0 + 0 = 0
+ = 0
{ + = 0
+ = 0
= 0
-
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= 0
[cos() + sen()] [cos() sen()] = 0
2 sen() = 0
sen() = 0
= ; = 1,2,3,4,
=
() =
() = 2 sen()
() = sen (
)
Normalizando a funo:
0
= 1
2 sen2 (
)
0
= 1
(2) = ( + ) = 2() 2()
(2) = [1 2()] 2()
2() =1 (2)
2
2
2 1 (
2
)
0
= 1
2
2[
2 (
2
)]
0
= 1
2
2 = 1
= 2
-
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Para o segundo estado excitado onde = 3 temos:
() = 2
sen (
3
)
(a) Assim, o valor da posio esperada :
=
=2
sen2 (
3
)
0
=1
[
0
cos (6
)
0
]
= =
= cos (6
) =
6sen (
6
)
=1
[2
2 [
6sen (
6
) + (
6)
2
cos (6
)]]
0
=1
[2
2 [
2
6[sen(6) 0] + (
6)
2
[cos(6) 1]]]
=1
(
2
2)
=
2
(b) Analogamente:
2 =2
2 sen2 (
3
)
0
2 =2
2 2 cos (6
)
2
0
-
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2 =1
[ 2
0
2 cos (6
)
0
]
= 2 = 2
= cos (6
) =
6sen (
6
)
2 =1
[3
3 [
62 sen (
6
) 2
6sen (
6
)
0
]]
0
2 =1
[3
3
62 sen (
6
) +
3 sen (
6
)
0
]
0
= =
= sen (6
) =
6cos (
6
)
2 =1
[3
3
62 sen (
6
) +
3[
6 cos (
6
) (
6) cos (
6
)
0
]]
0
2 =1
[3
3
62 sen (
6
)
2
182 cos (
6
) +
2
182 cos (
6
)
0
]
0
2 =1
[3
3
62 sen (
6
)
2
182 cos (
6
) +
3
1083sen (
6
)]
0
2 =1
(
3
3
3
182)
2 = 2 (1
3
1
182)
-
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8. Uma partcula se encontra em um poo quadrado infinito de largura . Calcule a energia do
estado fundamental: (a) se a partcula um prton e = 0,1 , o tamanho aproximado
de uma molcula; (b) se a partcula um prton e = 1 , o tamanho aproximado de um
ncleo.
Utilizando o valor do nmero de onda encontrado pelo exerccio 7 no estado
fundamental, temos:
=
=
, = 1
2
=
2
=
/
/2=
=
2
=
; = = 0
=22
22
=2
82
(a) Se a partcula um prton e = 0,1 for o tamanho aproximado de uma molcula, sua
energia ser:
=(6,6 1034)2
8 1,7 1027(0,1 109)2 3,2 1021 = 3,2
(b) Se a partcula um prton e = 1 for o tamanho aproximado de um ncleo, sua
energia ser:
=(6,6 1024)2
8 1,7 1027(1 1015)2 3,2 109 = 3,2
-
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9. Alguns dados para a energia cintica dos eltrons ejetados com funo do comprimento de
onda da radiao incidente do efeito fotoeltrico para o sdio metlico so:
/ 100 200 300 400 500
Energia / 10,1 3,94 1,88 0,842 0,222
Faa o grfico destes dados e obtenha e a funo trabalho do metal .
Pela equao de Einstein:
= =
Ou seja, a constante de Plank vezes a velocidade da luz o coeficiente angular da reta
formada pelo grfico da energia versus o recproco do comprimento de onda . Sabendo
a priori o valor da velocidade da luz, podemos obter com uma certa preciso o valor da
constante de Plank.
De acordo com os dados e o grfico temos que:
=10,1 0,222
1100
1500
109 1,60 1019 = 1,98 1025
1,98 1025
3,00 108 6,59 1034
0
2
4
6
8
10
12
1/500 1/250 3/500 1/125 1/100
E (e
V)
1/ (109 m-1)
E 1/
-
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10. Calcule = 2 2, = 2 2 e para a funo de onda do estado
fundamental do poo quadrado infinito.
Por definio, o valor esperado da posio :
=
Utilizando o valor da autofuno de onda independente do tempo no estado fundamental
() = 2
sen (
) encontrada no exerccio 7, temos:
=2
sen2 (
)
0
=2
cos (2
)
2
0
=1
[
0
cos (2
)
0
]
=1
[2
2
2sen (
2
)
2
42cos (
2
)]
0
=1
(
2
2)
=
2
Analogamente:
2 =2
2 sen2 (
)
0
2 =2
2 2 cos (2
)
2
0
-
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2 =1
[ 2
0
2 cos (2
)
0
]
2 =1
[3
3
2
2sen (
2
)
2
22cos (
2
) +
3
43sen (
2
)]
0
2 =1
(
3
3
3
22)
2 = 2 (1
3
1
22)
Para o momento, temos ento:
=
= (
)
=
= 2
sen (
)
[sen (
)]
0
= 2
2 sen (
) cos (
)
0
=
2sen2 (
) |
0
= 0
Analogamente:
2 = 22
sen (
)
2
2[sen (
)]
0
2 =222
3 sen2 (
)
0
-
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2 =22
3[
0
cos (2
)
0
]
2 =22
3[
2sen (
2
)]
0
2 =22
2
Assim, temos que:
= 2 2
= 2 (1
3
1
22)
2
4
= 1
12
1
22
e:
= 2 2
= 22
2
=
=
2
Logo:
= (1
12
1
22)
2
= (1
12
1
22)
2>
2 2
1
12
1
22> 1
1. (a) Qual a velocidade de um eltron cujo comprimento de onda 3,00 ? (b) Qual a velocidade de um prton com o mesmo comprimento de onda? (c) Qual a razo para obter velocidades que diferem por trs ordens de grandeza, uma vez que os comp...2. Uma lmpada de sdio emite luz amarela com comprimento de onda =550 . Quantos ftons so emitidos por segundo, se a potncia da lmpada for de (a) 1,00 ? e (b) 100 ? (c) Qual o momento linear dos ftons emitidos pela lmpada de sdio? ...3. Considere que a funo de onda de um eltron confinado em uma caixa unidimensional de comprimento seja dada por: ,.=,cos-,,-... , /2/2 ,.=0 , ,.>/2 (a) Essa funo de onda quadraticamente integrvel? ...4. Em cada caso, mostre que ,. uma autofuno do operador dado. Ache o autovalor:5. Mostre que (a) ,0--,,sen-2.-,,-....=,-2. (b) ,0--,,sen-2.-,,-....=,,-2.-4.6. a) Mostre que a funo de onda ,,.=,-,.. no satisfaz a equao de Schrdinger dependente do tempo. b) Mostre que a funo ,,.=,-,.. satisfaz tanto a equao de Schrdinger dependente do tempo quanto a equa...7. Determine (a) ,. e (b) ,,-2.. para o segundo estado excitado (=3) de um poo quadrado infinito.8. Uma partcula se encontra em um poo quadrado infinito de largura . Calcule a energia do estado fundamental: (a) se a partcula um prton e =0,1 , o tamanho aproximado de uma molcula; (b) se a partcula um prton e =1 , o tamanho...9. Alguns dados para a energia cintica dos eltrons ejetados com funo do comprimento de onda da radiao incidente do efeito fotoeltrico para o sdio metlico so:10. Calcule ,-.=,,,-2..,,.-2.., ,-.=,,,-2..,,.-2.. e ,-.,-. para a funo de onda do estado fundamental do poo quadrado infinito.
