O PROFESSOR PDE E OS DESAFIOSDA ESCOLA PÚBLICA PARANAENSE

2009

Versão Online ISBN 978-85-8015-054-4Cadernos PDE

VOLU

ME I

CLIZEIDE VIEIRA DOS SANTOS

ARTIGO FINAL

RESOLUÇÃO DE PROBLEMAS: COMO DESENVOLVER A

COMPREENSÃO DA

MATEMÁTICA EM ALUNOS DE 5ª SÉRIE ENVOLVENDO AS

QUATRO OPERAÇÕES.

ARARUNA-PR

2010/2011

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Resolução de Problemas: Como desenvolver a compreensão da

Matemática em alunos de 5ª série envolvendo as quatros operações

Clizeide Vieira dos Santos1

Valdir Alves2

RESUMO

Este artigo apresenta o relato do trabalho desenvolvido na Escola Estadual “29

de Novembro – Ensino Fundamental, numa 5ª série do período matutino no município

de Araruna-PR, no ano de 2010. A resolução de problemas tem sido apontada como

uma metodologia para o ensino da Matemática que pode aumentar o interesse dos

alunos, sua motivação, além de ajudar no desenvolvimento do raciocínio lógico e de

outras habilidades matemáticas. Dessa forma, ao utilizar esta metodologia o aluno

terá a oportunidade de aplicar conhecimentos matemáticos previamente adquiridos

em situações novas de modo que venha solucionar a atividade proposta.

Palavras-chaves: Resolução de Problemas; Operações Fundamentais; Prática

Metodológica.

1 Pós-graduada em Metodologia da Matemática, integrante do Programa de Desenvolvimento da Educação (PDE).

2 Professor Orientador Mestre em Matemática: Métodos Numéricos em Engenharia, Faculdade Estadual Ciências e

Letras de Campo Mourão-FECILCAM

2

INTRODUÇÃO

A matemática está presente na vida cotidiana de todo cidadão, por vezes de

forma implícita ou explicita no momento em que abrimos os olhos e olhamos as horas

no relógio, fazemos almoço e ainda andamos na rua para fazer compras, estamos

exercitando nossos conhecimentos matemáticos. Assim constatamos a importância da

matemática que desempenha papel decisivo em nosso cotidiano nos ajudando a

resolver problemas, criando soluções para os mesmos.

A matemática é vista atualmente como uma disciplina que traz grandes

dificuldades no processo ensino-aprendizagem, tanto para os alunos, como para os

professores envolvidos no mesmo. De um lado, observa-se a incompreensão e a falta

de motivação dos alunos em relação aos conteúdos matemáticos ensinados em sala

de aula de forma tradicional, e do outro, está o professor que não consegue alcançar

resultados satisfatórios no ensino de sua disciplina.

Essas deficiências quando falamos da 5ª série, refletem a preocupação que

todo aluno, nessa série deveria ter um considerável domínio das estruturas aditivas.

Visando compreender as dificuldades ainda presentes no domínio das

estruturas aditivas da 5ª série, a presente proposta visa desenvolver o raciocínio

lógico, criatividade e a capacidade de resolver problemas desenvolvendo à adição,

subtração, multiplicação e divisão, assim ajudando os alunos a superarem alguns

obstáculos que comumente estão relacionados a aprendizagem e ensino da

matemática.

Segundo Dante (2000), as rápidas mudanças sociais e o aprimoramento cada

vez maior e mais rápido da tecnologia impedem que se faça uma previsão exata de

quais habilidades, conceitos e algoritmos matemáticos seriam úteis hoje para preparar

um aluno para sua vida futura. Ensinar apenas conceitos e algoritmos que atualmente

são relevantes parece não ser o caminho, pois eles poderão tornar-se obsoletos daqui

a quinze ou vinte anos, quando a criança de hoje estará no auge de sua vida

produtiva. Assim, um caminho bastante razoável é preparar o aluno para lidar com

situações novas, quaisquer que sejam elas. E, para isso, é fundamental desenvolver

nele iniciativa, espírito explorador, criatividade e independência através da resolução

de problemas.

Dessa forma, a resolução de problemas á um recurso que se abre a diversas

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possibilidades de trabalho em sala de aula, exigindo assim certa “postura” e

conhecimento do professor na contemporaneidade. A adoção dessa alternativa

metodológica ajuda a preparar os alunos para enfrentarem situações novas, seja na

sua vida escolar como também no dia-a-dia, e a desenvolverem a autonomia, pois ao

resolver problemas estão sempre tendo que tomar decisões.

A resolução de problemas, segundo Dante (2000), pode contribuir para que o

aluno, em seu processo de formação, não só construa esquemas conceituais, mas

também desenvolva uma visão crítica que lhe permita manipular grandes volumes de

informações, trazidas pelos meios de comunicação de forma tão diversificada, a ponto

de selecionar e compreender as relevantes. Nesse sentido, a escola e o professor são

cada vez mais imprescindíveis, na importante tarefa de preparar o aluno de forma a

desenvolver habilidades que o tornarão capaz de responder à demanda do mundo

globalizado.

De acordo com as Diretrizes Curriculares de Educação Básica do Estado do

Paraná, um dos desafios do ensino de Matemática é a abordagem de conteúdos para

a resolução de problemas, por se tratar de uma metodologia pela qual o estudante

tem a oportunidade de aplicar conhecimentos matemáticos adquiridos em novas

situações, de modo a resolver a questão proposta.

Sendo a Resolução de Problemas uma Tendência em Educação Matemática de

grande importância, se faz uma série de colocações a esse respeito, como por

exemplo:

O que é um problema?

O que é um problema matemático?

Como se classificam os problemas?

Que esquema se pode utilizar para a resolução de problemas?

O que é um problema?

Ás vezes o que parece ser um problema para uma pessoa, parece não ser

para outra, mas o que leva as pessoas a pensarem o que é ou não um problema?

Para Dante (2000) “problema é qualquer situação que exija o pensar do

indivíduo para solucioná-la”.

Segundo Pereira (1980) “problema é toda situação na qual o indivíduo

necessita obter novas informações e estabelecer relações entre elementos

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conhecidos e os conteúdos num objetivo a que se propõe a realizar para atingi-lo”.

Para Azevedo (2002) “problema, para nós, é tudo aquilo que não sabemos

fazer, mas que estamos interessados em fazer. Assim, problemas com enunciados,

exercícios simples ou complexos ou ainda demonstrações, de qualquer natureza, que

não sabemos fazer, constituem em problemas”.

O que é um problema matemático?

Segundo Dante (2000) “é qualquer situação que exija a maneira matemática de

pensar e conhecimentos matemáticos para solucioná-la”.

Como se classificam os problemas?

Segundo Dante (2000), a classificação dos problemas pode ser representada

por: exercícios de reconhecimento; exercícios de algoritmos; problemas-padrão;

problemas-processo ou heurístico; problemas de aplicação e problemas de quebra-

cabeça.

Exercícios de reconhecimento

Seu objetivo é fazer com que o aluno reconheça, identifique ou lembre um

conceito, um fato específico, uma definição, uma propriedade, etc.

Exemplos:

Dados os números 2, 5, 10, 103, 156 e 207, quais são pares?

Uma centena equivale a quantas dezenas?

Exercícios de algoritmos

Seu objetivo é treinar a habilidade em executar um algoritmo e reforçar

conhecimentos anteriores.

Exemplos:

Calcule o valor de [(3 . 4) + 2] : 7

Efetue:

a) 128 + 79

5

b) 101 – 68

Problemas-padrão

O objetivo desses problemas é recordar e fixar os fatos básicos através dos

algoritmos das quatro operações fundamentais, além de reforçar o vínculo existente

entre essas operações e seu emprego nas situações do dia-a-dia. A solução do

problema já está contida no próprio enunciado.

Exemplo:

Numa classe há 17 meninos e 22 meninas. Quantos alunos há na classe?

Um gato tem 4 patas. Quantas patas têm 3 gatos?

Problemas-processo ou heurísticos

São problemas cuja solução envolve operações que não estão contidas no

enunciado. Em geral, não podem ser traduzidos diretamente para linguagem

matemática, nem resolvidos pela aplicação automática de algoritmos, pois exigem do

aluno um tempo para pensar e arquitetar um plano de ação, uma estratégia que

poderá levá-lo à solução. Por isso esses tipos de problemas aguçam a curiosidade do

aluno e permitem que ele desenvolva sua criatividade, sua iniciativa e seu espírito

explorador. E, principalmente, iniciam o aluno no desenvolvimento de estratégias e

procedimentos para resolver situações-problema, o que, em muitos casos, é mais

importante que encontrar a resposta certa.

Exemplo:

Numa reunião de equipe há 6 alunos. Se cada um trocar um aperto de mão

com todos os outros. Quantos apertos de mãos teremos ao todo?

Problemas de aplicação

São aqueles que retratam situações reais do dia-a-dia e que exigem o uso da

Matemática para serem resolvidos. São também chamados de situação-problema.

Através de conceitos, técnicas e procedimentos matemáticos procura-se matematizar

uma situação real, organizando os dados em tabelas, traçando gráficos, fazendo

operações, etc.

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Exemplo:

Para fazer seu relatório, um diretor de escola precisa saber qual é o gasto

mensal, por aluno, que ele tem com a merenda escolar. Vamos ajudá-lo a

fazer esses cálculos?

Podemos levantar as seguintes questões:

a) Quantos alunos comem a merenda por dia? E por mês?

b) Quantos quilos de arroz, macarrão, tomate, cebola, sal, etc. a escola recebe

por mês?

c) Qual o preço atual, por quilo, de cada um desses alimentos?

d) Quanto se gasta de gás?

e) Qual o salário mensal da merendeira?

Problema de quebra-cabeça

São problemas que envolvem e desafiam grande parte dos alunos. Geralmente

constituem a chamada Matemática recreativa, e sua solução depende, quase sempre,

de um golpe de sorte ou da facilidade em perceber algum truque, que é a chave da

solução.

Exemplo:

Com 24 palitos de fósforo, forme 9 quadradinhos, Como fazer para tirar

apenas 4 palitos e deixar 5 quadradinhos?

Que esquema se pode utilizar para a resolução de problemas?

Como sugestão de esquema de resolução de problemas, se pode utilizar o de

Polya (1994), composto de 4 fases, as quais são: compreender o problema; elaborar

um plano; executar o plano; fazer o retrospecto ou verificação.

É claro que essas etapas não são rígidas, fixas e infalíveis. O processo de

resolução de um problema é algo mais complexo e rico, que não se limita a seguir

instruções passo a passo que levarão à solução, como se fosse um algoritmo.

Entretanto, de um modo geral elas ajudam o solucionador a se orientar durante o

processo. Vejamos com mais detalhes cada uma dessas etapas.

1ª etapa: compreender o problema

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Antes de começarmos a resolver o problema, precisamos compreendê-lo. Para

isso, devemos responder a questões como:

a) O que se pede no problema?

b) Quais são os dados e as condições do problema?

c) É possível fazer uma figura, um esquema ou um diagrama?

d) É possível estimar a resposta?

2ª etapa: elaborar um plano

a) Qual é o seu plano para resolver o problema?

b) Que estratégia você tentará desenvolver?

c) Você se lembra de um problema semelhante que pode ajudá-lo a resolver

este?

d) Tente organizar os dados em tabelas e gráficos.

e) Tente resolver o problema por partes.

3ª etapa: executar o plano

a) Execute o plano elaborado, verificando-o passo a passo.

b) Efetue todos os cálculos indicados no plano.

c) Execute todas as estratégias pensadas, obtendo várias maneiras de resolver

o mesmo problema.

4ª etapa: fazer o retrospecto ou verificação

a) Examine se a solução obtida está correta.

b) Existe outra maneira de resolver o problema?

c) É possível usar o método empregado para resolver problemas semelhantes?

Segundo Nogueira (2000) a Resolução de Problemas tem alguns princípios

que precisam ser assumidos incondicionalmente pelo professor:

O ponto de partida para a atividade matemática não é a definição, mas

o problema;

O problema que motiva a aprendizagem não é o exercício de aplicação

quase mecânica, uma fórmula ou um processo operatório;

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Só existe problema quando o aluno se sente desafiado a resolvê-lo e

quando precisa interpretar o resultado da questão;

Aproximações sucessivas ao conceito são construídas para resolver

certos tipos de problemas.

A resolução de problemas não é uma atividade isolada para ser desenvolvida

separadamente das aulas regulares, mas deve ser parte integrante do currículo e

cuidadosamente preparada para ser realizada de modo contínuo e ativo ao longo do

ano letivo, usando as habilidades e os conceitos matemáticos que estão sendo

desenvolvidos. Não se aprende a resolver problemas de repente. É um processo

vagaroso e contínuo, que exige planejamento.

Diante do que propõe os pesquisadores Dante e Polya, no qual está

fundamentada esta pesquisa, procurei elaborar um rol de problemas interessantes

que levassem os alunos a debruçarem sobre os mesmos de maneira significativa,

levando-os a passar pelas fases que os mesmos propõe.

METODOLOGIA

A implementação do projeto foi desenvolvida através da abordagem de uma

Tendência em Matemática, que é a Resolução de Problemas envolvendo as quatro

operações básicas (adição, subtração, multiplicação e divisão).

No primeiro contato com a turma foi exposto para eles o trabalho a ser

desenvolvido durante um certo período, e a respeito da metodologia que seria

aplicada. Foi feito uma breve explanação do projeto e sua finalidade, a princípio eles

se mostraram interessados por se tratar de algo diferente.

No primeiro dia falando com os alunos sobre o método que ia ser utilizado na

aplicação na Resolução de Problemas seria fundamentada na teoria de Pólya (2006):

compreender o problema, elaborar um plano, executar o plano e o retrospecto.

Durante a aplicação das atividades os alunos foram divididos em grupos para

resolverem os problemas propostos, escolhendo e registrando as estratégias

utilizadas, os procedimentos desenvolvidos e a resposta encontrada. Em todo

momento a professora enfatizou a importância da leitura, tendo que ser feita se

preciso mais de uma vez. Sempre encorajando os alunos a trocarem de idéias com os

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demais integrantes do grupo e a registrarem todos os passos utilizados até chegarem

ao resultado final.

Apresentamos a seguir dois problemas utilizados na implementação do

projeto:

Problema Escondido

Procedimentos: Dividir a turma em 5 ou 6 grupos, cada grupo escolhe um aluno para

representá-los, esse aluno escolhe a cor do envelope e a pontuação que o grupo

deseja. Um problema seria desvendado do envelope escolhido e todos os grupos

resolveriam a questão. Se o grupo que escolheu a questão não conseguir resolvê-la,

outro grupo que primeiro apresentar a questão no quadro corretamente marca a

pontuação. E vence o grupo que marcar mais pontos.

FOTO CLIZEIDE

Problemas dos envelopes

ROSA (1 ponto)

1) Numa fazenda há 6525 laranjeiras, 2968 mangueiras e 1024 abacateiros. O dono

da fazenda quer que ela tenha 12000 árvores. Quantas faltam plantar?

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2) Dezenove andorinhas voavam, juntaram-se mais três casais. Quantas andorinhas

Ficaram ao todo?

3) Quantos carros se podemos formar com 186 pneus? Sobra algum pneu?

4) Quantos apertos de mão 5 pessoas podem trocar entre si, se cada uma

cumprimenta todas as outras?

VERDE (2 pontos)

1) Quantos anos tem uma pessoa que nasceu em 1929?

2) Quais os algarismos que estão faltando na conta ao lado: 9 # 4

x 8

7<3<

3) Dois casais de namorados vão sentar-se em um banco de uma praça. Em

quantas ordens diferentes os quatro podem sentar-se no banco, de modo que cada

namorado fique ao lado de sua namorada?

4) Um vendedor de brinquedos quer lucrar R$ 2,00 na venda de cada carrinho de ferro

e R$ 1,00 na venda de cada carrinho de plástico. Ele comprou 12 carrinhos de

ferro por R$ 120,00 e 6 carrinhos de plástico por R$ 30,00. Por quanto será

preciso vender cada carrinho de ferro e cada carrinho de plástico?

AMARELO (3 pontos)

1) Pensei num número, multipliquei por 4 e ao resultado somei 5. Resultou 41. Em

que número pensei?

2) A mãe de Maria saiu de casa com R$ 87,00. Pagou uma conta de R$ 59,00 e

passou no Caixa Eletrônico, onde retirou R$ 100,00. Depois foi ao supermercado,

onde gastou R$ 79,00. Voltando para casa, uma vizinha lhe pagou uma dívida de

R$ 25,00. Com quanto dinheiro ela chegou em casa?

3) Uma sorveteria tem sorvetes de 3 sabores diferentes: chocolate, morango e creme.

Quais são tipos de sorvete de 2 bolas que podem ser formados? Quantos são

esses tipos?

4) Um ramo de flores com 4 rosas e 2 tulipas custou 70 reais. Sabendo que cada

tulipa custou mais 5 reais do que uma rosa. Qual será o preço de cada rosa e de cada

tulipa.

AZUL (4 pontos)

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1) A classe de Serginho tem 6 fileiras. Cada fileira tem 5 carteiras. Uma carteira

está sempre vazia. Quantos alunos há na classe dele?

2) A prefeitura de uma certa cidade fez uma campanha que permite trocar 4

garrafas de 1 litro vazias por uma garrafa de 1 litro cheia de leite. Até quantos litros

de leite pode obter uma pessoa que possuir 43 dessas garrafas vazias?

3) Imagine as cidades A, b e C, que localizam à beira de uma rodovia. Da cidade A

até B, há 132Km e, da cidade A até C, há 85 Km. Qual a distância da cidade B até

C?

Observação: há mais de uma resposta.

4) Um fazendeiro comprou 1128 cabeças de gado, mas terá que levá-los até sua

fazenda. Contratou uma frota de caminhões para fazer o transporte. Cada

caminhão pode levar 36 cabeças. Para transportar todos, quantos caminhões, no

mínimo, serão necessários?

Ao iniciar a atividade os alunos estavam muito ansiosos, fui conversando com

eles relembrando os passos que teriam que seguir para facilitar a resolução, quando

tinham dificuldades achando que era difícil e impossível a resolução, questionavam

fazendo perguntas como resolver, respondia com perguntas a eles para

desenvolverem o raciocínio para chegarem à solução, o que achavam impossível se

tornava fácil ao conseguirem o resultado final. Percebe-se que alguns alunos não

conseguiam chegar ao resultado devido a razão de falta de leitura e interpretação. Ao

fazer o retrospecto foi interessando a participação e as maneiras como chegaram a

solução. Ao realizar a atividade, os alunos almejavam encontrar as soluções corretas

para as situações-problemas, assim, precisavam se comunicar entre si. Em virtude

disso o clima de amizade entre eles foi visível no decorrer das atividades. No término

dessa atividade a ansiedade era grande por parte dos alunos para saberem qual dos

grupos foi o vencedor.

Pesquisando os preços

Procedimentos: Divide-se os alunos em dois grupos. Um grupo será os vendedores e

o outro os compradores, e vice-versa. Cada aluno comprador receberá uma lista para

fazer compras no supermercado, terá duas opções: Supermercado Tio João e

Supermercado Vendo Bem. Será entregue para cada aluno duas folhas de cheque

para ir as compras. Depois inverte vendedores e compradores. Para finalizar será feito

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uma plenária para ver quem gastou menos.

FOTO CLIZEIDE

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FOTO CLIZEIDE

Lista da Compra

PRODUTO

PREÇO UNITÁRIO

QUANTIDADE

TOTAL

Arroz 2

Feijão 3

Óleo 3

Leite 4

Macarrão 3

Carne 5kg

Refrigerante 2

Extrato de tomate 3

Frango 2Kg

Sabão em pó 2

Linguiça 1kg

Café 1

Farinha trigo 1

Peixe 2Kg

Margarina 1

Sabão em pó 3

Total gasto : R$ ______________

Após as compras responder:

a) Qual supermercado você mais comprou?

b) Quantos reais foi gasto no Supermercado Tio João?

c) Quantos reais foi gasto no Supermercado Vendo Bem?

d) Compare o valor com seus colegas quem gastou menos? E qual foi o valor?

e) Por que ele gastou menos?

No decorrer da semana os alunos esperavam ansiosos pela próxima aula.

Antes de começarem à compra, foi passado para os alunos que teriam dois mercados

para fazerem a mesma compra e ao final seria visto qual grupo gasto menos para

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fazer a mesma compra. A maioria dos grupos, primeiramente observaram os preços e

depois começaram as compras sempre fazendo suas anotações e as contas

necessárias para saber o preço que estava pagando pela mercadoria, teve um grupo

que se preocupou em terminar primeiro escolhendo um mercado e fazendo sua

compra. No retrospecto fazendo a análise dos resultados foi muito interessante à

participação e a discussão, do porque um dos grupos fez a mesma compra mas

gastou menos, e a relação que fizeram com o dia-a-dia quando sua família vai as

compras muitos falaram que os pais fazem pesquisa de preços antes de comprar,

outros só compram em um determinado local.

No decorrer da intervenção os alunos se sentiam desafiados a resolver os

problemas a partir de seus conhecimentos prévios, especialmente quando estavam

relacionados com seu cotidiano. Na atividade em que os alunos tiveram que formular

seu próprio problema, ocorreu um elo da linguagem verbalizada com a linguagem

matemática da situação. Ao produzir situações-problemas o aluno pode relacionar

informações da sua realidade cotidiana com os conteúdos trabalhados em sala de

aula, e também essa atividade contribuiu no reforço da resolução usando as quatro

operações. Assim pude constatar que os alunos se apropriaram de diversos tipos de

conhecimentos, alguns usaram mais de uma operação.

Desse modo, ao propor situações-problemas o professor possibilita à

produção do conhecimento onde o aluno busca a participação ativa e compartilha

resultados analisando reflexões e respostas que promovem uma aprendizagem com

significado e compreensão de todos.

CONCLUSÃO

A resolução de Problemas não é uma atividade isolada para ser desenvolvida

separadamente das aulas regulares, mas deve ser parte integrante do currículo e

cuidadosamente preparada para ser realizada de modo contínuo e ativo ao longo do

ano letivo, usando as habilidades e os conceitos matemáticos que estão sendo

desenvolvidos. Não se aprende a resolver problemas de repente. É um processo

vagaroso e contínuo, que exige planejamento.

O professor deve mostrar ao aluno a necessidade de resolver problemas na

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vida diária, o valor de enfrentar desafios que exigem grande esforço e dedicação,

mesmo que não os solucione corretamente, pois o ato de tentar resolvê-los com

empenho já é um grande aprendizado.

Não devemos dizer ao aluno aquilo que ele pode descobrir por si só. Suas

sugestões em pontos críticos devem ser incentivos para mantê-los interessados em

resolver o problema. Ao incentivar os alunos na resolução de problema, devemos

apresentar sugestões e insinuações, mas nunca apontar o caminho a ser seguido. É

melhor transformar as informações que porventura forneceríamos em descobertas do

aluno orientadas por nós. Alguns segundos de prazer da descoberta valem mais do

que mil informações que possam transmitidas ao aluno.

Desta forma, o trabalho com a metodologia da resolução de problemas com

alunos da 5ª série, se destaca como um mecanismo a mais para despertar no aluno a

motivação e, desta forma, atualizar o ensino da matemática aos padrões modernos,

mais agradáveis a todos.

A implementação proporcionou melhoras na compreensão dos conceitos das

operações básicas, pois é notória a evolução dos alunos ao comparar os resultados

dos problemas diagnosticados.

Todavia os alunos demonstraram interpretar com mais clareza os problemas

aplicados ás operações corretamente e se mostraram mais seguros de si tendo a

certeza do que queriam e da solução que apresentavam.

Mais do que nunca precisamos de pessoas ativas e participantes, que deverão

tomar decisões rápidas e, tanto quanto possível e precisas. Assim, é necessário

formar cidadãos matematicamente alfabetizados, que saibam como resolver, de modo

inteligente seus problemas de comércio, economia, administração, engenharia,

precisão do tempo e outras da sua vida diária.

E para isso, é preciso que a criança tenha, em seu currículo de Matemática

elementar, a resolução de problemas com parte substancial, para que desenvolva

desde cedo sua capacidade de enfrentar situações problema. Se durante a vida

escolar forem dadas oportunidades ao aluno de se envolver com diferentes situações

problemas, quando adulto agirá com inteligência e maturidade ao ter que enfrentar

seus problemas da vida diária, sejam elas de ordem econômica, política e social.

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REFERÊNCIAS

ANDRADE, Doherty; NOGUEIRA, Clélia Maria Ignatius (org). Educação

matemática e as operações fundamentais. Mariguá: Eduem, 2005.

DANTE, Luiz Roberto. Didática da resolução de problemas de matemática. São

Paulo: Ática, 2000.

PARANÁ, Secretaria de Estado da Educação. Diretrizes Curriculares de

Matemática da Rede Pública de Educação Básica do Paraná. Curitiba, 2008.

POLYA, George. A arte de resolver problemas: um novo enfoque do método

matemático. 2ª ed. Rio de Janeiro: Interciência, 1994.