O PROFESSOR PDE E OS DESAFIOSDA ESCOLA PÚBLICA PARANAENSE

2009

Produção Didático-Pedagógica

Versão Online ISBN 978-85-8015-053-7Cadernos PDE

VOLU

ME I

I

1

SANDRA MARA MANTOVANI

Londrina 2010

2

SECRETARIA DE ESTADO DA EDUCAÇÃO DO PARANÁ

SUPERINTENDÊNCIA DA EDUCAÇÃO

PROGRAMA DE DESENVOLVIMENTO EDUCACIONAL – PDE

UNIVERSIDADE ESTADUAL DE LONDRINA

SANDRA MARA MANTOVANI

INVESTIGAÇÃO MATEMÁTICA: AS EMBALAGENS E O

ESTUDO DE GEOMETRIA

Londrina 2010

3

DADOS DE IDENTIFICAÇÃO

PROFESSOR PDE: Sandra Mara Mantovani.

ÁREA PDE: Matemática.

NRE: Londrina.

Professora Orientadora IES: Profa. Ms. Magna Natalia Marin Pires.

IES: UEL – Universidade Estadual de Londrina.

ESCOLA DE IMPLEMENTAÇÃO: Colégio Estadual Barão do Rio Branco –

EFM

PÚBLICO OBJETO DA INTERVENÇÃO: Alunos da 5ª série do EF.

PROBLEMATIZAÇÃO: Como é possível desenvolver estratégias de

ensino que além de instrumentalizarem o aluno a relacionar eficientemente a

geometria com situações práticas do nosso cotidiano, também explore o

saber científico da matemática, utilizando embalagens e arte?

DEFINIÇÃO DO OBJETO DE ESTUDO: Turmas do Ensino

Fundamental da 5º série do Colégio Estadual Barão do Rio Branco- EFM.

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Sumário

APRESENTAÇÃO ...................................................................................................................................... 5

1. INTRODUÇÃO ....................................................................................................................................... 6

2. AS TAREFAS ......................................................................................................................................... 8

3. OS ALUNOS .......................................................................................................................................... 9

4. O PROFESSOR ...................................................................................................................................... 9

5. ENCAMINHAMENTO METODOLÓGICO .................................................................................. 10

6. QUESTÕES 6 1. INVESTIGANDO AS EMBALAGENS ..................................................... 12

1a Etapa .............................................................................................................................................. 12

2a Etapa .............................................................................................................................................. 14

3a Etapa .............................................................................................................................................. 17

4a Etapa .............................................................................................................................................. 19

6. 2. CONSTRUINDO OS POLIEDROS DE PLATÃO ................................................................. 20

6. 3. CONFECCIONANDO A BOLA DE FUTEBOL ...................................................................... 27

6. 4. GEOMETRIA E A ARTE DE TARSILA DO AMARAL ......................................................... 31

1a Etapa ............................................................................................................................................... 31

2a Etapa .............................................................................................................................................. 33

3a Etapa ............................................................................................................................................. 34

4a Etapa ............................................................................................................................................. 34

5a Etapa ............................................................................................................................................. 36

6a Etapa ............................................................................................................................................. 36

7a Etapa ............................................................................................................................................. 37

7. A GEOMETRIA NO TEMPO ......................................................................................................... 38

8. REFERÊNCIAS: ......................................................................... Erro! Indicador não definido.1

5

PRESENTAÇÃO

O presente material didático está articulado ao Projeto de

Intervenção Pedagógica - Investigação Matemática: As Embalagens e o Estudo

de Geometria.

Esse material apresenta atividades de investigação

matemática e uma proposta de trabalho com o conteúdo de geometria para o

Ensino Fundamental, que será desenvolvido com alunos de 5ª série do Ensino

Fundamental.

Uma atividade de investigação Matemática caracteriza-se por ser

uma situação aberta ficando a cargo dos alunos a responsabilidade de definir

os objetivos, conduzir seus experimentos, formular e testar suas hipóteses e

registrar as suas conclusões. São desenvolvidas em três etapas: apresentação

da atividade, realização exclusiva pelos alunos, discussão e reflexão sobre o

trabalho realizado. É uma oportunidade de fazer matemática como os

matemáticos a fazem, pois cabe ao aluno a escolha de qual caminho seguir.

Em seguida, será descrito e analisados os resultados obtidos.

Para realizar essa experiência, serão utilizados materiais manipuláveis como

uma estratégia de ensino. As atividades têm o objetivo principal de desenvolver

o raciocínio lógico matemático, preparando assim o aluno para desenvolver de

maneira significativa o conteúdo de geometria espacial.

A

6

1. INTRODUÇÃO

O grande desafio do processo ensino aprendizagem não é

simplesmente transmitir informações, consiste, sobretudo em formar alunos

críticos, capazes de solucionar situações problemas e aprender na prática

constante, a fim de construir este conhecimento. Por isso, a Matemática não

deve ser vista como algo inatingível, como se fosse um idioma desconhecido

ou a apresentação de uma partitura para um leigo em música.

Dessa forma acredita-se ser o conhecimento, o processo de

apropriação, voltado ao cotidiano da sala de aula. Já dizia FRAGA (1988, p.43):

"O discurso matemático desligado da vida cotidiana do aluno, não o estimula para explorar e conhecer a Matemática como um bem cultural criativo, real e prático."

O professor tem um papel importantíssimo no processo da

aprendizagem, ele deve propor atividades diversificadas de modo que desperte

no aluno a: criatividade, curiosidade, critica e questionamentos permanentes,

contribuindo assim para a sua formação como cidadão crítico e não apenas

para ser um instrumento do interesse e da vontade das classes dominantes.

Trabalharemos as atividades aqui propostas com base nessa

realidade, utilizando a estratégia de Investigação Matemática presente nas

Diretrizes Curriculares da Educação Básica do Paraná e acreditamos que

dessa maneira poderemos agregar, enriquecer e contribuir para o

desenvolvimento do educando. De acordo com as DCE (2008, p. 67):

Uma investigação é um problema em aberto e, por isso, as coisas acontecem de forma diferente do que na resolução de problemas e exercícios. O objeto a ser investigado não é explicitado pelo professor, porém o método de investigação deverá ser indicado através, por exemplo, de uma introdução oral, de maneira que o aluno compreenda o significado de investigar. Assim, uma mesma situação apresentada poderá ter objetos de investigação distintos por diferentes grupos de alunos. E mais, se os grupos partirem de pontos de investigação diferentes, com certeza obterá resultados também diferentes.

7

A Investigação Matemática diferencia-se das demais tendências

por ser desafiadora e aberta, permitindo assim que os alunos apresentem

várias alternativas de exploração e investigação. Essa tendência, como

atividade de ensino-aprendizagem, portanto:

Ajuda a trazer para a sala de aula o espírito da atividade matemática genuína, constituindo, por isso, uma poderosa metáfora educativa. O aluno é chamado a agir como um matemático, não só na formulação de questões e conjecturas e na realização de provas e refutações, mas também na apresentação de resultados e na discussão e argumentação com os seus colegas e o professor (PONTE; BROCADO; OLIVEIRA, 2003, p. 23).

A geometria dentro da Matemática é uma área particularmente

propícia à realização de atividades de natureza exploratória e investigativa.

Para Freudenthal (1973), a geometria é essencialmente “compreender o

espaço” que a criança “deve aprender a conhecer, explorar, conquistar, de

modo a poder aí viver, respirar e mover-se melhor”. Pensando assim, a

geometria torna-se um campo privilegiado de fazer a matemática e de

realização de descobertas. É interessante que Freudenthal chame a atenção

para dois aspectos da riqueza da geometria que poderiam parecer

contraditórios, mas que na verdade se completam: por um lado, as descobertas

geométricas sendo feitas também “com os próprios olhos e mãos, são mais

convincentes e surpreendentes”; por outro lado, salientando a necessidade de

explicação lógica das suas conclusões, a geometria pode fazer sentir aos

alunos “a força do espírito humano, ou seja, do seu próprio espírito”.

Procuraremos trabalhar, com naturalidade, à manipulação de

materiais, e dessa forma esperamos que a geometria seja propícia a um ensino

fortemente baseado na realização de descobertas e na resolução de

problemas.

A riqueza e variedade da geometria constituem, de fato,

argumentos fortes para a sua valorização, é notável a variedade de formas

geométricas que os organismos vivos apresentam. Esta constatação teria

levado Platão a formular o aforismo,

8

Retirado do site users.prof2000.pt/zemaria/CINDERELLA/.../Tarefa_2.pdf , acesso

08/05/2010

2. AS TAREFAS

Serão desenvolvidas no segundo semestre do período

letivo, utilizando um terço da carga horária semanal (2h/s).

Deverão ser desafiadoras e provocativas.

Deverão ser trabalhadas de forma que estimule a

formalização do conceito das figuras.

"Por toda a parte existe a Geometria".

“Sim – terá confirmado o geômetra suíço Leonhard Euler (1707-

1783) – mas são precisos olhos para vê-la".

E diz-se que o italiano Joseph-Louis Lagrange (1755-1819) teria

acrescentado ao complemento de Euler:

"E inteligência para compreendê-la".

Parece-nos, porém (Malba Tahan, 1974), que a frase só ficaria

completa com este fecho: “... e alma de artista para admirá-

la".

9

3. OS ALUNOS

Os alunos deverão trabalhar em duplas ou em grupo (pelo

menos na maior parte do tempo), pois assim será mais propícia a interação,

para que possam discutir os processos e os resultados, favorecendo assim a

construção do conhecimento. Eles deverão participar das aulas promovendo o

respeito às opiniões dos colegas, diante das diferentes formas de

pensamentos. Durante as aulas eles terão que registrar tudo o que for possível

e no final da aula trocar suas informações com demais colegas da equipe.

4. O PROFESSOR

O professor tem papel decisivo na realização desse

trabalho. Ele terá que adotar uma postura para que haja participação na sala

de aula, segurança, troca de idéias, devera manter diálogo com os alunos

enquanto eles estão trabalhando com a atividade proposta, e no final cabe-lhe

conduzir a discussão coletiva. Ao longo de todo este processo, precisa criar um

ambiente propício à aprendizagem, estimular a comunicação entre os alunos e

assumir uma variedade de papéis que favoreçam a sua aprendizagem,

encorajando seus alunos na exposição de suas idéias e conseqüentemente o

desenvolvimento da construção do conhecimento matemático.

Para desenvolver esse trabalho o professor deve:

Ter os objetivos bem definidos e conduzir o trabalho para

tal, mesmo não podendo antecipar totalmente as reações dos alunos;

Conduzir o trabalho por meio de questionamentos,

discussão e reflexão;

Estar sempre muito atento para que o diálogo e as

discussões não se desviem do objetivo principal da atividade.

Durante o desenvolvimento das atividades é importante que o

professor ande pela sala, converse com os alunos quando estes solicitam

algum esclarecimento e acompanhem o desenvolvimento das atividades. É

importante orientar os alunos que podem existir outros caminhos interessantes

e que possibilitam chegar a um mesmo resultado.

10

5. ENCAMINHAMENTO METODOLÓGICO

O objetivo desse material didático é proporcionar aos alunos da 5ª

série do Ensino Fundamental do Colégio Estadual Barão do Rio Branco, em

Londrina, Paraná, a produção de conhecimento por meio da aplicação dos

conceitos geométricos, realizando tarefas de cunho exploratório por maio da

Investigação Matemática.

A realização das tarefas nas duas turmas será dividida em dois

momentos: o momento de discussão, de produção e de registro escrito pelos

alunos e o momento de socialização, onde serão discutidos os resultados

obtidos pelos alunos.

As tarefas serão diversas, dentre elas teremos: confecção de

embalagens, poliedros e uma bola de futebol, a confecção desses materiais

será realizada com bases em experiências dos alunos com conteúdos de

Matemática da 5ª série, as dimensões dos objetos serão pré-estabelecidas

pelo grupo; representarão o quadro da Tarsila do Amaral utilizando sólidos e

resolverão exercícios que envolvam conceitos geométricos.

As tarefas anteriormente descritas possuem papel importante no

processo de ensino aprendizagem do aluno, pois visam promover a exploração

e investigação durante as aulas de Matemática além de requerer processos

complexas de pensamento, envolvimento e criatividade do grupo a que se

destinam. Cada tarefa possui enunciado e objetivo precisos e estruturados e,

além disso, espera-se que sejam os próprios alunos que definam e orientem

as discussões.

O foco desse trabalho será a investigação matemática, em que,

por meio da exploração de idéias simples, os vários exemplos/modelos

propostos, deverão ser trabalhados de forma que se estimule a formalização de

conceitos geométricos a partir da proposta inicial, enveredando-se pelos

caminhos que surgem como interessantes. Este último é divergente: “Sabe-se

qual é o ponto de partida, mas não se sabe qual será o ponto de chegada”

(FONSECA, 1999, p. 4).

Segundo (PONTE, BROCARDO, OLIVEIRA, 2006, p.25) a

investigação matemática envolve três fases:

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1ª fase: introdução da tarefa, momento em que o professor faz a proposta

à turma.

2ª fase: realização da investigação.

3ª fase: discussão dos resultados, em que os alunos relatam aos colegas

o trabalho realizado.

O papel do professor em uma aula de investigação é fundamental,

pois ele deverá desenvolver ações como: desafiar os alunos; avaliar o

desempenho; incentivar o raciocínio matemático e apoiar o trabalho. Em cada

uma dessas ações, o professor deve acompanhar a turma, ou seja, dar

autonomia ao estudante, mas intervir como indutor da continuidade da tarefa,

ora entusiasmando e incentivando, ora redirecionando o foco ou avaliando os

passos no desenvolvimento do conhecimento, apontando questões,

reelaborando perguntas com os estudantes, provocando situações alternativas

de resoluções e caminhos diversos. Por isso, a postura do professor, na

condução de uma aula investigativa, assume várias faces. Ele deve se

assegurar de que todos os alunos compreendam bem as formas de

desenvolvimento e execução das tarefas.

Para que os alunos observem, explorem, discutam, descubram,

compreendam e internalizem de maneira bem consistente, as tarefas

propostas, estarão organizados em duplas ou em grupos e deverão ser

discutidas entre os colegas, e logo em seguida, a partir de debate promovido

pelo professor, confrontar as idéias e defenderem suas conclusões.

Na discussão dos resultados obtidos, é fundamental que o

professor oportunize momentos para que os alunos façam a reflexão sobre o

trabalho desenvolvido, analisem as conclusões obtidas e escrevam os

resultados encontrados.

12

6. QUESTÕES

6.1. INVESTIGANDO AS EMBALAGENS1

1a Etapa

Objetivos

Contextualizar o estudo dos sólidos geométricos

abordando seus usos sociais.

Desenvolver a percepção de regularidades por meio de

uma tentativa de classificação.

Introduzir, pela observação empírica, algumas

nomenclaturas para a classificação dos sólidos.

Promover a construção de conhecimentos de forma

participativa, possibilitando e estimulando a comunicação entre os alunos.

Materiais

Para a realização desta atividade é necessário dispor de uma

boa quantidade de caixas e embalagens vazias. Pode-se pedir para que os

próprios alunos as tragam, mas é importante que o professor também tenha

selecionado embalagens “típicas” e “exóticas” intencionalmente selecionadas

para provocar discussões ou sugerir abordagens. Também será útil a

utilização de modelos de sólidos geométricos.

1 Atividade inspirada no livro: Matemática já não e mais problema. Autoras: Daniela Jarandilha

e Leila Splendore, 3ª edição. Editora Cortez, 2006.

13

Desenvolvimento

Inicia-se a atividade pedindo para que os alunos, organizados

em grupos, proponham uma organização das embalagens, como se fossem

um comerciante que buscasse arrumar seus produtos em sua loja, de modo

que quando um freguês fizesse um pedido, seja fácil encontrar e pegar o que

ele deseja.

Os alunos, separados em grupos, devem discutir os critérios de

classificação que orientaram as organizações propostas. Para tal pode se

pedir que eles preencham um quadro em que cruzam informações sobre a

natureza do produto, forma e o material de que é feita a embalagem como o

que segue.

14

Material de que é feita a embalagem

Forma de

Embalagem Papelão Alumínio Vidro Plástico

Cilindro

Paralelepípedo

Prisma triangular

Cone

2a Etapa

(seqüência da primeira, utilizando os mesmos materiais e visando os

mesmos objetivos)

15

Desenvolvimento

A partir dos resultados registrados nos quadros e de sua

comparação, são propostos alguns questionamentos:

Por que é maior a freqüência de certas formas de

embalagens, especialmente paralelepípedo e cilindro em relação a outras,

como cone, esfera e pirâmides?

Quais as possíveis relações entre a forma e o material do

qual a embalagem e feita?

E sobre as relações entre a forma e o material da

embalagem e a natureza do produto que ela contém?

Sobre a primeira questão, pode-se observar que as embalagens

devem ter certa estabilidade, de forma que fiquem paradas nas prateleiras,

A discussão deve ser promovida entre os grupos e coordenada pelo

professor que pode produzir questionamentos auxiliares para ajudar a

encaminhar a discussão na direção esperada.

A comparação das embalagens com modelos de sólidos geométricos

pode auxiliar na definição das categorias a partir das quais se vão

classificar as formas das embalagens e subsidiar a discussão sobre a

relação entre a forma e a finalidade dos objetos.

16

sendo mais freqüente optar por formas que não rolam. Esta é uma boa

oportunidade para introduzir o vocabulário próprio da geometria, como a idéia

de face plana, de maneira que ele se apresente como um recurso que facilita a

expressão e não como um preciosismo de linguagem. Além disso, começa a

despontar aí um possível critério de classificação dos sólidos geométricos

(possuir faces planas, possuir todas as faces planas, não possuir faces planas,

possuir apenas uma face plana etc.), que não será tomado como meramente

arbitrário porque legitimado pela percepção e pela funcionalidade.

Outro aspecto que é considerado pelo fabricante na definição da

forma da embalagem de um produto é a economia de espaço. Isso será tanto

mais importante, conforme as exigências das condições de acondicionamento

e transporte. Mais uma vez, a manipulação dos modelos de sólidos e das

embalagens ajuda a identificar quais são os formatos de embalagens que

propiciam que, no empilhamento, aproveite-se o espaço da melhor maneira

possível, deixando poucos “buracos” entre elas.

Confrontando os aspectos da estabilidade em diversas posições e

a economia de espaço no empilhamento, as embalagens mais práticas

parecem ser mesmo as caixas tradicionais, ou seja, aquelas em forma de

paralelepípedo. Essa conclusão pode sugerir a exploração dos motivos pelos

quais no empilhamento de algumas formas sempre aparecerão buracos e no

de outras, não. A preocupação com o formato das pontas (vértices) e das

dobras (arestas) vem, então, aliar-se à consideração das faces, suscitando,

mais uma vez, questionamentos para cuja abordagem o estudo da Geometria

pretende contribuir.

Além disso, a pesquisa e a distribuição dos produtos pelo quadro

elaborado a partir dela há de evidenciar que aparecem, também com muita

freqüência, embalagens em forma cilíndrica. Pode-se notar que estas podem

rolar e sempre deixam espaço entre elas no empilhamento. Essa questão nos

levará a proposta da terceira atividade, já que para a sua análise será preciso

investigar a confecção de embalagens, em que se devem considerar as

facilidades e dificuldades de execução, levando em conta o material utilizado e

também a economia desse material, o que nos coloca diante das relações

entre volume e superfície externa.

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Pode-se pedir para que os grupos redijam algumas

conclusões, desprendidas da análise dos quadros e da discussão sobre

aspectos funcionais das embalagens, a fim de que sistematizem aspectos

geométricos importantes desse processo que poderão ser retomados

posteriormente.

3a Etapa

Objetivos

Além dos objetivos anteriores, essa atividade pretende

estabelecer relações entre as figuras sólidas e planas e apontar para a

contribuição da passagem de um sistema ao outro (no caso, a planificação de

sólidos), e trazer à compreensão do espaço tridimensional em que vivemos.

Materiais

As mesmas embalagens das atividades anteriores, além de

papel grosso ou cartolina, lápis, tesoura e cola.

Desenvolvimento

Propor que os alunos desmontem algumas embalagens em

forma de cilindro ou de paralelepípedo (ou outras que tenham interesse) para

ver como elas foram construídas. Em seguida, eles devem “remontar” os

sólidos com cartolina (os alunos podem se dividir e utilizar a embalagem

desmontada para produzir um molde com cartolina e marcar na mesma os

“lados” do sólido inteiro para reconstruí-lo).

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A relação entre superfície exterior e volume pode ser

colocada como um dos fatores mais determinantes, especialmente no caso de

o material de fabricação das embalagens serem mais caro.

Também pode chamar à atenção a utilização de outros

formatos mais incomuns, por exemplo, a caixa de Toblerone (em forma de

prisma triangular), as de certos tipos de chá que são prismas hexagonais,

embalagens de presentes piramidais, entre outras. Essas embalagens podem

ser submetidas às mesmas análises das condições de empilhamento,

confecção, aproveitamento do material, além das considerações dos aspectos

estéticos e de comercialização. Quando a atenção se dirige para as formas

geométricas cuja utilização de embalagens não é tão usual, podem surgir

novas especulações sobre o uso que se costuma fazer de cada uma delas e

em que situações (e por que) elas aparecem, quer sejam construídas pelo

homem, quer sejam moldadas pela natureza.

Não se esqueça professor que:

Eles devem comentar a experiência, comparando seus modelos e

materiais. Podem perceber que em cartolina, o paralelepípedo parece mais

fácil de construir, já que a construção da caixa cilíndrica exige mais

habilidade na hora de ajustar as duas “tampas” circulares. No entanto, deve-

se considerar que a confecção de embalagens cilíndricas é feita com

equipamentos e em escala industriais. A consulta ao quadro permite observar

ainda que as embalagens que tem a forma de paralelepípedo sejam, em geral,

de papelão, enquanto as cilíndricas são de metal, vidro ou matéria plástica. O

formato da embalagem também pode estar relacionado a razões culturais

como a tradição, a aceitação no mercado e outras estratégias de marketing.

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4a Etapa

Objetivos

Construir um tipo de embalagem com uma logomarca

inédita.

Materiais

Papel grosso ou cartolina, régua, lápis, tesoura e cola.

Desenvolvimento

Divididos em grupos, os alunos criarão um departamento de

marketing de uma agência de propaganda fictícia, após estudo e análise

desenvolverá um produto fictício, abordando desde a idealização do produto

em si, a construção da sua embalagem com logomarca inédita, até sua entrada

no mercado. Ao final teremos diversos produtos desenvolvidos de acordo com

a realidade apontada pelos grupos, assim como suas respectivas embalagens

20

e uma campanha publicitária desenvolvida para cada um desses produtos. A

seguir, será feita uma exposição para a sala da embalagem confeccionada.

Avaliação

Ao final da atividade proposta o aluno deverá conter em seu

caderno um roteiro sobre os Sólidos Geométricos com alguns desenhos,

diferenciando corpos redondos de poliedros e citando as classificações dos

poliedros, sendo: prismas, pirâmides e poliedros. As anotações dos alunos

também devem conter o desenho e destaque dos elementos dos Sólidos

Geométricos. A expectativa referente ao aluno com essa atividade gira em

torno dele observar e gravar as classificações e elementos dos Sólidos

Geométricos, bem como vir a fazer distinções entre figuras planas e não

planas.

6.2. CONSTRUINDO OS POLIEDROS DE PLATÃO2

2 Atividade inspirada no Portal Dia a Dia Educação; Projeto AOC Autor (es): Leila Sueli

Thome Ferreira Ceebja Uepg - E Fund Med - Ponta Grossa. Núcleo: Ponta Grossa e do

site:www.malhatlantica.pt/... Solidos/solidos_geometr.htm

Atenção Professor!

Está atividade é muito importante para que os alunos interajam

com as embalagens e dessa forma com a geometria. O mais interessante será

observar a criatividade de cada um.

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O que é um poliedro?

Trata-se de um objeto com muitas faces.

Um poliedro tem “bicos”, que são os ângulos poliédricos, e

faces planas, que tem formato de polígonos.

Um poliedro que tenha como formato das faces apenas

polígonos regulares, todos idênticos, e que também apresente todos os bicos

(ângulos poliédricos) idênticos entre si é um poliedro regular.

De um poliedro de Platão, exige-se que:

Todas as faces tenham formato de polígonos, regulares ou

não, mas com o mesmo número de lados;

Todos os bicos sejam formados com o mesmo número de

arestas.

Que Platão, por volta do século VI antes de Cristo, estudou certa

classe de poliedros; que vieram posteriormente, ser conhecidos como os

poliedros de Platão, entre os quais se incluem os poliedros regulares.

22

Quantos são os poliedros de Platão?

Sabemos que no espaço existem apenas cinco poliedros

regulares, que são denominados Poliedros Platônicos ou Poliedros de Platão.

Após essa pequena explanação sobre os poliedros é

interessante que os alunos construam e manipulem as representações dos

Sólidos Geométricos, para observá-los de forma mais clara. Será passado para

os alunos um vídeo sobre “Poliedros com Varetas” retirado do youtube

revistanovaescola, acesso10/03/2010.

Objetivos Específicos

Construir os Poliedros de Platão com varetas;

Manusear os Poliedros;

Os poliedros regulares são conhecidos assim porque, Platão faz

uma associação dos cinco poliedros regulares com os cinco elementos da

natureza. Ele associa o Tetraedro como "elemento de origem do Fogo", o

Cubo a Terra, o Octaedro ao Ar, o Icosaedro à Água e o Dodecaedro

representaria a imagem do Universo no seu todo.

Existem apenas cinco: Tetraedro, Cubo, Octaedro, Dodecaedro,

Icosaedro

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Identificar elementos dos Poliedros, como: arestas,

vértices, faces;

Construir uma tabela com elementos dos Sólidos

Regulares;

Determinar regularidades na tabela dos Sólidos Regulares.

Materiais

Vareta cola vídeo, aparelhos de DVD e TV.

Procedimento

Após assistirem ao vídeo para instruções de construção dos

poliedros, a turma será dividida em sete grupos e iniciarão a construção dos

poliedros de Platão com varetas, em que cada grupo fará um tipo. O grupo que

irá construir o dodecaedro e o icosaedro terá uma quantidade maior de alunos,

devido à dificuldade para construí-los. Cada grupo deverá manipular seu

poliedro contando e registrando as quantidades de: faces, arestas, vértices e

arestas por vértices de suas construções. Em seguida será organizado um

quadro no quadro de giz para que possa ser feito um registro comum a todos, e

cada grupo apresentará seu Poliedro fazendo os devidos registros no quadro,

que poderá ser como o sugerido.

Nomes Nº de Vértices Nº de arestas Nº de faces

Tetraedro 4 6 4

Hexaedro 8 12 6

Octaedro

Dodecaedro

1 - Observe as seguintes representações de sólidos geométricos, converse

com o seu grupo, investigue e descubra:

24

Quais das figuras acima representam:

Poliedros? Pirâmides?

Cones? Prismas?

Cilindros? Não poliedros?

2 - Segue-se um quadro com a representação de um conjunto de poliedros.

2.1 - Qual das figuras do quadro acima representa um prisma pentagonal?

2.2 - Qual das figuras representa um poliedro com 6 vértices e 9 arestas?

25

2.3 - Completa a legenda relativa às figuras do quadro acima, escrevendo as

letras respectivas nos espaços em branco:

- prisma hexagonal; - prisma pentagonal;

- prisma octogonal; - prisma triangular;

- prisma quadrangular (não cubo); - cubo;

- pirâmide hexagonal; - pirâmide quadrangular.

3 - No quadro seguinte algumas das figuras representam planificações da

superfície fronteira de poliedros. Descubra essas figuras e escreva as letras

respectivas nos espaços em branco a seguir ao quadro:

- Planificação da superfície de uma pirâmide triangular;

- Planificação da superfície do cubo;

- Planificação da superfície do paralelepípedo retângulo;

- Planificação da superfície de uma pirâmide quadrangular.

4- Uma professora de Matemática decidiu que na festa de aniversário dos 6

anos de seu filho seriam distribuídos, como "lembrancinhas", pequenos

26

poliedros coloridos, feitos de madeira. Contratou um marceneiro para fazer 30

poliedros e lhe passou a seguinte orientação:

* Todos os poliedros devem ser regulares e a aresta de cada um deve medir 4

cm;

* 10 deles devem ser pintados de azul, ter 6 arestas e 4 vértices;

* Outros 10 devem ser pintados de rosa e ter 12 faces pentagonais;

* Os 10 poliedros restantes devem ser pintados de amarelo e ter 8 faces

triangulares.

De acordo com a orientação da professora:

a) Que tipos de poliedros o marceneiro deve confeccionar?

b) Quantas arestas terão o poliedro rosa?

c) Quantos vértices terão o poliedro amarelo?

Avaliação

Durante o processo de construção dos Poliedros, o professor

deverá percorrer os grupos verificando os seus encaminhamentos e avaliando

se os alunos completaram corretamente os dados no primeiro quadro que

envolve número de faces, vértices e arestas. O objetivo final da atividade vem

a ser a montagem do quadro pelo manuseio dos Poliedros construídos e assim

percebidas as suas regularidades.

27

6.3. CONFECCIONANDO A BOLA DE FUTEBOL3

Não tem futebol sem bola...

...nem basquete, vôlei, tênis e muitos outros esportes.

Muitos esportes são jogados com bola.

As bolas podem ser de vários tamanhos. Umas são pesadas,

outras leves, algumas de couro, outras de borracha, umas pulam e outras não

pulam. Em matemática, o nome que se dá ao formato das bolas que você

conhece é esfera e sua confecção é realizada através de várias figuras

geométricas. Segundo Morelli citado por Corrêa (2001, p. 35):

Antes, a vaquinha é que ia para o sacrifício. O couro de cada animal rendia seis bolas. Hoje as fábricas usam tiras de poliuretano, um tipo de plástico derivado do petróleo. O poliuretano é mais elástico do que o couro, tem espessura constante e não encharca tanto. Uma prensa especial corta o plástico em gomos de seis e cinco lados. Pegue uma bola e conte. São sempre trinta e dois pedaços (vinte hexágonos e doze pentágonos ). "A esta figura formada de 12 faces pentagonais e 20 faces hexagonais chama-se icosaedro truncado. O icosaedro truncado é um dos treze poliedros conhecidos como sólidos de Arquimedes" (FURUYA, 2002 ).

3 Atividade retirada do Portal Dia a Dia Educação; Projeto AOC Autor(es): Vera Lucia Botter

Jose Miranda Gomes, E M - Ed Inf Ens Fun - Santa Cruz Do Monte Castelo Núcleo: Loanda

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Objetivos Específicos

Reconhecer as figuras geométricas utilizadas para a

confecção da bola;

Identificar o sólido confeccionado;

Criar conceitos sobre corpos redondos.

Materiais utilizados

Balão de ar, tesoura, vídeo do youtube e cola.

1. Observando a bola que a equipe construiu, responda:

a) Qual o sólido geométrico que a bola de futebol representa?

b) Quais são as faces poligonais da bola de futebol?

c) Faca uma lista de coisas que tem o formato de uma esfera?

d) Sem contar, você é capaz de fazer uma estimativa de quantas faces

hexagonais e quantas faces pentagonais, são necessárias para confeccioná-a?

ATENÇÃO PROFESSOR

Após assistir o filme do

http://www.youtube.com/watch?v=Tu2YUjeUHls,

e ver a reportagem do site

www.webquestboladefutebol.com.br/atividade2.html,

que mostra como é confeccionada a bola de futebol, os alunos formarão

equipes de 5 alunos e darão início a construção, das figuras planas :

pentágono e hexágono.

29

e) Por que a bola de futebol não pode ser confeccionada somente com

hexágonos, ou somente com pentágonos?

f) Faça uma pesquisa na internet e relate em um pequeno texto a história da

bola.

Obs.: Para a confecção da

bola de futebol, pode ser

utilizado balão de ar e

tecido de lona.

Planificação de um

a bola.

30

2) Coloque o nome e pesquise o peso das seguintes bolas:

Nome Peso

31

6.4. GEOMETRIA E A ARTE DE TARSILA DO AMARAL4

Objetivos Específicos

Conhecer, comparar e identificar sólidos geométricos.

Estabelecer relações entre figuras espaciais e suas

representações no plano.

Desenvolver habilidades de percepção visual e espacial e a

utilização de instrumentos para desenhar sólidos geométricos.

Materiais utilizados

TV Pendrive, figuras geométricas, cola, tesoura.

1a Etapa

O professor terá que reproduzir a obra Calmaria II (1929), de

Tarsila do Amaral, em tamanho adequado para que todos os alunos possam

observá-la. Os alunos em grupos terão que discutir suas percepções diante do

quadro. Começar perguntando se alguém conhece a obra. Conte que a pintora

é brasileira, nasceu em 1886, em Capivari, interior de São Paulo. Mergulhe um

pouquinho na história da arte dizendo que a artista renovou a pintura brasileira

ao usar cores e formas e deixou marcado o mais autêntico sentimento

nacionalista. Você pode dar algumas informações e referências bibliográficas

para aqueles que desejam saber mais sobre a artista, mas tome cuidado para

4 Atividade retirada no site: www.mathema.com.br/e_fund_a/.../tarsila.html -

32

não perder de vista seus objetivos. É importante que neste momento você

chame atenção de todos para:

As cores: como a pintora as usa; os efeitos que ela

consegue criar; a impressão que elas nos dão...

As formas: os sólidos geométricos que aparecem na

pintura; eles são iguais; os que estão atrás causam quais impressões...

Outros recursos usados pela pintora para termos a

sensação de “calmaria”.

Prepare um painel com os tópicos importantes que surgirem

durante a discussão. Esse painel deve ficar afixado na classe para consultas

durante o desenvolvimento das atividades.

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2a Etapa

Construindo Sólidos Geométricos

Divida a classe em grupos de quatro alunos, distribua um conjunto

de formas geométricas diferentes para cada um.

Cada conjunto é composto de figuras que representam as faces

de um dos sólidos geométricos que aparecem na obra: pirâmide de base

quadrada, pirâmide de base triangular e paralelepípedo. Mas não diga isso a

eles. Peça que abram seus envelopes e descubram qual sólido geométrico que

aparece na obra de Tarsila pode ser formado com as figuras que receberam.

Assim que descobrirem, proponha que, usando uma fita adesiva transparente,

montem o sólido geométrico. Promova uma conversa na sala, de forma que os

alunos explicitem como descobriram de qual sólido se trata, o que fizeram para

34

obtê-lo, se basta juntar as figuras de qualquer forma. Guarde esses sólidos,

pois serão utilizados na quarta etapa desta seqüência didática.

3a Etapa

Conhecendo planificações

Organize a sala novamente em grupos e solicite que todos os

grupos montem um paralelepípedo com as figuras dadas na segunda etapa,

usando a fita adesiva transparente.

Após a montagem do sólido, cada grupo abrirá o sólido retirando

algumas fitas adesivas, e pode desmontar a embalagem que trouxe, de modo a

formar uma planificação. Nesse momento é possível discutir com os alunos se

nas planificações obtidas:

Foram usadas todas as figuras necessárias para a

composição do sólido;

A embalagem planificada apresenta as mesmas relações

com a que você construiu;

Todas as figuras estão presas umas às outras por pelo

menos um lado, nunca pelas pontas.

Peça que um aluno cole as duas planificações em um cartaz e

desafie os demais grupos a conseguir planificações diferentes.

Nesse mesmo cartaz, escreva ao lado das planificações os

nomes das figuras planas que nele apareceram. É um bom momento para

explicar que nos sólidos essas figuras são chamadas de faces. Nesse caso, o

paralelepípedo possui seis faces.

4a Etapa

O que são faces, vértices e arestas?

35

Retome os sólidos produzidos pelos grupos na etapa 2 e peça

que os alunos identifiquem em cada um deles o número de faces e realizem

um registro contendo o nome do sólido e o desenho de cada uma das faces

que o compõe.

Informe aos alunos que também podemos identificar outros

elementos em um sólido geométrico, como os vértices e as arestas. Explique

que a aresta é um segmento de reta formado no encontro de duas faces.

Incentive-os a encontrar as arestas em seus sólidos geométricos e dizer

quantas possuem.

Pergunte se alguém sabe o nome que é dado em matemática

para as pontas dos sólidos. Caso não saibam, diga que chamamos de vértice.

Vértice é o ponto onde duas ou mais arestas se encontram. Peça que anotem

quantos vértices possui o seu sólido geométrico.

Os alunos poderão desenhar seu sólido, destacar os elementos

faces, vértices e arestas e anotar suas respectivas quantidades. Monte um

cartaz com os desenhos produzidos e uma tabela com todas as informações

obtidas com esta atividade.

36

5a Etapa

Organizando o trabalho

Converse com os alunos sobre as atividades de geometria feitas

até aqui e peça que, em duplas e consultando os cartazes feitos nas aulas

anteriores, escrevam um texto contando o que aprenderam até agora. Você

pode escolher o estilo do texto que desejar: uma carta, uma história em

quadrinhos, uma poesia; enfim, tenha o cuidado de deixar claro o tipo de texto

e certifique-se de que eles saibam as suas características. Por exemplo, as

poesias têm uma estrutura diferente de uma carta. O que vocês sabem sobre

um texto que é uma poesia? Tem um título?...

6a Etapa

Ampliando o olhar

Proponha algumas atividades que permitam aos alunos

comparar sólidos geométricos e relacioná-los a formas presentes no

cotidiano, como a proposta a seguir:

1. Complete o quadro escrevendo todas as diferenças e

semelhanças que você observa em uma pirâmide de base quadrada e um

cubo (é importante que eles tenham estes sólidos à disposição para

consultá-los quando acharem necessário):

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Cubo Pirâmide

Semelhanças

Diferenças

7a Etapa

Um novo olhar para a obra da Tarsila do Amaral

Explique que os artistas, antes de realizarem suas pinturas,

fazem um esboço, que são espécies de rascunhos, de ensaio para fazer o

quadro final. No esboço, eles podem ver erros e consertá-los, fazer testes de

cores. Antes de fazer o esboço, retome com seus alunos aquelas observações

iniciais em que cada um falou sobre as cores usadas no quadro, que

impressões elas causam... Discuta com eles: como fazer para que os sólidos

sejam desenhados no papel e causem a impressão de profundidade? Faça

testes com esses desenhos e, se preciso, use uma malha pontilhada para os

primeiros esboços. É importante que a obra da pintora esteja sempre presente

neste momento, para que os alunos possam fazer comparações entre a

produção de cada um e a dela. Finalmente, cada grupo produz seu quadro,

eles podem utilizar embalagens. Exponha-os na escola e valorize o trabalho

realizado por todo o grupo.

38

6.5. A GEOMETRIA NO TEMPO5

Apresentação do Problema

Imagine cada um de vocês cultivando terras divididas em lotes, às

margens de um rio. Na época das chuvas, o rio transborda alagando a terra e,

quando volta ao normal, deixa o solo fertilizado, bom para a agricultura. Como

as marcas dos lotes foram carregadas pelas águas torna-se necessário refazer

as demarcações.

Como vocês fariam para demarcar novamente o terreno?

De que maneira o homem demarcava suas terras, antes de

conhecer a forma utilizada atualmente?

5 Atividade inspirada www.parquedaciencia.com.br/sitemm/roteiros/orgaodossentidos.pdf

39

Objetivo

Conhecer a história da geometria.

Materiais

Um caixote retangular, com areia;

Papel cartão;

Papel de celofane;

Malha quadriculada;

Régua;

Barbante;

Palitos de fósforo e de Picolé.

Experimentação

O professor contará a história das demarcações de terras no

antigo Egito que deu origem à Geometria. Os agricultores egípcios cultivavam

as terras que ficavam nas margens do rio Nilo, divididas em lotes. Na época

das chuvas, o Nilo transbordava alagando a terra e, quando voltava ao nível

normal, deixava o solo fertilizado, ideal para a agricultura.

Como as marcas dos lotes eram carregadas a cada cheia,

tornava-se necessário refazer as demarcações para que os lotes fossem

redistribuídos aos agricultores. Desta forma, medindo e desenhando terrenos,

os egípcios descobriram métodos e adquiriram conhecimentos que, depois,

foram aprendidos pelos gregos.

Após a história, cada grupo fará a demarcação do terreno como

os egípcios faziam.

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Discussão Coletiva

Os alunos deverão discutir sobre o trabalho realizado, falando de

suas dificuldades e descobertas, fazendo uma relação entre passado e

presente, descobrindo o nascimento da geometria.

Registro

Desenhar as formas geométricas encontradas nos terrenos

marcados, usando a malha quadriculada.

41

Referências:

CORRÊA, Roseli de Alvarenga. "Por dentro da bola", Reflexões sobre a prática pedagógica do professor de matemática. Revista da Sociedade Brasileira de Matemática. São Paulo, ano 8, n. 11, p. 34-40, dez. 2001

FONSECA, Maria da Conceição F. R, et al. O ensino da geometria na escola fundamental – três questões para a formação do professor dos ciclos iniciais. 2. ed. Belo Horizonte: Autêntica, 2005.

FONSECA, H.; BRUNHEIRA, L.; PONTE, J. da. As actividades de investigação, o professor e a sala de aula de Matemática. Actas do ProfMat 99. Lisboa: APM, 1999.

FRAGA, Maria Lucia. A Matemática na Escola primária: uma observação do cotidiano. São Paulo: EPU, 1988.

FREUDENTHAL, H. Mathematics as an educational task. Dordrecht: D. Reidel Publishing Company, 1973.

JARANDILHA, Daniela; SPLENDORE Leila. Atividade Matemática já não e

mais problema. 3ª edição. Editora Cortez, 2006.

LORENZATO, Sérgio. “Por que não ensinar geometria?”. In: A Educação Matemática em revista, SBEM, no 4, 1o semestre de 1998.

MACHADO, Nilson José. Os poliedros de Platão e os dedos da mão. São Paulo: Scipione, 2000.

_________________. Polígonos, centopéias e outros bichos. São Paulo: Scipione, 2000.

_________________. Semelhança não é mera coincidência. São Paulo: Scipione, 2000.

http://www.diaadiaeducacao.pr.gov.br/portals/pde/arquivos/945-2.pdf, acesso em 12 de jan. 2010. http://www.novaescola.com.br, acesso em 20 de maio 2010.

http://www.mathema.com.br/e_fund_a/.../tarsila.html, acesso em 05 de março

de 2010.

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acesso em 15 de dez. de 2009.

42

http://www.users.prof2000.pt/zemaria/CINDERELLA/.../Tarefa_2.pdf, acesso

08/05/2010.

htpp //www.youtube.com/watch?v=Tu2YUjeUHls, acesso em 12 de fev. de 2010.

PARANÁ, Secretaria de Estado da Educação. Superintendência de Educação – Diretrizes Curriculares de Matemática para a Educação Básica. Curitiba. 2007.

PONTE, J. P. A investigação sobre o professor de Matemática: problemas e perspectivas do professor. Educação Matemática em Revista, ano 8, nº 11, p. 10 – 13, 2001.

PONTE, J. P.; BROCARDO, J.; OLIVEIRA, H. Investigações Matemáticas na

sala de aula. Belo Horizonte: Autêntica, 2006.