O PROFESSOR PDE E OS DESAFIOSDA ESCOLA PÚBLICA PARANAENSE

2009

Produção Didático-Pedagógica

Versão Online ISBN 978-85-8015-053-7Cadernos PDE

VOLU

ME I

I

1

SECRETARIA DE ESTADO DA EDUCAÇÃO DO

PARANÁ-SEED

SUPERINTENDÊNCIA DA EDUCAÇÃO-SUED

PROGRAMA DE DESENVOLVIMENTO EDUCACIONAL-

PDE

UNIDADE DIDÁTICA

CARMEM LUCIA DIONISIO ROCHA NAVASCONI

CAMPO MOURÃO

2010

2

SECRETARIA DE ESTADO DA EDUCAÇÃO DO

PARANÁ-SEED

SUPERINTENDÊNCIA DA EDUCAÇÃO-SUED

PROGRAMA DE DESENVOLVIMENTO EDUCACIONAL-

PDE

UNIDADE DIDÁTICA

INVESTIGAÇÕES MATEMÁTICAS EM SALA DE AULA COM O

GEOGEBRA- ARTICULANDO GEOMETRIA E ÁLGEBRA.

Unidade Didática apresentada à Fecilcam e

a Secretaria de Educação do Paraná, como

requisito para a participação do PDE escrito

sob a orientação do Prof° Wellington

Hermann.

CAMPO MOURÃO

2010

3

SUMÁRIO

1 APRESENTAÇÃO DA UNIDADE DIDÁTICA................. ............................ 04

2 A DINÂMICA DE UMA AULA INVESTIGATIVA............. ........................... 04

2.1 Planejamento e Programação......................... ............................... 04

2.2 A Introdução do Assunto em Sala.................... ............................. 05

2.3 Desenvolvimento do Trabalho de Pesquisa............ ..................... 05

2.4 Partilha e Conclusão do Trabalho Desenvolvido...... ................... 06

3 O SOFTWARE GEOGEBRA................................ ............................ 06

3.1 Os Comandos do Software............................ ................................. 07

3.1.1 Principais comandos................................ ....................................... 08

3.1.2 Interface.......................................... .................................................. 08

3.1.3 Comandos mais usados nessa unidade................. ...................... 09

4 TAREFAS EXPLORATÓRIO-INVESTIGATIVAS................ ............. 10

4.1 Tarefa 1: Investigando e descobrindo seqüências.... ................ 12

4.2 Tarefa 2: Quadrados em quadrados................... ......................... 14

4.3 Tarefa 3: Atividade com fósforos................... .............................. 15

4.4 Tarefa 4: Azulejos pretos e brancos................. ........................... 17

4.5 Tarefa 5: Bordas da piscina........................ .................................. 17

4.6 Tarefa 6: Com quantas bolinhas se faz um quadrado... ............ 18

4.7 Tarefa 7: Explore as figuras e suas regularidades. ................. 19

4.8 Tarefa 8: Produto notáveis......................... ................................. 20

5 REFERÊNCIAS..................................................................... 24

4

1 APRESENTAÇÃO DA UNIDADE DIDÁTICA

Nessa unidade são apresentadas tarefas exploratório-investigativas

com o propósito de articular geometria, álgebra e aritmética, sem a pretensão

de direcionar o desenvolvimento das tarefas para este fim. Apenas tentaremos

chegar aos conceitos, caso o caminho trilhado pelos alunos seja este.

Utilizamos, para isso, tarefas retiradas de livros, dissertações e outros

trabalhos procurando reinterpretá-las ao enfoque exploratório investigativo.

Para a realização das tarefas sugerimos a utilização do software

Geogebra, pois assim a aula pode ficar mais dinâmica. O software de

geometria Geogebra pode ser considerado como um recurso tecnológico que

pode modificar as aulas de Matemática, uma vez que torna mais fácil a tarefa

de criar figuras geométricas e gráficos.

Na sequência apresentamos sugestões para encaminhamentos de

aulas com enfoque exploratório-investigativo e alguns comandos do Geogebra

seguido das tarefas propostas.

2 DINÂMICA DE UMA AULA INVESTIGATIVA

Objetivando a preparação de uma aula com investigações matemática

devemos levar em conta o planejamento e programação; introdução do assunto

em sala; desenvolvimento do trabalho de pesquisa a partilha e conclusão do

trabalho desenvolvido.

Destacamos cada uma dessas fases a seguir:

2.1 Planejamento e Programação

A mobilização que uma aula investigativa requer e a mesma de

qualquer aula, ou seja, deve ser programada com antecedência, visando

auxiliar aos alunos ao trabalho de pesquisa e de investigação.

Ponte, Brocardo e Oliveira (2006, p. 25), afirmam que uma aula investigativa:

5

(...) pode sempre programar-se o modo de começar uma investigação, mas nunca se sabe como ela irá acabar. A variedade de percursos que os alunos seguem os seus avanços e recuos, as divergências que surgem são elementos largamente imprevisíveis numa aula de investigação. (PONTE, 2006, p. 25)

2.2 A Introdução do Assunto em Sala

Nesta fase o professor tenta envolver os alunos na realização das

tarefas. Usando as palavras de Ponte “essa fase, embora curta, é

absolutamente crítica, dela dependendo todo o resto” (PONTE; BROCARDO;

OLIVEIRA, 2006, p. 26) podemos então perceber que está nessa fase o

sucesso da atividade dessa maneira como o professor introduz a tarefa dando

as instruções necessárias e estimulando os alunos a pesquisa e a inquirição de

questões merece uma atenção especial.

A boa condução pelo professor nessa etapa pode determinar o

sucesso ou o fracasso do desenvolvimento das tarefas O tema proposto deve

suscitar novidades possibilitar caminhos a serem explorados para a solução

das atividades.

É importante que o professor não dê muitas dicas ao aluno, pois isto

pode induzir o aluno a seguir por um caminho o que não é interessante. A

característica de aulas investigativas é justamente a possibilidade de o aluno

seguir por caminhos diversos, explorando ao máximo sua criatividade.

No início os alunos podem se sentir confusos, porém esta confusão

inicial é logo superada.

2.3 Desenvolvimento do Trabalho de Pesquisa

Essa etapa constitui o cerne da atividade investigativa onde o aluno

pode desenvolver o raciocínio e adquirir conhecimentos. Pode ser realizado

em grupos ou individualmente. Nessa fase o professor é mediador

possibilitando e incentivando o aluno a pesquisar sobre o assunto.

Na exploração das atividades e na formulação de questões os alunos

podem levar algum tempo e encontrar alguma dificuldade, mas na o devem

6

perder o foco persistindo na procura do caminho que devem seguir para

encontrar a solução.

Pode-se tornar a investigação mais interessante por meio do em

trabalho em grupo onde diferentes pontos de vista podem ser explorados e as

dúvidas dos integrantes do grupo podem gerar novas idéias do que e como

encontrar.

2.4 Partilha e Conclusão do Trabalho Desenvolvido

É nessa etapa que se finaliza atividade e é nela que ocorre o

compartilhamento dos trabalhos desenvolvidos nos grupos.

Através das discussões os alunos irão relatar aos colegas e aos

professores a conclusão do trabalho. Compartilhando com os seus pares o

que aprenderam e os conhecimentos adquiridos durante a investigação. É

nesta fase que as conjecturas levantadas e testadas pelos pequenos grupos

são validados ou corrigidos.

O professor, como mediador deve estimular e questionar os alunos

elucidando as dúvidas que surgirem e esclarecendo-as a todos. Geralmente,

pede-se que um representante de cada grupo apresente as conclusões que

seu grupo chegou. Neste momento o professor também deve atentar-se a não

desaprovar de imediato as conclusões dos alunos. Antes deve promover o

debate entre os grupos com a finalidade de estimular que as correções sejam

feitas por meio das discussões entre os alunos.

O professor só deve intervir caso os alunos não cheguem a resultados

aceitáveis.

3 O SOFTWARE GEOGEBRA

O Geogebra é um software de matemática que reúne três grandes

áreas da matemática: GEOmetria, álGEBRA e Cálculo, para ser utilizado em

ambiente de sala de aula. Seu código é aberto e funciona em qualquer

plataforma (Microsof Windows c, Linux c, Macintosh c, etc).

7

Esse programa foi idealizado por Markus Hohenwarter, professor da

Universidade de Salzburg, com o intuito de dinamizar o ensino de matemática,

reunindo geometria, álgebra e cálculo, o software permite relações entre suas

respectivas janelas, podendo ser utilizado em diversos níveis de ensino.

O Geogebra pode ser dividido em quatro partes como ilustra o quadro

abaixo:

Figura 1: Layout do Geogebra

Fonte: CHIANG (2007) 3.1 Os Comandos do Software

Os comandos são representados por ícones na barra de ferramentas,

ao clicar um ícone, aparecerá uma legenda ao lado explicando a função do

comando. Mas também podemos introduzir os comandos no campo de

entrada.

Na janela de visualização, exemplificamos facilmente as figuras que

são difíceis de serem desenhadas a mão livre, mas que com alguns toques

simples podemos visualizar as imagens dessas figuras por diversos ângulos,

coloridos, um por um, e até modificar as fórmulas onde foram definidas para

8

poder traçar rastros e em seguida compará-las minuciosamente, isto é,

ampliando-as imagens para facilitar a visualização.

Já na janela álgebra, visualizamos os pontos, as retas, as fórmulas,

etc. nas suas respectivas cores, o que facilita a sua identificação no gráfico.

Existe uma correspondência biunívoca entre eles, se clicarmos sobre um

ponto, ou uma reta na janela álgebra, o seu correspondente na janela

visualização, está em evidência e vice-versa, Além de fazer e desfazer os

gráficos com facilidade, isso permite com que os erros cometidos sejam

corrigidos rapidamente. A função Barra de navegação para passos da

construção (no menu Exibir) permite ver passo a passo a construção do gráfico

em questão. Já no protocolo de construção podemos ver os comandos e

fórmulas para chegar o gráfico final.

Para os usuários de outros países, o software dispõe de mais de 20

opções de idiomas, com um simples clique no mouse ele seleciona o idioma

desejado.

É fácil gravar as imagens criadas em formatos.png ou .eps. Além de

permitir a impressão da figura criada, podemos lançar o trabalho final -

incluindo a figura e as etapas de construção na internet, como uma planilha

dinâmica no formato html, para ser publicado na internet.

3.1.1 Principais comandos Ativar Janela de Álgebra – Exibir + janela de Álgebra Ativar Janela de Visualização - Exibir + Eixo/Exibir + Malha Ativar Campo de Entrada – Exibir + Campo de entrada 3.1.2 Interface

A Interface do software é constituída de uma janela gráfica que se

divide em uma área de trabalho, uma janela algébrica e um campo de entrada

de texto.

A área de trabalho possui um sistema de eixos cartesianos onde o

usuário faz as construções geométricas com o mouse. Ao mesmo tempo as

9

coordenadas e equações correspondentes são mostradas na janela de

álgebra.

O campo de entrada de texto é usado para escrever coordenadas,

equações, comandos e funções diretamente e estes são mostrados na área de

trabalho imediatamente após pressionar a tecla Enter.

3.1.3 Comandos mais usados nessa unidade

COMANDOS

FIGURAS

PROCEDIMENTOS

Mover

Clique sobre o objeto construído e o movimente na área de trabalho

Novo Ponto

Clique na área de trabalho e o ponto fica determinado

Ponto médio ou centro

Clique sobre dois pontos e o ponto médio fica determinado

Reta definida por dois pontos

Clique em dois pontos da área de trabalho e a reta é traçada

Segmento definido por dois pontos

Clique em dois pontos da área de trabalho e o segmento é traçado

Segmento com comprimento conhecido

Clique em um ponto da área de trabalho e dê a medida do segmento

Vetor definido por dois pontos

Clique em dois pontos da área de trabalho e o vetor fica determinado

Polígono

Clique em três ou mais pontos fazendo do primeiro também o último ponto. Fica determinado o polígono

Polígono Regular

Clique em dois pontos e abre-se uma janela que indica com quantos lados quer o polígono

Retas perpendiculares

Selecione uma reta e um ponto e a reta perpendicular fica

10

Tabela-3: Comandos do Geogebra 4 TAREFAS EXPLORATÓRIO-INVESTIGATIVAS

Apresentamos a seguir oito tarefas com o enfoque investigativo as

quais podem propiciar aos professores momentos próximo à pesquisa, pois

durante suas realizações estes podem investigar o conhecimento de seus

alunos e os processos que estes utilizam para resolver problemas.

Assim, como afirma Demo, podemos educar por meio da pesquisa:

determinada

Retas paralelas

Selecione uma reta e um ponto e a reta paralela fica determinada

Mediatriz

Selecione um segmento ou dois pontos e a mediatriz fica determinada

Bissetriz

Clique em três pontos, o segundo ponto determina a bissetriz

Distância

Clique em cada objeto que se queira determinar a distância

Reflexão com relação a um ponto

Clique no ponto a ser refletido e no outro que servirá de base para reflexão

Reflexão com relação a uma reta

Clique no ponto a ser refletido e na reta que servirá de base para reflexão

Inserir texto

Clique na área de trabalho e insira o texto

Ampliar

Clique sobre o objeto que se deseja ampliar

Reduzir

Clique sobre o objeto que se deseja reduzir

Exibir/esconder objeto

Clique sobre o objeto que se deseja esconder/exibir

Exibir/esconder rótulo

Clique no rótulo do objeto para exibí-lo ou escondê-lo

Apagar objetos

Clique sobre o objeto que se deseja apagar

11

Educar pela pesquisa tem como condição essencial primeira que o profissional da educação seja pesquisador, ou seja, maneje a pesquisa como princípio científico e educativo e a tenha como atitude cotidiana. Não é o caso fazer dele um pesquisador “profissional”, sobretudo na educação básica, já que não a cultiva em si, mas como instrumento principal do processo educativo. Não se busca um “profissional da pesquisa”, mas um profissional da educação pela pesquisa. (DEMO, 2000, p. 2)

Concluímos, então que o papel do professor é essencial para que a

pesquisa se transforme em ação, na prática e pela prática.

Propomos uma seqüência didática composta por oito tarefas

exploratórias investigativas, que serão apresentadas a seguir.

As tarefas exploratório-investigativas utilizadas nessa unidade poderão

levantar problemas desafiadores que mobilizem os participantes a explorar as

possíveis soluções.

Apresentamos a seguir sugestões para o encaminhamento e

desenvolvimento das tarefas:

As atividades podem ser realizadas em grupos constituídos por 4

pessoas, de tal forma que sejam divididas as tarefas entre os membros.

Escolham:

• Um coordenador: responsável pela organização dos trabalhos e

resolução de possíveis conflitos;

• Redator: responsável pela redação final do registro a ser entregue;

• Dois relatores: serão dois membros do grupo responsáveis pela

apresentação (para toda a classe) dos resultados encontrados pela

equipe.

Apesar da divisão acima, todos deverão participar das etapas de

realização das tarefas.

Quando realizar as tarefas deve-se fixar a malha, pois temos que ter

um padrão na distância de cada quadrícula, dessa forma na janela de

visualização clique com o botão direito e vá até a visualização, depois malha,

distância, clique x=1 e y=1 e vá em fechar.Assim a malha ficará fixa e podemos

construir as figuras sem alterar o seu tamanho. Em todas as tarefas esse

procedimento tem que ser realizado.

12

Para apresentar as tarefas faremos um quadro sintetizando as nove

tarefas que compõem nossa seqüência didática.

Tarefa Título Objetivo

1 Investigando e descobrindo sequências

Desenvolver de forma investigativa o desenvolvimento do pensamento

algébrico

2 Quadrados e

mais quadrados

Descobrir as relações entre a área do quadrado inicial e a dos quadrados

inscritos 3

Atividade com fósforos

Possibilitar a construção do conceito de perímetro.

4 Azulejos pretos e brancos

Analisar a capacidade de raciocínio matemático

5 Azulejos da piscina

Promover a comunicação e capacidade de diálogo entre os participantes

6 Com quantas

bolinhas se faz um quadrado.

Analisar a capacidade de formular, generalizar e conduzir o raciocínio

matemático

7 Explore as

figuras e suas regularidades

Generalizar por meio de iterações

como podemos encontrar um quadrado perfeito

8 Produtos notáveis

Compreender por meio da área dos quadrados a relação entre soma de

dois quadrados; Investigar no Geogebra essas

relações e generalizar as conclusões;

Figura-3 Quadro síntese das tarefas da seqüência didática

4.1 Tarefa 1: Investigando e descobrindo seqüência s 1 Objetivos

• Desenvolver de forma investigativa o pensamento algébrico;

1 Esta atividade foi baseada no artigo - As potencialidades pedagógicas das investigações matemáticas no desenvolvimento do pensamento algébrico de alunos da 6a série-apresentada no 15° Cole (FIORENTINI; FERNANDES; CRISTOVÃO; 2004 ).

13

• Fazer explorações, descobertas, levantar e formular, relatando aos

colegas as suas descobertas;

• Utilizar o Geogebra para realizar as explorações da atividade.

A tarefa:

Hoje, vamos trabalhar com seqüências de bolinhas e suas formas. Que

tal descobrir relações entre a forma em que a seqüência é construída, a

quantidade de bolinhas em determinada posição e a sua posição na

seqüência? Desafio vocês a investigar as próximas posições da seqüência!

Dê uma olhada nas duas primeiras posições da seqüência de bolinhas

abaixo:

Figura 2: Tarefa 1 - Investigando e descobrindo seqüências

O grupo achou complicado? A seguir temos algumas questões para

orientação do estudo.

1) Continue a seqüência no Geogebra, para isso clique no comando novo

ponto e vá até a malha deixando o ponto na posição desejada, faça isso

até a 10ª posição.

2) O grupo seria capaz de encontrar outras maneiras de continuar essa

seqüência? Quais seriam?

14

3) Se o grupo pensou em mais de um tipo de seqüência, escolha a que

mais lhe agrada para encontrar um jeito de dizer por escrito como seria

sua 100ª posição? Além disso, seria capaz de dizer quantas bolinhas

terá a 100ª posição?

4) Vocês conseguem agora escrever uma regra que pode representar o

número de bolinhas ou a forma de uma posição qualquer (indefinida) da

seqüência?

4.2 Tarefa 2: Quadrados em quadrados 2 Objetivos:

• Descobrir as relações entre a área do quadrado inicial e as dos

quadrados inscritos;

• Verificar quantos quadrados podem ser formados seguindo as

orientações descritas na atividade ;

• Trabalhar colaborativamente em equipe;

• Fazer matematicamente, formulando e resolvendo as questões

propostas;

• Vivenciar as conexões da Geometria, aritmética e álgebra.

A tarefa:

Num quadrado podem-se inscrever outros quadrados. De entre estes,

considere aqueles cujos vértices são pontos de interseção das quadrículas com

os lados do quadrado inicial.

Na figura, você pode observar um quadrado 3 x 3, com um quadrado

inscrito, nas condições descritas acima.

2 Esta atividade retirada do livro: Investigações Matemáticas em Sala de Aula-(PONTE; BROCARDO; OLIVEIRA, 2006, p. 66)

15

Figura 3: Tarefa 2 - Quadrados em quadrados

Fonte:(PONTE; BROCARDO; OLIVEIRA; 2006, p. 66)

1. Num quadrado como este,quantos quadrados nestas condições

poderá inscrever? E em quadrados 4x4? E 5 x5? Investigue no Geogebra a

possibilidade de inscrever quadrados nessas condições.

2. Com base nos quadrados que já desenhou e alargando o seu estudo

a quadrados com dimensões diferentes, investigue possíveis relações entre os

quadrados inscritos e o quadrado inicial?

3. Para melhor visualização use a planilha (Exibir – Planilha) do

Geogebra, para isso no menu clique em exibir planilha e esta aparecerá ao

lado na janela de visualização onde os dados podem ser inseridos. Você pode

colocar os seguintes dados: lados, número de quadrados inscritos para cada

iteração.

Lado N° de quadrados inscritos

1° 2° 3° 4°

2 3 4 5

4.3 Tarefa 3: Atividade com fósforos 3 Objetivos:

• Possibilitar a construção do conceito de perímetro;

3 Esta atividade foi baseada na publicação: matemática para todos investigações na sala de aula, números e regularidades, Projeto “Explorar e Investigar para Aprender Matemática”, APM.1998, p.47.

16

• Raciocinar matematicamente;

• Organizar uma tabela para os dados apresentados;

• Encontrar representações algébricas para a construção.

A tarefa: Observe a figura:

Figura 4: Tarefa 3 - Atividade com fósforos

Quantos fósforos foram utilizados na construção deste quadrado?

Figura 5: Tarefa 3 - Atividade com fósforos

Investiga quantos fósforos são necessários para construir qualquer

quadrado deste tipo?

Se quiser pode usar a planilha do Geogebra para auxiliar na execução

da tarefa, os passos são os mesmos da tarefa anterior.

17

4.4 Tarefa 4: Azulejos pretos e brancos 4 Objetivos

• Compreender a linguagem algébrica como meio de expressões;

• Reconhecer que a álgebra não é somente um objeto onde se aplica

técnicas e métodos;

• Discutir com o grupo as possíveis soluções;

• Organização de dados e estabelecimento de relações.

A tarefa:

Qual a relação matemática existente entre o número de azulejos azuis

e vermelhos?

Figura 6: Tarefa 4 - Azulejos pretos e brancos

Fonte: (LINS; GIMENEZ, 1997, p. 153)

4.5 Tarefa 5: Bordas da piscina 5 Objetivos:

• Produzir investigações para encontrar fórmulas (generalizações)

possíveis para calcular áreas;

• Sistematizar as propriedades observadas;

• Discutir utilizando-se da álgebra como ferramenta.

4 Atividade baseada em: (LINS; GIMENEZ; 1997, p. 153). 5 Atividade baseada em: (LINS;GIMENEZ; 1997, p.156).

18

A tarefa:

Uma borda é formada com 2 linhas de 7 quadrados e 2 colunas de 9

quadrados encontre a medida da borda toda? Se você deseja azulejar essa

borda qual seria a medida da área considerada?

Figura 7: Tarefa 5 - Bordas da piscina Fonte: (LINS; GIMENEZ; 1997, p. 156)

4.6 Tarefa 6: Com quantas bolinhas se faz um quadra do 6 Objetivos:

• Construir a seqüência de bolinhas buscando a generalização;

• Compreender que a elaboração de fórmulas é a maneira de generalizar

o raciocínio;

• Discutir, argumentar e comprovar a existência de uma seqüência na

formação dos quadrados.

6 Atividade baseada em: (FIORENTINI; FERNANDES; CRISTOVÃO; 2004).

19

Tarefa:

Observe as figuras e verifique:

Quantas bolinhas são necessárias para a formação da 1ª figura?

E da 2 ª figura ? E para a 3ª figura são necessárias quantas bolinhas?

Investigue nas próximas figuras quantas bolinhas são necessárias?

Argumente com seus colegas como podemos saber o total de bolinhas

para qualquer quadrado?

Sistematize sua conclusão através de uma generalização.

Por meio da elaboração de fórmulas é possível generalizar o

raciocínio?

Figura 8: Tarefa 6 - Com quantas bolinhas se faz um quadrado

Fonte: (FIORENTINI; FERNANDES; CRISTOVÃO; 2004)

Nessa tarefa você deverá utilizar o comando polígono regular do

Geogebra para desenhar os quadrados e em seguida o comando novo ponto

para inserir as bolinhas no interior dos quadrados,não esqueça de trabalhar

com a malha selecionada e as distâncias definidas.

4.7 Tarefa 7 : Explore as figuras e suas regularida des 7 Objetivos:

7 Atividade baseada em: Números Quadrangulares e Triangulares disponível: <http://www.educ.fc.ul.pt/icm/icm2002/icm101/numerospoligonais.html>. Acesso em: 30 de jul.2010.

20

• Encontrar a relação entre as figuras e os números quadrados;

• Verificar a existência de uma relação entre os números quadrangulares

e triangulares;

• Generalizar por meio de iterações como podemos encontrar um

quadrado perfeito com a figura 2.

A tarefa:

Explore cada uma das figuras como quiser.

Tente desvendar alguma característica comum.

O que você observou?

Relate suas observações para o grupo.

Figura 9: Tarefa 7 - Explore as figuras e suas regularidades

Fonte: http://www.educ.fc.ul.pt/icm/icm2002/icm101/numerospoligonais.html. Acesso em: 30 jul.2010.

Use o Geogebra para fazer as explorações da construção das figuras,

você pode pesquisar na internet mais informações sobre os números

quadrangulares e triangulares e suas regularidades.

4.8 Tarefa 8: Produtos notáveis 8 Objetivos

8 Atividade desenvolvida por: HERMANN, H.; NAVASCONI, C. L. D. R.

21

• Compreender por meio da área dos quadrados a relação entre soma de

dois quadrados;

• Investigar no Geogebra essas relações e generalizar as conclusões;

• Compreender o processo dos produtos notáveis através da álgebra

geométrica;

• Estabelecer relações entre a área das figuras e a fórmula generalizada

para produtos notáveis;

• Investigar as possíveis soluções para esse tipo de Produto ( a+b).(a+b)

A tarefa:

a) Considere figuras de dimensões 2x2, 2x1,1x2 e 1x1. Organize estas

figuras com o objetivo de formar novas figuras e analise suas áreas. O

que você observa nas relações entre as suas áreas?O que você

observou sobre a área total de cada composição?

Figura 10: Tarefa 8 - Produtos notáveis

b) Faça o mesmo com figuras de dimensões 3x3, 3x1, 1x3 e 1x1 O que

você observe sobre as suas áreas? E sobre a área total de cada

composição o que você observou?

22

Figura 11: Tarefa 8 - Produtos notáveis

c) Novamente, monte novas configurações com as figuras de dimensões

4x4, 4x1, 1x4 e 1x1. O que você observou sobre a área total de cada

configuração?

Figura 12: Tarefa 8 - Produtos notáveis

d) Qual seria a área total de figuras obtidas a partir de outras com

dimensões a x a, a x 1, 1 x a e 1 x 1.Teste suas conjecturas com as

figuras dos itens a), b) e c).

e) Considere que no item anterior (d) tivéssemos uma figura com

dimensões a x a, duas com dimensões a x 1 e duas com dimensões 1 x

a. Quantos quadrados de 1 x 1 seriam necessários para obter um

quadrado perfeito?

f) Considerando que você tenha uma figura a x a e várias figuras com

dimensões a x 1 e 1 x a, enuncie uma forma geral de se obter o número

de quadrados 1 x 1 a fim de se obter um quadrado perfeito.

23

Para a montagem dos quadrados no Geogebra utilize os comandos

polígono regular, e para os retângulos o comando polígono. Se você quiser

pode usar o comando área que possibilita encontrar a área da figura

desenhada. Com o auxílio da planilha é possível também organizar os dados, o

que auxilia na comparação das áreas das figuras.

24

5 REFERÊNCIAS CHIANG,K. H. Minicurso de Geogebra , Foz do Iguaçú, 2007. DEMO, P. Educar pela pesquisa . Campinas: Autores Associados, 2000. FIORENTINI D; FERNANDES F. L. P; CRISTOVÃO E. M. Um estudo das potencialidades pedagógicas das investigações matem áticas no desenvolvimento do pensamento algébrico de alunos d e 6ª série - Faculdade de Educação – Unicamp 2004. LINS, R. C; GIMENEZ, J. Perspectivas em aritmética e álgebra para o século XXI. Campinas, SP: Papirus,1997. p. 153-156. PONTE, J. P.; BROCADO, J.; OLIVEIRA, H Investigações matemáticas na sala de aula. Belo horizonte: Autêntica, 2006.