Decomposição de um Número Natural em Fatores Primos

A decomposição de um número natural em um produto de fatores primos é chamada de fatoração.

A fatoração de qualquer número natural primo resultará no próprio número. A fatoração do número primo 73, por exemplo, não resultará em outro número senão ao próprio número 73.A fatoração de qualquer número natural composto resultará em um produto de 2 ou mais fatores primos.

Observe que um mesmo fator primo pode ocorrer mais de uma vez. Quando isto acontece o representamos na forma de uma potência cujo expoente é o número de ocorrências do tal fator e a base é o próprio fator.Vejamos o número 147, por exemplo. Ele pode ser decomposto nos seguintes fatores primos:

3 7 7

Ou seja, 147 decomposto em fatores primos é igual a 3 . 72

Método para a Decomposição em Fatores Primos

Para realizarmos a decomposição de um número em fatores primos, devemos procurar pelo menor número primo capaz de dividi-lo (divisão exata) e realizarmos a sua divisão por este número enquanto for possível. Depois devemos procurar pelo próximo número primo capaz de dividi-lo e continuar neste procedimento até que o quociente da divisão resulte em 1. Neste momento teremos todos os fatores primos que compõe tal número.Tomemos como exemplo o número 360.

O primeiro número primo capaz de dividi-lo é o número 2:360 2180

Note que à esquerda da barra colocamos o número que estamos fatorando e todos os quocientes que vamos encontrando durante o processo. À direita dela, vamos colocando todos os divisores primos que causam a divisão exata.O quociente 180 ainda é divisível por 2, por isto ele será utilizado novamente como divisor:360 2180 290

90 continua sendo divisível por 2, logo dividimos novamente por 2:360 2180 2 90 2 45

45 não é mais divisível por 2 e o próximo número primo capaz de dividi-lo sem deixar resto é o número 3:360 2180 2 90 2 45 3 15

15 também é divisível por 3:360 2180 2 90 2 45 3 15 3 5

5 não é divisível por 3 e o próximo número primo capaz de dividi-lo é o próprio número 5:360 2180 2 90 2 45 3 15 3 5 5 1

Neste momento chegamos finalmente ao quociente 1. Temos então que o número 360 pode ser decomposto nos seguintes fatores primos:2, 2, 2, 3, 3 e 5.

Podemos dizer então que: 360 = 23 . 32 . 5.

Definição de Números PrimosPor definição, os números primos são números pertencentes ao conjunto dos números naturais não nulos, que possuem exatamente apenas dois divisores naturais distintos, o número 1 e o próprio número, que produzem como resultado um número também natural, ou seja, a divisão será exata com resto igual a zero.

Segundo esta definição o número 1 não é um número primo, pois o mesmo não apresenta dois divisores distintos.O número 2 é o único número primo par, já que todos os demais números pares possuem ao menos 3 divisores, dentre eles a unidade, o próprio número e o número 2.Números naturais não nulos que possuem mais de dois divisores são chamados de números compostos.Como identificar se um número é primo?

Há várias formas, mas um dos procedimentos mais simples, ainda que trabalhoso, é o seguinte:

Vá testando a divisibilidade do número por cada um dos números primos, iniciando em 2, até que a divisão tenha resto zero ou que o quociente seja menor ou igual ao número primo que se está testando como divisor.Vamos testar se o número 17 é primo ou não:

17 : 2 = 8, resta 1; 17 : 3 = 5, restam 2; 17 : 5 = 3, restam 2.

Neste ponto já podemos ter a certeza de que o número 17 é primo, pois nenhum dos divisores primos testados produziu resto 0 e o quociente da divisão pelo número primo 5 é igual a 3 que é menor que o divisor 5.Vejamos agora se o número 29 é primo ou não:

29 : 2 = 14, resta 1; 29 : 3 = 9, restam 2; 29 : 5 = 5, restam 4.

Como neste ponto quociente da divisão de 29 pelo número primo 5 é igual ao próprio divisor 5, podemos então afirmar com certeza que o número 29 é primo, pois nenhum dos divisores primos testados resultou em uma divisão exata.E o número 91 é primo? Vamos testar:

91 : 2 = 45, resta 1; 91 : 3 = 30, resta 1; 91 : 5 = 18, resta 1; 91 : 7 = 13, resta 0.

Como no último teste a divisão foi exata, restando zero, concluímos que o número 91 não é um número primo, de fato ele possui 4 divisores distintos: 1, 7, 13 e 91.

Tabela de Números PrimosTemos abaixo uma listagem contendo cem mil números primos, iniciando em 2 e indo até o número 1.299.709.Voce pode se utilizar desta tabela para a realizar a decomposição de um número em fatores primos, por exemplo.

Relação com os 100.000 primeiros números primos

2 3 5 7 11 13 17 19 23 2931 37 41 43 47 53 59 61 67 7173 79 83 89 97 101 103 107 109 113127 131 137 139 149 151 157 163 167 173179 181 191 193 197 199 211 223 227 229233 239 241 251 257 263 269 271 277 281283 293 307 311 313 317 331 337 347 349353 359 367 373 379 383 389 397 401 409419 421 431 433 439 443 449 457 461 463467 479 487 491 499 503 509 521 523 541547 557 563 569 571 577 587 593 599 601607 613 617 619 631 641 643 647 653 659

661 673 677 683 691 701 709 719 727 733739 743 751 757 761 769 773 787 797 809811 821 823 827 829 839 853 857 859 863877 881 883 887 907 911 919 929 937 941947 953 967 971 977 983 991 997 1009 10131019 1021 1031 1033 1039 1049 1051 1061 1063 10691087 1091 1093 1097 1103 1109 1117 1123 1129 11511153 1163 1171 1181 1187 1193 1201 1213 1217 12231229 1231 1237 1249 1259 1277 1279 1283 1289 12911297 1301 1303 1307 1319 1321 1327 1361 1367 13731381 1399 1409 1423 1427 1429 1433 1439 1447 14511453 1459 1471 1481 1483 1487 1489 1493 1499 15111523 1531 1543 1549 1553 1559 1567 1571 1579 15831597 1601 1607 1609 1613 1619 1621 1627 1637 16571663 1667 1669 1693 1697 1699 1709 1721 1723 17331741 1747 1753 1759 1777 1783 1787 1789 1801 18111823 1831 1847 1861 1867 1871 1873 1877 1879 18891901 1907 1913 1931 1933 1949 1951 1973 1979 19871993 1997 1999 2003 2011 2017 2027 2029 2039 20532063 2069 2081 2083 2087 2089 2099 2111 2113 21292131 2137 2141 2143 2153 2161 2179 2203 2207 22132221 2237 2239 2243 2251 2267 2269 2273 2281 22872293 2297 2309 2311 2333 2339 2341 2347 2351 23572371 2377 2381 2383 2389 2393 2399 2411 2417 24232437 2441 2447 2459 2467 2473 2477 2503 2521 25312539 2543 2549 2551 2557 2579 2591 2593 2609 26172621 2633 2647 2657 2659 2663 2671 2677 2683 26872689 2693 2699 2707 2711 2713 2719 2729 2731 27412749 2753 2767 2777 2789 2791 2797 2801 2803 28192833 2837 2843 2851 2857 2861 2879 2887 2897 29032909 2917 2927 2939 2953 2957 2963 2969 2971 29993001 3011 3019 3023 3037 3041 3049 3061 3067 30793083 3089 3109 3119 3121 3137 3163 3167 3169 31813187 3191 3203 3209 3217 3221 3229 3251 3253 32573259 3271 3299 3301 3307 3313 3319 3323 3329 33313343 3347 3359 3361 3371 3373 3389 3391 3407 34133433 3449 3457 3461 3463 3467 3469 3491 3499 35113517 3527 3529 3533 3539 3541 3547 3557 3559 3571

1 2345678910 11121314151617181920 ...

Mínimo Múltiplo Comum – MMC

Dados dois ou mais números naturais não nulos, denomina-se mínimo múltiplo comum (MMC) o menor dos seus múltiplos que é comum a todos eles, com exceção do número zero, pois este é menor dos números naturais e é múltiplo de todos eles.

Os múltiplos de um número natural são todos aqueles que divididos por este número têm zero como o resto da divisão. Por exemplo, 0, 6 e 12 são todos múltiplos de 6, pois qualquer um deles pode dividido por 6 em uma divisão exata. Neste caso o quociente da divisão seria respectivamente 0, 1 e 2. Percebe-se portanto, que os múltiplos de um número natural são o resultado do produto deste número por um outro número natural.Já que o conjunto dos números naturais é um conjunto infinito, os múltiplos de um número também são infinitos.

Múltiplos de um Número Natural e o seu MMCTomemos por exemplo os números naturais 6, 8 e 12. Seus múltiplos são respectivamente:

{ 0, 6, 12, 18, 24, 30, ... } { 0, 8, 16, 24, 32, 40, ... } { 0, 12, 24, 36, 48, 60, ... }

Podemos notar que com exceção do número 0, o número 24 é o menor dos múltiplos comum a todos eles.Temos então que:MMC(6, 8, 12) = 24

Como descobrir o MMC de um conjunto de números?Um prático método para se determinar o MMC de um conjunto de números naturais é a decomposição em fatores primos.Para que possamos fazer uma comparação, vamos tomar novamente os números 6, 8 e 12 como exemplo.

Da fatoração destes três números temos: 6 = 2 . 3 8 = 23

12 = 22 . 3O MMC(6, 8, 12) é o produto dos fatores comuns e não comuns, com os maiores expoentes.O fator 2 é comum a todos eles, mas tomemos o 23, pois é o que possui o maior expoente.O fator 3 não é comum ao número 8, mas independente disto também deve ser considerado e como nos dois casos onde ele é múltiplo, o expoente é 1, iremos considerar somente o 3 mesmo.Note que cada fator é considerado apenas uma vez. O fator 3, por exemplo, ocorre tanto para o número 6, quanto para o números 12, mas o consideramos apenas uma vez.Logo:MMC(6, 8, 12) = 23 . 3 = 24

Propriedade do MMC e do MDCSejam a e b dois ou mais números naturais não nulos temos que MMC(a, b) . MDC(a, b) = a . b.Observe que esta propriedade e válida apenas para o MMC/MDC entre exatamente dois números, para três números ou mais esta propriedade não se verifica.

Exemplos de MMCQual é o MMC(15, 25, 40)?

Fatorando os três números temos: 15 = 3 . 5 25 = 52

40 = 23 . 5Para uma melhor identificação, os fatores comuns e não comuns com os maiores expoentes foram marcados em vermelho.MMC(15, 25, 40) = 23 . 3 . 52 = 600Portanto:

O MMC(15, 25, 40) é igual 600

Qual é o MMC(250, 225, 294, 245)?Da Fatoração dos quatro números temos:

250 = 2 . 53

225 = 32 . 52

294 = 2 . 3 . 72

245 = 5 . 72

MMC(250, 225, 294, 245) = 2 . 32 . 53 . 72 = 110250Logo:O MMC(250, 225, 294, 245) é igual a 110250

Qual é o MMC(27, 81)?A decomposição dos dois números em fatores primos nos dá:

27 = 33

81 = 34

MMC(27, 81) = 34 = 81Portanto:

O MMC(27, 81) é o próprio número 81.

Se o MDC(27, 72) = 9, qual é o MMC(27, 72)?Segundo a propriedade do MMC e do MDC temos que :

Logo:O MMC(27, 72) é igual a 216.

Máximo Divisor Comum – MDC

Dados dois ou mais números naturais não nulos, denomina-se máximo divisor comum (MDC) o maior número que é divisor de todos eles

Entenda por divisor, um número natural não nulo, que ao dividir um outro número natural, produz uma divisão com resto igual a zero, isto é, produz uma divisão exata.Com este sentido, o conjunto dos números formados pelos divisores de um número natural qualquer é um conjunto finito.Caso o número 1 seja o único divisor comum a um conjunto de números naturais, dizemos que os números deste conjunto são primos entre si.

Divisores de um Número Natural e o seu MDCAnalisemos os números naturais 108, 135 e 63. Seus divisores são respectivamente:

{ 1, 3, 4, 9, 12, 27, 36, 108 } { 1, 3, 5, 9, 15, 27, 45, 135 } { 1, 3, 7, 9, 21, 63 }

De todos os divisores que cada um dos números possui, o número 9 é o maior deles que é comum a todos os três.Temos então que:MDC(108, 135, 63) = 9

Como descobrir o MDC de um conjunto de números?Um método prático para se determinar o MDC de um grupo de números naturais é a fatoração.Para podermos comparar o resultado obtido pelo método acima e o obtido pela fatoração, vamos utilizar de novo os números 108, 135 e 63 como exemplo.

Da fatoração deles nós temos que: 108 = 33 . 4 135 = 33 . 5 63 = 32 . 7

O MDC(108, 135, 63) é o produto dos fatores comuns com os menores expoentes.No caso apenas o fator 3 é comum a todos eles, mas tomemos o 32, pois é o que possui o menor expoente.Logo:MDC(108, 135, 63) = 32 = 9

Calculando o MDC entre dois números pelo método das divisões sucessivasEste método consiste em se dividir o maior número pelo menor. Se a divisão for exata, então o número menor será o MDCentre os dois números. Se não for, então o número que estava sendo utilizado como divisor, passará a ser utilizado como dividendo e o resto da divisão passará a ser o novo divisor.

Se desta vez a divisão for exata, então o divisor atual será o MDC, se não for, repete-se o processo, o número que estava sendo utilizado como divisor, passará a ser utilizado como dividendo e o resto da divisão passa a ser o novo divisor e assim vai até que a divisão seja exata, neste momento o divisor atual será o máximo divisor comum entre os dois números.Para a exemplificar vamos utilizar os números naturais 80 e 288:Dividindo 288, que é o maior deles, por 80, teremos 48 como resto da divisão, então devemos continuar o processo.Agora dividiremos 80 pelo resto 48 e como novo resto iremos obter 32, como a divisão ainda não foi exata, continuamos o processo.Dividiremos então 48 por 32, cujo resto é 16, o que nos obriga a continuar o processo.Desta vez dividiremos 32 por 16. Agora a divisão é exata, então o MDC(80, 288) = 16.Note que por este método só é possível o cálculo do MDC entre dois números. Se você precisar calcular o máximo divisor comum dentre três ou mais números, o ideal é apurar o MDC entre os dois menores e depois ir calculando o máximo divisor entre o MDC atual e o próximo número na ordem ascendente até terminar, ou até que encontre um MDC igual a 1. Por exemplo, o MDC(24, 80, 242) deve ser calculado assim:Primeiro calcule MDC(24, 80) que é igual a 8, finalmente calcule MDC(8, 242) que é igual a 2.Para melhor fixação destes conceitos, faça os cálculos por este método e confira o resultado.

Exemplos de MDCQual é o MDC(15, 75, 105)?

Fatorando os três números temos: 15 = 3 . 5 75 = 3 . 52

105 = 3 . 5 . 7

Note que cada fator é considerado apenas uma vez. O fator 3, por exemplo, ocorre tanto para o número 15, quanto para o número 75 e para o 105, mas o consideramos uma única vez. De forma análoga agimos em relação ao fator 5.MDC(15, 75, 105) = 3 . 5 = 15Portanto:

O MDC(15, 75, 105) é igual 15

Qual é o MDC(100, 150, 200, 250)?Da Fatoração dos quatro números temos:

100 = 22 . 52

150 = 2 . 3 . 52

200 = 23 . 52

250 = 2 . 53

Os fatores 2 e 5 são comuns aos quatros números. O menor expoente do 2 é 1 e do 5 é 2. Assim:MDC(100, 150, 200, 250) = 2 . 52 = 50Logo:

O MDC(100, 150, 200, 250) é igual a 50

Qual é o MDC(25, 16)?

A decomposição dos dois números em fatores primos nos dá: 25 = 52

16 = 24

Não há fatores comuns, já que 25 e 16 são primos entre si, então:MDC(25, 16) = 1Portanto:

O MDC(25, 16) é o número 1.

Primos Entre SiOs números 20 e 21 não são números primos. Como sabemos, tanto o 20, quanto o 21 possuem vários divisores.

Os divisores de 20 são: 1, 2, 4, 5, 10 e 20.Já os divisores de 21 são: 1, 3, 7 e 21.Observamos que o número 1 é o único divisor comum ao 20 e ao 21.Em função disto, 20 e 21 são números primos entre si.Chamamos de números primos entre si um conjunto de dois ou mais números naturais cujo único divisor comum a todos eles seja o número 1.Os divisores do número 10 são: 1, 2, 5 e 10.Podemos então afirmar que juntos, os números 10, 20 e 21 são primos entre si, ou mutuamente primos, já que o único divisor comum a todos eles continua sendo o número 1.Observe, no entanto que os números 10 e 20 não são números primos, pois os números 1, 2, 5 e 10 são divisores comuns aos dois.Em síntese para sabermos se um conjunto de números são primos entre si, ou mutuamente primos, basta calcularmos o seumáximo divisor comum (MDC). Se for 1, todos números do conjuntos serão primos entre si.

Divisores de um Número NaturalDivisores de um número natural são todos os números naturais que ao dividirem tal número, resultarão em uma divisão exata, isto é, com resto igual a zero.

O conjunto dos divisores de um número é um conjunto finito, mas como determinar quantos divisores um número natural possui?Tanto para a identificação da quantidade de divisores de um número, assim como para que possamos encontrar tais divisores, iremos recorrer à fatoração ou decomposição em fatores primos.Tomemos como exemplo o número 200 para aprendermos a identificar quantos e quais são os seus divisores.

Fatorando

Primeiramente iremos decompor o número 200 em fatores primos:

Temos então que 200 fatorado é igual a 23 . 52.

Quantidade de Divisores de um Número NaturalO número 200 decomposto possui dois fatores primos. Um com expoente 3 (23) e outro com expoente 2 (52). A multiplicação destes expoentes adicionados em uma unidade cada um deles, irá nos fornecer a informação procurada:(3 + 1) . (2 + 1) = 12Portanto o número natural 200 possui um total de 12 divisores naturais.

Conjunto dos Divisores de um Número NaturalMas quais são estes 12 divisores naturais do número 200? Analisemos a figura abaixo:

Notamos que à direita da fatoração do número 200, executada mais acima no início deste tópico, foi traçada uma outra linha vertical e colocado o número 1 no topo. Ele foi considerado, pois todos os números naturais são divisíveis por ele.Temos então que { 1 } é o primeiro subconjunto obtido dos divisores de 200.A partir daí, todos os outros divisores serão obtidos através da multiplicação do fator da linha em questão, por todos os divisores das linhas acima, até então calculados, ou em outras palavras, obtidos através da multiplicação do fator da linha em questão por todos os elementos do atual subconjunto de divisores, mas há uma exceção: Quando o fator da linha em questão for igual ao fator da linha anterior, ao invés de o multiplicarmos por todos os divisores já encontrados, o multiplicamos apenas pelos divisores encontrados na linha anterior, pois caso contrário iremos obter vários divisores que já foram encontrados anteriormente. Se quisermos seguir a regra geral, o único problema, além do desperdício de tempo, é que teremos que eliminar as duplicidades, considerando cada divisor apenas uma vez.Multiplicando-se o primeiro fator 2 por cada elemento do subconjunto atual (2 . 1 = 2), obteremos o novo subconjunto { 1, 2 } que conta agora com dois divisores.

Multiplicando-se o segundo fator 2 por cada elemento do subconjunto atual (2 . 1 = 2, 2 . 2 = 4), obteremos um novo subconjunto { 1, 2, 4 }, que conta agora com três divisores. Podemos notar que o divisor 2 que já fazia parte do subconjunto anterior foi considerado apenas uma vez.

Neste caso poderíamos ter calculado apenas o produto (2 . 2 = 4), pois o fator 2 em questão é o mesmo fator da linha anterior, então o multiplicamos apenas por 2, que é o único divisor

encontrado na linha anterior, evitando assim a perda de tempo em cálculos que resultarão em valores já obtidos.Como o terceiro fator 2 é novamente uma repetição do fator acima, vamos apenas multiplicar (2 . 4 = 8), obtendo o novo subconjunto { 1, 2, 4, 8 }, que conta agora com quatro divisores. Note que se tivéssemos multiplicado por todos os divisores acima, encontraríamos 2 e 4 em duplicidade.

Multiplicando-se o primeiro fator 5 pelos elementos do subconjunto atual (5 . 1 = 5, 5 . 2 = 10, 5 . 4 = 20, 5 . 8 = 40), obteremos um novo subconjunto { 1, 2, 4, 5, 8, 10, 20, 40 }, que conta agora com oito divisores.

Finalmente multiplicando-se o segundo fator 5 pelos elementos da linha acima, já que ele se repete, (5 . 5 = 25, 5 . 10 = 50, 5 . 20 = 100, 5 . 40 = 200), obteremos um novo subconjunto { 1, 2, 4, 5, 8, 10, 20, 25, 40, 50, 100, 200 }, que conta agora com os doze divisores de 200 como já era de se esperar.

Portanto os doze divisores naturais de 200 são: 1, 2, 4, 5, 8, 10, 20, 25, 40, 50, 100 e 200.

Múltiplos de um Número NaturalNormalmente na infância ao iniciarmos nossos estudos na área da matemática, o primeiro contato direto que temos com os múltiplos de um número natural, é quando começamos a estudar as tabuadas de multiplicação.

Na verdade as tabuadas de multiplicação dos números de zero a dez representam os onze primeiros múltiplos destes números.Apenas para efeito de ilustração, vejamos a tabuada a seguir:

Tabuada de Multiplicação do Número 3 3 . 0 = 0 3 . 1 = 3 3 . 2 = 6 3 . 3 = 9

3 . 4 = 12 3 . 5 = 15 3 . 6 = 18 3 . 7 = 21 3 . 8 = 24 3 . 9 = 27 3 . 10 = 30

Olhando a tabuada acima vemos os onze primeiros múltiplos de três.

O número 15, por exemplo, é múltiplo de 3 porque 15 é divisível por 3.Concluímos então que um número natural a é múltiplo de um número natural b, se a é divisível por b.O número natural 21 é múltiplo do número natural 7, pois 21 é divisível por 7. O número 21 também é múltiplo de 3, pois ele é divisível por 3.Analisando a tabuada acima deduzimos que um produto é múltiplo dos seus fatores.Podemos extender o conceito acima, afirmando que um número natural é múltiplo de todos os seus divisores naturais.Todos os números naturais são múltiplos de si mesmos exceto o zero, assim como zero é múltiplo de todos os números naturais, com exceção dele próprio.Diferentemente do conjunto dos divisores de um número natural que é finito, o conjunto dos múltiplos de um número natural é infinito, pois a multiplicação um número natural, por um outro número natural irá produzir um dos seus múltiplos e como sabemos, o conjunto dos números naturais é um conjunto infinito.Novamente recorrendo à tabuada acima vemos que 12 é múltiplo de 3, pois 12 = 3 . 4. Para formarmos o número 12, recorremos múltiplas vezes ao número 3, neste caso 4 vezes:3 + 3 + 3 + 3 = 12

Esta é uma outra forma, talvez até mais clara, de entendermos o conceito de números múltiplos. Um número natural é múltiplo de outro número natural, quando na sua formação somamos várias vezes um deles para chegarmos ao outro.

Daí fica fácil concluir, que se somarmos a 12, três ou qualquer outro múltiplo de três, o resultado obtido continuará sendo um múltiplo de 3.

Se a 12 somarmos três teremos:3 + 3 + 3 + 3 + 3 = 15, que é múltiplo de três já que 15 = 3 . 5.Se a 12 somarmos nove, que é um dos múltiplos de três, teremos:3 + 3 + 3 + 3 + 3 + 3 + 3 = 21, que também é múltiplo de três, pois 21 = 3 . 7.

Se fatorarmos o número 30 veremos que ele não é um número primo, pois é formado pelo produto dos números 2, 3 e 5 (2 . 3 . 5 = 30) e a partir do explicado acima, podemos afirmar que:Se somarmos 2, ou qualquer um de seus múltiplos a 30, o resultado continuará sendo múltiplo de 2; se somarmos 3, ou qualquer um de seus múltiplos a 30, o total continuará sendo múltiplo de 3 e se somarmos 5, ou qualquer um de seus múltiplos a 30, o resultado continuará sendo múltiplo de 5.