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Demonstração da Irracionalidade do Número de Euler ( )e

Rodrigo R. Gonçalez

ABSTRACT: This article seeks to demonstrate the irrationality of Euler's number, through simple mathematical tools.

1. Introdução. “Na matemática, o número de Euler, denominado em homenagem ao matemático suíço Leonhard Euler, é a base dos logaritmos naturais. As variantes do nome do número incluem: número de Napier, constante de Néper, número neperiano, constante matemática, número exponencial, etc. A primeira referência à constante foi publicada em 1618 na tabela de um apêndice de um trabalho sobre logaritmos de John Napier. No entanto, este não contém a constante propriamente dita, mas apenas uma simples lista de logaritmos naturais calculados a partir desta. A primeira indicação da constante foi descoberta por Jakob Bernoulli, quando tentava encontrar um valor para a seguinte expressão (muito comum no cálculo de juros compostos):

1lim 1 .

n

ne

n

(Fonte: Wikipèdia.com.br).”

Evidentemente, com o auxílio do cálculo computacional, ficou extremamente simples obter o número de Euler. Mas, nenhum computador existente poderá obter todas as casas decimais de tal número, pois ele é irracional. Pela expressão mostrada acima, temos aquilo que denominamos de uma indeterminação

matemática. Isso porque, quando n tende ao infinito, 1 n tende a zero e não podemos

afirmar o que ocorre com a expressão 1 . Devemos lembrar ao leitor que o infinito é uma idéia, e não um número. Não é algo mensurável e que possui controle. Imagine o infinito como algo tão extenso quanto nossa imaginação possa alcançar, e isso ainda seria ínfimo. Fixemos nossa imaginação nos tempos de Bernoulli, Euler e Napier, por exemplo. Como nós poderíamos ter a absoluta certeza de que tal famoso número é mesmo irracional? A demonstração desse fato é o interesse principal deste artigo.

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2. Sequências e Séries.

Tomemos uma sequência cujo termo geral é 1

1 ,

n

nx nn

. Pelo teorema

Binomial, podemos reescrever esse termo como:

0

1 11 (1)

n nn k

kk

n

kn n

Logo,

0 1 2 3 1

2 3 4

2

1 1 1 1 1 1 11 ...

0 1 2 3 1

1 1 ( 1) 1 ( 1)( 2) 1 ( 1)( 2)( 3) 1 11 1 ...

2! 3! 4!

1 ( 1) 11 1 1

n

n n

n

n

n

n n n n n n

n nn n n n n n n

n n n n n n n n nn

n n n n n n

n n

n n 3 4

( 1)( 2) 1 ( 1)( 2)( 3) 1 1...

2! 3! 4!

1 1 1 1 2 1 1 2 3 1 11 1 1 ...

2! 3! 4!

1 1 1 1 21 1 1 1 1 1

2!

n

n

n

n

n n n n n n n

n n n

n n n n n n

n n n n n n n n

n n n n

1 1 2 3 1 11 1 1 ...

3! 4! nn n n n

Se n tende ao infinito, observamos que o termo tende a

0

1 1 1 1lim 1 1 1 (1 0) (1 0) (1 0) (1 0) (1 0) (1 0) ...

2! 3! 4!

1 1 1 1 1 1lim 1 1 1 ... ...

2! 3! 4! ! !

n

n

n

nn

n

en n n

Concluímos, dessa forma, que número de Euler também pode ser escrito como o resultado de convergência da série infinita:

3

0

1 1 1 1 11 1 ... ... .

2! 3! 4! ! !n

en n

Observemos, portanto, que a série 0

1

!n n dá-nos o número de Euler.

De fato, tal série é monótona e limitada, portanto converge. Para demonstrar isso, escrevamos suas somas parciais:

0

1

2

3

4 2

5 2 3

6

1 1 1 1 1 11 ... ...

! 1! 2! 3! 4! !

1

1 1

11 1

2

1 1 1 1 1 11 1 1 1 1 1

2 3! 2 2 2 2 2

1 1 1 1 1 1 1 1 11 1 1 1 1 1

2 3! 4! 2 2 2 2 2 2 2 2 2

1 1 1 1 1 1 1 1 11 1 1 1 1 1

2 3! 4! 5! 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2

n n n

S

S

S

S

S

S2 3 4

2 3 2

2

1 1 1

2 2 2

1 1 1 1 1 1 11 1 ... 1 1 ...

2 3! ( 1)! 2 2 2 2n n

série geométrica menor que

Sn

Observação: Verifiquemos que 2 3

0

1 1 1 11 ...

2 2 2 2ii

é uma série geométrica de

razão 1

2, cujo limite da soma é:

1

lim lim 21

12

n nS S

4

3. Conclusão.

Portanto, temos que 2 3nS , sendo ( )nS monótona e limitada. Então, 0

1

!n n

converge.

Seja 0

1

!n

en

. Como vimos anteriormente, 2 3e . Reescrevamos e de forma

que:

0

1 1 1 1 1...

! ( 1)! ( 2)! ( 3)! ( 4)!

1 1 1 1 1 1... 1 ...

( 1)! ( 2)! ( 1)! ( 2) ( 3)( 2) ( 4)( 3)( 2)

1 1 1 1 1 11 ... 1 ...

( 1)! ( 2) ( 1)! 1 ( 1)( 1) ( 1)( 1)( 1)

k

n

en k k k k

k k k k k k k k k

k k k k k k k k k

2 3

2 31

1 1 1 1 1 1 11 ... 1 ...

( 1)! ( 2) ( 3)( 2) ( 1)! 1 ( 1) ( 1)

1 1 1 1 10 1 ...

! ( 1)! 1 ( 1) ( 1)

k

n

k k k k k k k k

en k k k k

Temos que 2 3

1 1 11 ...

1 ( 1) ( 1)k k k é uma série geométrica, de razão

1

1k, cujo

limite da soma é:

1 1 1lim lim 1

11

1

n n

kS S

k k

k

Substituindo o termo anterior na expressão obtida:

2 3

1 1 1 1 1 1 11 ...

( 1)! 1 ( 1) ( 1) ( 1)! !

k

k k k k k k k k

5

Portanto:

1

1 10

! !

k

n

en k k

Ora, se e , por hipótese, então existem ,p q tal que e p q . Podemos

escrever:

0

1 10

! !

q

n

p

q n q q

Multiplicando os membros da desigualdade por !q q , obtemos:

0

0

10 ! ! 1

!

!0 ! 1

!

q

n

q

n

pq q q q

q n

qp q q

n

Observe que 0

! ! ! ! !! ! ...

! 2! 3! 4! !

q

n

q q q q qq q q q

n q .

Como !p q e 0

!

!

q

n

qq

n , é um absurdo que a diferença ente dois números

naturais esteja entre 0 e 1.

Logo, e é um número irracional entre 2 e 3, como queríamos demonstrar. Observação: Euler calculou tal número com 23 casas decimais!

2,71828182845904523536028...e

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BIBLIOGRAFIA LIMA, Elon L.: Curso de Análise, Vol.1. 14 ed. Rio de Janeiro: IMPA, 2012. (Projeto Euclides). ÁVILA, Geraldo.: Introdução à Análise Matemática. 2 ed. São Paulo: Ed. Edgard Blucher LTDA, 1999.