Derivada da função composta, derivada da funçãoinversa, derivada da função implícita e derivada de funçõesdefinidas parametricamente.Teorema 2.31 Derivada da Função CompostaSuponha-se que g: Aé diferenciável no ponto a e que f:Dé diferenciável no ponto b=g(a). Então fog é diferenciávelno ponto a e tem-se :( fog)(a) f g(a)g(a)Utilizando outra notação:h fog e z=f(y) e y=g(x) entãodxdydydzdxdhExemplos: Calcule a derivada dos seguintes exercícios utilizandoo conceito de derivada da função composta.(1) Sendo z = sen(y) e y=x4 , calcule a derivada de

h=senx4 (2) h = ln u(x) calculedxdh?O teorema anterior permite estabelecer as fórmulas das derivadasdas funções elementares:Seja: u=u(x)sen(u) ucos(u) cos(u) usen(u)tg(u) usec2(u) cotg(u) ucosec2(u)

u u u1 , constante

au =uau ln(a)u aua u ln(log )Análise Matemática I - 2006/20074ª aula teórica Pág. 24

Função implícita e sua derivadaSeja F(x,y)=0 uma condição e y=f(x) uma função definidaimplicitamente pela condição. Então a derivada yf (x) dafunção implícita obtém-se derivando em ordem a x ambos osmembros da condição.ExemploDerive a função implícita: x2 y2 4Teorema 2.32 Derivada da Função InversaSeja f: I D uma função injectiva e contínua, e g: J=f(I) a suainversa. Então se f é diferenciável no ponto a com f (a) 0 e gdiferenciável em b=f(a):( ( ))1( )1( )f a f g bg b

x yy=arctg(x)x=tg(y)2 2 2 2222111 ( )1cos ( ) ( )cos ( )1cos ( )cos ( )( ( ))1( )y sen y tg y xyyytg yarctg xAnálise Matemática I - 2006/2007

4ª aula teórica Pág. 25

Derivada de uma função dada sob a forma paramétricaObs.- A circunferência pode definir-se por duas expressões com oauxilio de um parâmetro t:_ _ _y r sentx r cost, 0 t 2equações paramétricas da circunferência- A elipse pode definir-se por duas expressões com o auxilio deum parâmetro t:_ _ _y b sentx a cost, 0 t 2equações paramétricas da elipsePor serem duas equações num parâmetro dizem-se equaçõesparamétricas.Como se calcula a derivada de uma função dada sob a formaparamétrica?Seja y =f(x) uma função definida pelas equações paramétricas._ _ _( )( )y tx t

, t0 t t1Se e são diferenciáveis em cada t0 t t1 e para alémdisso admite inversa diferenciável, então :dtdxdtdydxdy 2 22111111xarcsen(x)xarccos(x)xarccotg(x)Análise Matemática I - 2006/20074ª aula teórica Pág. 26

Exemplo: Seja y=f(x) dada pelas equações paramétricas

_ _ _y a sentx a cost, 0 t calcule y2.6 Estudo do gráfico de uma funçãoPara desenhar o gráfico deve:(1) Determinar o domínio da função;(2) Determinar os zeros da função;(3) Analisar a função quanto à continuidade e identificar ospontos de descontinuidade;(4) Procurar assimptotas;(5) Com a primeira derivada de f(x), determinar :- Pontos de estacionaridade e pontos de descontinuidade da1ª derivada;- Máximos e mínimos;- Monotonia (crescimento e decrescimento de f(x)).(6) Com a segunda derivada de f(x), determinar :- Os pontos de inflexão- Concavidades (convexas _ e côncavas _)(7) Esboçar o gráfico tendo em consideração os pontos"notáveis", nomeadamente:- zeros da função;- extremos;- pontos de inflexão;- e as assimptotas.Análise Matemática I - 2006/20074ª aula teórica Pág. 27

Algumas Definições e Teoremas úteis ao estudo do gráfico defunções.Def.2.33 Zeros de uma funçãoSeja f: D R uma função, as soluções da equação f(x)=0

chamam-se zeros da função.Def. 2.34 AssimptotasSeja f: D R uma função;(1) Se aD e aDe lim f (x)x aentão a função temuma assimptota vertical de equação x=a.(2) Se f x bxlim ( ) ou f x bxlim ( ) , f tem umaassimptota horizontal de equação y=b.(3) Se lim f (x)xf tem uma assimptota oblíqua y=mx+b se existir e for finitoxf xx( )lim;neste caso:xf xmx( )lim

e b lim ( f (x) mx)xAnálise Matemática I - 2006/20074ª aula teórica Pág. 28

Algumas definições e teoremas importantes para o cálculo deextremos e da monotonia.Def. 2.35 Seja f: D R uma função e aD um ponto, diz-seque:(1) f(x) tem máximo local em a se existir o tal quexV(a) f (x) f (a)(2) f(x) tem mínimo local em a se existir o tal quexV(a) f (x) f (a)(3) f(x) tem um extremo local em a se f(x) tiver um máximo ouum mínimo em a- Os máximos e mínimos locais procuram-se nos pontos deestacionaridade ( f (x)=0) e nos pontos onde a função estádefinida e a derivada não.Teorema de Rolle 2.36 Seja f: ID,(I=a,b) uma funçãocontínua e diferenciável em a,b; se f(a)=f(b), existe ca,btalque f (c) 0 .Corolário 2.37 Entre dois zeros de uma função existe um zeroda sua derivada.Corolário 2.38 Entre dois zeros consecutivos da derivada nãopode haver mais de um zero da função.

Teorema 2.39 Se para xI, f (x) 0, f é crescente em I e sef (x) 0, f é decrescente em I.Algumas definições e teoremas importantes para o cálculo dospontos de inflexão e das concavidades.- pontos de inflexão são os pontos onde a função f muda deconcavidade e obtêm-se igualando a zero a segunda derivada.Análise Matemática I - 2006/20074ª aula teórica Pág. 29

Teorema 2.40 Seja f uma função. Se f (x) 0 xa,bafunção é convexa (_) nesse intervalo e se f (x) 0 xa,bafunção é côncava (_) nesse intervalo.2.7 - Diferencial e diferenças finitasConsideremos uma função f: D, e a um ponto interior aodomínio D, e h um n.º real tal que (a+h)D.- Chama-se acréscimo da função f, correspondente aoincremento de h da variável x ( dado a partir do ponto a), àdiferença : f(a+h)-f(a)a f (h) f (a h) f (a) acréscimo da função f- Chama-se diferencial da função f no ponto a ao produtof (a)h e designaremos por da f (h) ou simplesmente por :da f f (a)h ou se y = f(x), dy f (x)h- Note que da f a f (h)Exercício: Determine o acréscimo e o diferencial da função:y 2x2 x para x = 1, e h = 0.01Geometricamente

___

aha+hf(a)f(a+h)

a f ( h )_ _ _da f