REGRAS DE DERIVAÇÃO CONTINUAÇÃO - Unesp · REGRAS DE DERIVAÇÃO Regra 17. A derivada da...

MATEMÁTICA I

REGRAS DE DERIVAÇÃO CONTINUAÇÃO...

Profa. Dra. Amanda L. P. M. Perticarrari

REGRAS DE DERIVAÇÃO

Regra 8. Se 𝑦 = log𝑎 𝑢 , sendo 𝑢 = 𝑓(𝑥) uma função

diferenciável em 𝑥, então:

𝑑𝑦

𝑑𝑥=

𝑑

𝑑𝑥log𝑎 𝑢 =

log𝑎 𝑒

𝑢∙𝑑𝑢

𝑑𝑥

• Exemplo. Seja 𝑦 = 𝑕 𝑥 e 𝑕 𝑥 = log𝑥

𝑥+1.

𝑕′ 𝑥 =𝑑𝑦

𝑑𝑥=

𝑑

𝑑𝑥log

𝑥

𝑥 + 1=

log 𝑒𝑥

𝑥 + 1

∙𝑥 + 1 − 𝑥

𝑥 + 1 2

= log 𝑒𝑥 + 1

𝑥∙

1

𝑥 + 1 2=

log 𝑒

𝑥 𝑥 + 1


Regra 9. Se 𝑦 = 𝑎𝑢 , sendo 𝑢 = 𝑓(𝑥) uma função


𝑑𝑦

𝑑𝑥=

𝑑

𝑑𝑥𝑎𝑢 = 𝑎𝑢 ln 𝑎

𝑑𝑢

𝑑𝑥

• Exemplo. Seja 𝑦 = 𝑕 𝑥 e 𝑕 𝑥 = 2−𝑥.

𝑕′ 𝑥 =𝑑𝑦

𝑑𝑥=

𝑑

𝑑𝑥2−𝑥 = 2−𝑥 ln 2

𝑑

𝑑𝑥−𝑥

= 2−𝑥 ln 2 −1 = −2−𝑥 ln 2


Regra 10. Se 𝑦 = 𝑢𝑣 , sendo 𝑢 = 𝑓(𝑥) e 𝑣 = 𝑔(𝑥) funções

diferenciáveis em 𝑥, então:

𝑑𝑦

𝑑𝑥=

𝑑

𝑑𝑥𝑢𝑣 = 𝑣𝑢𝑣−1

𝑑𝑢

𝑑𝑥+ 𝑢𝑣 ln 𝑢

𝑑𝑣

𝑑𝑥

• Exemplo. Seja 𝑦 = 𝑕 𝑥 e 𝑕 𝑥 = 𝑥𝑥2.

Note que: 𝑢 = 𝑥 e 𝑣 = 𝑥2, então:

𝑕′ 𝑥 =𝑑𝑦

𝑑𝑥=

𝑑

𝑑𝑥𝑥𝑥2

= 𝑥2𝑥𝑥2−1𝑑

𝑑𝑥𝑥 + 𝑥𝑥2

ln 𝑥𝑑

𝑑𝑥𝑥2

= 𝑥2𝑥𝑥2−1 ∙ 1 + 𝑥𝑥2ln 𝑥 2𝑥 = 𝑥𝑥2−1+2 + 𝑥𝑥2+1 ln 𝑥 2

= 𝑥𝑥2+1 + 𝑥𝑥2+1 ln 𝑥 2 = 𝑥𝑥2+1 1 + 2 ln 𝑥


Regra 11. Se 𝑦 = sen 𝑢 , sendo 𝑢 = 𝑓(𝑥) uma função


𝑑𝑦

𝑑𝑥=

𝑑

𝑑𝑥sen 𝑢 = cos 𝑢 ∙

𝑑𝑢

𝑑𝑥

• Exemplo. Seja 𝑦 = 𝑕 𝑥 e 𝑕 𝑥 = sen 𝑥2 + 𝜃 .

Note que: 𝑢 = 𝑥2 + 𝜃, então:

𝑕′ 𝑥 =𝑑𝑦

𝑑𝑥=

𝑑

𝑑𝑥sen 𝑥2 + 𝜃 = cos 𝑥2 + 𝜃

𝑑

𝑑𝑥𝑥2 + 𝜃

= cos 𝑥2 + 𝜃𝑑

𝑑𝑥𝑥2 +

𝑑

𝑑𝑥𝜃 = cos 𝑥2 + 𝜃 2𝑥 + 0

= 2𝑥 cos 𝑥2 + 𝜃


Regra 12. Se 𝑦 = cos 𝑢 , sendo 𝑢 = 𝑓(𝑥) uma função


𝑑𝑦

𝑑𝑥=

𝑑

𝑑𝑥cos 𝑢 = −sen 𝑢 ∙

𝑑𝑢

𝑑𝑥

• Exemplo. Seja 𝑦 = 𝑕 𝑥 e 𝑕 𝑥 = cos 𝑥2 − 𝜃 .

Note que: 𝑢 = 𝑥2 − 𝜃, então:

𝑕′ 𝑥 =𝑑𝑦

𝑑𝑥=

𝑑

𝑑𝑥cos 𝑥2 − 𝜃 = −sen 𝑥2 − 𝜃

𝑑

𝑑𝑥𝑥2 − 𝜃

= −sen 𝑥2 − 𝜃𝑑

𝑑𝑥𝑥2 −

𝑑

𝑑𝑥𝜃 = −sen 𝑥2 − 𝜃 2𝑥 − 0

= −2𝑥 sen 𝑥2 − 𝜃


Regra 13. Se 𝑦 = tg 𝑢 , sendo 𝑢 = 𝑓(𝑥) uma função


𝑑𝑦

𝑑𝑥=

𝑑

𝑑𝑥tg 𝑢 = sec2 𝑢 ∙

𝑑𝑢

𝑑𝑥

Regra 14. Se 𝑦 = cossec 𝑢 , sendo 𝑢 = 𝑓(𝑥) uma função


𝑑𝑦

𝑑𝑥=

𝑑

𝑑𝑥cossec 𝑢 = cossec 𝑢 ∙ cotg 𝑢 ∙

𝑑𝑢

𝑑𝑥


Regra 15. Se 𝑦 = sec 𝑢 , sendo 𝑢 = 𝑓(𝑥) uma função


𝑑𝑦

𝑑𝑥=

𝑑

𝑑𝑥sec 𝑢 = sec 𝑢 ∙ tg 𝑢 ∙

𝑑𝑢

𝑑𝑥

Regra 16. Se 𝑦 = cotg 𝑢 , sendo 𝑢 = 𝑓(𝑥) uma função


𝑑𝑦

𝑑𝑥=

𝑑

𝑑𝑥cotg 𝑢 = −cossec2 𝑢 ∙

𝑑𝑢

𝑑𝑥


Regra 17. A derivada da inversa de uma função é igual à

recíproca da derivada da função.

• Se 𝑦 = 𝑓 𝑥 e 𝑥 = 𝑔 𝑦 são funções diferenciáveis

inversas, então:

𝑑𝑦

𝑑𝑥=

1

𝑑𝑥𝑑𝑦

=1

𝑑𝑔 𝑦𝑑𝑦

• Exemplo. Seja 𝑥 = 𝑦 +1

3𝑦3 +

1

5𝑦5. Determine

𝑑𝑦

𝑑𝑥

Note que: 𝑑𝑥

𝑑𝑦= 1 + 𝑦2 + 𝑦4, então:

𝑕′ 𝑥 =𝑑𝑦

𝑑𝑥=

1

𝑑𝑥𝑑𝑦

=1

1 + 𝑦2 + 𝑦4


Regra 18. (REGRA DA CADEIA) Se 𝑦 = 𝑔 𝑢 e 𝑢 = 𝑓 𝑥 ,

então:

𝑑𝑦

𝑑𝑥=

𝑑𝑦

𝑑𝑢∙𝑑𝑢

𝑑𝑥

• Exemplo. Seja 𝑦 = 𝑢2

3 e 𝑢 = 𝑥2 + 1, determine 𝑑𝑦

𝑑𝑥

𝑕′ 𝑥 =𝑑𝑦

𝑑𝑥=

𝑑𝑦

𝑑𝑢∙𝑑𝑢

𝑑𝑥=

𝑑

𝑑𝑢𝑢

2

3 ∙𝑑

𝑑𝑥𝑥2 + 1 =

2

3𝑢

2

3−1 ∙ 2𝑥 + 0

𝑕′ 𝑥 =2

3𝑢

−1

3 ∙ 2𝑥 + 0 =2

3𝑢1

3

∙ 2𝑥 =4𝑥

3 𝑥2+113

MATEMÁTICA I

DIFERENCIAIS

Profa. Dra. Amanda L. P. M. Perticarrari

INTRODUÇÃO

Sabemos que

𝑑𝑦

𝑑𝑥= lim

Δ𝑥→0

𝑓 𝑥 + Δ𝑥 − 𝑓 𝑥

Δ𝑥

• Em alguns problemas, é útil interpretar 𝑑𝑦

e 𝑑𝑥 separadamente.

• 𝑑𝑦 é considerado diferencial de 𝑦

• 𝑑𝑥 é considerado diferencial de 𝑥

https://www.geogebra.org/m/GqHqFyfC

INTRODUÇÃO

• Se um incremento da variável

independente 𝑥 para um ponto

𝑃 𝑥, 𝑦 sobre a curva 𝑦 = 𝑓 𝑥 é

denotado por 𝑑𝑥, então:

𝑑𝑦

𝑑𝑥= 𝑓′ 𝑥 = tg 𝜃

• 𝑑𝑦 denota o incremento da ordenada da tangente em 𝑃.

• Observe que a diferencial 𝑑𝑦 e o incremento Δ𝑦 da

função, correspondentes ao mesmo valor de 𝑑𝑥 = Δ𝑥, não

são, em geral, iguais.

Δ𝑦

𝑦 = 𝑓 𝑥

𝑑𝑥 = Δ𝑥

𝑥 𝑥 + Δ𝑥


INTRODUÇÃO

Seja

• 𝑓′ 𝑥 a derivada de 𝑦 = 𝑓 𝑥 para um valor

particular de 𝑥;

• Δ𝑥 um incremento de 𝑥 escolhido

arbitrariamente;

então a diferencial de 𝑦, denotada por 𝑑𝑓 𝑥 ou 𝑑𝑦, é:

𝑑𝑦 = 𝑑𝑓 𝑥Δ𝑥

Δ𝑥=

𝑑𝑓 𝑥

𝑑𝑥𝑑𝑥 =

𝑑𝑓 𝑥

𝑑𝑥𝑑𝑥 = 𝑓′ 𝑥 𝑑𝑥

e a diferencial de 𝑥, denotada por 𝑑𝑥, é:

𝑑𝑥 = Δ𝑥


EXEMPLO

Suponha que 𝐶 = 5 + 0,6𝑥 + 0,2 𝑥, onde 𝐶 é o consumo total

(em bilhões de dólares) e 𝑥 a renda disponível total (em bilhões de

dólares). Se 𝑥 = 25 com um erro máximo de 0,3, determine o erro

máximo aproximado do consumo.

𝑑𝐶 = 0 + 0,6 +2

10∙1

2∙

1

𝑥 𝑑𝑥

𝑑𝐶 = 0,6 +0,1

25 0,3 = 0,6 +

0,1

5 0,3

𝑑𝐶 = 0,62 0,3 = 0,186

Se 𝒅𝒖 é o erro em 𝒖, então 𝒅𝒖

𝒖 é o erro relativo em 𝒖. Assim, o erro relativo

máximo aproximado do consumo é:

𝑑𝐶

𝐶=

0,186

21= 0,008


DIFERENCIABILIDADE E CONTINUIDADE

Se 𝑦 = 𝑓 𝑥 tem uma derivada finita

𝑓′ 𝑐 = limΔ𝑥→0

𝑓 𝑐 + Δ𝑥 − 𝑓 𝑐

Δ𝑥

em 𝑥 = 𝑐, então 𝑓(𝑥) é contínua em 𝑥 = 𝑐.

Continuidade em um ponto não implica na

existência de uma derivada neste ponto.



Considere a função 𝑓 𝑥 = 𝑥 . Verifique:

(a) Se a função 𝑓 é contínua em 𝑥 = 0.

(b) Se a função 𝑓 possui derivada em 𝑥 = 0.

Solução: Note que 𝑓 𝑥 = 𝑥, 𝑠𝑒 𝑥 ≥ 0−𝑥, 𝑠𝑒 𝑥 < 0

(a) Vamos verificar a continuidade da função

lim𝑥→0−

𝑓 𝑥 = lim𝑥→0−

−𝑥 = 0, lim𝑥→0+

𝑓 𝑥 = lim𝑥→0+

𝑥 = 0 e 𝑓 0 = 0

Como lim𝑥→0

𝑓 𝑥 = 𝑓 0 temos que a função 𝑓 é contínua em 𝑥 = 0.

(b) Note que 𝑓′ 𝑥 = 1, 𝑠𝑒 𝑥 ≥ 0−1, 𝑠𝑒 𝑥 < 0

, logo a função 𝑓 não

possui derivada em 𝑥 = 0.



Considere a função 𝑓 𝑥 = 1 − 𝑥2. Verifique:



Solução:


lim𝑥→0−


1 − 𝑥2 = 1, lim𝑥→0+


1 − 𝑥2 = 1 e 𝑓 0 = 1

Como lim𝑥→0

𝑓 𝑥 = 𝑓 1 temos que a função 𝑓 é contínua em

𝑥 = 0.

(b) Note que 𝑓′ 𝑥 = −2𝑥, logo a função 𝑓 possui derivada em

𝑥 = 0.



Considere a função 𝑓 𝑥 = 𝑥1

3. Verifique:



Solução:


lim𝑥→0−


𝑥1

3 = 0, lim𝑥→0+


𝑥1

3 = 0 e 𝑓 0 = 0

Como lim𝑥→0

𝑓 𝑥 = 𝑓 0 temos que a função 𝑓 é contínua em 𝑥 = 0.

(b) Note que 𝑓′ 𝑥 =1

3𝑥−

2

3, logo a função 𝑓

não possui derivada em 𝑥 = 0.

𝑓′ 𝑥 =1

3𝑥−

23

𝑓 𝑥 = 𝑥13


Lista de Exercícios


REGRAS DE DERIVAÇÃO CONTINUAÇÃO - Unesp · REGRAS DE DERIVAÇÃO Regra 17. A derivada da...

Documents

Transcript of REGRAS DE DERIVAÇÃO CONTINUAÇÃO - Unesp · REGRAS DE DERIVAÇÃO Regra 17. A derivada da...