Derivadas 11.º Ano

Derivadas – Matemática - A 11.º Ano

Abílio Vitorino - 2012 0

Síntese teórica sobre o conceito de derivada. Muitos exercícios com soluções.

Abílio Vitorino

DERIVADAS COM FUNÇÕES

RACIONAIS E IRRACIONAIS



Exemplos:

1. Determine [ ]1 3,t.v.m. na função ( ) 2 1f x x= − . Resolução:

[ ]( ) ( )

1 3

3 1 8 0 43 1 2,

f ft.v.m.

− −= = =

−

2. Calcule, pela definição, o valor de ( )1f ′ − , sendo ( ) 2 1f x x= − . Resolução:

( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )2 1 01 1 1

1 1 21 1 11 1 1 1

xf x f x xf lim lim lim lim xx x xx x x x

− −− − +′ − = = = = + =− − −→ → → →

.Assim ( )1 2f ′ − = .

3. Aplicando as regras de derivadas, calcule a derivada de ( ) 2 1f x x= − para

1x = − . Resolução: ( ) ( ) ( )2 21 1 2 0 2f x x x x x′ ′′ ′= − = − = − = e ( ) ( )1 2 1 2f ′ − = × − = −

4. Seja a função ( ) 2 1f x x= − . Determine a equação da reta tangente à curva no ponto de abcissa 3.

Resolução:

( ) ( ) ( )2 21 1 2 0 2f x x x x x′ ′′ ′= − = − = − = e ( )3 2 3 6 tf m′ = × = = .

A equação da recta pode ser dada por: ( ) ( )( )y f a f a x a′− = − . Aplicando esta fórmula à situação presente resulta: ( ) ( )( ) ( )3 3 3 8 6 3 6 10y f f x y x y x′− = − ⇔ − = − ⇔ = −

5. Seja a função ( ) 2 1f x x= − . Caracterize a função derivada. Resolução:

( ) ( ) ( )2 21 1 2 0 2f x x x x x′ ′′ ′= − = − = − = .

Caracterização:

2f :

x xℜ→ℜ→ .

6. Seja a função ( ) 3 3f x x x= − .Estude a monotonia de f e a existência de máximos e mínimos relativos.

Resolução: Método 1.º Calcular a função derivada de f .

( ) ( ) ( ) ( ) 23 33 3 3 3f x x x x x x′ ′′ = − = − = −′ .

2.º Determinar os zeros de f ′ (zeros da função derivada)

( ) ( )20 3 3 0 3 3 0 3 0 3 0 0 3f x x x x x x x x x′ = ⇔ − = ⇔ − = ⇔ = ∨ − = ⇔ = ∨ =

3.º Desenha-se uma tabela onde conste o estudo do sinal da função 1.ª derivada, o comportamento da função de acordo com o sinal da função 1.ª derivada e a existência de máximos e mínimos relativos.

x −∞ 0 3 +∞ ( )f x′ + 0 − 0 + ( )f x

Taxa de variação média em [ ]a,b ,a b<

É dada pela expressão:

[ ]( ) ( )

a ,b

f b f at.v.m.

b a−

=−

Definição de derivada:

( ) ( ) ( )x a

f x f af a lim

x a→

−′ =

−.

Regras das derivadas:

( )

( )

( )

( )

( )

( )

( )

2

1

1 1 12 2

1 1 1

01

12 2

1

k k

n nn

kx

f g f g

f g f g

f g f g f g

k f k f

f f g f gg g

f k f f

ff f f f com n 2f

f f f f com n 2n

−

−

−

′ =′ =

′ ′ ′+ = +

′ ′ ′− = −

′ ′ ′× = × + ×

′ ′× = ×

′ ′ ′ × − ×=

′ ′= ⋅ ⋅

′ ′′ ′= = ⋅ ⋅ = ≥ ⋅

′ ′ ′= = ⋅ ⋅ ≥

Aplicação das derivadas: Na geometria analítica:

( ) tf a m′ = , sendo tm o declive da reta tangente à curva representativa da função no ponto de abcissa a. Na trigonometria:

( ) ( )f a tg α′ = , sendo α o ângulo* que a

tangente à curva representativa da função no ponto de abcissa a forma com o eixo dos x positivos (*: supondo que a função ( )f x tem uma

derivada finita no ponto a, tem-se que 2π

α ≠ )

Na física: ( )f a′ representa a velocidade instantânea no

ponto de abcissa a.

Ainda, o estudo dos zeros e sinal da função 1.ª derivada, permite-nos tirar conclusões sobre a monotonia e existência de máximos e mínimos relativos da função. Se ( ) 0f x′ > , ( )f x é crescente e

se ( ) 0f x′ < , ( )f x é decrescente.



Exercícios:

1. Calcule as derivadas das seguintes funções:

1.1. 4 23 6y x x= + − 34 6R : y x x′ = +

1.2. 5 2x xy x

a b a b= − −

+ −

45 21

x xR : y a b a b′ = − −+ −

1.3. 7 52 26 4 2y x x x= + +

5 32 221 10 2R : y x x′ = + +

1.4. ( )3

32

1xy

x

+= ( ) ( )2

52

3 1 1

2

x xR : y

x

+ −′ =

1.5. ( )( )3 21 4 1 2y x x= + + ( )34 1 3 10R : y x x x′ = + +

1.6. a xya x−

=+

( )2

2aR : y

a x′ = −

+

1.7. 43

sys+

=+

( ) ( )( )( )2

2 4

3

s sR : f s

s

+ +′ =

+

1.8. ( )222 3y x= − ( )28 2 3R : y x x′ = −

1.9. ( )52 2y x a= + ( )42 210R : y x x a′ = +

1.10. 2 2y x a= + 2 2x

R : yx a

′ =+

1.11. x 12

R : yx

′ = 1.12. 23 x x− + 32

2R : y x

x−

′ = +

1.13. ( )y a x a x= + − 32a x

R : ya x−

′ =−

1.14. 11

xyx

+=

−

( )

121 1

R : yx x

′ =− −

1.15. 3 2 1y x x= + + ( )

2 12233 1

xR : y

x x

+′ =

+ +

1.16. 11

xyx

+=

−

( )

121 1

R : yx x

′ =− −

2. Seja a função f, definida em { }1\ℜ por ( )1

xf xx

=−

.

2.1. Calcule a taxa de variação média em [ ]2 3, . [ ]2 3

12,R : t .v.m = −

2.2. Caracterize ( )f x′ . ( )2

11

f :R : x

x

′ ℜ→ℜ

→−

2.3. Determine a equação da reta tangente ao gráfico no ponto de abcissa 2− .

2.4. A recta t é tangente ao gráfico da função f no ponto de

abcissa 3 e o ponto de coordenadas ( )0 9, pertence à reta t,

como sugere a figura ao lado. Determine a equação da reta t.



2.5. Esta reta forma com as assintotas ao gráfico da função f um triângulo retângulo. Determine a área

deste triângulo.

3. Dada uma função ( ) 2 3h x ax x b= + + com a,b∈ℜ , calcula a e b sabendo que:

• O gráfico da função interseta o eixo dos ,x x no ponto de abcissa 1;

• O declive da reta tangente ao gráfico da função no mesmo ponto é 1. 1 2R : a , b= − = −

4. Ao lado, está a representação gráfica da derivada da função g.

Obtém a representação gráfica e uma representação algébrica para

a função g. ( ) ( )2 1

12 2x

R : g x x sendo g= − + =

5. Considere a figura onde está representado o gráfico da função f ′ ,

derivada da função f .

5.1. Indique, justificando, os valores de x para os quais a função tem

extremos relativos. ( ) ( )3 0 3 0 0R : e , porque f f′ ′− − = =

5.2. Proponha um gráfico para a função f de acordo com o gráfico de f ′

dado.

R:

5.3. Supondo que ( ) ( )2f x x x a bx com a,b= + + ∈ℜ , determine a e b utilizando os valores da figura.

902R : a , b= =

6. Pretende-se construir um contentor metálico (sem tampa) utilizando uma chapa à qual se suprime um

quadrado em cada canto.

Se a chapa tiver 4 metros de comprimento por 2 metros de largura, determine o lado do quadrado a

suprimir de modo que o volume do contentor seja o maior possível. 31 3R : x = −



7. A figura representa um copo cilíndrico com 10 centímetros de altura e cujo diâmetro

da base mede 6 centímetros.

Dentro do copo está um berlinde de raio r.

7.1. Qual é o valor máximo de r? 3R : centímetros

7.2. Represente por V o volume de água necessário para cobrir exactamente o berlinde. Determine r

de modo que V seja máximo. 34 3 218 3 2R : V r r ; rπ π= − =

8. Num terreno circular com 20 metros de raio pretende-se construir uma piscina

retangular de modo que fique 1 metro de terreno a toda a volta da piscina.

8.1. Exprima a área da piscina em função do comprimento x. ( ) 21444R : A x x x= −

8.2. Determine as dimensões da piscina de modo que a sua área seja máxima. 26 9 26 9R : x , metros e y , metros≈ ≈

8.3. Sabendo que em volta da piscina têm de ficar 0,5 metros desocupados, qual a área de terreno que

sobra para relvar e pôr espreguiçadeiras? 2507 52R : , m

9. Pretende-se murar um terreno retangular que está junto a um rio.

O muro junto ao rio custa 50€ o metro linear e o muro das outras três paredes custa 10€ o metro

linear.

Determine a área máxima de terreno que é possível vedar com 24000€ . 2R : A área máxima é de 120 000 m

10. Num terreno triangular pretende-se construir um galinheiro retangular do modo

como se indica na figura. O triângulo [ ]ABC é isósceles e tem-se: 14AB m= e a

altura relativa ao vértice C é 10m .

Determine as dimensões do retângulo de modo que a área deste seja máxima. 5 7R : l m e c m= =

11. Uma janela é formada por um retângulo e um triângulo equilátero como mostra a figura.

O perímetro do pentágono é de 5m .

C

BA



Determine as dimensões da janela de modo a que a área seja máxima.

1 17 0 74R : x , m e y , m≈ ≈

12. Divida um segmento de 30 cm em duas partes de modo que a soma das

áreas dos triângulos equiláteros construídos sobre eles seja mínima. 15 15R : cm e cm

13. Para fazer um desenho decorativo cortou-se um fio com 3 metros de

comprimento em duas partes. Com uma parte limitou-se um semicírculo e com

a outra parte um quadrado.

Para que a área ocupada pelas duas figuras seja mínima como deve ser cortado

o fio? 84 59 215 41R : , cm e , cm ( aproximadamente )

14. A figura representa uma caixa, com a forma de um prisma reto de base quadrada, em que a soma dos

comprimentos das arestas é igual a 72 cm .

14.1. Desinando por x a medida do comprimento da aresta da base, mostre que o volume do prisma é

dado por: ( ) ] [2 318 2 0 9V x x x ,com x ,= − ∈ .

14.2. Determine, analiticamente, o valor de x de modo que o volume seja máximo. 6R : o valor de x é de

15. Considere a função definida em ℜ por ( ) 3 24 1f x x x= − + .

15.1. Determine:

15.1.1. a equação reduzida da reta tangente ao gráfico no ponto de abcissa 2. 4 1R : y x=− +

15.1.2. as coordenadas dos pontos do gráfico de f onde a reta tangente tem declive igual a 3.

( ) 1 143 83 17

R : , e ,

− −

15.1.3. o conjunto−solução da condição ( )

2 0f xx x′

≥−

. 813

R : S ,

=

15.2. Estude o sentido de variação de f e indique os extremos relativos da função.

8 80 03 3

R : f é crescente em , e em , e decrescente em , f tem mínimo relativo em x=7 e máximo relativo em x=3 −∞ +∞



16. Numa estação meteorológica, durante um período de tempo compreendido entre as 12 horas e as 20

horas, foi feito o registo da velocidade do vento em quilómetros por hora.

Admita que, t horas após as 14 horas, a velocidade do vento é dada pelo seguinte modelo matemático:

( ) 3 20,5 0,4 6,5 50V t t t t= − + + ; 0 8t≤ ≤ .

Responda analiticamente às questões 16.1. e 16.2.

16.1. Determine a velocidade média do vento no intervalo [ ]0,3 e interprete este valor no contexto do

problema. [ ]0 3 3 2,R : t .m.v ,=−

16.2. Elabore a tabela de variação da função ( )V t . R:

16.3. Com aproximação a horas e minutos indique

em que instante é que a velocidade do vento foi máxima. R:às 20h a uma velocidade de 228,4 k / h

16.4. Determine durante quanto tempo é que a velocidade do vento foi

inferior a 50 quilómetros/hora? Responda a esta questão com

recurso da calculadora gráfica, registando na sua folha como

equacionou o problema, o gráfico ou os gráficos e as coordenadas

dos pontos relevantes para a sua resolução, aproximados a duas

casas decimais. R:

17. O Moreira deu um chuto na bola de baixo para cima. Suponha que a distância da bola ao chão t segundos depois de ser chutada na vertical é dada, em metros, por 25353,0)( ttth −+= .

17.1. Determine a velocidade média da bola entre os instantes 4=t e 6=t e interprete, no contexto

do problema, o resultado obtido. [ ]4 6 15,R : t .m.v . Entre os 4s e os 6s a bola tem uma velocidade média de queda em 15 metros.=−

17.2. Determine a velocidade da bola no instante em que cai ao chão. 7 009 35R : f ( , ) ( aprox.unidades )′ ≈ −

18. Um escorrega que “desagua” numa piscina, foi construído entre dois

pilares distantes de 7 metros, como mostra a figura.

Considere a função h definida por 1965,0)( 2 +−= xxxh e admita que )(xh é a altura, em metros, do ponto do escorrega situado x metros à

direita do pilar esquerdo.

18.1. Determine analiticamente a taxa de variação da função h no final do escorrega. 7 1R : f ( )′ =

x

0

2 36,≈

8

f ′

−

0

+

f



18.2. Sem recorrer à calculadora estude h quanto à monotonia e localize o ponto do escorrega onde a

distância ao chão é mínima. 0 6 6 7R : f é decresce em , e em , cresce.

f tem mínimo relativo em x=6 e a distância mínima do chão é 1 m

19. Durante os ensaios de um motor, a velocidade de rotação do seu eixo variou, ao longo dos primeiros

oito minutos da experiência, de acordo com a função ( ) 3 215 63v t v t t= − + , onde t designa o tempo

(medido em minutos), contado a partir do início da experiência, e ( )v t designa a velocidade de

rotação do eixo do motor (medida em centenas de rotações por minuto).

19.1. Sem recorrer à calculadora, a não ser para efetuar eventuais cálculos numéricos, determine qual

foi a velocidade máxima atingida, nos primeiros oito minutos da experiência. Apresente o

resultado em centenas de rotações por minuto. 8100R : rotações.

19.2. Recorrendo às capacidades gráficas da calculadora, determine durante quanto tempo é que, nos

primeiros oito minutos da experiência, a velocidade de rotação do eixo do motor foi superior a

6000 rotações por minuto. Escreva o resultado final em minutos e segundos (com o número de

segundos arredondado às unidades).

Apresente todos os elementos recolhidos na utilização da calculadora, nomeadamente o gráfico, ou

gráficos, obtidos, bem como as coordenadas dos pontos

relevantes para a resolução do problema (apresente as

abcissas com duas casas decimais). 1 24 5 25R : x ou x′ ′′ ′ ′′≈ ≈ .

20. Uma nova empresa de refrigerantes pretende lançar no mercado embalagens de sumo de fruta, com a

capacidade de 2 litros. Por questões de marketing, as embalagens deverão ter a forma de prisma

quadrangular regular.

20.1. Mostre que a área total da embalagem é dada por 32 8( ) xA xx+

= , sendo x o comprimento da

aresta da base, em dm. (Recorda que 31 1litro dm= ).

20.2. Utilizando métodos exclusivamente analíticos, mostre que existe um valor de x para o qual a

área total da embalagem é mínima e determina-o. 1 26R : x , dm≈

21. Uma bola é lançada na vertical, de baixo para cima, sendo a distância, em metros, ao solo dada em

função do tempo, em segundos, pela expressão ( ) 2 5 1d t t t= − + + .



21.1. De que altura a bola foi lançada. R : A um metro

21.2. Determina a velocidade da bola no instante 1t = . ( )1 3R : d ′ =

21.3. Determina o instante em que a velocidade da bola é nula. Qual o significado deste instante no

contexto do problema. ( ) 0 7 25R : d t t , m. A bola atinge a altura máxima.′ = ⇔ =

22. Um grupo de biólogos ao estudar o crescimento de uma certa espécie de árvore concluiu que esta

cresce de acordo com a função ( ) 305tA t

t=

+ , em que A é a altura em metros e t o tempo em anos,

desde que a planta começa a germinar.

22.1. Qual a altura da árvore quando atinge 25 anos de vida? 25R : A árvore atingiu a altura de m.

22.2. Há uma altura máxima que a árvore nunca ultrapassará. Que altura é essa? 30É aprox. de m.

22.3. Calcule a taxa de variação para 10t = e interprete o resultado no contexto do problema.

( ) 210 3R : A . Ao fim de 10 anos, o crescimento da árvore é de aproximadamente 0,67 m.′ =

23. Para o Campeonato do Mundo de Futebol 2002 a realizar-se na Coreia e Japão no próximo mês de

Junho, um fabricante fornece as bolas, com o preço de cada uma, em Euros, a ser calculado pela

seguinte expressão:

( ) 6020C xx

= + , em que x representa o número de bolas.

23.1. Sabendo que em cada um dos 64 jogos a disputar são usadas 10 bolas novas, quanto custará em

Euros cada uma dessas bolas se a comissão organizadora só comprar o número de bolas

estritamente necessário? 26R : Custa € cada bola.

23.2. A Comissão organizadora prevê uma grande procura dessa nova bola logo após o final do

Mundial. Qual será o preço da bola se realmente for produzida em grande quantidade? Justifique

a sua resposta com um esboço do gráfico da função C e outros dados que julgar necessários. 20R : O preço aproxima-se dos €. Assintota horizontal .

23.3. Segundo previsões, a venda diária das bolas oficiais do Campeonato do Mundo nas lojas dos

estádios, será dada pela expressão ( ) 3 224 174 180V x x x x= − + + + em que x representa o número

de dias após o início do Campeonato.



Fazendo um estudo da derivada da função V, determine o dia em que será vendido o número

máximo de bolas e qual é esse número. Apresente o resultado aproximado às unidades. 19 0453R : x , . Ao fim de 20 dias, o número máximo de bolas vendidas foi de 5 291.≈

24. Pretende-se construir uma piscina retangular com 18m2 de área. A

piscina vai ser rodeada por um relvado, que terá nos topos 2m de largura

e 1m nas partes laterais.

Calcule as dimensões do terreno para que a área do mesmo seja mínima. 10 5R : comprimento m e largura m= =

25. O proprietário de uma moradia pretende aproveitar o espaço

existente debaixo de uma escada para arrumos, conforme sugere a

figura.

25.1. Mostra que 554

y x= − sendo x e y as dimensões da porta.

25.2. Determina as dimensões da porta para que a sua área seja

máxima. 2 2 5R : x m e y , m= =

26. A partir de um cone de madeira com 10cm de altura e 8cm de diâmetro de

base pretende-se construir um cilindro. Designando por x o raio do cilindro e

por h a altura, determina as dimensões do cilindro para que o volume seja

máximo. ( ) ( )2 20 58 103 3 2

x xR : x m e h m. A expressão do volume é: V x

π −= = =

27. Num terreno triangular pretende-se construir um jardim retangular como se

indica na figura. O triângulo [ABC] é isósceles e tem-se: 14AB m= e a altura

relativa ao vértice C é 10 m.

Determina as dimensões do retângulo de modo que a área do jardim seja

máxima. ( ) ( ) ( )2140 14

14 5 5l l

R : comprimentro c m e l arg ura l m. A expressão do valor da área é: A l−

= = =

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