DESAFIOS

Letras F

• Quantas vezes a letra F aparece na frase abaixo?

FINISHED FILES ARE THE RE- SULT OF YEARS OF SCIENTIF- IC STUDY COMBINED WITH THE EXPERIENCE OF YEARS

Solução

• FINISHED FILES ARE THE RE- SULT OF YEARS OF SCIENTIF- IC STUDY COMBINED WITH THE EXPERIENCE OF YEARS

• O cérebro não consegue processar a palavra “OF”. Loucura, não?Quem conta todos os 6 “F” na primeira vez é um “gênio”, 3 é normal, 4 é mais raro, 5 mais ainda, e 6 quase ninguém

FORME O NÚMERO 24

• Forme o número 24 usando apenas os números 3, 3, 7, 7, uma vez cada. Você pode usar as operações +, -, *, /, e também os parênteses, se achar necessário.

A solução pode ser a seguinte:(3+(3/7)) x 7

COLOQUE OS SOLDADOS NAS FILAS

• Você tem 10 soldados. Forme 5 filas com 4 soldados em cada uma.

• Os soldados são dispostos como mostrado na figura abaixo, em forma de estrela. Dessa maneira existirão 5 filas, e cada fila possuirá 4 soldados.

COZINHAR O BISCOITO

• Como medirias os 11 minutos que são necessários para cozinhar um biscoito, com duas ampulhetas de 8 e 5 minutos respectivamente?

• Solução: COZINHAR O BISCOITO• Colocamos as duas ampulhetas de uma vez só,

e quando terminar o de 5 minutos, faltará no de 8, 3 minutos para terminar. Nesse momento damos a volta no de 5 minutos.

• Quando terminar o de 8, totalmente (levamos ao total 8 minutos), no de 5 ficaram 2 minutos para terminar.Nesse preciso momento damos a volta no de 5 que tardará 3 minutos para terminar, que somados aos 8 que haviam passado, somarão 11 minutos no total.

A SUPERMOSCA

• Dois trens estão na mesma via, separados por 100 Km. Começam a se mover um em direção ao outro, a uma velocidade de 50Km/h. No mesmo momento, uma supermosca sai da 1ª locomotiva de um dos trens e voa a 100 Km/h até a locomotiva do outro trem. Apenas chega, dá meia volta e regressa até a primeira locomotiva, e assim vai e vem de uma locomotiva para a outra até que os dois trens se chocam e assim morre no acidente. Que distância percorreu a supermosca?

• Solução: A SUPERMOSCA• Visto que os dois trens estão na mesma

velocidade, eles se chocarão na metade do trajeto, e portanto, cada um percorre 50 Km. Em consequência, como sua velocidade é de 50 km/h demoram exatamente 1 hora para se chocarem. Este é o tempo que a mosca fica voando, e portanto, como sua velocidade é de 100 km/h, a distância que percorreu é de 100 quilômetros.

QUANTO VALE O PRODUTO?

Calcular o valor do seguinte produto:

• (x-a)(x-b)(x-c) ... (x-z) = ?

• O produto (x-a)(x-b)(x-c) ... (x-z) vale ZERO.

• Justificativa: existe um fator dessa multiplicação que é o (x-x), que vale 0.

Dinheiro Falso

• Um sujeito entra numa loja de calçados e compra um par que custa R$60,00. Ele paga com uma nota de R$100,00 e como o vendedor não tinha troco, levou o dinheiro para trocar na loja ao lado para trocar e dar o troco para o cliente. Tempo depois de o cliente já ter ido embora, o proprietário da loja ao lado voltou à mesma e pediu seu dinheiro de volta, pois a nota de R$100,00 era falsa. O vendedor pagou o moço e reclamou do prejuízo que tomou. Ate que ele para e se pergunta. Qual meu prejuízo?

Solução: Dinheiro Falso

• Certamente o prejuízo foi de R$100,00 por que o cliente levou um par de sapatos de R$60,00 e o troco de R$40,00.

A DEMISSÃO DO GUARDA NOTURNO

• Um grande empresário, na necessidade de ir a São Paulo, chegou a seu guarda noturno e ordenou que ele o acordasse às 6 horas da manhã em ponto. Exatamente às 6 horas da manhã, o guarda acordou o empresário e disse:

• "Patrão, estou com um mal pressentimento. Sonhei esta noite que o senhor teria um acidente com o avião. Me permita sugerir que não viaje."

• O empresário não deu ouvidos ao guarda. Sem incidentes, chegou a São Paulo e por telefone mandou demitir o guarda. Por quê?

Solução : A DEMISSÃO DO GUARDA NOTURNO

• Guardas noturnos não devem dormir em serviço.

BALANÇA E AMÊNDOAS

• Waneska tem uma bolsa de amêndoas que pesa 2600Kg. Ela dispõe de uma balança de 2 pratos e de 2 pesos de 20 e 30 gramas. Com 3 únicas pesagens, como Waneska consegue separar 300 gramas de amêndoas?

• Solução: BALANÇA E AMÊNDOAS• No prato 1 colocamos as 50 gramas e no prato 2

colocamos amêndoas até que ocorra equilíbrio. Temos, portanto 50 gramas de amêndoas.

• Essas 50 gramas de amêndoas, juntamos com os pesos no prato 1, temos portanto 100 gramas no total. Enchemos de amêndoas no prato 2 até que haja equilíbrio, pelo que temos 100 gramas em cada lado.

• Retiramos os pesos do prato e passamos as 50 gramas de amêndoas para o prato 2 que contem 100 gramas, temos portanto 150 gramas.

• Enchemos amêndoas no prato 1 até que haja equilíbrio com o prato 2, e temos um total de 150+150 = 300 gramas de amêndoas.

NORDESTINO VENDEDOR DE CHURROS

• Qual das alternativas abaixo apresenta uma contradição?

• 1) Todo vendedor de churros é nordestino e algum nordestino não é vendedor de churros.

• 2) Nenhum vendedor de churros é nordestino e algum vendedor de churros não é nordestino.

• 3) Algum vendedor de churros é nordestino e algum vendedor de churros não é nordestino.

• 4) Todo vendedor de churros não é nordestino e algum nordestino é vendedor de churros.

• 5) Todo nordestino é vendedor de churros e algum vendedor de churros não é nordestino.

• Solução: NORDESTINO VENDEDOR DE CHURROS

• A alternativa que apresenta uma contradição é a 4, pois primeiro afirma que "Todo vendedor de churros não é nordestino" (ou seja, não existem vendedores de churros nordestinos), e em seguida afirma que "algum nordestino é vendedor de churros", contrariando a primeira afirmação.

A SENTENÇA DE MORTE

- Você está para receber a sua sentença de morte. Os assassinos o desafiam:

- Faça uma afirmação qualquer. Se o que você falar for mentira, você morrerá na fogueira. Se falar a verdade, será afogado. Se não pudermos definir sua afirmação como verdade ou mentira, você será libertado.

O que você irá dizer?

Solução: A SENTENÇA DE MORTE

Basta você dizer:• "VOU MORRER NA FOGUEIRA!"

• Essa afirmação não pode ser verdadeira pois, se fosse, você morreria afogado, e não na fogueira.

• Também não pode ser mentira, pois se você mentisse morreria na fogueira (o que tornaria a afirmação verdadeira).

O OURO DO VIAJANTE

• Um viajante precisava pagar sua estadia de uma semana (7 dias) em um hotel, sendo que só possuía uma barra de ouro para pagar.

• O dono do hotel fez um desafio ao viajante para que ele aceitasse o pagamento em ouro. A proposta foi a seguinte:

• "Aceito o pagamento em ouro. Porém, você terá que pagar uma diária de cada vez, e só poderá cortar a barra duas vezes".

• Como o viajante deverá cortar a barra para fazer o pagamento?

• Solução: O OURO DO VIAJANTE• Ele deve cortar a barra uma vez, sendo que o primeiro pedaço

deverá ter 1/7(um sétimo) da barra total. • Em seguida, deve cortar pela segunda e ultima vez, sendo que

cada parte deverá ter respectivamente 2/7(dois sétimos) e 4/7(quatro sétimos) do total da barra.

• Então, o pagamento deve ser feito da seguinte forma:• 1ª diária: paga com 1/7 da barra.

2ª diária: paga com 2/7 da barra e recebe o 1/7 da barra de volta. 3ª diária: paga novamente com 1/7 da barra. 4ª diária: paga com 4/7 da barra e recebe de volta 3/7 da barra (sendo dois pedaços: 1/7 e 2/7 da barra).5ª diária: paga com 1/7 da barra novamente.6ª diária: paga com 2/7 da barra e recebe 1/7 da barra de volta. 7ª diária: paga com 1/7 da barra.

QUEM NÃO PAGOU A ENTRADA?

• Quatro amigos vão ao museu e um deles entra sem pagar. Um fiscal quer saber quem foi o penetra:

• – Eu não fui, diz o Benjamim.– Foi o Pedro, diz o Carlos.– Foi o Carlos, diz o Mário.– O Mário não tem razão, diz o Pedro.

• Só um deles mentiu. Quem não pagou a entrada?

Pedro não pagou!• Mário e Carlos não podem ambos ter dito

a verdade, pois somente um entrou sem pagar.

• Se Mário não falou a verdade, então o que os outros três afirmaram é correto. Conclui-se que Pedro entrou sem pagar. Se Mário tivesse dito a verdade, teríamos uma contradição: a afirmação de Pedro seria verdadeira, mas a de Carlos seria falsa.

AS SALAS E AS LÂMPADAS

• Duas salas estão ligadas entre si por um corredor. Na primeira sala existem três lâmpadas (a, b e c) que estão ligadas a três interruptores (1, 2 e 3) localizados na segunda sala. Como saber que interruptor corresponde a cada lâmpada tendo só uma oportunidade de passar de uma sala para a outra? Considere que não há maneira de espreitar de uma sala para a outra.     

• Solução: AS SALAS E AS LÂMPADAS• Na segunda sala, ligamos o interruptor 1

por 15 minutos, desligamos, e em seguida ligamos o interruptor 2 e vamos até a primeira sala. A lâmpada que estiver acesa corresponde ao interruptor 2, a que estiver quente ao interruptor 1, e a lâmpada que resta só pode ser do interruptor 3.

ESCADA ROLANTE

Deseja-se descobrir quantos degraus são visíveis numa escada rolante. Para isso foi feito o seguinte: duas pessoas começaram a subir a escada juntas, uma subindo um degrau de cada vez enquanto que a outra subia dois . Ao chegar ao topo, o primeiro contou 21 degraus enquanto o outro 28. Com esses dados foi possível responder a questão. Quantos degraus são visíveis nessa escada rolante? (obs: a escada está andando)

• Essa questão é realmente muito boa!• Bom...para facilitar vamos dar nome as pessoas:• GUSTAVO sobe 2 degraus por vez

MARCOS sobe 1 degrau por vez.• Conforme diz o enunciado, quando GUSTAVO chegou ao topo ele contou 28 degraus. Como ele

anda 2 por vez, na verdade o GUSTAVO deu 14 passos. Então quando ele chegou no topo, o MARCOS havia andado 14 degraus, pois ele anda 1 por vez (faça o desenho que você entenderá melhor).

• Lembre-se que a escada está andando. Então ao mesmo tempo que GUSTAVO andou 28 e o MARCOS andou 14, a escada havia andado sozinha X degraus. O enunciado diz que quando MARCOS chegou ao topo ele contou 21 degraus. Como ele está no 14, ainda faltam 7 para ele chegar ao topo (ou seja, falta metade do que ele já andou - 7 é metade de 14). Portanto durante esses 7 que faltam, a escada andará sozinha mais X/2 degraus (pois se em 14 degraus ela andou X, em 7 ela andará X/2).

• FEITO! O número de degraus visíveis para o GUSTAVO e para o MARCOS deve ser o mesmo. Então basta montar a equação:

• 28+X  =  (14+X)+(7+(X/2))• 28+X  =  21+(3X/2)• 28-21  =  (3X/2)-X• 7 = X/2• X = 14• Se X=14, o número de degraus visíveis é (o GUSTAVO andou 28+X no total):• 28+14 = 42 degraus• Note que para o MARCOS o resultado deve ser o mesmo:• (14+X)+(7+(X/2))  =  (14+14)+(7+14/2)  =   28+14  =  42 degraus• Resposta: SÃO VISÍVEIS 42 DEGRAUS NA ESCADA ROLANTE!!!

O PREÇO DO PRESENTE

   Uma pessoa vai comprar um presente e leva R$1.200,00. Quando lhe perguntam quanto custou o presente ela disse: 

   "Sobrou troco, mas não direi nem o troco nem o preço do presente. Digo apenas que o preço do presente, sendo lido ao contrário é o valor de 9 presentes."

Quanto custou o presente?

• 1ª Solução:• Seja o preço do presente expresso como um número de quatro algarismos, desprezando os centavos, como abcd (isto é, R$ abcd,00), onde a é 1 ou

0 (para R$abcd,00 ser menor ou igual a R$1.200,00) e b, c e d, é claro, estão entre 0 e 9. Lido ao contrário, o preço do presente seria dcba, que deve ser igual ao valor de nove presentes.

• Para podermos equacionar esta informação, temos que ter em conta a notação decimal posicional, isto é, abcd significa a milhares, b centenas, c dezenas e d unidades, ou 1000a+100b+10c+d. Da mesma forma, dcba significa 1000d+100c+10b+a. Fica assim:

• 1000d+100c+10b+a = 9(1000a+100b+10c+d)ou1000d+100c+10b+a = 9000a+900b+90c + 9d

• Resolvendo:(1000-9)d + (100-90)c + (10-900)b +(1-9000)a = 0ou991d + 10c -890b -8999a = 0

• Observe-se que 991 e 10 não têm fatores em comum, e, portanto, neste caso, não podemos reduzir os coeficientes da equação. Temos aqui uma única equação com quatro incógnitas. Uma estratégia seria ir substituindo por tentativas valores para a, b, c e d.

• Pode-se, porém, como Diofanto, a partir daqui, utilizar o algoritmo das fracções contínuas:• Isolamos à esquerda o termo com o menor coeficiente:• 10c  = 8999a + 890b - 991d• Dividimos toda a equação pelo coeficiente:• c  = (8999/10)a + (890/10)b - (991/10)d• Separando as partes inteiras das frações,• c  = 899a + (9/10)a + 89b - 99d - (1/10)d

ouc  = 899a + 89b - 99d + (1/10)(9a - d)

• Como  a, b e c devem ser números inteiros, (1/10)(9a -d) também terá de ser. Isso, é claro, só acontecerá se (9a -d) for múltiplo de 10.• Todavia, como a, b, c e d representam os dígitos do valor do presente, têm de estar entre 0 e 9. Com essa restrição, (9a-d) só pode ser o múltiplo

trivial de 10, isto é, 0.• Fica assim, 9a - d = 0

oud = 9a

• Retornando este resultado à equação anterior, ficac  = 899a + 89b - 99x9a + (1/10)(9a - 9a)ouc  = 899a + 89b - 891ac  = 8a + 89b

• Como c está entre 0 e 9 e os coeficientes de a e b são positivos, resulta que b tem de ser igual a 0 para que c não exceda 9. Resulta assim,c  = 8a

• Lembremos ainda que a é 1 ou 0.• Mas a=0 resulta o caso trivial a=0, b=0, c=0 e d=0, ou seja o preço R$0000,00 e, corretamente, 9 x 0000$00 = 0000$00.• Temos, então, a=1 que resulta c = 8 e, retornando à equação anterior, d=9a => d=9.• Assim obtemos, finalmente, o preço do presente (R$abcd,00) como R$1089,00 que, invertido, resulta R$9801 = 9 x R$1089, como desejado.

• RESPOSTA: o presente custou R$1089,00• 2ª Solução• Se a quantia reservada para o presente era R$1.200,00, devemos

supor que o preço estava em torno de R$ 1.000,00.• Portanto, estávamos em busca de um número de 4 algarismos,

sendo 1 o primeiro deles. O último algarismo só poderia ser o 9, pois só assim poderíamos inverter o número e obter 9 vezes o primeiro.

•  Assim, sabemos que o número é 1ab9. • Achar a e b é relativamente fácil, pois o número é múltiplo de 9, já

que seu inverso também o é (pois é um número que vale nove vezes o preço do presente). Temos então o número 1ab9. Para que tal número seja múltiplo de 9, é preciso que a soma a+b seja 8. Os pares a e b que satisfazem essa condição são os seguintes: 0 e 8; 1 e 7; 2 e 6; 3 e 5; 4 e 4; 5 e 3; 6 e 2; 7 e 1 e finalmente, 8 e 0. 

• Testando o primeiro par, o que parece mais lógico, pois o preço é menor que R$ 1.200,00, chegamos a R$ 1.089,00, que é o preço do presente. (1089 X 9 = 9801).

• RESPOSTA: o presente custou R$1089,00

QUANTAS PÁGINAS TEM O LIVRO?

• Para numerar as páginas de um livro, consecutivamente desde a primeira página, são usados 852 algarismos. Quantas páginas tem o livro?

• Como existem 9 números naturais com 1 algarismo, 90 números com 2 algarismos e 900 números com 3 algarismos são necessários:

•  9 algarismos para numerar as primeiras 9 páginas; • 90 x 2 = 180 algarismos para numerar as seguintes 90

páginas; • 900 x 3 = 2700 algarismos para numerar as seguintes

900 páginas.   Como 180+9 < 852 < 2700 então o número x de páginas do livro tem 3 algarismos e satisfaz a equação:

• 3 (x-99) + 189 =  852• O livro possui 320 páginas.

O CACHORRO E A LEBRE

• Um cachorro persegue uma lebre. Enquanto o cachorro dá 5 pulos, a lebre dá 8 pulos. Porém, 2 pulos de cachorro valem 5 pulos de lebre. Sendo a distância entre os dois igual a 36 pulos de cachorro, qual deverá ser o número de pulos que o cachorro deve dar para alcançar a lebre?

• Solução: O CACHORRO E A LEBRE• Há uma relação inversa entre os pulos do cachorro e os

da lebre, ou seja, um pulo da lebre vale por 2/5 pulos do cachorro. Podemos, então, escrever:

•  nº de pulos valor do pulo pulos do cachorro 5 2pulos da lebre8 5 Como a relação entre os pulos é inversa, efetuaremos uma multiplicação invertida, ou seja, iremos multiplicar os 5 pulos do cachorro pelo valor do pulo da lebre (5) e multiplicaremos os 8 pulos da lebre pelo valor do pulo do cachorro (2). Assim teremos: 5 x 5 = 25 (para o cachorro) e 8 x 2 = 16 (para a lebre).

• A cada instante, o cachorro estará tirando uma diferença de 25 - 16 = 9 pulos. Como a distância que os separa é de 36 pulos de cachorro, segue-se que o cachorro terá de percorrer essa distância 36/9 = 4 vezes até alcançar a lebre. Agora, multiplicando-se o fator do cachorro (25) por 4, teremos: 25 x 4 = 100 pulos do cachorro. 

• O RELÓGIO ADIANTADO DE BEATRIZ Beatriz comprou um relógio no camelô e, após alguns dias de uso, passou a desconfiar de sua precisão. Ela percebeu que o ponteiro das horas e dos minutos ficavam um sobre o outro a cada 65 minutos, medidos pelo aparelho do escritório, que é preciso. Quanto tempo o relógio de Beatriz adianta por hora?

• Solução: O RELÓGIO ADIANTADO DE BEATRIZ• Sabemos que a cada hora o ponteiro dos minutos dá uma volta de

360º no relógio, isto é, 6º por minuto. Quanto ao ponteiro das horas, ele gira 30º (que é o ângulo entre duas marcas de hora) por hora. Ou seja, 1º a cada 2 minutos, ou meio grau por minuto.

• Vamos representar pela letra t o tempo que os ponteiros levam para se sobrepor depois de terem se cruzado uma vez e de percorrer o relógio até um novo encontro.

• Então, o avanço do ponteiro dos minutos pode ser representado pela expressão 6t–360º e o das horas por (1/2)t. Igualando-se as expressões, temos:

• 6t – 360º = (1/2)t• t = 65,4545 minutos• Como no relógio de Beatriz os ponteiros demoram 65 minutos para

se reencontrar, ele adianta 0,4545 minuto, ou seja, 27,27 segundos a cada hora.

QUANTO O JOALHEIRO DEVE PAGAR?

• Um joalheiro e o dono de uma pousada discutem. O joalheiro prometeu pagar ao dono da pousada R$ 20,00 pela hospedagem se vendesse as jóias por R$ 100,00 e pagaria R$ 35,00 se vendesse as jóias por R$ 200,00.

• Sabendo que o joalheiro acabou vendendo tudo por R$ 140,00, quanto ele deve pagar ao dono da pousada?

• O joalheiro diz que só deve pagar R$ 24,50. "Pois se para a venda a R$ 200,00 eu pagaria R$ 35,00, para a venda de R$ 140,00 eu devo pagar R$ 24,50."

• REGRA DE TRÊS: 200 ----> 35140 ---> x    140 . 35 = 200. x  =>  x = 24,50

• O dono da pousada contesta, diz que o joalheiro está errado. "Se para a venda de R$ 100,00 eu deveria receber R$ 20,00, para R$ 140,00 eu devo receber R$ 28,00."

• REGRA DE TRÊS: 100 ----> 20 140 ---> x      140 . 20 = 100. x  =>  x = 28

• Quanto o joalheiro deve pagar para o dono da pousada?

• Solução: QUANTO O JOALHEIRO DEVE PAGAR?• De acordo com a combinação dos dois, o joalheiro deveria pagar R$ 20,00

pela hospedagem se vendesse as jóias por R$ 100,00 e seria obrigado a pagar R$ 35,00 se as vendesse por R$ 200,00. Temos assim:

• Preço da venda Custo da hospedagem 200   35 100 20 A diferença de R$ 100,00 no preço da venda, corresponde a uma diferença de

R$ 15,00 no preço da hospedagem. Se um acréscimo de R$ 100,00 na venda traria um aumento de R$ 15,00 na hospedagem, o acréscimo de R$ 40,00 traria um aumento de x

• R$100,00  ---->  R$15,00R$40,00  ---->  x

• x*100 = 40*15• x = R$ 6,00• Logo, o joalheiro deve pagar ao dono da pousada: R$ 20,00 + R$ 6,00 = R$

26,00