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DETERMINAÇÃO DOS CAMPOS 3D DE

TEMPERATURAS E DESLOCAMENTOS

EM ESTRUTURAS DE CONCRETO MASSA FRESCO,

COM ELEMENTOS FINITOS TETRAÉDRICOS

1 – INTRODUÇÃO (AOS CÁLCULOS TÉRMICOS)

Os aglomerantes são os principais os componentes de um concreto, destacando-se entre esses o cimento.

A água de amassamento do concreto hidrata o cimento por reação química transformando o conjunto

(cimento, água e agregados), inicialmente pastoso nos instantes iniciais - quando é denominado concreto

fresco - em um esqueleto de natureza sólida poucas horas mais tarde, quando então é denominado

concreto endurecido. Eis ai um fenômeno sobre o qual se deitam prosas e se articulam sinais com o

objetivo de prever-se o comportamento do concreto quando utilizado como um material de construção; e

pelo menos três períodos de vida podem ser destacados: as primeiras horas ou dias (concreto jovem), os

primeiros meses ou anos (maturidade) e a velhice.

O variar dos elementos componentes do concreto, em quantidade e natureza, altera-lhe

substancialmente as propriedades ao longo do tempo. Algumas dessas propriedades em geral são

desejáveis, como: resistência, impermeabilidade etc. que aumentam desde tenra idade e se prestam bem a

certas aplicações; outras em geral são indesejáveis, como: a dilatação térmica, decorrente da reação

(exotérmica) de hidratação do cimento e a retração hidráulica, decorrente da secagem do concreto

quando exposto a umidade abaixo da condição de saturação.

Concretos relativamente pobres em quantidade de cimento, mas usados em grandes volumes –

ditos concretos massa – têm larga aplicação na construção de barragens, em fundações de pontes, grandes

edifícios, cais de portos e outras obras. Outros concretos, relativamente ricos em quantidade de cimento e

aplicados em pequenos volumes para moldar corpos de pequenas dimensões (elementos estruturais) –

ditos concretos de alto desempenho – são utilizados em estruturas relativamente esbeltas. Em ambos os

casos pode ocorrer a fissuração do concreto como conseqüência da dilatação térmica.

De outro lado, concretos fabricados com agregados inadequados podem perder resistência ao

longo da vida, verificada de forma apreciada na maturidade e na velhice; é motivada pela reação vagarosa

dos sulfetos e outros compostos, presentes nesses agregados, com os álcalis constituintes do cimento; mas

desse fenômeno não nos ocuparemos aqui.

As barragens de concreto

As barragens de concreto, em geral devido à sua grande altura e volume, são moldadas em

“blocos” contíguos, havendo os “blocos do vertedouro”, os “blocos da tomada d’água”, os “blocos dos

muros de transição” etc. Tais blocos têm comumente a forma aproximada de um prisma de geratrizes

horizontais (paralelas ao eixo da barragem) com 10 a 20 m de comprimento e seção vertical em trapézio.

Esse trapézio (a seção da barragem) em geral é um trapézio retângulo, a distância entre seus lados

paralelos sendo dita a altura da barragem. Os blocos são moldados em camadas sucessivas sensivelmente

horizontais com até 2m de espessura (ou altura) podendo, em dado instante durante a construção, um

bloco estar mais alto que outro, seja este vizinho ou distante do primeiro, tudo dependendo do

planejamento de concretagens elaborado.

Do ponto de vista construtivo, as camadas são escolhidas, em geral e em princípio, um tanto

aleatoriamente, ao sabor do desejo do planejador e mais tarde, em função dos acontecimentos e

necessidades detectadas durante a construção, o que implica mudanças até freqüentes nos planos de

concretagem dos vários blocos.

Cada alteração de plano de concretagem acarreta um modo de manifestação das dilatações

térmicas e seus efeitos.

2

Variação de temperatura durante a construção das barragens

O calor liberado durante a reação de hidratação do cimento (que ocorrerá durante alguns dias)

provoca aumento de temperatura na massa de concreto que se vai formando (para moldar o sólido

desejado). Assim, para dada massa de concreto já posto nas formas que moldam o sólido em construção

(operação denominada por vezes de cofragem), a temperatura variará de uma região para outra a todo

instante. De fato, porque parte do calor de reação poderá ser dissipado desigualmente na atmosfera seja

pelo ar, através das formas, por contato com concreto já existente e, geralmente, com a rocha de

fundação.

Nas barragens as chamadas camadas de concreto têm espessuras L não maiores que 2,5m e

volumes V entre 1.000 e 2.000m3. A reação de hidratação do cimento já acontece no instante em que se

inicia a fabricação do concreto e em geral este é lançado nas formas em até 20 minutos durante os quais

se despreza, sem erro apreciável, o calor dissipado pelas caçambas dos transportadores. Em outras

palavras: no tocante a perda de calor, concreto fabricado é, praticamente, concreto lançado nas formas.

A operação de concretagem de uma camada – lançamento de V m3 de concreto nas formas – é

feita pelo lançamento de camadas sucessivas (sub-camadas) de espessura e de cerca de 20 a 30 cm e pode

demorar um tempo t em torno de 10 horas. Durante esse período boa quantidade Q do calor gerado pode

ser dissipada na atmosfera. Uma hipótese que pode ser adotada em um modelo para previsões de evolução

da temperatura, sem erro apreciável, consiste em admitir: 1 - que cada sub-camada de concreto seja

lançada instantaneamente, logo, sem perda alguma quantidade q de calor; 2 - que entre duas camadas

sucessivas ocorra um tempo de lançamento fictício durante o qual a mesma quantidade q de calor será

dissipada em condições próximas daquelas ocorridas durante o lançamento (e que são de simulação fácil).

Para V=1.500m3 com L=2,0m, por exemplo, t=8 horas, e=25cm e um bloco de 15mx50m com

750m2 de área, cada subcamada terá um volume de 187,5m

3 que ficará exposto ao ar em torno de uma

hora até ser coberta pela sub-camada seguinte. Ao final da segunda hora após o início da concretagem da

primeira as condições de dissipação do calor ainda em geração na primeira camada são outras. E assim

sucessivamente até a última camada. A concretagem de uma segunda grande camada de, digamos,

L=1,7m sobre a primeira, poderá ocorrer algumas horas depois ou até alguns dias depois. Vê-se, por ai,

que o quadro "variação de temperatura" em um ponto qualquer de uma estrutura em construção pode ser

extremamente variável e só pode ser previsível depois de fixadas algumas das variáveis envolvidas.

Efeitos da variação da temperatura

Consideremos uma camada de concreto em execução e nela, a certa profundidade h, um cubo

imaginário (do mesmo concreto) com um par de faces horizontais. Esse cubo deve ter dimensões

adequadas de forma que suas propriedades sejam estatisticamente as mesmas do concreto em lançamento.

Inicialmente as tensões verticais (de compressão) sobre as faces consideradas, devidas exclusivamente ao

peso próprio do concreto, poderiam ser estimadas pela expressão h uma vez que o concreto ainda é bem

fluido. À medida que o concreto endurece (formando o esqueleto) e a temperatura cresce, as mencionadas

tensões aumentam de valor porque além do peso próprio do concreto (que não foi substancialmente

alterado) a expansão térmica atua empurrando o cubo para cima. O mesmo “empurrão” acontece em

qualquer direção. Em tenra idade o concreto apresenta pequeno módulo de elasticidade e grande fluência

(deformação sobre carga constante); a tensão de compressão que ocorre durante certo tempo, associada

com a temperatura em elevação, é pequena. Entretanto, quando a temperatura começar a diminuir (por

exemplo, por queda da temperatura exterior ao sólido), mesmo depois de o módulo ter aumentado e

atingido certo valor, poderão ocorrer tensões de tração. Estas tensões são as “tensões térmicas” - como

são chamadas ordinariamente as tensões de origem térmica – e devem ser controladas, pois se elevadas

acima da capacidade do concreto de resisti-las (por tração), provocam fissuras no interior do mesmo. É

fácil entender que tais fissuras podem comprometer seriamente, de alguma forma, o desempenho da

estrutura ao longo do tempo; por exemplo: provocando perda de resistência do concreto, diminuindo sua

impermeabilidade e facilitando a corrosão de armaduras.

Os métodos de dosagem dos concretos vêm sendo desenvolvidos desde a sua descoberta. O

combate ao fenômeno bem idoso da fissuração do concreto jovem, decorrente de tensões de origem

térmica, já vem sendo executado desde os anos 1930 pela adição de certas pozolanas (cinzas) à mistura.

3

Mais tarde passou-se a utilizar água gelada (até agregados refrigerados) para inibir a subida da

temperatura durante a hidratação, com isso conseguindo-se variação relativamente pequena de

temperatura e, conseqüentemente, tensões térmicas de tração suportáveis pelo concreto nessas idades.

Todas essas ações de combate aos efeitos térmicos, entretanto, podem ser bastante onerosas, o que pode

restringir o uso desse material de construção.

A aplicação dos concretos sem estudos preliminares pormenorizados, criteriosos e ajuizados

podem resultar em economias momentâneas ilusórias. O tempo mostrará as conseqüências fatídicas da

aventura adotada e serão reveladas, na melhor das hipóteses, pelos altos custos materiais dos reparos.

As bases dos cálculos térmicos

Um sólido em “estado de concretagem” é, pois, um campo transiente de temperaturas1. Por

hipótese (que se verifica experimentalmente para as condições habituais) esse sólido é elástico a todo

instante, isto é, ele se comporta a todo instante como o sólido da Teoria da Elasticidade. Como seus

pontos se deslocam (desigualmente) no espaço, é também um campo de deslocamentos, logo um campo

de deformações e, portanto, sendo válida a lei de Hooke, um campo de tensões. Assim, o maior valor

principal de tração do tensor das tensões num ponto de tal sólido é que deverá ser utilizado para verificar

se ali poderá ocorrer ou não fissura. Esses campos podem e devem ser calculados com a finalidade de

prever situações; a esses cálculos dá-se o nome genérico de cálculos térmicos.

O problema dos cálculos térmicos é, a princípio, algo complexo, pois depende das condições de

trabalho do elemento estrutural em moldagem. Observe-se, entretanto, que, em geral, durante um tempo

relativamente grande pós concretagem, além das tensões térmicas atuam tensões apenas devidas ao peso

próprio do concreto (o sólido ainda não está desempenhando suas funções normais como a de resistir a

empuxo hidrostático e cargas diversas). Vê-se, assim, que o problema é mais simples uma vez que a

vertical é uma direção principal do tensor (instantâneo) das tensões em qualquer ponto. Além disso, como

em nenhum instante o sólido trabalha além do seu limite de elasticidade, podem somar-se

(algebricamente, em forma tensorial) as tensões decorrentes dos vários esforços solicitantes.

As barragens, entretanto, devido à sua grande altura e volume de concreto, são moldadas em

“blocos”, havendo os “blocos do vertedouro”, os “blocos da tomada d’água”, os “blocos dos muros de

transição” etc. Tais blocos têm comumente a forma aproximada de um prisma com quatro geratrizes

horizontais (paralelas ao eixo da barragem) com 10 a 20 m de comprimento e seção vertical em trapézio.

Esse trapézio (a seção da barragem) em geral é um trapézio retângulo, a distância entre seus lados

paralelos sendo dita a “altura” da barragem. Os blocos são moldados em camadas sucessivas

sensivelmente horizontais de até 2m de espessura (ou altura) podendo, em dado instante durante a

construção, um bloco estar mais alto que outro, seja este vizinho ou distante do primeiro, tudo

dependendo do planejamento de concretagens elaborado. Do ponto de vista construtivo, estas camadas

são escolhidas, em geral e em princípio, um tanto aleatoriamente, ao sabor do desejo do planejador e mais

tarde, em função dos acontecimentos e necessidades detectadas durante a construção, o que implica

mudanças até freqüentes nos planos de concretagem dos vários blocos. Essas alterações de curso de

concretagem, por implicarem diferentes condições de dissipação de calor, acarretam novos cálculos

térmicos que têm sempre as mesmas finalidades, a cada situação correspondendo um campo de

temperaturas, logo um campo de tensões.

Do ponto de vista dos cálculos previsores, há que se considerar a grande variabilidade na

geometria adota em um planejamento qualquer de concretagens. Assim, deve ser considerado que as

camadas possam ter espessuras diferentes, ter formas irregulares e podem ser executadas com concretos

diferentes; o que influi fortemente nos resultados finais. Uma camada pode apresentar todas as faces

planas, constituindo um tronco de prisma, ou um tronco de pirâmide; e/ou ter as faces curvas,

constituindo um tronco de cilindro (uma abertura de seção circular horizontal como um poço, ou vertical

como uma galeria), ou parte plana e parte curva (como uma galeria com paredes planas e teto cilíndrico).

Para além dos cálculos térmicos existe o problema da forma de apresentação dos resultados que

vise ao perfeito e rápido entendimento da solução encontrada. Para tal, a experiência mostra que é

interessante uma apresentação gráfica do campo de temperaturas que, por si só, já indica os pontos, ou

regiões, onde possam ocorrer as indesejáveis fissuras de origem térmica. O campo todo é visto com muita

1 Campo é qualquer região do espaço a cada ponto da qual está associada uma propriedade (seja esta escalar, vetorial ou tensorial de

ordem elevada). Se a propriedade varia com o tempo, o campo é transiente; se não, é estacionário, ou permanente.

4

simplicidade com o traçado das linhas isotérmicas (caso de campo bidimensional, ou campo 2D) ou das

superfícies isotérmicas (caso de campos tridimensionais, ou 3D). A apresentação do caso 2D é

relativamente simples a atende um bom bocado de situações reais; a do caso 3D é mais complexa, porém

não tão freqüente quanto a primeira. O caso 1D consiste apenas do traçado do gráfico “temperatura versus

distância do ponto” onde é calculada a temperatura. Devem ser desenvolvidos alguns programas

computacionais para essa finalidade.

Essas informações têm efeito didático sensível muito embora, na prática, venha interessar mais

destacadamente o ponto (ou região) de maior temperatura e o valor desta. De fato, pois se o concreto

resistir aos esforços térmicos nessa região, oriundos de quedas de temperatura, certamente resistirá em

qualquer outra.

Do ponto de vista construtivo, por outro lado, é necessária certa velocidade de obtenção e de

apresentação dos resultados para a definição do rumo do novo plano de concretagens. Esse é um

problema computacional que merece atenção especial em vista da dinâmica do processo construtivo que

visa aumento de produção de concretagens e diminuição de custos.

Praticamente nada do que se pretende conseguir é possível sem: 1) – o perfeito entendimento

químico e físico do fenômeno térmico em consideração; 2) - a formulação matemática real do campo, ou

melhor, do sólido, com todas as suas particularidades, e das leis físicas regentes do fenômeno; aqui,

química, física e matemática serão unidas mais uma vez para a resolução de um problema real; 3) –

eficiência computacional, o que se consegue com as melhores linguagens de programação e

computadores adequadamente configurados.

Em vista das condições possíveis de exposição de uma camada de concreto, quais sejam: contato

com a rocha de fundação, com outra camada de concreto, contato com o ar e com a radiação solar, devem

ser estudadas e formuladas matematicamente as leis de transferência (ou troca) de calor por condução, por

convecção e por radiação. Mais tarde, estando cheio o reservatório, haverá ainda transferência de calor

por convecção entre o concreto da barragem e a água do reservatório, quando então novos campos

térmicos serão estabelecidos na mesma. Nessa época, entretanto, alem dos deslocamentos devidos à

variação de temperatura (deslocamentos esses já bem suaves) deverão ser considerados aqueles devidos

ao empuxo das águas e à sub-pressão.

Deste ponto em diante, ou seja, barragem com reservatório cheio, todos os campos (o térmico, o de

deslocamentos, o de deformações e o de tensões) deverão apresentar-se aproximadamente de acordo com

um quadro teoricamente previsível durante o desenvolvimento conceitual do projeto. Mas isso só será

verificado se a obra for instrumentada, isto é, munida de instrumentos nela previamente instalados em

“pontos” escolhidos adequadamente. Esses pontos são ditos pontos instrumentados. Os instrumentos vão

fornecer informações convertíveis em valores de temperatura e deformações em geral. As fórmulas da

Teoria da Elasticidade (ou Plasticidade etc) completarão as informações pelo cálculo de deslocamentos e

tensões naqueles pontos. É evidente que os pontos instrumentados pertencem a algumas camadas,

constam de um projeto de instrumentação e surgirão durante a construção. Por isso mesmo, esses

instrumentos poderão ser usados também para confirmar os cálculos realizados para aquela época da

construção. Os termômetros, particularmente, poderão confirmar as previsões dos cálculos térmicos.

5

§02 – HIPÓTESES ADOTADAS.

- Ponto fixo e sistema global de referência.

A estrutura (total ou parcial) de um bloco de uma barragem deve ter pelo menos um ponto fixo (do

contrário poderia deslocar-se pelo espaço quando sujeita à ação de alguma força). Podemos adotar: esse

ponto O por origem de eixos, uma paralela ao eixo da barragem por eixo OZ ou OX3, suposto retilíneo, e

por plano coordenado XY, ou X1X

2, perpendicular a OZ (logo, um plano paralelo a uma seção plana da

barragem, com abscissa Z=X3=constante

2). Os vetores unitários de base associados a esses eixos serão

denotados por i ou 1e , j ou 2e e k ou 3e . O sistema fixo de referência O-XYZ, ou O-X1X

2X3 com

seus vetores de base ({ i , j , k }, ou { 1e , 2e , 3e }) será dito “sistema global de referência”.

- O corpo da barragem como um conjunto de elementos enumeráveis

Utilizaremos aqui o método dos elementos finitos (MEF) e a Mecânica do Contínuo (MC) para a

resolução do problema proposto. Esse método, aproximado por natureza, mas suficientemente exato para

os nossos propósitos práticos. Ele consiste em substituir o corpo “contínuo” de infinitos pontos da MC, na

sua configuração de referência (no instante inicial), em um corpo ainda contínuo, mas composto por

milhares de pequenos elementos (logo, enumeráveis) de dimensões e formas adequadas – aqui, tetraedros

com ângulos diedros em geral menores que 90 – ligados uns aos outros pelas faces. Esse problema –

também dito “de geração de malha” - será aqui considerado satisfatoriamente resolvido de antemão por

meio de algum programa dedicado a essa finalidade.

Com esse procedimento torna-se possível enumerar (a partir de 1) todos os vértices dos tetraedros,

ditos os nós da estrutura, bem como todos os elementos tetraédricos (elementos finitos) que a compõem.

Esses dois números em geral são grandes, mas depende da natureza do problema a resolver e de vários

outros fatores. Com isso, é possível obter-se uma lista de todos os elementos numerados seqüencialmente

e os números dos nós que os definem. É evidente, assim, que um nó dado ao acaso poderá pertencer a

vários elementos. Num dado instante durante a construção, cada elemento poderá estar vazio ou

preenchido com um concreto de certa composição (traço) lançado em época conhecida, logo com certa

idade na época em que se faz a análise. Essas primeiras observações sobre o corpo que está sendo

moldado em concreto – um bloco de uma barragem – já permitem vislumbrar a complexidade do

problema em apreço: a previsão do “comportamento mecatérmico3” instantâneo (em qualquer instante)

desse bloco.

- Tetraedro e sistema local de referência.

Vamos considerar um elemento tetraédrico qualquer dentre aqueles todos que, em número finito,

compõem aproximadamente corpo da estrutura, tetraedro esse suposto

conhecido pelas coordenadas dos seus nós (na configuração de

referência) em relação ao sistema global de referência O-X1 X

2 X

3 ou O-

XYZ. Vamos denotar esses nós por 1, 2, 3 e 4 e imaginar esses números

dispostos nesta seqüência sobre uma circunferência e no sentido horário;

as seqüências 123, 234, 341 e 412 e suas cíclicas são ditas positivas; as

demais (321, 432, 341 e 214) e suas cíclicas, negativas. O tetraedro será

dito positivamente orientado (Figura 2.1) quando, olhando-se uma face –

um triângulo - desde o vértice oposto de índice par (ou ímpar), ao

imaginar-se o perímetro do triangulo percorrido no sentido horário, seus

vértices sejam encontrados em alguma seqüência cíclica positiva (ou negativa).

Elejamos, no instante t, o nó 4, por exemplo, de um tetraedro positivamente orientado, 4-123,

como origem de um sistema local (não ortogonal) de coordenadas cartesianas, 4-xyz ou 4-x1x

2x

3, sendo

4x14x dirigido segundo 41, 4x

24y segundo 42 e 4x

34z segundo 43 (Figura 2.1). Os vetores de origem

em 4 e extremidades em 1, 2 e 3, denotados por r1, r2 e r3, serão adotados como vetores de base desse

sistema. O ponto genérico R, interior ao tetraedro 4-123 e de vetor posicional r poderá, então, ser escrito

na forma em função das suas coordenadas xi em relação aos vetores da base local,

2 Não é difícil adotar um sistema adequado quando o eixo da estrutura é curvilíneo. 3 Contração de mecânico e térmico. Influências da temperatura na própria reação que a gera – implicando efeitos secundários no

comportamento do bloco - serão discutidas em publicações futuras.

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ii

33

22

11 xxxxR4 rrrrr

4, sendo, ainda, iix r.r , (i=1,2,3) (2.1),

os ri constituindo os vetores recíprocos dos vetores da base local (ver Apêndice 1).

Escreveremos ainda, em relação à base global:

kk

33

22

11 ˆXˆXˆXˆXˆZˆYˆXOR eeeekjiR , (k=1,2,3) (2.1)1,

e

kk ˆXˆZˆYˆXOR ekjiR , (=1,2,3,4; k=1,2,3) (2.1)2.

Então, observando-se que rr ˆˆ ee porque a base { 1e , 2e , 3e } é ortonormada, tem-se:

jj

rr 4

rj

jrrrr x)ˆ(XˆxˆO4ˆ)4RO4(ˆX .ree.re.e.eR. (r,j=1,2,3).

Para r=1,2,3, podemos escrever, em forma matricial:

3

2

1

33

23

13

32

22

12

31

21

11

3 4

3

2 4

2

1 4

1

x

x

x

ˆˆˆ

ˆˆˆ

ˆˆˆ

XX

XX

XX

.

.re.re.re

.re.re.re

.re.re.re

, (2.1)3,

expressão pela qual podemos passar das coordenadas locais de um ponto para as coordenadas globais do

mesmo ponto. Sendo r 4

r j

rj XXˆ e.r , tem-se também:

3

2

1

3 4

3 3

3 4

3 2

3 4

3 1

2 4

2 3

2 4

2 2

2 4

2 1

1 4

1 3

1 4

1 2

1 4

1 1

3 4

3

2 4

2

1 4

1

x

x

x

XXXXXX

XXXXXX

XXXXXX

XX

XX

XX

. , (2.1)4.

Modelos lineares para os campos.

- Ao ponto genérico R de um elemento qualquer de uma camada qualquer podem estar associadas

propriedades: escalares, como a temperatura T interessada; vetoriais, como o deslocamento u; diádicas,

como os tensores de tensões e deformações, e e; triádicas etc. O corpo parcial da barragem (em

qualquer época) é, pois, campo transiente dessas grandezas supostas definidas por funções de n-ésima

classe, isto é, ela e suas n primeiras derivadas são funções unívocas e contínuas do ponto.

- Vamos adotar modelos lineares de variação das grandezas no interior do elemento genérico e

num instante qualquer. Isto significa que:

para o campo de temperatura: 4T T r.a , (2.2),

com T=T4 para r=o e a vetor constante à determinar;

para o campo de deslocamentos: 44 . u.ruru , (2.3);

com u=u4 para r=o e à determinar.

Assim, T e u são, respectivamente, as transformações lineares (TL) de r mediante as constantes à

determinar a e , no instante t.

§03 – CONSIDERAÇÕES GEOMÉTRICAS E TÉRMICAS.

Como o ponto genérico R é não exterior ao tetraedro 4-123, então, a todo instante, o volume (rrjrk)5, para

j,k=1,2,3 e jk, é nulo se r tem extremidade sobre o lado jk, ou igual a seis vezes o volume V do tetraedro

se r=ri e ijk ou, ainda, é menor que (r1r2r3)=6V se r é interior ao triângulo 123. Por exemplo,

conforme (2.1), no instante t,

4 Expressões monômias contendo índices repetidos representam somas cujas parcelas são obtidas dando ao índice repetido todos os

valores do seu campo de variação previamente estabelecido. 5 Ver Apêndice I sobre “Vetores”.

7

)(

)(

)( x

321

32

321

321

rrr

rrr

rrr

rr.r

;

logo 0x11 porque o volume VR423=(rr2r3) do tetraedro de vértices (R,4,2,3) é menor que o volume

V=(r1r2r3) do tetraedro de arestas (4,1,2,3). Em resumo:

1V

Vx0 R4231 .

Como esses mesmos resultados são válidos para os outros dois tetraedros de vértices (R,4,3,1) e (R,4,1,2),

de volumes VR431=(rr3r1) e VR412=(rr1r2), respectivamente,

1 x0 ii r.r , (i=1,2,3) (3.1)1,

sendo, ademais

1x03

1i

i3

1i

i

rr. , (3.1)2,

pois:

VR423+VR431+VR412+VR123=V, (3.1)3.

Então, se pusermos, por definição, x4=VR123/V, virá, em vista de (3.1)3:

1x4

1

, (3.1)4.

Os números reais x são denominadas em Geometria as coordenadas tetraédricas do ponto R.

Denotando-se por A o vetor área da face (triangular) oposta ao vértice do tetraedro, apontando

para o exterior do tetraedro (Figura 3.1, para =4), e lembrando que

2A1=-r2r3, ..., escrevemos:

3V

ii A

r , (i=1,2,3) (3.1)5.

Sendo, ainda

13322121234 )()(21232 rrrrrrrrrrA ,

resulta:

oAAAA 4321, (3.1)6,

A soma das coordenadas tetraédricas instantâneas x dos pontos da face 123 é igual a 1 porque em

(3.1)3 é VR123=0. Para os pontos interiores ao tetraedro, a soma (3.1)4 - sempre menor que 1, conforme

(3.1)2 - é igual à projeção de r sobre a normal à face 123.

Determinação das constantes nas leis lineares

Suponhamos conhecidas, para =1,2,3,4, as temperaturas T e os deslocamentos u nodais num

instante qualquer de evolução dos respectivos campos. Nesse instante, o vetor a e o diádico são

determinados com facilidade. De fato, como (2.2) e (2.3) são válidas para todo r não exterior a 4-123,

podemos aplicá-las aos nós, sendo, então, no instante t:

4ii T T r.a e 4ii ur.u , para i=1,2,3, (3.2),

donde

8

i4i )TT( ra e i

4i )( ruu , (i=1,2,3), (3.3),

ou, considerando (3.1)5 e (3.1)6:

Aa T

3V

1 , e

Au3V

1 (=1,2,3,4) (3.3)1.

Gradiente de temperaturas e deslocamentos

No instante t as superfícies isotérmicas no interior do tetraedro são planos paralelos, pois (2.2) dá

T0-T4=a.r=constante. A normal comum a esses planos tem a direção do vetor T que apontará no sentido

em que a temperatura cresce. Assim, por exemplo, se a todo instante T4, digamos, é maior que as demais,

então T, calculado num ponto P, apontará sempre para o semi-espaço (definido pelo plano isotérmico

que passa por P) em que se encontra o vértice 4.

Considerando ainda (2.2), lembrando que r e o 4T , tem-se:

aT , (3.4),

vetor esse – dito doravante, o vetor gradiente das temperaturas - que pode ser imaginado aplicado, por

exemplo, no centro de massa do tetraedro, com a finalidade de exibir a direção e o sentido do crescimento

da temperatura em cada elemento tetraédrico.

Sendo, ainda, para k=1,2,3,

4kkk4 TT)T(T a.r.r ,

ou, simplificando a notação pela lembrança de que o campo de temperaturas é transiente:

)T(T||

1ˆˆ)T(T 4k

kkk4

rra.r. , (3.5).

Vê-se por (3.5) que a projeção do vetor gradiente de temperaturas na direção de uma aresta do tetraedro

concorrente em 4, é diretamente proporcional à diferença de temperatura dos nós correspondentes à aresta

e inversamente proporcional ao comprimento dessa aresta (o que é fisicamente intuitivo).

Analogamente, obtém-se o diádico gradiente de deslocamentos:

u , (3.6),

seus autovalores e autovetores (todos constantes no elemento) fornecendo os (mesmos) valores

extremados instantâneos dos deslocamentos nos pontos e as direções correspondentes em que estas

ocorrem. Como se tenha também, de (2.3), no elemento e no instante t,

)(||

1ˆˆ)( 4k

kkk4 uu

rr.r.uu , (3.7),

vê-se que a projeção do diádico gradiente de deslocamentos na direção de uma aresta do tetraedro

concorrente em 4, é um vetor paralelo ao vetor diferença de deslocamentos dos nós correspondentes à

aresta por unidade de medida dessa aresta.

Em vista de (3.6) o tensor de deformações, , é o mesmo em todos os pontos do elemento, sendo

igual à parte simétrica de , sim. Os autovalores e os autovetores de sim darão os valores extremados das

deformações e as direções em que ocorrem.

9

Distribuição de T e u num elemento

Considerando (3.1)1 escrevemos:

)TTT.(xTxTxT 33

22

11

33

22

11 rrrr .

Vamos somar a parcela T4x4 a ambos os membros dessa expressão. No primeiro membro teremos a soma

xT com =1,2,3,4. Vamos substituir no segundo membro x

4 pela soma dos demais x e substituir essa

soma pela consideração de (3.1)2. Obtém-se:

)(TT)T.(Tx3

1

i44

iiα

α

i

rr.rr para i=1,2,3, ou 4i

4i

iαα T)TT(Tx rrr. .

Considerando que dentro dos parênteses está subentendida uma somatória em i podemos escrever:

4i

4iαα T)TT(Tx rr. . Finalmente, considerando (3.3) e em seguida (2.2) resulta, em relação ao

referencial local:

TxT , =1,2,3,4, (3.6).

Similarmente ao caso das temperaturas, podemos deduzir:

uu x , =1,2,3,4, (3.7).

Vê-se que as temperaturas e os deslocamentos seguem leis de distribuição análogas, (3.6) e (3.7),

respectivamente. As coordenadas tetraédricas (locais) x do ponto genérico R do campo são funções de

interpolação quando estas grandezas devam ser expressas como funções lineares das temperaturas e

deslocamentos nodais. Elas definem os quinhões (percentuais porque a soma delas é igual a 1) com que

cada temperatura ou deslocamento nodal entra na composição de T ou u no ponto R.

*

§04 – BALANÇO DE ENERGIA.

O fluxo de calor pelo corpo da estrutura em construção varia com o elemento tetraédrico considerado e

com o tempo (§1). Em cada elemento:

1) - calor será gerado pela reação de hidratação do cimento;

2) - calor circulará por condução porque o concreto do elemento está em contato com o

concreto de outro elemento, circulará por convecção se alguma face do elemento estiver em contato com

algum fluido (ar e água, geralmente) e circulará por irradiação se o elemento estiver exposto ao sol;

3) - calor será retido no elemento, aumentando sua energia interna.

Como essas quantidades de calor postas em jogo são variáveis com o tempo, devemos considerar,

num instante qualquer, as taxas (quantidade de calor por unidade de tempo) com que esses diversos

calores deverão entrar num balanço instantâneo conduzido respeitando-se a lei da conservação da

energia. A realização desse balanço é um problema complexo do ponto de vista geométrico e será

resolvido a seguir. Do ponto de vista físico bastará utilizar as leis de transferência de calor estudadas na

Física, as quais serão revistas no parágrafo seguinte.

§04.01 - Uma geometria conveniente para o balanço

Consideremos um nó qualquer da estrutura, digamos o nó 4, e todos os P tetraedros que têm esse

nó comum; esses P tetraedros serão referidos doravante como os 4-tetraedros. Uma face de um desses

tetraedros poderá ser comum a algum outro ou pertencer à fronteira do corpo. Suporemos que por algum

procedimento computacional já tenhamos detectado os P tetraedros dos 4-tetraedros e dentre esses, os p

deles que tenham faces comuns e os P-p que tenham faces na fronteira do corpo.

Pretendemos encontrar geometricamente um hexaedro que, tendo apenas o nó 4 comum com o

tetraedro 4-123, tenha ¼ do seu volume.

Recordemos inicialmente que medianas de um tetraedro são os segmentos que ligam cada vértice

ao baricentro da face oposta e que bimedianas são os segmentos que ligam os pontos médios dos seus

lados opostos. Um tetraedro tem, pois, quatro medianas e três bimedianas. É sabido que todas as

10

medianas e bimedianas de um tetraedro concorrem no seu baricentro G, o qual se encontra à meia

distância dos pontos médios dos lados opostos e aos ¾ das medianas a partir dos vértices (Figura 4.1).

Denotemos por ij o ponto médio do lado ij e por ijk o baricentro da face ijk (para i,j=1,2,3,4). Pode

demonstrar-se que o hexaedro (Figura 4.2) cujas faces são os quadriláteros (4,14,412,24), (4,24,234,31) e

(4,14,341,31) - com áreas equivalentes a 1/3 da área de cada face de 4-123 – e suas respectivas opostas:

(31,341,G,234), (14,412,G,341), (24,412,G,234), tem ¼ do volume V de 4-123 (ver Ap.2). Por serem

estas faces definidas por baricentros (de lados ou de faces do tetraedro), serão denominadas faces

baricêntricas do hexaedro. As três faces com G comum serão sempre internas ao tetraedro 4-123.

Procedendo-se da mesma forma com todos os tetraedros dos 4-tetraedros, seja 4 um nó de fronteira

ou não, teremos definido um poliedro, “envolvendo” o nó 4, cujas faces (quadriláteros) são os tercetos de

faces internas a cada um dos P tetraedros dos 4-tetraedros; e cujo volume é igual a ¼ da soma dos

volumes dos 4-tetraedros. Tal poliedro6 será referido como o 4-poliedro relativo ao nó 4

7 e terá 3P faces

quadriláteras no máximo. Este nó será interior ao seu poliedro se ele não pertencer à fronteira da

estrutura; ou será a interseção de três ou mais das faces do poliedro se ele pertencer à fronteira.

Por conseqüência da construção geométrica realizada, a cada nó da estrutura corresponderá um e

apenas um poliedro e o conjunto desses será equivalente a toda a estrutura. A soma dos volumes de todos

os poliedros e a soma das áreas de suas faces na fronteira será igual, respectivamente, ao volume de toda a

estrutura considerada e à área de toda a sua fronteira.

§04.02 – A equação do balanço de energia.

Consideremos as quantidades de calor postas em jogo relativamente ao tetraedro 4-123 (um do P

tetraedros definidores do 4-tetraedro).

A taxa de calor externo ao tetraedro 4-123 - calor que entra (vindo de fora do elemento), somada

com o gerado internamente – e a taxa de calor interno, ou calor nele armazenado, devem ser repartidas

em quatro partes iguais (pois são proporcionais ao volume), cabendo uma parte para cada hexaedro que o

compõe (ver §04.01). Logo, essas taxas de calor interno e externo, relativas ao poliedro que envolve o nó

4 são iguais a ¼ da soma das taxas dos calores que entram ou são gerados em cada um dos P tetraedro

com nó 4 comum.

Entretanto, cada taxa de calor que sai do 4-poliedro, cada uma relativa a um hexaedro,

corresponde à soma das taxas correspondentes relativas a cada face baricêntrica desse hexaedro,

existindo, pois, até 3P parcelas. No tetraedro 4-123 essas faces são: (34,341,G,234), (24,412,G,234) e

(14,412,G,341); e por serem sempre internas à estrutura, por elas o calor circulará de dentro para fora do

hexaedro, sendo necessário os cálculos das taxas correspondentes.

6 Não convexo, em geral, porque o plano do quadrilátero de uma face de um hexaedro pode não deixar os demais planos dos

quadriláteros das faces dos outros hexaedros em um mesmo semi-espaço. 7 A cada vértice do tetraedro corresponde um hexaedro com ¼ do volume do tetraedro.

11

Assim, um “balanço de energia térmica”, a ser verificado em cada tetraedro, deve também ser

verificado para cada hexaedro de um nó, a saber:

quantidade de calor gerado no hexaedro(por hidratação do cimento), na unidade de tempo

+

quantidade q de calor que entra num hexaedro através de suas faces baricêntricas, por condução

(proveniente de tetraedros vizinhos), na unidade de tempo

=

quantidade de calor q + Δq que sai do hexaedro através das faces baricêntricas, por condução ou radiação,

na unidade de tempo

+

variação de energia interna da massa de concreto no hexaedro, na unidade de tempo.

§04.01 – Energia gerada pelo concreto.

Se Qh é a quantidade de calor gerada exclusivamente pela hidratação de certa massa de cimento

ao longo de certo tempo, qh= Qh/ é a quantidade de calor gerada pela hidratação de uma massa unitária

do mesmo cimento, em outro tempo, sendo evidente que qh depende apenas da natureza do cimento e do

tempo (mas não do ponto, pois o fenômeno é idêntico em todos os pontos). Havendo geração de calor, há

também variação de temperatura.

A quantidade de calor necessária para elevar-se de 1C, em processo adiabático, a temperatura de

uma massa unitária de um cimento, entendido este como um corpo termicamente homogêneo, é o seu

“calor específico”, c; logo, dqh=c dT e a taxa de calor necessária será

t

T(t) c

t

(t)qh

,

justificando-se a derivada parcial pela observação já feita de que o fenômeno é idêntico em todos os

pontos da massa.

O ensaio dito “ensaio de calor de hidratação” permite determinar a função t

(t)qh

. Para elevar-

se adiabaticamente de TC certa massa de cimento, a taxa de calor necessária t

(t)Qh

será:

)t

T(t)c(

t

T(t)c

t

Q(t)

,

sendo adequado, e até conveniente, escrever-se o último membro naquela forma. De fato, porque a

determinação da expressão entre parênteses pode ser conseguida experimentalmente pelo chamado

“ensaio de elevação adiabática de temperatura” da massa , escrevendo-se, para lembrar isto:

t

T(t)

t

Tad

.

Assim,

t

)t(Tc

t

Q(t) ad

, (4.1).

A quantia tTad , por representar a variação (aumento) de temperatura do concreto com o tempo

(em processo adiabático), é dita elevação adiabática da temperatura do concreto.

§04.02 – Energia armazenada no concreto (variação de energia interna).

A energia (quantidade de calor) necessária para elevar de TC a temperatura (interna) de uma

massa elementar dm de concreto é dm c T; logo a taxa dessa energia, isso é, a taxa de variação da energia

12

calorífica interna inten E desse elemento é dm c dT/dt. Como T não varia com o ponto na massa dm, é

conveniente a representação da taxa de calor por tT c dm . Como dm= dV, resulta:

dVt

TcE int.en

, (4.3).

§04.03 – Transferência de calor por condução.

Esta é a transferência de calor entre o maciço de concreto (termicamente isotrópico) e algum corpo

(outro corpo de concreto, a rocha de fundação da estrutura), sem movimento relativo de massas. No ponto

corrente R da superfície S de contato entre os corpos, é válido escrever-se (lei diferencial de Fourier):

dSˆ Tk dq n. , (4.4),

onde K o coeficiente (constante) de condutividade térmica do concreto (em cal/m.s.C) (ver Ap. I) e dq a

quantidade de calor (em cal) que atravessa a área elementar dS (em m2) perpendicular ao vetor unitário

n , na unidade de tempo (s).

É sabido que T é um vetor que aponta para o sentido do crescimento da temperatura em R e

dS n é o vetor área no ponto, ortogonal a S. Como o calor flui dos pontos de temperatura mais alta para

aqueles de temperaturas mais baixas, o ângulo dos mencionados vetores deve ser sempre obtuso; o que

justifica o sinal negativo da lei (4.4) para que seja dq>0.

§04.04 – Transferência de calor por convecção.

É a transferência de calor entre o maciço de concreto e o(s) fluido(s) que o envolvam (água e/ou

ar). Escreve-se, para o ponto R do maciço em contato:

)T-(T dS h dq c , (4.5),

sendo:

hc = coeficiente de transferência de calor do concreto, por convecção (em cal/m2 C),

(ver Ap.I),

dS = área ( em m2) da superfície do maciço de concreto, à volta de R, pela qual flui a

quantidade de calor dq (em cal);

T = temperatura (em C) da superfície do maciço em R;

T = temperatura do meio que circunda o maciço em R.

§04.05 – Transferência de calor por radiação.

É o processo de emissão, pelo concreto do maciço, no ponto R, de energia radiante, cuja

quantidade e qualidade dependem de sua temperatura:

)T(T dS dq44

, (Boltzmann) (4.6),

sendo:

dq = quantidade de calor (em cal) emitida pelo concreto na unidade de tempo (em s);

= constante de Boltzmann;

= emissividade da superfície do concreto (ver Ap.I);

dS = área da superfície do maciço (em m2), à volta de R, pela qual flui a quantidade de

calor dq;

T = temperatura absoluta da superfície do maciço à volta de R (=273,18+C);

T = temperatura absoluta do ambiente que envolve o maciço, em R.

§04.06 – Equação do balanço para os nós do tetraedro.

Balanço para um poliedro (que envolve um nó)

13

Mostraremos agora que para a determinação do campo de temperaturas no corpo da estrutura, é

conveniente conhecer-se o que se passa termicamente em torno de cada nó da estrutura, por recorrência a

um balanço de energia aplicado a cada poliedro que envolve esse nó. Vamos considerar o nó 4 como um

nó genérico da estrutura, bem como o tetraedro 4-123 do 4-poliedro.

Os P tetraedros do 4-tetraedro terão Q pares de faces comuns com 4123 se 4 não pertencer à

fronteira da estrutura. Ao efetuar-se o balanço de energia no poliedro relativo ao nó 4, dever-se-á

considerar fluxo por condução pelas faces baricêntricas de cada hexaedro que o compõe, e fluxo por

condução e radiação se 4 pertencer à fronteira, pois nesse caso alguma face do poliedro será coincidente

com parte da fronteira da estrutura.

Assim, se no elemento hexaédrico e, pertencente ao tetraedro e de volume Ve, a temperatura no

ponto genérico é Te, devemos escrever (lembrando que seu volume é igual a ¼Ve):

ee

eeee

eae

ee

Vt

Tcρ

4

1) hexaedro do faces as todasde área(.Tk

Vt

Tcρ

4

1

e

, com e=1,2,...,P, (4.7),

e somar membro a membro as equações relativas a todos os hexaedros para obter a equação final do

balanço. Como os vetores área das faces dos hexaedros, internas ao poliedro, se destroem aos pares (por

serem vetores opostos) a somatória indicada no segundo membro de (4.7) fica reduzida à soma dos

vetores área das faces baricêntricas dos hexaedros, ou seja:

P

1e

e

P

1e

ee q

tF

4

1, (4.7)1,

com

Fe=eVece=mece e aeee TT , (4.7)2,

e

) de casbaricêntri faces área.(Tkq ee4e e , (4.7)3.

O escalar q4e é a quantidade de calor que sai do hexaedro e pelas faces baricêntricas, por condução, na

unidade de tempo.

*

Convém observar, considerando (4.7)3, que no segundo membro de (4.7)1 estão estabelecidas duas

somas: uma (em e) para todos os elementos e outra (soma dos vetores área) em cada elemento. Impõe-se,

assim, no momento, o cálculo da soma dos vetores área dessas faces, ou seja, das faces: (34,341,G,234),

(24,412,G,234) e (14,412,G,341) do tetraedro 4123 cuja expressão poderá ser aplicada a qualquer

hexaedro e. Temos:

- vetor área da face (14,412,G,341)= )14341()14412(341,14412,14 .

Sendo:

)(3

1412 421 rrr , )(

2

114 14 rr , e )(

3

1341 431 rrr ,

com r4=o (o nó 4 foi tomado como origem do sistema local), resultam:

)(3

1412 21 rr , 1

2

114 r , )(

3

1341 31 rr ,

logo,

213

1

6

114412 rr e 31

3

1

6

114341 rr .

Assim:

14

área da face (14,412,G,341)= )3

1

6

1()

3

1

6

1( 3121 rrrr

)2(18

)()2(

18

1 321321211332 rrr

rrrrrrrrr .

Expressões análogas podem ser obtidas para as duas outras faces; tem-se:

área da face (24,412,G,234)= )2(18

)( 321321 rrrrrr

e

área da face (34,341,G,234)= )2(18

)( 321321 rrrrrr

.

A soma dos vetores área é, então:

i321

18

)(4areas r

rrr,

donde, considerando (3.1)5,:

4

9

4areas A , (4.8).

Aplicando esse resultado para o elemento e, escrevemos:

) 9

4.( kq e

4ee4e Aa , (4.9),

A4e sendo o vetor área da face oposta ao nó 4 do tetraedro e.

*

Lembrando (3.4) e a expressão de a dada pela primeira das igualdades (3.3)1, a expressão (4.7)1

pode, agora, ser escrita em função dos 4P vetores áreas das faces dos 4-tetraedros (ou elementos), dos

volumes desses tetraedros e das temperaturas dos seus vértices (nós), na forma:

P

1e

4e

4

1

e ee

eP

1e

ee ]).T(

V

k[

27

16

tF AA , (e=1,2,...,P) (4.10).

ou, em forma matricial:

4e

3e

2e

1e

24e

3e

4e

2e

4e

1e

4e

P

1e e

e

P

P21

T

T

T

T

)(V

k

27

16

t F...FF .A.AA.AA.AA. , (4.11).

*

Por outro lado, lembrando (3.1)5 e a primeira das igualdades (3.3) que desenvolvida torna-se

e4

i

ieei

iee T)(T rra ,

escrevemos (4.09) na forma

]T)()T.[(Vk3

4q e4

23

1i

ieei

3

1i

ie

ieee4e

rrr , (4.12).

15

Assim, podemos escrever a equação (4.07)1 de equilíbrio em função dos vetores recíprocos das bases

locais dos 4-tetraedros na forma

P

1e

e4

i

2i eei

i e

i

* eee

P

1e

ee ]T)(T).[(Vk

3

16

tF rrr ,

ou, em forma matricial:

P

1e

4e

3e

2e

1e

i

2i e

i

i e

3 e

i

i e

2 e

i

i e

1 eee

P

2

1

P21

T

T

T

T

)(...Vk3

16

...t F...FF .rrrrrrr. , (4.13).

Caso particular

Se todos os elementos tetraédricos são preenchidos com o mesmo concreto as equações (4.11)1 e

(4.13) ficam reduzidas a

P

1e

4e

3e

2e

1e

24e

3e

4e

2e

4e

1e

4e

e

2

P

P21

T

T

T

T

)(V

1h

27

16

t V...VV .A.AA.AA.AA. , (4.14).

e

P

1e

4e

3e

2e

1e

i

2i e

i

i e

3 e

i

i e

2 e

i

i e

1 ee

2

P

2

1

P21

T

T

T

T

)(...Vh3

16

...t V...VV .rrrrrrr. , (4.15).

em que

c

kh2

, (4.16).

§04.06 – Equação do balanço de calor para todos os nós.

Os quinhões de calor de todos os nós

A igualdade (4.7)1 aplica-se a qualquer nó da estrutura e seu segundo membro foi reduzido ao

segundo membro da expressão (4.11), ou ao segundo membro da (4.14). Vamos representar esses

segundos membros por Q1, Q2, ..., QN em que N é o número total de nós da estrutura. Vale dizer que para

o nó de índice w, envolvido por um poliedro cujas faces são definidas por P tetraedros o segundo membro

de (4.14) é escrito na forma

w

P

1e

4e

3e

2e

1e

i

2i e

i

i e

3 e

i

i e

2 e

i

i e

1 eee Q

T

T

T

T

)(...Vk3

16

.rrrrrrr , (4.17),

e que o conjunto de todas essas igualdades pode ser escrita de forma única pela expressão matricial

16

N

k

j

i

w

1

NNNkNjNiNmN1

kNkkkjkikmk1

jNjkjjjijmj1

iNikijiiimi1

wNwkwjwiwww1

1N1k1j1i1m11

N

k

j

i

w

1

T

...

T

...

T

...

T

...

T

...

T

.

C...C...C...C...C...C

........................

C...C...C...C...C...C

........................

C...C...C...C...C...C

........................

C...C...C...C...C...C

..................

C...C...C...C...C...C

..................

C...C...C...C...C...C

Q

...

Q

...

Q

...

Q

...

Q

...

Q

, (4.18),

cujas matrizes têm o significado que passamos a expor.

O elemento genérico Qw da matriz coluna do primeiro membro

representa a quantidade de calor que sai pelas faces do seu w-poliedro.

Os elementos da matriz coluna do segundo membro são as temperaturas

dos nós da estrutura. Para mostrar como são constituídos os elementos

Crs da matriz quadrada NxN são necessárias várias considerações.

*

Inicialmente vamos aplicar a equação (4.17) para o caso de um nó

w interior à estrutura em que os w-tetraedros estejam definidos pelos nós

i, j, k, l (Figura 4.4), sendo: o de número 1, w-ijk, o de número 2, w-jkl, o

de número 3, w-kli e o de número 4, w-lij. É prudente observar-se que o tetraedro ijkl não é um elemento

tetraédrico.

As temperaturas serão:

T11=Ti, T21=Tj, T31=Tk, T41=Tw, para o elemento 1,

T12=Tj, T22=Tk, T32=Tl, T42=Tw, para o elemento 2,

T13=Tk, T23=Tl, T33=Ti, T43=Tw, para o elemento 3,

T14=Ti, T24=Tj, T34=Tk, T44=Tw, para o elemento 4.

Observa-se que as temperaturas nodais que participarão da escrita da equação de equilíbrio relativa ao w-

poliedro são as correspondentes a cada um dos nós dos w-tetraedros, quais sejam: Ti, Tj, Tk, Tl e Tw. As

constantes k dos concretos correspondentes a cada tetraedro serão denotadas por: kijk para o tetraedro 1,

kjkl para o tetraedro 2, kkli para o tetraedro 3 e klij para o tetraedro 4; os volumes dos tetraedros

correspondentes serão denotados por Vijk para o tetraedro 1 etc.. Tem-se, então, de (4.17):

w

l

k

j

i

wwwwww

T

T

T

T

T

. JHGML3

16Q , (4.19),

com:

3

1

lij i4 lijlij

3

1

kli i3 klikli

3

1

ijk i1 ijkijkw Vk Vk VkL r.rr.rr.r ,

3

1

lij j4 lijlij

3

1

jkl j2 jkljkl

3

1

ijk j1 ijkijkw Vk Vk VkM r.rr.rr.r ,

3

1

kli k3 klikli

3

1

jkl k2 jkljkl

3

1

ijk k1 ijkijkw Vk Vk VkG r.rr.rr.r ,

17

3

1

lij l4 lijlij

3

1

kli l3 klikli

3

1

jkl l2 jkljklw Vk Vk VkH r.rr.rr.r ,

23

1

lij lijlij2

3

1

jkl jkljkl

3

1

2ijk ijkijkw )( Vk)( Vk)( VkJ rrr .

A inserção desses resultados para o nó w em (4.18) agora é simples; tem-se:

N

k

j

i

w

1

wkwjwiwww1

N

k

j

i

w

1

T

...

T

...

T

...

T

...

T

...

T

.

0...0...0...0...0...0

........................

0...0...0...0...0...0

........................

0...0...0...0...0...0

........................

0...0...0...0...0...0

..................

0...G...M...J...J...H

..................

0...0...0...0...0...0

Q

...

Q

...

Q

...

Q

...

Q

...

Q

, (4.20),

devendo notar-se que: 1) - tendo sido w o primeiro nó a considerar no balanço térmico, apenas os

elementos dos postos wl, ww, wi, wj e wk da matriz [C] são diferentes de zero; 2) - cada um desses

elementos é uma soma de quatro parcelas porque temos quatro tetraedros a considerar, mas uma das

parcelas é nula necessariamente (o que se contata facilmente pelo cálculo de Qw com (4.17)).

À medida que efetuamos o balanço de energia (por aplicação de (4.14)) para o poliedro de cada nó

da estrutura, nos postos da matriz [C] vão se acumulando valores (positivos ou negativos, dados por

parcelas do mesmo tipo que as de Lw, Mw etc.) tudo dependendo de cada nó, dos vértices dos tetraedros

que lhes correspondem e dos concretos que os preenchem.

A matriz [C] especificada, embora dependa fortemente da geometria da discretização, é

denominada simplesmente de matriz de condutividade térmica da estrutura.

Consideração da troca de calor por convecção e radiação

Existirão novas parcelas nas expressões de Mw, Gw, ..., caso uma face de algum w-tetraedro seja

uma porção da fronteira da estrutura e caso haja possibilidade de troca de calor por ela. Suponhamos, para

exemplificar, que na Figura 4.4 a face ijk esteja em contato com algum fluido e/ou exposta à radiação

solar, logo havendo trocas de calor.

Devemos integrar (4.5) e (4.6), considerando a lei linear (2.2).

)STdS T (hq 123123

cconv e )S T dS T ( q 1234

123

4rad .

A distribuição de T pela face 123 é linear, isso é, o segmento ortogonal ao plano 123 conduzido

pelo ponto genérico R (extremidade do vetor r) e com medida T pertence ao plano que contem as

extremidades dos segmentos ortogonais a 123 conduzidos por 1, 2 e 3 com as medidas T1, T2 e T3,

respectivamente. Assim, a 123dS T representa o volume do tronco de prisma de base 123 e face oposta ,

ou seja

TSdS T 123123

com )TTT(3

1T 321 , (4.20).

Logo,

)TT (Shq 123cconv , (4.21).

Da mesma forma poderemos escrever:

18

) T T(S q 4 4123rad , (4.22),

em que 4T é a media das quartas potências das temperaturas T1, T2 e T3.

Como se vê, por algum procedimento computacional se deverão conhecer quais faces de quais

elementos tetraédricos são fronteira da estrutura para que se possa, por meio de (4.21) e (4.22), calcular as

correspondentes quantidades de calor cedidas aos meios.

Na construção de barragens (no Brasil, com seu clima predominantemente tropical) as quantidades

de calor cedidas por convecção por uma estrutura, e recebidas por irradiação, em geral são pequenas

quando comparadas com as cedidas por condução; nesse caso podem ser desprezadas. Em algumas

situações desprezam-se apenas as quantidades de calor absorvidas por radiação.

*

Um só concreto

Em muitas aplicações um só tipo de concreto ocupa todos os elementos tetraédricos; o que acarreta

apenas uma pequena simplificação às expressões. De fato, todos os concretos têm o mesmo k, mas isto é

muito pouco porque os elementos tetraédricos da estrutura não foram alterados. Para o exemplo

apresentado, relativo à Figura 4.4, as expressões de Lw, Mw ...em (4.19) serão as seguintes, nada muito

mais simples que as anteriores:

) V V k(VL3

1

lij i4 lij

3

1

kli i3 kli

3

1

ijk i1 ijkw r.rr.rr.r ,

) V V k(VM3

1

lij j4 lij

3

1

jkl j2 jkl

3

1

ijk j1 ijkw r.rr.rr.r , etc..

Isto permite que concluamos serem os problemas térmicos muito mais complexos e trabalhosos do ponto

de vista geométrico do que do ponto de vista físico, pois em geral os elementos tetraédricos definidores

da estrutura são diferentes (embora parecidos).

*

Consideração do membro transiente

A equação (4.13) é válida para o 4-poliedro que é definido por P tetraedros. A mesma equação é

aplicável com as devidas mudanças para um w-poliedro qualquer, sendo, porém, P=P(w). Seja a

variável que conta os nós da estrutura e a que conta os seus elementos tetraédricos, o que

representaremos por:

N1 e E1 ,

sendo, evidentemente N o número total de nós da estrutura e E o numero total de elementos tetraédricos

da mesma. Por meio de algum procedimento computacional deveremos conhecer os nós que definem o

elemento .

Em vista desses critérios de numeração, vamos definir a seguinte variável:

, elemento do nó é não se 0,

elemento; desse nó é se , elemento do cm F

b

e com ela montar a matriz NxE de elemento genérico F. Vamos denominar essa matriz de matriz mc da

estrutura e com ela escrever o primeiro membro de (4.13) para toda a estrutura. Tem-se, então:

19

E

w

2

1

NENwN2N1

wEwww2w1

2E2w2221

1E1w1211

N

w

2

1

...

...

t

F...F...FF

.........

F...F...FF

.........

F...F...FF

F...F...FF

Q

...

Q

...

Q

Q

. , (4.21).

Equação final

Resulta para equação final do balanço de energia para toda a estrutura e expressão

[C].{T}}t

F].{[

, (4.22),

em que [F] é a matriz NxE dos mc da estrutura (que contempla massas de concretos nos tetraedros de

volume V e seus calores específicos), [C] é a matriz, quadrada de ordem N, de condutividade térmica da

estrutura (que contempla as condutividades térmicas dos concretos utilizados, dos meios com que a

estrutura esta em contato e a geometria dos tetraedros), }t

{

é a coluna das taxas de variação da

temperatura em relação à temperatura adiabática de cada elemento e {T} é coluna das temperaturas

nodais.

20

APÊNDICE 1

VETORES RECÍPROCOS

Sejam a, b, ...vetores e A, B ... escalares. Suporemos conhecidas as operações de adição de

vetores, multiplicação de vetor por escalar e as multiplicações escalar, vetorial e mista de vetores; e estas

serão denotadas, respectivamente, por: a+b, Aa, a.b, ab e (abc).

O produto vetorial ab é um vetor cujo módulo é igual à área do paralelogramo construído sobre

os vetores a e b. Assim, imaginados os vetores aplicados coinicialmente num mesmo ponto, o módulo de

ab é igual ao dobro da área do triângulo cujos vértices são esse ponto comum e suas extremidades.

Se a, b e c são vetores não coplanares, então quando aplicados coinicialmente num mesmo ponto

do espaço, esse ponto e suas extremidades definem um tetraedro – dito tetraedro associado ao terno -

cujo volume V é tal que 6V)( abc . Logo, a condição necessária e suficiente para que três vetores a, b e

c sejam não coplanares é que o produto misto deles seja diferente de zero: 0)( abc .

Chamam-se vetores recíprocos do terno a, b e c de vetores não coplanares, e se os denotam por a*,

b* e c

*, os vetores:

)(abc

cba

)(abc

acb

)(abc

bac

.

Esses vetores gozam das seguintes propriedades:

1. aa , 1.

bb , 1. cc

e

0.. caba , 0..

cbab , 0.. bcac ,

das quais podemos deduzir, ainda:

1))(( cbaabc

Dessas duas propriedades podemos deduzir que se a*, b

* e c

* é o terno recíproco de a, b e c, então a, b e c

é o terno recíproco de a*, b

* e c

*, pois

)(

cba

cba

)(

cba

acb

)(

cba

bac ;

ou seja, qualquer terno é recíproco do outro. Diz-se que a* e a são homólogos, bem como b

* e b e c

* e c.

O ângulo definido por vetores homólogos é sempre agudo (bastando isso para que eles sejam diferentes

em geral).

Os vetores

cbA 2

1, acB

2

1 e baC

2

1

são denominados os vetores área das faces que definem no tetraedro e apontam para o exterior do

mesmo. Então:

3V

Aa

, 3V

Bb

e 3V

Cc

,

isto é, os vetores recíprocos de um terno são paralelos aos vetores área das faces do tetraedro associado a

esse terno.

21

Denotando-se por D o vetor área da face oposta ao vértice comum ao terno a, b e c, pode

comprovar-se que:

0 DCBA ,

isto é: é nula a soma dos vetores área das faces de um tetraedro.

Todos os ternos de vetores não coplanares são linearmente independentes, isso é, não existe

nenhuma combinação linear entre eles, do tipo Xa+Yb+Zc=o, sem que X, Y e Z sejam simultaneamente

não nulos; o que significa que (abc)0. Vetores linearmente independentes servem de referência para

quaisquer outros vetores do espaço; são ditos, por isso, vetores de base. Nesse sentido, qualquer vetor do

espaço pode ser escrito como uma combinação linear dos vetores de base. Pode ser comprovado que:

ccvbbvaavccvbbvaavvabccbav ).().().().().().( :0)( com ,, , ,

mas avav .. , bvbv .. e cvcv .. .

A expressão acima é denominada a decomposição cartesiana de v na base a, b, c e os escalares v.a*, v.b

*

e v.c* as coordenadas cartesianas contravariantes do vetor v em relação à base a, b, c. Da mesma forma,

v.a, v.b e v.c são as coordenadas cartesianas covariantes do vetor v em relação à base a*, b

*, c

*.

Sejam u, v e w vetores quaisquer (coplanares ou não) cujas decomposições cartesianas na base a,

b e c e sua recíproca a*, b

* e c

* são:

cbacbau cbacba UUUUUU ,

cbacbav cbacba VVVVVV

cbacbaW cbacba WWWWWW .

Então:

cba

cba

cba

cba

VVV

UUU)(

VVV

UUU)(

cba

cba

cba

abcvu

e

cba

cba

cba

cbA

cba

cba

WWW

VVV

UUU

)(

WWW

VVV

UUU

)()( cbaabcuvw

Quando os vetores de base a, b e c são vetores unitários e ortogonais entre si, a base que lhes

corresponde é dita ortonormada; e estas são denotadas em geral por i , j e k sendo 1)ˆˆ( kji . As bases

ortonormadas são idênticas às suas recíprocas e as coordenadas covariantes e contravariantes de qualquer

vetor são idênticas. Então, pondo:

kjiu ˆUˆUˆU 321 , kjiv ˆVˆVˆV 321 e kjiw ˆWˆWˆW 321

vem

321

321

VVV

UUU

ˆˆˆ kji

vu e

321

321

321

WWW

VVV

UUU

)( uvw .

22

APÊNDICE 2

TETRAEDRO DE VOLUME ¼ DO VOLUME DE OUTRO

23

Cálculo cartesiano dos vetores recíprocos de cada tetraedro.

Vamos listar os vértices de cada tetraedro em que foi subdividido o corpo da estrutura e adotar

arbitrariamente um desses vértices como referência (em cada tetraedro). Ordenemos os outros três

vértices numa seqüência tal que o triedro definido por eles seja positivo. Seja então w-123 o elemento

tetraédrico genérico com um sistema local de origem w; os vetores da base direta local serão r1, r2 e r3.

Denotemos por Rv (v=1,2,...,N) o vetor posicional do nó de índice

v da estrutura (ou de todos os elementos tetraédricos) e ponhamos:

kjiR ˆZˆYˆX v3v2v1v ,

em relação ao referencial global. Em relação ao sistema local (de origem

w):

kjiRRr wˆ)ZZ(ˆ)YY(ˆ)XX( wiwiwiii , (i=1,2,3),

ou, pondo

iwwi XXX , iwwi YYY e iwwi ZZZ para i,=1,2,3 com iw

kjir ˆZˆYˆX iwiwiwi , (i=1,2,3).

O produto misto (rirjrk) é numericamente igual ao volume do paralelepípedo construído sobre os

vetores; e este é igual a 6 vezes o volume do tetraedro w-ijk, como temos acentuado. Então:

V6

1ZYX

1ZYX

1ZYX

1ZYX

ZYX

ZYX

ZYX

)(

www

kkk

jjj

iii

kwkwkw

jwjwjw

iwiwiw

kji rrr .

Com a ordenação adotada para os vértices do tetraedro, o produto misto (rirjrk) é positivo

necessariamente.

Sabendo-se que

)( kji

kji

rrr

rrr

,

)( kji

ikj

rrr

rrr

)( kji

jik

rrr

rrr

,

vem:

i

kwkwkw

jwjwjwkj 2

ZYX

ZYX

ˆˆˆ

A

kji

rr ,

j

iwiwiw

kwkwkwik 2

ZYX

ZYX

ˆˆˆ

A

kji

rr , k

jwjwjw

iwiwiwji 2

ZYX

ZYX

ˆˆˆ

A

kji

rr .

Pondo, ainda:

kjiA ˆAˆAˆA s3s2s1s (s=i,j,k),

resultam:

kwkw

jwjwi1

ZY

ZY

2

1A ,

kwkw

jwjwi2

ZX

ZX

2

1A e

kwkw

jwjwi3

YX

YX

2

1A .

24

iwiw

kwkwj1

ZY

ZY

2

1A ,

iwiw

kwkwj2

ZX

ZX

2

1A e

iwiw

kwkwj3

YX

YX

2

1A .

jwjw

iwiwk1

ZY

ZY

2

1A ,

jwjw

iwiwk2

ZX

ZX

2

1A e

jwjw

iwiwk3

YX

YX

2

1A .

e, por conseqüência,

k1j1i1w1 AAAA , k2j2i2w2 AAAA e k3j3i3w3 AAAA .

É conveniente observar-se que, em vista de (4.7)3, de (3.3)1 e (3.1)5, o valor do quinhão q4e de

calor cabível ao vértice m do tetraedro m-123 depende apenas do concreto que o preenche, das áreas de

suas faces e dos ângulos diedros que a face 123 define com as outras três.

§05 – CÁLCULO DOS DESLOCAMENTOS NODAIS.

Consideremos o tetraedro genérico de número e , 4-123, pertencente ao conjunto dos P tetraedros

com nó 4 comum. Por hipótese são conhecidas as temperaturas nos seus nós no instante inicial: T40, T10

..., quando suas arestas têm comprimentos conhecidos (as coordenadas iniciais dos nós são conhecidas).

Num instante qualquer t as temperaturas nesses nós, T4, T1, ... são calculadas como exposto

anteriormente, pretendendo-se agora calcular os novos comprimentos das arestas e suas novas direções no

espaço.

Vamos denotar por a , para (,=1,2,3,4) e , os vetores arestas iniciais de 4-123 com sentido

do vértice para o vértice . Dentre os vetores a , três quaisquer concorrentes num mesmo vértice são

independentes. Mas observando que aa , vê-se que ao se adotar por terno de vetores de base

qualquer um dentre os concorrentes num vértice, digamos a41, a42, e a43, os outros três vetores – no caso,

a12, a23 e a31 - são coplanares na face oposta a este vértice. Então:

0))(( 434241123123 aaaaaa , ou, 0

0

0

0

4212

4112

4331

4131

4323

4223

.aa.aa

.aa.aa

.aa.aa

.

Algum recurso computacional nos permite conhecer, dentre os P tetraedros com nó 4 comum,

quais aqueles que têm a aresta a também comum. Entre o instante inicial e o instante t, a aresta a foi

transformada em a e esta transformação será operada por uma superposição de dois estágios.

Num primeiro estágio, o comprimento de a variou de uma quantidade igual ao produto da

média dos coeficientes de dilatação térmica dos concretos que preenchem os tetraedros que têm a

comum, pela variação de temperatura dos nós que a definem: )TT( a . O vetor d=a, para

certo e certo , representa a variação de comprimento da aresta a na sua própria direção, por unidade

de variação de temperatura entre os vértices, o que permite escrever a variação de comprimento de a na

forma )TT( d . Neste estágio, cada um dos nós, e , foi deslocado da metade da variação do

comprimento na direção de a .

Num segundo estágio deveremos considerar os deslocamentos que e sofreram como nós

pertencentes a arestas de outros tetraedros, tal como considerado anteriormente. Esta é uma forma

aproximada de definir a posição de cada vértice no espaço e no instante t: considerar que as arestas

concorrentes nesse vértice sofreram as mencionadas variações de comprimento nas suas próprias direções

e somar os vetores correspondentes. Assim, denotando por 4 o vetor deslocamento no instante t do nó 4,

escrevemos:

)TT()TT()TT(2 4334422441144 ddd , (5.01).

25

Expressões análogas a (5.01) podem ser escritas para os deslocamentos dos demais nós, já expressos em

função dos vetores da base local e dos vetores arestas da face oposta à origem local. Tem-se,:

4114311321121 )TT()TT()TT(2 ddd ,

)TT()TT()TT(2 2112244223322 ddd ,

e

)TT()TT()TT(2 3223311334433 ddd .

Lembrando que d=-d podemos escrever:

1414131312121 )TT()TT()TT(2 ddd ,

)TT()TT()TT(2 2112242423232 ddd ,

)TT()TT()TT(2 3223311334343 ddd ,

e

)TT()TT()TT(2 4334422441144 ddd .

Tem-se, então, para expressão da matriz coluna dos vetores deslocamentos dos vértices do

elemento tetraédrico em apreço:

}T].{[}{ eee A , (5.02),

com

4

3

2

1

e 2}{

,

4

3

2

1

e

T

T

T

T

}T{ , (5.03),

e

342414342414

343423132313

242324231212

141312141312

e ][

dddddd

dddddd

dddddd

dddddd

A , (5.04).

A matriz 4x4 [Ae] é degenerada, pois a soma dos vetores de qualquer coluna é igual a zero, bem

como a soma dos vetores de qualquer linha. Por ser d=a, o vetor da quarta linha e quarta coluna é o

oposto da soma dos produtos dos vetores arestas concorrentes em 4 pelas médias dos coeficientes de

dilatação e eles associados; os demais elementos da diagonal principal têm igual interpretação.

*

Ainda a título de aplicação devemos estender a expressão (5.01) para o nó w da Figura 4.4; e o

faremos como habitualmente, aplicando (5.01) para cada elemento tetraédrico com nó w comum. Esse

vetor é a soma dos 4 vetores seguintes, cada um relativo a um tetraedro:

- para w-ijk: ])TT()TT()TT[(2

1wkwkwjwjwiwiwijk ddd

- para w-jkl: ])TT()TT()TT[(2

1wlwlwkwkwjwjwjkl ddd

- para w-kli: ])TT()TT()TT[(2

1wiwiwlwlwkwkwkli ddd

- para w-lij: ])TT()TT()TT[(2

1wjwjwiwiwlwlwlij ddd .

26

Somando esses vetores, e expressando essa soma em forma matricial, vem:

w

l

k

j

i

wlwkwjwiwlwkwjwiw

T

T

T

T

T

)(2

3.dddddddd .

Devemos agora escrever as expressões dos vetores deslocamentos de todos os nós que definem o

w-tetraedro da Figura 4.4, pela aplicação de (5.02) para cada tetraedro. Teremos:

- para o tetraedro w-ijk:

w

k

j

i

kwjwiwkwjwiw

kwkwjkikjkik

jwjkjwjkijij

iwikijiwikij

w

k

j

i

T

T

T

T

. 2

dddddd

dddddd

dddddd

dddddd

;

- para o tetraedro w-jkl:

w

l

k

j

lwkwjwlwkwjw

lwlwkljlkljl

kwklkwkljkjk

jwjljkjwjljk

w

l

k

j

T

T

T

T

. 2

dddddd

dddddd

dddddd

dddddd

;

- para o tetraedro w-kli:

w

i

l

k

iwlwkwiwlwkw

iwiwlikiliki

lwlilwliklkl

kwkiklkwkikl

w

i

l

k

T

T

T

T

. 2

dddddd

dddddd

dddddd

dddddd

,

- para o tetraedro w-lij:

w

j

i

l

jwiwlwjwiwlw

jwjwijljijlj

iwijiwijlili

lwljlilwljli

w

j

i

l

T

T

T

T

. 2

dddddd

dddddd

dddddd

dddddd

,

Vamos denotar por d, para =i,j,k,l,w, a soma dos vetores com origem no nó e extremidade

nos demais nós, isso é:

iwilikiji ddddd , jwjljkjij ddddd , etc.

Então, por superposição dos efeitos, as quatro expressões matriciais escritas podem ser resumidas na

única seguinte:

w

l

k

j

i

wlwlwkwjwiw

lwlwlkljlil

kwklkwkjkik

jwjljkjwjij

iwilikijiwi

w

l

k

j

i

T

T

T

T

T

33d333

3d2222

32222

32222

32222

2 .

ddddd

ddddd

dddddd

dddddd

dddddd

, (5.05).

27