DETERMINANTES

Leibniz , 1693Mclaurin, 1729Cramer, 1750Vandermonde, 1772Lagrange, 1775Laplace,Jacobi,Cauchy, 1812

bcaddc

baAA

)(teDeterminan

A

A

columna vectoreslospor dado amoparalelogr del orientada Área

fila vectoreslospor dado amoparalelogr del orientada Área

bcaddc

baAA

)(teDeterminan

A

A

columna vectoreslospor dado amoparalelogr del orientada Área

fila vectoreslospor dado amoparalelogr del orientada Área

signo de |A|: Es positivo si el giro al ir de F1 a F2 en sentido antihorario es menor de 180ºEn caso contrario es negativo

322311332112312213322113312312332211

333231

232221

131211

)(teDeterminan

aaaaaaaaaaaaaaaaaa

aaa

aaa

aaa

AA

A

A

columna vectoreslospor dado orientado pedoparalelepíVolumen

fila vectoreslospor dado orientado pedoparalelepíVolumen

(Lagrange 1775)

signo del |A|: si al girar un tornillo, con la dirección de F3, en el sentido rotatorio de F1 a F2, éste avanza en el sentido deF3

F3 F2F1

F3 F3

PROPIEDADES

0

000

023

122

Si una fila es NULA el determinante es 0

0

366

023

122

Si dos filas son PROPORCIONALES el determinante es 0

Si intercambiamos dos filas el determinante cambiará su signo

122

023

112

122

112

023

112

122

023

112

023

122

Si una fila es NULA salvo en un elemento

911

12)·3()3()·3(

91)·2)·(3(1·1·3

112

003

122

Adjunto

112

003

122

Adjunto de un elemento es

el valor del determinante que queda al eliminar la fila y la columna, precedido del signo + ó –, según la posición del elemento.

Si una fila es NULA salvo en un elemento

El valor que tienen no afecta al valor del determinante puessiempre se multiplicarán por algún 0 de la fila del (-3)

Si multiplicamos a una fila por k, el valor del determinante queda multiplicado por k

112

023

122

112

023

122

k

kkk

112

023

122

112

023

122

112

023

122

· 3

k

kkk

kkk

kkk

k¡Ojo!

Si una fila es suma de dos filas su determinante es la suma de dos determinantes, uno con cada fila

327

023

122

112

023

122

)3()1()2()1()7()2(

023

122

9)7·(13)·2(2*2

12

23·1

12

03)·2(

11

02·2

112

023

100

112

023

020

112

023

002

112

023

100020002

112

023

122

¿Cómo calcular un determinante de orden 3 ?+Desarrollar por filas (o columnas)

Si a una fila se le suma una proporcional a otra fila, el determinante no varía

)1·(43·2

13

42

13

kk

930

23·1

030

023

122

)(

112

023

122

9064304

2·1·01)·3)·(2(2·2·11)·3·(12·0)·2(1·2·2

112

023

122

13

FF

¿ Cómo calcular un determinante de orden 3 ? +Método de Sarrus+Conseguir filas de CEROS y desarrollar

45712

23)·1(

001

71210

2322

121

3810

412

·1

0121

03810

1123

0412

)2(

2125

03810

1123

0412

)3(

2125

3021

1123

0412

13

12

2423

CC

CC

FFFF

¿ Cómo calcular un determinante de orden >3 ? +Conseguir filas de CEROS y desarrollar

¡Ojo! La operación siempre será: FILA CAMBIANTE – MÚLTIPLO DE OTRA FILA

Otras propiedades de los determinantes

AkAk

AA

BABA

AA

I

n

T

n

·

1

··

1

1