DeterminantesConsideramos o conjunto das matrizes quadradas de elementos reais.

Determinante de ordem 1

M = 11a

EXEMPLO:

A = 16

det M = a11

det A = 16

Seja M uma matriz de ordem n desse conjunto. Chamamos determinante da matriz M o número que podemos obter operando com os elementos deM da seguinte forma:

DeterminantesDeterminante de ordem 2

det M =

EXEMPLO:

A =5 17 3

det A = 5.3

M = 11 12

21 22

a aa a

a11. a22

-

a12. a21

1.7 = 8

-

DeterminantesDeterminante de ordem 3

M =11 12 13

21 22 23

31 32 33

a a aa a aa a a

11

21

31

aaa

12

22

32

aaa

Regra de Sarrus

det M =(a11.a22.a33 + a12.a23.a31 + a13.a21.a32) – (a13.a22.a31 + a11.a23.a32 + a12.a21.a33)

a11.a22.a33a12.a23.a31 a13.a21.a32a12.a21.a33a11.a23.a32a13.a22.a31

DeterminantesDeterminante de ordem 3

A =

EXEMPLO:

1 2 30 5 23 1 4

det A =

103

251

det A =(1.5.4 + (-2).2.3 + 3.0.(-1)) – (3.5.3 + 1.2.(-1) + (-2).0.4)

1.5.4 (-2).2.3 3.0.(-1)(-2).0.41.2.(-1)3.5.3

- 35

DeterminantesTeorema Fundamental (Laplace)

• Menor ComplementarDada uma matriz quadrada A, chamamos menor complementar do

11 12 13

21 22 23

31 32 33

a a aa a aa a a

A =M11 =

22 23

23 33

a aa a

elemento aij, e indicamos por Mij, o determinante da matriz quadrada de ordem n – 1, que se obtém suprimindo a linha i e a coluna j da matriz A.

DeterminantesTeorema Fundamental (Laplace)

• Menor Complementar

11 12 13

21 22 23

31 32 33

a a aa a aa a a

A = M23 = 11 12

31 32

a aa a

Dada uma matriz quadrada A, chamamos menor complementar do elemento aij, e indicamos por Mij, o determinante da matriz quadrada de

ordem n – 1, que se obtém suprimindo a linha i e a coluna j da matriz A.

DeterminantesTeorema Fundamental (Laplace)

• Co-fator Chamamos co-fator do elemento aij, e indicamos com Aij,

11 12 13

21 22 23

31 32 33

a a aa a aa a a

A = 11 12

31 32

a aa a

Aij =(-1)i+j.Mij

A11 =

(-1)1+1.M11= (-1)2.

o número (–1)i+j · Mij, em que Mij é o menor complementar de aij.

DeterminantesTeorema Fundamental (Laplace)

• Co-fator

11 12 13

21 22 23

31 32 33

a a aa a aa a a

A =

Matriz co-fator 11 12 13

21 22 23

31 32 33

A A AA A AA A A

Cof A=

Aij =(-1)i+j.Mij

DeterminantesTeorema Fundamental (Laplace)

• Determinante de uma matriz de ordem n O determinante de uma matriz quadrada de ordem n, , é a soma dos

11 12 13

21 22 23

31 32 33

a a aa a aa a a

A =

det A = a11.A11 + a21.A21 + a31.A31

det A = a21.A21 + a22.A22 + a23.A23

det A = a31.A31 + a32.A32 + a33.A33

o número (–1)i+j · Mij, em que Mij é o menor complementar de aij.

DeterminantesRegra de Chió

Abaixamento de ordem de um determinante

Exemplo:

A =

1 2 4 23 7 5 61 10 4 53 8 2 3

B=7 (3.2) 5 (3.4) 6 (3.2)10 (1.2) 4 (1.4) 5 (1.2)8 (3.2) 2 (3.4) 3 (3.2)

=1 7 08 8 32 10 3

det A = det B