Diferença Finita Laplace
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Métodos Numéricos em Finanças � ISEG/UTL Fernando Gonçalves
Diferenças �nitas para a equação de Laplace.
Considere o problema de valor de fronteira para a equação de Laplace
∂2u
∂x2+∂2u
∂y2= 0 se (x, y) ∈ (0, 40)× (0, 30)
u(x, 0) = u(x, 30) = 0, se x ∈ [0, 40]
u(0, y) = y(30− y), u(40, y) = 0 se y ∈ [0, 30].
(1)
Para aproximar a solução do problema (1), vamos usar um esquema de diferenças �nitas
numa grelha uniforme com ponto genérico (ih, jh)
Z2h = {(x, y) : x = ih, y = jh, i = 0, . . . ,M, j = 0, 1, . . . , N} ,
com h = 10, M = 4 e N = 3.
1
Métodos Numéricos em Finanças � ISEG/UTL Fernando Gonçalves
Consideremos a seguinte discretização do problema (1)
U j−1i − 2U j
i + U j+1i
h2+U j
i−1 − 2U ji + U j
i+1
h2= 0, i = 1, 2, 3, j = 1, 2
U0i = U3
i = 0, i = 0, . . . , 4
U j0 = u(0, jh) = jh(30− jh), U j
4 = 0, j = 0, . . . , 3,
(2)
onde U ji := U(ih, jh), com (ih, jh) ∈ Z2
h, e h = 10.
1. Consistência.
Vamos assumir que u ∈ C44 ((0, 40)× (0, 30)) ∩ C([0, 40]× [0, 30]) e denotar uj
i = u(ih, jh).
Das expansões de Taylor
• uji+1 = uj
i + h
(∂u
∂x
)j
i
+h2
2
(∂2u
∂x2
)j
i
+h3
6
(∂3u
∂x3
)j
i
+O(h4)
• uji−1 = uj
i − h(∂u
∂x
)j
i
+h2
2
(∂2u
∂x2
)j
i
− h3
6
(∂3u
∂x3
)j
i
+O(h4)
• uj+1i = uj
i + h
(∂u
∂y
)j
i
+h2
2
(∂2u
∂y2
)j
i
+h3
6
(∂3u
∂y3
)j
i
+O(h4)
• uj−1i = uj
i − h(∂u
∂y
)j
i
+h2
2
(∂2u
∂y2
)j
i
− h3
6
(∂3u
∂y3
)j
i
+O(h4),
obtemos
• Dx+D
x−u
ji =
uji−1 − 2uj
i + uji+1
h2=
(∂2u
∂x2
)j
i
+O(h2)
• Dy+D
y−u
ji =
uj−1i − 2uj
i + uj+1i
h2=
(∂2u
∂u2
)j
i
+O(h2).
2
Métodos Numéricos em Finanças � ISEG/UTL Fernando Gonçalves
Se u é solução do problema exacto (1) então
(Dx+D
x− +Dy
+Dy−)u
ji = Dx
+Dx−u
ji +Dy
+Dy−u
ji =
((∂2u
∂x2
)j
i
+O(h2)
)+
((∂2u
∂y2
)j
i
+O(h2)
)
= O(h2) +O(h2) = O(h2).
Em conclusão, o erro de truncatura do esquema
τ ji =uji−1 − 2uj
i + uji+1
h2+uj−1i − 2uj
i + uj+1i
h2
satisfaz
τ ji = O(h2).
2. Solvabilidade.
A equação
U j−1i − 2U j
i + U j+1i
h2+U j
i−1 − 2U ji + U j
i+1
h2= 0
do problema (2) tem a forma mais simples
4U ji −
(U j−1
i + U j+1i + U j
i−1 + U ji+1
)= 0.
Vamos escrever esta equação para cada um dos 6 pontos "interiores"(ih, jh) do domínio
discreto, i.e., para i = 1, . . . , 3, j = 1, . . . , 2 (o valor dos restantes 14 pontos é dado pelas
condições de fronteira). Por exemplo, a equação para o ponto (1h,1h) escreve-se
4U11 −
(U0
1 + U21 + U1
0 + U12
)= 0,
ou, passando para o segundo membro os termos conhecidos,
4U11 − U2
1 − U12 = U0
1 + U10 .
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Métodos Numéricos em Finanças � ISEG/UTL Fernando Gonçalves
Obtemos o sistema linear
4U11 −U2
1 −U12 = U0
1 + U10
−U11 +4U2
1 −U22 = U2
0 + U31
−U11 +4U1
2 −U22 −U1
3 = U02
−U21 −U1
2 +4U22 −U2
3 = U32
−U12 +4U1
3 −U23 = U0
3 + U14
−U22 −U1
3 +4U23 = U3
3 + U24 ,
ou, especi�cando os segundos membros,
4U11 −U2
1 −U12 = 200
−U11 +4U2
1 −U22 = 200
−U11 +4U1
2 −U22 −U1
3 = 0
−U21 −U1
2 +4U22 −U2
3 = 0
−U12 +4U1
3 −U23 = 0
−U22 −U1
3 +4U23 = 0,
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Métodos Numéricos em Finanças � ISEG/UTL Fernando Gonçalves
ou ainda, em forma matricial,
4 −1 −1 0 0 0
−1 4 0 −1 0 0
−1 0 4 −1 −1 0
0 −1 −1 4 0 −10 0 −1 0 −4 −10 0 0 −1 −1 4
·
U11
U21
U12
U22
U13
U23
=
200
200
0
0
0
0
.
Finalmente, resolvendo a equação matricial obtemos
U11
U21
U12
U22
U13
U23
=
76.1904761905
76.1904761905
28.5714285714
28.5714285714
9.5238095238
9.5238095238
.
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