Diferenciais de Ordem Superior Iremos,agora,estudarasdiferenciaissucessivasdefunesavriasvariveis. Comearemoscomasdiferenciaisdesegundaordem.Aexpressodyyfdxxfdf+=sugere a adoo de um operador, representado pordyydxxd+= , e definido por dyyfdxxff dyydxxdf+=+= . Apliquemosagoraooperadordadf,ouseja,consideremosddf,que,por definio, a diferencial sucessiva de segunda ordem da funo f, e denota-se porf d2.Iremos na seqncia determinar a expresso def d2, para o que admitiremos que f satisfaaoteoremadapermutibilidadedaordemnaderivaoparcial,assunoestaque ser sempre admitida de ora em diante. Teremos: 222 2222222 2 222222 22 dyyfdxdyy xfdxxfdyyfdydxx yfdxdyy xfdxxfdyyfydydxxfydxdyyfxdxxfxdyyfdxxfdyydxxddf f d+ +=+ + +=+++=++= =que a expresso da diferencial de segunda ordem, admitida a existncia das derivadas de primeira e segunda ordem da funo. Esse resultado pode ser expresso simbolicamente por: f dyydxxf d22+= , onde 222 222222 dyydxdyy xdxxdyydxx + +=+. Aplicando novamente o operador d af d2, ou seja,f d d2. , obtm-se, desde que as derivadas parciais de terceira ordem existam, e colocando-sef d f d d3 2. = , a diferencial de terceira ordem da funo f: =+ +++ +=+ ++=3222222222222322222 2222222 2 .dyyfydx dyy xfydydxxfydxdyyfxdy dxy xfxdxxfxdyyfdxdyy xfdxxfdyydxxf d d3332232233333332232232232233333 32 2dyyfdxdyy xfdy dxy xfdxxfdyyfdxdyy xfdydxx yfdxdyy xfdy dxy xfdxxf+ + +=+ + + + +Por induo, a diferencial de ordem n da f,f d f d dn n=1. , escrita nnnnnnnnnnnnnnndyyfdy dxy xfC dy dxy xfC dxxff d+ + + +=...2 22 22 111, ou, simbolicamente,f dyydxxf dnn+= . Essas noes so facilmente extensveis para funes a n variveis. A diferencial de primeira ordem ou diferencial total da funo f das variveis nx x x ,..., ,2 1 dada por: nnxxfxxfxxfdf + + + = ...2211 Definindoafuno ig dasvariveis nx x x ,..., ,2 1por( )i ix x x x g = ,..., ,2 1,onde n i ,..., 2 , 1 = , vem, pela definio de diferencial, nniiii i iixxdgxxdgxxdgxxdgdg + + + + + = ... ...2211. Como0 ,..., 1 ,..., 0 , 02 1====niii i ixgxgxgxg,vem i i i ix x dx dg = = = . 1 ,ouseja, i ix dx =e n nx dx x dx x dx = = = ,..., ,2 2 1 1, podemos escrever: nndxxfdxxfdxxfdf+ ++= ...2211. Essa expresso sugere a considerao do operador: nnnndxxfdxxfdxxff dxxdxxdxxdf+ ++=+ ++= ... ...22112211. Porconsideraessemelhantessaplicadasparaadiferencialdefunesdeduas variveis, obtemos para a diferencial de segunda ordemf dxxdxxdxxf dnn222112...+ ++= , e para a diferencial de ordem n: f dxxdxxdxxf dnnnn+ ++= ...2211, sempre admitindo a existncia das derivadas de ordem n da f. Exerccios Clculo de Valores Aproximados Veremos agora como empregar diferenciais para o clculo de valores aproximados. 1)Calcule 01 , 302 , 1aproximadamente. Seja) , ( y x f x zy= = . Entoyyzxxzdz z + = . Como:01 , 0 ; 00 , 3 ; 02 , 0 ; 00 , 1 = = = = y y x x , vem06 , 0 01 , 0 . 00 , 1 ln 00 , 1 02 , 0 . 00 , 1 . 00 , 3 ln00 , 3 00 , 1 00 , 3 1= + = + = y x x x yx dz zy y Ento 00 , 1 00 , 100 , 3= = z , e06 , 1 06 , 0 00 , 1 = + = + z z . 2)Calcule o o59 cos 32 sen aproximadamente, com trs casas decimais. Sejay x z cos sen = ; toma-se ento o o o oy y x x 1 ; 60 ; 2 ; 30 = = = = . Como arcos, quando no figuram como argumentos de funes trigonomtricas, devem ser expressos em radianos, transformamos graus em radianos mediante uma regra de trs : rd xrdo_ 30_ 1800,calculandoetransformandoigualmenteosdemaisvaloresem radianos temos:-0,017 y 1,046; y 0,035, ; 524 , 0 = = = = x x . Ento: 022 , 0 ) 017 , 0 .( 866 , 0 . 500 , 0 035 , 0 . 500 , 0 . 866 , 0) 017 , 0 ( 60 sen 30 sen 035 , 0 60 cos 30 cos sen sen cos cos= += = = o o o oy y x x y x dz zlogo273 , 0 022 , 0 500 , 0 . 500 , 0 022 , 0 60 cos 30 sen = + = + = +o oz z . 3) Calcular aproximadamente: a) ( ) ( )2 397 , 0 . 02 , 1 R.:1,00 b) ( ) ( )2 293 , 2 05 , 4 + R.:4,998 (calcular com trs casas decimais) 4)AosemedirosladosdeumtringuloABCforamobtidososseguintesdados: ladom m a 2 100 = ;m m b 3 200 = ;ngulo oC 1 600 = .Qualograude preciso com que podemos calcular o lado c ? Pela lei dos cossenos:) , , ( cos 22 2 2 b a f ab b a c = + =+ + = fbbfaafdc conde:m b m b m a m a 3 ; 200 ; 2 ; 100 = = = = ;osngulos , devemser expressos em radianos; por meio de uma regra de trs obtemos: rd xrdo_ 60_ 1800donderd x 0472 , 1 = ; do mesmo modo obtemosrdo0174 , 0 1 = = ( )2 12 2cos 2 ab b a c + =C B A c b a 600 ( ) ( ) ( ) ++ ++ +=cos 2 2sen 2cos 2 2cos 2 2cos 2 2cos 2 22 2 2 2 2 2ab b aabbab b aa baab b ab adcsubstituindo-se os valores indicados e calculando-se obtemos:3381 , 4 = dc c ; dessemodo( ) 2051 , 173 5 , 0 . 200 . 100 . 2 200 1002 12 2= + = c .Temosque m m m c c 5432 , 177 3381 , 4 2051 , 173 = + = + . O grau de preciso dado porc , ou seja, de aproximadamente 4m. 5)Ovolumedeumconecircularretodealturaheraiodabaserdadopor h r V231 = . Se sua altura aumentada de 4cm para 4,01, enquanto que o raio da basediminuide3cmpara2,98,acheumvaloraproximadodavariaoV de seu volume. dV V ;inicial finalV V V = ;cm r cm h 3 ; 4 = = ; ; 02 , 0 00 , 3 98 , 2 = = = r dr01 , 0 4 01 , 4 = = = h dh ;0408 , 0 ) 01 , 0 .( 3 . 1416 , 331) 02 , 0 .( 4 . 3 . 2 . 1416 , 3313123122 = + = + =+= dh r rhdr dhhVdrrVdV Portanto,0408 , 0 = dV Ve o volume final seria:3 26572 , 37 0408 , 0 6980 , 37 4 . 3 .31cm V V Vinicial final= = = + = . 6)Um lado de um retngulo medem a 4 = , o outrom b 24 = . Qual ser a variao da diagonal desse retngulo se o lado a aumentado em 4mm e o b encurtado de 1 mm? Calcule aproximadamente a variao e compare-a com o valor exato. R.:cm l cm dl 065 , 0 ; 062 , 0 = = 7)Uma caixa fechada, com a forma de um paraleleppedo, tem dimenses externas de 10x8x6 cm, e feita de plstico, o qual tem uma espessura de 2 mm. Qual o volume aproximado de material empregado na sua confeco? R.: 75 cm3. Estimativa de Erros 1)Ao se medir a temperatura T de um gs ideal ocorre um erro de 0,3 % e ao se medir o volume V deste mesmo gs, ocorre um erro de 0,8 %. Qual o erro relativo mximo que se obtm para a presso, sabendo-se que ele calculado pela leikT PV= ? ) , (1V T f kTVVTk P = = = dP P PdPPP dVVPdTTPdP+=dVVkTdTVkdP2 =VTk P = VdVTdTdVVTkVkTdTVTkVkPdP =+ =2 Como008 , 0 ; 003 , 0 = =VdVTdT, o erro mximo possvel de ser cometido : 011 , 0 008 , 0 003 , 0 = + =+=VVTTPP, ou seja, 1,1 %. Oexemploseguintevisamostrarcomoestimarapropagaodoserrosquandose opera com encadeamento de frmulas. 2)Um pndulo de perodo T e comprimento l foi usado para determinar g pelas frmulas 224Tlg= e sks l2+ = ,s k< .Seasmedidasdekessoprecisasa1%,achea porcentagem mxima de erro no valor calculado para g. Pode-se trabalhar ou em porcentagens (1 %) ou em valores absolutos (0,01), desde que se opere consistentemente com o mesmo tipo de nmero. ); , ( T l g g= ) , ( k s l l= ;( ) % 5 , 0 =Tdt;( ) % 1 =kdk dkskdsskdkkldssldl2122+ =+= ;dividindomembroamembropor+ = sks l2vem: 121 .21 .2 222 22 22 22 2 22 222 22 22 222 22 22 2 2 22 22 2 2 222 2=++=+ =+++=+++=+++= ++ + =k sk sk sk k sk skk sk skdkk sksdsk sk sdkk sksdsk sk sdksk sskdssk ssk sldllogo% 1 =ldl; como 2 24= lT g , temos: ( )dTTl dlTdTtgdllgdg3222244 + =+= ; dividindo membro a membro por 224Tlg= ,vem: ( )TdTldldTTlTldlTlTgdg24424422322222 =+ =. O erro mximo dado por: % 2 5 , 0 . 2 1 2max= + = + =TdTldlgdg 3)Calcula-se o volumeh r V2 =de uma lata de refrigerante, que um cilindro circular reto, a partir de valores de r e h, os quais foram medidos com um paqumetro. Admita que r seja medido com um erro inferior a 2%, e que h seja medido com um erro menor que0,5%.Faaumaestimativadopossvelerropercentualmximoresultanteno clculo de V. R.: 4,5%.