Dimensionamento de Sapatas Isoladas: Estudo Comparativo NBR 6118 (2014), Montoya (2011) e Wight e...

UNIVERSIDADE ESTADUAL DO PIAU UESPI

CENTRO DE TECNOLOGIA E URBANISMO CTU

IAGO FREITAS DE ALMEIDA

DIMENSIONAMENTO DE SAPATAS ISOLADAS: ESTUDO

COMPARATIVO ENTRE NBR 6118 (2014), MONTOYA ET AL. (2011)

E WIGHT E MACGREGOR (2009)

Teresina - PI

2014.2

IAGO FREITAS DE ALMEIDA

DIMENSIONAMENTO DE SAPATAS ISOLADAS: ESTUDO

COMPARATIVO ENTRE NBR 6118 (2014), MONTOYA ET AL. (2011)

E WIGHT E MACGREGOR (2009)

Trabalho de Concluso de Curso apresentado Universidade Estadual do Piau (UESPI), como requisito parcial para a obteno do grau de Bacharel em Engenharia Civil.

Orientador (a): Prof. Msc. Maurcio Castelo Branco de Noronha Campos

Teresina - PI

2014.2

AGRADECIMENTOS

Em primeiro lugar, a Deus, por estar sempre me iluminando e dando-me fora

para alcanar meus objetivos e seguir evoluindo pessoalmente e profissionalmente.

Aos meus pais, Ely e Luiz Jnior, que sempre lutaram pelo meu melhor e me

deram amor, carinho e todo o suporte necessrio em todas as caminhadas.

Aos meus irmos Igor e Raul pelo constante apoio. Tambm agradeo aos

meus avs, Luiz, Esmeraldina e Maria de Jesus pelas oraes e pelo carinho.

Ao meu professor orientador, Maurcio Castelo Branco de Noronha Campos,

pela ateno, disponibilidade, pacincia e ensinamentos prestados neste trabalho e

na formao acadmica e profissional como meu supervisor de estgio.

Aos professores da UESPI, pelos conhecimentos compartilhados ao longo da

vida acadmica, apesar das dificuldades e condies de trabalho.

Ao professor Jonathan Madeira de Barros Nunes, que sempre mostrou muita

competncia, dedicao e incentivo aos seus alunos.

Agradeo, de forma especial, ao meu melhor amigo Alysson Alves Monteiro,

que divide comigo todos os momentos da vida pessoal e acadmica, sempre me

incentivando e fazendo com que eu busque o melhor a cada dia.

A todos os funcionrios da Fernandes e Campos Engenharia, principalmente

a Marize Marques e a Luiz Fernando, pelo constante apoio, aprendizado e pacincia

na rea de estruturas. Tambm agradeo ao professor Frederico Fernandes pelo

aprendizado tanto acadmico quando profissional.

Aos amigos da universidade, pelo companheirismo e apoio nos momentos em

que precisei.

A todos os amigos e familiares que contriburam para o meu crescimento ao

longo da vida. Em especial aos meus tios Evoneide Fortes e Ellis Freitas pela ajuda

nos primeiros anos de curso que foram de fundamental importncia para a minha

formao profissional.

RESUMO

Esta monografia discute critrios especificados pela norma brasileira e por

literaturas internacionais sobre o projeto de sapatas isoladas em concreto armado.

Em uma primeira etapa, so discutidos os critrios apresentados pela norma

brasileira Projeto de estruturas de concreto Procedimento, NBR 6118 (2014),

Montoya et al. (2011) Hormign armado, e Wight e MacGregor (2009) Reinforced

Concrete: Mechanics and Design. Em seguida, exemplos de projetos de sapatas

isoladas submetidas ao centrada so analisados para facilitar o entendimento

dos conceitos apresentados pelas vrias literaturas citadas e que so comumente

utilizados pelo meio tcnico. O objetivo principal consistiu, por meio de exemplos,

em analisar o dimensionamento a flexo, esforo cortante e puno.

Palavras chave: Concreto armado; Sapatas isoladas; Projeto.

ABSTRACT

This monograph discusses the criteria contained in Brazilians code and in

international literatures on reinforced concrete design of spread footing. At first,

recommendations of NBR 6118/2014 - Projeto de estruturas de concreto

Procedimento, Montoya et al. /2011 - Hormign armado and Wight and MacGregor

/ 2009 - Reinforced Concrete: Mechanics and Design are discussed. After that,

several examples with centered loads footing are analyzed to facilitate understanding

of concepts and recommendations outline in the literatures. The main objective

consisted, through the examples, in analyze flexure and shear.

Keywords: Reinforced Concrete; Spread footings; Design.

LISTA DE FIGURAS

Figura 2.1 Profundidade de Assentamento ............................................................ 19

Figura 2.2 Fundaes Superficiais ......................................................................... 19

Figura 2.3 Fundaes Profundas ........................................................................... 20

Figura 2.4 Sapatas Isoladas ................................................................................... 21

Figura 2.5 Sapatas Corridas ................................................................................... 21

Figura 2.6 Sapata Associada ................................................................................. 22

Figura 2.7 Sapata Trapezoidal ............................................................................... 22

Figura 2.8 Sapata Alavancada ............................................................................... 23

Figura 2.9 Sapata Rgida (NBR 6118) .................................................................... 24

Figura 2.10 Distribuio de Tenses em Sapata Rgida ........................................ 25

Figura 2.11 Sapatas Rgidas (Montoya) .................................................................. 25

Figura 2.12 Sapata Flexvel (NBR 6118) ................................................................ 26

Figura 2.13 Distribuio de Tenses em Sapatas Flexveis ................................... 27

Figura 2.14 Sapatas Flexveis (Montoya) ............................................................... 27

Figura 2.15 Armaduras de Flexo de Sapata Rgida ............................................. 28

Figura 2.16 Momento Fletor na Sapata Flexvel ..................................................... 28

Figura 2.17 Momento Atuante Segundo Ishitani, Bella e Graziano (1998) ............. 29

Figura 2.18 Dimensionamento Biela Tirante de Montoya et al. (2011) ................ 31

Figura 2.19 Momento Atuante Segundo Montoya et al. (2011) .............................. 31

Figura 2.20 Formas Tpicas de uma Sapata Isolada (Montoya) ............................. 33

Figura 2.21 rea Crtica de Sapatas Flexo (Wight e MacGregor) ..................... 34

Figura 2.22 Permetro Crtico em Pilares Internos (NBR 6118).............................. 35

Figura 2.23 Inclinao do Cone de Puno e Inclinao Limite de Rigidez (NBR

6118) ......................................................................................................................... 36

Figura 2.24 Permetros Crticos em Capitel (NBR 6118) ........................................ 38

Figura 2.25 Seo 2-2 sobre Atuao de Esforo Cortante (Montoya) .................. 39

Figura 2.26 Seo Crtica Puno (Montoya) ...................................................... 40

Figura 2.27 Cisalhamento em uma Direo (Wight e MacGregor) ......................... 42

Figura 2.28 Cisalhamento em duas Direes e Efeito de Puno (Wight e

MacGregor) ............................................................................................................... 42

Figura 3.1 Dimenses: Exemplo 01 ....................................................................... 45

Figura 3.2 Detalhamento: Exemplo 01 (NBR 6118) ............................................... 47

Figura 3.3 Contorno C: Exemplo 01 (NBR 6118) ................................................... 48

Figura 3.4 Detalhamento: Exemplo 01 (Montoya) .................................................. 50

Figura 3.5 Concentrao de Armadura (Wight e MacGregor) ................................ 52

Figura 3.6 Detalhamento: Exemplo 01 (Wight e MacGregor) ................................. 53

Figura 3.7 Dimenses: Exemplo 02 ....................................................................... 55

Figura 3.8 Concentrao de Armadura (NBR 6118) .............................................. 57

Figura 3.9 Detalhamento: Exemplo 02 (NBR 6118) ............................................... 58

Figura 3.10 Contornos C e C: Exemplo 02 (NBR 6118) ........................................ 59

Figura 3.11 Altura til a 3d da Face (NBR 6118) ................................................. 60

Figura 3.12 Detalhamento: Exemplo 02 (Montoya) ................................................ 63

Figura 3.13 Detalhamento: Exemplo 02 (Wight e MacGregor) ............................... 66

Figura 3.14 Dimenses: Exemplo 03 ..................................................................... 69

Figura 3.15 Detalhamento: Exemplo 03 (NBR 6118) ............................................. 71

Figura 3.16 Contorno C1 Fora da Sapata (NBR 6118) ........................................... 72

Figura 3.17 Detalhamento: Exemplo 03 (Montoya) ................................................ 74

Figura 3.18 Detalhamento: Exemplo 03 (Wight e MacGregor) ............................... 76

LISTA DE TABELAS

Tabela 01 Dimensionamento Flexo ................................................................... 78

Tabela 02 Dimensionamento ao Cisalhamento ...................................................... 80

LISTA DE SMBOLOS

sA rea de armadura a flexo;

Conc.s,A rea de armadura concentrada a flexo na maior direo;

mins,A rea de armadura mnima a flexo;

SdF Fora Solicitante de clculo puno;

bG Peso prprio da sapata;

kM Momento caracterstico na seo considerada;

dM Momento de clculo na seo considerada;

MXM Momento mximo resistido pela seo;

KN Fora axial caracterstica;

SdN Fora axial de clculo;

S Faixa de concentrao de armadura;

dT Fora de clculo nos tirantes;

U Fora mecnica do ao;

cU Fora mecnica do concreto;

cV Fora resistente do concreto ao cisalhamento;

SdV

Esforo cortante solicitante de clculo;

RdV Esforo cortante resistente de clculo;

b e a Dimenses da sapata;

oo b e a Dimenses do pilar;

cob. Cobrimento da armadura de flexo;

d Altura til da seo;

cd Altura til na face do pilar;

ad Altura til no contorno C1;

cdf Resistncia de clculo do concreto a compresso;

ckf Resistncia caracterstica do concreto a compresso;

ykf Tenso caracterstica de escoamento do ao;

ydf Tenso de clculo de escoamento do ao;

cvf Resistncia virtual ao cortante;

cmf Resistncia virtual mnima ao cortante;

bg Tenso mdia;

h Altura da sapata;

j Constante geralmente igual a 0,95;

Balano de uma das dimenses da sapata;

c Distancia entre a borda do capitel e a face do pilar;

ou Permetro crtico no contorno C;

cu Permetro crtico puno de Montoya;

mu Permetro crtico puno de Wight e MacGregor;

x Nmero total de barras concentradas na maior direo;

C Razo entre a maior dimenso e a menor dimenso do pilar;

Coeficiente de minorao de fora;

Dimetro da armadura de flexo;

Concreto Peso especfico do concreto;

C Coeficiente de minorao do concreto;

f Coeficiente de majorao das aes;

S Coeficiente de ponderao da resistncia do ao

Taxa geomtrica de armadura de flexo;

x e y Taxas de armadura nas direes ortogonais;

Momento reduzido de clculo;

Taxa mecnica;

t Tenso estimada do terreno para verificaes estruturais;

Coeficiente para clculo de cvf ;

c Tenso de cisalhamento resistente de clculo para Wight e MacGregor;

Sd Tenso de cisalhamento solicitante de clculo;

Rd1 Tenso resistente de trao diagonal do concreto na superfcie crtica

C;

Rd2 Tenso resistente de compresso diagonal do concreto na superfcie

crtica C;

LISTA DE ABREVIATURAS E SIGLAS

ACI American Concrete Institute

EHE Instruccin de Hormign Estructural

EC-2 Eurocode N 2

NBR Norma Brasileira

SUMRIO

1 INTRODUO ................................................................................................................ 15

1.1 Justificativa ............................................................................................................... 15

1.2 Objetivos ................................................................................................................... 16

1.2.1 Objetivo Geral ................................................................................................... 16

1.2.2 Objetivos Especficos ...................................................................................... 16

1.3 Metodologia .............................................................................................................. 16

1.4 Estrutura do trabalho .............................................................................................. 16

2 REVISO BIBLIOGRFICA ......................................................................................... 18

2.1 Fundaes: Conceitos e classificaes ............................................................... 18

2.1.1 Fundaes superficiais e profundas ............................................................. 18

2.1.2 Tipologias de sapatas ..................................................................................... 20

2.1.3 Rigidez das sapatas ........................................................................................ 23

2.2 Dimensionamento Flexo ................................................................................... 27

2.2.1 Dimensionamento de acordo com a NBR 6118 (2014) ............................. 27

2.2.2 Dimensionamento de acordo com Montoya et al. (2011) ......................... 30

2.2.3 Dimensionamento de acordo com Wight e MacGregor (2009) ................ 33

2.3 Dimensionamento ao Cisalhamento .................................................................... 35




3 EXEMPLOS DE DIMENSIONAMENTO ..................................................................... 45

3.1 Exemplo 1 ................................................................................................................. 45




3.2 Exemplo 2 ................................................................................................................. 55

3.2.1 Dimensionamento de acordo com NBR 6118 (2014) ................................ 55



3.3 Exemplo 3 ................................................................................................................. 69




3.4 Anlise dos Resultados .......................................................................................... 78

4 CONSIDERAES FINAIS .......................................................................................... 81

BIBLIOGRAFIA.......................................................................................................... 82

ANEXO .................................................................................................................... 83

15

1 INTRODUO

As obras de engenharia sempre apresentaram diferenas entre si. No

decorrer de sua execuo, mesmo atendendo a critrios de normas, possvel que

haja interferncias entre os projetos, levando-os a uma nova anlise e a uma nova

soluo.

Segundo Silva (1998), as sapatas isoladas surgiram na Idade Mdia com o

desenvolvimento da arquitetura gtica, e consequentemente das colunas individuais.

A largura da sapata era determinada pela resistncia do solo. Apesar disso,

raramente se associava o tamanho da sapata a ao da superestrutura. Assim, o

tamanho da sapata era determinado pelo espao disponvel e pela forma da coluna

ou parede a ser suportada.

At o sculo XIX, muitas sapatas eram construdas de alvenaria. A evoluo

da arquitetura, dos mtodos de clculo e dos materiais utilizados acarretou em

edifcios altos e de elevado carregamento (SILVA, 1998). Assim, casos mais difceis

de sapatas trouxeram maior interesse nessa rea.

Atualmente, na engenharia de fundaes, muitos ensaios so realizados para

a melhoria dos atuais modelos de clculo. O surgimento da tecnologia

computacional permitiu a automatizao atravs dos mtodos numricos. Desta

forma, o uso de softwares tornou-se uma ferramenta muito importante para o

engenheiro de fundaes.

1.1 Justificativa

Os critrios adotados no dimensionamento de sapatas pela Norma Brasileira:

Projeto de estruturas de concreto/Procedimento (NBR 6118/2014) apresentam

divergncias com os critrios do Eurocode N 2: Design of Concrete Structures (EC-

2/2008), Instruccin de Hormign Estructural (EHE/2008) e com o American

Concrete Institute: Building Code Requirements for Reinforced Concrete (ACI-

318/2008). As diferenas nas taxas de armadura de flexo e na resistncia ao

cisalhamento podem acarretar em sapatas antieconmicas ou em elevadas

solicitaes. A EHE e a EC-2 so adotados por Montoya et al. (2011) e a ACI-318

considerada por Wight e MacGregor (2009).

16

1.2 Objetivos

1.2.1 Objetivo Geral

O objetivo geral consiste em uma analise comparativa dos mtodos de

dimensionamento de forma a prever possveis inconsistncias e divergncias

normativas.

1.2.2 Objetivos Especficos

Demonstrar a influncia de fatores no considerados pela NBR 6118 (2014) e

que so consideradas por outros autores. Como por exemplo, a verificao do

esforo cortante considerado por Montoya et al. (2011) e por Wight e

MacGregor (2009);

Detectar diferenas normativas. Como por exemplo, as respectivas

diferenas entre as reas de armaduras e as tenses resistentes ao

cisalhamento.

1.3 Metodologia

O desenvolvimento deste trabalho monogrfico ocorreu em duas etapas

principais. Primeiro, foi realizada uma pesquisa bibliogrfica acerca do tema,

baseada em: livros, apostilas, normas tcnicas e dissertaes de mestrados, a fim

de, fundamentar o tema teoricamente. Este trabalho consiste em uma pesquisa

exploratria. De acordo com Gil (2002) uma pesquisa exploratria, tem como

objetivo proporcionar maior familiaridade com o problema a ser pesquisado, de

forma a torn-lo mais explcito e que na maioria dos casos assume a forma de

pesquisa bibliogrfica.

No segundo momento, foram realizados alguns exemplos de

dimensionamento a fim de se obter um melhor entendimento do tema abordado.

1.4 Estrutura do trabalho

Este trabalho encontra-se estruturado em quatro captulos, sendo este o de

introduo. No mesmo, um breve contexto histrico, a justificativa, a metodologia e

seus objetivos foram apresentados.

17

O captulo 2 expe uma reviso bibliogrfica do tema, constituindo-se assim

em conceitos iniciais, classificaes e noes de dimensionamento de sapatas

isoladas sobre efeito de flexo, esforo cortante e puno de acordo com a NBR

6118 (2014), Montoya et al. (2011) e Wight e MacGregor (2009).

A seguir, so apresentados no captulo 3, exemplos de dimensionamento

pelos diferentes mtodos expostos do capitulo 02. Por fim, no capitulo 4

apresentaram-se as consideraes finais e sugestes para estudos futuros.

18

2 REVISO BIBLIOGRFICA

2.1 Fundaes: Conceitos e classificaes

As fundaes so elementos responsveis por transferir as aes atuantes na

estrutura ao solo ou a uma rocha resistente. No entanto, sabe-se que a capacidade

de carga do solo inferior a das colunas e paredes estruturais que sustentam a

superestrutura. Assim, a rea de contato entre a fundao e o solo deve ser maior

que entre a fundao e a estrutura a ser suportada (WIGHT e MACGREGOR, 2009).

Desta forma, as fundaes possuem uma rea de contato maior com o solo e

consequentemente uma melhor distribuio dos esforos solicitantes.

Joppert (2007) relata que o custo de uma fundao varia entre 3% a 7% do

custo do empreendimento e no consiste no seu item mais caro. Contudo, erros de

concepo de projeto e vcios de execuo podem acarretar em prejuzos elevando

o custo de forma direta ou indireta. Assim, uma fundao deve ser projetada e

executada adequadamente a fim de se evitar reforos estruturais e processos de

recuperao estrutural.

Toda fundao deve assegurar a estabilidade da estrutura por toda sua vida

til. O projetista de fundaes deve considerar um coeficiente de segurana

adequado contra colapso e recalques diferenciais. Alm disso, fatores como o tipo

de fundao a adotar, a profundidade e suas dimenses devem ser consideradas

pelo projetista na superestrutura.

Segundo Montoya et al. (2011) as fundaes necessitam de uma durabilidade

maior em relao a superestrutura, visto que, quando afetadas por meios agressivos

ou por aes fsicas sua restaurao onerosa e de difcil acesso.

2.1.1 Fundaes superficiais e profundas

De acordo com a NBR 6122 (2010), as fundaes podem ser classificadas em

superficiais e profundas.

a) Fundao Superficial (ou rasa ou direta):

A transmisso da carga para o terreno acontece atravs da distribuio de

tenses na base da fundao, sendo a profundidade de assentamento em relao

ao terreno contguo fundao, inferior a duas vezes a menor dimenso em planta

19

(Figura 2.1). Neste tipo de fundao inclui-se o bloco, a sapata e o radier (Figura

2.2). No entanto, a classificao das fundaes quanto forma de transmisso

direta das aes no deve ser considerada apenas em fundao superficial, uma

vez que, existe fundao profunda com transmisso direta de carregamento.

Figura 2.1 Profundidade de Assentamento

Adaptado de: http://www.lmsp.ufc.br/arquivos/graduacao/fundacao/apostila/03.pdf

Figura 2.2 Fundaes Superficiais

Adaptado de: https://www.academia.edu/7586455/Apostila_de_funda%C3%A7%C3%B5es

b) Fundao Profunda

A transmisso da carga para o terreno acontece atravs da base (resistncia

de ponta) ou pela superfcie lateral (resistncia de fuste) ou pela combinao de

ambas. Este tipo de fundao deve estar assente em profundidade superior ao

20

dobro de sua menor dimenso no projeto, e tendo no mnimo 3,0 m de profundidade.

Podem ser includos as estacas e os tubules (Figura 2.3).

Figura 2.3 Fundaes Profundas

Adaptado de: https://www.academia.edu/7586455/Apostila_de_funda%C3%A7%C3%B5es

2.1.2 Tipologias de sapatas

A NBR 6118 (2014) define sapata como uma estrutura de volume utilizada

para transmitir ao terreno as cargas de fundao. Segundo Alonso (2013) sapata

uma fundao de concreto armado com altura menor em relao s dimenses de

sua base e que se caracteriza por atuar basicamente a flexo. Sendo assim, as

tenses de trao so resistidas pelo ao e no pelo concreto.

Para Montoya et al. (2011), sapata o tipo de fundao mais empregada,

quando o terreno em sua superfcie, apresenta uma resistncia mdia ou alta em

relao ao carregamento da estrutura, sendo suficientemente homognea para

evitar recalques diferenciais.

De acordo com a NBR 6122 (2010) as sapatas so elementos de concreto

armado dimensionados de forma que as tenses de trao sejam resistidas pelo o

emprego de armadura. Segundo o autor, podem ser classificadas em isoladas,

corridas, associadas e alavancadas.

a) Sapatas Isoladas

A NBR 6122 (2010) no faz referncia explcita do conceito de sapata isolada.

Segundo Silva, Vanderlei e Giongo (2008) as sapatas isoladas so elementos que

21

suportam apenas um pilar e podem receber aes centradas ou excntricas. Ainda

de acordo com o mesmo, a altura pode ser constante ou varivel (Figura 2.4) e em

sua maioria possuem a forma quadrada, retangular ou circular.

Figura 2.4 Sapatas Isoladas

Adaptado de: SILVA; VANDERLEI; GIONGO (2008:01)

Segundo Hachich et al. (1998) quanto maior a concentrao das cargas

menor ser a liberdade na escolha do tipo de fundao a adotar. Deste modo,

quanto maior o carregamento para pouca rea disponvel, menor a probabilidade de

suas dimenses ocuparem adequadamente o terreno. Assim, torna-se vivel sempre

que possvel o uso de sapatas isoladas, adaptando-as as condies do terreno.

b) Sapatas Corridas

A NBR 6122 (2010) a define como uma sapata sujeita ao de uma carga

distribuda linearmente ou devido ao de pilares pouco espaados ao longo de

um mesmo alinhamento (Figura 2.5).

A sapata corrida utilizada como apoio direto de paredes, muros ou de

pilares alinhados, muito prximos entre si. Os esforos so considerados uniformes,

mesmo no caso de pilares, pois se considera a distribuio uniforme do

carregamento entre os eixos dos pilares (ISHITANI; BELLA; GRAZIANO, 1998).

Figura 2.5 Sapatas Corridas

Fonte: ISHITANI; BELLA; GRAZIANO (1998: 01)

22

c) Sapatas associadas ou combinadas

A NBR 6122 (2010) a define simplesmente como sapata comum a mais de

um pilar (Figura 2.6). Alm disso, Wight e MacGregor (2009) complementam que os

pilares devem estar muito prximos entre si. Ainda segundo os autores, as sapatas

associadas devem ser aplicadas quando for invivel o uso das isoladas.

Figura 2.6 Sapata Associada

Fonte: http://construcaociviltips.blogspot.com.br/2012_02_01_archive.html

No caso de similaridade dos carregamentos que agem sobre os pilares pouco

espaados entre si, estes podem ser assentes em uma sapata corrida. Contudo,

quando ocorrem variaes considerveis desses carregamentos, a forma trapezoidal

(Figura 2.7) torna-se a mais adequada para coincidir o centro de gravidade das

aes com o centro geomtrico da sapata (SILVA; VANDERLEI; GIONGO, 2008).

Figura 2.7 Sapata Trapezoidal

Adaptado de: http://www.elconstructorcivil.com/2012/09/zapata-trapezoidal-combinada.html

23

d) Sapatas Alavancadas (com vigas de equilbrio)

A NBR 6122 (2010) no faz referncia explcita de sapata alavancada. De

acordo com a mesma, viga de equilbrio ou alavanca consiste em um elemento

responsvel por receber cargas de um ou mais pilares e transmiti-las de forma

centrada as fundaes. Quando utilizado este elemento, as cargas atuantes nos

pilares diferem das cargas atuantes nas fundaes.

Segundo Silva; Vanderlei e Giongo (2008), devem ser utilizadas em sapatas

de pilares de divisa ou prximos a obstculos, onde no possvel coincidir o centro

de gravidade das aes com o centro geomtrico das sapatas. Usa-se uma viga de

equilbrio de modo que uma sapata absorva o momento resultante da excentricidade

da outra.

Na Figura 2.8 apresentada a perspectiva de uma sapata com viga de

equilbrio. Nestes casos, de acordo com a NBR 6122 (2010), deve-se considerar no

dimensionamento da sapata excntrica uma reduo de no mximo 50% do alvio

provocado pela existncia da viga de equilbrio.

Figura 2.8 Sapata alavancada

Adaptado de: SILVA; VANDERLEI; GIONGO (2008: 03)

2.1.3 Rigidez das sapatas

A NBR 6118 (2014) classifica as sapatas em rgidas e flexveis.

a) Sapatas Rgidas

Segundo a NBR 6118 (2014) define-se sapata rgida quando a altura da

mesma superior a 1/3 da distancia entre as faces dos pilares e suas extremidades

(Figura 2.9), em ambas as direes, sendo h a altura da sapata (Equao 2.1).

24

Figura 2.9 Sapata Rgida (NBR 6118)


3

aah o

(2.1)

Onde:

h Altura da sapata;

a Dimenso da sapata em uma direo;

oa Dimenso do pilar na mesma direo;

Ainda de acordo com a NBR 6118 (2014), a distribuio de tenses normais

considerada plana (Figura 2.10) entre a sapata e o solo. No entanto, para fundaes

em rochas essa hiptese deve ser revista.

Para Montoya et al. (2011), sapatas rgidas so aquelas cujos balanos ( )

so inferiores a duas vezes a altura da mesma (Figura 2.11). Contudo, em relao

NBR 6118 (2014), a definio do autor consistir em altura superior a 1/4 da

distancia entre as faces dos pilares e suas extremidades (Equaes 2.2 e 2.3) em

ambas as direes. Alm disso, a distribuio de tenses sobre o terreno pode ser

considerada plana semelhante NBR 6118 (2014).

Com:

2

)a(a o

(2.2)

25

Onde:

4

)a(ah o

(2.3)

Figura 2.10 Distribuio de Tenses em Sapata Rgida

Fonte: BASTOS (2012: 07)

Figura 2.11 Sapatas Rgidas (Montoya)


Para Wight e MacGregor (2009) no existe classificao das sapatas quanto

rigidez, diferenciando-se assim da NBR 6118 (2014) e de Montoya et al. (2011).

Alm disso, segundo os autores, os fatores adotados na geometria da mesma

dependem do tipo de solo, de suas propriedades e de sua distribuio de tenses.

Deste modo, as dimenses da sapata no sero definidas pela rigidez da mesma.

b) Sapatas Flexveis

A NBR 6118 (2014) a define quando a altura da mesma inferior a 1/3 da

distancia entre as faces dos pilares e suas extremidades (Figura 2.12), em ambas as

direes, sendo h a altura da sapata (Equao 2.4).

26

Figura 2.12 Sapata Flexvel (NBR 6118)


3

aah o

(2.4)

Onde:

h Altura da sapata;

a Dimenso da sapata em uma direo;

oa Dimenso do pilar na mesma direo;

Segundo a NBR 6118 (2014) as sapatas flexveis e/ou fundaes em rochas

necessitam de um estudo mais aprofundado quanto considerao da distribuio

de tenses como plana (Figura 2.13).

Para Montoya et al. (2011), sapatas flexveis so aquelas cujos balanos ( )

so superiores a duas vezes a altura da mesma (Figura 2.14). Contudo, em relao

NBR 6118 (2014), a definio do autor consistir em uma altura inferior a 1/4 da

distancia entre as faces dos pilares e suas extremidades (Equao 2.5) em ambas

as direes. Alm disso, segundo o autor, a distribuio de tenses sobre o terreno

depender da rigidez relativa entre o solo e a sapata.

Onde:

4

)a(ah o

(2.5)

27

Figura 2.13- Distribuio de Tenses em Sapatas Flexveis

Fonte: BASTOS (2012: 07)

Figura 2.14 Sapatas Flexveis (Montoya)


Montoya et al. (2011) ainda relata que no caso de sapatas retangulares

frequente o uso em uma direo de balanos com dimenses menores que 2h e na

outra direo com dimenses maiores que 2h. Nesse caso, a sapata considerada

flexvel.

2.2 Dimensionamento Flexo

2.2.1 Dimensionamento de acordo com a NBR 6118 (2014)

Segundo a NBR 6118 (2014), as sapatas rgidas trabalham a flexo em

ambas as direes (a e b). Assim, para cada direo, a trao na flexo

considerada uniforme em sua largura (Figura 2.15). No caso da compresso na

flexo, as tenses se concentram na regio do pilar. Contudo, em sapatas muito

alongadas, em relao ao formato do pilar, a hiptese de trao na flexo no deve

ser aplicada.

28

Figura 2.15 Armaduras de Flexo de Sapata Rgida

Fonte:BASTOS (2012: 05)

Para as sapatas flexveis, a NBR 6118 (2014) afirma que a distribuio de

tenses de trao no uniforme em suas larguras (Figura 2.16). Na flexo, a

sapata flexvel trabalha em ambas as direes e deve ser avaliada quanto

concentrao de flexo junto ao pilar.

Figura 2.16 Momento Fletor na Sapata Flexvel

Fonte:BASTOS (2012: 06)

Ainda de acordo com a NBR 6118 (2014), para o clculo e dimensionamento

de sapatas flexo, podem ser utilizados modelos tridimensionais lineares, modelos

biela tirante tridimensional ou modelos de flexo. Desta forma, por no existir

especificao na mesma de critrios a serem adotados, o projetista de fundao

utiliza-se de literaturas nacionais.

Segundo Ishitani, Bella e Graziano (1998) os momentos caractersticos

atuantes em sapatas rgidas ou flexveis so verificados em sees afastadas a

oa 0,15 e ob0,15 das faces dos pilares nas sees 1-1 e 2-2 (Figura 2.17). Segundo

o autor, para sapatas rgidas, as respectivas armaduras so determinadas pelas

Equaes 2.6. 2.8.

29

Figura 2.17 Momento Atuante Segundo Ishitani, Bella e Graziano (1998)

Adaptado de: BASTOS (2012: 10)

Sendo na direo a dado por:

2

hhg oConcretob (2.6)

b2

0,15a2

aa

gab

GNM

2

o

o

b

bK

k

(2.7)

yd

k

sfd0,8

MA

f (2.8)

sA rea de armadura a flexo;

f Coeficiente de majorao das aes;

kM Momento caracterstico na seo considerada;

bG Peso prprio da sapata;

KN Fora axial caracterstica;


30

Concreto Peso especfico do concreto ;


Com:

5hd (2.9)

h Altura da sapata em centmetros. Neste caso, os 5 cm correspondem ao

cobrimento das armaduras;

O dimensionamento de sapatas flexveis quanto a NBR 6118 (2014) seguir o

modelo de flexo e ser determinado por tabelas de Pinheiro (2007), conforme

Anexo .

2.2.2 Dimensionamento de acordo com Montoya et al. (2011)

Montoya et al. (2011) considera para sapatas rgidas o modelo biela-tirante

(Figura 2.18). De acordo com o autor, o modelo exige o funcionamento eficaz do

tirante em todo o seu comprimento e sua rea de armadura em cada direo

determinada pelas Equaes 2.10 e 2.11.

Sendo:

yd

ds

f

TA (2.10)

6,8d

aaNT oSdd

(2.11)

dT Fora de clculo nos tirantes;


Com:

6hd (2.12)

h Altura da sapata em centmetros. Neste caso, os 6 cm correspondem ao

cobrimento das armaduras;

31

Figura 2.18 Dimensionamento Biela Tirante de Montoya et al. (2011)

Adaptado de: http://www.demecanica.com/Calculo_Normativa/Calculo_Normativa.htm

Em sapatas flexveis Montoya et al. (2011) determina que a atuao do

momento esteja afastada 0a 0,15 da face interna do pilar de acordo com a seo 2-2

(Figura 2.19) e 0b 0,15 na seo 1-1. Desta forma, as reas de armaduras sero

definidas pelas Equaes 2.13 a 2.19.

Figura 2.19 Momento Atuante Segundo Montoya et al. (2011)

Adaptado de: BASTOS (2012: 10)

cUU (2.13)

32

Com:

bdfU cdc (2.14)

0,721 (215)

ab

N Sdt (2.16)

2otd 0,15ab

2

1M (2.17)

dU

M

c

d (2.18)

U Fora mecnica do ao;

cU Fora mecnica do concreto;


Taxa mecnica;

Momento reduzido de clculo;


Balano de uma das dimenses da sapata;


cdf Resistncia de clculo do concreto a compresso;

Onde a rea de armadura ser:

yds

f

UA (2.19)

sA rea de armadura flexo;


33

Ainda de acordo com Montoya et al. (2011) o clculo da rea de ao

realizado em funo do maior valor do balano ( ) de acordo com a Figura 2.20 e

com as Equaes 2.20 e 2.21.

2

aa 0a

(Direo a) (2.20)

2

bb 0b

(Direo b) (2.21)

Figura 2.20 Formas Tpicas de uma Sapata Isolada (Montoya)

Adaptado de: MONTOYA; MESEGUER; CABR (2001: 506)

2.2.3 Dimensionamento de acordo com Wight e MacGregor (2009)

Wight e MacGregor (2009) afirmam que a verificao da armadura de flexo

realizada em ambas as direes em funo de uma seo crtica. Em sapatas com

pilares retangulares a seo critica, definida pelos autores, determinada na face do

pilar (Figura 2.21).

De acordo com os autores, em sapatas quadradas a distribuio da armadura

dever ser uniforme em ambas as direes. J no caso de sapatas retangulares h

uma concentrao da mesma prxima ao pilar. Assim, o clculo de sapatas

quadradas e retangulares ser determinado pelas Equaes 2.22 e 2.23.

2bM

2

td

(2.22)

djf

MA

yk

dS

(2.23)

34

Onde:


ykf Tenso caracterstica de escoamento do ao;

j Constante geralmente igual a 0,95;

t Tenso estimada do terreno para verificaes estruturais, dimensionado

pela Equao 2.16;

Balano de uma das dimenses da sapata, dimensionado pelas

Equaes 2.20 e 2.21;

Coeficiente de minorao de fora, geralmente na flexo considera-se

igual a 0,9 para deformaes 005,0t .

Sendo:

cob.hd (2.24)

h Altura da sapata;

cob. Cobrimento da armadura de flexo;

Dimetro da armadura de flexo;

Figura 2.21 rea Crtica de Sapatas Flexo (Wight e MacGregor)

Adaptado de: WIGHT e MACGREGOR (2009: 790)

35

2.3 Dimensionamento ao Cisalhamento


A NBR 6118 (2014) no possui tpicos especficos de dimensionamento ao

cisalhamento em sapatas. No entanto, segundo esta, deve ser verificado o efeito de

puno adotando-se os tpicos de verificao puno em lajes.

O modelo adotado pela NBR 6118 (2014) consiste na verificao do

cisalhamento em duas ou mais superfcies crticas. A primeira superfcie crtica

(contorno C) est na face do pilar e deve ser verificada a tenso de compresso

diagonal do concreto atravs da tenso de cisalhamento. J a segunda superfcie

(contorno C) est afastada 2d da face do pilar e deve ser verifica resistncia a

trao diagonal atravs de uma tenso cisalhante. As respectivas superfcies

crticas C e C podem ser observadas na Figura 2.22.

Segundo a NBR 6118 (2014), na sapata rgida o cisalhamento atuar em

ambas as direes, havendo apenas a necessidade de verificao da compresso

diagonal, j que, o efeito de trao diagonal no representa risco ruptura. De

acordo com a norma, a compresso diagonal localiza-se no interior do cone

hipottico de puno e a trao diagonal fora deste. Assim, em sapatas rgidas deve

ser verificado apenas o contorno C.

Figura 2.22 Permetro Crtico em Pilares Internos (NBR 6118)

Adaptado da: NBR 6118 (2014: 161)

Em sapatas flexveis o efeito de puno para a NBR 6118 (2014) deve ser

verificado trao e a compresso diagonal. Portanto, a verificao dever ser

realizada nos contornos C e C. Neste item a NBR 6118 (2014) apresenta uma

inconsistncia, pois a inclinao para classificao quanto rigidez diferente da

inclinao do cone de puno podendo ocorrer casos nos quais a sapata

36

classificada como flexvel e mesmo assim ainda encontra-se dentro do cone de

puno (Figura 2.23).

Figura 2.23 Inclinao do Cone de Puno e Inclinao Limite de Rigidez (NBR 6118)

Fonte: Prprio Autor (2015)

A altura til adotada pela NBR-6118 (2014) consiste em uma mdia das

alturas teis nas direes x e y ao longo do contorno C.

2

ddd

yx (2.25)

No contorno C, a NBR-6118 (2014) estabelece para pilar interno com

carregamento simtrico:

Rd2

o

Sd

Sd du

F (2.26)

Onde:

cdRd2f0,27 V (2.27)

c

ck

cd

ff (2.28)

SdF Fora Solicitante de clculo puno;


Rd2 Tenso resistente de compresso diagonal do concreto na superfcie

crtica C;

250

f1 ckV , com ckf em MPa ;

37


ou Permetro crtico no contorno C;

c Coeficiente de minorao do concreto, geralmente considerado para

aes normais;

Segundo a NBR 6118 (2014), o valor de Rd2 pode ser majorado em 20%

devido ao efeito de estado mltiplo de tenses junto ao pilar. No entanto, esta

condio no se aplica em sapatas isoladas.

A verificao do contorno crtico C em elementos estruturais ou trechos sem

armadura de puno dada pela NBR-6118 (2014) pelas Equaes 2.29 2.31.

Rd1

Sd

Sd ud

F (2.29)

Sendo:

1/3ckRd1 f100d2010,13 (2.30)

Com:

yx (2.31)


Rd1 Tenso resistente de trao diagonal do concreto na superfcie C;


x e y Taxas de armadura nas direes ortogonais. Em pilares centrais

consideram-se as dimenses afastadas 3d da face do pilar. No caso de proximidade

da borda, prevalece a distncia at a borda, quando menor que 3d.

Na presena de capitel (sapata de altura varivel), a NBR 6118 (2014) afirma

que a verificao do mesmo deve ocorrer nos contornos C1 e C2 como indicado na

Figura 2.24.

38

Figura 2.24 Permetros Crticos em Capitel (NBR 6118)

Adaptado da: NBR 6118 (2014: 164)

Onde:

d Altura til da seo, em capitis aplicada no contorno C2 ;

cd Altura til na face do pilar;

ad Altura til no contorno C1 ;

c Distancia entre a borda do capitel e a face do pilar; Quando:

dd2 cc Basta verificar o contorno C2;

ccc 2ddd2 Basta verificar C1;

cc 2d Verificar contornos C1 e C2;


De acordo com Montoya et al. (2011), a ruptura por cisalhamento deve ser

verificada de duas formas. A primeira, em uma nica direo, por efeito do esforo

cortante e a segunda nas duas direes, devido ao efeito de puno. Ainda

segundo o autor, o cisalhamento deve ser analisado apenas em sapatas flexveis.

O dimensionamento de sapatas, segundo Montoya et al. (2011), ao esforo

cortante segue o mesmo mtodo adotado pelo autor em vigas. Assim, o efeito do

esforo cortante precisa ser verificado a uma distncia d da face externa do pilar

na seo 2-2 (Figura 2.25).

39

Figura 2.25 Seo 2-2 sobre Atuao de Esforo Cortante (Montoya)

Fonte: MONTOYA; MESEGUER; CABR (2001: 511)

Segundo Montoya et al. (2011), a verificao ao cortante deve atender a

maior dimenso da sapata nas Equaes 2.32 a 2.38.

RdSdVV (2.32)

Onde:

dbV tsd (2.33)

bdfV cvRd (2.34)

cm

1/3

ckcv ff1000,12f (2.35)

1/2

ck

3/2

cm f0,05f (2.36)

d

2001 (2.37)

bd

A s (2.38)

SdV Esforo cortante solicitante de clculo;

RdV Esforo cortante resistente de clculo;


cvf Resistncia virtual ao cortante, com ckf em MPa;

40

cmf Resistncia virtual mnima ao cortante, com ckf em MPa;

Coeficiente para clculo de cvf com d em milmetros;


O efeito da puno para Montoya et al. (2011) considerado em sapatas

atuando a flexo em duas direes e depender de uma seo crtica a uma

distncia de 2d da face do pilar (Figura 2.26). Consequentemente, a seo crtica

se assemelha a adotada pela NBR 6118 (2014).

cvsdf (2.39)

Com:

duF

c

sd

sd (2.40)

Onde:


SdF Fora solicitante de clculo puno;

cu Permetro crtico puno de Montoya;

Figura 2.26 Seo Crtica Puno (Montoya)

Adaptado de: EUROCODE N2 (2004: 99)

41


Segundo Wight e MacGregor (2009), a verificao ao cisalhamento em

sapatas semelhante metodologia de Montoya et al. (2011). Contudo, o efeito de

cisalhamento em uma direo, devido ao esforo cortante, verificado por fissuras

inclinadas ao longo da largura da pea. J o efeito por cisalhamento em duas

direes, devido puno, verificado por fissuras na forma piramidal.

Segundo Wight e MacGregor (2009), a ruptura por cisalhamento em uma

direo determinante nas sapatas corridas e nas sapatas isoladas retangulares. O

dimensionamento se assemelha ao de vigas chatas e deve ser verificado com as

Equaes 2.41 a 2.43. No entanto, este deve ser verificado tanto em sapatas

quadradas quanto em retangulares (Figura 2.27).

cSdVV (2.41)

Onde:

bdV tSd (2.42)

ckcf2,62d2bV (2.43)


cV Fora resistente do concreto ao cisalhamento, com ckf em

2kN/m ;

t Tenso estimada do terreno para verificaes estruturais, dimensionado

pela Equao 2.16;

Coeficiente de minorao de fora, geralmente no cisalhamento

considerado igual a 0,75;


Balano de uma das dimenses da sapata, dimensionado pelas

Equaes 2.20 e 2.21;

42

Figura 2.27 Cisalhamento em uma Direo (Wight e MacGregor)

Adaptado de: WIGTH e MACGREGOR (2009: 823)

Em sapatas isoladas quadradas o efeito de puno predominante. Assim o

permetro crtico (Figura 2.28) poder ser determinado pela Equao 2.44.

d)2(bda2u oom (2.44)

Sendo:


Figura 2.28 Cisalhamento em duas Direes e Efeito de Puno (Wight e MacGregor)

Adaptado de: WIGTH e MACGREGOR (2009: 823)

43

Ainda segundo os autores, a verificao puno deve satisfazer as

Equaes 2.45 2.49.

cSdVV (2.45)

Com:

dbdaabV ootSd (2.46)

ckm

c

c f2,63du

42V

(2.47)

Onde:


cV Fora resistente do concreto ao cisalhamento, com ckf em

2kN/m ;


ckf Resistncia caracterstica do concreto a compresso;


Coeficiente de minorao de fora, geralmente no cisalhamento

considerado igual a 0,75;

c Razo entre a maior dimenso e a menor dimenso do pilar, ou seja:

o

o

ca

b (2.48)

Segundo Wight and MacGregor (2009), a seguinte condio deve ser

atendida quanto ao valor mximo considerado de resistncia, onde:

42u

d

42

mc

s

(2.49)

44

Os valores de s para pilares ainda de acordo com Wight e MacGregor (2009)

so:

40s , para pilares de centro;

30s , para pilares de borda;

20s , para pilares de canto;

45

3 EXEMPLOS DE DIMENSIONAMENTO

Neste captulo sero apresentados alguns exemplos de dimensionamento de

sapatas isoladas rgidas e flexveis, utilizando os processos de clculos

apresentados no captulo 02. Sero considerados no clculo os diferentes

coeficientes de majorao das normas, assim como os valores de armadura mnima.

No primeiro exemplo a sapata ser rgida pela NBR 6118 (2014) e por Montoya et al.

(2011). No segundo exemplo a sapata ser flexvel para ambas. E no ltimo

exemplo a sapata ser flexvel para a NBR 6118 (2014) e rgida para Montoya et al.

(2011). No entanto, o dimensionamento de Wight e MacGregor (2009) ser

considerado nos trs exemplos independente da rigidez.

3.1 Exemplo 1

Verificar a sapata da figura 3.1 com um pilar de seo 20 x 75 cm. Adotar

rodap ( oh ) de 25 cm, concreto C30 e ao CA-50. So tambm conhecidos:

KN 2400 kN ; KfSd NN

Cf 1,4 e 15,1S (NBR 6118);

Cf 1,5 e 15,1S (Montoya et al.);

f 1,4 (Wight e MacGregor);

Figura 3.1 Dimenses: Exemplo 01

Fonte: Prprio autor (2014)

46


A verificao da rigidez da sapata dada pela Equao 2.1 e sabe-se que a

altura da mesma de 70 cm ( 270cma ; 215cmb ; 75cma o ; 20cmbo ).

cm 65cm 70hcm 65

3

75270

3

aa o

(Sapata Rgida)

cm 65cm 70hcm 65

3

20215

3

bb o

(Sapata Rgida)

a) Dimensionamento flexo

No clculo das armaduras de flexo adotar as Equaes 2.6 a 2.9 (Sabe-se

que o peso especfico do concreto kN/m 25Concreto ).

62,11kN25kN/m30,450,155,8050,155,8050,255,805Gb

/88,112

0,250,752g b mkN

mkN 12,2452,152

0,750,152

0,752,70

11,882,152,70

62,114002M

2

ka

mkN 13,6252,702

0,200,152

0,202,15

11,882,152,70

62,114002M

2

kb

cm 655705hdd ba

/48,4315,1

50

ff

s

ck

yd cmkN

cm/m 1,152,15

32,46cm 46,32

1,1550650,8

kN.cm 524121,4

fd0,8

MA

yda

ka

sa

f

cm/m 90,212,70

34,81cm 81,34

1,1550650,8

kN.cm 562131,4

fd0,8

MA

ydb

kb

sb

f

47

necessria a verificao da armadura mnima de acordo com Ishitani, Bella

e Graziano (1998) na Equao 3.1.

cm/m 7

100

701000,10,1%bhAsmin

(3.1)

c/13 16 cm/m 1,15AAA samins,sa

c/13 16 cm/m 90,12AAA sbmins,sb

No detalhamento de sapatas rgidas a taxa de armadura considerada

uniformemente distribuda em as ambas s direes. Para o Exemplo 1 o mesmo

encontra-se na Figura 3.2. Adotar cobrimento de 5cm.

Figura 3.2 Detalhamento: Exemplo 01 (NBR 6118)


b) Dimensionamento ao cisalhamento

Em sapatas rgidas o dimensionamento consiste apenas em verificao do

contorno C (Figura 3.3) nas Equaes 2.25 a 2.28. O clculo de xd e yd deve

atender as Equaes 3.2 e 3.3.

48

cm 2,46

2

1,6570

2cob.hdx

(3.2)

cm ,6261,62,64dd xy

(3.3)

cm 4,36

2

62,664,2

2

ddd

yx

c

Figura 3.3 Contorno C: Exemplo 01 (NBR 6118)


cm 19020752ba2u ooo

MPa 79,2kN/cm 0,27963,4190

3360

du

FkN 360340021,4F

o

SdSdSd

5,09MPa

1,4

30

250

3010,27f0,27 cdVRd2

Ok! Rd2Sd



altura da mesma de 70 cm.

48,75cmcm 70h 48,75cm

4

75270

4

aa o

(Sapata Rgida)

49

cm 48,75cm 70hcm 48,75

4

20215

4

bb o

(Sapata Rgida)


As reas de armaduras sero calculadas de acordo com as Equaes 2.10

2.12.

cm 646706hdd ba

/47,4315,1

50cmkN

ff

s

yk

yd

Montoya et al. (2011) em sapatas rgidas

limita /40 cmkNf yd .

kN 05,1613

646,8

7527024001,5

6,8d

aaNT oSdda

cm 33 40,40

1613,05

f

TA

yd

dasa (Direo a)

kN 05,1613

646,8

2021524001,5

6,8d

bbNT oSddb

cm 33,4040

1613,05

f

TA

yd

dasb (Direo b)

necessria a verificao da armadura mnima de acordo Montoya et al.

(2011) na Equao 3.4.

0,09% min (3.4)

Ok! % 0,29 0,0029

64 215

40,33

bd

A min

saa

Ok! % 0,23 0,0023

64 270

40,33

ad

A min

sbb

c/10 16 cm/m 76,182,15

40,33 cm 33,40Asa

50

c/10 16 cm/m 94,412,70

40,33cm 33,04Asb




Figura 3.4 Detalhamento: Exemplo 01 (Montoya)



Segundo Montoya et al. (2011) no h necessidade de verificao ao

cisalhamento em sapatas rgidas.



As respectivas armaduras sero calculadas pelas Equaes 2.22 a 2.24.

Adotar cobrimento de 3 in (polegadas) que equivalem a 7,6 cm.

kN 3360N4,1N KSd

51

kN/m 81 578,2,15 2,70

3360

ab

N Sdt

cm 97,52

75270a

cm 5,792

20215b

cm 60,81,67,670cob.hd

cmkN 59150mkN 50,5912

0,9752,1581,578M

2

da

cmkN 74281mkN 81,7422

0,9752,7081,578M

2

db

cm/m ,5801

2,15

22,76cm 76,22

60,80,95500,9

59150ASa

cm/m 58,10

2,70

28,58cm 58,28

60,80,95500,9

74281ASb

Segundo Wight e MacGregor (2009), a armadura mnima deve ser calculada

pela Equao 3.5.

0,0018bh Asmin (3.5)

cm/m 12,670 100 0,0018A b"" e a"" Direo smin

c/15 16 barras 14cm 27,09cm/m 6,21AAA sasminsa

c/15 16 barras 17cm 34,02cm/m 6,21AAA sbsminsb

necessria a verificao do momento mximo permitido em cada direo de

acordo com Wight e MacGregor (2009) nas Equaes 3.6 e 3.7.

MXdMM (3.6)

52

b1,7f

fAdfAM

ck

yks

yksMX (3.7)

a"" DireocmkN 261272153,01,7

5027,0960,8500,9027,09Ma

MX

Ok!MaMMXda

b"" DireocmkN 911882703,01,7

5034,0260,8500,9034,02Mb

MX

Ok!MbMMXdb

O detalhamento na maior direo de sapatas retangulares concentra-se

prximo ao pilar (Figura 3.5) de acordo com a Equao 3.8.

Figura 3.5 Concentrao de Armadura (Wight e MacGregor)


sbA de barras de n

b

a1

2xba

(3.8)

mm 16 1517

2,15

2,701

2x

53

O detalhamento de Wight e MacGregor (2009) considera a concentrao de

barras de ao na maior direo de acordo com a Figura 3.6.

Figura 3.6 Detalhamento: Exemplo 01 (Wight e MacGregor)



O cisalhamento em uma direo deve ser verificado pelas Equaes 2.41 a

2.43. Em sapatas retangulares acontecer na maior direo.

kN 71,4562,15 0,6080,97581,578bdV atSd

kN 098300002,620,750,6082,152f2,62d2bV ckc

!Ok cSd VV

Segundo Wight e MacGregor (2011) o cisalhamento em duas direes

dificilmente causar problemas em uma sapata retangular. No entanto, sua

verificao determinada pelas Equaes 2.44 a 2.49.

54

cm 433,260,8)2(20,806752um

kN 88 2724, 0,6080,20 ,60800,7515,2702,81,578VSd

A condio da Equao 2.49 deve atender a um menor coeficiente para a

equao 2.47.

75,320

75c

07,33,75

42

61,72433,2

8,600440

s

61,7407,3

kN 62273000063,2608,04,33275,007,3Vc

Ok!kN 2762VVV SdcSd

Como forma comparativa com os mtodos de verificao puno da NBR

6118 (2014) e de Montoya et al. (2011), ser calculada a tenso solicitante e a

tenso resistente puno.

MPacmkNSd 03,1/103,08,602,433

88,2724kN 88,2724VSd

MPacmkNc 05,1/105,08,602,433

2762kN 2762Vc

55

3.2 Exemplo 2

Verificar a sapata da figura 3.7 com um pilar de seo 20 x 75 cm. Adotar


KN 400 kN ; KfSd NN

Cf 1,4 e 15,1S (NBR 6118);





3.2.1 Dimensionamento de acordo com NBR 6118 (2014)


altura da mesma de 45 cm ( 0cm72a ; cm 512b ; cm 75a o ; cm 02bo ).

cm 65 cm 54hcm 65

3

75270

3

aa o

(Sapata Flexvel)

cm 65cm 54hcm 65

3

20215

3

bb o

(Sapata Flexvel)

56


Considerar as Equaes 2.6 e 2.7 para o clculo dos momentos (Sabe-se

que o peso especfico do concreto 25kN/mConcreto ).

kN 40,43kN/m 2530,250,155,8050,155,8050,20805,5Gb

/13,82

0,200,4552gb mkN

mkN 86,772,152

0,750,152

0,752,70

8,132,152,70

43,40400M

2

ka

mkN 93,062,702

20,00,152

0,202,15

13,82,152,70

43,40400M

2

kb

cm 405455hdd ba

/48,4315,1

50

ff

s

yk

yd cmkN

flexo) de (Tabelas 023,056,3586774,1

40270

M

daKa"" Direo

ka

C

S

f

K

flexo) de (Tabelas 023,040,2693064,1

40215

M

dbKb"" Direo

ka

C

S

f

K

3,3cm/m2,157,0cm 7,0

40

67781,40,023

d

MKA kafssa

cm/m 2,82,707,57,5cm

40

30691,40,023

d

MKA kbfssb



cm/m 4,5100

451000,1Asmin

57

cm 9,7 8c/11 cm/m 4,5AAA sasminsa

cm 12,2 c/11 8 cm/m 5,4AAA sbsminsb

Em sapatas flexveis, a concentrao de flexo junto ao pilar (Figura 3.8)

pode ser resolvida por Ishitani, Bella e Graziano (1998) nas Equaes 3.9 e 3.10.

Figura 3.8 Concentrao de armadura (NBR 6118)


(3.9)

(3.10)

Armadura na faixa central:

Armadura nas faixas laterais:

6,3c/12 cm/m 2,52,15)(2,70

cm 1,410,8212,2AA Conc.S,Sb

Pode-se adotar 8c/10 em toda a largura para ambas as direes como

forma de simplificao da verificao ao cisalhamento. O detalhamento da sapata

est representado na Figura 3.9. Adotar cobrimento de 5cm.

Sa

S2AA SbConcS,

2ha

bSba

o

cm 165452752ha

cm 215bS

o

c/10 8 5cm/m2,15

cm 10,82

215270

215212,2A ConcS,

58

cm 10,75 8c/10 cm/m 5Asa

cm 13,5 c/10 8 cm/m 5Asb




A verificao ao cisalhamento em sapatas flexveis com capitel deve atender

as Equaes 2.25 a 2.28 no contorno C. No clculo de dc ser utilizado as

Equaes 3.2 e 3.3.

cm 6,932

0,8545

2cob.hdx

cm 8,388,06,39dd xy

cm 2,39

2

8,386,39

2

ddd

yx

c

cm 19020752ba2u ooo (Semelhante ao Exemplo 01)

59

MPa 0,750,075kN/cm2,39190

560

du

FkN6050041,4F

o

SdSdSd

5,09MPa

1,4

30

250

3010,27f0,27 cdVRd2

Ok! Rd2Sd

Segundo a NBR 6118 (2014) em sapatas de altura varivel os contornos C1 e

C2 devem ser verificados. No entanto, o contorno C2 localiza-se fora das dimenses

em planta da mesma. Dessa forma, o contorno C1 consiste no nico contorno C a

atender as Equaes 2.29 a 2.31. Para o clculo de ha ser utilizado a Equao

3.11 especificada na Figura 3.10.

Figura 3.10 Contornos C e C: Exemplo 02 (NBR 6118)


cm5,792

20215

2

75702c

c

cco

oa

dhhhh

2 (3.11)

cm 24,90

97,5

39,2297,5204520h a

cm 19,5

2

0,8524,90dax

cm 18,78,05,19day

60

0,43MPa0,043kN/cm19,16,826

4001,4Sd

No clculo das taxas geomtricas ser adotada a Equao 3.12 para a altura

til da Figura 3.11 .

Figura 3.11 Altura til a 3d da Face (NBR 6118)


c

aco

o3d

3dhhhh

(3.12)

cm 30,31

97,5

19,1397,5204520h3d

cm91,24

2

0,8531,30d3dx

24,11cm8,091,24d3dy

00166,031,30270

barras 27503,0

bh

Asxx

cm 19,12

18,719,5da

cm 682,62,39475202ud4ba2u11 c'cooc'

24,51cm2

11,2491,24d3d

61

00170,031,30215

barras 22503,0

bh

Asyy

00168,000170,000166,0

0,45MPa300,001681001,192010,13 1/3Rd1

Rd1Sd MPa 0,43 A sapata resiste no contorno C1!




cm 48,75cm 45h48,75cm

4

75270

4

aa o

(Sapata Flexvel)

cm 48,75cm 45hcm75,48

4

20215

4

bb o

(Sapata Flexvel)



2.21.

kN/m 3,4012,152,7

0041,5

ab

N Sdt

cm396456hdd ba

m 0,975cm 97,52

75270

2

aa 0a

b

mkN 46,3110,750,150,9752,153,4012

1M

2

da

mkN 99,1400,200,150,9752,703,4012

1M

2

db

20000kN/m20MPa1,5

30

ff

c

ck

cd

62

kN 167700,392,1500002bdfU cdca

kN 210600,392,7020000adfU cdcb

0,02010,3916770

131,46

dU

M

ca

daa

0172,00,3921060

99,140

dU

M

c

db

0204,00,02010,7210,0201a

0174,00,01720,7210,0172b

kN 342,11 16770 0,0204UU caaa

kN 44,663 21060 0,0174UU cbbb

kN/cm 43,48434,8N/mm1,15

N/mm 500

ff

s

yk

yd

cm 7,8743,48

342,11

f

UA

yd

asa

cm 8,4343,48

366,44

f

UA

yd

bsb

necessria a verificao da armadura mnima de acordo com segundo

Montoya et al. (2011) na Equao 3.4.

Ok! 0,094% 0,00094

39 215

7,87

bd

A min

saa

Ok! No 0,08% 0,00080

93 270

8,43

ad

A min

sbb

8c/13 cm/m 66,3cm 87,7Asa

8c/13 cm/m 51,3cm 48,993 270 0,0009daAA minSminsb

63

0,0010293215

8,55cm 55,8A8mm 17A aSaSa

0,001093270

10,56cm 10,56A8mm 12A bSbSb

A concentrao de flexo junto ao pilar (Figura 3.12) pode ser resolvida por

Ishitani, Bella e Graziano (1998) nas Equaes 3.9 e 3.10. Adotar cobrimento de

6cm.



mm 8 2AA Conc.S,Sb



cm 165452752ha

cm 215bS

o

cm 9,56mm 8 19215270

2152)mm 8 (21A ConcS,

64


No cisalhamento Montoya et al. (2011) recomenda as Equaes 2.32 a 2.40.

kN 05,1300,390,9752,15103,4dbV tsda

kN 32,1630,390,9752,70103,4daV tsdb

716,1390

2001

d

2001

a"" Direo299kN/m0,299N/mm300,001021001,7160,12f 1/3cva

b"" Direo297kN/m0,297N/mm300,00101001,7160,12f 1/3cvb

kN/m1660,616N/mm301,7160,05f 1/23/2cm

kN/m166fff cvacmcva

kN/m166fff cvbcmcvb

kN 52,5160,392,15616dbfV cvaRda

kN 65,6480,392,70616dafV cvbRdb

RdaSda VV Resiste ao cortante! (Situao Crtica)

RdbSdb VV Resiste ao cortante!

A pior situao acontece para o maior balano. No entanto, neste caso em

que os balanos so iguais, ser considerado para a maior direo.

m 80,60,750,220,394ba2d4u ooc

kN600NF Sdsd

cvSdsd fkN/m 226,24

0,3980,6

600 Resiste puno!

65





560kNN4,1N KSd

kN/m 47,6970,215,2

560

ab

N Sdt

cm 5,792

57702a

b

cm ,15631,257,645d

cmkN 8589mkN 58,892

0,9752,1547,69M

2

da

cmkN 38021mkN 123,802

0,9752,7047,69M

2

db

cm/m 32,156,38cm 6,38

,15630,95500,9

9858ASa

cm/m 32,708,0cm 0,8

15,630,95500,9

12380ASb


pela Equao 3.5.

cm/m 8,1540010,0018A b"" e a"" Direo smin

c/15 12,5 barras 41cm 42,712,158,18,1cm/mAAA sasminsa

c/15 12,5 barra 18cm 87,122,701,8cm/m 8,1AAA sbsminsb s


acordo com Wight e MacGregor (2009) nas Equaes 3.6 e 3.7.

66

cmkN 771522153,01,7

5017,4236,15500,9017,42Ma"" Direo

MX

Ok!MMMXda

cmkN 479632703,01,7

50,871215,63500,9087,21Mb"" Direo

MX

Ok!MMMXdb



mm 12,5 1618

2,15

2,701

2x


barras de ao na maior direo de acordo com a Figura 3.13.



67




kN 25,1272,15 0,36150,97547,69bdV atSd

kN05,295300002,6275,00,36152,152f2,62d2bV ckc

!Ok cSd VV




cm 6,334,15)632(2015,36752um

kN80,4990,36150,20,361500,7515,2702,47,96VSd


Equao 2.47.

75,320

75 c

07,33,75

42

32,62334,6

15,360440

s

32,6407,3

kN7,12683000063,21563,03,34675,007,3Vc

Ok!kN 68,721VVV SdcSd


6118 (2014) e de Montoya et al. (2011), ser calculada a tenso solicitante e a

tenso resistente puno.

68

MPacmkNSd 41,0/041,015,366,334

80,499kN 80,499VSd

MPacmkNc 05,1/105,015,366,334

7,1268kN 7,1268Vc

69

3.3 Exemplo 3

Verificar a sapata da Figura 3.14 com um pilar de seo 20 x 75 cm. Adotar


KN 1700 KN ; KfSd NN

Cf 1,4 e 15,1S (NBR 6118);







altura da mesma de 60 cm ( cm 270a ; cm 215b ; cm 75a o ; cm 02bo ).

cm 65cm 60hcm 56

3

57702

3

aa o

(Sapata Flexvel)

cm 65cm 60hcm 56

3

20215

3

bb o

(Sapata Flexvel)

70


Considerar as Equaes 2.6 e 2.7 para o clculo dos momentos (Sabe-se

que o peso especfico do concreto 25kN/mConcreto ).

kN 51,9825KN/m30,400,155,8050,155,8050,25,805G b

kN/m 102

0,20,625g b

mkN 37115,22

75,00,152

0,752,70

012,152,70

51,981700M

2

ka

mk 89,39770,22

20,00,152

0,202,15

012,152,70

51,981700M

2

kb

N

cm 555605hdd ba

kN/cm 43,481,15

50

ff

s

ck

yd

flexo) de (Tabelas 024,072,15371004,1

55270

M

daKa"" Direo

ka

C

S

f

K

flexo) de (Tabelas 024,068,11397894,1

55215

M

dbKb"" Direo

ka

C

S

f

K

cm/m 54,102,1522,66cm 66,2255

371001,40,024

d

MKA kafsasa

cm/m 92,7024,31cm 31,2455

789931,40,024

d

MKA kbfsbsb



cm/m 6100

601000,1A smin

71

/11c 12,5 cm/m 54,01AAA sasminsa

c/11 12,5 cm/m 9AAA sbsminsb

Em sapatas flexveis, a concentrao de flexo junto ao pilar (Figura 3.8)

pode ser resolvida por Ishitani, Bella e Graziano (1998) nas Equaes 3.9 e 3.10.



c/15 10 cm/m 52,15)(2,70

cm 2,7621,5531,42AA Conc.S,Sb

Pode-se adotar c/12 12,5 em toda a largura para ambas as direes como

forma de simplificao da verificao ao cisalhamento. O detalhamento da sapata

est representado na Figura 3.15. Adotar cobrimento de 5cm.



cm 951062752ha

cm 215bS

o

c/12 12,5 cm/m 012,15

cm 21,55

215270

215231,42A ConcS,

72


A verificao ao cisalhamento em sapatas flexveis com capitel deve atender

as Equaes 2.25 a 2.28 no contorno C. No clculo de dc ser utilizado as

Equaes 3.2 e 3.3.

cm5,792

20215

2

75702c

cm 4,452

1,25560

2cob.hdx

cm 2,5325,14,54dd xy

cm 8,53

2

2,534,54

2

ddd

yx

c

cm 19020752ba2u ooo (Semelhante ao Exemplo 01)

MPa 33,2kN/cm 332,08,53190

2380

du

FkN 238070011,4F

o

SdSdSd

Ok! 5,09MPa1,4

30

250

3010,27f0,27 Rd2SdcdVRd2

De acordo com a Figura 3.16 os contornos C1 e C2 esto fora das dimenses

em planta da sapata. Desta forma, a sapata localiza-se dentro do cone hipottico de

puno e no h como verificar o mesmo.

Figura 3.16 Contorno C1 Fora da Sapata (NBR 6118)


73




48,75cmcm 60h 48,75cm

4

75270

4

aa o

(Sapata Rgida)

48,75cmcm 60h 48,75cm

4

20215

4

bb o

(Sapata Rgida)

a) Dimensionamento flexo:


2.12.

cmhdd ba 546606

/47,4315,1

50cmkN

ff

s

yk

yd

Montoya et al. (2011) em sapatas rgidas

limita /40 cmkNf yd .

kN 54,231

546,8

7527070011,5

6,8d

aaNT oSdda

cm 85,3340

1354,2

f

TA

yd

dasa (Direo a)

kN 2,1354

546,8

2021570011,5

6,8d

bbNT oSddb

cm 85,3340

1354,2

f

TA

yd

dbsb (Direo b)

necessria a verificao da armadura mnima de acordo com Montoya et al.

(2011) na Equao 3.4.

0,09% min

Ok! 0,29% 0,002954215

33,85

bd

A min

saa

74

Ok! 0,23% 0,002354270

33,85

ad

A min

sbb

16c/12 cm/m 74,512,15

33,85cm 85,33Asa

16c/12 cm/m 54,212,70

33,85cm 85,33Asb







Segundo Montoya et al. (2011) no h necessidade de verificao ao

cisalhamento em sapatas rgidas.





75

kN 2380N1,4N KSd

kN/m 41015,270,2

2380

ab

N Sdt

cm 97,52

75270a

b

cm 15,151,257,660d

cmkN 41899mkN 99,4182

0,9752,15410M

2

da

cmkN 52617mkN 17,5262

0,9752,70410M

2

db

cm/m 91,8cm ,1691

51,150,95500,9

41899Asa

cm/m 91,8cm 06,2451,150,95500,9

52617Asb


pela Equao 3.5.

cm/m 10,860 100 0,0018A b"" e a"" Direo smin

11c/ 12,5 barras 19cm 23,22cm/m 10,8AAA sasminsa

11c/ 12,5 barras 24cm 29,16cm/m 10,8AAA sbsminsb


acordo com Wight e MacGregor (2009) na Equao 3.6 e 3.7.

MXdMM

a"" DireocmkN 523402153,01,7

5023,2251,15500,9023,22M

MX

Ok!MMMXda

76

b"" DireocmkN 65729,62703,01,7

5029,1651,15500,9029,16M

MX

Ok!MMMXdb



mm 12,5 2242

2,15

2,701

2x


barras de ao na maior direo (Figura 3.18).






77

kN 58,4082,15 0,51150,975410bdV atSd

kN 748,6300002,620,750,51152,152f2,62d2bV ckc

!Ok cSd VV




cm 6,39451,15)2(2015,15752um

kN 05,2012 0,51150,200,51150,752,152,70410VSd


equao 2.47.

75,320

75 c

07,33,75

42

18,72394,6

15,510440

s

18,7407,3

)(Ok! VV51153,946V cSdc kN99,21163000063,2,075,007,3


6118 (2014) e de Montoya (2011), ser calculada a tenso solicitante e a tenso

resistente puno.

MPacmkNSd 0,1/1,015,516,394

05,2012kN 05,2012VSd

MPacmkNc 05,1/105,015,516,394

99,2116kN 99,2116Vc

78

3.4 Anlise dos Resultados

Os resultados dos exemplos flexo localizam-se na Tabela 01 de acordo

com os critrios da NBR 6118 (2014), Montoya et al. (2011) e Wight e MacGregor

(2009).

Os valores das armaduras consideradas pelo modelo de Wight e MacGregor

(2009) em todos os casos foram os mnimos.

TABELA 01 Dimensionamento flexo

EXEMPLOS CARGA

(kN) CRITRIO

FLEXO (cm)

Asa Asb

1 2400

NBR 6118 (RGIDA)

32,46 (17 16 mm)

34,81 (21 16 mm)

MONTOYA (RGIDA)

40,33 (21 16 mm)

40,33 (27 16 mm)

WIGHT E MACGREGOR

27,09 * (14 16 mm)

34,02 * (17 16 mm)

2 400

NBR 6118 (FLEXVEL)

10,75 * (22 8 mm)

13,5 * (27 8 mm)

MONTOYA (FLEXVEL)

8,55 (17 8 mm)

10,56 * (21 8 mm)

WIGHT E MACGREGOR

17,42 * (14 12,5 mm)

21,87 * (18 12,5 mm)

3 1700

NBR 6118 (FLEXVEL)

22,66 (18 12,5 mm)

24,31 (22 12,5 mm)

MONTOYA (RGIDA)

33,85 (18 16 mm)

33,85 (22 16 mm)

WIGHT E MACGREGOR

23,22 * (19 12,5 mm)

29,16 * (24 12,5 mm)

*Valores de armadura mnima

No Exemplo 01, as reas calculadas pela NBR 6118 (2014), de acordo com a

Tabela 01, apresentaram diferenas em relao ao mtodo de Montoya (2011) na

maior direo de 24% e na menor direo de 16%. Comparando os valores da NBR

79

6118 (2014) com o mtodo de Wight e MacGregor (2009), a diferena na maior

direo diminui para 17% e na menor direo para 2%.

No Exemplo 02, as reas de armaduras da NBR 6118 (2014) apresentaram

valores maiores que as de Montoya et al. (2011). A diferena entre ambos de acordo

com a Tabela 01 foi entre 20% a 22%. No entanto, em relao a NBR 6118 (2014)

os valores de Wight e MacGregor (2009) foram superiores a 60%.

No Exemplo 03, as reas de armadura da NBR 6118 (2014) foram menores

que as de Montoya et al.(2011), com diferena entre ambos de no mximo 49%. J

Wight e MacGregor (2009), apresentaram em relao a NBR 6118 (2014) valor mxi

mo na menor direo de 20%.

O cisalhamento apresenta-se na Tabela 02 e ser analisado em todos os

exemplos.

No Exemplo 01, o cisalhamento a puno de acordo com a NBR 6118 (2014)

apresentou tenso solicitante igual a 55% do limite resistente. Para Wight e

MacGregor (2009) a tenso solicitante atingiu a sua capacidade mxima resistente.

De acordo com a Tabela 02, o esforo cortante solicitante no Exemplo 01

apresentou-se aproximadamente igual metade de sua tenso limite.

No Exemplo 02, o esforo cortante adotado por Montoya (2011) e por Wight e

MacGregor (2009) corresponderam a 25% (aproximadamente) da sua mxima

capacidade de resistncia. No cisalhamento puno, a NBR 6118 (2014) foi a mais

criteriosa. A tenso devido trao diagonal (Contorno C) apresentou-se no limite

de sua capacidade.

Na Tabela 02, as tenses solicitantes para o Exemplo 02, consideradas tanto

para Montoya (2011) quanto para Wight e MacGregor (2009) apresentaram valores

entre 37 e 39% da tenso resistente de cada respectivamente.

No Exemplo 03, o esforo cortante solicitante para o modelo de Wight e

MacGregor (2009) atingiu a metade de sua mxima capacidade. Na puno, a NBR

6118 (2014), verifica apenas a compresso diagonal. Neste caso, a verificao da

trao diagonal tornou-se impossibilitada, pois a sapata flexvel encontra-se dentro

80

do cone hipottico de puno. Por outro lado, a tenso solicitante puno para

Wight e MacGregor (2009) atinge a sua mxima capacidade.

TABELA 02 Dimensionamento ao cisalhamento

EXEMPLOS CARGA

(kN) CRITRIO

CISALHAMENTO

CORTANTE PUNO

1 2400

NBR 6118 (RGIDA)

NO VERIFICA CONTORNO C

Sd = 2,79 Mpa Rd2 = 5,09 Mpa

CONTORNO C' NO VERIFICA

MONTOYA (RGIDA)

NO VERIFICA NO VERIFICA

WIGHT E MACGREGOR

VSd = 456,71 kN Vc = 890 kN

Sd = 1,03 Mpa c = 1,05 Mpa

Dimensionamento de Sapatas Isoladas: Estudo Comparativo NBR 6118 (2014), Montoya (2011) e Wight e...

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