Dimensionamento de Vigas à força Cortante

UNIVERSIDADE ESTADUAL PAULISTA UNESP - Campus de Bauru/SP

FACULDADE DE ENGENHARIA Departamento de Engenharia Civil

Disciplina: 1309 - ESTRUTURAS DE CONCRETO II

NOTAS DE AULA

DIMENSIONAMENTO DE VIGAS DE CONCRETO ARMADO À

FORÇA CORTANTE

Prof. Dr. PAULO SÉRGIO DOS SANTOS BASTOS (wwwp.feb.unesp.br/pbastos)

Bauru/SP Março/2008

APRESENTAÇÃO

Esta apostila tem o objetivo de servir como notas de aula na disciplina

1309 – Estruturas de Concreto II, do curso de Engenharia Civil da Faculdade de Engenharia, da

Universidade Estadual Paulista - UNESP – Campus de Bauru.

O texto apresenta a análise teórica e os procedimentos aplicados pela nova NBR

6118/2003 (“Projeto de estruturas de concreto – Procedimento”) para o projeto de vigas de

concreto armado à força cortante.

A nova metodologia apresentada na NBR 6118/2003, embora continue considerando a

analogia de treliça, em alguns aspectos difere significativamente daqueles constantes da NBR

6118/80 (NB 1/78). A NBR 6118/2003 admite como hipótese básica a analogia com o modelo

em treliça, de banzos paralelos, associada a mecanismos resistentes complementares

desenvolvidos no interior do elemento estrutural e traduzidos por uma componente adicional Vc.

A verificação do elemento estrutural à força cortante é sugerida com base em dois modelos de

cálculo, chamados Modelos de Cálculo I e II. Uma das principais inovações está na possibilidade

de se poder considerar inclinações variáveis (30° ≤ θ ≤ 45°) para as diagonais comprimidas

(bielas de compressão).

De modo geral, a nova metodologia segue o MC-90 do CEB-FIP e o Eurocode 2, com

algumas modificações e adaptações.

Apesar das modificações introduzidas foi possível simplificar o equacionamento,

possibilitando a automatização manual dos cálculos de dimensionamento, com conseqüente

ganho de tempo nos cálculos.

O autor agradece ao Prof. Luttgardes de Oliveira Neto pelo auxílio e discussão, que

contribuíram para melhorar a qualidade do texto e dos exemplos.

Agradecimento especial à ex-aluna Cristiane Pegoraro Xavier, que fez os estudos iniciais

do texto sobre força cortante na NBR 6118/2003.

Agradecimento também ao técnico Éderson dos Santos Martins, pela confecção dos

desenhos.

Quaisquer críticas e sugestões serão muito bem-vindas, pois assim a apostila poderá ser

melhorada.

SUMÁRIO

1. INTRODUÇÃO .....................................................................................................................1 2. REGIÕES DE ANÁLISE .....................................................................................................1 3. COMPORTAMENTO DE VIGAS HOMOGÊNEAS NO ESTÁDIO I...........................2 4. COMPORTAMENTO RESISTENTE DE VIGAS SUBMETIDAS À FLEXÃO E À FORÇA CORTANTE...................................................................................................................4 5. MECANISMOS BÁSICOS DE TRANSFERÊNCIA DA FORÇA CORTANTE.........10

5.1 Ação de Arco ....................................................................................................................12 5.2 Concreto Comprimido Não Fissurado..............................................................................13 5.3 Transferência na Interface das Fissuras Inclinadas ..........................................................13 5.4 Ação de Pino da Armadura Longitudinal .........................................................................15 5.5 Tensões Residuais de Tração............................................................................................18 5.6 Armaduras Longitudinal e Vertical ..................................................................................18

6. FATORES QUE INFLUENCIAM A RESISTÊNCIA À FORÇA CORTANTE .........18 6.1 Tipo de Carregamento ......................................................................................................19 6.2 Posição da Carga e Esbeltez .............................................................................................19 6.3 Tipo de Introdução da Carga ............................................................................................19 6.4 Influência da Armadura Longitudinal ..............................................................................19 6.5 Influência da Forma da Seção Transversal.......................................................................20 6.6 Influência da Altura da Viga.............................................................................................20

7. COMPORTAMENTO DE VIGAS SEM ARMADURA TRANSVERSAL ..................20 7.1 Parâmetros Mais Importantes ...........................................................................................21

7.1.1 Resistência do Concreto.............................................................................................21 7.1.2 Altura da Viga ............................................................................................................21 7.1.3 Relação entre a Altura da Viga e a Posição da Carga ................................................23 7.1.4 Armadura Longitudinal..............................................................................................24 7.1.5 Força Axial.................................................................................................................24

7.2 Modos de Ruptura ............................................................................................................24 8. COMPORTAMENTO DE VIGAS COM ARMADURA TRANSVERSAL .................27

8.1 Função do Estribo.............................................................................................................27 8.2 Modos de Ruptura ............................................................................................................29

9. TRELIÇA CLÁSSICA DE RITTER-MÖRSCH (θ = 45°)..............................................30 10. TRELIÇA GENERALIZADA (θ variável).......................................................................34 11. DIMENSIONAMENTO SEGUNDO A NBR 6118/03 .....................................................36

11.1 Modelo de Cálculo I .........................................................................................................37 11.1.1 Verificação da Diagonal Comprimida de Concreto ...................................................37 11.1.2 Cálculo da Armadura Transversal..............................................................................38

11.2 Modelo de Cálculo II ........................................................................................................41 11.2.1 Verificação da Diagonal Comprimida de Concreto ...................................................41 11.2.2 Cálculo da Armadura Transversal..............................................................................42

12. ARMADURA MÍNIMA......................................................................................................44 13. DISPOSIÇÕES CONSTRUTIVAS ...................................................................................45

13.1 Diâmetro do Estribo..........................................................................................................45 13.2 Espaçamento Mínimo e Máximo entre os Estribos ..........................................................45 13.3 Espaçamento Máximo entre os Ramos Verticais do Estribo............................................46 13.4 Emendas do Estribo ..........................................................................................................46

13.5 Ancoragem do Estribo ......................................................................................................46 13.6 Barras Dobradas (Cavaletes) ............................................................................................47

14. EQUAÇÕES SIMPLIFICADAS .......................................................................................47 14.1 Modelo de Cálculo I .........................................................................................................48

14.1.1 Força Cortante Máxima..............................................................................................48 14.1.2 Força Cortante Correspondente à Armadura Mínima................................................48 14.1.3 Armadura Transversal................................................................................................49

14.2 Modelo de Cálculo II ........................................................................................................51 14.2.1 Força Cortante Última................................................................................................51 14.2.2 Força Cortante Correspondente à Armadura Mínima................................................51 14.2.3 Armadura Transversal................................................................................................52

15. CONSIDERAÇÕES SOBRE O ÂNGULO DE INCLINAÇÃO DAS DIAGONAIS DE COMPRESSÃO (θ) .....................................................................................................................53 16. REDUÇÃO DA FORÇA CORTANTE .............................................................................54 17. CARREGAMENTO APLICADO NA PARTE INFERIOR DAS VIGAS ....................55 18. ARMADURA DE SUSPENSÃO........................................................................................56 19. EXEMPLO NUMÉRICO 1 ................................................................................................59

19.1 Equações Teóricas da Norma ...........................................................................................60 19.1.1 Modelo de Cálculo I...................................................................................................60 19.1.2 Modelo de Cálculo II com θ = 30o.............................................................................62

19.2 Equações Simplificadas ....................................................................................................63 19.2.1 Modelo de Cálculo I...................................................................................................63 19.2.2 Modelo de Cálculo II com θ = 30o.............................................................................64

19.3 Comparação dos Resultados .............................................................................................65 19.4 Detalhamento da Armadura Transversal ..........................................................................66

20. EXEMPLO NUMÉRICO 2 ................................................................................................69 20.1 Modelo de Cálculo I .........................................................................................................70

20.1.1 Equações de Teóricas da Norma ................................................................................70 20.1.2 Equações Simplificadas .............................................................................................71

20.2 Modelo de Cálculo II ........................................................................................................72 20.2.1 Equações Teóricas da Norma.....................................................................................72

20.2.1.1 Ângulo θ de 30° .................................................................................................72 20.2.1.2 Ângulo θ de 45° .................................................................................................74

20.2.2 Equações Simplificadas .............................................................................................76 20.2.2.1 Ângulo θ de 30° .................................................................................................76 20.2.2.2 Ângulo θ de 45° .................................................................................................77

20.3 Comparação dos Resultados .............................................................................................79 20.4 Detalhamento da Armadura Transversal ..........................................................................79

21. EXEMPLO NUMÉRICO 3 ................................................................................................81 21.1 Dimensionamento da Seção 10d Segundo o Modelo de Cálculo I (NBR 6118/03) .........85 21.2 Dimensionamento da Seção 10d Segundo o Modelo de Cálculo II com θ = 45° .............86

22. EXEMPLO NUMÉRICO 4 ................................................................................................87 23. QUESTIONÁRIO ...............................................................................................................91 24. EXERCÍCIOS PROPOSTOS ............................................................................................92 REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS ......................................................................................94

1309–Estruturas de Concreto II – Dimensionamento de Vigas de Concreto Armado à Força Cortante

UNESP (Bauru/SP) – Prof. Dr. Paulo Sérgio dos Santos Bastos

1

DIMENSIONAMENTO DE VIGAS DE CONCRETO ARMADO À FORÇA CORTANTE

1. INTRODUÇÃO

No dimensionamento de uma viga de Concreto Armado geralmente o primeiro cálculo feito é o de determinação das armaduras longitudinais de flexão. O dimensionamento da armadura transversal para resistência à força cortante é geralmente feito em seguida.

O dimensionamento à força cortante é muito importante, pois a ruptura de uma viga nunca deve ocorrer por efeito de força cortante, por ser freqüentemente violenta e frágil. Portanto, deve ser evitada.

De acordo com a NBR 6118/2003 (item 16.2.3) “é necessário garantir uma boa ductilidade, de forma que uma eventual ruína ocorra de forma suficientemente avisada, alertando os usuários”. A armadura de flexão é que deve ser proporcionada de forma a garantir que a ruptura se desenvolva lenta e gradualmente.

Existe uma infinidade de teorias e modelos para análise de vigas de concreto sob força cortante, desenvolvidos geralmente com base na analogia de treliça ou de campos de compressão de concreto. No Brasil se destacam os modelos de treliça denominados treliça clássica e treliça generalizada. O modelo inicial de treliça, desenvolvido por RITTER (1899) e MÖRSCH (1920, 1922), tem sido adotado pelas principais normas do mundo como a base para o projeto de vigas à força cortante. Adicionalmente ao modelo de treliça vem sendo considerada também a “contribuição do concreto” (Vc), e a possibilidade de variação do ângulo de inclinação (θ) das fissuras e bielas de compressão. Apesar da analogia de uma viga fissurada com uma treliça ter sido criada há cerca de cem anos, a sua simplicidade a faz continuar sendo um modelo para o dimensionamento da armadura transversal das vigas.

No caso específico da norma brasileira NBR 6118/03, ela admite dois modelos para cálculo da armadura transversal resistente à força cortante nas vigas, denominados Modelo de Cálculo I e Modelo de Cálculo II. A treliça clássica de Ritter-Mörsch, que pressupõe ângulo θ fixo de 45° para a inclinação das diagonais comprimidas (bielas de concreto), é adotada no Modelo de Cálculo I. O Modelo de Cálculo II admite a chamada “treliça generalizada”, onde o ângulo θ pode variar de 30° a 45°, sendo essa a maior inovação da norma na questão da força cortante.

Nas últimas décadas surgiram vários modelos mais refinados, como o RA-STM e o FA-STM, desenvolvidos por HSU e seus colaboradores, e o modelo que considera o atrito entre as superfícies das fissuras inclinadas (Truss model with crack friction). Os modelos mais conhecidos com base em campos de compressão são o CFT e MCFT desenvolvidos por MITCHELL, VECCHIO e COLLINS, mas não serão objeto de estudo nesta apostila. 2. REGIÕES DE ANÁLISE

Na teoria clássica de viga a hipótese assumida da seção transversal permanecer plana proporciona um modelo simples e suficientemente preciso para o projeto de vigas fletidas, com ou sem forças axiais aplicadas. Mesmo após a fissuração a teoria pode ser mantida, porque as fissuras de flexão, perpendiculares ao eixo longitudinal da viga, não invalidam a hipótese de seção plana. Como a ruptura por flexão ocorre na seção sob o máximo momento fletor, as condições fixadas para esta seção são geralmente suficientes para o projeto da viga à flexão.

Por outro lado, o mesmo não se pode dizer quanto ao projeto das vigas para a força cortante, porque há enormes diferenças de comportamento e de fatores intervenientes. A ruptura por efeito



2

de força cortante é iniciada após o surgimento de fissuras inclinadas, causadas pela combinação de força cortante, momento fletor e eventualmente forças axiais. E a quantidade de variáveis que influenciam a ruptura é muito grande, como geometria, dimensões da viga, resistência do concreto, quantidade de armaduras longitudinal e transversal, características do carregamento, vão, etc. Por isso, ao contrário da flexão, o projeto à força cortante deve considerar não apenas uma seção transversal, mas regiões ao longo do vão da viga, as chamadas regiões B, mostradas na Figura 1. Foram SCHLAICH et al. (1987) que introduziram o conceito de regiões D e B, onde a região D se caracteriza por descontinuidades e distribuição de deformações não-linear. Já na região B a distribuição é linear. Em elementos típicos de barra as regiões B encontram-se entre as regiões D (ASCE-ACI, 1998).

Figura 1 - Regiões numa estrutura (ASCE-ACI, 1998).

Como o comportamento de vigas à força cortante apresenta grande complexidade e dificuldades de projeto, este assunto tem sido um dos mais pesquisados, no passado bem como no presente (HAWKINS et al., 2005).

3. COMPORTAMENTO DE VIGAS HOMOGÊNEAS NO ESTÁDIO I

Considere a viga não fissurada de seção retangular, bi-apoiada e sob carregamento uniformemente distribuído (Figura 2). Sejam dois elementos infinitesimais A1 e A2 da viga de material homogêneo, elástico linear e isótropo (definido como o material que apresenta propriedades de deformação iguais para qualquer direção).



3

p

A2

1A

a

a

bw

hL.N.

a2 2a

a1 1ay

Linha Neutra

σ

c,máx

t,máx

στ 0

y

x

Figura 2 – Tensões normais e de cisalhamento numa viga de material homogêneo.

As tensões normais de tração e de compressão, atuantes ao nível dos planos a1 e a2, respectivamente, assim como a variação da tensão de cisalhamento ao longo da altura da viga, encontram-se indicadas na Figura 2. Da teoria clássica da Resistência dos Materiais, a tensão normal e a tensão de cisalhamento num elemento A são:

IyM

=σ Eq. 1

IbSV

w

y=τ Eq. 2

com: M e V = momento fletor e força cortante na seção a-a; y = distância do elemento à linha neutra; Sy = momento estático da área considerada em relação à linha neutra; I = momento de inércia da seção transversal; bw = largura da viga.

Para seção retangular, a equação quadrática que representa a tensão de cisalhamento τ é:

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−=τ 2

2y

4h

I2V Eq. 3

Com y = 0 na Eq. 3, a tensão de cisalhamento máxima na seção retangular ocorre na

posição da linha neutra:

hbV

23

wmáx =τ Eq. 4

As Figura 3 e Figura 4 mostram o estado de tensão nos elementos A1 e A2, bem como o

círculo de Mohr correspondente.



4

L.N.R

R

A1

x

y

20

tensão principal de tração I

tensão principal decompressão II

máxima tensão decisalhamento

cc

st

yx

xy

x x

xy

I

xy

V

Figura 3 - Tensões no elemento A1 .

2A

L.N.

V

I

R

Ry

x

2

tensão principal decompressão II

máxima tensão decisalhamento

tensão principal detração

cc

st II

yx

x

xy

x

xy

Figura 4 - Tensões no elemento A2 .

4. COMPORTAMENTO RESISTENTE DE VIGAS SUBMETIDAS À FLEXÃO E À

FORÇA CORTANTE

Uma viga de Concreto Armado resiste a carregamentos externos primariamente pela mobilização de momentos fletores (M) e forças cortantes (V) - Figura 5.



5

A

A

V

VM

V

M

V

M + dM

dxA

A

Figura 5 – Esforços solicitantes num elemento de comprimento dx de uma viga.

Considere uma viga de Concreto Armado bi-apoiada (Figura 6), submetida a duas forças concentradas P de igual intensidade, crescentes de zero até a força última ou de ruptura. As armaduras consistem da armadura longitudinal positiva (composta pelas cinco barras inferiores) resistente às tensões normais de tração da flexão, e da armadura transversal, composta por estribos verticais no lado esquerdo da viga e estribos e barras dobradas inclinadas (cavaletes) no lado direito da viga, dimensionada para resistir às forças cortantes. Nota-se que no trecho da viga entre as forças concentradas P a solicitação é de flexão pura (V = 0).

Armadura Transversal (somente estribos)

Armadura Transversal(estribos e barras dobradas)

P

l

+

+-

M

V

P

Figura 6 – Viga bi-apoiada e diagramas de esforços solicitantes.

(LEONHARDT e MÖNNIG, 1982).

A Figura 7a mostra a viga submetida às forças P de baixa intensidade, com as trajetórias das tensões principais de tração e de compressão para a viga ainda não fissurada, no Estádio I portanto. Observe que no trecho de flexão pura as trajetórias das tensões de compressão e de tração são paralelas ao eixo longitudinal da viga. Nos demais trechos as trajetórias das tensões são inclinadas devido à influência das forças cortantes. É importante observar também que as trajetórias apresentam-se aproximadamente perpendiculares entre si.

Com o aumento das forças P e conseqüentemente das tensões principais, no instante que as tensões de tração atuantes no lado inferior da viga superam a resistência do concreto à tração,



6

surgem as primeiras fissuras no trecho de flexão pura, chamadas “fissuras de flexão” (Figura 7b). As fissuras de flexão são aquelas que iniciam na fibra mais tracionada e prolongam-se em direção à linha neutra, conforme aumenta o carregamento externo aplicado. Apresentam-se aproximadamente perpendiculares ao eixo longitudinal da viga e às trajetórias das tensões principais de tração, ou seja, a inclinação das fissuras depende da inclinação das tensões principais de tração. O trecho fissurado passa do Estádio I para o Estádio II e os trechos entre os apoios e as forças concentradas, sem fissuras, permanecem no Estádio I, isto é, a viga apresenta trechos nos Estádios I ou II.

A Figura 7c mostra os diagramas de deformação e de tensão nas seções a e b da viga, nos Estádios I e II, respectivamente. No Estádio I a máxima tensão de compressão (σc) ainda pode ser avaliada de acordo com a lei de Hooke, o mesmo não valendo para o Estádio II.

a)

b)

c)

a

a

b

b

Estádio I Estádio II Estádio I

Seção a-a Seção b-bc

s

c

s

c c

s t

c= Ec

ct,f<

tração

compressão

d)

b

b

Estádio II

Seção b-b

s

c

s

c = f c

> f y

Figura 7 - Comportamento resistente de uma viga bi-apoiada. (LEONHARDT e MÖNNIG, 1982).

Continuando a aumentar as forças P outras fissuras de flexão continuam a surgir, e aquelas já existentes aumentam de abertura e prolongam-se em direção ao topo da viga (Figura 7d). Nos trechos entre os apoios e as forças P, as fissuras de flexão inclinam-se, devido à inclinação das



7

tensões principais de tração σI , por influência das forças cortantes. Essas fissuras inclinadas são chamadas de “fissuras de flexão com força cortante”, ou fissuras de flexão com cisalhamento, que não é o termo mais adequado porque tensões de cisalhamento não ocorrem por ação exclusiva de força cortante.

Nas proximidades dos apoios, como a influência dos momentos fletores é muito pequena, podem surgir as chamadas “fissuras por força cortante, ou de cisalhamento” (ver Figura 7d e Figura 8). Com carga elevada, a viga se apresenta no Estádio II em quase toda a sua extensão.

Figura 8 - Fissuras na viga no Estádio II (LEONHARDT e MÖNNIG, 1982).

O carregamento externo introduz numa viga diferentes estados de tensões principais, em cada um dos seus infinitos pontos. Na Figura 9, por exemplo, são mostradas as trajetórias das tensões principais de uma viga ainda no Estádio I, e o estado de tensões principais num ponto sobre a linha neutra.

Na altura da linha neutra, as trajetórias das tensões principais apresentam-se inclinadas de 45° (ou 135°) com o eixo longitudinal da viga, e em pontos fora as trajetórias têm inclinações diferentes de 45°.



8

+

-

+

II

I

Direção de (tensões de tração) Direção de (tensões de compressão)

I

II

M

V

x

Figura 9 - Trajetórias das tensões principais de uma viga bi-apoiada no Estádio I.


Além dos estados de tensão relativos às tensões principais, como o indicado na Figura 10b, outros estados podem ser representados, com destaque para aquele segundo os eixos x-y (Figura 10a), que define as tensões normais σx e σy e as tensões de cisalhamento τxy e τyx .

X

y

y = 0

x

( - )( + )

II

I

( - )

( + )

+

y y

X

yx

xy

a) eixos x-y; b) eixos principais.

Figura 10 – Componentes de tensão segundo os estados de tensão relativos aos eixos

principais e aos eixos x-y (LEONHARDT e MÖNNIG, 1982).



9

De modo geral, as tensões verticais σy podem ser desprezadas, tendo importância apenas nos trechos próximos à introdução de forças na viga (região de forças externas aplicadas, apoios, etc.). Considerando σy = 0, as expressões que correlacionam σI e σII com as componentes σx e τ (lembrando que τ = τxy = τyx) são:

- Tensão principal de tração:

22x

xI 4

21

2τ+σ+

σ=σ Eq. 5

- Tensão principal de compressão:

22x

xII 4

21

2τ+σ−

σ=σ Eq. 6

O dimensionamento das estruturas de Concreto Armado toma como base normalmente as

tensões σx e τxy . No entanto, conhecer as trajetórias das tensões principais é importante para se posicionar corretamente as armaduras de tração e para conhecer a direção das bielas de compressão.

As tensões principais de tração inclinadas na alma exigem uma armadura denominada armadura transversal, composta normalmente na forma de estribos verticais fechados. Note que, na região de maior intensidade das forças cortantes, a inclinação mais favorável para os estribos seria de aproximadamente 45°, ou seja, paralelos às trajetórias das tensões de tração e perpendiculares às fissuras. Por razões de ordem prática os estribos são normalmente posicionados na direção vertical, o que os torna menos eficientes se comparados aos estribos inclinados de 45°.

A colocação da armadura transversal evita a ruptura prematura das vigas e, além disso, possibilita que as tensões principais de compressão possam continuar atuando, sem maiores restrições, entre as fissuras inclinadas próximas aos apoios. O comportamento da região da viga sob maior influência das forças cortantes e com fissuras inclinadas no Estádio II, pode ser muito bem descrito fazendo-se a analogia com uma treliça isostática (Figura 11). A analogia de treliça consiste em simbolizar a armadura transversal como as diagonais inclinadas tracionadas (montantes verticais no caso de estribos verticais), o concreto comprimido entre as fissuras (bielas de compressão) como as diagonais inclinadas comprimidas, o banzo inferior como a armadura de flexão tracionada e o banzo superior como o concreto comprimido acima da linha neutra, no caso de momento fletor positivo.

A treliça isostática com banzos paralelos e diagonais comprimidas de 45° é chamada “treliça clássica de Ritter-Mörsch”. Sobre ela, Lobo Carneiro escreveu o seguinte: “A chamada treliça clássica de Ritter-Mörsch foi uma das concepções mais fecundas na história do concreto armado. Há mais de meio século tem sido a base do dimensionamento das armaduras transversais – estribos e barras inclinadas – das vigas de concreto armado, e está muito longe de ser abandonada ou considerada superada. As pesquisas sugerem apenas modificações ou complementações na teoria, mantendo no entanto o seu aspecto fundamental: a analogia entre a viga de concreto armado, depois de fissurada, e a treliça”. É válido afirmar que essas palavras continuam verdadeiras até o presente momento.



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Rcb

sR

R s Rcb

a) armadura transversal a 45°; b) armadura transversal a 90°.

Figura 11 - Analogia de treliça para as forças internas na região próxima ao apoio de uma viga (LEONHARDT e MÖNNIG, 1982).

Os estribos devem estar próximos entre si a fim de interceptarem qualquer possível fissura inclinada devido às forças cortantes, pois uma ruptura precoce pode ocorrer quando a distância entre os estribos for ≥ 2 z para estribos inclinados a 45° e > z para estribos a 90° (Figura 12).

2 z fissura de cisalhamento z fissura de cisalhamento

Figura 12 - Analogia clássica de uma viga com uma treliça. (LEONHARDT e MÖNNIG, 1982).

A NBR 6118/03 (item 17.4.1) preconiza que o dimensionamento de elementos lineares (vigas) pode ser feito segundo “modelos de cálculo que pressupõem a analogia com modelo de treliça, de banzos paralelos, associados a mecanismos resistentes complementares desenvolvidos no interior do elemento estrutural”. No item 10 são deduzidas as forças e tensões nas barras da treliça clássica de Ritter-Mörsch. 5. MECANISMOS BÁSICOS DE TRANSFERÊNCIA DA FORÇA CORTANTE

Em 1968, Fenwick e Paulay afirmaram que o mecanismo de ruptura das vigas por efeito de força cortante não estava ainda claramente definido.

Os mecanismos existentes numa viga responsáveis pela transferência da força cortante são complexos e difíceis de identificar e medir, porque após a fissuração ocorre uma complexa redistribuição de tensões, influenciada por vários fatores.

Os mecanismos básicos responsáveis pela transferência da força cortante numa viga são vários, e cada um deles tem uma importância relativa de acordo com o pesquisador ou órgão. Excluindo-se a armadura transversal são cinco os mecanismos mais importantes: 1) força cortante na zona de concreto não fissurado (banzo de concreto comprimido – Vcz); 2) engrenamento dos agregados ou atrito das superfícies nas fissuras inclinadas (Vay); 3) ação de pino da armadura longitudinal (Vd); 4) ação de arco; 5) tensão de tração residual transversal existente nas fissuras inclinadas (MACGREGOR e WIGHT, 2005).



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Três desses mecanismos estão mostrados na Figura 13, sendo a contribuição de cada um mostrada na Figura 14.

Figura 13 – Mecanismos de transferência da força cortante em viga com armadura transversal.

(MACGREGOR e WIGHT, 2005).

Figura 14 – Contribuição de cada mecanismo de transferência de força cortante em viga

com armadura transversal (MACGREGOR e WIGHT, 2005).



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Os numerosos estudos feitos sobre o comportamento de elementos de Concreto Armado submetidos à flexão têm garantido um bom entendimento sobre o comportamento e os mecanismos de ruptura desses elementos, estando as conclusões incorporadas nas normas de vários países. Na questão dos elementos sob flexão e força cortante, no entanto, o progresso no entendimento e formulações não tem alcançado o mesmo sucesso. Isso se deve à complexidade do problema, segundo PARK e PAULAY (1975).

Os elementos submetidos à força cortante geralmente encontram-se também sob os esforços de momento fletor, força axial e torção. Por isso, além do estudo sobre os efeitos da força cortante agindo isolada, é importante examinar também a interação com os outros esforços solicitantes.

No caso das vigas sob flexão, os mecanismos resistentes à força cortante interagem com a aderência entre o concreto e a armadura longitudinal, bem como com a ancoragem dessa armadura na sua extremidade.

A transferência da força cortante nas vigas de Concreto Armado é muito dependente das resistências do concreto à tração e à compressão, e tem, por isso, a ruptura frágil ou não dúctil por efeito da força cortante. Portanto, é muito importante o correto dimensionamento das vigas à força cortante, de modo a sempre evitar a ruptura frágil por força cortante, principalmente nos elementos sob ações de sismos e terremotos.

Os modelos elásticos existentes proporcionam resultados aceitáveis na previsão da formação de fissuras e na resistência do elemento. No entanto, o comportamento de elementos sob força cortante torna-se muito complexo após o surgimento de fissuras, que alteram bastante as tensões existentes.

As características dos cinco principais mecanismos de transferência de força cortante são descritas a seguir. 5.1 Ação de Arco

Nas proximidades dos apoios o banzo comprimido inclina-se em sua direção, formando um arco, como ilustrado na Figura 15.

q

PP

Figura 15 – Ação de arco ou de pórtico atirantado nas proximidades dos apoios.


A formação do arco requer uma reação horizontal no apoio, que em vigas bi-apoiadas pode ser fornecida pela armadura longitudinal positiva, que deve ser cuidadosamente ancorada nas extremidades da viga para servir a esta função.



13

A resistência à força cortante proporcionada pela ação de arco depende muito da possibilidade de acomodação das tensões de compressão do arco, e a intensidade dessas tensões depende principalmente da inclinação do arco, dada pela relação a/d (a = shear span = distância entre o ponto de aplicação da força P e o apoio; d = altura útil da viga), podendo ser expressa em função da força cortante V ou do momento fletor:

dVM

dVaV

da

== Eq. 7

A ação de arco é o mecanismo dominante de resistência de vigas-paredes à força cortante

com o carregamento aplicado na sua região comprimida. 5.2 Concreto Comprimido Não Fissurado

A zona não fissurada de concreto comprimido pela flexão (banzo de concreto) contribui e proporciona uma certa resistência à força cortante atuante numa viga ou laje fissurada. A integração das tensões de cisalhamento sobre a altura desse banzo comprimido fornece uma componente de força cortante, que é as vezes a explicação para a chamada “contribuição do concreto” (concrete contribution), como encontrado em textos de normas estrangeiras, principalmente o ACI 318. Essa componente de força cortante não é a componente vertical de um banzo de concreto comprimido inclinado (ASCE-ACI, 1998).

A contribuição do banzo comprimido depende principalmente da altura da zona comprimida, conseqüentemente, vigas com alturas baixas sem força axial de compressão apresentam pequena contribuição à resistência, porque a altura do banzo é relativamente pequena (TAYLOR, 1972, REINECK, 1991). Diversas pesquisas experimentais executadas em vigas com armadura transversal mostraram que a contribuição da zona do banzo comprimido de concreto alcança valores entre 20 % e 40 % de resistência à força cortante na seção, sendo esta variação dependente principalmente da forma e da natureza das fissuras nas vigas, conforme ACHAYA e KEMP (1965), FENWICK e PAULAY (1968), TAYLOR (1972) e GERGELY (1969), citados no ASCE-ACI (1973). 5.3 Transferência na Interface das Fissuras Inclinadas

Devido à rugosidade dos agregados ocorre um engrenamento entre eles nas superfícies das fissuras, o que proporciona uma resistência ao deslizamento e a transferência de força cortante através uma fissura inclinada.

O termo engrenamento dos agregados (aggregate interlock) vem sendo substituído por atrito entre as superfícies (crack friction), porque os concretos de alta resistência têm matriz com resistência semelhante à dos agregados, contribuindo para o mecanismo da transferência de força cortante, mesmo após a propagação da fissura entre os agregados. Além disso o termo também indica que o mecanismo não depende meramente das característica do material, o concreto.

Nas duas últimas décadas foram feitos grandes progressos para o entendimento desse mecanismo, principalmente por MILLARD e JOHNSON (1984), GAMBAROVA (1981), WALRAVEN (1981) e NISSEN (1987), entre outros citados pelo ASCE-ACI (1998).

São quatro os parâmetros mais importantes no mecanismo de atrito nas fissuras: tensão de cisalhamento nas interfaces, tensão normal, largura e escorregamento da fissura.

O atrito entre duas superfícies de concreto é reconhecido como um mecanismo básico para a resistência à força cortante em elementos fletidos de concreto. O atrito é aquele que ocorre numa fissura do concreto quando um deslocamento (s) é imposto à fissura (Figura 16).



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Figura 16 – Mobilização do concreto pelo atrito na fissura com armadura (a)

e na fissura sem armadura (b) - (POLI et al., 1987).

Segundo POLI et al. (1987), o mecanismo de engrenamento dos agregados na interface das fissuras proporciona uma contribuição significativa à resistência à força cortante de vigas de Concreto Armado e Protendido. Ensaios experimentais indicaram que entre 33 % e 50 % da força cortante total sobre a viga pode ser transferida pelo engrenamento das interfaces. Outras considerações que esses pesquisadores apresentaram são:

a) os fatores que mais influenciam o fenômeno são a largura da fissura e o tamanho dos agregados. A resistência diminui com o aumento da largura da fissura e a diminuição do tamanho dos agregados. Concretos com maiores resistências tendem a apresentar superfícies menos rugosas, e conseqüentemente menor transferência de força cortante; b) quanto menor a largura da fissura maior é a área de contato. A transferência depende também da capacidade de deformação elástica ou plástica da área de contato com relação a uma força aplicada. A deformação depende da quantidade de água e ar da matriz argamassa; c) a contribuição do engrenamento dos agregados é maior nas seções onde as fissuras por cortante desenvolvem-se dentro da alma da viga, e menor nas fissuras inclinadas que são continuidade de fissuras de flexão, iniciadas na borda tracionada da viga. A porcentagem da contribuição é maior para valores baixos e médios da tensão ou resistência última ao cortante, mas é ainda notada em valores maiores, quando os efeitos do engrenamento dos agregados diminui devido aos deslocamentos menores das interfaces; d) uso de estribos de pequeno diâmetro favorecem o engrenamento dos agregados.

A Figura 17 mostra um diagrama com a taxa de armadura transversal (ωst) no eixo vertical, como uma função da tensão última à força cortante (τu

o), relativa à resistência do concreto à compressão (fc). As taxas de armaduras teóricas são mostradas segundo o modelo de treliça sem consideração do engrenamento dos agregados, segundo as normas CEB e ACI. Os valores são relativos ao concreto com f’c de 21 MPa e aço com fy de 500 MPa. A reta I é relativa ao modelo de treliça considerando-se o engrenamento dos agregados. Nota-se que a reta I tem boa proximidade com os resultados experimentais, principalmente com τu

o/f’c maiores que 0,2.



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Figura 17 – Curvas de grau de armadura transversal e resultados de ensaios de vigas.

(POLI, GAMBAROVA e KARAKOÇ, 1987).

Segundo a ASCE/ACI (1998), WALRAVEN (1981) desenvolveu um modelo que considera a probabilidade que as partículas de agregado (idealizadas como esferas) se projetarão da interface da fissura. Neste modelo a relação entre as tensões e os deslocamentos são função da resistência do concreto à compressão, de concretos com resistências normais. Outras relações foram desenvolvidas em função de c'f , e embora grandes diferenças possam ocorrer entre as leis constitutivas, o mecanismo de atrito na interface é agora bem conhecido e largamente aceito como um importante mecanismo de transferência de força cortante. 5.4 Ação de Pino da Armadura Longitudinal

A ação de pino de uma barra de aço inserida no concreto proporciona um mecanismo de transferência de força cortante que foi percebida na década de 30 do século passado, e ocorre num grande número de aplicações práticas das estruturas de Concreto Armado, como mostrado na Figura 18.

Figura 18 – Exemplos onde a ação de pino ocorre (POLI et al., 1992).



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Em 1973, na ASCE/ACI (1973) foi comentado que procedimentos de projeto modernos consideravam a totalidade da força cortante sendo resistida pela zona de concreto comprimido e pelos estribos. Porém, estudos recentes demonstravam que a ação de pino da armadura longitudinal e o engrenamento dos agregados nas fissuras também desempenham efeito importante sobre a capacidade e o modo de ruptura das vigas.

Estudos experimentais feitos por KREFELD e THURSTON (1966), PARMELEE (1961), FENWICK e PAULAY (1968), GERGELY (1969), TAYLOR (1969), BAUMANN (1968) e vários outros, citados no ASCE/ACI (1973), indicaram que a força resistente à força cortante proporcionada pela barra de aço na ação de pino (dowel action) é entre 15 % e 25 % da força cortante total.

A força cortante que pode ser transferida pela ação de pino depende de vários parâmetros, como: a) quantidade de armadura; b) diâmetro da barra; c) espaçamento entre as barras; d) espessura do cobrimento embaixo da barra de aço; e) propriedades do concreto; f) tensões axiais na armadura; g) existência de armadura transversal impedindo o deslocamento da barra longitudinal.

A resistência é pequena no caso de barras em região de tração e ausência de armadura transversal, porque a ação fica limitada pela resistência do concreto à tração.

Na situação de carga última é necessário considerar as não-linearidades do concreto e do aço, assim como o dano no concreto localizado, na região próxima ao plano da força cortante.

Existem equações desenvolvidas com base em modelos de análise limite simples que avaliam a capacidade última do efeito pino (Vu), que fornecem resultados seguros, como indicados na Figura 19.

Figura 19 – Força Vu relativa ao efeito pino em função do diâmetro da barra, para concretos

com resistência à compressão de 30 e 75 MPa (POLI et al., 1992).

Dois modos de ruptura podem ocorrer: fendilhamento do concreto do cobrimento, e esmagamento do concreto sob a barra, acompanhada pelo escoamento da barra (Figura 20). O modo de ruptura que irá ocorrer depende dos parâmetros listados anteriormente (POLI et al., 1992).

O modo de ruptura do tipo I ocorre para pequenas espessuras de cobrimento, e para grandes cobrimentos ocorre a ruptura do tipo II, com o esmagamento do concreto sob a barra. Para o caso de ruptura devido ao aparecimento de fissuras de fendilhamento na superfície de concreto na região próxima à barra (ruptura tipo I - Figura 20), a resistência máxima do efeito pino não é proporcional ao diâmetro da barra, isto é, a eficiência do mecanismo é reduzida



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aumentando-se o diâmetro da barra. Mesmo para o modo de ruptura tipo II o aumento do diâmetro da barra afeta negativamente a eficiência da resistência do mecanismo do efeito pino.

Figura 20 – Modos de ruptura do mecanismo de efeito pino (VINTZILEOU, 1997).

Com base no exposto por VINTZILEOU (1997), as tensões de compressão e tração aplicadas ao concreto por uma barra de aço sob uma força D (Figura 21) aumentam com o aumento do diâmetro da barra, de modo que a máxima força a ser transferida pelo mecanismo de pino será afetado negativamente aumentando-se o diâmetro da barra.

Figura 21 – Distribuição esquemática de tensões ao longo da barra (VINTZILEOU, 1997).

Um dos fatores primordiais na resistência proporcionada pela barra de aço é a espessura do cobrimento lateral da barra (cs), como indicado na Figura 22.

Figura 22 – Notação dos cobrimentos de concreto de uma barra de aço inserida no concreto.

(VINTZILEOU, 1997).



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Para pequenas espessuras do cobrimento lateral surgem fissuras horizontais precocemente, que fazem com que a espessura do cobrimento do topo (ct) não tenha importância. Porém, para grandes espessuras laterais (3 a 4φ) a resistência proporcionada pela barra aumenta linearmente com o cobrimento do topo, embora para cobrimentos do topo superiores a 5φ não ocorre aumento de resistência.

Em função das considerações feitas para o cobrimento da barra é esperado que, para pequenos espaçamentos entre barras, a resistência oferecida diminui em função de ruptura causada pelo aparecimento de fissuras prematuras de fendilhamento no concreto. Nesta questão faltam resultados de pesquisas experimentais (VINTZILEOU, 1997).

Segundo a ASCE-ACI (1998), normalmente a ação de pino não é muito importante em elementos sem armadura transversal, porque a máxima força cortante proporcionada pela ação de pino é limitada pela resistência à tração do concreto do cobrimento da barra, que apóia a barra. A ação de pino pode ser importante em elementos com grande quantidade de armadura transversal, principalmente quando distribuída em mais que uma camada. 5.5 Tensões Residuais de Tração

Quando o concreto fissura não ocorre uma separação completa, porque pequenas partículas do concreto ligam as duas superfícies e continuam a transmitir forças de tração, para pequenas aberturas de fissura entre 0,05 e 0,15 mm. Essa capacidade do concreto contribui para a transferência de força cortante, importante quando a abertura da fissura ainda é pequena. Vigas grandes próximas à ruptura com fissuras de grande abertura mostram menor contribuição das tensões residuais de tração.

A aplicação da mecânica da fratura ao projeto à força cortante toma como base a premissa de que a tensão de tração residual é o mecanismo de transferência mais importante de força cortante. Outros métodos, como o modelo de dente (tooth model) de REINECK (1991), indica que as tensões de tração residuais fornecem uma importante porção da resistência à força cortante de elementos com alturas menores que 100 mm, onde a largura das fissuras inclinadas e de flexão são pequenas. 5.6 Armaduras Longitudinal e Vertical

Numa viga, antes do surgimento das fissuras inclinadas a deformação nos estribos é a mesma do concreto adjacente ao estribo, e como a tensão de tração que causa a fissura no concreto é pequena, a tensão no estribo também é pequena. De modo que somente após ocorrer o início da fissuração inclinada é que os estribos passam a transferir força cortante, isto é, um estribo passa a ser efetivo ao transferir a força de um lado para outro da fissura inclinada que o intercepta.

Os estribos também atuam diminuindo o crescimento e a abertura das fissuras inclinadas, proporcionando uma ruptura mais dúctil às vigas. A existência do estribo na viga faz com que ocorra uma mudança na contribuição relativa de cada um dos diferentes mecanismos resistentes à força cortante.

A contribuição da armadura transversal à resistência ao cortante da viga é tipicamente computada por meio da treliça clássica, somada à contribuição do concreto, ou por meio da treliça de ângulo variável sem a contribuição do concreto. 6. FATORES QUE INFLUENCIAM A RESISTÊNCIA À FORÇA CORTANTE

Segundo LEONHARDT e MÖNNIG (1982), são muitos fatores que influenciam a resistência das vigas à força cortante, cerca de vinte, sendo que de alguns deles não há conhecimento suficiente da sua influência. A seguir apresentam-se alguns dos principais fatores.



19

6.1 Tipo de Carregamento

Para carregamento uniformemente distribuído (cargas atuando de cima, diretamente sobre a viga), alguns ensaios com vigas esbeltas sem armadura transversal indicaram uma capacidade resistente à força cortante cerca de 20% a 30% maior do que para carga concentrada na posição mais desfavorável. Entretanto, na realidade, não há garantia de uma distribuição uniforme da carga de utilização, por isso, os critérios de dimensionamento devem levar em consideração os resultados mais desfavoráveis referentes às cargas concentradas. 6.2 Posição da Carga e Esbeltez

Nas cargas concentradas tem grande influência a distância do apoio até a carga. Já para as cargas uniformes tem grande influência a esbeltez l/h. Quanto à ruptura de uma viga com e sem armadura transversal por força cortante, a posição mais perigosa de uma carga concentrada foi determinada para o trecho a = 2,5h a 3,5h, o que corresponde a uma relação momento-força cortante de M/Vh = a/h = 2,5 a 3,5. Para cargas distribuídas, rigidezes de l/h =10 a 14 são as que conduzem a maiores perigos de ruptura por força cortante e, conseqüentemente, na menor capacidade resistente à força cortante.

A capacidade resistente à força cortante aumenta bastante para cargas próximas ao apoio, para uma relação decrescente a/h < 2,5. Um aumento correspondente acontece com carga distribuída, quando l/h < 10. Isto explica porque o efeito de viga escorada é tão mais favorável, quando mais inclinadas (em relação à horizontal) forem as diagonais comprimidas de concreto. Deve-se prever, a propósito, uma boa ancoragem da armadura longitudinal do banzo tracionado. 6.3 Tipo de Introdução da Carga

Efetuando-se a ligação de uma viga em toda sua altura d com outra viga, a viga que se apóia distribui sua carga ao longo da altura da alma da viga que serve de apoio. Diz-se então que se trata de um carregamento ou apoio indireto. Nos ensaios foi possível mostrar que, na região de cruzamento dessas vigas, é necessária uma armadura de suspensão, deve ser dimensionada para a força total atuante no apoio ou nó.

Uma viga no Estádio II transfere sua carga ao apoio primordialmente pela diagonal de compressão, e as diagonais comprimidas no modelo treliça define claramente a necessidade de montantes verticais de tração, ou seja, armadura de suspensão. Entretanto, fora da região de cruzamento, a viga não é influenciada pelo tipo de introdução de carga ou de apoio, isto é, o comportamento em relação à força cortante é o mesmo que para o apoio ou carregamento direto. Essas mesmas considerações valem para o dimensionamento à força cortante. Na região de cruzamento, a armadura de suspensão atende simultaneamente à função de armadura de transversal.

As cargas penduradas na parte inferior de uma viga produzem tração na alma e devem ser transferidas pelas barras de tração da alma ao banzo comprimido. Essa armadura de suspensão é adicional à armadura transversal normal para a força cortante. 6.4 Influência da Armadura Longitudinal

O desenvolvimento de uma fissura inclinada por força cortante, ou seja, seu aumento até próximo da borda superior da zona comprimida de concreto, depende da rigidez à deformação do banzo tracionado, ou seja, quanto mais fraco for o banzo tracionado, tanto mais ele se alonga com o aumento da carga e tão mais depressa a fissura inclinada se torna perigosa.

O banzo tracionado não pode, portanto, ser muito enfraquecido na região de uma possível ruptura por força cortante. Também um escorregamento da ancoragem no apoio tem um efeito enfraquecedor. Ambas as influências devem ser consideradas como detalhes construtivos na execução da armadura.



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Uma outra influência é a qualidade da armadura longitudinal. Ensaios demonstraram, por exemplo, que para a mesma porcentagem de armadura longitudinal, uma distribuição das tensões com maior número de barras finas influencia favoravelmente a capacidade resistente à força cortante. 6.5 Influência da Forma da Seção Transversal

A forma da seção transversal tem uma forte influência sobre o comportamento resistente de vigas de Concreto Armado solicitadas à força cortante. A seção transversal retangular pode se adaptar livremente a uma forte inclinação do banzo comprimido e, freqüentemente, pode absorver toda a força transversal no banzo comprimido (especialmente no caso de carga distribuída e de carga concentrada próxima ao apoio).

Em seções transversais de vigas T, a força no banzo comprimido só pode ter uma inclinação quase horizontal, porque na realidade ela permanece na largura comprimida da laje até a proximidade do apoio, concentrando-se na alma apenas gradativamente em direção ao apoio. O banzo comprimido por este motivo, só pode absorver uma parcela da força cortante, e a maior parte deve ser resistida pelas diagonais comprimidas e pelas barras da armadura transversal. A relação da rigidez do banzo comprimido de largura bf com a correspondente rigidez das diagonais comprimidas da alma com largura bw é muito maior em vigas T do que em vigas retangulares.

Nas vigas de seção retangular (bf/ bw = 1), os estribos são submetidos a tensões de compressão até que, pouco antes da carga de ruptura, uma fissura de cisalhamento cruze o estribo. Nas vigas T essas tensões no estribo aumentam para almas delgadas, em todos os casos, porém, essas tensões ficam bem abaixo da tensão de escoamento do aço a qual foi calculada de acordo com a analogia de treliça clássica de Mörsch (com diagonais a 45º).

Ensaios mostraram também que a inclinação das fissuras inclinadas ou das diagonais comprimidas varia com a relação bf/ bw, essa inclinação situa-se em torno de 30º para bf / bw = 1 e cresce para cerca de 45º para bf / bw = 8 a 12.

O dimensionamento da armadura transversal da alma deve ser feito a partir da distribuição dos esforços internos, pouco antes da ruptura, ou seja, deve ser considerada a largura da alma em relação a largura do banzo comprimido. 6.6 Influência da Altura da Viga

Ensaios realizados segundo uma lei de semelhança com vigas sem armadura transversal e diferentes alturas d, com igual porcentagem de armadura longitudinal de mesma distribuição de barras, mostraram que a capacidade resistente à força cortante diminui consideravelmente como aumento da altura d, quando a granulometria e o cobrimento do concreto não variarem de acordo com a escala. 7. COMPORTAMENTO DE VIGAS SEM ARMADURA TRANSVERSAL

O comportamento das vigas após a fissuração modifica-se consideravelmente em função da existência ou não de armadura transversal. Por isso, inicialmente apresentam-se as características do comportamento das vigas sem armadura transversal, e em seguida das vigas com armadura transversal.

Numa viga de Concreto Armado sob ação de flexão e forças cortantes, que ocasionam tensões principais como indicadas na Figura 9, a fissura se forma quando a tensão principal de tração excede a resistência do concreto à tração.

A maior parte das fissuras inclinadas são extensões das fissuras de flexão. Em vigas com mesas, como seções I e T por exemplo, ocorrem fissuras inclinadas nas proximidades da linha neutra.

A previsão da força cortante que provoca a fissura diagonal inclinada, segundo uma análise das tensões principais e em função da resistência do concreto à tração, é maior que a



21

verificada na realidade numa viga sob flexão e forças cortantes. Assim ocorre devido principalmente à redistribuição de tensões de cisalhamento entre as fissuras de flexão, entre outros fatores, como as tensões existentes devido à retração do concreto.

Segundo a ASCE-ACI (1998), a presença de fissuras inclinadas em vigas sob ações de serviço são aceitáveis hoje, desde que seja garantida que a abertura das fissuras não ultrapassem os limites máximos estabelecidos. 7.1 Parâmetros Mais Importantes

Existem vários parâmetros que influenciam significativamente a contribuição relativa dos diferentes mecanismos resistentes à força cortante e conseqüentemente a resistência última das vigas sem armadura transversal à força cortante. 7.1.1 Resistência do Concreto A resistência à força cortante aumenta com o aumento da resistência do concreto, porém, não está definido ainda se é a resistência do concreto à compressão ou a resistência à tração que exerce maior influência. Normas que consideram a “contribuição do concreto” (Vc) como a força cortante relativa ao aparecimento da fissuração inclinada, como a NBR 6118/03 e o ACI 318, levam em consideração a resistência do concreto à tração, geralmente por meio de equações em função da resistência do concreto à compressão elevadas a uma potência, como fc

1/4, fc1/3 e fc

1/2. O aumento da resistência à força cortante com o aumento da resistência do concreto parece ser mais efetivo em vigas menores com altas taxas de armaduras e feitas com concretos de baixa ou média resistência, como as vigas ensaiadas por MOODY et al. (1954), indicadas no diagrama da Figura 23. As vigas de YOON e COOK (1996), com alturas nem pequenas nem grandes e com taxas de armaduras moderadas, apresentaram a tendência de maneira menos pronunciada. Por outro lado, vigas altas levemente armadas e com concretos de alta resistência de agregados pequenos não mostraram a mesma tendência, como aquelas ensaiadas pelos outros autores.

Credita-se tal característica ao fato das superfícies das fissuras serem mais lisas ou menos rugosas nos concretos de alta resistência que nos concretos normais, o que diminui a eficiência do mecanismo de transferência da força cortante nas interfaces das fissuras (atrito na interface).

7.1.2 Altura da Viga

É fato que a resistência à força cortante diminui em vigas de concreto (Armado e Protendido) com o aumento da altura da viga, efeito chamado “size effect”. Algumas pesquisas como de SHIOYA et al. (1989), LEONHARDT e WALTHER (1961, 1962, 1963), entre várias outras, mostraram tal comportamento das vigas. A Figura 24 mostra os resultados experimentais obtidos por SHIOYA et al. (1989) de vigas com alturas efetivas (d) entre 10 e 300 cm, sem armadura transversal e levemente armadas na direção longitudinal, comparados com a resistência prevista pelo ACI 318-95 e pelo método simplificado (β) de acordo com o modelo MCFT. A resistência última das vigas maiores foi apenas cerca de um terço das vigas menores, e menos da metade da resistência teórica calculada segundo o ACI 318R-02 (HAWKINS et al., 2005).

Nas vigas maiores nota-se que romperam com tensões de cisalhamento menores que a metade das tensões teóricas previstas pelo ACI 318, e o MCFT apresentou bons resultados.



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Figura 23 – Influência da resistência à compressão do concreto sobre a resistência à força

cortante. (KUCHMA e KIM, 2001).

Figura 24 – Influência da altura da viga e da dimensão do agregado sobre a

resistência à força cortante (COLLINS e KUCHMA, 1999).

Em 1956 ocorreu a ruptura de várias vigas de Concreto Armado, com altura de 91,4 cm, num galpão da força aérea dos Estados Unidos, com força cortante menor que a metade da força



23

cortante teórica prevista pela norma ACI (Figura 25). Em investigações realizadas na época vigas semelhantes foram ensaiadas, porém, com modelos em escala de um terço das vigas reais rompidas. Os modelos ensaiados mostraram muito maior resistência à ruptura que as vigas do galpão, e por isso a conclusão para o fator principal da queda foi que a baixa resistência das vigas ocorreu devido a tensões axiais de tração provocadas por retração restringida pelos pilares.

Figura 25 – Viga rompida do galpão da força aérea dos Estados Unidos (CLADERA, 2002).

Hoje, com os maiores conhecimentos sobre a influência da altura da viga sobre sua resistência à força cortante, explica-se a ruptura das vigas pela influência da altura, não corretamente avaliada pelo ACI da época. Porém, o entendimento de tal comportamento das vigas ainda não está completamente entendido pelos pesquisadores, dada as diferentes explicações existentes para o fenômeno. Alguns creditam à redução da transferência de força cortante nas interfaces das fissuras devido a maior largura das fissuras que ocorrem em vigas de grande altura. Outros creditam que, em vigas altas, a propagação de fissuras inclinadas ocorre de maneira mais rápida, o que diminui a resistência à força cortante. 7.1.3 Relação entre a Altura da Viga e a Posição da Carga

Numa viga simples sob carregamento de forças concentradas chama-se “a” a distância entre o apoio e a força concentrada aplicada (“shear span”). Costuma-se analisar a influência desta distância com relação à altura útil das vigas, isto é, a razão a/d, que serve como um indicativo da esbeltez das vigas.

Quando a relação a/d diminui a resistência da viga à força cortante aumenta, sendo particularmente importante em relações menores que 2,5 a 3,0, porque uma parcela significativa da força cortante é transmitida diretamente ao apoio pela ação de arco. E quanto menor a relação a/d mais pronunciada se torna a ação de arco. As vigas-paredes são exemplos típicos da existência do efeito arco de forma pronunciada.

Em vigas simples sob cargas concentradas a seção sob máximo momento fletor e força cortante ocorre na distância a/d, pois Mmáx = Vmáx . a , e a razão de momento fletor para força cortante é Mmáx / Vmáx . d = a/d. No caso de viga sob carregamento uniformemente distribuído a relação é Mmáx / Vmáx . d = l / 4d, o que significa que a é a distância entre o apoio e a resultante da carga uniformemente distribuída numa metade do vão.

O valor de a também relaciona as capacidades das vigas à flexão e à força cortante. Numa ruptura por flexão a força cortante pode ser calculada dividindo-se o momento de ruptura por a, e



24

numa ruptura por efeito de força cortante o momento fletor no meio do vão será calculado multiplicando-se a força cortante de ruptura por a. 7.1.4 Armadura Longitudinal

Para um dado carregamento mantido constante, se a armadura longitudinal da viga é diminuída as tensões de flexão e as deformações nessa armadura devem aumentar. Conseqüentemente, as fissuras terão aberturas maiores e a resistência à força cortante diminuída, e além disso, a ação de pino é também diminuída por existir menos armadura.

Barras longitudinais dispostas ao longo da altura das vigas diminuem o espaçamento e abertura das fissuras, e por isso aumentam a resistência à força cortante de maneira significativa. 7.1.5 Força Axial

Forças axiais de compressão aumentam a resistência à força cortante porque diminuem a largura das fissuras inclinadas, o que contribui para uma maior resistência nas interfaces das fissuras, e aumentam a altura do banzo de concreto comprimido, e conseqüentemente a sua resistência à força cortante. Forças de tração, ao contrário, diminuem a resistência à força cortante. 7.2 Modos de Ruptura

A ruptura de vigas de Concreto Armado por efeito de força cortante caracteriza-se pela ocorrência de fissuras inclinadas, que pode, em alguns casos, ser seguida pela ruptura da viga, e em outros casos, a viga ainda pode suportar acréscimos de carga antes da ruptura. As fissuras inclinadas podem se desenvolver na alma das vigas como uma extensão de fissuras de flexão já existentes ou de maneira independente. A primeira fissura é chamada “fissura por flexão e força cortante” e a segunda como “fissura por força cortante”. Ocorre também a fissura por flexão pura, como indicadas na Figura 8.

Além dos três tipos de fissuras básicas podem também ocorrer outras fissuras secundárias, muitas vezes em decorrência de tensões de tração que causam fissuras de fendilhamento, com o escorregamento relativo entre a barra de aço e o concreto, ou de forças oriundas da ação de pino de barras longitudinais transferindo força cortante através de uma fissura.

De acordo com o ACI-ASCE 426 (1973), a maneira como as fissuras inclinadas se desenvolvem e crescem e o tipo de ruptura que ocorre na seqüência depende muito da relação entre as tensões de cisalhamento e as tensões normais de flexão, que podem ser definidas aproximadamente como:

dbV

w1α=τ Eq. 8

2f

2x dbM

α=σ Eq. 9

onde bf é a largura da mesa, bw é a largura da alma, d é a altura útil, e α1 e α2 são coeficientes que dependem de várias variáveis, como a geometria, tipo de carga, quantidade e posição das armaduras, tipo de aço, concreto, etc.

Uma viga submetida a forças concentradas tem a seguinte relação entre tensões:



25

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛⎟⎠⎞

⎜⎝⎛α=

τσ

f

w3

x

bb

da Eq. 10

onde: α3 = α2/α1;

a = distância entre a força aplicada e o apoio (shear span).

A relação a/d é útil para ilustrar a variação entre a carga correspondente à fissura inclinada e a capacidade da viga retangular à força cortante.

Quando todas as variáveis são mantidas constantes, a influência de a/d sobre a fissuração de vigas retangulares bi-apoiadas em função da esbeltez é classificada como ilustrado a seguir. a) viga muito esbelta (a/d > 6) As vigas nesta categoria rompem por flexão geralmente antes do surgimento de fissuras inclinadas. b) viga esbelta (2,5 < a/d < 6) Além das fissuras de flexão surgem também fissuras de flexão com influência da força cortante, isto é, fissuras que se iniciam verticais e depois se inclinam em direção ao banzo comprimido. Fissuras inclinadas devidas à força cortante podem propagar-se em direção ao topo e à base da viga, causar o escoamento das armaduras e separar a viga em duas partes, o que é chamado ruptura por tração diagonal (Figura 26).

Figura 26 – Ruptura por tração diagonal (ACI-ASCE 426, 1973).

c) viga curta (1 < a/d < 2,5)

Uma fissura inclinada pode propagar-se pela armadura longitudinal, causando perda de aderência entre as barras longitudinais e o concreto, que escorrega e leva à ruptura da ancoragem (Figura 27). Não ocorrendo falha da aderência pode ocorrer ruptura por esmagamento do concreto comprimido do banzo superior, devido ao prolongamento da fissura inclinada em direção ao topo da viga, que diminui a área do banzo (Figura 28).

Figura 27 – Ruptura por escorregamento das barras longitudinais tracionadas.

(ACI-ASCE 426, 1973).



26

Figura 28 – Ruptura por escorregamento das barras longitudinais tracionadas.

(ACI-ASCE 426, 1973).

d) viga muito curta (a/d < 1)

As fissuras inclinadas ocorrem ao longo da linha entre o apoio e o ponto de aplicação da carga. Nas vigas-paredes classificadas nessa categoria uma parcela significativa da força cortante é transferida ao apoio por ação de arco, como indicado na Figura 29. Há várias formas de ruptura:

1) da ancoragem da armadura longitudinal de tração; 2) esmagamento do concreto próximo e acima do apoio; 3) flexão – por esmagamento do concreto do banzo comprimido ou por escoamento da

armadura de tração; 4) tração na borda superior acima do arco de compressão; 5) esmagamento do concreto que forma a ação de arco.

Figura 29 – Modelos de ruptura em vigas curtas (vigas-paredes), (ACI-ASCE 426, 1973).

e) viga I

Vigas de seção transversal em forma de I têm tensão de cisalhamento na alma muito superiores às vigas retangulares, e por isso a ruptura mais comum é aquela por esmagamento do concreto nas diagonais comprimidas entre as fissuras (ruptura das bielas de compressão) - Figura 30. Os outros modos de ruptura já descritos para vigas retangulares podem também ocorrer.



27

Figura 30 – Ruptura de vigas seção I (ACI-ASCE 426, 1973).

8. COMPORTAMENTO DE VIGAS COM ARMADURA TRANSVERSAL

A existência de armadura transversal modifica consideravelmente o comportamento das vigas após o surgimento das fissuras inclinadas. Ao ser interceptado por uma fissura o estribo faz a ponte de transferência das tensões de tração entre os lados da fissura, e ao atingir a tensão fy o aço do estribo escoa. Ainda existe um ganho de resistência proporcionado principalmente pelo atrito entre as superfícies nas fissuras. Os estribos, ao continuarem escoando, proporcionam uma ruptura dúctil.

Em vigas com altas taxas de armadura transversal a ruptura pode ocorrer devido ao esmagamento do concreto comprimido das diagonais inclinadas, principalmente vigas de seção I. Após a formação de fissuras inclinadas uma parte da força cortante passa a ser transferida pela armadura transversal. Quando essa armadura passa a escoar qualquer força cortante adicional deve ser transferida pelos mecanismos já citados. Quando a fissura tem a abertura aumentada o atrito nas interfaces diminui, o que causa um aumento de força transferida pelo concreto do banzo comprimido e pela ação de pino, até que rompe a ação de pino ou o concreto comprimido esmaga. 8.1 Função do Estribo

A colocação de estribos nas vigas tem três funções básicas: a) resistir à parte da força cortante; b) restringir o crescimento da abertura das fissuras, o que ajuda a manter o atrito entre as

interfaces na fissura; c) aumentar a ação de pino das barras longitudinais.

Além disso, os estribos proporcionam uma pequena resistência por ação de pino nas fissuras e aumentam a resistência da zona comprimida de concreto pelo confinamento que promovem.

A Figura 31 mostra a atuação ou trabalho desenvolvido pelo estribo vertical na analogia de treliça, para uma viga com tração na fibra inferior. No nó inferior o estribo entrelaça a armadura longitudinal tracionada e no nó superior o estribo ancora-se no concreto comprimido e na armadura longitudinal superior.

As bielas de compressão se apóiam nas barras da armadura longitudinal inferior, no trecho final dos ramos verticais dos estribos e nos seus ramos horizontais, principalmente na intersecção do estribo com as barras longitudinais.

O ramo horizontal inferior dos estribos é importante porque, além de servir de apoio às bielas, também atua para equilibrar as tensões de tração oriundas da inclinação transversal das bielas diagonais, como indicado na Figura 31III e IV.



28

Na Figura 31II mostra-se o apoio da biela na intersecção do estribo com a barra longitudinal inferior, e o acréscimo de tensão ∆σs na armadura longitudinal, entre um estribo e outro e proveniente da atuação da tensão de aderência τb , entre a barra e o concreto.

Figura 31 – Atuação do estribo no modelo de treliça (FUSCO, 2000).

No nó superior os estribos se ancoram no concreto comprimido, e nas barras longitudinais aí posicionadas. Barras porta-estribos também atuam para evitar o fendilhamento, que pode ser provocado pelo gancho do estribo ao aplicar tensões de tração num pequeno volume de concreto.

O ramo horizontal superior do estribo não é obrigatório, porém, sua disposição é indicada para o posicionamento de barras longitudinais internas e para resistir a esforços secundários que geralmente ocorrem.

Vigas largas, com larguras maiores que aproximadamente 40 cm, devem ter estribos com mais de dois ramos verticais, sendo muito comum o uso de estribos com quatro ramos, que oferece a vantagem de ser montado sobrepondo-se dois estribos idênticos de dois ramos. No caso do estribo com três ramos é colocada uma barra adicional no espaço entre os ramos de um estribo convencional com dois ramos (Figura 32).

Figura 32 – Estribos com três e com quatro ramos verticais.



29

8.2 Modos de Ruptura

As formas de ruptura de vigas por efeito de força cortante também foram estudadas por LEONHARDT e MÖNNIG (1982), e são descritas a seguir. Quando as tensões principais de tração inclinadas σI alcançam a resistência do concreto à tração, surgem as primeiras fissuras devidas à força cortante, perpendiculares à direção de σI , como mostrado anteriormente. À medida que as fissuras vão surgindo ocorre uma redistribuição dos esforços internos, e a armadura transversal e as diagonais comprimidas passam então a “trabalhar” de maneira mais efetiva. A redistribuição de esforços depende da quantidade e da direção da armadura transversal, o que leva a diversos tipos de ruptura por força cortante. Com o aumento do carregamento as fissuras de flexão na região de maiores forças cortantes propagam-se com trajetória inclinada, dando origem às chamadas fissuras de flexão com cortante. Se a armadura transversal for insuficiente, o aço atinge a deformação de início de escoamento (εy). As fissuras inclinadas por efeito da força cortante próximas ao apoio desenvolvem-se rapidamente em direção ao banzo comprimido, diminuindo a sua seção resistente, que por fim pode se romper bruscamente (Figura 33). A total falta de armadura transversal também pode levar a esta forma de ruptura. A fissura propaga-se também pela armadura longitudinal de tração nas proximidades do apoio, separando-a do restante da viga (Figura 33).

Figura 33 – Ruptura de viga e laje por rompimento do banzo superior comprimido de concreto.

(LEONHARDT e MÖNNIG, 1982). Pode também ocorrer o rompimento dos estribos, antes da ruptura do banzo comprimido, ou a ruptura na ligação das diagonais comprimidas com o banzo comprimido. A Figura 34 mostra a ruptura que pode ocorrer por rompimento ou deformação excessiva dos estribos.

Figura 34 – Ruína da viga por rompimento dos estribos (LEONHARDT e MÖNNIG, 1982).



30

Em seções com banzos reforçados, como seções I, que possuam armaduras longitudinal e transversal reforçadas, formam-se muitas fissuras inclinadas, e as bielas de compressão entre as fissuras podem romper de maneira brusca ao atingir a resistência do concreto à compressão. Tal ruptura ocorre quando as diagonais são solicitadas além do limite da resistência do concreto, antes que a armadura transversal entre em escoamento (Figura 35).

As bielas de compressão delimitam o limite superior da resistência das vigas ao esforço cortante, o que depende da resistência do concreto. A tensão de compressão nas bielas depende da inclinação dos estribos, como se verá adiante.

Figura 35 - Ruptura das diagonais comprimidas no caso de armadura transversal reforçada.

(LEONHARDT e MÖNNIG, 1982). 9. TRELIÇA CLÁSSICA DE RITTER-MÖRSCH (θ = 45°) Neste item são apresentadas as equações para as forças e as tensões nas barras da treliça clássica, e no item 11 as equações para a treliça generalizada, que servem de base para a dedução das equações contidas na NBR 6118/03 para o dimensionamento das vigas à força cortante. A treliça clássica é a admitida pela NBR 6118/03 para o Modelo de Cálculo I (item 17.4.2.2), onde o ângulo θ é fixo com valor de 45°.

A analogia de uma viga fissurada com uma treliça foi introduzida por RITTER (1899), e serviu para o entendimento do comportamento das vigas à força cortante durante o início do século 20. Cada barra da treliça, indicada na Figura 36, representa uma parte de uma viga simples: o banzo inferior é a armadura longitudinal de tração, o banzo superior é o concreto comprimido pela flexão, as diagonais inclinadas de 45° representam o concreto comprimido entre as fissuras (bielas de compressão) e as diagonais tracionadas inclinadas do ângulo α os estribos. Essa treliça é a chamada “treliça clássica”. Para estribos verticais imagina-se as diagonais tracionadas dispostas na vertical, com ângulo α de 90°. Este modelo de Ritter foi melhorado por Mörsch, assumindo que as diagonais comprimidas estendem-se por mais de um estribo.

O modelo de treliça tradicional assume que as bielas de compressão são paralelas à direção das fissuras inclinadas e que nenhuma tensão é transferida através as fissuras. No entanto, existem dois mecanismos que não são considerados no modelo de treliça tradicional: 1) as tensões de tração que existem no concreto transversalmente às bielas de compressão; 2) as tensões de cisalhamento que são transferidas nas faces das fissuras inclinadas pela ação do engrenamento dos agregados ou atrito. Esses mecanismos resultam: 1) o ângulo da tensão principal de compressão na alma é menor que o ângulo de inclinação das fissuras; 2) uma componente vertical da força ao longo da fissura que contribui para a resistência à força cortante, sendo esse mecanismo resistente chamado como “contribuição do concreto” (Vc). Geralmente, a tensão de tração no concreto entre as fissuras não é considerada nos modelos de treliça (ASCE-ACI, 1998).

A treliça clássica despreza a resistência do concreto à tração e mesmo após a fissuração da viga as diagonais de compressão mantém-se inclinadas de 45°. A “contribuição do concreto” é considerada por meio da parcela Vc , com diferentes valores para cada norma. Considere uma viga bi-apoiada, com o carregamento de uma força concentrada P, e com força cortante constante. A analogia dessa viga fissurada (Estádio II) com a treliça clássica, com



31

ângulo θ de inclinação das diagonais comprimidas (bielas de compressão) de 45° e com diagonais tracionadas inclinadas de um ângulo α qualquer, está mostrada na Figura 36.

Sendo a treliça isostática, as forças nas barras podem ser determinadas considerando-se apenas as condições de equilíbrio dos nós, a partir da força cortante. Considerando a seção 1-1 da treliça sob atuação da força cortante V, a força na diagonal comprimida (biela de compressão - Rcb) é: 45senRV cb= Eq. 11

V245sen

VR cb == Eq. 12

45°

VcbR

1

1

V = P2V = 2

P

P

V

V

45°

diagonal comprimidaP

V = P2

z ( 1 + cotg )

diagonal tracionada banzo tracionado

banzo comprimido

z

( 1 + cotg )

2z

1

1

θ = 45°

V

Figura 36 – Viga representada segundo a treliça clássica de Ritter-Mörsch.

A distância entre duas diagonais comprimidas adjacentes, na direção perpendicular a elas, é (Figura 36):



32

( )α+ cotg12

z

A força em cada diagonal comprimida pode ser considerada aplicada na área de concreto

(área da biela):

bw . ( )α+ cotg12

z

onde α é o ângulo de inclinação das diagonais tracionadas. A tensão média de compressão na biela é então dada por:

( ) ( )α+

=α+

=σcotg1zb

V22

cotg12

zb

R

ww

cbcb

( )α+=σ

cotg1zbV2

wcb Eq. 13

A força na diagonal tracionada (Rs,α), inclinada do ângulo α, pode ser determinada fazendo o equilíbrio da seção 1-1 da treliça (Figura 36):

α= α senRV ,s Eq. 14

α

=α senVR ,s Eq. 15

αV

Rs,α

Cada diagonal de tração com força Rs,α é relativa a um comprimento da viga, a distância z (1 + cotg α), medida na direção do eixo longitudinal, e deve ser resistida por uma armadura chamada transversal, composta por barras (estribos) espaçadas num comprimento s e inclinadas de um ângulo α (Figura 37).

s s s s s s s

Asw,

z ( 1 + cotg )

Figura 37 – Armadura transversal Asw,α resistente à força na diagonal tracionada.



33

Considerando Asw a área de aço de um estribo, a área total de armadura no comprimento z (1 + cotg α) é dada por:

( )scotg1zA ,sw

α+α

onde z (1 + cotg α)/s representa o número de estribos nesse comprimento. A tensão σsw na armadura transversal resulta:

( ) ( ) αα

αα αα+

=α+

=σ,sw,sw

,s,sw A

ssencotg1z

V

scotg1zA

R

( ) αα α+α

=σ,sw

,sw As

cossenzV

Eq. 16

α

Asw,α

s

O ângulo α de inclinação da armadura transversal pode variar teoricamente de 45° a 90°, sendo que na esmagadora maioria dos casos da prática o ângulo adotado é de 90°, com a armadura transversal consistindo de estribos na posição vertical. Porém, é interessante fazer algumas comparações com o ângulo α assumindo os valores de 45° e 90°, o que é mostrado na Tabela 1.

A equação que determina a tensão na diagonal comprimida (σcb) mostra que o ângulo α de inclinação da armadura transversal influencia o valor da tensão na diagonal comprimida. Quando a armadura transversal é colocada na posição vertical, com α = 90°, como a armadura fica inclinada com relação às tensões principais de tração σI a tensão na diagonal comprimida (biela de compressão) resulta o dobro da tensão para quando a armadura é colocada inclinada a 45°. Conclui-se que, quanto mais inclinada for a armadura – até o limite de 45°, menor será a tensão nas bielas de compressão.

Tabela 1 - Resumo das relações para a treliça clássica em função do ângulo α de inclinação das diagonais tracionadas.

Relação α qualquer α = 45° α = 90° Força na diagonal compri-mida (Rcb)

V2 V2 V2

Tensão na diagonal comprimida (σcb) ( )α+ cotg1zb

V2

w

zbV

w

zbV2w

Força de tração na arma-dura transversal (Rs) αsen

V 45sen

V V

Tensão na armadura transversal (σsw) ( ) αα+α ,swA

scossenz

V

2As

zV

45,sw

90,swA

szV

O fato já enunciado da armadura transversal inclinada de 45° ser mais eficiente, por acompanhar a inclinação das tensões principais de tração σI , fica evidenciado ao se comparar as equações da tensão na armadura transversal (σsw). Nota-se que a armadura a 45° resulta 2 vezes



34

menor que a armadura a 90°. No entanto, a armadura a 45° apresenta comprimento 2 vezes maior que a armadura a 90°, o que acaba levando a consumos de armadura praticamente iguais. 10. TRELIÇA GENERALIZADA (θ variável)

Com base nos resultados de numerosas pesquisas experimentais verificou-se no século passado que a inclinação das fissuras é geralmente inferior a 45°, e conseqüentemente as bielas de compressão têm inclinações menores, podendo chegar a ângulos de 30° ou até menores com a horizontal, em função principalmente da quantidade de armadura transversal e da relação entre as larguras da alma e da mesa, em seções T e I por exemplo (Figura 38). Além disso, a treliça não considera a ação de arco nas proximidades dos apoios. Por não fazer essas considerações a treliça clássica de Ritter-Mörsch é conservadora e conduz à armadura transversal um pouco exagerada.

- 30° - 38°

- 38° - 45°

a) treliça de alma espessa

b) treliça de alma delgada

PP

Figura 38 - Treliça generalizada (CEB, 1979).

Para levar em conta a menor inclinação das fissuras surgiu, na década de 60, a chamada “treliça generalizada”, com ângulos θ menores que 45° para a inclinação das diagonais comprimidas (Figura 39). A determinação correta do ângulo θ para uma viga é muito complexa, porque depende de inúmeros fatores.

A dedução das forças na treliça generalizada é semelhante àquela já apresentada para a treliça clássica. Sendo V a força cortante que atua na seção 1-1 da treliça (Figura 39), a força na diagonal comprimida (Rcb) é: θ= senRV cb Eq. 17

θ

=sen

VR cb Eq. 18 V

cbR

1

1

θ



35

diagonal comprimida

PV = 2

diagonal tracionada

α

z

banzo tracionado

banzo comprimido

P

θ

z(cotg θ + cotg α)sen θ

z(cotg θ + cotg α)

θ

1

1

V

Figura 39 - Treliça generalizada com diagonais comprimidas inclinadas com ângulo θ e

armadura transversal inclinada com ângulo α.

A distância entre duas diagonais comprimidas adjacentes, na direção perpendicular a elas, é:

( ) θα+θ sencotggcotz

A força em cada diagonal comprimida pode ser considerada aplicada na área de concreto (área da biela):

bw . ( ) θα+θ sencotggcotz onde α é o ângulo de inclinação das diagonais tracionadas. A tensão média de compressão na biela é então dada por:

( ) θα+θ=σ

sencotggcotzbR

w

cbcb

( ) θα+θ=σ 2

wcb sencotggcotzb

V Eq. 19

A força na diagonal tracionada (Rs,α) pode ser determinada fazendo o equilíbrio da seção 1-1 da treliça (Figura 39): α= α senRV ,s Eq. 20

α

=α senVR ,s Eq. 21

α

VRs,α



36

Cada diagonal de tração com força Rs,α é relativa a um comprimento da viga, a distância z (cotg θ + cotg α), medida na direção do eixo longitudinal da viga, e deve ser resistida por uma armadura transversal composta por barras (estribos) espaçadas num comprimento s e inclinadas de um ângulo α, como indicado na Figura 39.

Considerando Asw a área de aço de um estribo, a área total de armadura no comprimento z (cotg θ + cotg α) é dada por:

( )s

gcot cotg zA ,swα+θ

α

onde z (cotg θ + cotg α)/s representa o números de estribos nesse comprimento. A tensão σsw na armadura transversal resulta:

( )s

cotggcotzAR

sw

,s,sw α+θ

=σ αα

( ) αα αα+θ

=σ,sw

,sw As

sencotggcotzV

Eq. 22

α

Asw,α

s

No modelo de treliça generalizada o ângulo θ é uma incógnita no problema, sendo dependente de diversos fatores. Este é um assunto que vem sendo pesquisado, sendo que nos modelos desenvolvidos por Collins, Mitchell e Vecchio (CFT e MCFT), o ângulo θ é calculado. 11. DIMENSIONAMENTO SEGUNDO A NBR 6118/03

A partir de março de 2003 uma nova versão da NBR 6118 entrou em vigor no Brasil, trazendo significativas mudanças em relação à sua versão anterior, a NB 1/78, quanto ao dimensionamento da armadura transversal para a resistência de elementos de Concreto Armado e Concreto Protendido à força cortante. A nova NBR 6118/03 manteve a hipótese básica da analogia de viga fissurada com uma treliça, de banzos paralelos. Porém, introduziu algumas inovações, como a possibilidade de considerar inclinações diferentes de 45° para as diagonais comprimidas (bielas de compressão), novos valores adotados para a parcela Vc da força cortante absorvida por mecanismos complementares de treliça, adoção da resistência do concreto à compressão para região fissurada (fcd2), constante no código MC-90 do CEB-FIP (1991) e consideração de uma nova sistemática para verificação do rompimento das diagonais comprimidas, por meio da força cortante resistente de cálculo (VRd2) em substituição à tensão de cisalhamento última (τwu).

A norma dividiu o cálculo segundo dois modelos, os Modelos de Cálculo I e II. O Modelo de Cálculo I admite a chamada treliça clássica, com ângulo de inclinação das diagonais comprimidas (θ) fixo em 45°. Já o Modelo de Cálculo II considera a chamada treliça generalizada, onde o ângulo de inclinação das diagonais comprimidas pode variar entre 30° e 45°. Aos modelos de treliça foi associada uma força cortante adicional Vc , proporcionada por mecanismos complementares ao de treliça.

O Modelo de Cálculo I é semelhante ao método constante da versão anterior da norma (NB 1/78), porém, com alteração no valor da parcela Vc . Pode-se dizer que a nova metodologia



37

introduzida pela NBR 6118/03 segue em linhas gerais o MC-90 do CEB-FIP (1991) e o Eurocode 2 de 1992, com algumas mudanças e adaptações (SIMPLICIO e ÁVILA, 2005). A condição de segurança do elemento estrutural é satisfatória quando são verificados os Estados Limites Últimos, atendidas simultaneamente as duas condições seguintes:

2RdSd VV ≤ Eq. 23

swc3RdSd VVVV +=≤ Eq. 24 onde: VSd = força cortante solicitante de cálculo na seção;

VRd2 = força cortante resistente de cálculo, relativa à ruína das diagonais comprimidas de concreto;

VRd3 = Vc + Vsw = força cortante resistente de cálculo, relativa à ruína por tração diagonal; Vsw = parcela absorvida pela armadura transversal. Vc é a parcela de força cortante absorvida por mecanismos complementares ao de treliça.

Tem valor empírico e serve para levar em conta os mecanismos básicos de resistência das vigas à força cortante, apresentados na Figura 13, que são difíceis de serem quantificados. Os três mecanismos principais de resistência são proporcionados por:

a) banzo de concreto comprimido da flexão; b) engrenamento dos agregados ao longo das fissuras inclinadas; c) efeito de pino da armadura longitudinal.

11.1 Modelo de Cálculo I No Modelo de Cálculo I a NBR 6118/03 (item 17.4.2.2) adota a treliça clássica de Ritter-Mörch, ao admitir o ângulo θ de 45o para as diagonais comprimidas de concreto (bielas de compressão), e a parcela complementar Vc tem valor constante, independentemente do esforço cortante VSd .

11.1.1 Verificação da Diagonal Comprimida de Concreto

A equação que define a tensão de compressão nas bielas de concreto para a treliça clássica (θ = 45o) foi deduzida no item 10 (Eq. 13):

( )α+=σ

cotg1zbV2

wcb

A norma limita a tensão de compressão nas bielas ao valor fcd2 , como definido no código MC-90 do CEB (1991). O valor fcd2 atua como um fator redutor da resistência à compressão do concreto, quando há tração transversal por efeito de armadura e existem fissuras transversais às tensões de compressão (Figura 40). O valor fcd2 é definido por:

cdck

2cd f250f

160,0f ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −= = cd2v f60,0 α Eq. 25



38

fissura

tensão de traçãode armadura

tensão < f cd2

Figura 40 – Tensão de compressão com tração transversal conforme o MC-90 do CEB-FIP.

A NBR 6118 (item 17.4.2.2) chama o fator ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −

250f

1 ck de αv2 . Na Eq. 13, substituindo z

por 0,9 d, σcb por fcd2 e fazendo V como a máxima força cortante resistente (VRd2) correspondente à ruína das diagonais comprimidas de concreto, tem-se:

( )α+=α

cotg1d9,0bV2

f60,0w

2Rdcd2v

( )2

gcot1d9,0bf60,0V wcd2v2Rd

α+α= Eq. 26

( )α+α= gcot1dbf27,0V wcd2v2Rd Eq. 27

Fazendo α igual a 90° para estribo vertical a Eq. 27 fica:

dbf27,0V wcd2v2Rd α= Eq. 28

com 250f1 ck

2v −=α (fck em MPa).

Portanto, conforme a Eq. 23, para não ocorrer o esmagamento das diagonais comprimidas

deve-se ter:

2RdSd VV ≤ 11.1.2 Cálculo da Armadura Transversal Da Eq. 24 (VSd ≤ VRd3), fazendo a força cortante de cálculo (VSd) igual à máxima força cortante resistente de cálculo, relativa à ruptura da diagonal tracionada (armadura transversal), tem-se:



39

swc3RdSd VVVV +==

A parcela Vc referente à parte da força cortante absorvida pelos mecanismos complementares ao de treliça é definida como:

a) elementos tracionados quando a linha neutra se situa fora da seção

Vc = 0

b) na flexão simples e na flexo-tração com a linha neutra cortando a seção

dbf6,0VV wctd0cc == Eq. 29 sendo:

3 2ck

cc

ctm

c

inf,ctkctd f3,0.7,0f7,0f

fγ

=γ

=γ

= Eq. 30

com fck em MPa. A força Vc0 representa a resistência à força cortante de uma viga sem estribos, ou seja, é a força cortante que uma viga sem estribos pode resistir.

c) na flexo-compressão

0cmáx,Sd

00cc V2

MM

1VV ≤⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+= Eq. 31

onde:

bw = menor largura da seção, compreendida ao longo da altura útil d; d = altura útil da seção, igual à distância da borda comprimida ao centro de gravidade da armadura de tração; s = espaçamento entre elementos da armadura transversal Asw, medido segundo o eixo longitudinal do elemento estrutural; fywd = tensão na armadura transversal passiva, limitada ao valor fyd no caso de estribos e a 70 % desse valor no caso de barras dobradas, não se tomando, para ambos os casos, valores superiores a 435 MPa; α = ângulo de inclinação da armadura transversal em relação ao eixo longitudinal do elemento estrutural, podendo-se tomar 45° ≤ α ≤ 90°; M0 = momento fletor que anula a tensão normal de compressão na borda da seção (tracionada por Md,max), provocada pelas forças normais de diversas origens concomitantes com VSd, sendo essa tensão calculada com valores de γf e γp iguais a 0,9, os momentos correspondentes a essas forças normais não devem ser considerados no cálculo dessa tensão pois são considerados em MSd, apenas os momentos isostáticos de protensão; MSd,max = momento fletor de cálculo, máximo no trecho em análise, que pode ser tomado como o de maior valor no semitramo considerado, (para esse cálculo, não se consideram os momentos isostáticos de protensão, apenas os hiperestáticos).

Com o valor de Vc conhecido, da Eq. 24 calcula-se a parcela da força cortante a ser resistida pela armadura transversal:



40

cSdsw VVV −= Eq. 32

A equação que define a tensão na diagonal tracionada para a treliça clássica (θ = 45o) foi deduzida no item 10 (Eq. 16):

( ) αα α+α

=σ,sw

,sw As

cossenzV

Substituindo z por 0,9 d, V por Vsw, e fazendo σsw,α igual à máxima tensão admitida na

armadura (fywd), a Eq. 16 modifica-se para:

( ) αα+α=

,sw

swywd A

scossend9,0

Vf Eq. 33

)cos(senfd9,0V

sA

ywd

sw,sw

α+α=α Eq. 34

A NBR 6118/03 (item 17.4.2.2) limita a tensão fywd ao valor de fyd para armadura

transversal constituída por estribos, e a 70 % de fyd quando forem utilizadas barras dobradas inclinadas, não se tomando, para ambos os casos, valores superiores a 435 MPa. Portanto, para estribos tem-se:

43515,1

ffff yk

s

ykydywd ≤=

γ== MPa

A tensão máxima imposta pela norma refere-se ao aço CA-50, pois fyd = 50/1,15 = 435 MPa. No caso do dimensionamento do estribo ser feito com o aço CA-60, esta tensão máxima também deve ser obedecida, ou seja, deve-se calcular como se o aço fosse o CA-50. A inclinação dos estribos deve obedecer à condição oo 9045 ≤α≤ . Para estribo inclinado a 45° e a 90° a Eq. 34 fica respectivamente igual a:

ywd

sw45,sw

fd27,1V

sA

= Eq. 35

ywd

sw90,sw

fd9,0V

sA

= Eq. 36

No caso de serem utilizados os aços CA-50 ou CA-60 e armadura transversal somente na forma de estribos, fywd assume o valor de 43,5 kN/cm2, que aplicado às Eq. 35 e Eq. 36 encontram-se:

d4,55V

sA sw45,sw = Eq. 37

d2,39V

sA sw90,sw = Eq. 38



41

com: Asw = cm2/cm, Vk = kN e d = cm.

É importante observar que s

Asw é a armadura transversal por unidade de comprimento da

viga e Asw é a área de todos os ramos verticais do estribo. Para estribo de dois ramos, que é o tipo aplicado na grande maioria das vigas, Asw equivale à área dos dois ramos verticais do estribo. Para estribos com três ou quatro ramos, Asw é a área de todos os três ou quatro ramos verticais do estribo (Figura 41).

Asw Asw

Figura 41 – Área Asw de estribos de três e quatro ramos.

11.2 Modelo de Cálculo II

No Modelo de Cálculo II a NBR 6118/03 (item 17.4.2.3) admite que o ângulo de inclinação das diagonais de compressão (θ) varie livremente entre 30o e 45o e que a parcela complementar Vc sofra redução com o aumento de VSd. Ao admitir ângulos θ inferiores a 45° a norma adota a chamada “treliça generalizada”, como mostrada no item 11.

11.2.1 Verificação da Diagonal Comprimida de Concreto

Conforme a Eq. 19, no item 11 foi deduzida a expressão para a tensão nas bielas de concreto para a treliça com diagonais comprimidas inclinadas de um ângulo θ:

( ) θα+θ

=σ 2w

cb sengcotgcotzbV

A norma limita a tensão nas bielas comprimidas ao valor fcd2 , valor este constante no código MC-90 do CEB (1991) e definido no item 12.1.1. O valor fcd2 (Eq. 25) é definido por:

cdck

2cd f250f

160,0f ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −= , com fck em MPa.

Chamando o fator ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −

250f

1 ck de αv2 e substituindo z por 0,9 d, σcb por fcd2 e V pela

máxima cortante resistente de cálculo (VRd2), a Eq. 19 transforma-se em:

( ) θα+θ

=α 2w

2Rdcd2v sengcotgcotd9,0b

Vf60,0



42

Isolando VRd2 fica:

( )θ+αθα= gcotgcotsendbf54,0V 2wcd2v2Rd Eq. 39

Para não ocorrer o esmagamento das diagonais comprimidas, conforme a Eq. 23 deve-se ter:

2RdSd VV ≤

11.2.2 Cálculo da Armadura Transversal Da Eq. 24, fazendo a cortante de cálculo (VSd) igual à máxima cortante resistente de

cálculo, relativa à ruptura da diagonal tracionada (armadura transversal), tem-se:

swc3RdSd VVVV +== A parcela Vc referente à parte da força cortante absorvida pelos mecanismos complementares ao de treliça é definida como:

a) elementos tracionados quando a linha neutra se situa fora da seção

Vc = 0

b) na flexão simples e na flexo-tração com a linha neutra cortando a seção

Vc = Vc1

c) na flexo-compressão

1cmáx,Sd

01cc V2

MM

1VV <⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+= Eq. 40

Para a determinação de Vc em função de Vc1 , a seguinte lei de variação para Vc1 deve ser considerada:

Vc1 = Vc0 → para VSd ≤ Vc0 e

Vc1 = 0 → para VSd = VRd2 Eq. 41

interpolando-se os valores intermediários de Vc1 de maneira inversamente proporcional ao acréscimo de VSd .

A Eq. 29 definiu a parcela Vc0:

dbf6,0V wctd0c =

com 3 2ck

cc

ctm

c

,infctkctd f3,0.7,0f7,0f

fγ

=γ

=γ

= (fck em MPa)



43

Na Figura 42 são mostrados dois gráficos diferentes que mostram a variação de Vc1 com VSd , onde, quando VSd for maior que Vc0 , Vc1 pode ser calculada segundo a equação:

0c2Rd

Sd2Rd0c1c VV

VVVV−−

= Eq. 42

VRd20

VSd

Vc1

VSd < Vc0Vc0

Vc1

Vc0 VSd

VRd2 - Vc0

VRd2 - VSd

VSd < Vc0 < V <SdVc0 VRd2

V

Vc0

c0

Vc0

Vc10

VRd2 VSd

VSd

Vc1

VRd2 - Vc0

VRd2 - VSd

Figura 42 – Gráficos demonstrativos da variação entre Vc1 e VSd .

Com o valor de Vc1 conhecido, nas vigas submetidas à flexão simples faz-se Vc = Vc1 , e aplicando a Eq. 24 calcula-se a parcela Vsw da força cortante a ser resistida pela armadura transversal, de modo semelhante à Eq. 32:

cSdsw VVV −=

A equação que define a tensão na diagonal tracionada para a treliça com ângulo de inclinação das diagonais comprimidas igual a θ foi deduzida no item 11 (Eq. 22):



44

( ) αα αα+θ

=σ,sw

,sw As

sencotggcotzV

limitando σsw,α à máxima tensão admitida na armadura (fywd) e fazendo V = Vsw e z = 0,9d, tem-se:

( ) αα αθ+α

==σ,sw

swywd,sw A

ssencotggcotd9,0

Vf

Isolando Asw/s encontra-se a equação para cálculo da armadura transversal:

( ) αθ+α=α

sencotggcotfd9,0V

sA

ywd

sw,swEq. 43

onde: s = espaçamento dos estribos; Asw,α = área de todos os ramos verticais do estribo; α = ângulo de inclinação dos estribos, oo 9045 ≤α≤ ; θ = ângulo de inclinação das bielas de compressão oo 4530 ≤θ≤ ;

fywd = tensão máxima no estribo:

43515,1

fff yk

s

ykywd ≤=

γ= MPa para qualquer tipo de aço.

12. ARMADURA MÍNIMA

GARCIA (2002) afirma que uma armadura transversal mínima deve ser colocada nas vigas a fim de atender os seguintes objetivos: a) na eventualidade de serem aplicados carregamentos não previstos no cálculo, as vigas não apresentem ruptura brusca logo após o surgimento das primeiras fissuras inclinadas; b) limitar a inclinação das bielas e a abertura das fissuras inclinadas; c) evitar a flambagem da armadura longitudinal comprimida.

Conforme a NBR 6118/03 (item 17.4.1.1.1), em todas as vigas deve existir uma armadura transversal mínima, sendo estabelecida a seguinte equação para a taxa geométrica mínima, constituída por estribos:

ywk

m,ct

w

swsw f

f2,0

sensbA

≥α

=ρ Eq. 44

onde:

Asw = área da seção transversal total de cada estribo, compreendendo todos os seus ramos verticais;

s = espaçamento dos estribos; α = ângulo de inclinação dos estribos em relação ao eixo longitudinal do elemento

estrutural; bw = largura média da alma; fywk = resistência ao escoamento do aço da armadura transversal, valor característico; fct,m = resistência média à tração do concreto.



45

Isolando Asw/s na Eq. 44 e fazendo como armadura mínima fica:

α≥ senbf

f2,0s

Aw

ywk

m,ctmín,sw Eq. 45

Para estribo vertical (α = 90°) e fazendo o espaçamento s igual a 100 cm, a armadura

mínima fica:

wywk

m,ctmín,sw b

ff20

A = Eq. 46

com: Asw,mín = área da seção transversal de todos os ramos verticais do estribo (cm2/m);

bw em cm; fywk em kN/cm2. A resistência fct,m deve ser aplicada em kN/cm2 e calculada como:

3 2ckm,ct f3,0f = (fck em MPa).

13. DISPOSIÇÕES CONSTRUTIVAS

As armaduras destinadas a resistir aos esforços de tração provocados por forças cortantes podem ser constituídas por estribos, combinados ou não com barras dobradas ou barras soldadas.

Os estribos para cortantes devem ser fechados através de um ramo horizontal, envolvendo as barras da armadura longitudinal de tração, e ancorados na face oposta. Quando essa face também puder estar tracionada, o estribo deve ter o ramo horizontal nessa região, ou complementado por meio de barra adicional. 13.1 Diâmetro do Estribo As prescrições para o diâmetro do estribo são:

5 mm ≤ φt ≤ bw/10 Eq. 47

- para barra lisa, o diâmetro deve ser inferior a 12,5 mm; - para estribos formados por telas soldadas, o diâmetro mínimo pode ser reduzido para

4,2 mm, desde que sejam tomadas precauções contra a corrosão dessa armadura. 13.2 Espaçamento Mínimo e Máximo entre os Estribos

“O espaçamento mínimo entre estribos, medido segundo o eixo longitudinal do elemento estrutural, deve ser suficiente para permitir a passagem do vibrador, garantindo um bom adensamento da massa” (NBR 6118/03, item 18.3.3.2). Adotando-se uma folga de 1 cm para a passagem do vibrador, o espaçamento mínimo fica:

s ≥ φvibr + 1 cm Eq. 48 A fim de evitar que uma fissura não seja interceptada por pelo menos um estribo, os

estribos não devem ter um espaçamento maior que um valor máximo, estabelecido conforme as seguintes condições:



46

⎪⎩

⎪⎨

⎧

≤≤⇒>

≤≤⇒≤

cm20d3,0sV67,0

cm30d6,0sV67,0V

2Rd

2Rd

Sd Eq. 49

13.3 Espaçamento Máximo entre os Ramos Verticais do Estribo

O espaçamento transversal (st) entre os ramos verticais sucessivos dos estribos não deve exceder os seguintes valores:

⎪⎩

⎪⎨

⎧

≤≤⇒>

≤≤⇒≤

cm35d6,0sV20,0

cm80dsV20,0V

t2Rd

t2Rd

Sd Eq. 50

O espaçamento transversal (st) serve para definir qual o número de ramos verticais deve

ser especificado para os estribos, principalmente no caso de estribos de vigas largas. Nas vigas correntes das construções, com larguras geralmente até 30 cm, o estribo mais

comum de ser aplicado é o de dois ramos verticais, que é simples de ser feito e amarrado com as barras longitudinais de flexão. Porém, em vigas largas, como vigas de equilíbrio em fundações de edifícios, vigas de pontes, vigas com grandes vãos, etc., se a distância entre os ramos verticais do estribo supera o espaçamento máximo permitido, a solução é aumentar o número de ramos, geralmente fazendo ramos pares, pois assim os estribos podem ser idênticos. O maior número de ramos é obtido pela sobreposição dos estribos na mesma seção transversal, como mostrado na Figura 41 para quatro ramos. 13.4 Emendas do Estribo As emendas por transpasse são permitidas apenas quando os estribos forem constituídos por telas ou por barras de alta aderência (NBR 6118/03, item 18.3.3.2). 13.5 Ancoragem do Estribo A ancoragem dos estribos deve necessariamente ser garantida por meio de ganchos ou barras longitudinais soldadas (NBR 6118/03, item 9.4.6). Os ganchos dos estribos podem ser (NBR 6118/03, item 9.4.6.1), Figura 43:

a) semicirculares ou em ângulo de 45° (interno), com ponta reta de comprimento igual a 5 φt , porém não inferior a 5 cm;

b) em ângulo reto, com ponta reta de comprimento maior ou igual a 10 φt , porém não inferior a 7 cm (este tipo de gancho não deve ser utilizado para barras e fios lisos). O diâmetro interno da curvatura dos estribos deve ser, no mínimo, igual ao índice dado na

Tabela 2.

Tabela 2 – Diâmetro dos pinos de dobramento para estribos.

Tipo de aço Bitola (mm) CA-25 CA-50 CA-60

≤ 10 3 φt 3 φt 3 φt

10 < φ < 20 4 φt 5 φt -

≥ 20 5 φt 8 φt -



47

φt

D

5 φ ≥ 5cmt

φt

t

D

10 φ ≥ 7cm

φt

D

45°

5 φ ≥ 5cm

Figura 43 – Tipos de ganchos para os estribos.

No item 9.4.2.2 a NBR 6118/03 prescreve como deve ser a ancoragem de estribos por meio de barras transversais soldadas. 13.6 Barras Dobradas (Cavaletes) O item 18.3.3.3 da NBR 6118 apresenta as prescrições para elementos estruturais armados com barras dobradas. Na prática, não é mais usual a utilização de barras dobradas para a resistência à força cortante, e por este motivo as prescrições não serão aqui apresentadas. 14. EQUAÇÕES SIMPLIFICADAS

Com base na formulação contida na NBR 6118/03 e deduzidas nos itens precedentes, desenvolvem-se a seguir equações um pouco mais simples com o objetivo de automatizar o dimensionamento das armaduras transversais para as vigas de Concreto Armado, submetidas à flexão simples. O uso dessas equações torna o cálculo mais simples e rápido, facilitando o trabalho manual. Na seqüência, as equações teóricas dos Modelos de Cálculo I e II são remanejadas e simplificadas.



48

14.1 Modelo de Cálculo I O modelo de cálculo I assume a treliça clássica, com o ângulo de inclinação das diagonais comprimidas θ = 45°. 14.1.1 Força Cortante Máxima

Para verificar se ocorrerá ou não o esmagamento das bielas de compressão, considera-se a situação limite 2RdSd VV = , a partir das Eq. 23 e Eq. 28:

dbf27,0V wcd2v2Rd α=

Com 250f1 ck

2v −=α , γc = 1,4 e estribo vertical (α = 90°), resulta a equação para VRd2 :

dbf250f

1027,0V wcdck

2Rd ⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛ −= Eq. 51

com c

ckcd

ffγ

= e fck em MPa e VRd2 em kN.

Se VSd ≤ VRd2 não ocorrerá o esmagamento das bielas de compressão.

Na Tabela 3 encontram-se equações de VRd2 em função da resistência fck dos concretos, que devem ser utilizadas para a determinação mais rápida de VRd2. 14.1.2 Força Cortante Correspondente à Armadura Mínima

A força cortante correspondente à armadura mínima (VSd,mín) pode ser obtida por meio da igualdade:

sA

sA swmín,sw = Eq. 52

Conforme as Eq. 34 e Eq. 44 tem-se:

)cos(senfd9,0V

sA

ywd

sw,sw

α+α=α Eq. 53

αρ= senbs

Awmín,sw

mín,sw Eq. 54

Aplicando as Eq. 53 e Eq. 54 na Eq. 52 e fazendo o ângulo α igual a 90° (estribo vertical):

)90cos90(senfd9,0V

90senbywd

mín,swwmín,sw +

=ρ Eq. 55

ou ainda,



49

ywdwmín,swmín,sw fd9,0bV ρ= Eq. 56 Sendo a taxa de armadura mínima dada por:

ywk

3 2ck

ywk

ctmmín,sw f

f3,02,0

ff

2,0 =≥ρ Eq. 57

a Eq. 56 passa a ser escrita em função das resistências características do concreto e do aço:

15,1f

d9,0bf10f

06,0V ywkw

ywk

3 2ck

mín,sw = Eq. 58

O fator dez na Eq. 58 é para transformar fctm de MPa para kN/cm2. Fazendo as simplificações na Eq. 58 obtém-se a Eq. 59, referente à resistência da viga correspondente à armadura mínima, em função da resistência característica do concreto:

3 2ckwmín,sw fdb0047,0V = Eq. 59

Fazendo Vc = Vc0 na Eq. 24 (VSd = Vc + Vsw)de verificação do Estado Limite Último, tem-

se: mín,sw0cmín,Sd VVV +=

Substituindo-se as expressões de Vc0 e de Vsw,mín, Eq. 29 e Eq. 59, respectivamente,

resulta:

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+= 0047,0

10.4,13,0.7,0.6,0fdbV 3 2

ckwmín,Sd Eq. 60

ou ainda,

3 2ckwmín,Sd fdb0137,0V = Eq. 61

com fck em MPa e VSd,mín em kN. A força cortante solicitante de cálculo deve ser comparada com a força VSd,mín e:

Se VSd ≤ VSd,mín → utiliza-se armadura transversal mínima; Se VSd > VSd,mín → calcula-se a armadura transversal para VSd .

Na Tabela 3 encontram-se apresentadas as equações para VSd,mín em função da resistência característica fck dos concretos normalizados pela NBR 8953 (1992). 14.1.3 Armadura Transversal

Para a determinação da armadura transversal necessária, também em função da resistência do concreto, pode-se retomar a Eq. 34:

)cos(senfd9,0V

sA

ywd

sw,sw

α+α=α



50

e, como cSdsw VVV −= , considerando-se também fywd = 435 MPa (aços CA-50 e CA-60), s = 100 cm e estribo vertical (α = 90°), obtém-se:

)90cos90(sen5,43.d.9,0dbf6,0V

100A

oowctdSdsw

+−

= Eq. 62

ou ainda, simplificando-se:

3 2ckw

Sd90,sw fb023,0

dV55,2A −= Eq. 63

com fck em MPa e Asw em cm2/m. A Tabela 3 mostra as Eq. 51, Eq. 61 e Eq. 63, para VRd2 , VSd,mín e Asw respectivamente, em função da resistência característica do concreto à compressão (fck). Entrando com bw e d em cm e VSd em kN, resultam VRd2 e VSd,mín em kN e Asw em cm2/m.

Nota-se que os coeficientes de segurança γc e γs , com valores de 1,4 e 1,15, respectivamente, já estão considerados nas equações constantes da Tabela 3. As equações valem para os aços CA-50 e CA-60.

Tabela 3 – Equações simplificadas para diferentes valores de fck segundo o Modelo de Cálculo I.

Modelo de Cálculo I (estribo vertical, γc = 1,4, γs = 1,15, aços CA-50 e CA-60).

Concreto VRd2 (kN)

VSd,mín (kN)

Asw (cm2/m)

C15 db27,0 w db083,0 w wSd b14,0d

V55,2 −

C20 db35,0 w db101,0 w wSd b17,0d

V55,2 −

C25 db43,0 w db117,0 w wSd b20,0d

V55,2 −

C30 db51,0 w db132,0 w wSd b22,0d

V55,2 −

C35 db58,0 w db147,0 w wSd b25,0d

V55,2 −

C40 db65,0 w db160,0 w wSd b27,0d

V55,2 −

C45 db71,0 w db173,0 w wSd b29,0d

V55,2 −

C50 db77,0 w db186,0 w wSd b31,0d

V55,2 −

bw = largura da viga, cm; VSd = força cortante de cálculo, kN; d = altura útil, cm;



51


Processo semelhante ao desenvolvido para o Modelo de Cálculo I pode ser aplicado ao Modelo II com o intuito de definir equações simplificadoras.

14.2.1 Força Cortante Última

Para a verificação do esmagamento das bielas de compressão, considera-se a situação limite 2RdSd VV = , a partir da Eq. 23 aplicada na Eq. 39:

( )θ+αθα= gcotgcotsendbf54,0V 2

wcd2v2Rd

Com 250f1 ck

2v −=α , γc = 1,4 e estribo vertical (α = 90°), resulta a equação para VRd2 :

θθ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −= cossendbf

250f1054,0V wcd

ck2Rd Eq. 64

com c

ckcd

ffγ

= e fck em MPa.

Deve ser considerada a condição necessária:

Se VSd ≤ VRd2 não ocorrerá o esmagamento das bielas de compressão.

Na Tabela 4 encontram-se apresentadas equações mais simples para VRd2 em função da resistência característica dos concretos (fck), a serem utilizadas nos cálculo de dimensionamento.

14.2.2 Força Cortante Correspondente à Armadura Mínima

A força cortante correspondente à armadura mínima (VSd,mín) pode ser obtida por meio da igualdade, resultante da Eq. 24:

mín,swcmín,Sd VVV += Eq. 65 Das Eq. 43 e Eq. 45:

( ) αθ+α= α sencotggcotfd9,0s

AV ywd

,swsw

α= senbf

f3,02,0

sA

wywk

3 2ckmín,sw

aplicando a armadura mínima na Eq. 43 fica:

( ) αθ+αα= sencotggcot15,1

fd9,0senb

f.10f3,0

2,0V ywkw

ywk

3 2ck

mín,sw Eq. 66



52

Para estribo vertical (α = 90°) a Eq. 66 fica:

θ= gcotdbf0047,0V w3 2

ckmín,sw Eq. 67 Sendo Vc = Vc1 (item 11.2.2b) e aplicando a Eq. 67 na Eq. 65 tem-se a força cortante

mínima, referente à resistência da viga com a armadura mínima, em função da resistência característica do concreto:

θ+= gcotfdb0047,0VV 3 2ckw1cmín,Sd Eq. 68

com fck em MPa. A força cortante solicitante de cálculo deve ser comparada com a força VSd,mín e:

Se VSd ≤ VSd,mín → utiliza-se armadura transversal mínima; Se VSd > VSd,mín → calcula-se a armadura transversal para VSd .

Na Tabela 4 encontram-se apresentadas as equações para VSd,mín em função da resistência característica fck dos concretos.

14.2.3 Armadura Transversal

Para a determinação da armadura transversal necessária, também em função da resistência do concreto à compressão, pode-se retomar a Eq. 43:

( ) αθ+α=α

sencotggcotfd9,0V

sA

ywd

sw,sw

e, como 1cSdsw VVV −= (Eq. 32, com Vc = Vc1 na flexão simples), considerando-se também fywd = 435 MPa (aços CA-50 e CA-60), s = 100 cm e estribo vertical (α = 90°), obtém-se:

θ−

=gcot5,43.d.9,0

VV100

A 1cSd90,sw

ou, ainda, simplificando-se:

( )θ

−=

gcot.dVV55,2A 1cSd

90,sw Eq. 69

com d em cm, VSd e Vc1 em kN e Asw em cm2/m.

A parcela Vc1 sai da Eq. 42 já definida:

( )0c2Rd

Sd2Rd0c1c VV

VVVV−

−=



53

A Tabela 4 mostra as Eq. 64, Eq. 68 e Eq. 69, para VSRd2 , VSd,mín e Asw respectivamente, em função da resistência característica do concreto à compressão (fck). Entrando com bw e d em cm e VSd e Vc1 em kN, resultam VRd2 e VSd,mín em kN e Asw em cm2/m.

Nota-se que os coeficientes de segurança γc e γs , com valores de 1,4 e 1,15, respectivamente, já estão considerados nas equações constantes da Tabela 4.

Tabela 4 – Equações simplificadas para diferentes valores de fck segundo Modelo de Cálculo II.

Modelo de Cálculo II (estribo vertical, γc = 1,4, γs = 1,15, aços CA-50 e CA-60)

Concreto VRd2 (kN)

VSd,mín (kN)

Asw (cm2/m)

C15 θθ cos.sen.d.b54,0 w 1cw Vgcot.d.b.029,0 +θ








( )d

VVtg55,2 1cSd −

θ

bw = largura da viga, cm; VSd = força cortante de cálculo, kN; d = altura útil, cm; θ = ângulo de inclinação das bielas de compressão (°); VC1 = força cortante proporcionada pelos mecanismos complementares ao de treliça, kN;

15. CONSIDERAÇÕES SOBRE O ÂNGULO DE INCLINAÇÃO DAS DIAGONAIS DE

COMPRESSÃO (θ) Investigações experimentais mostraram que, após iniciado o processo de fissuração na viga, ocorre uma redistribuição dos esforços internos, proporcional à rigidez, principalmente das diagonais de compressão e do banzo comprimido. No caso de seção retangular, por exemplo, as diagonais de compressão são rígidas em relação ao banzo comprimido, o qual inclina-se em direção ao apoio, criando o efeito de arco atirantado na viga, como indicado na Figura 15. O banzo comprimido, ao inclinar-se em direção ao apoio pode até mesmo absorver toda a força transversal, por meio de sua componente vertical, como indicada na Figura 44. A rigidez das barras da treliça depende das quantidades de armaduras longitudinal e transversal, mas principalmente das áreas de concreto que formam o banzo comprimido e as diagonais de compressão, expressa simplificadamente pela relação b/bw, como indicado na Figura 44. Com a diminuição da relação b/bw ocorre um aumento da inclinação da força no banzo comprimido e uma diminuição da inclinação das diagonais comprimidas (diminuição de θ) e,



54

como conseqüência, os esforços de tração na alma diminuem progressivamente em comparação àqueles calculados segundo a treliça clássica.

R

P

ccccR ~~ V

ccR

P

Rs Rcb

h f

b

bw

ccR ~ V~

Figura 44 – Efeito de arco em viga de seção retangular e seção T com inclinação

do banzo comprimido em direção ao apoio.

Os ensaios experimentais realizados na Alemanha e descritos por LEONHARDT e MÖNNIG (1982) mostraram também que “a inclinação das fissuras de cisalhamento ou das diagonais comprimidas varia com a relação b/bw; essa inclinação situa-se em torno de 30° para b/bw = 1 e cresce para cerca de 45° para b/bw = 8 a 12. As diagonais de compressão que possuem uma inclinação menor que 45° conduzem a esforços de tração na alma de menor valor.” Dessas constatações feitas em diversos ensaios experimentais pode-se concluir que é adequado considerar ângulos θ inferiores a 45° quando do dimensionamento de vigas de seção retangular, isto é, segundo LEONHARDT e MÖNNIG (1982) devem ou podem ser adotados valores para θ em torno de 30°. No caso de seções com banzos comprimidos mais rígidos, como seções em forma de T, I, etc., a força no banzo comprimido inclina-se pouco, e o ângulo de inclinação das fissuras de cisalhamento tende a crescer para 45°. Recomenda-se neste caso adotar θ variando de 38 a 45°, conforme a relação b/bw , com b e bw indicados na Figura 44. 16. REDUÇÃO DA FORÇA CORTANTE Ensaios experimentais com medição da tensão nos estribos mostram que o modelo de treliça desenvolvido para as vigas é efetivamente válido após uma pequena distância dos apoios, pois se constatou que os estribos muito próximos aos apoios apresentam tensão menor que os estribos fora deste trecho. Em função desta característica, na região junto aos apoios, a NBR 6118 (item 17.4.1.2.1) permite uma pequena redução da força cortante para o dimensionamento da armadura transversal. No caso de apoio direto, com a carga e a reação de apoio aplicadas em faces opostas (comprimindo-as), valem as seguintes prescrições: a) a força cortante oriunda de carga distribuída pode ser considerada, no trecho entre o apoio e a

seção situada à distância d/2 da face de apoio, constante e igual à desta seção (Figura 45);

b) a força cortante devida a uma carga concentrada aplicada a uma distância a ≤ 2d do eixo teórico do apoio pode, nesse trecho de comprimento a, ser reduzida multiplicando-a por a/2d. Esta redução não se aplica às forças cortantes provenientes dos cabos inclinados de protensão (Figura 46).



55

As reduções indicadas neste item não se aplicam na verificação da resistência à compressão diagonal do concreto (bielas de compressão). No caso de apoios indiretos, essas reduções também não são permitidas.

h

d / 2

R dVd

Figura 45 – Redução da força cortante para viga sob carregamento uniforme.

A redução da força cortante junto aos apoios, como descrito acima, não é feita na prática por muitos engenheiros estruturais, por questão de simplicidade e a favor da segurança.

h

a < 2d

R d redução em dV

R d Vd

Figura 46 – Redução da força cortante para viga sob carga concentrada.

17. CARREGAMENTO APLICADO NA PARTE INFERIOR DAS VIGAS A analogia de treliça com as vigas implica na aplicação do carregamento no lado superior da viga, nos nós do banzo superior da treliça. Quando o carregamento é aplicado no lado inferior da viga, deve ser prevista uma armadura transversal para transferir o carregamento para a borda superior da viga, sendo chamada “Armadura de Suspensão”, e que deve ser somada à armadura transversal destinada a resistir às forças cortantes atuantes. Vigas invertidas e vigas I com o carregamento aplicado na parte inferior devem ter uma armadura de suspensão projetada e detalhada.



56

18. ARMADURA DE SUSPENSÃO Segundo a NBR 6118/03 (item 18.3.6), “Nas proximidades de cargas concentradas transmitidas à viga por outras vigas ou elementos discretos que nela se apóiam ao longo ou em parte de sua altura, ou fiquem nela pendurados, deve ser colocada armadura de suspensão”. Os apoios das vigas são geralmente os pilares e outras vigas, com preponderância para os pilares. Quando o apoio é um pilar o apoio é chamado “direto” e quando é uma outra viga o apoio é chamado “indireto” (Figura 47).

VS2

VS

6

P5V

S5

VS

4

P4

Apoio direto

VS2

P4 P5 VS6

Apoio direto Apoio indireto

Figura 47 – Apoios direto e indireto das vigas de concreto armado.

As vigas de concreto armado transmitem as cargas aos apoios principalmente por meio das bielas de compressão, na parte inferior da viga. Por isso, quando uma viga apóia-se sobre outra, há a necessidade de suspender a carga para a parte superior da viga que serve de apoio à outra (Figura 48).

Viga de

apoio

Viga apoiada

Estribo

Viga de apoio

Viga apoiada

dV

Figura 48 – Transmissão do carregamento de uma viga para outra que lhe serve de apoio.



57

A força que a viga apoiada aplica sobre a viga de apoio deve ser transferida para a zona comprimida da viga de apoio, o que geralmente é feito por meio de estribos. Em função de diferenças entre as alturas e o nível das duas vigas os seguintes casos podem ocorrer: a) Vigas com faces inferiores no mesmo nível A Figura 49 mostra duas vigas com alturas iguais e as faces inferiores no mesmo nível. Neste caso, a área de armadura de suspensão é calculada pela equação:

yd

dsusp,s f

VA = (Eq. 70)

onde Vd é a força de cálculo aplicada pela viga apoiada naquela que lhe serve de apoio, e fyd é a resistência de cálculo de início de escoamento do aço.

Viga de

apoio

Viga apoiada

Estribo

Viga de apoioViga apoiada

dV

Figura 49 – Vigas com faces inferiores no mesmo nível.

A armadura de suspensão As,susp deve ficar distribuída nas regiões de encontro das duas vigas, conforme as distâncias indicadas na Figura 50.

h >

s,suspA

apoio

bw,a

w,apoiob

ah /2> b /2w,apoio

w,ab /2

Figura 50 – Região de distribuição da armadura de suspensão nas duas vigas.



58

b) Face inferior da viga apoiada acima da face inferior da viga de apoio

A Figura 49 mostra duas vigas com alturas diferentes e a face da viga que se apóia está acima da face inferior da viga que serve de apoio. A armadura de suspensão é função das alturas das duas vigas, sendo dada por:

yd

d

apoio

asusp,s f

Vh

hA = (Eq. 71)

A distribuição dessa armadura segue o indicado na Figura 51.

Estribo

Viga de apoio

Viga apoiada

dV

h apo

io

h a

Figura 51 - Face inferior da viga apoiada acima da face inferior da viga de apoio.

c) Face inferior da viga apoiada abaixo da face inferior da viga de apoio A Figura 52 mostra o caso de viga com face inferior apoiada abaixo da face inferior da viga de apoio. Esse tipo de arranjo entre as duas vigas deve ser evitado tanto quanto possível nas estruturas de concreto armado.

A força que a viga apoiada aplica sobre a viga de apoio deve ser transferida para a parte superior da viga de apoio, com área de armadura:

yd

dsusp,s f

VA = (Eq. 72)

Vd

Viga apoiada

Viga de apoio

Estribo

Figura 52 – Viga apoiada com a face inferior abaixo da face inferior da viga de apoio.



59

Essa armadura pode ser colocada na forma de estribos, que devem estar distribuídos na largura da viga de apoio (Figura 53).

apoio

A viga de apoios,susp s,suspA viga pendurada

~ h

Figura 53 – Distribuição das armaduras de suspensão.

Na viga que serve de apoio deve ser colocada uma armadura para reforçar a região que recebe a força da viga apoiada, com área de armadura de:

yd

dsusp,s f2

VA = (Eq. 73)

19. EXEMPLO NUMÉRICO 1 A Figura 54 mostra uma viga bi-apoiada sob flexão simples para a qual deve-se calcular e detalhar a armadura transversal, composta por estribos verticais.

Figura 54 – Esquema estático e carregamento da viga (DUMÊT e PINHEIRO, 2000).

São conhecidos:

concreto C20 ; aço CA-50 γc = γf = 1,4 γs = 1,15 d = 46 cm c = 2,0 cm

Por simplicidade e a favor da segurança a força cortante solicitante no apoio não será reduzida, conforme permitido pela NBR 6118/03 e apresentado no item 17, de tal forma que: Vk = 100,0 kN ⇒ VSd = γf . Vk = 1,4 . 100,0 = 140,0 kN

5,0 m

p = 40 kN/m

seção transversal

50 cm

12 cm 100

100 Vk (kN)



60

Segundo indicações contidas em LEONHARDT e MÖNNIG (1982) e apresentadas no item 16, quando a seção transversal é retangular o ângulo de inclinação das bielas (θ) aproxima-se de 30°. Ângulos menores resultam armaduras transversais menores. Neste exemplo, para fins de comparação, o cálculo da área de armadura transversal será feito segundo os Modelos de Cálculo I, onde θ é fixo em 45°, e também conforme o Modelo de Cálculo II, com ângulo θ adotado igual a 30°. O ângulo α de inclinação dos estribos será adotado como 90°, isto é, os estribos serão verticais. Barras dobradas não serão utilizadas.

Como exemplificação a resolução será feita conforme as equações teóricas deduzidas no item 12 e também segundo as equações simplificadas apresentadas no item 15. 19.1 Equações Teóricas da Norma 19.1.1 Modelo de Cálculo I O Modelo de Cálculo I supõe a treliça clássica de Ritter-Mörsch, onde o ângulo θ é fixo e igual a 45°. a) Verificação da Compressão nas Bielas Para não ocorrer o esmagamento do concreto que compõe as bielas comprimidas deve-se ter (Eq. 23): VSd ≤ VRd2 A Eq. 27 definiu o valor de VRd2 :

dbf250f127,0V wcd

ck2Rd ⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ −= , com fck em MPa

Substituindo os valores numéricos na equação e considerando as unidades kN e cm para as

variáveis, tem-se:

9,19546.124,10,2

25020127,0V 2Rd =⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ −= kN

VSd = 140,0 kN < VRd2 = 195,9 kN A verificação demonstra que não ocorrerá o esmagamento das bielas de compressão e

pode-se assim dimensionar a armadura transversal para a viga. Caso resultasse VSd > VRd2 a viga teria que passar por alguma modificação, de modo a tornar VSd menor que VRd2. Geralmente, na prática, as dimensões pré-determinadas para as vigas resultam valores VRd2 maiores que VSd . Caso isso não ocorra e assumindo que VSd não possa ser diminuído, a solução do problema é aumentar VRd2 , o que pode ser obtido aumentando-se as dimensões da seção transversal da viga (bw e h) ou a resistência do concreto. Geralmente não se altera o concreto porque aplica-se um único tipo de concreto para todos os elementos do pavimento, e a largura da viga normalmente depende da largura da parede na qual a viga está embutida, não podendo ser alterada livremente.

A solução mais utilizada é o aumento da altura da viga, devendo, porém, verificar se o projeto arquitetônico permite a altura maior para a viga.

Por outro lado, como as dimensões especificadas para a seção transversal das vigas são determinadas em função dos momentos fletores, das flechas e da estabilidade global em edifícios altos, geralmente os valores de VRd2 são maiores que a força cortante solicitante (VSd).



61

b) Cálculo da Armadura Transversal

Para efeito de comparação com a armadura calculada, primeiramente será determinada a armadura mínima (Eq. 46) para estribo vertical ( α = 90°) e aço CA-50:

wywk

ctmmín,sw b

ff20A ≥ (cm2/m)

A resistência média do concreto à tração direta é:

21,2203,0f3,0f 3 23 2ckctm === MPa

06,112.50

221,0.20A mín,sw ≥≥ cm2/m

Para calcular a armadura transversal devem ser determinadas as parcelas da força cortante que serão absorvidas pelos mecanismos complementares ao de treliça (Vc) e pela armadura (Vsw), de tal modo que (Eq. 24):

swcSd VVV += Na flexão simples, a parcela Vc é determinada pela Eq. 29:

dbf6,0VV wctd0cc ==

com: 3 2ck

cc

ctm

c


fγ

=γ

=γ

= (fck em MPa)

11,1204,1

3,0.7,0f 3 2ctd == MPa = 0,111 kN/cm2

6,3646.12.111,0.6,0VV 0cc === kN Portanto, da Eq. 32:

Vsw = VSd – Vc = 140,0 – 36,6 = 103,4 kN A armadura, de acordo com a Eq. 38, é:

d2,39

Vs

A sw90,sw = ⇒ 0573,046.2,394,103

sA 90,sw == cm2/cm

Asw,90 = 5,73 cm2/m > Asw,mín = 1,06 cm2/m Portanto, deve-se dispor a armadura calculada, de 5,73 cm2/m.



62

19.1.2 Modelo de Cálculo II com θ = 30o

a) Verificação da Compressão nas Bielas

Para não ocorrer o esmagamento do concreto que compõe as bielas comprimidas deve-se ter (Eq. 23): VSd ≤ VRd2 A equação que define VRd2 é (Eq. 39):

( )θ+αθ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −= gcotgcotsendbf

250f154,0V 2

wcdck

2Rd , com fck em MPa

Aplicando a equação numericamente e com as unidades kN e cm para as variáveis, tem-se:

( ) 6,16930gcot90gcot30sen.46.124,10,2

25020154,0V 2

2Rd =+⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −= kN

VSd = 140,0 kN < VRd2 = 169,6 kN A verificação demonstra que não ocorrerá o esmagamento das bielas de compressão em

ambos os apoios.

b) Cálculo da Armadura Transversal Para calcular a armadura deve-se determinar as parcelas da força cortante que serão absorvidas pelos mecanismos complementares ao de treliça (Vc) e pela armadura (Vsw), de tal modo que (Eq. 24):

swcSd VVV += Na flexão simples, a parcela Vc é igual a Vc1. Devem também ser calculados (Eq. 29):

dbf6,0V wctd0c =

com: 3 2ck

cc

ctm

c


fγ

=γ

=γ

= (fck em MPa)

11,1204,1

3,0.7,0f 3 2ctd == MPa = 0,111 kN/cm2

6,3646.12.111,0.6,0V 0c == kN

O esquema gráfico mostrado na Figura 55 apresenta a relação inversa entre a força Vc1 e a solicitação de cálculo VSd, explicitando que, quanto maior o grau de solicitação, menor será a contribuição proporcionada pelos mecanismos complementares ao de treliça na resistência à força cortante. Como VSd é maior que Vc0, a parcela Vc1 deve ser calculada pela Eq. 42, ilustrada no gráfico da Figura 55.



63

Vc10

VSd

Vc1

VRd2 - Vc0

VRd2 - VSd

= 36,6

36,6

36,6140,0169,7

29,7

= 133,1

Vc0

Figura 55 - Interpolação para obtenção do valor de Vc1 em função de VSd .

Conforme a Eq. 42, resulta:

2,86,367,1690,1407,1696,36

VVVVVVV

0c2Rd

Sd2Rd0c1cc =

−−

=−−

== kN

A parcela da força cortante a ser resistida pela armadura transversal é:

8,1312,80,140VVV cSdsw =−=−= kN A Eq. 43 foi definida para o cálculo da armadura transversal:

( ) αθ+α=α

sencotggcotfd9,0V

sA

ywd

sw,sw

A armadura transversal com estribo vertical é:

( )

0423,090sen30cotg90gcot

15,150.46.9,0

8,131s

A 90,sw =+

= cm2/cm

Asw,90 = 4,23 cm2/m > Asw,mín = 1,06 cm2/m Portanto, deve-se dispor a armadura calculada, de 4,23 cm2/m.

19.2 Equações Simplificadas A fim de exemplificação são aplicadas as equações definidas no item 15. 19.2.1 Modelo de Cálculo I a) Verificação da Compressão nas Bielas



64

Da Tabela 3, para concreto C20, determina-se a força cortante última ou máxima que a viga pode resistir:

2,19346.12.35,0db35,0V w2Rd === kN

→=<= kN2,193V0,140V 2RdSd não ocorrerá esmagamento das diagonais de concreto.

b) Cálculo da Armadura Transversal

Da Tabela 3, para concreto C20, a equação para determinar a força cortante correspondente à armadura mínima é:

8,5546.12.101,0db101,0V wmín,Sd === kN

→=>= kN8,55V0,140V mín,SdSd portanto, deve-se calcular a armadura transversal p/ VSd

Da equação para Asw na Tabela 3 (concreto C20):

72,5A12.17,046

0,14055,2b17,0d

V55,2A swwSd

sw =⇒−=−= cm2/m

Como Asw = 5,72 cm2/m > Asw,mín = 1,06 cm2/m, deve-se dispor a armadura calculada. Observe que ocorre grande semelhança nos valores obtidos para as armaduras transversais calculadas segundo as duas formulações - equações teóricas (Asw = 5,73 cm2/m) e equações simplificadas (Asw = 5,72 cm2/m). 19.2.2 Modelo de Cálculo II com θ = 30o a) Verificação da Compressão nas Bielas

Da Tabela 4, para concreto C20, a força cortante última ou máxima é:

7,16930cos.30sen.46.12.71,0cos.sendb71,0V w2Rd ==θθ= kN

→=<= kN7,169V0,140V 2RdSd não ocorrerá esmagamento das diagonais de concreto. b) Cálculo da Armadura Transversal

Antes de se calcular a armadura deve-se verificar se não vai resultar a armadura mínima. Para isso deve-se determinar a força cortante mínima (VSd,mín). Da Tabela 4 tem-se:

1cwmín,Sd Vgcotdb035,0V +θ=

Antes é necessário determinar a parcela Vc1, definida pela Eq. 42:

0c2Rd

Sd2Rd0c1c VV

VVVV−−

=

Da Eq. 29 tem-se Vc0 :



65

6,3646.124,1.10

203,07,06,0dbf6,0V3 2

wctd0c =⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛== KN

O esquema gráfico mostrado na Figura 56 apresenta a relação inversa entre a resistência Vc1 e a solicitação de cálculo VSd, explicitando que, quanto maior o grau de solicitação, menor será a contribuição do concreto na resistência à força cortante. Como VSd é maior que Vc0, a parcela Vc1 deve ser calculada.

Vc10

VSd

Vc1

VRd2 - Vc0

VRd2 - VSd

= 36,6

36,6

36,6140,0169,7

29,7

= 133,1

Vc0


Conforme a Eq. 42, visualizada no gráfico da Figura 56, resulta:

2,86,367,1690,1407,1696,36

VVVVVVV

0c2Rd

Sd2Rd0c1cc =

−−

=−−

== kN

Assim, das expressões da Tabela 4 para VSd,mín e Asw:

7,412,830gcot.46.12.035,0Vgcotdb035,0V o1cwmín,Sd =+=+θ= kN

→=>= kN7,41V0,140V mín,SdSd portanto, deve-se calcular a armadura transversal para

VSd . A área de armadura transversal é:

( ) ( ) 22,446

2,80,14030tg55,2d

VVtg55,2A 1cSd

sw =−

=−

θ= cm2/m > Asw,mín = 1,06 cm2/m

19.3 Comparação dos Resultados Na Tabela 5 são apresentados os resultados obtidos para os cálculos efetuados segundo as normas NB1/78 e NBR 6118/03, conforme os Modelos de Cálculo I e II para a norma atual, e com o ângulo θ assumindo valores de 30°, 40° e 45° para o Modelo II.



66

Tabela 5 – Resultados de Asw obtidos segundo os dois modelos de cálculo da NBR 6118/03 e segundo a NB1/78.

Asw (cm2/m) NORMA θ ( o ) Eq. Teórica Eq. Simplif.

Asw,mín (cm2/m)

NB1/78 + Anexo NB 116 45 6,20 - 1,68 Modelo I 45 5,73 5,72 1,06

45 7,07 - 40 5,95 -

NBR 6118/03 Modelo II

30 4,23 4,22 1,06

Observa-se que para o ângulo θ de 45° a NB1/78 era mais conservadora que a NBR 6118/03, considerando o Modelo de Cálculo I. No caso do Modelo II para o ângulo θ de 45° a norma atual conduz a um valor superior aos outros dois processos de cálculo. No caso de um ângulo θ como 30°, a armadura resulta menor se comparada às armaduras dos Modelos I e II com θ de 45°, porque as diagonais mais inclinadas aliviam os montantes tracionados da treliça. Se por alguma razão se desejar uma armadura à força cortante mais conservadora poderá então ser adotado o Modelo de Cálculo I, que conduz a uma armadura transversal maior que para ângulos θ menores, sem porém, valores exagerados. Uma outra informação útil é que a armadura transversal resultante do Modelo de Cálculo I é semelhante ou muito próxima daquela calculada com o Modelo de Cálculo II quando θ é adotado igual a 39°. 19.4 Detalhamento da Armadura Transversal Para efeito de detalhamento, na Figura 57 os estribos verticais são mostrados conforme definidos pelo Modelo de Cálculo II, com ângulo θ de 30°. a) Diâmetro do estribo (Eq. 47): 5 mm ≤ φt ≤ bw/10 =120/10 = 12 mm ∴ φt = 5 mm c) Espaçamento máximo entre os estribos (Eq. 49):

0,67 VRd2 = 0,67 . 169,6 = 113,6 kN VSd = 140,0 > 113,6 kN ⇒ s ≤ 0,3 d ≤ 20 cm 0,3 d = 0,3 . 46 = 13,8 cm ⇒ Portanto, s ≤ 13,8 cm

c) Espaçamento transversal entre os ramos verticais do estribo (Eq. 50):

0,20 VRd2 = 0,20 . 169,6 = 33,9 kN VSd = 140,0 > 33,9 kN ⇒ st ≤ 0,6 d ≤ 35 cm 0,6 d = 0,6 . 46 = 27,6 cm ⇒ Portanto, s ≤ 27,6 cm

d) Escolha do diâmetro e espaçamento dos estribos A escolha do diâmetro e do espaçamento dos estribos pode ser feita de duas maneiras muito simples: por meio de cálculo ou com o auxílio de uma tabela de área de armadura por metro linear (cm2/m). Na seqüência são apresentados os dois processos.



67

Para a armadura calculada segundo o modelo de cálculo II, de 4,23 cm2/m nos apoios, considerando estribo vertical com diâmetro de 5 mm (1 φ 5 mm = 0,20 cm2) composto por dois ramos verticais (2 φ 5 mm = 0,40 cm2), tem-se:

0423,0s

Asw = cm2/cm ⇒ 0423,0s40,0

= ⇒ s = 9,5 cm ≤ 13,8 cm

Para a escolha do diâmetro e do espaçamento dos estribos com o auxílio da Tabela A-1

(ver a tabela anexa no final do texto) deve-se determinar a área de apenas um ramo do estribo. Portanto, para a área de armadura de 4,23 cm2/m e estribo com dois ramos:

12,2223,4A ramo1,sw == cm2/m

Com a área de um ramo na Tabela A-1 encontram-se: φ 5 mm c/9,5 cm = 2,11 cm2/m φ 6,3 mm c/15 cm = 2,10 cm2/m

Como o espaçamento máximo é 13,8 cm, não é possível adotar φ 6,3 mm c/15 cm, sendo escolhido então estribo φ 5 mm c/9,5 cm, ou c/9 cm, como feito no detalhamento indicado na Figura 57.

Para a armadura mínima de 1,06 cm2/m, considerando o mesmo estribo, tem-se:

0106,0s

Asw = cm2/cm ⇒ 0106,0s40,0

= ⇒ s = 37,7 cm ≤ 13,8 cm

Fazendo com o auxílio da Tabela A-1, considerando-se a área de um ramo apenas do estribo:

53,0206,1A ramo1,sw == cm2/m

na Tabela A-1 verifica-se que o espaçamento para φ 5 mm resulta superior a 33 cm (máximo espaçamento permitido para os estribos). Como o espaçamento máximo é de 13,8 cm, deve ser feito φ 5 c/13 cm, o que na Tabela A-1 resulta 1,54 cm2/m, área de armadura imposta pelo espaçamento máximo e superior à armadura mínima.

O desenho da viga deve ser feito em escala 1:50 e o detalhe do estribo normalmente é feito nas escalas de 1:20 ou 1:25 (Figura 57).



68

480 cm

250 cm 250 cm

176 cm148 cm176 cm

162 162N1-18 c/9 N1-18 c/9

140

140

N1 - 12 c/13 8

46

20 cm

Sd,mínV = 41,7

20 cm

(kN)SdV

N1 - 48 Ø 5 C = 118 cm

Figura 57 - Detalhamento dos estribos ao longo do vão livre da viga.

Para a distribuição dos estribos ao longo do vão livre da viga é necessário desenhar o diagrama de forças cortantes de cálculo e posicionar a força cortante mínima (VSd,mín). Geralmente, os vãos das vigas podem ter os estribos distribuídos segundo três trechos diferentes, os dois próximos aos apoios e o do centro, delimitado pela força VSd,mín , que recebe a armadura transversal mínima. Dividir o vão livre em mais de três trechos só deve ser feito quando houver justificativas. A armadura calculada para os cortantes nos apoios deve se estender até a posição da força VSd,mín , e após esses trechos é colocada a armadura mínima. Os diâmetros mais comuns para o estribo geralmente são o 5 mm e o 6,3 mm, ocorrendo também o 8 mm e o 10 mm em vigas com altos esforços cortantes. Nas vigas de construções de pequeno porte, como casas, sobrados, barracões, etc., é comum o estribo com diâmetro de 4,2 mm, embora a NBR 6118/03 exija o diâmetro mínimo de 5 mm. O espaçamento dos estribos não deve ser inferior a 6-7 cm para não dificultar a penetração do concreto lançado na viga. Espaçamentos superiores a 8 cm devem ter preferência. Os espaçamentos são adotados geralmente valores inteiros em cm, e ocasionalmente valores múltiplos de 0,5 cm. O estribo deve ter uma numeração, como o N1 da Figura 57. Sendo a viga simétrica, nas proximidades dos apoios os estribos foram distribuídos na extensão de 162 cm, que somados aos 10 cm até o eixo do pilar, representa a distância de 172 cm, que “cobre” aproximadamente a distância de 176 cm até a força VSd,mín . Com a distância de 162 cm pode ser calculado o número de estribos nesse trecho, fazendo 162 ÷ 9 = 18 estribos. O número de estribos no trecho central do vão é calculado fazendo o comprimento do trecho (480 – 162 –162 = 156 cm) dividido pelo espaçamento dos estribos: 156 ÷ 13,5 = 11,6 ≅ 12 estribos.



69

As dimensões do estribo são determinadas fazendo a largura e a altura da viga menos duas vezes o cobrimento da armadura: Largura = 12 – (2 . 2,0) = 8 cm Altura = 50 – (2 . 2,0 ) = 46 cm Os estribos devem ter obrigatoriamente ganchos nas pontas, com comprimento de no mínimo 5 φt ≥ 5 cm quando o gancho direcionar a ponta do estribo para o concreto da parte interna da viga. Para estribo com diâmetro de 5 mm o gancho deve ter o comprimento mínimo de 5 cm, em cada ponta do estribo. Portanto, o comprimento do estribo é calculado como: C = 2 (8 + 46 + 5) = 118 cm 20. EXEMPLO NUMÉRICO 2 Calcular e detalhar a armadura transversal composta por estribos verticais para as forças cortantes máximas da viga esquematizada na Figura 58. São conhecidos: C25, CA-50, γc = γf = 1,4, γs = 1,15, d = 80 cm, c = 2,5 cm. A altura da viga transversal é de 60 cm.

viga transversal

387,5 cm 287,5 cm

A BC

150 kN29 kN/m

25 cm 25 cm

25

85

675

400 cm 300 cm

700

Figura 58 – Esquema estático e carregamento na viga.

Como as forças cortantes atuantes na viga são diferentes nos apoios A e B, serão dimensionadas duas armaduras transversais diferentes, uma para cada apoio. As forças cortantes de cálculo, não considerando a redução de força permitida pela NBR 6118/03, são:

Apoio A ⇒ VSd,A = γf . Vk,A = 1,4 . 165,8 = 232,1 kN Apoio B ⇒ VSd,B = γf . Vk,B = 1,4 . 187,2 = 262,1 kN

Sendo a viga de seção retangular o ângulo de inclinação das diagonais comprimidas diminui e se aproxima de 30° (ver item 16) e, neste caso, ao menos teoricamente, o cálculo da armadura pelo Modelo de Cálculo II com ângulo θ de 30° ou próximo é o mais indicado. Se



70

preferir um dimensionamento mais conservador, pode-se adotar o Modelo de Cálculo I, que tem θ fixo em 45°, e que resulta numa armadura transversal superior à do Modelo II com θ de 30°.

O ângulo α de inclinação dos estribos será adotado igual a 90°, isto é, estribos verticais. Barras dobradas não serão utilizadas.

Para exemplificação do formulário, todos os cálculos serão feitos segundo as equações teóricas derivadas da NBR 6118/03 e também segundo as equações simplificadas definidas no item 15. 20.1 Modelo de Cálculo I

O Modelo de Cálculo I supõe a treliça clássica de Ritter-Mörsch, com o ângulo θ fixo em 45°.

20.1.1 Equações de Teóricas da Norma a) Verificação da Compressão nas Bielas Para não ocorrer o esmagamento do concreto que compõe as bielas comprimidas deve-se ter: VSd ≤ VRd2 A equação que define VRd2 é:

dbf250f127,0V wcd

ck2Rd ⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ −= (fck em MPa)

9,86780.254,15,2

25025127,0V 2Rd =⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ −= kN

Apoio A ⇒ VSd,A = 232,1 kN < VRd2 = 867,9 kN Apoio B ⇒ VSd,B = 262,1 kN < VRd2 A verificação implica que não ocorrerá o esmagamento das bielas de compressão em

ambos os apoios, e neste caso a armadura transversal pode ser calculada. b) Cálculo da Armadura Transversal

Primeiramente será calculada a armadura mínima (Asw,mín) para estribo a 90° e aço CA-50:

wywk

ctmmín,sw b

ff20A = (cm2/m)

56,2253,0f3,0f 3 23 2ckctm === MPa = 0,256 kN/cm2

56,225.50

256,0.20A mín,sw == cm2/m

Para calcular a armadura necessária devem ser determinadas as parcelas da força cortante que serão absorvidas pelas diagonais comprimidas (Vc) e pela armadura (Vsw), de tal modo que

swcSd VVV += . Na flexão simples, a parcela Vc é determinada pela Eq. 29:



71

dbf6,0VV wctd0cc ==

com: 3 2ck

cc

ctm

c


fγ

=γ

=γ

= (fck em MPa)

28,1254,1

3,0.7,0f 3 2ctd == MPa = 0,128 kN/cm2

9,15380.25.128,0.6,0VV 0cc === kN

Vsw = VSd – Vc

Apoio A ⇒ Vsw,A = 232,1 – 153,9 = 78,2 kN Apoio B ⇒ Vsw,B = 262,1 – 153,9 = 108,2 kN

A armadura vertical, de acordo com a Eq. 38 é:

d2,39

Vs

A sw90,sw =

Apoio A: 0249,080.2,39

2,78s

A 90,sw == cm2/cm

Asw,90 = 2,49 cm2/m < Asw,mín = 2,56 cm2/m (portanto, deve-se dispor a armadura mínima)

Apoio B: 0345,080.2,392,108

sA 90,sw == cm2/cm

Asw,90 = 3,45 cm2/m > Asw,mín = 2,56 cm2/m (portanto, deve-se dispor a armadura

calculada)

20.1.2 Equações Simplificadas a) Verificação da Compressão nas Bielas Conforme a equação contida na Tabela 3, para o concreto de resistência característica 25 MPa, tem-se a força cortante máxima permitida: 0,86080.25.43,0db43,0V w2Rd === kN

Apoio A ⇒ VSd,A = 232,1 kN < VRd2 = 860,0 kN Apoio B ⇒ VSd,B = 262,1 kN < VRd2

A verificação implica que não ocorrerá o esmagamento das bielas de compressão em

ambos os apoios. b) Cálculo da Armadura Transversal



72

Primeiramente deve-se verificar se a força cortante solicitante resultará maior ou menor que a força cortante mínima. Na Tabela 3 encontra-se a equação para a força cortante mínima, correspondente à armadura mínima:

0,23480.25.117,0db117,0V wmín,Sd === kN Apoio A ⇒ VSd,A = 232,1 kN < VSd,mín = 234,0 kN (portanto, deve-se dispor armadura mínima conforme definida no item anterior) Somente para efeito de comprovação, e aplicando VSd = 232,1 kN, verifica-se que a

armadura resulta menor que a mínima. Na Tabela 3 encontra-se a equação para cálculo da armadura:

40,225.20,080

1,23255,2b20,0d

V55,2A wSd

90,sw =−=−= cm2/m < Asw,mín = 2,56 cm2/m

Apoio B ⇒ VSd,B = 262,1 kN > VSd,mín = 234,0 kN (portanto, deve-se calcular a armadura transversal)

35,325.20,080

1,26255,2b20,0d

V55,2A wSd

90,sw =−=−= cm2/m > Asw,mín = 2,56 cm2/m


O Modelo de Cálculo II supõe a possibilidade de se adotar diferentes valores para o ângulo

θ de inclinação das diagonais comprimidas, no intervalo de 30° a 45°. A título de comparação a viga será calculada com os ângulos de 30° e 45°, segundo as equações teóricas e as equações simplificadas.

20.2.1 Equações Teóricas da Norma 20.2.1.1 Ângulo θ de 30°

a) Verificação da Compressão nas Bielas Para não ocorrer o esmagamento do concreto que compõe as bielas comprimidas deve-se ter: VSd ≤ VRd2 A equação que define VRd2 é:

( )θ+αθ⎟⎠⎞


250f154,0V 2

wcdck


Para estribo vertical, α = 90°:

( ) 6,75130gcot90gcot30sen.80.254,15,2

25025154,0V 2

2Rd =+⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −= kN




73

A verificação implica que não ocorrerá o esmagamento das bielas de compressão em ambos os apoios.

b) Cálculo da Armadura Transversal Para calcular a armadura devem ser determinadas as parcelas da força cortante solicitante que serão absorvidas pelos mecanismos complementares ao de treliça (Vc) e pela armadura (Vsw), de tal modo que:

swcSd VVV += Na flexão simples, a parcela Vc é igual a Vc1. Devem também ser calculados:

dbf6,0V wctd0c =

com: 3 2ck

cc

ctm

c


fγ

=γ

=γ

= (fck em MPa)

28,1254,1

3,0.7,0f 3 2ctd == MPa = 0,128 kN/cm2

9,15380.25.128,0.6,0V 0c == kN

O esquema gráfico mostrado na Figura 59 apresenta a relação inversa entre a resistência Vc1 e a solicitação de cálculo VSd, explicitando que, quanto maior o grau de solicitação menor será a contribuição do concreto na resistência à força cortante. Como as solicitações de cálculo VSd são maiores que Vc0 , as parcelas Vc1 devem ser calculadas, conforme a Eq. 42:

Apoio A ⇒ 8,1339,1536,7511,2326,7519,153

VVVVVVV

0c2Rd

Sd2Rd0c1cA,c =

−−

=−−

== kN

Apoio B ⇒ 0,1269,1536,7511,2626,7519,153

VVVVVVV

0c2Rd

Sd2Rd0c1cB,c =

−−

=−−

== kN

Vc10

VSd

Vc1

VRd2 - Vc0

VRd2 - VSd

= 153,9

(A) 232,1751,6

= 597,7

Vc0

153,9

153,9(B) 262,1




74


Apoio A ⇒ 3,988,1331,232VVV A,cA,SdA,sw =−=−= kN Apoio B ⇒ 1,1360,1261,262VVV B,cB,SdB,sw =−=−= kN A equação que define o valor da armadura transversal é:

( ) αθ+α=α

sencotggcotfd9,0V

sA

ywd

sw,sw

A armadura transversal no apoio A para estribo vertical é:

( )


15,150.80.9,0

3,98s

A 90,sw =+

= cm2/cm

Asw,90 = 1,81 cm2/m < Asw,mín = 2,56 cm2/m (portanto, deve-se dispor a armadura mínima) A armadura transversal no apoio B para estribo vertical é:

( )


15,150.80.9,0

1,136s

A 90,sw =+

= cm2/cm

Asw,90 = 2,51 cm2/m < Asw,mín = 2,56 cm2/m (portanto, deve-se dispor a armadura mínima)

20.2.1.2 Ângulo θ de 45°

a) Verificação da Compressão nas Bielas Para não ocorrer o esmagamento do concreto que compõe as bielas comprimidas deve-se ter: VSd ≤ VRd2 A equação que define VRd2 é:

( )θ+αθ⎟⎠⎞


250f154,0V 2

wcdck


Para estribo vertical (α = 90°):

( ) =+⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −= 45gcot90gcot45sen.80.25

4,15,2

25025154,0V 2

2Rd 867,9 kN




75

A verificação implica que não ocorrerá o esmagamento das bielas de compressão em ambos os apoios. b) Cálculo da Armadura Transversal Para calcular a armadura devem ser determinadas as parcelas da força cortante que serão absorvidas pelas diagonais comprimidas (Vc) e pela armadura (Vsw), de tal modo que:

swcSd VVV += Na flexão simples, a parcela Vc é igual a Vc1. O valor de Vc0 já foi determinado (153,9 kN)

e independe do ângulo θ adotado. Como as solicitações de cálculo VSd são maiores que Vc0 , as parcelas Vc1 devem ser calculadas, conforme a Eq. 42, ilustrada na Figura 60, que mostra a relação entre as variáveis Vc1 , Vc0 e VSd .

Vc10

VSd

Vc1

VRd2 - Vc0

VRd2 - VSd

= 153,9

(A) 232,1867,9

= 714,0

Vc0

153,9

153,9(B) 262,1


Conforme a Eq. 42, resulta:

Apoio A ⇒ 0,1379,1539,8671,2329,8679,153

VVVVVVV

0c2Rd

Sd2Rd0cA,1cA,c =

−−

=−−

== kN

Apoio B ⇒ 6,1309,1539,8671,2629,8679,153

VVVVVVV

0c2Rd

Sd2Rd0cB,1cB,c =

−−

=−−

== kN

A parcela do esforço cortante a ser resistida pela armadura transversal é:

Apoio A ⇒ 1,950,1371,232VVV A,cA,SdA,sw =−=−= kN Apoio B ⇒ 5,1316,1301,262VVV B,cB,SdB,sw =−=−= kN Armadura transversal:

( ) αθ+α=α

sencotggcotfd9,0V

sA

ywd

sw,sw



76

A armadura transversal no apoio A para estribo vertical é:

( )


15,150.80.9,0

1,95s

A 90,sw =+

= cm2/cm


calculada) A armadura transversal no apoio B para estribo vertical é:

( )


15,150.80.9,0

5,131s

A 90,sw =+

= cm2/cm


calculada) 20.2.2 Equações Simplificadas 20.2.2.1 Ângulo θ de 30°

a) Verificação da Compressão nas Bielas Conforme a equação contida na Tabela 4, para o concreto de resistência característica 25 MPa (C25), tem-se a força cortante máxima permitida: 7,75130cos.30sen.80.25.87,0cossendb87,0V w2Rd ==θθ= kN


A verificação implica que não ocorrerá o esmagamento das bielas de compressão em

ambos os apoios. b) Cálculo da Armadura Transversal Primeiramente deve-se verificar se a força cortante solicitante resultará numa armadura maior ou menor que a armadura mínima. Na Tabela 4 encontra-se a equação para a força cortante mínima:


Como as solicitações de cálculo VSd são maiores que Vc0 , as parcelas Vc1 devem ser calculadas, conforme a equação:

( )

0c2Rd

Sd2Rd0c1c VV

VVVV−

−=



77

Os valores de Vc0 = 153,9 kN, VRd2 = 751,7 kN, VSd,A = 232,1 kN e VSd,B = 262,1 kN já são conhecidos. Substituindo os valores na equação de Vc1 encontram-se:

( ) 8,133

9,1537,7511,2327,7519,153V A,1c =

−−

= kN

( ) 0,126

9,1537,7511,2627,7519,153V B,1c =

−−

= kN

1c1cmín,Sd V6,138V30gcot.80.25.040,0V +=+=

Apoio A: 4,2728,1336,138V A,mín,Sd =+= kN

VSd,A = 232,1 kN < VSd,mín,A = 272,4 kN

(portanto, deve-se dispor a armadura mínima)

Apoio B: 6,2640,1266,138V B,mín,Sd =+= kN

VSd,B = 262,1 kN < VSd,mín,B = 264,6 kN (portanto, deve-se dispor a armadura mínima) As armaduras serão calculadas apenas para efeito de exemplificação, pois já se sabe que

são menores que a mínima. Conforme a Tabela 4, a equação para cálculo da armadura é:

( )d

VVtg55,2A 1cSdsw

−θ=

No apoio A:

( ) 81,180

8,1331,23230tg55,2A A,sw =−

= cm2/m < Asw,mín = 2,56 cm2/m

No apoio B:

( ) 50,280

0,1261,26230tg55,2A B,sw =−

= cm2/m < Asw,mín = 2,56 cm2/m

20.2.2.2 Ângulo θ de 45°

a) Verificação da Compressão nas Bielas Conforme a equação contida na Tabela 4, para o concreto de resistência característica 25 MPa (C25), tem-se a força cortante máxima: 0,86845cos.45sen.80.25.87,0cossendb87,0V w2Rd ==θθ= kN Apoio A ⇒ VSd,A = 232,1 kN < VRd2 = 868,0 kN

Apoio B ⇒ VSd,B = 262,1 kN < VRd2



78

A verificação implica que não ocorrerá o esmagamento das bielas de compressão em ambos os apoios. b) Cálculo da Armadura Transversal Primeiramente deve ser verificado se a força cortante solicitante resultará numa armadura maior ou menor que a armadura mínima. Na Tabela 4 encontra-se a equação para a força cortante mínima:


Como as solicitações de cálculo VSd são maiores que Vc0 , as parcelas Vc1 devem ser calculadas, conforme:

( )

0c2Rd

Sd2Rd0c1c VV

VVVV−

−=

Os valores já conhecidos são: Vc0 = 153,9 kN, VRd2 = 868,0 kN, VSd,A = 232,1 kN e

VSd,B = 262,1 kN. Substituindo na equação de Vc1 tem-se:

( ) 0,1379,1530,868

1,2320,8689,153V A,1c =−

−= kN

( ) 6,130

9,1530,8681,2620,8689,153V B,1c =

−−

= kN

1c1cmín,Sd V0,80V45gcot.80.25.040,0V +=+=

Apoio A: 0,2170,1370,80V mín,Sd =+= kN

VSd,A = 232,1 kN > VSd,mín = 217,0 kN (portanto, deve-se calcular a armadura transversal)

Apoio B: 6,2106,1300,80V mín,Sd =+= kN VSd,B = 262,1 kN > VSd,mín = 210,6 kN

(portanto, deve-se calcular a armadura transversal) Conforme a Tabela 4, a equação para cálculo da armadura é:

( )d

VVtg55,2A 1cSdsw

−θ=

No apoio A:

( ) 03,380

0,1371,23245tg55,2A A,sw =−

= cm2/m > Asw,mín = 2,56 cm2/m

No apoio B:



79

( ) 19,480

6,1301,26245tg55,2A B,sw =−

= cm2/m > Asw,mín = 2,56 cm2/m

20.3 Comparação dos Resultados Na Tabela 6 são apresentados os resultados obtidos para os cálculos efetuados conforme os Modelos de Cálculo I e II, com o ângulo θ assumindo valores de 30 e 45° para o Modelo de Cálculo II. Os resultados permitem descrever que as equações simplificadas conduzem a valores muito próximos daqueles obtidos com as equações teóricas. Como esperado, com ângulo θ de 30o do Modelo II a armadura resultou menor que a proporcionada pelo Modelo I, de 2,49 cm2/m para 1,81 cm2/m. Concordando com o exemplo numérico anterior, a armadura do Modelo II com θ de 45o (3,04 cm2/m) resulta maior que a armadura do Modelo I (2,49 cm2/m).

Tabela 6 – Resultados obtidos conforme os modelos de cálculo I e II da NBR 6118/03.

Asw (cm2/m) Modelo de Cálculo

θ ( o )

Equações de Cálculo Apoio A Apoio B

Teóricas 2,49 3,45 I 45 Simplificadas 2,40 3,35 Teóricas 1,81 2,51

30 Simplificadas 1,81 2,50 Teóricas 3,04 4,20

II 45

Simplificadas 3,03 4,19 20.4 Detalhamento da Armadura Transversal Como já comentado, para seção retangular o ângulo θ se aproxima de 30°, o que resultou na área de armadura de 1,81 cm2/m. No caso de se preferir uma armadura transversal um pouco superior pode-se optar pela armadura calculada segundo o Modelo I, de 2,49 cm2/m, maior mas não muito superior à área de armadura do Modelo II. A título de exemplificação a viga terá a armadura detalhada segundo a área do Modelo I. Dentre as várias possibilidades de valores para a armadura transversal, optou-se pelo Modelo de Cálculo I. O detalhamento encontra-se mostrado na Figura 61. a) Diâmetro do estribo: 5 mm ≤ φt ≤ bw/10 = 250/10 = 25 mm → ∴ φt = 5 mm b) Espaçamento máximo entre os estribos:

0,67 VRd2 = 0,67 . 868,0 = 581,5 kN Apoio A: VSd,A = 232,1 < 581,5 kN ⇒ s ≤ 0,6 d ≤ 30 cm 0,6 d = 0,6 . 80 = 48 cm ⇒ Portanto, s ≤ 30 cm Apoio B: VSd,B = 262,1 < 581,5 kN ⇒ s ≤ 0,6 d ≤ 30 cm Portanto, s ≤ 30 cm



80

c) Espaçamento transversal máximo entre os ramos verticais do estribo:

0,20 VRd2 = 0,20 . 868,0 = 173,6 kN VSd,A > 173,6 kN e VSd,B > 173,6 kN ⇒ st ≤ 0,6 d ≤ 35 cm 0,6 d = 0,6 . 80 = 48 cm ⇒ Portanto, s ≤ 35 cm

d) Escolha do diâmetro e espaçamento dos estribos Para fins de detalhamento da armadura transversal da viga serão consideradas as áreas calculadas segundo o Modelo de Cálculo I, de 2,49 cm2/m no apoio A e de 3,45 cm2/m no apoio B. A título de exemplo serão feitos os cálculos com diâmetros de 5 mm e de 6,3 mm, sem e com auxílio de tabela de área de armadura em cm2/m. d1) considerando estribo com diâmetro de 5 mm (1 φ 5 mm = 0,20 cm2), composto por dois ramos verticais (2 φ 5 mm = 0,40 cm2), tem-se para o apoio A: Asw = 2,49 cm2/m < Asw,mín = 2,56 cm2/m

0256,0s

Asw = cm2/cm < ⇒ 0256,0s40,0

= ⇒ s = 15,6 cm ≤ 30 cm

Para o apoio B:

0345,0s

Asw = cm2/cm ⇒ 0345,0s40,0

= ⇒ s = 11,6 cm ≤ 30 cm

Com o auxílio da Tabela A-1 (ver a tabela anexa no final do texto) deve-se determinar a

área de apenas um ramo vertical do estribo: Apoio A (armadura mínima):

28,1256,2A ramo1,sw == cm2/m ⇒ Tabela A-1 ⇒ φ 5 mm c/16 cm = 1,25 cm2/m

Apoio B:

73,1245,3A ramo1,sw == cm2/m ⇒ Tabela A-1 ⇒ φ 5 mm c/11 cm = 1,82 cm2/m

d2) considerando estribo com diâmetro de 6,3 mm (1 φ 6,3 mm = 0,31 cm2), composto por dois ramos verticais (2 φ 6,3 mm = 0,62 cm2), tem-se para o apoio A:

0256,0s

Asw = cm2/cm < ⇒ 0256,0s62,0

= ⇒ s = 24,2 cm ≤ 30 cm

Para o apoio B:

0345,0s

Asw = cm2/cm ⇒ 0345,0s62,0

= ⇒ s = 18,0 cm ≤ 30 cm



81

Com o auxílio da Tabela A-1 (ver a tabela anexa no final do texto) deve-se determinar a área de apenas um ramo vertical do estribo:

Apoio A (armadura mínima):

28,1256,2A ramo1,sw == cm2/m ⇒ Tabela A-1 ⇒ φ 6,3 mm c/24 cm = 1,31 cm2/m

Apoio B:

73,1245,3A ramo1,sw == cm2/m ⇒ Tabela A-1 ⇒ φ 6,3 mm c/18 cm = 1,75 cm2/m

O detalhamento mostrado na Figura 61 está feito com o diâmetro de 6,3 mm para o estribo.

Poderia ser utilizado o diâmetro de 5 mm também, sem qualquer inconveniente. Os estribos à direita do pilar esquerdo (apoio A) foram espaçados em 20 cm ao invés dos 24 cm permitidos, conforme demonstrado no cálculo. Assim foi feito porque muitos engenheiros estruturais limitam o espaçamento dos estribos em 20 cm. Fica a critério do engenheiro seguir esta regra ou obedecer os limites prescritos pela NBR 6118/03. O desenho da viga deve ser feito em escala 1:50 e o detalhe do estribo normalmente é feito nas escalas de 1:20 ou 1:25.

25 cm 25 cm

90A

700 cm

371 cm

331 cm 40 cm

VSd, mín = 234,0

262,1

232,1

VSd (kN)

N1 - 34 Ø 6,3 C = 210 cm

sw,mín

N1 - 5 c/18N1 - 29 c/20

675 cm

20

80

Figura 61 - Detalhamento dos estribos ao longo do vão livre da viga.

21. EXEMPLO NUMÉRICO 3 Dimensionar a armadura transversal para as vigas principais de uma ponte rodoviária, conforme indicadas na Figura 62. Este exemplo toma como base aquele apresentado em PFEIL (1983). As duas vigas principais, em conjunto com as vigas transversinas, compõem o sistema de vigamento que proporciona a sustentação da ponte. As vigas principais estendem-se ao longo de



82

todo o comprimento da ponte, sendo composta por quatro apoios e cinco vãos, com os dois vãos extremos em balanço.

A altura das vigas é fixa em 225 cm e a largura é variável em alguns trechos. Na seção de apoio do pilar 1 a largura é de 80 cm e no pilar 2 é de 100 cm; as seções nos vãos têm largura de 40 cm (Figura 62b e Figura 62c).

500 2000 1250

225

Pilar 1 Pilar 2Viga Principal

Laje do Tabuleiro

a) corte longitudinal;

Viga Principal 1

Viga Principal 2

100

404010

0

40

80

b) planta com o vigamento da ponte;

Pilar 2

40 100 225

Laje do Tabuleiro

Viga principal na seção de apoio

Viga principal nos vãos

c) seções transversais no apoio do pilar 2 e nos vãos.

Figura 62 – Desenhos ilustrativos da ponte rodoviária (PFEIL, 1983).



83

A viga é simétrica e tem os vãos (cm) e esforços cortantes característicos de apenas uma metade mostrados na Figura 63. Nota-se que a força cortante máxima, de 2.000 kN, ocorre no pilar 2.

500 2000 1250

a b O 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15

280740

1210

1490

1180 900 640 390

530

780 1030 1270 1550

1830

2000

1640 1310 990 690 390kV

(kN)

Pilar 1 Pilar 2

Figura 63 – Esquema estático, vãos efetivos (cm) e forças cortantes características (kN).

RESOLUÇÃO A laje tabuleiro da ponte apóia-se sobre a face superior das vigas e forma a seção T (Figura 62c) para o dimensionamento da armadura longitudinal resistente aos momentos fletores positivos. Nas regiões dos apoios das vigas principais, onde ocorrem as maiores forças cortantes e a armadura transversal é essencial, a mesa que forma a seção T encontra-se tracionada pelos momentos fletores negativos, configurando a seção retangular para o dimensionamento da armadura longitudinal negativa. Para seções retangulares, LEONHARDT e MÖNNIG (1982) indicam que o ângulo θ de inclinação das diagonais comprimidas aproxima-se de 30°, o que resulta numa diminuição da armadura transversal em relação ao ângulo θ de 45°. Por outro lado, no caso das pontes, as armaduras transversais têm a função de absorver também esforços solicitantes não considerados no cálculo, como momentos fletores transversais transmitidos pela laje do tabuleiro e tensões provocadas por variações de temperatura, principalmente entre a viga principal e a laje do tabuleiro. Desse modo, adotar ângulo θ de 45° para a seção retangular das regiões dos apoios, configura-se uma escolha conservadora, adequada e a favor da segurança. Os cálculos de dimensionamento para as diversas seções transversais encontram-se organizados na Tabela 7. A título de comparação os cálculos são efetuados conforme a versão atual da NBR 6118 e a versão de 1978, considerado também o anexo da NB 116/89. Na seqüência são também apresentados os cálculos efetuados segundo a NBR 6118/03 para a seção transversal 10d , onde ocorre a maior força cortante.



84

Tabela 7 – Dimensionamento da armadura transversal segundo os Modelos de Cálculo I e II da NBR 6118/03 e conforme a NB 1/78 e NB 1/78 com o anexo da NB 116/89,

para estribos verticais. (γc = γf = 1,4 ; γs = 1,15).

Seção Vk

(kN)

VSd

(kN)

bw

(cm)

VRd2

(kN)

Vc0

(kN)

Vc1

(kN)

Asw,90 (cm2/m)

NBR 6118/03

Modelo I

Asw,90 (cm2/m)

NBR 6118/03 Modelo II c/ θ = 45°

Asw,90 (cm2/m)

NB 1/78

Asw,90 (cm2/m)

NB 1/78 +

Anexo NB 116

a 280 392 40 3732 662 720 - - 1,03 -

b 740 1036 60 5598 993 983 0,51 0,63 7,05 2,40

Oe 1210 1694 80 7464 1323 1244 4,40 5,35 13,25 7,04

Od 1490 2086 80 7464 1323 1159 9,05 11,02 18,07 11,86

1 1180 1652 60 5598 993 850 7,82 9,53 14,63 9,97

2 900 1260 40 3732 662 533 7,10 8,64 11,70 8,60

3 640 896 40 3732 662 611 2,78 3,38 7,23 4,12

4 390 546 40 3732 662 687 - - 2,92 -

5 530 742 40 3732 662 644 0,95 1,16 5,33 2,23

6 780 1092 40 3732 662 569 5,11 6,22 9,64 6,53

7 1030 1442 40 3732 662 494 9,26 11,27 13,94 10,84

8 1270 1778 40 3732 662 421 13,24 16,13 18,08 14,97

9 1550 2170 70 6531 1158 940 12,01 14,62 20,05 14,62

10e 1830 2562 100 9329 1654 1459 10,77 13,11 22,03 14,27

10d 2000 2800 100 9329 1654 1407 13,59 16,55 24,95 17,20

11 1640 2296 70 6531 1158 913 13,50 16,44 21,60 16,17

12 1310 1834 40 3732 662 409 13,91 16,94 18,77 15,66

13 990 1386 40 3732 662 506 8,59 10,46 13,25 10,15

14 690 966 40 3732 662 596 3,61 4,40 8,09 4,98

15 390 546 40 3732 662 687 - - 2,92 -

As áreas de armadura apresentadas na Tabela 7 indicam que as armaduras transversais foram sendo gradativamente diminuídas com as atualizações da NBR 6118, antiga NB 1. Os maiores valores resultam da NB 1/78. Com o anexo da NB 116/89, a armadura diminuiu em relação à NB 1/78, e com a NBR 6118/03, a diminuição foi ainda mais significativa. Analisando os valores da seção 10d verifica-se que a armadura diminuiu 45 % (Modelo I) e 34 % (Modelo II) comparada à armadura da NB 1/78, e 21 % (Modelo I) e 4 % (Modelo II) comparada à armadura da NB 1/78 com o anexo da NB 116/89. Nota-se que as armaduras calculadas conforme o Modelo de Cálculo II com θ de 45° aproxima-se muito daquela calculada com a NB 1/78 e o anexo da NB 116/89. Como as armaduras transversais das vigas das pontes exercem outras funções secundárias, além da resistência às forças cortantes, recomenda-se a aplicação do Modelo de Cálculo II, com θ de 45°, de modo mais conservador em relação às armaduras do Modelo de Cálculo I.



85

21.1 Dimensionamento da Seção 10d Segundo o Modelo de Cálculo I (NBR 6118/03) Para o dimensionamento são considerados os seguintes dados: C25 ; CA-50 d = 215 cm estribo vertical γc = γf = 1,4 γs = 1,15 (α = 90°) Os cálculos de dimensionamento serão feitos apenas com as equações teóricas da norma. a) Verificação da Compressão nas Bielas A equação que define o valor de VRd2 é:

dbf250f127,0V wcd

ck2Rd ⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ −= , com fck em MPa

Substituindo os valores numéricos de VRd2 :

329.9215.1004,15,2

25025127,0V 2Rd =⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ −= kN

VSd = 2.800 kN < VRd2 = 9.329 kN A verificação demonstra que não ocorrerá o esmagamento das bielas de compressão e

pode-se assim dimensionar a armadura transversal para a seção. b) Cálculo da Armadura Transversal

Para efeito de comparação com a armadura calculada, primeiramente será determinada a armadura mínima para estribo a 90° e aço CA-50:

wywk

ctmmín,sw b

ff20A ≥ (cm2/m)

A resistência média do concreto à tração direta é:

56,2253,0f3,0f 3 23 2ckctm === MPa = 0,256 kN/cm2

26,10100.50

256,0.20A mín,sw ≥≥ cm2/m

Para calcular a armadura transversal devem ser determinadas as parcelas da força cortante que serão absorvidas pelas diagonais comprimidas (Vc) e pela armadura (Vsw), de tal modo que:

swcSd VVV += Na flexão simples, a parcela Vc é determinada pela equação:

dbf6,0VV wctd0cc ==



86

com: 3 2ck

cc

ctm

c


fγ

=γ

=γ

= (fck em MPa)

28,1254,1

3,0.7,0f 3 2ctd == MPa = 0,128 kN/cm2

654.1215.100.128,0.6,0VV 0cc === kN Portanto, a parcela da força cortante a ser resistida pela armadura transversal é:

Vsw = VSd – Vc = 2800 – 1654 = 1.146 kN A armadura transversal composta por estribos verticais segundo o Modelo I é:

d2,39

Vs

A sw90,sw = ⇒ 1359,0215.2,39

1146s

A 90,sw == cm2/cm


calculada) 21.2 Dimensionamento da Seção 10d Segundo o Modelo de Cálculo II com θ = 45° a) Verificação da Compressão nas Bielas A equação que define VRd2 é:

( )θ+αθ⎟⎠⎞


250f154,0V 2

wcdck


Para estribo vertical, α = 90°:

( ) =+⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −= 45gcot90gcot45sen.215.100

4,15,2

25025154,0V 2

2Rd 9.329 kN

VSd = 2.800 kN < VRd2 = 9.329 kN A verificação implica que não ocorrerá o esmagamento das bielas de compressão.

b) Cálculo da Armadura Transversal Para calcular a armadura devem ser determinadas as parcelas da força cortante que serão absorvidas pelos mecanismos complementares (Vc) e pela armadura (Vsw), de tal modo que:

swcSd VVV += Na flexão simples, a parcela Vc é igual a Vc1. O valor de Vc0 já foi determinado (1.654 kN)

e independe do modelo de cálculo. Como VSd = 2.800 kN é maior que Vc0 a parcela Vc1 deve ser determinada com a Eq. 42:



87

407.116549329280093291654

VVVVVV

0c2Rd

Sd2Rd0c1c =

−−

=−−

= kN


393.114072800VVV cSdsw =−=−= kN A equação que define o cálculo da armadura transversal é:

( ) αθ+α=α

sencotggcotfd9,0V

sA

ywd

sw,sw

Aplicando numericamente:

( )


15,150.215.9,0

1393s

A 90,sw =+

= cm2/cm

Asw,90 = 16,55 cm2/m > Asw,mín = 10,26 cm2/m (portanto, dispor a armadura calculada)

22. EXEMPLO NUMÉRICO 4 Uma viga seção T biapoiada sobre dois pilares serve de apoio a lajes maciças e uma viga transversal. Pede-se dimensionar e detalhar a armadura transversal. São dados: C30 c = 2,5 cm estribo vertical (α = 90°) CA-50 d = 113 cm γc = γf = 1,4 γs = 1,15 O esquema estático da viga com os esforços cortantes (valores característicos) e a seção transversal encontram-se na Figura 64. Por simplicidade e a favor da segurança a força cortante solicitante no apoio não será reduzida, conforme permitido pela NBR 6118/03 e apresentado no item 17. RESOLUÇÃO

Como a viga tem seção transversal tipo T, com relação bf / bw = 240/40 = 6, o ângulo θ de inclinação das diagonais comprimidas se aproxima de 45°, razão pela qual será adotado o Modelo de Cálculo I para o dimensionamento da armadura transversal. Outra opção seria o Modelo II com θ = 45°, que, como já visto, conduz a uma armadura maior.

O dimensionamento será feito segundo as equações simplificadas definidas no item 11.



88

10 m

Pilar 1 Pilar 2

Viga T

Laje

80 kN/m

300 kN

500 cm 500 cm

550

550

150

150

V (kN)k

Vigas

400

40 40

120

15

40

240

15

120

Figura 64 - Esquema estático, carregamento, esforços cortantes e seção transversal da viga.

a) Verificação da Compressão nas Bielas

Da Tabela 3, para concreto C30, determina-se a força cortante última ou máxima que a viga pode resistir:

305.2113.40.51,0db51,0V w2Rd === kN

→=<== kN305.2VkN770550.4,1V 2RdSd não ocorrerá esmagamento das bielas de

concreto. b) Cálculo da Armadura Transversal

Da Tabela 3, para concreto C30, a equação para determinar a força cortante correspondente à armadura mínima é:

597113.40.132,0db132,0V wmín,Sd === kN



89

→=>= kN597V770V mín,SdSd portanto, deve-se calcular a armadura transversal p/ VSd . Da equação para Asw na Tabela 3 (concreto C30):

58,8A40.22,011377055,2b22,0

dV55,2A sww

Sdsw =⇒−=−= cm2/m

A armadura mínima para estribo a 90° e aço CA-50 é:

wywk

ctmmín,sw b

ff20A = (cm2/m)

90,2303,0f3,0f 3 23 2ckctm === MPa = 0,290 kN/cm2

63,440.50

290,0.20A mín,sw == cm2/m

Como Asw = 8,58 cm2/m > Asw,mín = 4,63 cm2/m, deve-se dispor a armadura calculada. c) Detalhamento da Armadura Transversal c1) Diâmetro do estribo: 5 mm ≤ φt ≤ bw/10 = 400/10 = 40 mm c2) Espaçamento máximo entre os estribos:

0,67 VRd2 = 0,67 . 2305 = 1.544 kN VSd = 770 < 1.544 kN ⇒ s ≤ 0,6 d ≤ 30 cm 0,6 d = 0,6 . 113 = 67,8 cm ⇒ Portanto, s ≤ 30 cm

c3) Espaçamento transversal entre os ramos verticais do estribo:

0,20 VRd2 = 0,20 . 2305 = 461 kN VSd = 770 > 461 kN ⇒ st ≤ 0,6 d ≤ 35 cm 0,6 d = 0,6 . 113 = 67,8 cm ⇒ Portanto, st ≤ 35 cm

c4) Escolha do diâmetro e espaçamento dos estribos c4.1) Estribo com dois ramos verticais Considerando estribo com dois ramos verticais, para a escolha do diâmetro e do espaçamento dos estribos com o auxílio da Tabela A-1 anexa, deve-se determinar a área de apenas um ramo do estribo. Portanto, para a área de armadura transversal de 8,58 cm2/m e estribo com dois ramos:

29,4258,8A ramo1,sw == cm2/m

Com a área de um ramo na Tabela A-1 encontra-se:



90

φ 8 mm c/11 cm = 4,55 cm2/m

Como o espaçamento máximo é 30 cm, é possível adotar φ 8 mm c/11 cm. Para a armadura mínima de 4,63 cm2/m e estribo com dois ramos, a área de um ramo é:

32,2263,4A ramo1,sw == cm2/m

na Tabela A-1 encontra-se φ 8 mm c/20 cm, com o espaçamento sendo menor que o máximo permitido (30 cm). O espaçamento entre os dois ramos verticais do estribo é:

bw – (2 c) - φt = 40 – (2 . 2,5) – 0,8 = 34,2 cm pouco menor que o espaçamento máximo permitido (st = 35 cm), sendo portanto possível fazer os estribos com apenas dois ramos verticais. c4.2) Estribo com quatro ramos verticais Caso não fosse possível fazer o detalhamento com dois ramos verticais, uma solução seria aumentar o número de ramos, com quatro ramos verticais por exemplo, o que resulta em dois estribos idênticos, a serem colocados sobrepostos na mesma seção transversal da viga.

Com quatro ramos verticais a área de um ramo apenas é:

15,2458,8A ramo1,sw == cm2/m

Com a área de um ramo na Tabela A-1 encontra-se o espaçamento e o diâmetro do estribo:

φ 6,3 mm c/14 cm = 2,25 cm2/m Para a armadura mínima de 4,63 cm2/m resulta φ 6,3 mm c/26 cm = 1,21 cm2/m. O espaçamento entre os quatro ramos verticais do estribo é:

4,113

63,05,2.2403c2bs tw

t =−−

=φ−−

= cm

menor que o espaçamento máximo permitido (st = 35 cm). Na Figura 65 encontra-se o detalhamento da armadura transversal da viga para estribo com quatro ramos verticais.



91

770

210

210

770

V (kN)Sd

154

154

115

23

Dois estribos idênticos formando quatro ramos

30 30

168 168N1- 2x12 c/14 N1-2x12 c/14N1 - 2x25 c/25

Sd,mínV = 597 kN N1 - 98 Ø 6,3 C = 286 cm

970 cm

Figura 65 – Detalhamento da armadura transversal com estribo de quatro ramos verticais.

35

40

2,5 2,511,4 11,411,0

12,0 23,0

Figura 50 - Detalhamento dos estribos na seção transversal.

23. QUESTIONÁRIO

1) Numa viga de Concreto Armado bi-apoiada sob duas forças concentradas P, como se apresentam as trajetórias das tensões principais de tração e de compressão? O que diferencia o trecho de flexão pura dos demais?

2) Idem para numa viga com carregamento uniforme? 3) Numa viga contínua, como se mostram as trajetórias das tensões principais? 4) Numa viga bi-apoiada qual é a configuração das fissuras no instante pré-ruptura? Desenhe. 5) Como são as fissuras de flexão e de flexão com força cortante e de força cortante pura? 6) Numa viga bi-apoiada em que instante do carregamento surgem as primeiras fissuras de

flexão? 7) Desenhe numa viga contínua qual a inclinação mais favorável para os estribos? Explique.



92

8) Por que há indicação do espaçamento máximo para o estribo? 9) Quais são os mecanismos básicos de transferência de força cortante numa viga? Explique

cada um deles. 10) Quais são os principais fatores que influenciam na resistência das vigas à força cortante?

Explique cada um deles resumidamente. 11) Como se configuram os modos de ruptura de vigas sem armadura transversal, em função

da relação a/d? 12) Explique o comportamento das vigas com armadura transversal. 13) Qual a função dos estribos nas vigas? Comente sobre a forma de atuação dos ramos

verticais e horizontais dos estribos verticais na resistência das vigas à força cortante. 14) Mostre as diferentes possibilidades de ruptura por força cortante no caso das vigas com

armadura transversal. 15) Explique a analogia de uma viga fissurada com a treliça clássica. Quais as hipóteses da

treliça clássica? 16) Se os estribos resistem às tensões de tração, quem deve resistir às tensões de compressão?

Como isso ocorre? 17) Qual a configuração da treliça generalizada? Quais as diferenças em relação à treliça

clássica? 18) Nas treliças clássica e generalizada, estude como surgem as equações para cálculo da

armadura transversal (Asw) e para verificação da tensão na biela comprimida. 19) Quais as diferenças nos valores da armadura transversal e da tensão na biela de

compressão quando α = 45° ou 90° ? 20) Por que a treliça clássica conduz a uma armadura transversal exagerada? 21) Quais as indicações para adoção do ângulo θ? 22) Por que pode ser feita uma redução da força cortante nos apoios. Como deve ser

considerada? 23) De que modo é feita a verificação do esmagamento ou não do concreto comprimido nas

bielas? 24) O que são os Modelos de Cálculo I e II? Quais as diferenças entre eles? 25) Qual o significado da parcela Vc0 e como é deduzida? 26) Como é calculada a parcela Vc1 ? O que ela representa? 27) O que significam os valores VSd,mín e VRd2 ? 28) Qual o valor da armadura mínima à força cortante? 29) Quais os limites para o diâmetro e o espaçamento dos estribos? 30) Quais os tipos de arranjos de armadura transversal que podem ser utilizados para uma viga

resistir à força cortante? 24. EXERCÍCIOS PROPOSTOS

Calcular e detalhar a armadura transversal para as vigas mostradas nas Figura 66, Figura 67 e Figura 68, sendo comuns os seguintes valores: γc = γf = 1,4 ; γs = 1,15 ; CA-50. 1) C20, c = 2,0 cm, bw = 20 cm, h = 50 cm, d = 45 cm (Figura 66). 2) Idem ao primeiro exercício, mas com a modificação do concreto para o C30. Compare os resultados encontrados. 3) C25, c = 2,5 cm, bw = 30 cm, h = 60 cm, d = 56 cm (Figura 67).



93

ef

600 cm20 20

25 kN/m

l

Figura 66 – Esquema estático e carregamento externo na viga.

550 cm

/2

30

20 kN/m

l

50 kN

l

l/2

30

Figura 67 – Esquema estático e carregamento externo na viga.

4) C30, c = 2,5 cm, d = 93 cm, VS,máx = 250 kN, Figura 68. A viga é do tipo pré-fabricada, com comprimento total de 10,60 m.

100

cm

40

12

40

3058

1512,5 12,5

Figura 68 – Dimensões da seção transversal da viga I.



94

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TABELAS ANEXAS

Tabela A-1

ÁREA DE ARMADURA POR METRO DE LARGURA (cm2/m) Diâmetro Nominal (mm) Espaçamento

(cm) 4,2 5 6,3 8 10 12,5 5 2,77 4,00 6,30 10,00 16,00 25,00

5,5 2,52 3,64 5,73 9,09 14,55 22,73 6 2,31 3,33 5,25 8,33 13,33 20,83

6,5 2,13 3,08 4,85 7,69 12,31 19,23 7 1,98 2,86 4,50 7,14 11,43 17,86

7,5 1,85 2,67 4,20 6,67 10,67 16,67 8 1,73 2,50 3,94 6,25 10,00 15,63

8,5 1,63 2,35 3,71 5,88 9,41 14,71 9 1,54 2,22 3,50 5,56 8,89 13,89

9,5 1,46 2,11 3,32 5,26 8,42 13,16 10 1,39 2,00 3,15 5,00 8,00 12,50 11 1,26 1,82 2,86 4,55 7,27 11,36 12 1,15 1,67 2,62 4,17 6,67 10,42

12,5 1,11 1,60 2,52 4,00 6,40 10,00 13 1,07 1,54 2,42 3,85 6,15 9,62 14 0,99 1,43 2,25 3,57 5,71 8,93 15 0,92 1,33 2,10 3,33 5,33 8,33 16 0,87 1,25 1,97 3,13 5,00 7,81 17 0,81 1,18 1,85 2,94 4,71 7,35

17,5 0,79 1,14 1,80 2,86 4,57 7,14 18 0,77 1,11 1,75 2,78 4,44 6,94 19 0,73 1,05 1,66 2,63 4,21 6,58 20 0,69 1,00 1,58 2,50 4,00 6,25 22 0,63 0,91 1,43 2,27 3,64 5,68 24 0,58 0,83 1,31 2,08 3,33 5,21 25 0,55 0,80 1,26 2,00 3,20 5,00 26 0,53 0,77 1,21 1,92 3,08 4,81 28 0,49 0,71 1,12 1,79 2,86 4,46 30 0,46 0,67 1,05 1,67 2,67 4,17 33 0,42 0,61 0,95 1,52 2,42 3,79

Elaborada com base em PINHEIRO (1994) Diâmetros especificados pela NBR 7480.



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Tabela A- 2

COMPRIMENTO DE ANCORAGEM lb (cm) PARA As,ef = As,calc CA-50 nervurado Concreto

C15 C20 C25 C30 C35 C40 C45 C50 φ

(mm) Sem Com Sem Com Sem Com Sem Com Sem Com Sem Com Sem Com Sem Com48 33 39 28 34 24 30 21 27 19 25 17 23 16 21 15 6,3 33 23 28 19 24 17 21 15 19 13 17 12 16 11 15 10 61 42 50 35 43 30 38 27 34 24 31 22 29 20 27 19 8 42 30 35 24 30 21 27 19 24 17 22 15 20 14 19 13 76 53 62 44 54 38 48 33 43 30 39 28 36 25 34 24 10 53 37 44 31 38 26 33 23 30 21 28 19 25 18 24 17 95 66 78 55 67 47 60 42 54 38 49 34 45 32 42 30 12,5 66 46 55 38 47 33 42 29 38 26 34 24 32 22 30 21 121 85 100 70 86 60 76 53 69 48 63 44 58 41 54 38 16 85 59 70 49 60 42 53 37 48 34 44 31 41 29 38 27 151 106 125 87 108 75 95 67 86 60 79 55 73 51 68 47 20 106 74 87 61 75 53 67 47 60 42 55 39 51 36 47 33 170 119 141 98 121 85 107 75 97 68 89 62 82 57 76 53 22,5 119 83 98 69 85 59 75 53 68 47 62 43 57 40 53 37 189 132 156 109 135 94 119 83 108 75 98 69 91 64 85 59 25 132 93 109 76 94 66 83 58 75 53 69 48 64 45 59 42 242 169 200 140 172 121 152 107 138 96 126 88 116 81 108 76 32 169 119 140 98 121 84 107 75 96 67 88 62 81 57 76 53 303 212 250 175 215 151 191 133 172 120 157 110 145 102 136 95 40 212 148 175 122 151 105 133 93 120 84 110 77 102 71 95 66

Valores de acordo com a NBR 6118/03 No Superior: Má Aderência ; No Inferior: Boa Aderência lb Sem e Com ganchos nas extremidades As,ef = área de armadura efetiva ; As,calc = área de armadura calculada

O comprimento de ancoragem deve ser maior do que o comprimento mínimo: ⎪⎩

⎪⎨

⎧φ≥mm 100

103,0 b

mín,b

l

l

γc = 1,4 ; γs = 1,15



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Tabela A-3

COMPRIMENTO DE ANCORAGEM lb (cm) PARA As,ef = As,calc CA-60 entalhado Concreto

C15 C20 C25 C30 C35 C40 C45 C50 φ

(mm) Sem Com Sem Com Sem Com Sem Com Sem Com Sem Com Sem Com Sem Com50 35 41 29 35 25 31 22 28 20 26 18 24 17 22 16 3,4

35 24 29 20 25 17 22 15 20 14 18 13 17 12 16 11 61 43 51 35 44 31 39 27 35 24 32 22 29 21 27 19 4,2

43 30 35 25 31 21 27 19 24 17 22 16 21 14 19 13 73 51 60 42 52 36 46 32 41 29 38 27 35 25 33 23 5

51 36 42 30 36 25 32 23 29 20 27 19 25 17 23 16 88 61 72 51 62 44 55 39 50 35 46 32 42 29 39 27 6

61 43 51 35 44 31 39 27 35 24 32 22 29 21 27 19 102 71 84 59 73 51 64 45 58 41 53 37 49 34 46 32 7

71 50 59 41 51 36 45 32 41 28 37 26 34 24 32 22 117 82 96 67 83 58 74 51 66 46 61 42 56 39 52 37 8

82 57 67 47 58 41 51 36 46 33 42 30 39 27 37 26 139 97 114 80 99 69 87 61 79 55 72 50 67 47 62 43 9,5

97 68 80 56 69 48 61 43 55 39 50 35 47 33 43 30 Valores de acordo com a NBR 6118/03 No Superior: Má Aderência ; No Inferior: Boa Aderência lb Sem e Com ganchos nas extremidades As,ef = área de armadura efetiva ; As,calc = área de armadura calculada

O comprimento de ancoragem deve ser maior do que o comprimento mínimo: ⎪⎩

⎪⎨

⎧φ≥mm 100

103,0 b

mín,b

l

l

γc = 1,4 ; γs = 1,15

Dimensionamento de Vigas à força Cortante

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