Dinamica del Corpo Rigido · 2006. 10. 10. · C H A P T E R 1 Dinamica del Corpo Rigido 1.1 Tipi...

C H A P T E R 1

Dinamica del Corpo Rigido

1.1 Tipi di problemi in dinamica

In dinamica i principali problemi che possono presentarsi sono tre:1) trovare il moto in funzione del tempo Hx = xHtLL2) trovare l'atto di moto in funzione del tempo Hx° = x° HtLL3) trovare l'atto di moto in funzione della configurazione Hx° = x° HxLLIn dinamica contrariamente alla statica non si giunge ad equazioni algebrichema ad equazioni differenziali o sistemi di equazioni differenziali che spessonon ammettono soluzione in forma chiusa. Pertanto spesso (soprattutto per iproblemi 1 e 2) non si riesce a giungere ad una soluzione esplicita.In generale è sconsigliabile dunque cercare di scrivere equazioni differenzialied è invece preferibile cercare equazioni di conservazione. In particolare pertrovare la soluzione al terzo tipo di problema proposto si potrebbero presentarealcune delle seguenti situazioni che portano ad equazioni di conservazione.

a) Qêêê = cost. fl Rêê + RêêI = 0êê

b) Qêêêi = cost. fl Rêêi + RêêiI = 0

c) Gêê = cost elooomnooo

O fissoO ª GVOêêêêê êê VGêêêêê

fl Moêêêêê + MOI

êêêêêêê = 0êê

d) Giêêê = cost elooomnooo

O fissoO ª GVOêêêêê êê VGêêêêê

fl Moiêêêêêê + MOiI

êêêêêêê = 0

e) Se siamo in presenza di vincoli fissi, bilateri e non dissipativi inoltre si ha:dTÅÅÅÅÅÅÅdt = Patt e se inoltre vale l'ipotesi aggiuntiva che le forze siannervativeIPatt = dUÅÅÅÅÅÅÅÅdt M segue la nota legge di conservazione dell'energia T - U = E.1

e) Se siamo in presenza di vincoli fissi, bilateri e non dissipativi inoltre si ha:dTÅÅÅÅÅÅÅdt = Patt e se inoltre vale l'ipotesi aggiuntiva che le forze siannervativeIPatt = dUÅÅÅÅÅÅÅÅdt M segue la nota legge di conservazione dell'energia T - U = E.

Concludiamo questo paragrafo introduttivo notando che se si hanno forti sos-petti che il moto del sistema sia di tipo oscillatorio conviene cercare equazionidifferenziali. Infatti l'equazione differenziale dei moti oscillatori essendo lin-eare a coefficienti costanti è facile da studiare mentre risulta più difficile inquesto caso integrare le equazioni a cui si perviene utilizzando la conservazi-one dell'energia.

1.2 Corpo rigido nel piano

Il caso di un corpo rigido in moto nel piano conduce in molti casi ad equazioniabbastanza semplici da analizzare e da utilizzare per trovare il moto o ciò cheviene richiesto dal problema: In particolare per quanto riguarda la quantità dimoto si ha:

m aGêêêê=Rêê + RêêI =d QêêêÅÅÅÅÅÅÅÅÅdt fl

loomnoo

m x..

G = Rx + RxI

m y..

G = Ry + RyI

Per il momento, scegliendo opportunamente il polo si ottiene:

d Gêê0ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅdt + vê0 ÔQêêê = M0êêêêê + M0êêêêêI ïî

OªGIG q

..= MG + MG

I

Infine per quanto riguarda il teorema dell'energia si ha:

dTÅÅÅÅÅÅÅdt = P ïîîîîîîSolite Hp

T - U = E fl 1ÅÅÅÅ2 m vG2 + 1ÅÅÅÅ2 IG q

° 2- U = E

Matteo Lesinigo Meccanica Razionale

2

1.3 Corpo rigido con asse fisso (1dgf)

Il caso di moto rigido attorno ad un asse fisso si presta ad essere analizzato inmodo abbastanza semplice. Sotto l'ipotesi che tutte le reazioni vincolari sianoapplicate all'asse fisso Z (ovvero Mz

I = 0Mdeterminare il moto significa cercareqHtL.Per un sistema di questo tipo infatti vi è un solo grado di libertà ed evidente-mente il moto di G risulta circolare attorno all'asse Z. Pertanto come in ognimoto circolare saranno presenti le accelerazioni tangenziale r q

.. e centripeta

rq° 2.Preliminarmente all'analisi delle relazioni statiche e dinamiche del caso è

opportuno ricordare che per il sistema rigido con asse fisso, presa una ternaortogonale solidale al corpo medesimo con il versore kêê diretto come l'asse Z siha:

wêêê = q° Kêêê = q

° kêê

d iêÅÅÅÅÅÅÅdt = wêêêÔ iê = q° kêêÔ iê = q

° jê

d jêÅÅÅÅÅÅÅdt = wêêêÔ jê = q° kêêÔ jê = -q

° iê

d kêêÅÅÅÅÅÅÅÅdt = wêêêÔ kêê = q° kêêÔ kêê = 0

Per prima cosa valutiamo l'equilibrio del C.R.: Le condizoni da soddisfare sonoRêê + RêêI = 0êê e Mêêêêo + Mêêêê0

I = 0êê. Dalla seconda delle due, proiettata scalarmente sitrovano le tre equazioni:

loooomnoooo

Mx + MxI = 0

My + MyI = 0

Mz + MzI = Mz = 0 fl equazione pura da cui si può ricavare q di equilibrio

Per quanto riguarda la dinamica viceversa possiamo scrivere le seguenti (ove siè scelto di proiettare le risultanti in direzione tangente e ortogonale alla velocitàdi G.

d QêêêÅÅÅÅÅÅÅÅÅdt = Rêê + RêêI = m aGêêêêfl

looooomnooooo

m r q..

= Rt + RtI

m r q° 2

= Rn + Rn

0 = Rz + RzI

Dalle equazioni del momento e dal teorema dell'energia troviamo:

looomnooo

dTÅÅÅÅÅÅÅdt = Patt = 1ÅÅÅÅ2 d Iz q° 2

ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅd t

Patt = Rêê ÿ v0êêê + M0êêêêê ÿ wêêê = M0êêêêê ÿ q° kêê = q

° Mz

fl Iz q° q..

= q° Mz fl Iz q

..= Mz

Per quanto riguarda i momenti delle reazioni si possono fare le seguenti consid-erazioni ricordando che Goêêêê si può scrivere come prodotto della matrice diinerzia ! per il vettore wêêê .

!=i

k

jjjjjjjjj

Ix Ixy Ixz

Iyx Iy Iyz

Izx Izy Iz

y

{

zzzzzzzzz wêêê=i

k

jjjjjjjj00q°

y

{

zzzzzzzz

G0êêêê = Gx Iê + Gy jê + Gz kêê = Ixz q° iê + Iyz q

° kêê + Iz q

° kêê

d GoêêêêÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅd t = Ixz q..

iê + Iyz q..

kêê + Iz q..

kêê + Ixz q° 2

jê - Iyz q° 2

iê

e proiettando l'equazione del momento sui tre assi si ottiene infine:

loooooomnoooooo

Mx + MxI = Ixz q

..- Iyz q

° 2

My + MyI = Iyz q

..+ Ixz q

° 2

Mz = Iz q..

fl equazione pura di moto

Concludiamo l'analisi notando che se G è un punto dell'asse Z e il medesimoasse risulta essere un asse principale di inerzia per il C.R. le equazioni delladinamica, a regime Iq.. = 0 e prodotti di inerzia nulliM , risultano uguali a quelledella statica. In questo particolarissimo caso che consente di minimizzare glisforzi delle reazioni vincolari sul C.R. e sull'asse si parla di equilibrio del rotoree la procedura che si attua per giungere in questa situazione prende il nome diequilibramento.


3

loooomnoooo

Mx + MxI = 0

My + MyI = 0

Mz + MzI = Mz = 0 fl equazione pura da cui si può ricavare q di equilibrio

Per quanto riguarda la dinamica viceversa possiamo scrivere le seguenti (ove siè scelto di proiettare le risultanti in direzione tangente e ortogonale alla velocitàdi G.

d QêêêÅÅÅÅÅÅÅÅÅdt = Rêê + RêêI = m aGêêêêfl

looooomnooooo

m r q..

= Rt + RtI

m r q° 2

= Rn + Rn

0 = Rz + RzI

Dalle equazioni del momento e dal teorema dell'energia troviamo:

looomnooo

dTÅÅÅÅÅÅÅdt = Patt = 1ÅÅÅÅ2 d Iz q° 2

ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅd t

Patt = Rêê ÿ v0êêê + M0êêêêê ÿ wêêê = M0êêêêê ÿ q° kêê = q

° Mz

fl Iz q° q..

= q° Mz fl Iz q

..= Mz

Per quanto riguarda i momenti delle reazioni si possono fare le seguenti consid-erazioni ricordando che Goêêêê si può scrivere come prodotto della matrice diinerzia ! per il vettore wêêê .

!=i

k

jjjjjjjjj

Ix Ixy Ixz

Iyx Iy Iyz

Izx Izy Iz

y

{

zzzzzzzzz wêêê=i

k

jjjjjjjj00q°

y

{

zzzzzzzz

G0êêêê = Gx Iê + Gy jê + Gz kêê = Ixz q° iê + Iyz q

° kêê + Iz q

° kêê

d GoêêêêÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅd t = Ixz q..

iê + Iyz q..

kêê + Iz q..

kêê + Ixz q° 2

jê - Iyz q° 2

iê

e proiettando l'equazione del momento sui tre assi si ottiene infine:

loooooomnoooooo

Mx + MxI = Ixz q

..- Iyz q

° 2

My + MyI = Iyz q

..+ Ixz q

° 2

Mz = Iz q..

fl equazione pura di moto

Concludiamo l'analisi notando che se G è un punto dell'asse Z e il medesimoasse risulta essere un asse principale di inerzia per il C.R. le equazioni delladinamica, a regime Iq.. = 0 e prodotti di inerzia nulliM , risultano uguali a quelledella statica. In questo particolarissimo caso che consente di minimizzare glisforzi delle reazioni vincolari sul C.R. e sull'asse si parla di equilibrio del rotoree la procedura che si attua per giungere in questa situazione prende il nome diequilibramento.

1.4 Corpo rigido con un punto fisso (3 dgf)

Come è facile supporre l'analisi dell'atto di moto rigido in questo caso si com-plica notevolmente. Infatti i gradi di libertà del C.R. sono 3 e dunque è necessa-rio caratterizzare il moto mediante l'orientazione di una terna mobile rispetto aduna terna fissa. Questo viene fatto mediante gli angoli di Eulero per esempio enaturalmente ciò conduce ad una espressione molto complicata del vettore wêêê infunzione dei medesimi angoli, presi come coordinate libere. Vale la pena dinotare che comunque essendoci un punto fisso l'atto di moto risulta rotatoriosebbene a differenza del caso precedente wêêênon sia più costante ma dipenda daltempo ovvero wêêê = wêêêHtL. Iniziamo col dare una connotazione delle condizioni diequilibrio (sotto l'ipotesi che tutte le reazioni siano applicate al punto fisso):

lomno

Rêê + RêêI = 0êêMêêêê0 = 0êê fl sistema di 3 equazioni in 3 incognite

La dinamica del sistema conduce ad equazioni differenziali che risultano piut-tosto complicate e sulle quali faremo considerazioni in alcunii casi particolari.Tuttavia la scelta arbitraria della terna solidale al corpo rigido consente discegliere la terna principale di inerzia la cui matrice di inerzia è diagonale conelementi A,B,C e ricordiamo anche che le componenti di wêêêsi indicano usual-mente con p, q, r. Possiamo allora scrivere:

loomnoo

m aGêêêê = Rêê + RêêI

d G0êêêêÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅd t = Mêêêê0

Ma G0êêêê = A p iê + B Q jê + C r kêê dunque calcolandone la derivata e proiettandoscalarmente sugli assi si ha:

d GoêêêêÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅd t = A p° iê + B q° jê + C r° kêê + A p wêêêÔ iê + B q wêêêÔ jê + C r wêêêÔ kêê =

A p° iê + B q° jê + C r° kêê + wêêêÔGêêo

d G0êêêêÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅd t = Mêêêê0 fllooomnooo

A p° + HC - BL q r = MxB q° + HA - CL r p = My

C r° + HB - AL p q = Mz

d TÅÅÅÅÅÅÅÅÅd t = P

Ove il sistema è noto come sistema di Eulero. Vale la pena di notare che poichèMêêêêo è generalmente funzione del tempo ed è esprimibile a partire dagli angoli diEulero come lo sono le componenti di wêêê si ha che il sistema è un sistema diequazioni differenziali non lineare e dunque non risulta integrabile se non incasi molto particolari.


4

Come è facile supporre l'analisi dell'atto di moto rigido in questo caso si com-plica notevolmente. Infatti i gradi di libertà del C.R. sono 3 e dunque è necessa-rio caratterizzare il moto mediante l'orientazione di una terna mobile rispetto aduna terna fissa. Questo viene fatto mediante gli angoli di Eulero per esempio enaturalmente ciò conduce ad una espressione molto complicata del vettore wêêê infunzione dei medesimi angoli, presi come coordinate libere. Vale la pena dinotare che comunque essendoci un punto fisso l'atto di moto risulta rotatoriosebbene a differenza del caso precedente wêêênon sia più costante ma dipenda daltempo ovvero wêêê = wêêêHtL. Iniziamo col dare una connotazione delle condizioni diequilibrio (sotto l'ipotesi che tutte le reazioni siano applicate al punto fisso):

lomno

Rêê + RêêI = 0êêMêêêê0 = 0êê fl sistema di 3 equazioni in 3 incognite

La dinamica del sistema conduce ad equazioni differenziali che risultano piut-tosto complicate e sulle quali faremo considerazioni in alcunii casi particolari.Tuttavia la scelta arbitraria della terna solidale al corpo rigido consente discegliere la terna principale di inerzia la cui matrice di inerzia è diagonale conelementi A,B,C e ricordiamo anche che le componenti di wêêêsi indicano usual-mente con p, q, r. Possiamo allora scrivere:

loomnoo

m aGêêêê = Rêê + RêêI

d G0êêêêÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅd t = Mêêêê0

Ma G0êêêê = A p iê + B Q jê + C r kêê dunque calcolandone la derivata e proiettandoscalarmente sugli assi si ha:

d GoêêêêÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅd t = A p° iê + B q° jê + C r° kêê + A p wêêêÔ iê + B q wêêêÔ jê + C r wêêêÔ kêê =

A p° iê + B q° jê + C r° kêê + wêêêÔGêêo

d G0êêêêÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅd t = Mêêêê0 fllooomnooo

A p° + HC - BL q r = MxB q° + HA - CL r p = My

C r° + HB - AL p q = Mz

d TÅÅÅÅÅÅÅÅÅd t = P

Ove il sistema è noto come sistema di Eulero. Vale la pena di notare che poichèMêêêêo è generalmente funzione del tempo ed è esprimibile a partire dagli angoli diEulero come lo sono le componenti di wêêê si ha che il sistema è un sistema diequazioni differenziali non lineare e dunque non risulta integrabile se non incasi molto particolari.

1.4.1 Corpo rigido con un punto fisso (3 dgf): situazione inerziale

Risulta interessante chiedersi quello che succede in condizioni inerziali: corpoin rotazione con una certa wêêêsul quale non agiscono forze esterne. Il sistemadiventa:

G0êêêê = costante (Poichè M0êêêêê=0 e v0êêêÔQêêê=0)

T = costante ikjjjinfatti P = Rêêê

=0ÿ v0êêê + M0

=0êêêêê ÿ wêêê = 0y{

zzz

looomnooo

A p° + HC - BL q r = 0B q° + HA - CL r p = 0C r° + HB - AL p q = 0

Ci chiediamo in particolare sotto quali condizioni la velocità angolare si man-tiene costante. Supponiamo dunque che esista una soluzione costante al prob-lema, qualora ciò fosse possibile essa dovrebbe verificare il sistema:

looomnoooHC - BL q r = 0HA - CL r p = 0HB - AL p q = 0

Vi sono dunque diversi casi possibili:

1) Il corpo si comporta come una sfera ovvero l'ellissoide di inerzia è una sfera(A=B=C). In questo particolarissimo caso il sistema è soddisfatto "wêêê0 asseg-nata e dunque il corpo messo in rotazione prosegue il suo movimento attornoall'asse di rotazione iniziale. Nota bene: in un corpo fatto così ogni terna sol-idale è principale di inerzia.

2) Il corpo si comporta come un ellissoide con due semiassi uguali (A=B≠C oA≠B=C o A=C≠B). In questo caso si trovano diverse soluzioni a seconda diquali assi sono uguali. In ogni caso, per ogni soluzione, è una sola la compo-nente del vettore wêêêo che può essere diversa da zero e dunque esistono solovelocità angolari particolari che si mantengono. Si nota che sono quelle degliassi principali di inerzia. Le terne principali di inerzia sono tutte quelle chehanno un asse in direzione del semiasse “anomalo” e le altre due nel pianoindividuato dai due semiassi uguali. In particolare ricordiamo che la lunghezzadei semiassi dell'ellissoide di inerzia sono legati alla terna principale di inerziamediante le seguenti relazioni: siano a, b, c le lunghezze dei semiassi, allorasi ha:

a = 1 ëè!!!!Ab = 1 ëè!!!!Bc = 1 ëè!!!!C

In generale un corpo con due semiassi dell'ellissoide di inerzia uguali si dice astruttura giroscopica e si considerano generalmente uguali gli assi a e b . L'assecprende il nome di asse giroscopico. Ci chiediamo ora come si muova il corpodata una velocità angolare iniziale wêêêche non sia parallela agli assi della TPI. Siscopre che la situazione è fortunata e il sistema di equazioni differenziali chene deriva è integrabile essendo riconducibile all'equazione dell'oscillatorearmonico. Vediamo più in dettaglio questo risultato. Riconsideriamo il sistema:

loooomnoooo

A p° + HC - BL q r = 0B q° + HA - CL r p = 0

C r° + HB - AL p q = 0 ïA=B

C r° = 0 fl r = costante

Ovvero la componente della velocità angolare lungo l'asse giroscopico si con-serva. Tenendo conto che A = B il sistema si trasforma nel seguente modo:

looomnooo

A p° + HC - AL q r0 = 0A q° - HC - AL r0 p = 0r = r0

e derivando la prima e sostituendo q° tramite la secondasi trova:

loooomnoooo

A p.. + HC - AL q° r0 = 0

q° = HC-AL r0 pÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅAr = r0

fl p..

+ HC-AL2 r02 pÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅA2 = 0

e chiamando il termine »C-A» r0ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅA lambda si giunge all'equazione:

p..

+ l2 p = 0

Da cui si ricavano immediatamente le funzioni che indicano come variano lecomponenti di wêêênel tempo.

looomnooo

pHtL = C1 cosHl tL + C2 sinHl tLqHtL = C1 sinHl tL - C2 cosHltLrHtL = r0

flMoto alla Poinsot

Prima di passare al caso senza simmetrie vale la pena fare alcune osservazioni:

a) I vettori G0êêêê , wêêê e zê rimangono sempre complanari. Infatti si haG0êêêêÔwêêê ÿ kêê = 0e l'annullarsi del prodotto misto è CNS di complanarietà.b) Il modulo della velocità angolare rimane costante (segue direttamente dalcalcolare p2HtL + q2HtL + r2HtL)c) Gli angoli a (tra G0êêêê e wêêê) e b (tra wêêê e zê ) rimangono costanti. Infatti si ha che:

cosHaL =G0êêêêÿwêêêÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ» G0êêêêê» » wêêêê» = 2 TÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ» G0êêêêê» » wêêêê» = cost

cosHbL = rÅÅÅÅÅÅÅÅ»w» = cost.

Moti di questo tipo prendono anche il nome di polari uniformi o di precessioneregolare.

3) Il corpo non presenta particolari simmetrie (A≠B≠C). In questo caso leuniche rotazioni che si mantengono sono quelle attorno agli assi principali diinerzia e dunque sono solo 3 e sono specifiche. E’ il caso inerziale più comp-lesso. Tuttavia qualora la velocità angolare iniziale non sia diretta lungo gli assidella TPI si è ancora in grado di integrare il moto. Per farlo procediamo cer-cando delle leggi di conservazione. Possiamo infatti scrivere che:

|G0 »2 = cost fl A2 p2 + B2 q2 + C2 r2 = cost

T = cost fl A p2 + B q2 + C r2 = cost

Ma risolvendo il sistema dato dalle due equazioni rispetto a p e a q si riesconoa esprimere le medesime in funzione di r ovvero si avrà:

; p = pHrLq = qHrL

Da qui si può ottenere un equazione differenziale nella sola rusando la terzaequazione del sistema di Newton.

C r° + HA - BL pHrL qHrL = 0 fl d rÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅpHrL qHrL = B-AÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅC d t fl Ÿ d rÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅpHrL qHrL d r = B-AÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅC t

Notiamo tuttavia che un moto di questo tipo non è uniforme marcando ancorauna volta il fatto che la legge d'inerzia vale solo per i punti materiali e non per icorpi rigidi o, in genere, estesi.


5




=0ÿ v0êêê + M0


zzz

looomnooo







a = 1 ëè!!!!Ab = 1 ëè!!!!Bc = 1 ëè!!!!C


loooomnoooo





looomnooo



loooomnoooo

A p..

+ HC - AL q° r0 = 0


fl p..



p..

+ l2 p = 0


looomnooo


flMoto alla Poinsot










; p = pHrLq = qHrL





6




=0ÿ v0êêê + M0


zzz

looomnooo







a = 1 ëè!!!!Ab = 1 ëè!!!!Bc = 1 ëè!!!!C


loooomnoooo





looomnooo



loooomnoooo

A p.. + HC - AL q° r0 = 0


fl p..



p..

+ l2 p = 0


looomnooo


flMoto alla Poinsot










; p = pHrLq = qHrL





7




=0ÿ v0êêê + M0


zzz

looomnooo







a = 1 ëè!!!!Ab = 1 ëè!!!!Bc = 1 ëè!!!!C


loooomnoooo





looomnooo



loooomnoooo

A p.. + HC - AL q° r0 = 0


fl p..



p..

+ l2 p = 0


looomnooo


flMoto alla Poinsot










; p = pHrLq = qHrL




1.4.2 Corpo rigido con un punto fisso (3 dgf): situazione non inerziale

Vogliamo ora trattare brevemente e senza completezza un caso particolare dicorpo rigido vincolato ad un punto in situazione non inerziale. Ci occupiamo inparticolare del Giroscopio pesante. Per un corpo con struttura giroscopicasoggetto solo alla forza peso possiamo scrivere le seguenti equazioni:

looomnooo

d G0êêêêÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅd t = M0êêêêê fl J d G0êêêêÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅd t Nz

= Mz = 0 fl GZ = cost.

d TÅÅÅÅÅÅÅÅÅd t = P fl T - U = cost.

Sfruttando poi l'importante risultato (che non dimostreremo) che il moto di unsistema con n gradi di libertà è sempre integrabile qualora esistano almeno nequazioni di conservazione cerchiamo un'ulteriore legge che ci garantisca diintegrare il moto. Ciò è possibile solo in alcuni casi significativi poi studiati erisolti da alcuni geni del passato. In particolare i casi interessanti sono:

Gª O (Eulero)

G e Z fl Mz = 0 = C r° + HA - BL=0 p q fl r = cost. (Lagrange)

A-B=2C e G e XY (Kowalensky)

Concludiamo questa breve digressione sui giroscopi pesanti enunciando alcuneproprietà di questi sistemi che vengono sfruttate per realizzare, ad esempio, letrottole. Tenacia dell'asse Giroscopico: Se il corpo è in rotazione attorno all'asse giro-scopico la forza che bisogna applicare al corpo per deviare l'asse è proporzion-ale alla velocità di rotazione del corpo stesso.Anche qualora si applichi una forza tale da deviare l'asse giroscopico esso,dopo un lievissimo spostamento in direzione della forza applicata inizierà amuoversi ortogonalmente ad essa.


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Vogliamo ora trattare brevemente e senza completezza un caso particolare dicorpo rigido vincolato ad un punto in situazione non inerziale. Ci occupiamo inparticolare del Giroscopio pesante. Per un corpo con struttura giroscopicasoggetto solo alla forza peso possiamo scrivere le seguenti equazioni:

looomnooo

d G0êêêêÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅd t = M0êêêêê fl J d G0êêêêÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅd t Nz

= Mz = 0 fl GZ = cost.

d TÅÅÅÅÅÅÅÅÅd t = P fl T - U = cost.

Sfruttando poi l'importante risultato (che non dimostreremo) che il moto di unsistema con n gradi di libertà è sempre integrabile qualora esistano almeno nequazioni di conservazione cerchiamo un'ulteriore legge che ci garantisca diintegrare il moto. Ciò è possibile solo in alcuni casi significativi poi studiati erisolti da alcuni geni del passato. In particolare i casi interessanti sono:

Gª O (Eulero)

G e Z fl Mz = 0 = C r° + HA - BL=0 p q fl r = cost. (Lagrange)

A-B=2C e G e XY (Kowalensky)

Concludiamo questa breve digressione sui giroscopi pesanti enunciando alcuneproprietà di questi sistemi che vengono sfruttate per realizzare, ad esempio, letrottole. Tenacia dell'asse Giroscopico: Se il corpo è in rotazione attorno all'asse giro-scopico la forza che bisogna applicare al corpo per deviare l'asse è proporzion-ale alla velocità di rotazione del corpo stesso.Anche qualora si applichi una forza tale da deviare l'asse giroscopico esso,dopo un lievissimo spostamento in direzione della forza applicata inizierà amuoversi ortogonalmente ad essa.

1.5 Corpo rigido libero (6 dgf)

Il corpo rigido libero è il caso più generale che può capitare in dinamica persistemi rigidi. Prendendo come variabili per stabilire la configurazione laposizione del baricentro e l'orientazione di una terna baricentrale solidale alcorpo rigido rispetto ad una terna fissa si ottiene il seguente sistema:

loomnoo

m aGêêêê = Rêêd G0êêêêÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅd t = MGêêêêê

Che è un sistema di 6 equazioni differenziali in 6 incognite. In generale ilmomento e il risultante saranno dipendenti da tutte le variabili spaziali èdunque risulta quasi impossibile risolvere il sistema integrando il moto. Qua-lora invece Rêê dipenda solo dalla posizione del baricentro e dalla sua velocitàallora dalle prime tre equazioni si può ricavare il moto di G e dalla seconda siricava il sistema di equazioni di Eulero già considerato. Se siamo in una situazi-one inerziale il sistema dice che il baricentro si muove di moto rettilineo uni-forme mentre per l'orientazione del corpo bisogna ricondursi all'analisi delcorpo rigido vincolato ad un punto fisso trattato nella Section 4.


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C H A P T E R 2

Dinamica Relativa

2.1 Introduzione

Come già detto per la cinematica, la dinamica relativa si occupa di studiare lerelazioni tra le osservazioni di due sistemi di riferimento non inerziali tra loro.Per poter dare una descrizione coerente senza introdurre concetti relativisticibisogna accettare i seguenti postulati della meccanica classica:1) Le forze misurate sono inverianti2) Le distanze sono invarianti3) Il tempo è invariante4) La massa è invariante.

Detto ciò si possono ricavare le relazioni tra le leggi note per un osservatoreinerziale e quelle di un osservatore non inerziale a partire dal Teorema diCoriolis che ricordiamo brevemente:

Aêêê= aêêr + Aêêê

s + 2 wêêêÔ vêr

Ove a partire da sinistra abbiamo rispettivamente l'accelerazione assoluta,quella relativa, quella di trascinamento e quella complementare o di Coriolis.


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2.2 Le equazioni per un osservatore non inerziale

Partendo dal teorema di Coriolis e moltiplicando ambo i membri per la massam , supposta a rigor di logica diversa da zero si ha:

m Aêêê

= m aêêr + m A

êêês + 2 m wêêêÔ vêr

Sappiamo che per un osservatore inerziale vale Fêêê= m aêê e per il primo postu-

lato introdotto al paragrafo precedente sappiamo anche che la Fêêê misurata da unosservatore inerziale e da un osservatore non inerziale è la stessa. Ci chiediamoallora come modificare l'equazione classica per poter mettrere in relazionel'accelerazione misurata dall'osservatore relativo con la forza da lui misurata.Portanto a sinistra i termini m Aêêê

s e 2 m wêêêÔ vêr si ottiene:

(2.1)m ar

êêê = m Aêêê - m Aêêês - 2 m wêêêÔ vr

êêê = Fêêê+ Fêêê

s + Fêêêc

Fêêês = -m Aêêê

s

Fêêêc = -2 m wêêêÔ vêêr

Si noti che l'unica vera forza è Fêêê. La forza di trascinamento e la forza di Corio-lis non sono vere forze pur essendo dimensionalmente omogenee ad una forza.Infatti tali forze fittizie non vengono misurate dall'osservatore inerziale.Essendo tali per esse non vale il principio di azione e reazione. Inoltre la forzadi Coriolis essendo sempre perpendicolare alla velocità relativa non compielavoro e dunque non entra in gioco nel calcolo della potenza. Possiamo scriverele seguenti equazioni valide per un osservatore NON inerziale.

(2.2)

loooooomnoooooo

d Qêêê

ÅÅÅÅÅÅÅÅÅd t = Rêê+ Rêê'

+ Rêês + Rêê

c

d Gêê

0ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅd t + vêê0 ÔQêêê= Mêêêê

0 + Mêêêê0

'+ Mêêêê

Os + MêêêêO c

d TÅÅÅÅÅÅÅÅÅd t = P + P' + Ps

Alcune osservazioni:Casi significativi e semplici da calcolare sono quelli di un osservatore che simuove di moto traslatorio non uniforme o di moto circolare uniforme(accelerazione di trascinamento = accelerazione centrifuga = -accelerazionecentripeta). Inoltre in generale possiamo dire che il modulo e la direzione delleforze di trascinamento su un corpo rigido si possono calcolare facilmente apartire dalla accelerazione di trascinamento del baricentro mentre non è ingenerale possibile determinare il punto di applicazione che normalmente noncoincide col baricentro medesimo. Enunciamo infine il noto principio di equiva-lenza:

Con un esperimento fisico non è possibile distinguere un campo gravitazionaleda un effetto apparente.


11

C H A P T E R 3

Teoremi e Formule di Calcolo

3.1 Calcolo dei momenti d'inerzia

3.1.1 Momento d'inerzia rispetto a un asse

Si dice momento di inerzia rispetto a un asse x , e si indica conIx = Ÿ r r2 d tove r indica la distanza dall'asse. Si noti che questa deinizione èla più generale possibile e può essere riscritta con la sommatoria in luogodell'integrale per sistemi di punti materiali.

3.1.2 Teorema del trasporto

Una volta introdotto il momento di inerzia rispetto all'asse x generico puòessere utilissimo sfruttare il seguente teorema detto del trasporto:

Sia x êê xêê e sia d = » x - xêê » .Allora si ha che: Ix = Ixêê + m d2 ove m è la massatotale dell'oggetto o sistema in esame.

3.1.3 Composizione di momenti di inerzia

Per un generico sistema siano dati i momenti di inerzia Ix e Iy rispetto a due assix e y tali che x ¶ y.Allora se z è l'ultimo asse di una terna ortogonale si ha cheIz = Ix + Iy.Questa relazione assume importanza fondamentale per il calcolodei momenti di inerzia in problemi nel piano.


12

3.1.4 Matrici di Inerzia

Per introdurre il concetto di matrice di inerzia iniziamo a considerare un pianoin cui siano dati gli assi ortogonali x e y e un ulteriore asse nel medesimo pianon . Allora a patto di conoscere i momenti di inerzia rispetto agli assi x e y el'angolo che l'asse n forma con essi si può scrivere:

In = IxHcosaL2 + IyHsinaL2 + 2 Ix y sina cosa

ove Ix y = -Ÿ r x y dt.Analizzando meglio tale relazione e riscrivendola infunzione del versore n diretto come l'asse n stesso si ha:

In = Ix nx2 + Iy ny

2 + 2 Ix y nx ny

che è una forma quadratica e come tale può essere riscritta in forma matricialenel seguente modo:

In = H nx ny L ikjjj Ix Ix y

Ix y Iy

y{zzz ikjjj nx

ny

y{zzz

La matrice 2x2 prende il nome di matrice d'inerzia. Il ragionamento è del tuttoanalogo in tre dimensioni e l'ampliamento della teoria non presenta dunquealcuna difficoltà. La matrice di inerzia è a priori piena, tuttavia per unqualunque sistema è sempre possibile trovare una terna di assi rispetto a cui siadiagonale. In questo caso i prodotti di inerzia sono nulli e questa terna specialeprende il nome di terna principale di inerzia. Gli assi di tale terna sono gliautovettori della matrice mentre i momenti di inerzia ad essi associati sono gliautovalori. Una interpretazione dello stesso concetto è possibile pensandoanche all'ellissoide di inerzia, oggetto matematico per descrivere il medesimoproblema nel quale i semiassi sono l'inverso delle radici dei momenti d'inerzia.


13

3.2 Calcolo delle quantità dinamiche: atto di moto rigido

3.2.1 Moto rototraslatorio

Supponiamo di avere un corpo rigido che si muove di moto rototraslatorio.Siano note la velocità vêA di un suo punto e la sua velocità angolare wêêê. Allora siha:

vêP = vê A + wêêêÔ HP - AL fl » vêP2 » = … vê A …2 + » wêêêÔ HP - AL »2 +2 vê A ÿ wêêêÔ HP - AL

Ma allora l'energia cinetica può essere scritta come:

T = 1ÅÅÅÅ2 Ÿ … vê P2 … d m =

1ÅÅÅÅ2 Ÿ … vê A …2 d m + 1ÅÅÅÅ2 Ÿ … wêêêÔ HP - AL …2 d m + 1ÅÅÅÅ2 Ÿ 2 vê A ÿ wêêêÔ HP - AL d m =1ÅÅÅÅ2 m … vê A …2 +wêêêT ! wêêê + m vêA ÿ wêêêÔ HG - AL

Se consideriamo questa equazione rispetto al baricentro G si ottiene quello cheè noto come il teorema di Ko.. nig:

T = 1ÅÅÅÅ2 m vG2 + 1ÅÅÅÅ2 wêêêT ! wêêê

Anche l'equazione del momento della quantità di moto si semplifica molto conle notazioni introdotte:

Gêê

C = !C wêêê

3.2.2 Caso Piano

Presentiamo ora un breve riepilogo delle formule che si possono usare percalcolare le quantità dinamiche nel piano:

looooomnooooo

T = 1ÅÅÅÅ2 m vG2 w = 0

T = IC w2 rispetto al C.I.R.T = 1ÅÅÅÅ2 m vG

2 + 1ÅÅÅÅ2 IG w2 sempre

looooooom

nooooooo

GCêêêê

= IC wêêê

GGêêêêê

= IG wêêê

G0êêêê

= Gêê

C + HC - OLÔm vGêêêê

G0êêêê

= Gêê

G + HG - OLÔm vGêêêê


14

C H A P T E R 4

Meccanica Analitica

4.1 Introduzione

Considerando le equazioni cardinali della dinamica ci si rende conto da essenon si possono ricavare equazioni pure di moto. Spesso si è costretti a separareil sistema in più sottosistemi e non vi è una strategia generale che consenta diindividuare le equazioni più utili tra quelle generate dal sistema vettoriale. E’ indefinitiva facile commettere degli errori o bloccarsi dopo aver scritto troppeequazioni. In generale per trovare n coordinate libere q1, ..., qn si studiano 3Nequazioni introducendo 3N-n reazioni vincolari fi .La meccanica analitica si prefigge lo scopo di semplificare il procedimento e diriuscire a scrivere sotto opportune ipotesi delle equazioni pure di moto. Ilprimo vincolo da introdurre è abbastanza restrittivo pur lasciando ancora apertal'analisi ad un gran numero di sistemi. Si richiede infatti che il sistema sia nondissipativo. Dobbiamo ora dare alcune definizioni e postulati che consentanodi proseguire la trattazione.

4.1.1 Definizione (velocità virtuale e spostamento virtuale)

Si definisce spostamento virtuale dPun qualunque spostamento compatibilecon i vincoli del sistema pensati istantaneamente fissi. Allo spostamento virtu-ale si può associare una velocità virtuale v '.Queste due grandezze sono legatenel seguente modo: dP = v 'êêê dt.

4.1.2 Postulato dei vincoli non dissipativi

Per un sistema in cui nessun vincolo sia dissipativo (attenzione, anche il purorotolamento è non dissipativo poichè il lavoro totale compiuto dal e sul vincoloè nullo) si ha:


15

(4.1)‚fiêêê dPi ¥ 0

4.1.3 Relazione simbolica della dinamica

La relazione simbolica della dinamica afferma che se e solo se un sistema ènon dissipativo si ha:

⁄IFiêêê - mi aiêêêM ÿ dPi § 0

In un sistema di n punti, risolvendo le equazioni del risultante rispetto allereazioni vincolari si ha:

mi aiêêê = Fiêêê + fiêêê fl fiêêê = -IFiêêê - mi aiêêêM fl fiêêê ÿ dPi =

-IFiêêê - mi aiêêêM ÿ dPi fl ⁄fiêêê ÿ dPi = -⁄IFiêêê - mi aiêêêM ÿ dPi

e se il sistema è non dissipativo si ha:

⁄fiêêê ÿ dPi ¥ 0 fl ⁄IFiêêê - mi aiêêêM ÿ dPi § 0

istante per istante. Viceversa supponendo di conoscere il moto dei punti PiHtLsipossono sempre definire dei vettori arbitrari fiêêê =

def-IFiêêê - mi aiêêêM. Inoltre tali

vettori possono essere interpretati sicuramente come reazioni vincolari inquanto

⁄fiêêê ÿ dPi = -⁄IFiêêê - mi aiêêêM ÿ dPi

e se il moto soddisfa ⁄IFiêêê - mi aiêêêM ÿ dPi § 0

ne segue che ⁄fiêêê ÿ dPi ¥ 0e dal postulato segue la sufficienza.

Se inoltre i vincoli sono bilateri comunque si scelga uno spostamento virtualedP anche -dPsarà uno spostamento virtuale ammissibile (ciò non vale per ivincoli unilateri). In questo caso si parla di spostamenti virtuali reversibili enecessariamente la relazioe simbolica della dinamica diventa

(4.2)‚IFiêêê - mi aiêêêM ÿ dPi = 0


16

4.2 Meccanica analitica e statica

4.2.1 Il principio dei lavori virtuali per un sistema di n punti

Affinchè un sistema non dissipativo di n punti materiali sia in equilibrio si ha" i che viêêê = 0êêe che aiêêê = 0êê.L'equazione simbolica della dinamica diventadunque una delle due seguenti (vincoli unilateri e rispettivamente bilateri).

(4.3)‚Fiêêê ÿ dPi ¥ 0

‚Fiêêê ÿ dPi = 0

Ciò si enuncia dicendo che condizione necessaria e sufficiente per l'equilibriodi un sistema di punti con vincoli non dissipativi è che il lavoro delle forzeattive d* L =⁄Fiêêê ÿ dPi non sia mai positivo comunque si scelgano i dPi .Si faccia attenzione che le forze considerate sono tutte e sole quelle attive, siainterne che esterne.

4.2.2 Il principio dei lavori virtuali per un corpo rigido

Per un corpo rigido quanto appena detto si semplifica. Infatti la somma delleforze interne è nulla e la somma delle forze esterne è il risultante. Poichè il piùgenerale spostamento virtuale di un corpo rigido si può scrivere come:

dPi = dA + êêÔ HPi - AL"dA e "êê della forma êê = wêêê dt.Segue in modo del tutto naturale che il prin-cipio dei lavori virtuali diventa:

(4.4)d* L = ‚Fiêêê ÿ HdA + êêÔ HPi - ALL = Rêê ÿ dA + Mêêêê ÿ êê.

Da qui considerata l'arbitrarietà della traslazione virtuale e della rotazionevirtuale si ritrova il ben noto risultato:Un corpo rigido non in moto è in equilibrio se e solo se la risultante delle forzeesterne applicate e il loro momento sono nulli.


17

4.2.3 Il principio dei lavori virtuali in un sistema olonomo

Sia dato un sistema a N gradi di libertà. Si può supporre che un generico sposta-mento virtuale sia esprimibile in funzione delle N coordinare libere del sistemanel seguente modo:

dPi = ‚k

PiÅÅÅÅÅÅÅÅÅqk d qk

Ma allora si ha:

d* L = ‚iFiêêê ÿ‚

k

PiÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅqk

d qk = „kK‚

iFiêêê ÿ

PiÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅqk

O´̈ ¨¨¨¨¨¨¨̈¨¨¨̈ ¨̈ ¨̈ Æ¨¨¨¨¨¨¨¨̈¨¨¨̈ ¨̈

=Qk

d qk = ‚k

Qk d qk

Se inoltre il sistema è olonomo (ovvero che le coordinate libere siano indipen-denti) allora si ha che d* L = 0se e solo se " ksi ha Qk = 0. Il calcolo deiQk ovvero delle componenti della sollecitazione attiva è a volte più semplice apartire dai lavori virtuali parziali:

Qk = Hd* LLkÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅd qk

Tale procedimento ha il significato di eseguire il calcolo variando una solacoordinata libera per volta e tenendo fisse le altre.

4.2.4 Teorema della stazionarietà del potenziale

Supponiamo che $ UHq1, ..., qn , tL tale che Qk = UÅÅÅÅÅÅÅÅÅqk.Se ciò accade la sol-

lecitazione si dice conservativa e U prende il nome di potenziale. Sotto leipotesi fatte allora l'equilibrio coincide con la richiesta di stazionarietà delpotenziale rispetto alle coordinate libere (eccetto quella temporale).

In particolare analizziamo alcuni casi notevoli:

a) Se siamo in presenza di un campo di forze posizionale Fêêê = FêêêHPL le seguenticondizioni si eqivalgono:


18

HiL d* L = Fêêê ÿ dP = Fêêê ÿ d P = d U

HiiL P = Fêêê ÿ vêê =d UÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅd t

HiiiL ‡gFêêê ÿ d P = UHaL - UHbL

HivL ® Fêêê ÿ d P = 0

HvL rot Fêêê = 0HviL Fêêê = ıqêê U

b) Se siamo in presenza di un campo di forze posizionali dipendenti da piùposizioni spaziali HFêêêi = FêêêiHP1, ..., PnLLsi dice che le forze sono conservative see solo se ogni Fiêêê è conservativa. In questo caso ogni Fiêêêammette potenziale Uied esiste un potenziale globale U = ⁄Ui .

c) Sotto le ipotesi del punto b ma con i vincoli mobili se esistono i potenzialiUi diciamo che le forze sono conservative in senso generalizzato. In questocaso però si presti molta attenzione al fatto che non vale il teorema di conser-vazione dell'energia.


19

4.3 Meccanica Analitica: Dinamica

4.3.1 Ipotesi

Prima di poter introdurre e dimostrare alcuni tra i concetti più rilevanti dellameccanica analitica è necessario fare un breve riepilogo delle ipotesi che verr-anno man mano utilizzate nel seguito. In particolare si ha:

1) VINCOLI NON DISSIPATIVI.

fl ⁄i HFêêêi - mi aêêiL ÿ dPi § 0 " dPi

1.1) VINCOLI NON DISSIPATIVI E BILATERI.

fl ⁄i HFêêêi - mi aêêiL ÿ dPi = 0 " dPi fl ⁄k tk dqk = ⁄k Qk dqk

ove si è definito rispettivamente

tk ªdef ‚Hmi aêêiL ÿ dPiÅÅÅÅÅÅÅÅÅdqk

Qk ªdef ‚Fêêêi ÿ dPiÅÅÅÅÅÅÅÅÅdqk

2) VINCOLI OLONOMI

fl t1 = Q1, t2 = Q2, ...., tk = Qk

3) SOLLECITAZIONE CONSERVATIVA

fl $ UIqêê, tM : Qk = UÅÅÅÅÅÅÅÅÅqkove UÅÅÅÅÅÅÅÅÅq° k

= 0

e l'ultima condizione (che può essere rimossa in una visione più generale)significa che il potenziale generalizzato non dipende dalle velocità.


20

4.3.2 Teorema

Se tk è definito da:

tk ªdef ‚

imi aiêêê ÿ PiÅÅÅÅÅÅÅÅÅqk

e se T è definito come:

T = 1ÅÅÅÅ2 ⁄mi vi2

allora vale la seguente:

(4.5)tk =d

ÅÅÅÅÅÅÅdt

ikjjj T

ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅq° k

y{zzz -

TÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅqk

DIM:Andiamo a proporre dei risultati preliminari che consentono poi di dimostraresemplicemente il teorema. Supponiamo di operare con funzioni abbastanzaregolari, diciamo di classe C2.Allora:

a) d fêêÅÅÅÅÅÅÅÅÅd t = fêêÅÅÅÅÅÅÅÅt + ‚ fêêÅÅÅÅÅÅÅÅÅqk

q° k fl ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅq° m J d fêêÅÅÅÅÅÅÅÅÅd t N =

fêêÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅqm

e scegliendo fêê = Pi segue in modo del tutto naturale che

viêêêÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅq° m= PiÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅqm

b) dÅÅÅÅÅÅÅd t I hÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅqmM = ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅqm

I d hÅÅÅÅÅÅÅÅd t Mfl dÅÅÅÅÅÅÅd t I PiÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅqmM= viêêêÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅqm

Infatti effettuando i seguenti passaggi e sfruttando la regolarità della funzionesi ha:

dÅÅÅÅÅÅÅd t I hÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅqmM = ÅÅÅÅÅÅt I hÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅqm

M + ‚ ÅÅÅÅÅÅÅÅÅqk hÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅqm

q° k =

ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅqm I hÅÅÅÅÅÅÅt M + ‚ ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅqm

hÅÅÅÅÅÅÅÅÅqk q° k = ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅqm

I hÅÅÅÅÅÅÅt + ‚ hÅÅÅÅÅÅÅÅÅqk q° kM = ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅqm

I d hÅÅÅÅÅÅÅÅd t M

c) T = 1ÅÅÅÅ2 ⁄mi viêêêHlL fl TÅÅÅÅÅÅÅÅl = ‚mi viêêêÅÅÅÅÅÅÅÅl ÿ viêêê

Dopo aver enunciato queste tre proprietà la dimostrazione è molto semplice.Infatti:

tm = ‚ dÅÅÅÅÅÅÅd t Imi viêêêM ÿ PiÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅqm=

per parti ‚ dÅÅÅÅÅÅÅd t Imi viêêê ÿ PiÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅqmM - ‚mi viêêê ÿ dÅÅÅÅÅÅÅd t I PiÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅqm

M =a e b

‚ dÅÅÅÅÅÅÅd t Jmi viêêê ÿviêêêÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅq° m

N - ‚mi viêêê ÿviêêêÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅqm

=c dÅÅÅÅÅÅÅd t J TÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅq° m

N - TÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅqm


21

DIM:Andiamo a proporre dei risultati preliminari che consentono poi di dimostraresemplicemente il teorema. Supponiamo di operare con funzioni abbastanzaregolari, diciamo di classe C2.Allora:

a)d fêêÅÅÅÅÅÅÅÅÅd t =

fêêÅÅÅÅÅÅÅÅt + ‚ fêêÅÅÅÅÅÅÅÅÅqk q° k fl ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅq° m

J d fêêÅÅÅÅÅÅÅÅÅd t N = fêêÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅqm

e scegliendo fêê = Pi segue in modo del tutto naturale che

viêêêÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅq° m= PiÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅqm

b) dÅÅÅÅÅÅÅd t I hÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅqmM = ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅqm

I d hÅÅÅÅÅÅÅÅd t Mfl dÅÅÅÅÅÅÅd t I PiÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅqmM= viêêêÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅqm

Infatti effettuando i seguenti passaggi e sfruttando la regolarità della funzionesi ha:

dÅÅÅÅÅÅÅd t I hÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅqmM = ÅÅÅÅÅÅt I hÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅqm

M + ‚ ÅÅÅÅÅÅÅÅÅqk hÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅqm

q° k =

ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅqm I hÅÅÅÅÅÅÅt M + ‚ ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅqm

hÅÅÅÅÅÅÅÅÅqk q° k = ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅqm

I hÅÅÅÅÅÅÅt + ‚ hÅÅÅÅÅÅÅÅÅqk q° kM = ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅqm

I d hÅÅÅÅÅÅÅÅd t M

c) T = 1ÅÅÅÅ2 ⁄mi viêêêHlL fl TÅÅÅÅÅÅÅÅl = ‚mi viêêêÅÅÅÅÅÅÅÅl ÿ viêêê

Dopo aver enunciato queste tre proprietà la dimostrazione è molto semplice.Infatti:

tm = ‚ dÅÅÅÅÅÅÅd t Imi viêêêM ÿ PiÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅqm=

per parti ‚ dÅÅÅÅÅÅÅd t Imi viêêê ÿ PiÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅqmM - ‚mi viêêê ÿ dÅÅÅÅÅÅÅd t I PiÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅqm

M =a e b

‚ dÅÅÅÅÅÅÅd t Jmi viêêê ÿviêêêÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅq° m

N - ‚mi viêêê ÿviêêêÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅqm

=c dÅÅÅÅÅÅÅd t J TÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅq° m

N - TÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅqm

4.3.3 L'equazione di Lagrange

Facciamo ora dei brevi passaggi che condurranno a scrivere l'equazione diLagrange nella sua forma generica e nella sua forma specifica per sollecitazi-one conservativa. Per prima cosa supponiamo che siano valide le ipotesi 1.1 e 2trattate nel paragrafo 4.3.1. Supponendo di conoscere la funzione Pi dellecoordinate libere si ha rispettivamente:

Pi = PiHq1, ..., qn , tL fl viêêê = PiÅÅÅÅÅÅÅÅÅt + ‚ PiÅÅÅÅÅÅÅÅÅqk q° k

e l'energia cinetica T risulta essere:

T = 1ÅÅÅÅ2 ⁄mi viêêê2

Ma allora siamo nelle ipotesi del teorema 4.3.2 e utilizzando la medesimanotazione si ha:

(4.6)d

ÅÅÅÅÅÅÅÅÅd t

ikjjj T

ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅq° m

y{zzz -

TÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅqm

= Qm

Se in più vale l'ipotesi 3 del paragrafo 4.3.1. la relazione si può semplificareulteriormente. Ricordando infatti che:

UÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅq° m= 0

Si può riscrivere la precedente come:

(4.7)d


ikjjj T


-U


y{zzz =

UÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅqm

+T

ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅqm

Infine definendo lagrangiana L ª T + U si ha la forma compatta:

(4.8)d


ikjjj L


y{zzz =

LÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅqm

Si noti che la lagrangiana non ha alcun significato meccanico.


22

4.3.4 Forma della Lagrangiana

Siamo ora interessati a capire quale sia la forma strutturale della Lagrangiana.Per prima cosa vediamo come può essere riscritta l'energia cinetica di unsistema di punti (si può estendere la trattazione ai corpi continui). Data laconfigurazione del sistema in funzione del tempo si ha:

Pi = PiHq1, q2, ..., qn , tL fl viêêê = ‚ PiÅÅÅÅÅÅÅÅÅqk

qk° + PiÅÅÅÅÅÅÅÅÅt

ove l'ultima derivata parziale è presente solo se c'è dipendenza dal tempo(vincoli mobili). Ma allora si ha:

T =1ÅÅÅÅÅ2

‚mi viêêê ÿ vi

êêê =1ÅÅÅÅÅ2

‚i,k

tik qi° qk

° + ‚ bk qk° + C

Ove i simboli hanno il seguente significato:

tik = ‚mj PjÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅqi

ÿPjÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅqk

bk = ‚mj PjÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅqk

ÿPjÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ t

C =1ÅÅÅÅÅ2

„mjikjj Pj

ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ t

y{zz

2

Ma allora se introduciamo la notazione vettoriale si ha:

T =1ÅÅÅÅÅ2

q° T " q° + bT q° + C

Gli elementi della matrice dell'energia cinetica " sono i tik e tale matrice èreale, simmetrica e definita positiva.

Ovviamente si nota che la forma della Lagrangiana L è strutturalmente identicaa quella dell'energia cinetica a meno del termine relativo al potenziale, Leaccelerazioni che compaiono all'interno delle leggi di moto ricavate dallalagrangiana derivano dunque unicamente dal termine quadratico. In generale èpossibile scrivere le equazioni di moto in una forma del tipo:

" q.. = f Hq, q° , tL ïîîîîîîîîîîîîîîîîîîî$" -1 poichè " è sdp

q.. = " -1 f Hq, q° , tLVisto il teorema di Cauchy-Lipschitz sulla dipendenza continua dai dati inizialisi dice che la meccanica classica è deterministica, tuttavia non bisogna dimenti-care che soluzioni con dati iniziali vicini rimangono vicine in linea di principiosolo per tempi finiti. Questo è il motivo per cui si può dire che la meccanicaclassica sia anche impredicibile pur senza contraddire il determinismo.


23

4.3.5 Momento cinetico e coordinate ignorabili

Può accadere talvolta che la lagrangiana non dipenda da una delle qk .Ciò non èuna proprietà intrinseca del problema ma deriva dalla particolare scelta dicoordinate che si è effettuata. In particolare se ciò avviene la coordinata si diceciclica o ignorabile e vale la seguente:

dÅÅÅÅÅÅÅd t J LÅÅÅÅÅÅÅÅÅq° kN = LÅÅÅÅÅÅÅÅÅqk

= 0fl LÅÅÅÅÅÅÅÅÅq° k= costante

La quanità pk = LÅÅÅÅÅÅÅÅÅq° kprende il nome di momento cinetico.

Si ha dunque il seguente Teorema:Se esiste una coordinata ignorabile allora il momento cinetico corrispondente èuna costante del moto.

4.3.6 La funzione di Jacobi (energia generalizzata)

Se la lagrangiana è tempo invariante esiste sempre una funzione J che è unacostante del moto. Essa viene chiamata funzione di Jacobi (o energia generaliz-zata) ed è così definita:

(4.9)J ªdef „

k

LÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅq° k

q° k - L fld JÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅd t

= -d LÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅd t

=L tempo inv 0 fl J = costante

Se i vincoli sono fissi la funzione di Jacobi coincide con l'energia meccanicaE = T - U e questo giustifica l'altro nome di energia generalizzata.

Dimostriamo ora che è vero che d JÅÅÅÅÅÅÅÅd t = - d LÅÅÅÅÅÅÅÅd t .Partendo dalle equazioni di Lagrange si ha:

dÅÅÅÅÅÅÅÅÅd t

ikjjj L


y{zzz =

LÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅqk

fl q° d


ikjjj L


y{zzz =

q° L

ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅqk

ïîîîîîper parti d


ikjjj L


q° ky{zzz -

LÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅq° k

q..k = q° L


fld


ikjjj L


q° ky{zzz =

q° L


+L


q..

k fl „ dÅÅÅÅÅÅÅÅÅd t

ikjjj L


q° ky{zzz = „i

kjjjq°

LÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅqk

+L


q..

ky{zzz +

LÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ t´̈ ¨¨¨¨¨¨¨¨¨¨¨¨¨¨¨¨¨¨¨¨¨¨¨̈¨¨¨¨¨¨¨̈¨̈ Æ¨¨¨¨¨¨¨¨¨¨¨¨¨¨¨¨¨¨¨¨¨¨¨¨̈¨¨¨̈ ¨̈ ¨̈

= d LÅÅÅÅÅÅÅÅÅd t

-LÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ t

fl

dÅÅÅÅÅÅÅÅÅd t

ikjjj„ L


q° k - Ly{zzz = -

d LÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅd t

fld JÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅd t

= -d LÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅd t

Dimostrimo anche che se i vincoli sono fissi l'energia generalizzata coincidecon l'energia usuale. Per poterlo fare enunciamo prima un teorema di analisi(teorema di Eulero sulle forme omogenee):Sia f una forma omogenea di grado n fl ‚ fÅÅÅÅÅÅÅÅxi

xi = n f


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Supponiamo ora che i vincoli siano fissi. Allora sfruttando il teorema si ha:

L = T + U =1ÅÅÅÅÅ2

q° T " q° + U fl J = „ LÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅq° k

q° k - L = „ TÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅq° k

q° k - HT + UL = 2 T - T - U = T - U

Sottolineamo ancora come il fatto che i vincoli siano fissi è una condizionesolo sufficiente affinchè la Lagrangiana abbia derivata temporale nulla.

4.4 Meccanica Analitica: stabilità degli equilibri

4.4.1 Definizione di equilibrio secondo Liapunov

Si sia giunti tramite le equazioni di Lagrange ad un sistema di n equazionidifferenziali pure di moto. Si riscriva tale sistema come un sistema del primoordine in forma normale (il sistema sarà diventato di 2n equazioni). Siaxêê = xêêHtLil vettore di stato di tale sistema. Inoltre supponiamo che le sue prime ncomponenti riguardino la configurazione di moto del sistema e le restanti nl'atto di moto. Allora un particolare stato xêê* si dice di equilibrio se:xêê* = Hq1, ..., qn , q° 1 = 0, ..., q° n = 0,L è uno stato di equilibrio stabile se: " > 0 $ dHt0L : " x0 : dHx0

êêêê* , xêê0L < d fl dHxêê*HtL, xêêHtLL < " t > t0

4.4.2 Teorema di Dirichelet

Se vale il teorema della stazionarietà del potenziale e se il potenziale Ue C1,ilteorema di Dirichelet afferma che se lo stato di equilibrio si trova in un puntodi massimo stretto per il potenziale allora l'equilibrio è stabile, Se inoltre ilproblema presenta un solo grado di libertà la condizione risulta anchenecessaria.

4.4.3 Teorema di Liapunov

Se vale il teorema della stazionarietà del potenziale e se il potenziale Ue C2,ilteorema di Liapunov afferma che se lo stato di equilibrio non è di massimostretto per il potenziale e se tale assenza di massimo stretto deriva dai terminidel secondo ordine allora l'equilibrio è instabile.


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4.4.4 Teorema di Dirichelet e piccole oscillazionii per sistemi a 1 dgf

Supponiamo di essere nelle richieste del teorema di Dirichelet. Supponiamoinoltre che $ U '' Hq*L < 0.Vogliamo mostrare che il sistema si comporta comeun oscillatore armonico. Infatti:

LHq, q° L = T + U = 1ÅÅÅÅ2 aHqL q° 2 + UHqL con aHqL > 0

Definiamo le seguenti quantità:

HtL = qHtL - q*

° HtL = q° HtLSviluppiamo il potenziale in serie di Taylor:

UHqL = UHq* + L = UHq*L + U ' Hq*L + 1ÅÅÅÅ2 2 U ''Hq*L + o = UHq*L + 1ÅÅÅÅ2 2 U ''Hq*LDefinendo b = » U '' Hq*L »e considerando nullo il potenziale all'equilibrio si ha:

UHqL = - 1ÅÅÅÅ2 b 2

Con considerazioni del tutto analoghe ma fermandoci al primo ordine possiamoscrivere:

T = 1ÅÅÅÅ2 aHqL q° 2 = 1ÅÅÅÅ2 aHq* + L ° 2

e a sua volta sviluppando aHq* + Lsi ha:

T = 1ÅÅÅÅ2 aHq*L ° 2

Ma allora possiamo riscrivere la Lagrangiana in modo linearizzato ottenendo:

L`

= 1ÅÅÅÅ2 aHq*L ° 2 - 1ÅÅÅÅ2 b 2

che è la Lagrangiana di un osservatore armonico di pulsazione w =è!!!!!!!!b ê a e

periodo t = 2 p è!!!!!!!!a ê b .


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4.4.5 Teorema di Dirichelet e piccole oscillazioni per sistemi a più dgf

In questa sezione conclusiva tratteremo il problema delle piccole oscillazioniattorno a stati di equilibrio stabile per sistemi con più gradi di libertà. Notiamoche lo sviluppo della teoria è formalmente analogo a quanto già fatto persistemi a un dgf. Pertanto non specificheremo ogni passaggio lasciando i detta-gli al lettore. Le ipotesi che facciamo sono:1) Vale il teorema di Dirichelet2) L'esistenza di un massimo sia stata dedotta dai termini del secondo ordineAllora supponendo che le posizioni di equilibrio siano qêê1, ..., qêên quanto detto èequivalente a dire:

UÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅqk

Hqêê1 , ..., qêên L = 0 " qk

„„ 2 UHqêêLÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅqi qk

Hqi - qêêi L Hqk - qêêk L <

0 ó HHqêêL è una matrice reale simmetrica definita negativa# = -H è una matrice reale s.d.p.

Allora possiamo pensare di procedere come nel caso monodimensionale lineariz-zando il problema. Per il potenziale si ha:

UHqL = UHqêê + L = UHqêêL + „ UHqêêLÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅqk´̈ ¨¨¨̈ ¨̈ ¨ Æ¨¨¨¨̈ ¨

=0

k +1ÅÅÅÅÅ2

‚‚ UHqêêLÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅqi qk

i k´̈ ¨¨¨¨¨¨¨¨¨¨¨¨¨¨¨¨¨¨¨¨¨¨¨̈¨¨ Æ¨¨¨¨¨¨¨¨¨¨¨¨¨¨¨¨¨¨¨¨̈ ¨¨¨̈

<0

+ oH ...L

fl UHqL = UHqêêL -1ÅÅÅÅÅ2

‚‚#ik i k = UHqêêL -1ÅÅÅÅÅ2

T #

Viceversa per l'energia cinetica possiamo pensare di scrivere:

T =1ÅÅÅÅÅ2

‚‚ aik HqL q° i q° k =1ÅÅÅÅÅ2

‚‚aik Hqêê + L ° i ° k >1ÅÅÅÅÅ2

‚‚ aik HqêêL ° i ° k =1ÅÅÅÅÅ2

° T A °

Da cui segue immediatamente che la Lagrangiana può essere scritta come:

L = T + U =1ÅÅÅÅÅ2

° T AHqêê + L ° + UHqêê + L fl L* =1ÅÅÅÅÅ2

° T A ° -1ÅÅÅÅÅ2

T #

Poichè sia A che # sono matrici reali s.d.p. allora dalle equazioni di Lagrangelinearizzate si ricava un sistema di equazioni differenziali della forma:

(4.10)d


K L*

ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ° k

O =L*

ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅk

fl A ..

+ # = 0

Ci chiediamo se possano esistere soluzioni che abbaino la stessa dipendenzatemporale. Per verificarlo proviamo a ipotizzare che tali soluzioni esistano esostituiamole nel sistema.


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HtL = X e i l t

fl -l2 A X e i l t + B X e i l t = 0 fl IB - l2 AM X = 0

Ove l'ultima equazione matriciale prende il nome di sistema o equazione agliautovalori. Viste le caratteristiche delle matrici che intervengono in tale sistemale soluzionil1, ..., ln sono necessariamente reali e positive (noi supporremo inoltresiano distinte).

In

tal caso la più generica soluzione del moto potrebbe essere della forma:

(4.11)HtL = ‚ Xk HC1 k cosHlk tL + C2 k sinHlk tLL

Chiamiamo periodi propri del sistema tk = 2 p êlk e frequeze proprie le quan-tità fk = 1 ê tk .Poichè generalmente i lk sono grandezze non commensurabilitra loro non esiste di norma il minimo comune multiplo di queste pulsazionicaratteristiche, ergo non esiste nemmeno un periodo comune a tutto il moto cheper questo motivo si chiama quasi periodico in luogo di periodico. Vale infinela pena di sottolineare che sempre a causa del fatto che le matrici siano reali es.d.p. è sempre possibile diagonalizzare il sistema tramite una certa trasformazi-one che conduca a equazioni differenziali disaccoppiate. Il sistema risultantex..

+ L x = 0 con L diagonale prende il nome di sistema normale e le coordinatex prendono il nome di coordinate normali.


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Dinamica del Corpo Rigido · 2006. 10. 10. · C H A P T E R 1 Dinamica del Corpo Rigido 1.1 Tipi...

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