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AULA 2
Março/ 2009Segunda aula
1.Conceito de variável aleatória.
2. Médias de grandezas sobres distribuições de probabilidades
3. Função característica: a partir da qual nos podemos obter os momentos
da distribuição de probabilidades.
4. Cumulantes de uma distribuição (estão relacionados com os momentos
da distribuição). Esses são obtidos por meio ‘também da função característica.
5. Função geratriz.
6. Distribuição de probabilidades conjunta.
Dinâmica estocástica e irreversibilidade
A bibliografia básica para essa aula :
Gardiner, Cap. 2
TTMJ, Cap. 1
Van Kampen, Cap. 1
1
Definição
Variável aleatória:
Define-se o intervalo de valores possíveis que a variável
pode assumir.
Especificação da probabilidade associada a cada valor
que a variável assume no intervalo definido.
1.
2.
(i) Valores discretos
(ii) Valores contínuos
2
Variável aleatória:
(i) Valores discretos
(i) Valores contínuos
(i) Variável aleatória é discreta.
Exemplo: número de indivíduos em uma certa população;
número de moléculas em uma reação química.
(ii) Variável aleatória contínua
Exemplo: valores assumidos pelo módulo da velocidade
das moléculas de um gás ideal.
3
Variável aleatória discreta
Vamos denotar essa variável de variável por: n
Vamos associar a cada valor de n
um número que denotaremos por: 0np
Tal que 1n
n
pÉ a distribuição de probabilidades
associada à variável.
4
Um átomo cujo momento de dipolo magnético se encontra
na direção z. O momento de dipolo será dado por:
Exemplo:
= -1, 1
Alfa é uma constante e sigma toma os seguintes valores
1 Se o momento de dipolo aponta na direção
de z
se o momento de dipolo aponta no sentido
oposto.
(-1)
1z
pp )1(
qp )1(
e 1)1()1( qppp
Será uma variável aleatória discreta
que toma os valores +1 e -1 e.
1
5
Especificação da probabilidade associada a cada valor
que a variável assume no intervalo definido
Variável aleatória contínua
Densidade de probabilidade
( ) 0x
( )x
( ) 1x dx Integral sobre todo o intervalo
x
0 1[ , ]x x
0 1[ , ]x x
( )x dx Probabilidade de encontrar x com valores entre x e x+dx
6
Variável aleatória contínua
Seja uma variável contínua: x
( )x dx
)(x
( ) 1x dx
que assume qualquer
Valores em um intervalo
Densidade de probabilidade
0)(x
0 1[ , ]x x
Integral sobre todo o intervalo 0 1[ , ]x x
Probabilidade de encontrar x com valores entre x e x+dx
Propriedades:
7
)()()(),,( zyxzyx pppppp
)2/exp(2/)(2
mpmp xx
zyzyxx dpdpmpppmp )2/)(exp()2/()(2223
Densidade de probabilidade de uma das componentes
cartesianas do momento linear de uma molécula.
Exemplo: Gás ideal clássico de moléculas monoatômicas contidas em
um recipiente. Cada molécula tem massa m e o sistema está a uma temperatura T.
As variáveis zyx ppp ,, são independentes e temos:
p
Observação:
Esta é uma distribuição gaussiana!
8
Distribuição gaussiana
)/2exp(2
1)( 22
2xx
2 é a variância
Distribuição de probabilidades gaussiana centrada no zero
Média =0 (curvas em vermelho, verde e azul).
)/2)exp((2
1)( 22
2xx
Distribuição de probabilidades gaussiana
centrada em
(média= )
(curvas em rosa).9
Valor médio, momentos e variância
Definições
Valor médio de uma função da variável aleatória
( ) ( ) ( )f x f x x dx
( ) ( )f x x x x dx
( )f x x
Em particular se :( )f x x
média10
1,2,3,...m
Momentos de uma distribuição:
( )m m
m x x dx x
xdxxx )(1
Momento de ordem 1: Momento de ordem 2:
22
2 )( xdxxx
Momento de ordem de : m x
Valor médio ou média
11
Variância
2222 )( xxxx
A variância é também chamada de dispersão .
Definição:
2 2 2 2( ) 2x x x x x x
Pois:
12
12
2
2
Ou seja a variância é escrita em termos dos momentos de segunda ordem
e de primeira ordem:
2 É o desvio quadrático médio.
é uma medida do grau em que os valores de x estão afastados de
seu valor médio.
Variância (continuação)
13
Exemplo: momentos da distribuição gaussiana
2 2
2
1( ) exp( /2 )
2x x
(1)
Momento de ordem 1 da distribuição gaussiana:
2 2
12
1( ) exp( /2 ) 0
2x x dx x x dx (2)
14
2 2 1exp( )
2x x dx
Deriva-se cada lado da expressão abaixo com relação a
(4)
(3)
1/ 22 2 2 2 3/ 2 2
22 2
1 1 ( )exp( / 2 ) (2 )
22 2x x dx
2exp( )d d
x dxd d
21/ 2
(5)
2exp( )x dxé uma constante positiva.
Essa é chamada de integral gaussiana.
Momento de ordem 2 da distribuição gaussiana
15
Outros momentos da distribuição gaussiana
Os momentos de ordem ímpar da gaussiana são todos nulos.
Os momentos de ordem par podem ser obtidos por derivação da integral gaussiana
com relação (ver F. Reif, “Fundamentals of Statistical and Thermal Physics”).
2 2
2
1exp( / 2 ) 1.3.5....( 1)
2
n n
n x x dx n
2exp( )x dx Integral gaussiana.
n par
16
nnn
n ndxxxx )1(....5.3.1)2/exp( 22 n par.
Portanto: 2
2
4
4 3
6
6 15
8
8 105
E assim por diante podemos escrever todos os momentos de ordem par
em função de potências da variância.
= variância (para o caso <x>=0).
17
Função característica
( ) exp( ) exp( ) ( )g k ikx ikx x dx
Definição:
Importante:
)(kg Função geradora dos momentos
Os coeficientes da expansão em série de
Taylor em k são os momentos.
18
...!3)/(!2/1)exp( 3322 kxikxixkikx
Ou seja:
0
( )exp( )
!
m
m
ixkikx
m
0
( )( ) exp( ) ( )
!
mm
m
ikg k ikx x
m
O que implica que:
1 !
)(1)(
n
n
n
n
ikkg
19
Exemplo:
2 2
2
1( ) exp( /2 )
2x x
Podemos mostrar que a função característica dessa gaussiana é:
)2/exp()( 22kkg
)exp()()exp()( ikxdxxikxkg
Utilizando a definição:
Se expandirmos essa expressão em k e usarmos a definição de g(k) em
termos dos momentos encontraremos, para esses, as
mesmas expressões que já encontramos utilizando a própria definição de momento!
Encontrar!
20
Cumulantes de uma distribuição
Definição:
Tomando-se o logaritmo de g(k) e expandindo-o em k
obtemos os cumulantes da distribuição.
•A expansão da exp(ikx) em g(k) gera os momentos.
•A expansão do ln de g(k) gera os cumulantes.
Importante:
Os cumulantes são definidos por:
1
( )ln ( )
!
n
n
n
ikg k
n
n é o cumulante de ordem n.
21
1
( )ln ( ) ln(1 )
!
n
n
n
ikg k
n
1
( )ln(1 )
!
n
n
n
ik
nPrimeiro termo da expansão em k de :
1
1 0
1
1 ( ) ( ).
( ) !(1 )
!
n n
nnn k
n
n
i k nk
ik n
n
1 01 1nn k k
1 .ik
22
1 01 1nn k k
1 0
1 1
1 ( ) ( ). { }. .
(1 0) 1!
i k nk ik
Mas
1
( )ln ( )
!
n
n
n
ikg k
n
11n ik K
1 1 1 1ik K ik K23
1
( )ln(1 )
!
n
n
n
ik
n
Segundo termo da expansão em k de :
2 2
1 0
1
1 ( ) ( 1)( ).
( ) ! 2!(1 )
!
n n
nnn k
n
n
n i n k k
ik n
n
22
2 1 0
1
1 ( ) ( ).( )
( ) ! 2!(1 )
!
n n
nnn k
n
n
n i k k
ik n
n
24
22
2 1{( 1) }2!
k
22
2 1{( 1) }2!
kSegundo termo da expansão de
1
( )ln ( ) ln(1 )
!
n
n
n
ikg k
n
Comparando com
1
( )ln ( )
!
n
n
n
ikg k
n
Temos
2 22 2
2 1 2{( 1) } ( )2! 2!
k ki K
2
2 2 1K Cumulante de segunda ordem
25
1
( )ln ( )
!
n
n
n
ixkg k
n
Expandindo em série de Taylor o logaritmo de
1
( )1
!
n
n
n
ik
n
e comparando com a definição de g(k) em termos dos cumulantes dada acima
obtemos os cumulantes em termos dos momentos:
11
13
1233 23
14
12
222
1344 612342
2 2 1
E assim por diante podemos escrever os cumulantes de ordem n como combinações
de momentos de ordem igual a n e menor que n.
n é o cumulante de ordem n.
Cumulantes de uma distribuição
26
Exemplo:
Cumulantes de uma gaussiana.
2 2
2
1( ) exp( /2 )
2x x
1 1 0
21
2
22
3
3 3 2 1 13 2 0
2 2 4 4 4
4 4 3 1 2 2 1 14 3 12 6 3 3 0
27
Função geratriz
Variáveis aleatórias discretas
28
0np
0
( ) n
n
n
G z p zDefinição
As derivadas da função geratriz estão relacionadas
com os momentos da distribuição
0,1,2,...n
29
1
0
' ( ) n
n
n
G z n p z0
' (1) n
n
G n p n
2
0
'' ( ) ( 1) n
n
n
G z n n p z
2
0 0 0
'' (1) ( 1) ( )n n n
n n n
G n n p n p n p2'' (1)G n n
3 2''' (1) 3 2G n n n
As derivadas da função geratriz estão relacionadas
com os momentos da distribuição
4 3 2'''' (1) 6 11 6G n n n n
30
Exercício
Definir a função geratriz para uma distribuição binomial e
encontrar relações entre os momentos.
n N n
n
Np q p
n
Distribuição binomial
1p q
0 1p 0 1q
31
Mostrar que a função característica dessa gaussiana é:
)2/exp()( 22kkg
Exercício
Distribuição de probabilidades conjunta
Sejam variáveis aleatórias: 1 2 3, , ,..., Nx x x x
1 2( , ,..., )Nx x x
1 2 1 2( , ,..., ) ... 1N Nx x x dx dx dx
Densidade de probabilidade conjunta de
Propriedades:
32
1 2( , ,..., ) 0Nx x x
1 2 3, , ,..., Nx x x x
N
33
Densidade de probabilidade marginal
1 1 1 2 2( ) ( , ,..., ) ...N Nx x x x dx dxÉ uma possível densidade
de probabilidade
marginal
1 1 2 1 2 3( , ) ( , ,..., ) ...N Nx x x x x dx dxÉ uma outra possível
densidade de probabilidade
marginal
34
Distribuição de probabilidades conjunta
1 2 1 2( , ,..., ) ( ) ( ) ... ( )N Nx x x x x x
Se as variáveis aleatórias são independentes então:
FIM
35