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Disciplina:Mecânica Geral - Estática

Prof. Dr. Eng. Fernando Porto

IV. Propriedades Mecânicas de Figuras Planas

Parte 1: Momento de Primeira Ordem ou Estático

Momentos de Primeira Ordem

• O momento de primeira ordem (ou momento estático) de uma superfície plana em relação a um “eixo” de seu plano é o somatório dos produtos de seus elementos de área pelas distâncias desses elementos ao eixo considerado:

Onde

dA = dx.dy

x; y: coordenadas do elemento de área dA

: coordenadas do centroide da figura plana

Atenção: O momento estático pode ser positivo ou negativo ou nulo.

Unidade: [L]3 onde L é a unidade de comprimento

Exemplo 1

• Determinar o momento de primeira ordem (momento estático) do retângulo em relação ao eixo x :

Da definição de momento de primeira ordem:

Sabe-se que

dA = dx.dy

Þ

Exemplo 2

• Determinar o momento de primeira ordem (momento estático) do retângulo em relação ao eixo x1 :

dA = dx.dy

Þ

Exemplo 3

• Determinar o momento de primeira ordem (momento estático) do retângulo em relação ao eixo (eixo x do centroide):

dA = dx.dy

Þ

Exemplo 4• Determinar o momento estático

do triângulo em relação ao eixo x :

dA = a.dy

OBS.: Se eixo passar pelo CG da figura o momento estático da área referente à figura em relação a este eixo será nulo.

Exemplo 5

• Determinar os momentos de primeira ordem da superfície plana mostrada, em relação aos eixos x e y.

RetânguloTriânguloSemicírculoCírculo

Componente

Componente

RetânguloTriânguloSemicírculoCírculo

Mx = +506,2 x 103 My = +757,7 x 103




Parte 2: Série de Exercícios - Momento Estático

Exercício 1

• Determine os momentos de primeira ordem (momento estático) em relação aos eixos xe y.

Exercício 2


30 mm

300 mm

240 mm

30 mm

Exercício 3


6 m 6 m

6 m6 m

3 m

Exercício 4


6 m 8 m

8 m

12 mr = 4 m

Exercício 5• Determine os

momentos de primeira ordem (momento estático) em relação aos eixos xe y.



20 m

16 m

r = 38 m

Exercício 7




r1 = 8 mr2 = 12 m

Exercício 9





Parte 3: Momento de Inércia de Área e Momento Polar

Momento de Inércia de Área

• O momento de inércia de área é uma propriedade geométrica da seção transversal de elementos estruturais.

• Fisicamente está relacionado com as tensões e deformações que aparecem por flexão em um elemento estrutural e, portanto, junto com as propriedades do material determina a resistência de um elemento estrutural sob flexão.

Momento de Inércia de Área

• Momento de inércia de uma superfície plana (por isto o nome Momento de Inércia de Área) em relação a um “eixo” de seu plano é o somatório dos produtos de seus elementos de área pelo quadrado das distâncias desses elementos ao eixo considerado.

Atenção: O momento de inércia de área é sempre positivo.

Unidade: [L]4 onde L é a unidade de comprimento

Exemplo 1

• Determinar o momento de inércia de área do retângulo em relação ao eixo x.

Da definição de momento de inércia de área:

Sabe-se que

dA = dx.dy

Þ

Analogamente:

Exemplo 2

• Determinar o momento de inércia de área do retângulo em relação ao eixo (eixo x do centroide):

Da definição de momento de inércia de área:

Sabe-se que

dA = dx.dy

Þ

Analogamente:

Exemplo 3• Determinar o momento de

inércia de área do triângulo em relação ao eixo x :

dA = a.dy

Momento Polar de Inércia

• Momento polar de inércia de uma superfície plana em relação a um “ponto” de seu plano é o somatório dos produtos de seus elementos da área pelo quadrado de suas distâncias ao ponto considerado.

Exemplo 4

• Calcular o momento polar de inércia do retângulo em relação ao vértice 3.

Calculando-se Jp em relação ao vértice 3 tem-se

Momento Centrífugo

• Momento centrífugo de uma superfície plana em relação a um “sistema de eixos cartesianos” de seu plano é o somatório dos produtos dos seus elementos de área pelas distâncias desses elementos aos eixos considerados.

O momento centrífugo ou produto de inércia pode ser positivo, negativo ou nulo.

unidade: [L]4 onde L é a unidade de comprimento

Exemplo 5

• Calcular o momento centrífugo do retângulo em relação aos eixos x e y.

Sabe-se que

dA = dx.dy

Exemplo 6

• Calcular o momento centrífugo do retângulo em relação aos eixos x e y1.

Sabe-se que

dA = dx.dy

Exemplo 7

• Calcular o momento centrífugo do retângulo em relação aos eixos e y.

Sabe-se que

dA = dx.dy

Exemplo 8

• Calcular o momento centrífugo do triângulo em relação ao eixo x.

dA = a.dy

Atenção: para a área dA, a coordenada xassume o valor do centroide da área dA.

Atenção!!!

• Se um dos eixos de referência for de simetria o momento centrífugo é nulo.




Parte 4: Raio de Giração e Translação de Eixos

Raio de Giração

• Considere uma superfície A com momento de inércia Jx em relação ao eixo x.

Raio de Giração

• Imaginemos que concentramos essa superfície em uma faixa estreita paralela ao eixo x.

ix

Raio de Giração

• Para que a superfície de área A concentrada desse modo tenha o mesmo momento de inércia em relação ao eixo x, a faixa deverá ser colocada a uma distância ix do eixo x.

ix

Jx

Jx

Raio de Giração

• A distância ix é definida pela relação

ix

Jx

Jx

de onde...

Raio de Giração

• A distância ix é denominada de raio de giração da superfície em relação ao eixo x.

• O raio de giração é sempre positivo.

• Unidade [L] L ® unidade de comprimento

ix

Jx

Translação de Eixos

• Considere o momento de inércia J de uma superfície A em relação a um eixo AA’.

ou Teorema dos Eixos Paralelos


• Representando por y a distância entre um elemento de superfície de área dA e AA’, escrevemos:



• Vamos traçar agora um eixo BB’ paralelo a AA’, passando pelo centroide C, representando por y’ a distância entre o eixo BB’ e dA. Escrevemos que:


Observe que d é a distância entre os eixos AA’ e BB’.

• Assim, temos

• Substituindo:

• A primeira integral representa o momento de inércia J em relação ao eixo BB’.

• A segunda integral representa o momento de primeira ordem (momento estático) da superfície em relação ao eixo BB’. Como este eixo passa pelo centroide, esta integral tem valor nulo.

• A terceira integral é igual à área A.

Para evitar confusões, esta distância d será chamada daqui por diante de dy.

• Analogamente também tem-se

• Generalizando para n figuras geométricas:

Exemplo 1• Calcular o momento de inércia

de um círculo em relação a um eixo diametral (eixo x).

D = 2.RdA = r.dq.dr y = r.senq

D = 2.RdA = r.dq.dry = r.senq

ou

analogamente


polar do círculo em relação ao ponto “0” (centro geométrico).

Lembrando que:

Jp = Jx + Jy

Retângulo

Triângulo

��

��

��

��

��

��

��

��

�

�̅ ��

�

Círculo

Semicírculo

��

�

� �

�

R

R

R

Quarto de círculo

Elipse

� �

�

��

�

��

��

��


da figura plana em relação ao eixo x.

R = 6 cm

Figura geométrica 1

Figura geométrica 2

Atenção: para as duas figuras o valor de dy é nulo em relação ao eixo x !


da figura plana em relação ao eixo x.

Figura geométrica 1 Figura geométrica 2

Atenção: também neste caso, para as duas figuras o valor de dyé nulo em relação ao eixo x.

Figura geométrica 1 Figura geométrica 2

4

Exemplo 5

• Calcular o momento de inércia e raio de giração da figura plana em relação ao eixo x.

�

ƒ

‚

Área total: A = A1 + A2 + A3

A = 6´24+48´8+6´48 = 816 mm2

Momento de inércia:

Raio de giração:

�� 4

� �̅� ��

�

�

��

�� 4

�� 4

�4

��




Parte 5: Aplicação e Exercícios

Determine os momentos de inércia (a) Jx e (b) Jy da área em azul com respeito em relação aos eixos centroidaisparalelos e perpendiculares ao lado AB, respectivamente.

Exemplo 1

eixos centroidais: eixos que passam pelo centroide.

1,0 mm

3,8 mm

0,5 mm

0,5 mm

3,6 mm

1,3 mm

• Localizar o centroide:

A, mm2 mm mm mm3 mm3

Fig 3: ¨ 1,3 x 1

Fig 2: ¨ 0,5 x 3,8

Fig 1: ¨ 3,5 x 0,5

S S � �

S S � �

• Calcular o momento de inércia Jx :

• Calcular o momento de inércia Jy :

Determine o momento polar da área cinzenta mostrada na figura em relação (a) ao ponto O e (b) ao centroide da superfície.

Exemplo 2

• Determinação do centroide da seção:

= -Fig.1

Fig.2

D 160 x 80 D 80 x 60

Obs.: Não há necessidade de cálculo para encontrar a posição do centroide no eixo x, pois a figura é simétrica em relação ao eixo y.

• Momento polar:

Jp = Jx + Jy

• Figura 1:

y

x

• Momento polar:

Jp = Jx + Jy

• Figura 2:

y

x

• Figura completa:

(a) JpO = 11,573 x 106 mm4

• Agora esta resposta é usada para estimar JpC .

= -Fig.1

Fig.2

D 160 x 80 D 80 x 60

Atenção: este é o momento polar em relação ao ponto O.

• Figura completa:

A = 4000 mm2

(b)

d = 30,667mm

·C

Dois perfis L 6 x 4 x ½ (ou L152 x 102 x 12,7) são unidos por solda para formar a seção mostrada. Determine os momentos de inércia e o raio de giração da seção combinada com respeito aos eixos centroidais x e y.

Exemplo 3

Perfil L152 x 102 x 12,7

Atenção: As propriedades geométricas dos perfis comerciais são tabeladas.

152,4 mm

101,6 mm12,7 mm

Propriedades geométricas do perfil L152 x 102 x 12,7:

Área: 3060 mm2

Jx : 7,2 x 106 mm4 Jy : 2,59 x 106 mm4

kx : 48,5 mm ky : 29,0 mm

Centroide:

C152 x 102 x 12,7:Área: 3060 mm2

Jx : 7,2 x 106 mm4

Jy : 2,59 x 106 mm4

y

76,2 mm

76,2 mm

25,9 mm

50,3 mm

·

57,15 mm57,15 mm

Valores tabelados

yO

xO

C152 x 102 x 12,7:Área: 3060 mm2

Jx : 7,2 x 106 mm4

Jy : 2,59 x 106 mm4

yO

xO

C152 x 102 x 12,7:Área: 3060 mm2

Jx : 7,2 x 106 mm4

Jy : 2,59 x 106 mm4

Dois perfis C e duas chapas de aço são usadas para formar a seção de coluna mostrada abaixo. Para b = 200mm, determine os momentos de inércia e o raio de giração da seção combinada com respeito aos eixos centroidais x e y.

Exemplo 4

Perfil C250 x 22,8

Propriedades geométricas do perfil C250 x 22,8:

Área: 2890 mm2

Altura: 254 mmLargura: 66,0 mm

Jx : 28,0 x 106 mm4 Jy : 0,945 x 106 mm4

kx : 98,3 mm ky : 18,1 mm

Centroide: 16,1 mm

C250 x 22,8:Área: 2.890 mm2

Jx : 28,0 x 106 mm4

Jy : 0,945 x 106 mm4

Área total:

C250 x 22,8:Área: 2.890 mm2

Jx : 28,0 x 106 mm4

Jy : 0,945 x 106 mm4

Dado que b = 200mm :

Perfis C250x22,8

Chapas

16,1 mm

b

Propriedades de perfis laminados comerciais – padrão EUA

Propriedades de perfis laminados comerciais – padrão EUA

† Altura nominal em mm e massa em quilogramas.‡ Altura, largura e espessura de chapa em mm.

Exercício 1

Determine o momento de inércia da área em azul com respeito (a) ao eixo x e (b) ao eixo y quando a = 20mm.

Ex.9-35 9th Ed. Resp.: (a) 1,268 x 106 mm4 (b) 339 x 103 mm4

Determine os momentos de inércia (a) Jx e (b) Jy da área em azul com respeito em relação aos eixos centroidais paralelos e perpendiculares ao lado AB, respectivamente.

Exercício 2

Ex.9-41 9th Ed. Resp.: (a) 1,874 x 106 mm4 (b) 5,82 x 106 mm4

Determine os momentos de inércia (a) Jx e (b) Jy da área em azul com respeito em relação aos eixos centroidaisparalelos e perpendiculares ao lado AB, respectivamente.

Exercício 3

Ex.9-43 9th Ed. Resp.: (a) 191,3 mm4 (b) 75,2 mm4

1,2 mm

5,0 mm

1,8 mm

0,9 mm2,0 mm 2,1 mm

Dois perfis C200 x 17,1 são unidos por solda à um perfil W200 x 46,1 para formar a seção mostrada. Determine os momentos de inércia e o raio de giração da seção combinada com respeito aos eixos centroidais x e y.

Exercício 4

Resp.:JxC = 105,72 x 106 mm4

JyC = 42,50 x 106 mm4

kx = 101,6 mmky = 64,52 mm

C200 x 17,1

W200 x 46,1

Ex.9-50 9th Ed.

A resistência do perfil W é aumentada através da soldagem de um perfil C na sua flange superior. Determine os momentos de inércia da seção combinada com respeito aos eixos centroidais xe y.

Exercício 5

Resp.:JxC = 745 x 106 mm4

JyC = 91,3 x 106 mm4Ex.9-51 9th Ed.

Dois perfis L76 x 76 x 6,4 são soldados a um perfil C250 x 22,8. Determine os momentos de inércia da seção combinada com respeito aos eixos centroidais x e y respectivamente paralelo e perpendicular à linha pontilhada faceando o perfil C.

Exercício 6

Resp.:JxC = 3,55 x 106 mm4

JyC = 49,8 x 106 mm4Ex.9-55 9th Ed.

Bibliografia

BEER, FERDINAND P.; JOHNSTON, E. RUSSELL; EISENBERG, ELLIOT R.

Mecânica Vetorial Para Engenheiros - Estática

Editora: MCGRAW HILL – BOOKMAN; 2010

ISBN: 8580550467

• Resistência dos Materiais• Beer, Ferdinand P.; Johhston Jr.,

E. Russell; Editora Pearson Nakron Books, 3a. Ed., 2010

Fonte Bibliográfica

Bibliografia

MOMENTO DE INÉRCIA DE ÁREA.

In: WIKIPÉDIA, a enciclopédia livre. Flórida: WikimediaFoundation, 2015. Disponível em: <https://pt.wikipedia.org/w/index.php?title=Momento_de_in%C3%A9rcia_de_%C3%A1rea&oldid=41583402>. Acesso em: 15 abr. 2016.

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