1

INTRODUÇÃO

O universo da nanotecnologia se expande em ritmo crescente, com um

fluxo de investimentos intenso. Países como os EUA têm destinado a esse ramo de

pesquisa mais dinheiro do que aplicaram em qualquer outra iniciativa desde o

programa Apollo, na década de 60, que levou o homem à Lua[1]. Em 2007 estima-

se que os Estados Unidos terão um gasto de 1,2 bilhões de dólares em pesquisa

de desenvolvimento de nanomateriais. O Japão tem investido em proporção quase

equivalente. Os pesquisadores chineses aderiram de tal forma a essa nova

dimensão da ciência que, no ano passado, a China assumiu a liderança na

publicação de artigos científicos sobre o tema. A fundação Nacional de Ciência dos

Estados Unidos estima que em 2015 o mercado mundial de nanotecnologia

movimentará 1 trilhão de dólares[1].

Todas as nações desenvolvidas ou em desenvolvimento têm programas

de desenvolvimento e pesquisa em nanotecnologia, com orçamentos crescentes

(Figuras 1.1 e 1.2) e do mesmo nível que a biotecnologia, tecnologia da informação

e meio ambiente[1]. O resultado destes investimentos para a sociedade vem em

forma de melhoria na qualidade de vida, e principalmente na geração de novos e

melhores empregos. Embora ainda não haja a prevalência dos setores

tecnologicamente mais avançados na geração de empregos e no dinamismo

regional, a sinalização nos segmentos mais dinâmicos é justamente no sentido de

que estes irão adquirir papel cada vez mais relevante nas próximas décadas. Os

países mais desenvolvidos estão se preparando ativamente para isso[2].

A nanotecnologia já vem sendo empregada em muitas indústrias[3]. A

indústria de tecidos, através de alterações na estrutura molecular de fibras,

consegue produzir tecidos, que dificilmente se molham, pois repelem a água.

A indústria de eletro-eletrônico (celulares, câmeras, etc.) usa visores mais

econômicos, e com propriedades mais brilhantes graças à nanotecnologia. Um

1

exemplo é o nanocristal, um nanodispositivo que funciona como lâmpada

fluorescente, potencialmente muito eficiente. Este dispositivo, desenvolvido por um

projeto conjunto entre dois laboratórios norte-americanos, o Los Alamos e o

Sandia[4], se usado em substituição às lâmpadas fluorescentes convencionais

reduzirá significativamente o impacto ambiental evitando a contaminação por

mercúrio do descarte das lâmpadas atuais.

0500

1000150020002500

30003500

1997 1998 1999 2000 2001 2002 2003

Em

mil

hõ

es d

e d

óla

res

Europa Japão EUA Outros Total

Figura 1.1: Recursos governamentais para pesquisa e desenvolvimento em Nanotecnologia.

Fonte: Roco, M. M., Conference to feature progress and plans from government agencies and nanotechnology

research centers (2003) – NSF

Indústrias automobilísticas como a Mercedes Benz usam a técnica em

diversos componentes, quer em espelhos retrovisores que escurecem ao receber a

luz de outro veículo, quer em pinturas resistentes a pequenos riscos. A lista de

pesquisas inclui ainda gigantes como HP, Xerox, Kodak, General Electric e 3M.1

Com todos estes argumentos fica claro que o Brasil não pode repetir os

mesmos erros do passado, atuando como mero exportador de matéria prima e

importador de manufaturados. É função da universidade, atualizar

tecnologicamente a indústria nacional com a finalidade de gerar mais empregos e

bem estar para sua população. Uma área estratégica é a tecnologia de fármacos,

não apenas pelo montante de recursos envolvidos, como também pelo forte

impacto na saúde pública do país.

2

O custo de desenvolvimento de uma nova droga envolve o

investimento de Cerca de U$ 350 milhões e requer de 10 a 15 anos de

pesquisas até a sua introdução no mercado[5].

116190

255 270

465

697774

0100200300400500600700800900

1997 1998 1999 2000 2001 2002 2003

Em

mil

hõ

es d

e d

óla

res

120 135 157245

465

720800

0100200300400500600700800900

1997 1998 1999 2000 2001 2002 2003

Em

mil

hõ

es d

e d

óla

res

(A) (B)

126 151 179 200 225

400

650

0

100

200

300

400

500

600

700

1997 1998 1999 2000 2001 2002 2003

Em

mil

hõ

es d

e d

óla

res

70 83 96 110

380

550

800

0100200300400500600700800900

1997 1998 1999 2000 2001 2002 2003

Em

mil

hõ

es d

e d

óla

res

(B) (D)

423 559 687 825

1535

2367

3024

0

500

1000

1500

2000

2500

3000

3500

1997 1998 1999 2000 2001 2002 2003

Em

mil

hõ

es d

e d

óla

res

(E)

Figura 1.2: Crescimento do investimento governamental em nanotecnologia nos (A) Estados Unidos, (B) Japão, (C)

Europa, (D) Outros e (E) Total

Fonte: Roco, M. M., Conference to feature progress and plans from government agencies and

nanotechnology research centers (2003) – NSF

O Brasil vem se firmando como um dos maiores produtores de pesquisas

no ramo da bioquímica. A indústria farmacêutica brasileira vem investindo cerca de

3

1,3 bilhões de dólares na modernização, ampliação e implantação de novas

unidades de produção de fármacos e medicamentos desde 1997[6].

Fatores como o tamanho do mercado interno brasileiro, localização

geográfica privilegiada para a exportação para a Europa, qualificação da mão-de-

obra, abundância de matérias primas e a existência de um parque manufatureiro

moderno e competitivo para o fornecimento de insumos, fazem com que o Brasil

tenha destaque, no grupo dos países emergentes, no desenvolvimento de

pesquisas em biotecnologia voltada para a área de fármacos e medicamentos.

Mas para ser realmente competitivo, é necessário aumentar a eficiência da

pesquisa e ao mesmo tempo diminuir seus custos. Felizmente, a rápida evolução

dos sistemas computacionais, permite atualmente, o desenvolvimento de técnicas

de modelagem capazes de analisar sistemas moleculares com centenas de átomos

e prever assim suas propriedades, agilizando a criação de novos produtos

farmacêuticos para um mercado cada vez mais exigente e competitivo.

O estudo de relações entre a estrutura e a atividade biológica é de grande

importância na química e na bioquímica modernas. A analise QSAR (Relação

Quantitativa entre Estrutura Química e Atividade Biológica) permite a busca por

compostos com determinadas características bioativas usando a química sintética

e a química quântica para o projeto de compostos bioativos com propriedades

específicas. Uma vez determinada a relação entre uma estrutura ou propriedade

com a atividade biológica desejada, selecionam-se os compostos mais promissores

e inicia-se a síntese laboratorial, resultando em economia de divisas e tempo.

Para obter boas correlações entre uma propriedade ou estrutura e a sua

atividade biológica é fundamental que se utilizem descritores apropriados,

indiferentemente se eles têm de origem teórica, empírica ou derivada de medidas

experimentais obtidas a partir das estruturas moleculares. Muitos destes

descritores refletem propriedades moleculares simples, e podem ajudar na

compreensão da natureza físico-química da relação atividade/propriedade em

consideração.

A mecânica quântica, considerada uma das maiores realizações

intelectuais do século XX, tem sido a base conceitual que permitiu o entendimento

da química de maneira mais completa com implicações práticas em ramos diversos

como espectroscopia, microscopia eletrônica, modelagem molecular, entre outras.9

4

Especialmente no caso que se refere a modelos moleculares, o papel

desempenhado pela mecânica quântica é, juntamente com a termodinâmica

estatística, de integração da linguagem e de conceitos químicos, permitindo a

interpretação e a racionalização de propriedades macroscópicas com fundamentos

em nível atômico-molecular.8

O desenvolvimento de algoritmos eficientes, ou seja, que tenham um bom

nível de exatidão em relação aos experimentos e não utilizem muito tempo e

memória de computador, tem ajudado nas rotinas de cálculos mecânicos-

quânticos. Novos métodos semi-empíricos resultam valores realísticos de

grandezas moleculares obtidos por métodos de mecânica quântica em tempos

razoáveis de computação. Assim, a química quântica é uma atrativa fonte de

descritores que pode, a princípio, expressar todas as propriedades eletrônicas e

geométricas de uma molécula, e suas interações com o ambiente, fornecendo uma

visão mais detalhada dos efeitos eletrônicos que os métodos empíricos.9

1.1 – Modelagem molecular no projeto de nanomateriais

A fabricação de nanomateriais é um desafio para as áreas acadêmica e

industrial devido ao estágio em que se encontram as ferramentas que podem ser

utilizadas no processo de fabricação.

Contudo, o projeto e a modelagem desses nanomateriais podem ser

facilmente realizados com a tecnologia atual, sendo uma maneira fácil e barata de

explorar verdadeiramente a ampla escala de sistemas moleculares possíveis de

serem implementados, permitindo uma rápida avaliação e eliminação de sistemas

não funcionais e definindo o foco de investigação em sistemas promissores.

Um dos princípios básicos dos pesquisadores em Nanotecnologia é

inspirado na frase do matemático Paul Dirac:10 “As leis fundamentais necessárias

para o tratamento matemático de uma grande parte da física e de todas as partes

da química são completamente conhecidas. A dificuldade está somente no fato de

que as aplicações dessas leis levam a equações muito complexas de serem

resolvidas”

Com o avanço da tecnologia, a possibilidade de se desenvolver softwares

de modelagem molecular que incluem pacotes computacionais na área de química,

isto é, mecânica molecular e programas semi-empíricos e ab initio, vêm sendo

5

desenvolvidos e, juntamente com ferramentas correlatas, podem permitir aos

pesquisadores um planejamento de fabricação de sistemas moleculares.

Como um dos grandes desafios da nanotecnologia é construir micro-

dispositivos com precisão em nível atômico, a utilização de softwares que permitam

a visualização dos sistemas moleculares que compõem um determinado objeto

seria extremamente útil. Estes softwares são desenvolvidos com base em algumas

técnicas como, por exemplo, a mecânica molecular e cálculos ab inítio de ordem

mais elevada.

A mecânica molecular permite a modelagem computacional das posições

e das trajetórias dos núcleos de átomos individuais sem uma carga computacional

desnecessária, ou seja, sem realizar cálculos que o resultado pouco ou quase

nada interfere no comportamento da molécula. Os pacotes atuais disponíveis em

computadores pessoais podem prontamente fazer minimizações de energia em

sistemas com milhares de átomos, enquanto que supercomputadores podem

resolver sistemas com centenas de milhares de átomos ou mais.10 Análises mais

complexas, particularmente as que envolvem busca em grandes espaços de

configurações podem limitar o tamanho do sistema que pode ser efetivamente

resolvido.

Enquanto campos de força, obtidos empiricamente, devem ser

suficientemente exatos para modelar o comportamento das estruturas

quimicamente estáveis que interagem com outras estruturas quimicamente

estáveis, a mecânica molecular não garante a exatidão suficiente para tratar as

reações químicas.

As técnicas de modelagem molecular impõem restrições no número de

átomos que podem ser modelados (dependendo do hardware, do software e do

tipo específico de modelagem), mas podem fornecer uma exatidão suficiente para

analisar as reações químicas que devem necessariamente ocorrer durante a

síntese de macro-estruturas, atomicamente precisas.

1.2 – Desenvolvimento racional de novos materiais utilizando modelagem

molecular

Atualmente a modelagem molecular vem sendo intensivamente aplicada

na interpretação de resultados experimentais e no desenvolvimento de novos

materiais com propriedades específicas.11

6

O objetivo da modelagem molecular é relacionar todas as propriedades

moleculares importantes, ou seja, estabilidade, reatividade e propriedades

eletrônicas com a estrutura molecular. Desta forma é possível desenvolver

algoritmos capazes de calcular uma estrutura molecular com uma estéreo-química

específica e correlacioná-la com as propriedades moleculares apresentadas pela

substância.

O aumento significativo no uso dos computadores tem contribuído

significativamente para o desenvolvimento racional de novos materiais, através da

modelagem molecular e da química computacional, que constituem uma nova

forma de fazer química. O êxito alcançado nesta área tem, sem dúvida, servido de

base para o desenvolvimento das técnicas aplicadas ao desenvolvimento de novos

materiais. A modelagem molecular tem por objetivo a racionalização do

desenvolvimento de novos materiais, resultando em um trabalho mais preciso e em

uma redução substancial dos custos no desenvolvimento dos mesmos.

O recente desenvolvimento dos métodos de simulação molecular e

programas computacionais têm criado oportunidades para investigar novos

materiais, descrevê-los a nível molecular e, ainda prever suas propriedades.

Simulação de materiais envolvendo centenas de átomos já pode ser realizada

dentro de um tempo computacional razoável em uma estação de trabalho.12

A simulação computacional nos habilita a compreender as estruturas e o

movimento das moléculas. O fato de analisar o comportamento de moléculas em

diferentes fases da matéria permite uma avaliação muito mais detalhada das

propriedades estáticas e dinâmicas do sistema, do que aquelas que poderiam ser

fornecidas por medidas experimentais. Conformações e movimento moleculares

são fundamentais para o entendimento de muitos processos físicos em muitos

materiais, como os poliméricos, por exemplo. A relação entre propriedades

macroscópicas da matéria e a natureza microscópica do movimento em um nível

atômico-molecular é uma questão importante para o desenvolvimento de novos

materiais e uma melhor compreensão sobre aqueles já existentes. Enquanto a

estrutura atômica em cristais, em uma escala nanométrica, é bem estabelecida por

técnicas experimentais, à dinâmica detalhada é ainda pobremente entendida.

Técnicas de simulação computacional têm oferecido um caminho para o

progresso neste campo, fornecendo uma representação extremamente lenta do

movimento, necessária para a descrição do movimento atômico (tempo real).13

7

Apesar de sua inerente limitação em uma amostragem vigorosa do espaço

configuracional para sistemas densos, a técnica da Dinâmica Molecular (MD) é um

método que continua sendo extensivamente empregado. Isto se deve não somente

à simplicidade do método, mas por ser o único capaz de fornecer informações

diretas na evolução temporal do sistema, uma característica que outras técnicas de

simulação molecular, como aquelas do tipo Monte Carlo14 (MC) e Mecânica

Molecular15 (MM) não apresentam. Portanto, são limitadas em suas aplicações

para uma representação realística do movimento molecular.16

A técnica MD foi desenvolvida no final dos anos 50, por Alder e

Wainwright, para estudar a transição de fase em líquidos representados por

esferas rígidas.17 Desde então, a aplicação da simulação em Dinâmica Molecular

tem se expandido para muitos outros processos.18 No campo das ciências dos

materiais, as aplicações incluem investigações da transição vítrea,19 interações de

longo e curto alcance, e correlação de orientação,20 superfície em polímeros

vítreos,21 dinâmica de cadeia local,22 espectro vibracional,23 difusão de pequenas

moléculas.24

A simulação computacional é uma das fortes ferramentas para investigar

os mecanismos da formação estrutural em nível molecular.25 Vários estudos têm

sido realizados com o intuito de compreender a dinâmica de sistemas poliméricos,

por exemplo, ordenados ou parcialmente ordenados. Esselink utilizou a Dinâmica

Molecular para conhecer a nucleação e fusão de n-alcanos e, assim, determinar as

temperaturas de cristalização e fusão e a velocidade de cristalização dos núcleos.26

Yamamoto estudou a dinâmica dos defeitos conformacionais, onde uma cadeia de

polietileno era confinada em um potencial cilíndrico.27 Kavassalis estudou o

processo de folding de uma cadeia de polietileno abaixo da temperatura de fusão.28

Sumpter investigou importantes aspectos em polímeros cristalinos, como o efeito

do folding da cadeia do polietileno na velocidade de fusão.29

A literatura tem mostrado diversos estudos no qual a modelagem

molecular desempenha um importante papel no desenvolvimento de materiais na

escala nano. A evolução das ferramentas computacionais tornou mais acessível à

utilização dos métodos mecânicos-quânticos para o desenvolvimento “in silício” de

nano materiais. Entretanto a utilização de tais métodos requer, não somente um

conhecimento básico dos métodos da química quântica ao nível molecular, mas

também o conhecimento preciso do potencial de tais métodos. Uma revisão dos

8

conceitos básicos abordados na mecânica molecular será o enfoque do próximo

capitulo.

2

CONCEITOS BÁSICOS EM MODELAGEM MOLECULAR

2.1 – Os métodos teóricos

A simulação computacional usando métodos semiclássicos tem tido um

papel importante no desenvolvimento das mais diversas áreas de conhecimento.30

Podemos observar, na literatura especializada que a criação e a proposição de

novos materiais têm crescido vertiginosamente após o aparecimento das técnicas

computacionais em modelagem molecular (MM). Em particular o uso destas

técnicas têm promovido o aparecimento de novas ligas metálicas, novos fármacos

assim como novas estruturas em sistemas biomoleculares.

Um motivo importante para este desenvolvimento é a limitação

computacional, nos tempos atuais, em resolver problemas envolvendo um grande

número de átomos e moléculas a partir das equações básicas da mecânica

quântica. Os tempos computacionais envolvidos em uma abordagem puramente

quântica destes problemas são absolutamente proibitivos.11 A alta velocidade de

crescimento desta área de pesquisa tem sido possível devido ao fato de que as

9

simulações computacionais permitem diminuir a interface entre a teoria e o

experimento.

A exemplo da biofísica, o estudo e caracterização de materiais complexos

e problemas deparam com um número imenso de graus de liberdade, nas

coordenadas eletrônicas e nucleares, que inviabiliza o efetivo tratamento destes

sistemas usando puramente cálculos computacionais. Técnicas alternativas

envolvendo métodos híbridos clássico-quântico têm sido usadas como uma

poderosa ferramenta na análise de estruturas moleculares, ligações químicas e no

estudo de propriedades mecânicas, termodinâmicas, elétricas e espectroscópicas.

As metodologias para o procedimento de simulação são oriundas

dos princípios gerais das dinâmicas clássica e quântica e dos princípios de

extremos envolvendo grandezas físicas. Isto dá origem aos métodos

Gradientes, Dinâmica Molecular (DM), os métodos híbridos clássico-quântico e aos

métodos Estocásticos.

As técnicas envolvidas em dinâmica clássica utilizam os campos de forças

devidamente parametrizados, a partir de informações experimentais diversas

acerca do sistema. Cálculos quânticos utilizam métodos ab-initio e semi-empíricos

para a determinação dos campos de forças com seus parâmetros. Os cálculos ab-

initio e semi-empíricos determinam as funções potenciais a serem utilizadas nos

sistemas estocásticos.11

É importante ressaltar que apesar das dificuldades na implementação e

utilização dos métodos quânticos em cálculos de propriedades moleculares, eles

são fundamentais na parametrização dos campos de força clássicos. Esta

parametrização é feita aplicando os métodos quânticos em pequenos sistemas

moleculares no sentido de caracterizar propriedades moleculares, as quais serão

estendidas aos sistemas macroscópicos. Neste caso, algumas técnicas quânticas

mais utilizadas atualmente são: teoria do funcional da densidade (DFT), método

Hartree-Fock e diversas aproximações semi-empíricas destas técnicas, tais como

as aproximações MNDO, AM1 E PM3.

2.1.1 – Métodos ab initio e Semi-empíricos

O método ab initio está baseado no Hamiltoniano fundamental,

sem muitas simplificações.31 Além disso, os cálculos só usam as quantidades bem

estabelecidas, como, por exemplo, constantes fundamentais e números atômicos

10

dos núcleos.31 A maior vantagem deste método é o alto nível de confiabilidade dos

resultados obtidos. Infelizmente, existe também a seguinte desvantagem: os

cálculos numéricos baseados neste método quase sempre levam muito tempo e

consomem muita memória dos computadores. Por isso o uso do método ab initio

torna-se, computacionalmente, muito custoso para estudo de moléculas acima de

20 átomos. Geralmente emprega-se o método ab initio para conferir os resultados

obtidos dentro de outras abordagens (métodos semi-empíricos) ou para estruturas

moleculares mais simples, nos casos em que há uma possibilidade computacional.

Na determinação da energia e da função de onda do estado fundamental

de um sistema através do método ab initio, ou de primeiros princípios é envolvido

um grande número de integrais de dois corpos (elétrons de átomos

diferentes), que trazem um alto custo computacional, para sistemas moleculares

grandes, ou seja, acima de 20 átomos. Para contornar essas dificuldades, foram

feitas várias aproximações e parametrizações subseqüentes, que determinam os

elementos da matriz de Fock. Assim introduziu-se a teoria de orbital molecular aos

métodos Semi-empíricos cuja importância está relacionada à capacidade de prever

as propriedades físicas e químicas de um sistema, respondendo satisfatoriamente

aos parâmetros experimentais a serem avaliados. São mais rápidos se

comparados aos métodos ab initio, e são mais viáveis se aplicados a sistemas

constituídos por muitos átomos.

Os métodos semi-empíricos representam uma abordagem à solução das

equações de Schrödinger para o sistema de muitos corpos (átomos, moléculas ou

sólidos) usando a simulação numérica e computacional. Considerando a equação

como:

(2.1)

sendo o operador Hamiltoniano do sistema e a função de onda.

é o operador que representa a energia total do sistema sendo dado por:

(2.2)

11

onde ZA é a carga do átomo A e RAB é a distância entre os núcleos dos átomos A e

B. Para simplificar as equações nós usamos as notações . Os primeiros

dois termos em (2.2) representam, respectivamente, a energia cinética dos elétrons

e dos núcleos. O terceiro termo é a energia da interação (atrativa) entre os núcleos

e os elétrons. Os últimos dois termos correspondem a energias repulsivas das

interações entre os núcleos e entre os elétrons.

A equação de Schrödinger pode ser simplificada, se levarmos em conta a

grande diferença entre as massas dos elétrons e dos núcleos. Na teoria clássica as

velocidades de movimento dos núcleos são muito menores do que as velocidades

dos elétrons (isso é uma conseqüência do teorema da eqüipartição de energia). No

nível quântico podemos esperar que a incerteza nas posições dos núcleos seja

muito menor e usamos este efeito para construir uma aproximação adiabática. A

simplificação é alcançada na conhecida aproximação de Born-Oppenheimer. Nesta

aproximação as posições espaciais de todos os núcleos são fixas, segue-se daí

que a energia cinética dos núcleos é zero e a energia potencial de repulsão núcleo-

núcleo é constante. Então, em vez do Hamiltoniano completo (2.2) podemos utilizar

Hamiltoniano eletrônico:

(2.3)

sendo a energia cinética eletrônica, a energia de Interação atrativa entre o

núcleo e o elétron e a energia de interação repulsiva entre os elétrons e

a equação de Schrödinger correspondente:

(2.4)

onde as funções de onda dependem somente das coordenadas dos elétrons.

As energias formam o espectro da nova equação e as coordenadas

dos núcleos entram como parâmetros externos. A energia total do sistema é dada

por:

(2.5)

12

sendo a energia de interação nuclear dada por:

Para obter a solução aproximada da equação (2.4) podemos aplicar o método

variacional. Neste caso aproximaremos a função da onda pela função de onda

num estado fundamental com energia mínima . O critério para escolha da

energia é o princípio variacional:

(2.6)

o termo indica que é a função de onda de N elétrons. Esta função deve ser

escolhida entre as funções aceitáveis do ponto de vista físico.

Obviamente, as soluções e vão depender de N e da escolha de

potencial . Levando em conta o fato que e são funções de onda de

sistemas eletrônicos, a solução para a função como um produto anti-simétrico

de N ondas de um elétron é dada pelo diferencial de Slater :

(2.7)

Cada função de onda de um elétron se chama spin-orbital e consiste

de uma parte orbital e de função de spin que pode assumir dois valores

e :

, onde

As funções , são ortogonais entre si:

13

Utilizando o princípio variacional (Eq. 2.6) o “melhor” determinante de

Slater , para o qual a energia do sistema chegue a seu mínimo pode ser

encontrada:

,

sendo a energia de Hartree-Fock dado por:

A energia de Hartree-Fock representa um funcional de orbitais de spin

. Para escolher estas funções usualmente se utilizam os operadores de

Fock:

(2.8)

sendo o spin-orbital e autovalores do operador , podendo ser interpretados

como energias de orbitais eletrônicos. se denomina operador de Fock e é o

operador de um elétron e pode ser definido por:

. (2.9)

Na equação 2.9 o índice i indica as coordenadas de elétron i. A equação (2.8) se

chama equação de Hartree-Fock e determina os “melhores” orbitais de spins, que

correspondem ao valor mais baixo de .

A equação para o orbital de cada elétron inclui as coordenadas de outros

elétrons como parâmetros. Na equação (2.8) as quantidades (autovalores de

operador ) podem ser interpretadas como energias de orbitais eletrônicos. Os

primeiros dois termos na equação (2.9) representam a energia cinética e o

potencial atrativo de interação elétron-núcleo. é o potencial efetivo de Hartree-

14

Fock. Este potencial representa a medida de potencial repulsivo que existe entre i-

ésimo elétron e outros (N – 1) elétrons:

, (2.10)

sendo o potencial de Coulomb de um elétron na posição

gerado pela distribuição média de carga de outro elétron de orbital de spin . O

termo representa a probabilidade de encontrar o elétron no elemento

de volume . Portanto o potencial de Coulomb , , pode ser reescrito como:

(2.11)

O segundo temo da Equação 2.10 inclui o operador denominado operador de

troca. O operador não possui nenhum análogo clássico e representa a parte da

energia potencial ligada à correlação dos spins. Este termo pode ser definido

como:

. (2.12)

O determinante de Slater não é a solução exata de problema de N corpos, mas, em

vez disso, representa uma solução aproximada. É difícil ver que o determinante na

Equação 2.7 com orbitais da base definidos na Equação 2.8 é uma solução de

problema de autofunções. Logo:

. (2.13)

Portanto, o operador de Hartree-Fock descreve o sistema de N elétrons que não

interagem entre si, mas estão sob influência do potencial efetivo . Em outras

15

palavras, o determinante de Slater é uma função de onda exata de N elétrons não

acoplados num campo de potencial efetivo .

Na prática, a aplicação de método de Hartree-Fock a sistemas

complicados, como por exemplo, às moléculas grandes (acima de 20 átomos),

encontra dificuldades. Uma das abordagens existentes para simplificar a solução

do problema se chama método de Hartree-Fock-Roothaan. Neste método as

equações são transformadas num problema matricial, com representação dos

orbitais de spins como uma combinação linear de funções já conhecidas . Estas

funções formam uma base com a qual podemos escrever a função de onda de um

elétron como:

. (2.14)

N representa o número de elétrons da base e os coeficientes cij formam uma matriz

não degenerada. Desta maneira obtém-se N funções linearmente independente

e o único problema que resta é calcular os coeficientes . Como primeiro passo, a

Equação 2.8 é reescrita para o elétron 1 e função espacial ocupada por este

elétron:

. (2.15)

Substituindo a Equação 2.14 pela Equação 2.15, obtém-se:

. (2.16)

Se multiplicarmos ambos os lados da equação de Hartree-Fock (Equação 2.16)

pelas funções da base após integração obtém-se:

.

16

Logo,

, (2.17)

sendo

(2.18)

Representando os elementos da matriz S (denominado matriz de sobreposição)

tem-se:

(2.19)

são elementos da matriz de Fock F. A Equação 2.17 pode ser escrita numa forma

matricial, chamada equação de Roothaan-Hall:

. (2.20)

c é uma matriz N por N com elementos , é uma matriz diagonal, onde os

elementos são energias dos orbitais .

A Equação 2.20 tem solução trivial quando o seguinte critério é satisfeito:

. (2.21)

O procedimento usualmente utilizado para realização dos cálculos numéricos de

obtenção dos coeficientes é o método de campo auto-consistente SCF (Self-

Consistent Field). Este método consiste em incluir os efeitos das repulsões

intereletrônicas no modelo orbital como um valor médio (energia média de

interação de repulsão).32 Desta forma, não considera-se a posição instantânea dos

elétrons, que movimentam-se mantendo a maior distância possível entre si. Tais

movimentos não são independentes um do outro, estando correlacionados, e por

isso diz-se que o modelo de Hartree-Fock não considera a correlação eletrônica.32

17

No caso de simulações numéricas de sistemas de muitos corpos,

podemos afirmar que o método de Hartree-Fock pode ser uma base para

diferentes abordagens. Sua eficiência depende, principalmente, da complexidade

do sistema sob investigação e do nível das aproximações utilizadas.

Os métodos semi-empíricos estão baseados na utilização de informação

adicional sobre as moléculas de interesse, com objetivo de simplificar os cálculos.

Esta informação pode vir de dados experimentais ou ser resultado de cálculos

numéricos alternativos. Os parâmetros obtidos desta maneira podem ser vistos

como valores aproximados de algumas integrais. Essa metodologia permite tratar

vários sistemas com uma precisão razoável.

O método de Hückel, um dos primeiros métodos semi-empíricos, ignora

completamente a repulsão entre elétrons. Este método foi desenvolvido na década

de 30 com o objetivo de estudar moléculas orgânicas, para as quais a informação

química está ligada, particularmente, os elétrons valência. No método de Hückel, o

Hamiltoniano da molécula é escrito como:

(2.22)

Na Equação 2.22 o Hamiltoniano do sistema é a soma dos Hamiltonianos dos

elétrons Hückel e o Hamiltoniano do caroço (núcleo e os outros elétrons do

sistema). No método Hückel o Hamiltoniano dos elétrons se escreve

aproximadamente como a soma dos Hamiltonianos de um elétron num campo

efetivo dos núcleos e dos elétrons. Logo:

. (2.23)

Assumem-se neste caso que as integrais de sobreposição são , os

elementos diagonais e os elementos fora da diagonal são quando

os átomos r e s são vizinhos ligados, e nulos em caso contrário. De modo geral, os

métodos semi-empíricos onde elementos de matriz de sobreposição fora de

diagonal são nulos para os átomos não-vizinhos chama-se de método de

sobreposição diferencial nula (ZDO – zero differential overlap).

18

A outra versão de teoria elétrons se chama o método Pariser-Parr-Pople.

Nesta abordagem muitas integrais de repulsão entre elétrons (mas não todas) são

ignoradas. Este método produz melhores resultados para moléculas não planares.

Integrais de dois centros (os elétrons pertencendo a átomos vizinhos) são

parametrizadas e obtidas através de dados experimentais. As integrais de três e

quatro centros são consideradas identicamente nulas. Em outras aproximações

denominadas CNDO (complect neglect of differential overlap)33,34, INDO

(intermediate neglect of differential overlap)33,35 e NDDO (neglect of diatomic

differential overlap) consideram-se apenas os elétrons de valência, os quais se

movimentam no campo de um núcleo fixo (núcleo mais elétrons interiores em

camadas fechadas).

A base do método CNDO é formada pelo uso de orbitais atômicos de

Slater para elétrons de valência e também na aproximação ZDO. As integrais

são substituídas por parâmetros experimentais ou teóricos, de acordo com

a abordagem geral dos métodos semi-empíricos. No método INDO as

sobreposições entre orbitais atômicas do mesmo átomo são calculadas, ao mesmo

tempo em que as integrais de dois centros são consideradas como nulas. No

método NDDO as integrais de sobreposição são nulas entre orbitais atômicos

centrados em átomos diferentes. Como exemplos de modificação destes métodos,

podemos mencionar os métodos MINDO, MNDO, AM1 e PM3.

Na aproximação MNDO (Negligência Modificada da sobreposição

Diferencial) as contribuições de elétrons do mesmo átomo (constituinte de uma

molécula) são obtidas através de valores experimentais oriundos de átomos

isolados, enquanto as integrais de dois centros são consideradas como parâmetros

ajustáveis do método. Para determinação destes parâmetros são usados os

valores calculados para as moléculas cuja geometria, calor de formação, potencial

de ionização e momento dipolar são experimentalmente conhecidos.

Em 1985 foi publicada uma nova versão do método MNDO – AM1 (Austin

Model 1). Neste método foram parametrizadas as integrais dos seguintes átomos:

H, B, C Si, N, O S, F, Cl, Br, I, Hg e Zn. Se comparar com MNDO, o método AM1

calcula melhor a repulsão entre núcleos e proporciona melhores resultados de

moléculas envolvidas em processos biológicos.

Em 1989 foi apresentada outra versão do MNDO – PM3 (Modelo

Parametrizado 3), onde foram parametrizados os seguintes átomos: H, C, Si, Ge,

19

Sn, Pl, N, P , As, Br, O, S, Se, Te, F, Cl, Bi, I, Al, Be, Mg, Zn, Cd e Hg. É fácil

verificar que a lista dos átomos parametrizados neste caso é mais ampla do que no

caso do método AM1. Em vários casos o método PM3 proporciona melhores

resultados, especialmente para o estudo da geometria molecular e da energia de

ionização, do que o método AM1, mas em outros casos a situação é oposta (por

exemplo, para o cálculo das ligações de hidrogênio).

Atualmente os métodos AM1 e PM3 são os mais usados entre todos os

métodos semi-empíricos. Existe um grande número de publicações onde estes

métodos são comparados. O critério mais utilizado é a capacidade de estabelecer

as geometrias de moléculas e o espectro de energia molecular. Os resultados

variam dependendo do tipo de moléculas em investigação.

Entre os mais populares pacotes de programas que usam os métodos

semi-empíricos podemos mencionar os HyperChem, Spartan, GAMESS e Cachê

5.0.

2.1.2 – Dinâmica Molecular (MD)[24]

Os métodos comumente usados para analisar o comportamento de

sistemas de escala molecular são denominados de dinâmica molecular. Uma

análise destes métodos inicia-se com a equação de Schrödinger não-relatívistica e

independente do tempo, Neste caso, os vetores R e r devem conter informações a

respeito do sistema todo, ou seja, todos os vetores posição . Portanto, R pode ser

tratado matematicamente como uma matriz. O mesmo vale para r. Logo:

(2.24)

Na Equação 2.24, H representa o operador Hamiltoniano para este

sistema, é a função de onda e E é a energia (autovalor da autofunção ).

As coordenadas relevantes para o problema incluem R, as posições dos núcleos

atômicos e r, as posições dos elétrons associados.

Resolver a Equação 2.24 ainda é um procedimento muito trabalhoso para

ser prático. Em 1927 Born e Oppenheimer sugeriram que seria possível desacoplar

o movimento dos elétrons dos movimentos dos núcleos em duas equações

20

diferenciais separadas e considerando que o núcleo dos átomos é, pelo menos três

ordens de grandeza mais pesado do que os elétrons, ou seja:

(2.25)

(2.26)

Na Equação 2.25, a posição nuclear R é apenas um parâmetro constante.

A Equação 2.25 define uma energia E(R), em função apenas das coordenadas

nucleares. A esta energia damos o nome de superfície de energia potencial. Neste

caso, a Equação 2.26 definirá o movimento dos núcleos nesta superfície e o termo

“superfície” não implica dimensionalidade neste caso. O movimento dos núcleos só

pode ser calculado depois de determinada a função E(R).

O procedimento comum para determinar E(R) pela Equação 2.25 seria o

mais indicado. Conhecendo E(R), poderia-se resolver então a Equação 2.26. De

fato, alguns pacotes computacionais seguem este procedimento a exemplo do

Dmol, Turbomole, GAMESS, Hondo, CADPAC e Gaussian, mas a grandes custos

computacionais. Outros métodos, menos custosos matematicamente, aproximam

várias das integrais a serem resolvidas no processo de resolução da Equação 2.25

por valores empíricos a exemplo do ZINDO, MNDO, MINDO, MOPAC e AMPAC.

Os métodos mais convenientes são aqueles que avaliam E(R) praticamente

independentemente da Equação 2.25, e apenas com termos empíricos adequados

a dadas situações.

As funções E(R) determinadas empiricamente são chamadas comumente de

campos de força.

Considerando apenas o movimento dos núcleos atômicos, a equação de

Schrödinger pode ser reduzida à equação padrão de Newton, Equação 2.27, dado

que os efeitos quânticos terão pouco efeito sobre os núcleos, relativamente

pesados:

(2.27)

21

Portanto, o termo dinâmica molecular está associado à resolução da

Equação 2.27. Um outro tratamento molecular interessante é a Mecânica

Molecular, que ignora a evolução do sistema com o tempo e lida com problemas

Associados à geometria molecular, energias associadas e outras propriedades

estáticas do sistema.

As Ferramentas de simulação utilizando a dinâmica molecular calculam de

forma iterativa o movimento de átomos em moléculas, o que é fundamental na

determinação da estrutura tridimensional de proteínas e ácidos nucléicos.36

Existem vários sistemas disponíveis para simulação da dinâmica molecular. Alguns

exemplos são CHARMM [BROOKS83], desenvolvido na Universidade de Harvard,

o Namd, Universidade de Illinois e o Thor, Universidade Federal do Rio de Janeiro.

2.1.2.1 – O campo de Força37

Para encontrar a superfície de energia potencial através de cálculos da

dinâmica molecular, precisamos expressar a energia total do sistema em função

das coordenadas dos átomos envolvidos. Felizmente vários pacotes

computacionais, como os CHARMM [BROOKS83], Namd e o Thor, fornecem

maneiras convenientes de definir o campo de força de um sistema. Em especial, a

cada átomo de um sistema deve ser atribuído um tipo de campo de força, dado que

diferentes elementos – ou até mesmo os mesmos elementos em diferentes

situações – podem se comportar de maneiras diferentes. A cada um destes tipos

de campo de força estão associadas várias formas funcionais de potenciais, como

torção, comprimento de ligações químicas, superfície Van der Waals, etc.

Os parâmetros e coeficientes das formas funcionais podem ser

determinados empiricamente e já contêm informações quânticas de maneira

experimental, embora de maneira muito limitada e genérica, já que os parâmetros

foram encontrados de maneira tal que o campo de força explicasse fenômenos

observáveis.

É importante lembrar, nesse ponto, que o objetivo do campo de força que

é “modelar” um grande número de situações, com baixos custos computacionais.

Alguns outros tipos de campo de força são mais adequados a um menor leque de

situações e têm como objetivo uma grande precisão em sua modelagem e em suas

previsões.

22

Os métodos associados à campos de força têm suas imitações intrínsecas.

A investigação de situações relacionadas a fenômenos como transições

eletrônicas, transporte eletrônico e transferência de prótons (reações ácida-base)

estão além do alcance da maioria dos métodos de campos de força.

Apesar destas limitações, os campos de forças são muito úteis em

sistemas complexos, já que nestes, os métodos quânticos teriam um custo

computacional elevado. Embora o uso de campos de força não permita a

investigação de propriedades quânticas, existem várias situações nas quais as

propriedades de interesse não são quânticas. Exemplos destes sistemas incluem

os sistemas macromoleculares orgânicos ou inorgânicos.

Os métodos de campos de força proporcionam um grande nível de

controle sobre as energias que regem o sistema. Pode-se decompor o termo E(R)

em potenciais conhecidos de torção, ligações químicas, e assim por diante. É

possível aplicar restrições e modificações nestes termos; em particular, é possível

restringir alguma espécie de movimento e limitar alguns efeitos para a minimização

dos custos computacionais associados à dinâmica molecular.

Para um conjunto de átomos, poderíamos restringir os efeitos de torção,

por exemplo, devido a alguma peculiaridade do sistema em questão – este tipo de

artifício recebe o nome de restrição. Uma maneira mais drástica e

computacionalmente econômica é restringir o movimento de um conjunto de

átomos completamente, método este comumente chamado de confinamento.

2.1.2.2 – O significado físico do Campo de Força

A função E(R) para um sistema específico, pode ser encontrado utilizando-

se as informações empíricas de um campo de força e as coordenadas de um dado

sistema. Assim uma expressão para a energia de um sistema em uma dada

situação, pode ser determinada.

A energia potencial para um dado sistema pode ser expressa como a

soma dos termos associados às ligações (os termos de valência), os termos

cruzados (forças que associam diretamente deformações e ângulos de ligações),

que representam a interação entre ligações atômicas próximas e cuja

implementação é razoavelmente nova e, os termos restantes, que não estão

associados às ligações e retratam a interação de átomos quimicamente separados.

Atribuindo a estes termos as palavras inglesas valence, crossterm e

23

nonbond, respectivamente, temos a seguinte relação:

(2.28)

De acordo com a Tabela 2.1 poderia-se utilizar a Equação 2.29 para o

cálculo de um campo de força exemplificado. Para que a Equação 2.29 seja de

alguma utilidade, é necessário algum conhecimento a respeito dos coeficientes

para uma dada situação. Na verdade, mesmo a forma matemática funcional de um

campo de força sofre modificações, de acordo com a sua utilização. Neste sentido,

a Equação 2.29 é apenas um exemplo geral de campo de força. Note que os

coeficientes variam não só de acordo com o elemento atômico, mas de acordo com

a sua posição, simetria de ligações químicas, etc. Cada uma destas situações deve

admitir coeficientes diferentes.

O campo de força que segue a Equação 2.29 trata-se de um campo

genérico que acompanha o programa de simulação Cerius2 versão 4.2, e é

chamado Universal Forcefield, ou UFF no qual os parâmetros são gerados com

base em regras fisicamente realistas. Amplos testes indicam que simulações de

dinâmica molecular usando o Cerius2 têm resultados aceitáveis em um grande

intervalo de situações.

(2.29)

As formas funcionais utilizadas no UFF incluem um termo

harmônico para o estiramento de ligações. Além deste, este campo descreve as

energias associadas a variações de ângulo com três termos de uma expansão de

Fourier, e expressa torções e inversões com termos co-seno de expansões Fourier.

24

As interações de Van der Waals são descritas por um típico potencial, o de

Lennard-Jones, que tem uma forma Ar. As interações eletrostáticas

são descritas por monopolos atômicos e um termo coulômbico empiricamente

ajustado.

Tabela 2.1: Descrição dos Potenciais de alguns sistemas moleculares

25

26

27

2.1.2.3 – Integração da equação de Newton

Vários métodos numéricos integram a Equação 2.27, mas deve-se

escolher o mais adequado a cada sistema em particular. A idéia geral é bastante

simples e segue o método das diferenças finitas, no qual as posições e velocidades

em um dado instante t são conhecidas, e deve-se calcular as posições e

velocidades um momento depois, através de uma fórmula de recorrência,

, ou semelhante.

Os critérios que qualquer algoritmo deve satisfazer incluem baixo uso de

memória em computadores e pequeno número de avaliações da superfície de

energia (estas avaliações requerem grande esforço matemático). Além disso, o

algoritmo deve permitir o uso de um intervalo grande, ou o número de

interações necessárias será enorme. Finalmente, o algoritmo também deve ser

estável do ponto de vista da conservação de energia, pois a energia pode ser

transformada de uma forma noutra, mas a energia total do sistema isolado

conserva-se. Então o algoritmo tem que detectar esse princípio e não ficar

realizando cálculos desnecessários que só vão desperdiçar tempo e chegar ao

mesmo resultado.

Dois métodos muito comuns quanto à sua utilização na integração da

Equação de Newton são os integradores de Verlet Leapfrog Integrator e Verlet

Velocity Integrator

Estes dois métodos e suas variantes são muito amplamente utilizados na

investigação da estrutura e dinâmica de moléculas. Os integradores propostos por

Verlet em 1967 têm as vantagens de só precisarem de uma pequena quantidade

de memória, avaliar a energia uma vez a cada intervalo de integração e possibilita

o uso de um intervalo de quantização de tempo razoavelmente grande sem

problemas, ou seja, sem distorcer o resultado dos cálculos. O algoritmo associado

ao integrador Verlet Leapfrog segue a fórmula de recursão apresentada na

Equação 2.31 e utiliza como entrada as grandezas posição, velocidade e

aceleração nos instantes e t, respectivamente, como mostrada na

Equação 2.30.

Entrada de dados: (2.30)

28

(2.31)

O principal problema do algoritmo é evidente nas suas fórmulas de

recursão: as velocidades e as posições estão sempre fora de fase por meio do

intervalo . Desta forma, só conhece r(t) e e nunca ou mesmo

v(t). De qualquer forma, é intuitivo que seja uma expressão mais

adequada para o intervalo do que v(t) ou mesmo .

O algoritmo associado ao integrador Verlet de velocidade não sofre da

mesma limitação. Suas fórmulas de recursão podem ser vistas na Equação 2.33, e

utiliza a posição, velocidade e aceleração em um instante para calcular as mesmas

variáveis em certo depois do tempo inicial:

(2.32)

(2.33)

Existem ainda outros métodos numéricos de integração tais como ABM4,

de “Adams-Bashforth-Moulton” de quarta ordem, ou o bastante robusto, mas

computacionalmente exigente Runge-Kutta de quarta ordem. Este último é um dos

métodos mais antigos de resolução de equações diferenciais. Para escolher o

intervalo , deve-se ter em mente que um intervalo pequeno implicaria num

número demasiadamente grande de interações e também grandes imprecisões.

Para evitar estas últimas, certamente deve-se considerar um intervalo menor do

que o movimento de maior freqüência em um dado sistema. Na maioria dos

modelos orgânicos, a maior freqüência vibracional é a da oscilação da ligação C –

H, cujo período é da ordem de (10fs). Note que os algoritmos de integração

29

por diferenças finitas geralmente assumem que r e v são aproximadamente

constantes durante o intervalo . Para que isto seja uma suposição razoável, é

recomendável dividir um período vibracional em 8 a 10 partes. Desta forma, um

aceitável para a maioria dos modelos orgânicos estaria na faixa de 0,5 a 1,0 fs.

2.1.2.4 – Os Ensembles estatísticos

A resolução da equação de Newton (Equação 2.27), conforme a descrição

da seção 2.1.2.3, permite a exploração da superfície de energia constante do

sistema. Porém, a maioria dos sistemas reais não está totalmente isolada. Alguns

processos ocorrem de maneira adiabática; outros, de maneira isotérmica ou

isobárica, dependendo do material analisado. As diferentes considerações de

grandezas constantes recebem o nome de Ensembles Estatísticos microcanônicos

e/ou os canônicos.

O ensemble microcanônico considera a energia total do sistema uma

constante, assim como seu volume. A resolução direta da Equação 2.28 sem mais

correções de variáveis está de acordo com o ensemble microcanônico. Porém, o

uso do Integrador Verlet Leapfrog causa algumas flutuações no sistema devido à

sua falta de fase. Neste caso a energia cinética e a energia potencial estão

também fora de fase. Para manter as flutuações dentro de níveis aceitáveis, é

interessante considerar um nível de controle sobre a temperatura. Tendo isso em

mente, o programa Cerius2 possibilita ao usuário a entrada de um intervalo no qual

a temperatura deve ser mantida através de multiplicadores aplicados

periodicamente às velocidades do sistema. O ensemble microcanônico é o mais

adequado à investigação da superfície de energia constante quando não se deseja

a perturbação causada pelos outros ensembles.

O ensemble canônico considera a temperatura e o volume do sistema

como sendo constantes. Obviamente, as medidas e o ajuste da temperatura são

ainda mais importantes para o ensemble canônico do que o microcanônico. O

controle direto da temperatura durante simulações de dinâmica molecular que

seguem o ensemble canônico também acontece periodicamente através da

aplicação de multiplicadores à velocidade, mas em geral, um outro método de

controle, mais sutil é empregado continuamente durante a fase da simulação. O

ensemble canônico é o mais adequado em sistemas nos quais se deseja saber a

conformação de estruturas no vácuo.

30

Outros ensembles, que consideram pressão constante, tensão estrutural

constante ou entalpia constante, também existem, mas as suas aplicações em

geral limitam-se a sistemas periódicos (i.e., estruturas cristalinas). Evidentemente,

para a dinâmica molecular em tais sistemas, seria necessário desenvolver uma

metodologia para a medida e o controle das variáveis pressão, entalpia e tensão

estrutural.

A temperatura é uma variável de estado tipicamente macroscópica cuja

relação com o microscópico se dá através da energia cinética das partículas de um

sistema. De fato, a temperatura e a distribuição de velocidades atômicas são

relacionadas através da conhecida fórmula de Maxwell-Bolstzmann;

(2.34)

sendo k a constante de Boltzmann e m a massa atômica.

Para iniciar uma simulação de dinâmica molecular, precisamos das

condições iniciais para a Equação 2.27, ou seja, posições e velocidades iniciais.

Geralmente, é conveniente determinar apenas as posições, e distribuir as

velocidades aleatoriamente de acordo com a Equação 2.34 e, uma dada

temperatura inicial. Na verdade, enquanto a distribuição dos módulos das

velocidades é adequadamente descrita pela Equação 2.34, seria mais apropriado

utilizar uma distribuição gaussiana, como na Equação 2.35 para distribuir as

velocidades nas diferentes coordenadas cartesianas (x, y, z):

(2.35)

A solução de fica:

31

Então se , temos .

Esta distribuição gaussiana entra como um parâmetro importante na

modelagem molecular, dando a evolução temporal do sistema.

A relação entre a temperatura e a energia cinética das partículas de um

sistema pode ser descrita através do princípio de eqüipartição da energia, que nos

diz que a cada grau de liberdade pode ser associada uma energia média de .

Escrevendo esta relação, chega-se à Equação 2.36, escrita para cada uma das

partículas, de , e considerando o momento associado a cada uma delas

como sendo . Na Equação 2.36, representa o número de graus de liberdade

do sistema considerado.

(2.36)

Para continuar esta análise, é conveniente definir-se uma temperatura

cinética instantânea segundo a Equação 2.37. Considerando então a Equação

2.36, tem-se a relação imediata de que a média da temperatura instantânea é

automaticamente a temperatura termodinâmica do sistema:

(2.37)

Com as informações apresentadas, pode-se calcular a temperatura de um

dado sistema de N partículas através da Equação 2.38:

(2.38)

Note que considerou-se 3N-6 graus de liberdade, pois ignoramos a

translação e a rotação ao redor do centro de massa do sistema.

Com relação ao controle de temperatura, existem dois métodos: o

primeiro, denominado de Multiplicador de Temperaturas, é bastante drástico e

32

simplesmente multiplica todas as velocidades do sistema por um fator de ajuste.

Obviamente, a temperatura pode ser controlada de forma bastante precisa, mas

este método suprime as flutuações naturais do sistema e não é

termodinamicamente realista. O multiplicador das velocidades utilizado pelo

programa Cerius2 é dado pela Equação 2.39. Nesta equação, representa a

temperatura desejada, representa a temperatura instantânea da Equação

2.37, e representa a média de temperaturas.

Evidentemente, o uso da Equação 2.39 afeta a energia total do sistema de

maneira imediata. Para o ensemble canônico, no qual a temperatura é constante, o

uso deste multiplicador é inadequado. Uma abordagem mais realista é a do método

de Berendsen para o acoplamento do sistema com um reservatório térmico, de

acordo com o qual o multiplicador λ pode ser expresso na equação 2.40. Nesta

equação, representa a diferença finita de tempo para a integração numérica, um

tempo de relaxamento característico ( ), a temperatura instantânea (T) e a

temperatura desejada :

(2.39)

(2.40)

Em boa aproximação, o uso da Equação 2.40 representa a utilização de

um ensemble canônico, no qual a temperatura é mantida constante em .

2.2 – Propriedades eletrônicas

As propriedades dos materiais são formadas em boa parte pelo

arranjo eletrônico que por sua vez dita as propriedades do sistema eletrônico após

interação com campos externos, (elétrico, magnético, ou com a própria luz). O

conhecimento dessas propriedades é fundamental no projeto de novos materiais e

dispositivos como a construção de dispositivos microeletrônicos variados, de

diodos e transistores a lasers, de diodos emissores de luz a sensores de gases

33

entre outros. Por isso é fundamental a investigação das propriedades eletrônicas

na caracterização e investigação de qualquer material.

2.2.1 – Momento de dipolo elétrico38

Para as moléculas homonucleares como H2, N2 e O2, não há dúvida que o

par de elétrons no orbital molecular (OM) de ligação está igualmente distribuído

entre os dois núcleos. Já que os dois átomos que constituem a molécula são

iguais, ambos atraem igualmente os elétrons de ligação. Mas para átomos

heteronucleares, isto não é verdade. Certos átomos são particularmente ávidos por

elétrons (têm alta eletronegatividade) e, quando envolvidos numa ligação, tendem

a tirar o par de elétrons envolvido na ligação química. O átomo mais ávido por

elétron é o flúor; em seguida temo-se o O, N e Cl. Em uma primeira aproximação, a

eletronegatividade diminui ao logo da tabela periódica da direita para a esquerda, e

descendo, dentro de uma mesma família. À medida que aumenta a diferença entre

a avidez por elétrons de dois átomos numa ligação heteronuclear, a nuvem OM do

par de ligações se desloca para o átomo mais eletronegativo e o caráter da ligação

se distancia cada vez mais de uma covalência pura. No caso extremo de um

compartilhamento pequeno ou de um não-compartilhamento dos elétrons entre os

dois átomos, temos uma ligação iônica, isto é, um sistema formado de um íon

positivo e um íon negativo, mantidos juntos por forças eletrostáticas.

Entre estes extremos, o compartilhamento igual e não o compartilhamento,

pode-se descrever as ligações como sendo parcialmente iônicas ou parcialmente

covalentes; um meio particularmente adequado para descrever quantitativamente

estes sistemas é a propriedade molecular mensurável, chamada momento de

dipolo elétrico.

O momento de dipolo elétrico pode ser ilustrado considerando inicialmente

uma molécula que não o possua, por exemplo, o H2. Num átomo de hidrogênio

isolado, o elétron no seu estado fundamental está distribuído numa esfera

envolvendo o núcleo, como mostra a Figura 2.1. O centro da carga positiva é o

centro do núcleo e, semelhantemente, o centro da carga negativa (a posição média

do elétron) é o centro do núcleo. Isto pode ser considerado independentemente do

orbital que descreve o elétron ter o formato s, p ou d. Neste caso, os centros das

cargas positivas e negativas no átomo coincidem.

34

Figura 2.1: Orbital de cada átomo de hidrogênio (A) e o orbital molecular da molécula de H2. (B)

À medida que dois átomos de H se aproximam, a carga positiva do

sistema está no centro da distância internuclear, coincidindo com o centro da carga

negativa, já que o par eletrônico está igualmente distribuído. Uma molécula deste

tipo não tem momento de dipolo elétrico.

Para uma molécula heteronuclear, como HF, os átomos isolados

ainda

possuem os centros da carga positiva e da carga negativa coincidentes. À medida

que se aproximam o centro da carga positiva está num ponto entre eles, mais

próximo do átomo mais pesado e, até que os pares de ligação se recubram, o

centro da carga negativa está no mesmo ponto. Se, entretanto, quando ocorrer o

recobrimento, o átomo mais ávido por elétrons puxar o par de ligações na sua

direção, o centro de carga negativa se moverá junto e não mais coincidirá com o

centro da carga positiva. Moléculas cujos centros de carga positiva e negativa não

coincidem, possuem um momento de dipolo elétrico, freqüentemente representado

por um vetor com ponto de aplicação no centro de carga positiva e apontando para

o centro de carga negativa. O comprimento do vetor representa o valor do

momento de dipolo elétrico.

35

Figura 2.2: Os átomos de hidrogênio e flúor isolados (A) e o orbital molecular de HF (B).

Quantitativamente, o momento de dipolo elétrico é medido em termos de

uma unidade, chamada Debye (D), definida de tal modo que uma carga positiva e

uma carga negativa (cada uma equivalente à carga do elétron) separada por uma

distância de 1 Å, têm um momento de dipolo elétrico de 4,8 D. Em geral, o

momento de dipolo elétrico μ é dado por

(2.41)

sendo z o valor das cargas separadas pela distância .

O momento de dipolo elétrico de uma molécula pode ser medido colocan-

do-se a substância entre as placas de um capacitor. Na presença de um campo

elétrico entre as placas do capacitor, os pequenos dipolos tendem a se alinhar (na

medida em que seu movimento, determinado pela temperatura, permita) com as

extremidades positivas apontando para a placa negativa e as extremidades

negativas apontando para a placa positiva. Esta orientação resulta numa

diminuição da intensidade do campo elétrico entre as placas e num aumento da

capacitância do capacitor. As capacitâncias de um capacitor, cujas placas estejam

separadas pelo vácuo e de um capacitor, cujas placas estejam separadas por

uma substância S , estão relacionadas por um fator chamado constante

dielétrica da substância S.

36

(2.42)

Medidas destas capacitâncias e, conseqüentemente, da constante

dielétrica, permitem calcular o momento de dipolo elétrico.39,40

Pauling41 sugeriu que os momentos de dipolos elétricos medidos fossem

usados para avaliar a percentagem de caráter de uma ligação. Consideremos a

molécula HF; a sua distância internuclear medida é 0,9171 Å. Se ela fosse

completamente iônica, isto é, se ela consistisse em dois íons vizinhos H+ e F-

distintos, seu momento de dipolo elétrico seria de 4,4 D (0,9171 vezes 4,8). O seu

momento de dipolo elétrico medido é 1,91 D, logo ela não é cem por cento iônica,

mas apenas 1,91/4,4 vezes cem, isto é, 43% iônica. Note que, de acordo com esta

definição, as moléculas HCl, HBr e HI têm caráter iônico decrescente e, portanto,

caráter covalente crescente.

Na molécula de água (Figura 2.3a), cada ligação tem seu momento de

dipolos elétrico próprio, em virtude da avidez do átomo de oxigênio por elétrons, e

estes momentos adicionam-se vetorialmente, fornecendo um momento de dipolo

elétrico resultante para a molécula, representado pelo vetor bissetriz do ângulo de

ligação H – O – H.

O fato da molécula de CO2 ter igual à zero, muito embora C e O tenham

eletronegatividade diferentes, indica que, de algum modo, os vetores que

representam os momentos de dipolos elétricos das ligações C – O anulam-se. Isto

só pode ser verdade se eles são iguais e opostos (Figura 2.3b). Portanto, a

molécula CO2 deve ser linear com o átomo de carbono no centro. Portanto, o

momento de dipolo está intrinsecamente ligado à geometria da molécula.

b) Resultante

a) Resultante O

H

C

c) Resultante

37

S

Figura 2.3: Adição dos vetores momentos de dipolos elétricos para. a) H2O; b) CO2; c) SO2.

2.2.2 – Orbitais de Fronteira

A estrutura eletrônica de uma molécula pode ser estudada através da

utilização do modelo de combinação linear de orbitais (“Linear Combination of

Atomic Orbitals” – LCAO), o qual parte do princípio que os orbitais eletrônicos de

uma dada molécula são combinações lineares dos orbitais atômicos que circulam

cada um dos núcleos da molécula e, além disso, que esses orbitais devem possuir

quantidades de energia próximas para que possam interagir de maneira

significativa.42

Por exemplo, assume-se um modelo no qual dois orbitais atômicos 1s

sobrepõem-se de duas maneiras extremas para formar dois orbitais moleculares.

Uma das maneiras pelas quais os orbitais atômicos interagem é construtivamente e

resultante da soma das energias desses orbitais. No local em que há sobreposição

dos orbitais, ocorre o aumento de intensidade da carga negativa, aumentando

também a atração entre os elétrons e o núcleo dos átomos envolvidos na ligação,

resultando na diminuição da energia potencial nesse local. Dessa forma, os

elétrons dos orbitais moleculares, envolvidos na formação da ligação química,

estão em uma região de energia potencial menor que aquela dos orbitais atômicos

originais, sendo necessário acrescentar energia para fazê-los retornar aos orbitais

1s dos átomos separados. Esse fenômeno é responsável por manter os átomos

unidos e, por isso, esses orbitais são chamados orbitais ligantes. Nesse exemplo, o

orbital molecular formado é simétrico ao eixo da ligação e recebe a denominação

sigma, , e o símbolo é usado para descrever o orbital ligante formado nesse

caso particular.

A segunda maneira pela qual dois orbitais interagem é na qual leva a uma

diminuição da intensidade da carga negativa, diminuindo, também, a atração entre

os núcleos atômicos e os elétrons envolvidos na ligação química, aumentando a

energia potencial local. Como os elétrons são mais estáveis nos orbitais atômicos

1s dos átomos separados, sua presença, nesse tipo de orbital, desestabiliza a

ligação entre os átomos, sendo, por isso, chamado de orbital antiligante. Como o

orbital formado é igualmente simétrico ao eixo da ligação, sua denominação é ,

onde o * simboliza o orbital anti-ligante.

38

Figura 2.4: Diagrama ilustrativo da formação dos orbitais moleculares e , a partir da interação dos orbitais

atômicos 1s, da molécula H2.

No diagrama da Figura 2.4, são mostrados os orbitais moleculares ligantes

e antiligantes, da molécula de H2, formados a partir da interação de dois orbitais

atômicos 1s.

Os orbitais de um sólido estão fortemente sob influência uns dos outros e

também das moléculas adjacentes, de forma que os níveis de energia não são

observados para cada um, isoladamente, mas sim, sob a forma conjunta de

bandas de energia. Tais bandas são distintas e dependem das distâncias entre os

átomos envolvidos e da sua natureza química. Conseqüentemente, a banda

constituída dos níveis mais baixos de energia é denominada banda de valência,

enquanto que aquela contendo os níveis mais altos de energia é a de condução.

Na banda de valência, o nível eletrônico mais energético

ocupado é chamado de HOMO (Orbital Molecular mais Alto Ocupado) e, na banda

de condução, o nível eletrônico menos energético desocupada é chamado LUMO

(Orbital Molecular mais Baixo Desocupado). O valor energético que existe entre

esses níveis, chamados “gap” ou lacuna, define a banda proibida e indica a

natureza do material (Figura 2.5).

39

Figura 2.5: Representação esquemática da natureza dos materiais em função do gap energético.

Quando o tamanho do gap (ou lacuna) é superior a 4 eV, o sólido é

considerado um isolante, menor que 4 eV é considerado semicondutor e, quando

existe a sobreposição das duas bandas, isto é, não havendo clara distinção entre a

banda de valência e a banda de condução, tem-se um sólido condutor, como

mostra a Figura 2.6.

Para os semicondutores orgânicos (polímeros) a faixa de energia do gap é

de 1,4 a 3,3 eV, que corresponde aos comprimentos de onda da luz emitida entre

890 a 370 nm. Assim a cor da luz emitida por estruturas moleculares emissoras de

luz visível pode ser controlada pela energia do gap.

(A) (B) (C)

Figura 2.6: Gap > 4eV (a), sobreposição das bandas (b) e gap < 4eV (c)

Fica claro que as energias de HOMO e LUMO são descritores muito

eficientes na descrição das propriedades eletrônicas de um material. Estes orbitais

têm também papel fundamental na explicação da reatividade dos compostos e na

determinação das lacunas das bandas eletrônicas nos materiais. Estes orbitais

também são responsáveis pela formação de muitos complexos de transferência de

carga. De acordo com a teoria dos orbitais de fronteira a formação dos estados de

transições em reações se deve a interação entre os orbitais de fronteira HOMO e

LUMO das espécies reagentes. Portanto o tratamento diferenciado para estes

40

orbitais moleculares é baseado em princípios gerais que governam a natureza das

reações químicas.

A energia de HOMO é diretamente relacionada ao Potencial de Ionização,

e caracteriza a suscetibilidade da molécula ao ataque de eletrófilos. A energia de

LUMO é relacionada à afinidade eletrônica, e caracteriza a suscetibilidade ao

ataque por nucleófilos. A energia de HOMO e LUMO são importantes no caso de

reações radicalares. O conceito de “dureza” e “moleza” para nucleófilos e eletrófilos

também está diretamente ligado à energia relativa de HOMO/LUMO. Nucleófilos

duros têm a energia para HOMO baixa, e nucleófilos moles têm a energia para

LUMO alta. Eletrófilos duros têm alta energia para LUMO, e eletrófilos moles têm

baixa energia para LUMO.

A lacuna entre HOMO e LUMO é um importante índice de estabilidade

química. Uma grande diferença entre o HOMO e LUMO significa que a molécula

tem alta estabilidade, ou baixa reatividade em reações químicas. A diferença entre

HOMO e LUMO também é usada para aproximar a energia da primeira excitação

eletrônica da molécula. Porém esta idéia não leva em conta que um novo estado

eletrônico é formado no momento da excitação. E pode levar a resultados

conceitualmente equivocados.

O conceito de dureza de ativação também é derivado da diferença de

energia entre HOMO e LUMO.43 A dureza de ativação distingue a reatividade da

molécula em diferentes sítios de reação, e portanto é útil na previsão do efeito da

orientação dos reagentes.

A definição qualitativa da dureza é relacionada à polarizabilidade, já que

geralmente a diminuição na diferença de energia entre HOMO e LUMO facilita a

polarização da molécula submetida a um campo eletromagnético orientado. As

densidades eletrônicas nos orbitais de fronteira sobre os átomos são uma maneira

de caracterização detalhada das possíveis interações entre doadores e receptores

de elétrons. De acordo com a teoria dos orbitais de fronteira para a reatividade, a

maioria das reações químicas acontece na posição em que HOMO e LUMO dos

respectivos reagentes podem ter a maior sobreposição. No caso de uma molécula

doadora de elétrons, a densidade de HOMO é crítica para a transferência de carga.

O descritor utilizado para este caráter da molécula no átomo “a” , , é definido

por:

41

(2.43)

Figura 2.7: Ilustração dos orbitais moleculares HOMO (A) e LUMO (B) e a sobreposição (C) para

a molécula BF3.

sendo e n os coeficientes das “n” orbitais atômicos da camada de valência

do átomo “a” no HOMO. Analogamente para um receptor de elétrons, a densidade

em LUMO é importante. Para o orbital LUMO o descritor usado é definido por:

(2.44)

sendo e n os coeficientes das n orbitais atômicas da camada de valência do

átomo “a” no orbital LUMO.

Os mapas dos orbitais moleculares são muito úteis para fornecer

informações sobre os mesmos. O mais importante e mais popular é o mapa do

orbital LUMO. Através deste mapa é traçada uma superfície, onde se tem o valor

42

absoluto do LUMO. O mapa mostra as regiões de uma molécula onde a população

de elétrons é menor. Já o mapa do HOMO mostra as regiões onde a população de

elétrons é maior. A Figura 2.7 ilustra os orbitais HOMO – LUMO para a molécula de

BF3.

2.2.3 – Calor de formação

A temperatura é uma propriedade ou grandeza que independe da massa

ou extensão do sistema e esta relacionada com o grau de agitação (energia

cinética) molecular.60

(2.45)

O calor e o trabalho, por sua vez relacionam-se pelo primeiro princípio da

termodinâmica: calor é a quantidade de energia que se transmite de um corpo para

outro, devido unicamente à diferença de temperatura entre ambos e é dado por:

(2.46)

sendo C a capacidade calorífica do sistema.

Algebricamente considera-se o calor trocado como sendo positivo quando

o sistema recebe energia do meio externo e negativo quando o sistema perde

energia para o meio externo.

Um processo no qual o sistema recebe calor do meio externo chama-se

Endotérmico e aquele em que o sistema perde calor para o meio externo chama-se

Exotérmico.

Trabalho é a energia trocada como conseqüência de uma força que atua

entre o sistema e o meio externo ou energia que se transmite por qualquer outro

modo que não seja a diferença de temperatura entre eles.

A maior parte das transformações termodinâmicas são aquelas as quais o

trabalho provém de uma variação de volume do sistema ao qual denominamos de

termelásticas, sendo que as demais formas de trabalho (elétrico, magnético,etc...)

não são consideradas em tais transformações.

43

Quando um gás expande num cilindro, à temperatura constante, contra

uma pressão (P) que se opõe, a energia trocada com o meio externo produz o

trabalho de expansão, que pode ser calculado através da equação:

(2.47)

Como P = F/A, temos que F = P.A e a Equação 2.47 pode ser escrita

como:

(2.48)

Para que seja realizado trabalho é necessário ocorrer variação de volume,

como no exemplo da Figura 2.28, na qual o gás contido no interior do pistão sofre

um deslocamento (d) em relação à posição inicial, contra uma pressão oposta

externa (atmosférica), ocorrendo uma variação de volume ocupado pelo referido

gás.

Figura 2.8:60 Cilindro dotado com um êmbolo móvel

Quando um gás, contido no interior de um cilindro dotado com um êmbolo

móvel, como na Figura2.8, há troca de calor com o meio externo, a energia se

distribuirá da seguinte forma: uma parcela irá provocar aumento na temperatura do

gás ( ), fazendo variar o grau de agitação das moléculas ou Energia Interna (

), a qual corresponde ao somatório de todas as formas de energia associadas ao

movimento das moléculas; outra parcela irá provocar a expansão do gás, ou seja,

irá realizar um Trabalho ( W ).

44

A relação entre essas duas grandezas conduz à 1a Lei ou 1o Princípio da

Termodinâmica e é dada pela equação:

(2.49)

Como a variação da Energia Interna corresponde ao calor trocado, à

mesma pode ser calculada através da equação:

(2.50)

sendo C a capacidade calorífica da substância.

Figura 2.9:60 Classificação das reações químicas em relação à entalpia.

A Termoquímica tem por objetivo o estudo das variações de energia que

acompanham as reações químicas. Esta energia, em geral, manifesta-se sob a

forma de calor, embora a luz (energia eletromagnética) também esteja presente em

alguns processos (combustão e fotossíntese).60 A energia envolvida nas reações

químicas é decorrente de um rearranjo das ligações químicas quando reagentes

transformam-se em produtos. Esta energia “armazenada”, principalmente sob

forma de ligações, denomina-se de ENTALPIA (do grego, enthalpein = calor) e

simboliza-se por H (Heat = calor). Numa reação química, portanto, ocorre uma

variação de entalpia ( ), sendo as reações classificadas em dois tipos, segundo

o calor liberado ou absorvido (Figura 2.9).

A variação da entalpia de uma reação química pode ser medida pelo calor

liberado ou absorvido durante o processo. Esta medida experimental (calorimétrica)

45

é feita utilizando-se Calorímetros ou Bombas Calorimétricas (para reações de

combustão), e emprega-se a equação:

(2.51)

O número de reações cuja entalpia (calor de reação) pode ser

determinada diretamente em bombas calorimétricas (Figura 2.10) e calorímetros é

muito reduzido. A maior parte das reações tem a sua entalpia calculada, valendo-

se das leis da Termoquímica, principalmente a LEI DE HESS.

Figura 2.10:61A bomba calorimétrica é um equipamento próprio para determinar a energia (calor) das reações

de combustão e algumas reações de formação.

Uma equação termoquímica deve conter: (a) a equação química

devidamente ajustada; (b) os estados físicos de cada componente, sendo esta

referência importante porque as mudanças de estado físico envolvem variações

de energia (entalpia): (c) os estados alotrópicos, quando for o caso: (d) as

condições de medida da variação de entalpia pois a variação de entalpia ( )

depende da temperatura e da pressão em que foi feita a medida. A maior parte das

variações de entalpia que constam em tabelas foram medidas nas chamadas

Condições Padrão ou Standard (1 atm e 250C). A indicação de que uma entalpia foi

medida em Condições Padrão é feita através do expoente “0” junto ao valor da

mesma.

46

A seguir é mostrado um exemplo de uma equação termoquímica. Neste

caso a transformação da grafite em diamante:

Cgrafite(s) + O2(g) --> CO2(g)     1 = - 394 kJ  

CO2(g) --> Cdiamante(s) + O2(g)  2 = + 396 kJ

_____________________________________________________

Cgrafite(s) --> Cdiamante(s)  total = 1 + 2 = 2 kJ.

Entalpia de Formação ( ) corresponde ao calor envolvido na formação

de 1,0 mol de substância a partir de seus elementos formadores (substâncias

simples).

Figura 2.11:60 Esquema da Lei de Hess.

Algumas entalpias de formação podem ser medidas diretamente em

bombas calorimétricas enquanto outras somente são possíveis através de

determinações algébricas aplicando-se a Lei de Hess.

A Lei de Hess, também denominada Lei da soma dos calores de reação,

permite prever a Entalpia mesmo daquelas reações de difícil execução

experimental. Segundo Hess a Entalpia de uma reação não depende do modo

como à mesma é executada, mas somente do estado inicial (reagentes) e do

estado final (produtos) que pode ser esquematizado como na Figura 2.11:

Pela Lei de Hess temos:

(2.52)

47

A Lei de Hess pode ser considerada como a Lei da Conservação da

Energia aplicada às reações químicas.60

A Entalpia é a grandeza termodinâmica relacionada com o calor envolvido

nas reações químicas. A Entropia é a grandeza termodinâmica relacionada com o

Grau de Desordem Molecular dos sistemas. Não há processo termodinâmico (físico

ou químico) que ocorra sem variação de Entalpia e de Entropia.

A Entropia Padrão corresponde à variação de Entropia de uma substância

pura desde o zero absoluto (Entropia nula) até a temperatura de 250C (298 K).

Figura 2.12: Diagrama de fase do carbono

J. Willard Gibbs, propôs uma grandeza termodinâmica (Energia de Gibbs

), também denominada Energia Livre, que, combinando a variação de Entalpia,

de Entropia e a temperatura absoluta na qual ocorre o processo, permite prever a

espontaneidade ou não do referido processo através da equação:

(2.53)

A Energia de Gibbs sinaliza o tipo de processo que deve ocorrer em uma

reação química. Para um processo espontâneo, temos <0, para um processo

induzido, >0 e quando =0 significa que o sistema encontra-se em estado de

equilíbrio.

48

Figura 2.13:62 Energia Livre X Pressão

Figura 2.14:62 Energia livre X Temperatura

O calor de formação, através da Energia de Gibbs é responsável pelas

principais características de um composto ou material.62 Na análise do diagrama de

fase do carbono (Figura 2.12) mostra que a uma temperatura constante, a fase

sólida diamante do carbono é estável a alta temperatura, porém é a fase grafite

que é estável a baixa pressão, como mostra a Figura 2.13. Sabendo que o estado

estável é aquele que tem a energia livre mínima e que a variação da energia livre

com a pressão é o volume molar da fase, o diagrama indica que o volume molar do

diamante é menor que o volume molar da grafite, quer dizer o diamante é mais

denso, mais compacto que a grafite (Figura 2.15).

49

Figura 2.15: (A) estrutura da grafite e (B) estrutura do diamante.

A uma pressão constante, o diamante é mais estável a baixa temperatura,

enquanto é a grafite que é estável a alta temperatura, como mostra a Figura 2.14.

Como o estado estável é aquele de energia livre mínimo e que a variação da

energia livre com a temperatura é a entropia molar da fase, o diagrama indica que

a entropia do diamante é menor que a entropia da grafite, quer dizer que o

diamante é mais ordenado que a grafite (Figura 2.15).

O calor de formação determinado pelo método semiempírico MNDO/d, que

é o método que foi utilizado neste trabalho, é obtido pela equação:63

(2.54)

sendo e a energia de repulsão eletrônica e nuclear, respectivamente, e

, a energia eletrônica e o calor de formação experimental para o átomo A

isoladamente.

2.2.4 – Potencial eletrostático

O mapa de potencial eletrostático é muito importante, pois fornece a

densidade eletrônica em cada ponto da molécula. O potencial eletrostático de uma

molécula pode ser definido por:

(2.55)

50

(A) (B)

sendo o primeiro somatório a energia de sobreposição do núcleo A, Z é o número

atômico e a distância entre o núcleo de A e a carga p. O segundo par de

somatórios são as somas das sobreposições das funções de base . P é a matriz

de densidade e as integrais refletem as interações Coulombianas entre os elétrons

e a carga no ponto, onde rp é a distância entre o elétron e a carga.

Figura 2.16: Mapa do potencial eletrostático do benzeno. O azul indica carga

negativa e o vermelho carga positiva.44

No mapa que mostra a superfície de um potencial eletrostático o potencial

negativo indica a região da molécula que está sujeita a ataques eletrofílicos. As

superfícies de potencial eletrostático negativo também são utilizadas para esboçar

a posição dos elétrons de energia mais elevada. O mapa de potencial eletrostático

também fornece a densidade eletrônica da molécula. Por tanto, o mapa fornece o

“tamanho” total da molécula, como mostra o exemplo da Figura 2.16. Nesta figura

quanto mais próxima a cor esta do vermelho mais negativo é o potencial

eletrostático da molécula e ao contrário, quanto mais próximo da cor azul, mais

positivo é o potencial. As cores intermediárias representam valores intermediários.

Também mostra que o sistema π é vermelho, consistente com a superfície

potencial eletrostática negativa.

Os mapas do potencial eletrostático têm muitas utilidades, entre elas,

servem para caracterizar rapidamente várias regiões em uma molécula como rica

ou pobre em elétrons,

2.2.5 Volume molecular

51

O volume molecular determina várias características das moléculas,

principalmente as que são de interesse na medicina, tais como a

absorção/adsorção ou processos de tranferência de carga farmaco e receptor.45

Conseqüentemente, o volume molecular é muito utilizado em estudos de QSAR .

O volume molecular também tem papel importante na realização e

interpretração de vários testes clínicos. Um deles é o teste da velocidade de

sedimentação das hemácias (VHS).66 Este teste foi idealizado para auxiliar no

diagnóstico da gravidez, sendo posteriormente empregado como indicador de

doenças inflamatórias ou infecciosas e até mesmo da condição geral de saúde ou

doença.66 Neste teste a velocidade com que as hemácias sedimeam no tubo

depende do volume e da forma dos eritrócitos e das proteínas do plasma.66

Um dos métodos utilizado para calcular o volume molecular é o método de

cálculo por quadrantes e é baseado no métodos de Higo e Go, 65 onde a molécula

é colocada em uma caixa retangular, sendo os lados desta caixa escolhidos como

múltiplos de 2Ǻ. Cada lado é dividido de 2 em 2 Ǻ, formando então cubos, isso é

chamado nível 1. Cada cubo é analisado e classificado em três categorias: interno,

externo ou superficial à molécula. Se o cubo é interno ou externo ele é descartado.

Se ele é superficial, então é novamente dividido em oito cubos de 1Ǻ, o que é

chamado de nível 2. Este processo pode ser repetido até o nível 8, com cubos de

0,015625Ǻ. Desta forma, pode-se ter uma relação linear entre a área da esfera que

está contida no cubo e o lado do cubo:

(2.56)

sendo um fator de proporcionalidade que é determinado por:

(2.57)

sendo r o raio da esfera, Nc o número de cubos que interceptam a superfície

molecular e l o lado do cubo. Assim, pode-se calcular a superfície de van der

Waals. Já o volume de van der Waals é determinado pelo somatório dos cubos

contidos na molécula.

52

3

O DENDRÍMERO DE POLI(AMIDO AMINA) (PAMAM)

3.1 – Topologia de dendrímeros

53

Recentemente uma nova classe estrutural de macromoléculas tem atraído

à atenção da comunidade cientifica, os dendrímeros. Estes polímeros são

caracterizados por estruturas quase esféricas, tamanhos nanométricos, grande

número de subgrupos funcionais reativos e cavidades que conferem ao polímero

elevada área superficial. Esta combinação única de propriedades torna os

dendrímeros os sistemas perfeitos para aplicações em diferentes áreas da química

e medicina.

Embora os dendrímeros, também conhecidos como macromoléculas,

tenham sido descobertos em 1978, durante alguns anos foram olhados como

sendo apenas curiosidades químicas. A partir da década de 90 observa-se um

crescimento significativo nesta área com relação ao número de patentes relativas

às aplicações de dendrímeros em biotecnologia.

Figura 3.1 – Esquematização do crescimento em gerações num dendrímero PAMAM

O termo dendrímero deriva do grego, dendron = arvore e mero = parte,

que descreve bem o que são estas moléculas. Estas moléculas crescem a partir de

um núcleo (designado Geração 0) e cada conjunto de unidades monoméricas

adicionadas é designado por Geração (Figura 3.1). Esta adição torna cada geração

mais ramificada que a anterior até se obter uma estrutura globular e densa que

não pode crescer mais devido a efeitos estéricos entre os diferentes ramos.

Na química sintética os dendrímeros são considerados “intermediários”

entre moléculas comuns ou convencionais e a tradicional química de polímeros. A

54

“química dendrimérica” (cascatas, arboróis e dendrímeros) está expandindo esses

limites sintéticos.

Os dendrímeros são altamente ramificados. Essas macromoléculas

tridimensionais possuem pontos de ramificação em cada unidade monomérica que

é capaz de conduzir a estruturas com definidos números de geração e grupos

funcionais terminais.

Figura 3.2: Representação esquemática do crescimento de um dendrímero PAMAM através da rota de síntese

divergente.

Os dendrímeros são preparados através de uma rota de síntese

tridimensional repetitiva. Como resultado desse procedimento controlado, os

dendrímeros têm sido comparados a polímeros esféricos monodispersos.47 Os

polímeros com estrutura dendrimérico diferem dos polímeros clássicos em quatro

áreas distintas: (i) simetria; (ii) grau de ramificação; (iii) funcionalização terminal e

(iv) monodispersão.

As sínteses dendriméricas envolvem um núcleo a partir do qual gerações

ramificadas estendem-se concentricamente. Esta ramificação dá-se através de

uma progressão geométrica bem definida (Figura 3.2).

A arquitetura molecular pode adquirir o espaço tridimensional, com uma

ramificação radial regular e, conduzir a uma molécula altamente simétrica.

A síntese 3D envolve o uso de núcleos poli funcionais que acumulam

unidades monoméricas repetitivas de modo radial e exponencial capaz de construir

55

“braço-sobre-braço” até que uma topologia semelhante a uma árvore seja

estabelecida. Veja Figura 3.4.

Os grupos terminais na síntese dendrítica são usados no próximo estágio

do “crescimento” molecular e, para cada nova geração que é formada o número de

grupos terminais irá, pelo menos, dobrar. Através de um planejamento sintético

cuidadoso, a natureza e o número de grupos terminais podem ser controlados

precisamente. Esta característica é importante na arquitetura dendrimérica, já que

muitas aplicações potenciais podem e utilizam esta propriedade.

Figura 3.3: Exemplos de alguns núcleos dendriméricos

A arquitetura dendrimérica é composta de três importantes elementos.

Primeiramente, existe um núcleo central que, no caso mais simples, determina a

extensão inicial, a orientação e a ramificação. Por exemplo, o núcleo rígido de

adamantano (1, Figura 3.3) usado por Newkome.47 Mais recentemente,

entretanto, a importância do núcleo tem sido ressaltada. Fréchet47 e Inoue49

propuseram, independentemente, o uso de porfirina como núcleo central (2, Figura

3.3), enquanto que Diederich50 propôs o uso de ciclofanos, (3, Figura 3.3).

Com o “crescimento” para fora do núcleo, unidades repetitivas são

adicionadas sucessivamente. A formação de camadas interiores dá-se pela adição

dessas unidades repetitivas. No primeiro estágio, a adição de uma unidade de

repetição ao núcleo central, produz a primeira camada interior, ou geração, neste

56

caso G1. O ciclo sucessivo de reações (adição de mais unidades de repetição) cria

gerações maiores de dendrímeros. No final do ciclo, uma nova camada externa é

formada, que contém os grupos funcionais terminais. O número de grupos

terminais e a massa molar relativa (RMM) podem ser facilmente obtidos através

das equações:

(3.1)

(3.2)

sendo, n = número de grupos terminais, Nb = multiplicidade das ramificações

(pontos de ramificação da unidade de repetição), Nc = multiplicidade do núcleo

central (pontos de ramificação da unidade central), G = geração e Mc, Mb, Mt =

representam a Massa Molar Relativa do núcleo, da unidade de repetição e dos

grupos terminais respectivamente.

3.1.1 – Síntese de dendrímeros

Os dendrímeros são sintetizados através de etapas bem controladas

denominadas de métodos divergentes e, convergentes.

O princípio do método divergente é o crescimento de um núcleo central,

onde as ramificações são justapostas através de etapas sintéticas repetitivas.51,52

Este método é caracterizado por reações que ocorrem por um aumento do número

de sítios reativos na molécula como se o dendrímero estivesse sendo construído

“de dentro para fora”. O procedimento geral é mostrado na Figura 3.2.

As camadas externas passam a constituir sucessivamente a estrutura

interna do dendrímero. Uma característica do método divergente é que há um

rápido aumento do número de grupos terminais reativos. Não obstante, quanto

mais a molécula cresce, maiores imperfeições e falhas ocorrem. Isto se deve ao

fato de existirem reações incompletas dos grupos terminais na periferia do

dendrímero.

Tomalia sintetizou acidentalmente pela primeira vez os dendrímeros de

poliam ido amina53 quando sintetizava, através de um processo padrão, polímeros

de cadeias lineares chamados poliamidoaminas. Ao adicionar metanol aos

57

reagentes iniciais com o objetivo de facilitar a agitação da mistura observou que o

metanol alterava a reação química de obtenção do polímero linear. Ao invés disso

obteve uma poliamidamina (PAMAM) com estrutura dendrítica.

Normalmente os dois monômeros utilizados formam cadeias longas,

ligando-se entre eles na razão de um para um, mas a molécula formada naquele

dia, não era linear e consistia na ligação de dois grupos acrilato de metilo a um de

etileno diamina. Neste caso o metanol afetou a reação. Aparentemente facilitou a

remoção do hidrogênio dos átomos de azoto no etileno diamina e permitiu ao

acrilato de metilo se ligar aos átomos de azoto.

Tomalia imaginou então um sistema molecular que crescia em grandes

estruturas simétricas construídas em etapas. Ou seja, o dendrímero era construído

por um núcleo iniciador, e que se juntava a uma segunda molécula linear,

produzindo assim os ramos do dendrímero.

A partir desta primeira síntese acidental, Tomalia ajustou as propriedades

de síntese, usando duas operações repetidamente, utilizando como núcleo

iniciador uma molécula de amônia. A esta molécula de amônia foi adicionado

metanol suficiente para facilitar a substituição do hidrogênio da amônia pelo acrilato

de metilo, e assim criar um dendrímero de geração zero. Em seguida adicionou-se

o segundo monômero, o etileno diamina, que ataca livremente as três moléculas do

monômero adicionado anteriormente, obtendo-se assim o dendrímero de primeira

geração. Depois os dois átomos de hidrogênio do azoto do etileno diamina são

substituídos novamente pelo acrilato de metilo, obtendo-se um dendrímero de

segunda geração. E assim sucessivamente até se obter o dendrímero pretendido

ou, de geração pretendida (Figura 3.4).

58

Figura 3.4: Rota de síntese divergente do dendrímero PAMAM de Tomalia

A síntese divergente de dendrímeros pode ser resumida através dos

seguintes passos:

a) A escolha de um núcleo iniciador que deve possuir vários centros reativos, como

por exemplo, a amônia que possui três centros reativos.

b) Escolha de uma seqüência de reações em que aos centros reativos do núcleo

iniciador seja adicionado um monômero que possua mais do que um centro reativo.

c) Usando uma estratégia de proteção e desproteção de grupos reativos, para que

o monômero adicionado só reaja uma vez e com o núcleo iniciador, se for à

primeira adição de monômero, ou com o dendrímero formado pelas sucessivas

adições de monômero. Podem ser utilizados vários monômeros, mas o mais usual

é a utilização de apenas um ou dois monômeros diferentes.

Mas o processo divergente tem alguns problemas, porque os dendrímeros

sintetizados por este método não tem todos os mesmo peso molecular, ou seja,

existe uma polidispersividade, isto devido a reações incompletas e problemas de

purificação que dão resultados a imperfeições na cadeia macromolecular. Na

tentativa de resolver os problemas resultantes da síntese divergente de

dendrímeros Fréchet idealizou a rota de síntese convergente.54

59

Figura 3.5: Representação esquemática de uma síntese dendrimérica convergente.

A síntese através do método convergente começa pelo que se tornará a

“periferia” do dendrímero.54,55 O princípio básico do método envolve a construção

de pequenos fragmentos que são chamados dendrons. Esses dendrons são então,

unidos para a constituição do núcleo central e, conseqüentemente, para a

formação final do dendrímero como ilustrado na Figura 3.5.

O material de partida contém um grupo reativo (RG1) de um lado da

subunidade estrutural e um grupo terminal (TG) na outra extremidade, que

constituirá, na geração final, a camada externa do dendrímero. Esse fragmento

pode, então, reagir com grupos reativos (RG2) da unidade de repetição, que

também contém sítios protegidos (PG). Depois da conversão para um novo grupo

reativo (RG2) a síntese pode ser continuada por reação com uma segunda unidade

de repetição. A repetição do ciclo de desproteção/reação leva à construção de

grandes dendrons. A reação dos dendrons desprotegidos com grupos reativos

(RG) de um núcleo terminal constitui o dendrímero final.

Fréchet mostrou56 como a aproximação convergente pode ser utilizada no

controle das funcionalidades de superfície e interna. Pela reação de uma parte do

monômero e com uma estratégia de proteção/desproteção de grupos funcionais,

60

uma unidade ramificada metade-reagida pode ser gerada. Uma outra parte pode

ser unida à outra parte ou ao próximo monômero, em uma etapa posterior, dando

uma unidade ramificada com funcionalidade diferente da etapa anterior (Figura

3.6).

Figura 3.6: A incorporação seletiva das unidades na estrutura dendrítica.

Esta técnica foi utilizada com sucesso na síntese de funcionalização da

superfície e do interior de dendrímeros.

Na Figura 3.8 é ilustrado a da estrutura de cada ramo do dendrímero de

poly(amido amina) e a correlação matemática, e mostra o aumento progressivo na

ramificação que ocorre em cada geração. Na Figura 3.9 é mostrada a diferença

entre dendrímeros sintetizado usando NH3 e Etileno diamina (EDA) como núcleos

iniciadores. O que usa NH3 como iniciador, resulta em três ramos na geração 0, já

o que usa o EDA como iniciador gera quatro ramos na mesma geração. A

combinação das Figuras 3.9a e 3.9b podem ser úteis para a concepção da

estrutura molecular do PAMAM.

61

Figura 3.7: Núcleos e ramificações de monômeros.

62

Figura 3.8: Estrutura e correlação matemática para o dendrímero poly(amidoamine)

Figura 3.9: Esquema de um dendrímero com três (3.27a) e quatro (3.27b) ramos a partir do núcleo.

63

A Tabela 3.1 mostra a evolução no diâmetro molecular e grupos de

superfície em função do número de gerações do dendrímero PAMAM.

Tabela 3.1: Propriedades do PAMAM por gerações.

Geração Peso Molecular Diâmetro medido (Å) Grupos de superfície

0 517 15 4 1 1,430 22 8 2 3,256 29 16 3 6,909 36 32 4 14,215 45 64 5 28,826 54 128 6 58,048 67 256 7 116,493 81 512 8 233,383  97  1024 9 467,162  114  2048

10 934,720  135  4096

Com os dados da Tabela 3.1 é possível verificar que a relação entre a

geração do PAMAM e o seu número de grupos funcionais é exponencial, como

mostra a Figura 3.10 e como foi previsto na correlação matemática mostrada na

Figura 3.8.

Relação entre a geração e o número de Grupos de superfície

0

500

1000

1500

2000

2500

3000

3500

4000

4500

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11

Gerações

Gru

po

s d

e s

up

erf

ície

64

Figura 3.10: Relação entre a geração e o número de grupos funcionais do dendrímero PAMAM.

Também com dados obtidos da Tabela 3.1 verifica-se que a relação entre

a geração do PAMAM e o seu peso molecular, mostrada na Figura 3.11, também é

uma relação exponencial.

Relacao entre geração e peso molecular do PAMAM

0

100000

200000

300000

400000

500000

600000

700000

800000

900000

1000000

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11

Geração

Pes

o m

ole

cula

r em

Dal

ton

s

Figura 3.11: Relação entre a geração e o peso molecular do PAMAM.

Relacao entre geração e diâmetro do PAMAM

0

20

40

60

80

100

120

140

160

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11

Geração

Diâ

met

ro m

edid

o

Figura 3.12: Relação entre a geração e o diâmetro (em Ǻ) do PAMAM.

65

Já em relação ao diâmetro molecular isso não acontece. A relação

existente entre a geração do PAMAM e o seu respectivo diâmetro é praticamente

linear, sendo exatamente linear entre as gerações zero e quatro.

66

4

MATERIAIS E MÉTODOS

4.1 – Síntese e caracterização do dendrímero PAMAM

Neste trabalho, o dendrímero poli(amido amina) (PAMAM) foi sintetizado

pelo grupo de polímeros biomiméticos e bioativos da Unifei, utilizando via rota

divergente utilizando como precursor um monômero tipo AB2 resultante da

condensação de Michael entre o acrilato de metila e o ácido 4-amino-benzóico de

acordo com os trabalhos recentes deste grupo73. A reação de polimerização foi

efetuada a 160 ºC por 30h em atmosfera de argônio. Neste trabalho foram

sintetizados os dendrímeros PAMAM de geração 0 e 1. Os dendrímeros obtidos

foram purificados por diálise. Para controle do índice de polidispersão e peso

molecular, o dendrímero PAMAM foi purificado por cromatografia de permeação

em gel (GPC).

Figura 4.1: Espectrômetro UV/Vis Varian Serie 643 (A) e Biospectro SP-22 (B) utilizados para obtenção do

espectro UV/Vis.

67

Figura 4.2: Sintetização, via rota divergente, do PAMAM partindo do núcleo de EDA (a), formando o PAMAM

G0 (b) e finalmente o PAMAM G1 (c).

A espectroscopia UV/Vis (Varian 634) foi utilizada para investigação das

propriedades eletroóticas do polímero obtido. Na região espectral do ultravioleta-

visível (1500 a 7000 Å), a radiação promove a transição de elétrons do estado

fundamental para estados eletrônicos excitados. Ocorre absorção de radiação

quando a energia da mesma for igual à diferença de energia entre dois estados

eletrônicos. A espectroscopia de absorção no UV-visível compara a intensidade de

um feixe de luz transmitido através de uma amostra, com a intensidade incidente e

os dados experimentais são expressos em termos da intensidade absorvida em

função do comprimento de onda da radiação. Em muitas moléculas orgânicas e

sintéticas que apresentam ligações duplas envolvendo átomos de carbono,

nitrogênio e oxigênio, o arranjo eletrônico é tal que as diferenças de energia entre o

estado fundamental e os primeiros estados excitados corresponde à região do UV-

visível e, assim, elas podem ser estudadas pela espectroscopia de absorção

óptica.

68

A Figura 4.2 ilustra os espectrofotômetros utilizados na caracterização

UV/Vis do PAMAM obtido neste trabalho.

O dendrímero PAMAM também foi caracterizado por espectroscopia na

região do infravermelho com transformada de Fourier (FTIR) para identificação dos

grupos funcionais presentes na macromolécula e confirmação da estrutura

dendrítica do polímero. A Espectroscopia no Infravermelho por Transformada de

Fourier (FTIR) baseia-se nas freqüências fundamentais das ligações químicas

existentes em macromoléculas orgânicas e inorgânicas. Quando a radiação na

região espectral do infravermelho interage com moléculas contidas na amostra

produz um tipo de alteração no comportamento vibracional e rotacional da mesma.

Este tipo de alteração é devido às ligações químicas das moléculas possuírem

freqüências vibracionais específicas (“impressão digital”) dentro da região espectral

do infravermelho. Neste sentido, as vibrações moleculares são aproximadas pelo

modelo do Oscilador Harmônico Simples (OHS) e a freqüência fundamental da

ligação pode ser dada pela Lei de Hooke de acordo com a Equação (4.1):

, (4.1)

sendo v a freqüência de vibração fundamental, c é a constante da velocidade da

luz, k é a constante de força da ligação química é a massa reduzida do sistema.

69

Figura 4.3: Diagrama representativo do sistema ótico de um espectrofotômetro de infravermelho com

transformada de Fourier.

O sistema ótico utilizado para quantificar os espectros vibracionais de

moléculas é denominado por espectrofotômetro FTIR. Ele é baseado no

interferômetro de Michelson conforme ilustrado na Figura 4.3. O interferômetro

consiste em uma fonte de radiação na região espectral do infravermelho, divisor de

feixe, espelhos e fotodetectores. A luz proveniente da fonte de radiação, depois de

colimada por um espelho incide no divisor de feixes e é separada em dois feixes

que são novamente refletidos (um deles pelo espelho fixo e o outro pelo espelho

móvel) em direção ao divisor de feixes. Desta forma, quando estas duas partes se

recombinam ocorre um processo de interferência. O resultado desta interferência

dependerá da diferença entre os caminhos ópticos percorridos por cada feixe (que

é determinada pela distância dos espelhos móvel e fixo ao divisor de feixe). À

medida que o caminho óptico varia (devido ao movimento do espelho), a

intensidade da interferência também varia. Dessa forma, após a radiação passar

pelo sistema ótico é direcionada para a amostra e a luz transmitida pelo material é

focalizada sobre um detector, onde é convertida em um sinal digital. Um diagrama

70

da intensidade da radiação em função da diferença de caminho óptico (entre os

espelhos móvel e fixo) é chamado de interferograma. Finalmente, o espectro

infravermelho pode ser obtido a partir da transformada de Fourier do

interferograma.

4.2 – O método MNDO/d no cálculo das propriedades moleculares de um

sistema

O método MNDO/d foi desenvolvido por W. Thiel e A. A. Voityuk em 1992.

A grande vantagem deste método em relação aos demais métodos semiempíricos

é que no MNDO/d o orbital d foi adicionado ao conjunto convencional da base s-p.

Daí vem o d no MNDO/d. 62

Com a inclusão do orbital d o método MNDO/d passou a ser o método

mais exato do que os outros métodos semiempíricos mais utilizados.62

O método MNDO/d também tem uma grande vantagem, principalmente

em relação ao método PM3, que é a realização de cálculos Hamiltoniano também

para as interações nucleares.63

Tabela 4.1:63 Calor de formação experimental (exptl) e calculados pelos principais métodos semiempíricos.

O calor de formação é muito importante para estimar a afinidade por

prótons e principalmente para definir a energia necessária para as reações, e o

método MNDO/d é o que apresenta o menor erro, entre os principais métodos

semiempíricos, para o cálculo do calor de formação como pode ser visto na Tabela

4.1. 63

71

Erro médio nos ângulos de ligações (graus) para alguns elementos

2.25 2.28 2.74.32

7.166.2

14.78

9.8911.1

0

2

4

6

8

10

12

14

16

MNDO AM1 PM3

C N O

Figura 4.4: Erro médio nos ângulos de ligações

Erro médio nos comprimentos de ligações (Ǻ) para alguns elementos

0.053

0.031 0.0330.033 0.034 0.032

0.108

0.095

0.138

0.0740.068

0.053

0

0.02

0.04

0.06

0.08

0.1

0.12

0.14

0.16

MNDO AM1 PM3

H C N O

Figura 4.5: Erro médio nos comprimentos de ligações (Ǻ)

O MNDO/d também tem um ótimo desempenho no que diz respeito à

transferência de prótons e ponte de hidrogênio.63 Outra propriedade em que o

método MNDO/d mostrou ser mais eficiente é o cálculo do momento de dipolo

elétrico para moléculas isoladas. O método MNDO/d tem o menor erro para este

tipo de cálculo.

72

Erro médio no momento de dipolo

0.56

0.39

0.50.52

0.390.43

0.77

0.54 0.54

0.76

0.64

0.71

0

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

MNDO AM1 PM3

H C N O

Figura 4.6: Erros médios no momento de dipolo (Debye)

Embora em outras propriedades, como as mostradas nas Figuras 4.4, 4.5

e 4.6, o método MNDO/d não teve o melhor desempenho em relação à margem de

erro, a diferença entre o erro do MNDO/d e os demais métodos semiempíricos não

chega a ser significativo, principalmente levando-se em consideração que o

método MNDO/d é muito mais rápido do que os outros métodos analisados,

chegando a ser de 3 a 4 vezes mais rápido do que o DFT por exemplo.62 ;

Considerando todas as vantagens descritas aqui em relação ao método

MNDO/d, neste trabalho foram investigadas as propriedades do PAMAM G0 e G1,

utilizando o método MNDO/d visto que o mesmo obtém bons resultados no cálculo

do calor de formação. O calor de formação é uma propriedade fundamental no

nosso trabalho.58 É através do calor de formação que determinamos à geometria

da molécula e as reações químicas que ela participa.

Em uma comparação com os outros métodos, principalmente em relação

aos elementos H, C, O e N, que são os de interesse do nosso trabalho, as

vantagens que outros métodos apresentam numa aproximação maior com os

resultados experimentais, como mostram as Figuras 4.4, 4.5 e 4.6, não são

suficientes para eliminar a vantagem que o método MNDO/d tem em relação

rapidez na realização dos cálculos.

73

4.3 – Cálculos teóricos

Para análise dos orbitais de fronteira (HOMO-LUMO) bem como da

distribuição de cargas na molécula do dendrímero, simulações computacionais por

modelagem molecular foram realizadas nas duas primeiras gerações do PAMAM

(G0 e G1).

É sabido que dos orbitais moleculares os de fronteiras (HOMO e LUMO)

são de fundamental importância na interpretação das propriedades de um sistema.

O orbital HOMO, ( Highest Occupied Molecular Orbital) ou Orbital Molecular

Ocupado mais Alto é o último orbital que se encontra duplamente ocupado. Este

orbital indica onde se encontra o par de elétrons que pode ser removido mais

facilmente da molécula. Por sua vez o orbital LUMO (Lowest Unoccupied Molecular

Orbital) ou Orbital Molecular Vazio mais baixo, é o primeiro orbital que se encontra

vazio e indica o lugar onde a molécula poderia aceitar elétrons mais facilmente.

De forma geral a reatividade das moléculas é controlada pelos orbitais de

fronteira e pela densidade líquida de elétrons ao redor de cada átomo. As reações

controladas por orbitais de fronteira, são representadas pela densidade eletrônica

das camadas mais externas da molécula.

As energias do HOMO e LUMO são descritores muito utilizados sendo

demonstrado que estes orbitais têm um papel fundamental na reatividade dos

compostos em muitos tipos de reações químicas bem como na determinação das

lacunas das bandas eletrônicas nos sólidos. Estes orbitais também são

responsáveis pela formação de muitos complexos de transferência de carga. De

acordo com a teoria dos orbitais de fronteiras em reações químicas, a formação do

estado de transição se deve a interação entre os orbitais de fronteira (LUMO e

HOMO) das espécies reagentes. Portanto, o tratamento diferenciado para estes

orbitais moleculares é baseado em princípios gerais que governam a natureza das

reações químicas.

A energia de HOMO é diretamente relacionada ao potencial de ionização

e caracteriza a suscetibilidade da molécula ao ataque de eletrófilos enquanto a

energia de LUMO é relacionada à afinidade eletrônica e caracteriza a

suscetibilidade ao ataque por nucleófilos.

A lacuna entre HOMO e LUMO, ou seja, a diferença de energia entre estes

orbitais é importante índice de estabilidade química e uma grande diferença entre

HOMO e LUMO significa que a molécula tem alta estabilidade, ou baixa reatividade

74

em reações químicas. Assim, de acordo com a teoria dos orbitais de fronteira para

a reatividade, a maioria das reações químicas acontece na posição em que HOMO

e LUMO dos respectivos reagentes podem ter a maior sobreposição. Neste caso,

se a molécula é doadora de elétrons, a densidade de HOMO é critica para a

transferência de carga.

A polarizabilidade é uma medida da facilidade com que a nuvem eletrônica

de um átomo pode ser distorcida, em função do efeito de dipolo de um campo

elétrico externo, tendo desta forma uma maior dispersão de elétrons (maior

deslocalização). Esta medida pode ser obtida através da diferença de energia

. Neste caso, quanto maior for a diferença de energia

menor será a polarizabilidade do monômero.59

Outra das propriedades moleculares relevantes para a análise é a

determinação da população de Mulliken, que fornece a carga em cada átomo,

indicando se os átomos que compõe uma molécula apresentam um excesso ou

deficiência de carga. Neste sentido a análise da população de Mulliken é uma

forma quantitativa de identificar as regiões na molécula onde se acumula a carga

eletrônica (suscetíveis a ataques eletrófilos) e as regiões que se encontram

despopuladas de carga (suscetíveis a ataques nucleofílicos).

A distribuição total de elétrons de uma molécula é uma boa aproximação

para determinar muitas propriedades moleculares, químicas e físicas. O

procedimento consiste em usar cargas parciais atômicas as quais podem ser

determinadas por procedimentos semi-empíricos. Neste trabalho, analisamos as

cargas atômicas derivadas de populações Mulliken de orbitais atômicas o qual tem

dado uma boa descrição da distribuição eletrônica.

A análise populacional de Mulliken é um método amplamente difundido na

química molecular e baseia-se na teoria de orbitais moleculares já descritas.

Lembrando que a função de onda é definida por uma combinação linear de k

orbitais moleculares, também chamados de funções de base ,

(4.2)

75

considerando como reais e apenas uma função de base sobre cada átomo

na molécula, a densidade de probabilidade associada a um elétron em é dada

por:

(4.3)

Integrando a expressão anterior sobre todo o espaço tridimensional e

normalizando , a seguinte expressão é obtida:

(4.4)

sendo as integrais de superposição definidas como:

(4.5)

Definido como o produto da população líquida do elétron na orbital

molecular pela contribuição do orbital atômico e como a população

eletrônica de recobrimento entre os orbitais atômicos e obtém-se as

seguintes expressões:

(4.6)

(4.7)

No caso em que tem-se uma orbital antiligante, se tem-

se uma orbital ligante e caso tem-se uma orbital não ligante.

Somando-se as contribuições e a população líquida de Mulliken é

dada por:

(4.8)

76

Fatores como a facilidade de cálculo e a possibilidade de obtenção da

análise populacional de forma direta a um baixo custo computacional levaram à

ampla difusão do método populacional de Mulliken em química quântica.

Em vez de observar a magnitude de cargas atômicas, procuram-se efeitos

da distribuição de cargas devido a pequenas, mas claramente distinguíveis

mudanças conformacionais.

O potencial eletrostático de uma molécula pode ser determinado

selecionando-se um determinado número de pontos ao redor da molécula e em

seguida desprezando-se os pontos que caem dentro do raio de van der Waals da

molécula devido às distorções da proximidade do núcleo. Neste sentido, o

potencial eletrostático (Ei) é dado por:

(4.9)

sendo A o núcleo, Z o número atômico, RAp a distância entre o núcleo e uma carga

pontual, P a matriz de densidade e rp é à distância de separação entre o elétron e a

carga pontual.

4.4 – Fundamentos das técnicas de caracterização utilizadas neste trabalho

4.4.1– Caracterização espectroscópica: UV-Vis, FTIR .

O uso da interação de radiações eletromagnéticas com a matéria é uma

elegante fonte de informação para a física e química experimental molecular. O

levantamento de dados acerca das propriedades de absorção, transmissão, ou

reflexão por parte de materiais utilizando-se de tal técnica, denomina-se

espectroscopia.

A espectroscopia UV/Vis utilizada energia dos fótons na região do visível e

ultravioleta do espectro eletromagnético. Nesta faixa de energia, as moléculas

sofrem transições eletrônicas e moleculares. Através do máximo de absorção

(lmax), se é possível determinar a diferença de energia entre os orbitais moleculares

de fronteira HOMO e LUMO do material a ser analisado bem como a concentração

de substâncias.

A espectroscopia no infravermelho é um outro tipo de espectroscopia de

absorção. Como as demais técnicas de absorção, ela serve para identificar

77

composição de um material. Esse tipo de espectroscopia baseia-se no fato de

que as ligações químicas das substâncias possuem freqüências de vibração que

são específicas. Dessa forma cada ligação presente na molécula absorve em um

comprimento de onda. Correspondente às vibrações fundamentais da molécula.

Uma técnica de análise mais rápida e eficaz para se colher informações de

absorção no infravermelho, é a espectroscopia no infravermelho usando

transformada de Fourier (FTIR). Em vez de se coletar os dados variando-se a

freqüência da radiação infravermelha (IR), a radiação IR com todos os

comprimentos de onda da faixa usada é guiada através de um interferômetro tipo

Michelson. Depois de passar pela amostra o sinal medido gera um interferograma.

Realizando-se uma transformada de Fourier no sinal resulta-se em um espectro

idêntico ao da espectroscopia IR dispersiva convencional.

4.5 – Estudos das propriedades biocompativeis do dendrímero PAMAM

O estudo da adsorção das proteínas albumina de soro humano (HSA) e

fibrinogênio humano (HFb) foi efetuado utilizando a técnica de ressonância

plasmônica de superfície (RPS). O sistema RPS utilizado para o estudo da

interação entre as proteínas do plasma sanguíneo e o dendrímero PAMAM baseia-

se na configuração de refletância total atenuada desenvolvida por Kretschmann.

Figura 4.7: Diagrama representativo do sistema ótico utilizado no laboratório de Biomateriais da Universidade

Federal de Itajubá (UNIFEI) para análise da adsorção protéica pela técnica SPR [1].

As técnicas de preparo dos eletrodos e o ensaio de adsorção estão descritos na

referência [73]. A Figura 4.7 apresenta o diagrama representativo do aparato

experimental utilizado para a análise da adsorção protéica por SPR. Inicialmente, o

78

feixe de luz proveniente da fonte de laser (1) atravessa o polarizador (2) e logo em

seguida passa pela íris polarizado (3) no plano óptico do conjunto prisma/eletrodo

(4). Posteriormente, o feixe de luz polarizado é dividido em duas componentes pelo

beam splitter (divisor de feixe), uma em direção do eixo de rotação (5) e outra para

o fotodetector de referência (6). A parte da fonte de luz transmitida incide na

interface prisma/eletrodo e é coletada pelo fotodetector de referência. O eixo de

rotação é varrido de 30 a 70 graus e então os dados dos fotodetectores de sinal e

de referência são coletados pelo software de aquisição dos dados. Finalmente, os

dados coletados são quantificados através do programa computacional

desenvolvido em ambiente MATLAB 7.073.

4.5.1 – Adsorção protéica

As proteínas albumina de soro humano (HSA) e fibrinogênio humano

(HFb) foram marcadas com 125I segundo o método de Hunter-Greenwood

modificado por Biscayart.76-78 Empregou-se 0,5-0,7 mCi (18,5-25,9 MBq) de

radioisótopo, 20 g de proteína em 30 L de tampão fosfato (PBS) 0,05 M, pH 7,4.

A reação procedeu-se à temperatura ambiente por 5 minutos adicionando-se em

seguida 5 g de metabissulfito de sódio em 5 L do mesmo tampão PBS 0,05M. A

purificação da proteína marcada foi feita por filtração em gel Sephadex G-100 para

o BSA e G-250 para o fibrinogênio. Para um cálculo preciso dos coeficientes de

distribuição dos picos radioativos (KD). O coeficiente de distribuição permitiu a

comprovação da pureza e identidade do marcado.

O estudo da adsorção de proteínas ocorreu após o contato das superfícies

sintéticas com as proteínas marcadas radioisotopicamente em cubetas de PTFE.

As superfícies sintéticas foram incubadas com as proteínas marcadas (2,0 .1080

cpm.mL-1) em solução PBS pH 7,4 equilibradas termicamente a 37 oC. Após

incubação por um período de 2 horas a adsorção protéica foi avaliada após

lavagem das superfícies sintéticas com PBS pH 7,4 a 37 oC. A radioatividade das

superfícies PAMAM G0 e PAMAM G1 foram avaliadas em um contador gama

(Beckman) para a determinação da concentração das proteínas adsorvidas em

função do tempo.

79

4.5.2- Adesão plaquetária

O ensaio de adesão plaquetária foi efetuado após contato da superfície de

placas de Elisa revestidaso com PAMAM com plaquetas marcadas com 51Cr.79

Sangue humano foi coletado em solução de ACD (citrato de sódio 3,8%) e o

plasma rico em plaquetas (PRP) foi preparado após centrifugação a 700g por 5

minutos. Após adição de prostaglandina sódica (PGI2, 50 g.mL-1) e nova

centrifugação do PRP a 900g por 10 minutos as plaquetas foram resuspensas em

solução de ACD pH 6,00 (6,85 mM citrato de sódio, 130 mM NaCL, 4 mM KCL

e 5,5 mM de glicose). As plaquetas foram peletizadas novamente e em seguida

resuspensas em solução de Hepes-Tyrode (136 mM NaCl, 2,7 mM KCl, 0,42 mM

NaH2PO4, 12 mM NaHCO3, 5,5 mM glicose, 2% BSA e 5 mM ácido 4,2-hidroxietil-1-

piperazina etanosulfônico). A concentração de plaquetas foi ajustada para cerca

de 2.109 células.mL-1 e em seguidas foram marcadas com 51Cr pela adição de

Na251CrO4 (Ci.mL-1) e incubação por 40 minutos a 20 oC. As plaquetas marcadas

com 51Cr foram lavadas duas vezes com o tampão de Hepes-Tyrode, centrifugadas

e resuspensas novamente no tampão. Após ajuste para uma concentração de

2.108 células.mL-1, as plaquetas foram utilizadas no ensaio de adesão plaquetária.

Para o ensaio de adesão plaquetária os poços das placas de Elisa não

revestidas e, revestidas com o dendrímero PAMAM (G0 e 1) foram preenchidas

(300 L) com tampão de Hepes-Tyrode por 1 hora a 37 oC. Após remoção do

tampão, o PRP contendo as plaquetas marcadas com 51Cr foram adicionadas

através de uma bomba peristáltica e mantidas em condições de fluxo por até 4

horas. Os poços da placa de Elisa foram em seguida lavados com a solução

tampão de Hepes-Tyrode contendo solução de MgCl2 1 mM. A radioatividade das

placas foi medida em um contador gama. Os resultados foram expressos como a

média de 5 experimentos.

Para observação do processo de adesão e agregação plaquetária nas

superfícies das placas de Elisa, revestidas e não revestidas com o dendrímero

PAMAM (G0, G1), após contato com o PRP os tubos foram desidratados em

etanol, secos em atmosfera de CO2 (ponto crítico) e após revestimento com ouro

foram observadas ao microscópio eletrônico de varredura (SEM Phillips XL 30).

4.5.3 – Adesão de trombos

80

A formação de trombos nas superfícies de placas de Elisa revestidas com

o dendrímero PAMAM foi estudado por microscopia de epifluorescência após o

contato das superfícies sintéticas com sangue humano. Sangue humano foi

coletado em solução de ACD (citrato-dextrose) para impedir a hemólise dos

glóbulos vermelhos. As placas de Elisa revestidas com o dendrímero PAMAM

foram inicialmente hidratadas com solução PBS pH 7,4 a 37 oC por 15 minutos. Em

seguida as superfícies foram colocadas em contato com o sangue humano

previamente preparado com a solução de ACD e em seguida a reações de

coagulação foi iniciada pela adição de 20 L de CaCl2 a 3,8%. Após um

determinado intervalo de tempo a reação de formação de trombos foi interrompida

pela adição de solução fisiológica (NaCl a 0,9%). As superfícies testadas foram

mantidas por 5 minutos em solução de glutaraldeído a 25% para a fixação dos

trombos e em seguida coradas com alaranjado de acridina para observação por

microscopia de epifluorescência. O princípio da técnica de epifluorescência

baseia-se na incorporação de alaranjado de acridina ao DNA mitocondrial. A

localização de plaquetas ou seus agregados é feito então por excitação do corante

com luz UV.80

5

81

RESULTADOS E DISCUSSÃO

5.1 – Caracterizações do dos Dendrímeros PAMAM G0 e G1

5.1.1 – Caracterização por Espectroscopia Eletrônica (UV/vis) e por

Espectroscopia `Vibracional (FTIR)

As observações ópticas estão relacionadas à transição eletrônica que ocorre

por absorção de fótons por parte do material. Um espectro de absorção será,

portanto, formado por um conjunto de bandas associadas às diversas transições

hhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhh Figura 5.1: Espectro UV-vis experimental

do PAMAM G0. O espectro

contém duas bandas de absorção em 240 e

2 290 nm.

ntém duas bandas de absorção em 240 e 290 nm.

vibracionais e rotacionais possíveis dos dois estados eletrônicos envolvidos na

transição e dependerá das regras de seleção espectroscópicas válidas para cada

caso. Na Figura 5.1 é mostrado o espectro de absorção na região UV-Vis

característico de dendrímero PAMAM G0. O espectro exibiu dois máximos de

absorção em 240 nm e 290 nm. A absorção máxima em 240 nm está associada a

transições π-π*, separação entre a diferença de energia entre os orbitais

moleculares de fronteira HOMO (orbital molecular mais alto ocupado) e LUMO

(orbital molecular mais baixo desocupado) da molécula de PAMAM. A banda de

82

(A) (B1)

(B2) (B3)

Figura 5.2: Espectros FTIR do dendrímero PAMAM G0. As bandas de absorção em 3210 cm-1 e 1647 cm-1

caracterizam as freqüências características vibracionais das aminas primárias existentes na periferia do

dendrímero PAMAM. Em (A) é observado o espectro experimental e em (B1), (B2) E (B3) o espectro teórico.

absorção em 290 nm corresponde à absorção por parte de grupos carbonila (grupo

funcional constituído de um átomo de carbono e um átomo de oxigênio)

provenientes dos grupamentos amida da molécula de PAMAM [2].

83

(A)

(B) (C)

Figura 5.3: Espectros FTIR do teóricos do dendrímero PAMAM G1. As bandas de absorção em 3201 cm-1 (C)

e 2079cm-1 (B) caracterizam as freqüências características vibracionais das aminas primárias existentes na

periferia do dendrímero PAMAM.

A Figura 5.2 apresenta os espectro FTIR teórico e experimental para o

dendrímero PAMAM G0 entre 3500 e 500 cm-1. As bandas de absorção em 3210

cm-1 e 1647 cm-1 caracterizam as freqüências vibracionais características das

aminas primárias existentes na periferia do dendrímero. No FTIR teórico as bandas

que caracterizam as aminas primárias estão nas freqüências 3265 e 1675 cm -1.

Estes valores estão em boa concordância com os valores obtidos

experimentalmente, ou seja, são bem próximo. Também é possível afirmar que as

demais bandas obtidas experimentalmente (entre 1000 e 1500 cm-1) parecem

concordar com os valores obtidos teoricamente através da modelagem. Esta

proximidade do resultado teórico com o experimental é esperada, visto que o

84

método utilizado neste trabalho (MNDO/d) é o método que apresenta o menor erro

no comprimento e ângulo de ligação para o átomo de carbono. Assim podemos

verificar que esta é melhor conformação para a molécula, ou seja, a conformação

está no mínimo global.

5.2 – Modelagem Molecular

5.2.1 – Orbitais de Fronteira HOMO-LUMO

As Figuras 5.4 e 5.5 representam a distribuição espacial

dos orbitais de fronteira (HOMO-LUMO) e suas energias para uma dendrímero

PAMAM G0 e G1, respectivamente. Em azul, está representado a parte negativa

da função de onda e em vermelho a parte positiva. A diferença de energia entre os

orbitais de fronteira (HOMO-LUMO) pode contribuir para a compreensão das

propriedades elétricas de um material. Em uma primeira aproximação, esta

diferença de energia representa para moléculas orgânicas, o que o band gap

representa para semicondutores inorgânicos, correspondendo o HOMO à banda de

valência e o orbital LUMO à banda de condução.

O band gap para o dendrímero de geração 0 é menor que o gap do

dendrímero de geração 1, 7,772 eV e 7,981 eV, respectivamente. Este resultado

teórico está em boa concordância com os resultados experimentais obtidos neste

trabalho, evidenciando que dendrímeros de baixas gerações possuem um baixo

band gap relativamente a dendrímeros de gerações mais altas, como observado a

partir da espectroscopia UV/Vis (Figura 5.2).

85

HOMO - 9,695 eV

(b)

(a)

Figura 5.4: Distribuição espacial dos orbitais de fronteira do PAMAM G0 : HOMO (a) e LUMO (b).

86

LUMO - 1,923 eV

HOMO -9,555 eV

LUMO 1,574 eV

Figura 5.5: Distribuição espacial dos orbitais de fronteira do PAMAM G1: HOMO (a) e LUMO (b).

5.2.2 – Potencial Eletrostático

O potencial eletrostático exprime a medida do nível de energia potencial

associada a partículas carregadas. Os potenciais eletrostáticos, para o dendrímero

PAMAM G0 e G1 são mostrados nas Figuras 5.6 e 5.7, respectivamente. Existe

uma maior concentração de cargas na região do núcleo do dendrímero. A

87

concentração de carga no núcleo do dendrímero aumenta com o número de

geração do dendrímero, o que evidencia que há uma barreira potencial elevada

para a transferência eletrônica do núcleo à superfície do dendrímero, sendo esta

barreira tanto maior quanto maior for a geração do dendrímero PAMAM. Esta

observação está de acordo com a diferença de energia entre os orbitais de

fronteira HOMO-LUMO como explicado anteriormente e com os resultados

experimentais referentes à espectroscopia UV/Vis observados na Figura 5.2.

Foi, também, determinado a polarizabilidade que é uma medida da

facilidade com que a nuvem eletrônica de um átomo pode ser distorcida em função

do efeito de dipolo de um campo elétrico externo, tendo desta forma uma maior

dispersão de elétrons (maior deslocalização). Esta medida pode ser obtida através

da diferença de energia . Neste caso, quanto maior for a diferença de

energia menor será a polarizabilidade do monômero.59 Neste

trabalho, seguindo a Tabela 5.1, observaram-se os valores de -11.02

eV e -10,65 eV para o PAMAM G0 e G1, respectivamente. Esta observação

sugere que o PAMAM G1 possui uma menor polarizabilidade.

Figura 5.6: Potencial eletrostático para o PAMAM G0.

88

Figura 5.8: Potencial eletrostático para o PAMAM G1.

Figura 5.7: Potencial eletrostático para o PAMAM G1

5.2.3 – Distribuição das cargas de Mulliken

Neste trabalho, analisamos as cargas atômicas derivadas de populações

Mulliken de orbitais atômicos o qual tem dado uma boa descrição da distribuição

eletrônica (Figura 5.8). Como era esperado, o carga total do PAMAM G1 é maior

do que a carga total do PAMAM G0.

89

Figura 5.8: Distribuição de cargas (MNDO/d) do PAMAM G0 (A) e G1 (B)

90

Tabela 5.1: Valores encontrados para o PAMAM G0 e G1

G Volume Molecular (cm3/mol)

Momento dipolar (D)

HOMOEv

LUMOeV

GapTeor. (eV)

GagExp.(eV)

Calor de Formaçãokcal/mol

0 1705.94 Ǻ3 3.453 - 9.695 1.923 7,772 5,165 - 135.22868351 4468.80 Ǻ3 8.207 - 9.555 1.574 7,981 - 394.2615356

Da Tabela 5.2 também podemos verificar que o volume molecular,

momento dipolar e o calor de formação alteram de uma geração para outra nas

proporções de 2,6; 2,4 e 2,9 respectivamente, ou seja, existe uma correlação

quase proporcional. Isto não acontece com os orbitais de fronteira, pois

e .

Também da Tabela 5.2 pode-se verificar que os valores encontrados para

o band gap do PAMAM G0 e G1 estão em concordância com os valores

experimentais, visto que no cálculo teórico o band gap aumenta do PAMAM G0

para o PAMAM G1, igualmente como acontece com os valores encontrados

através dos experimentos. A diferença entre os valores do band gap experimental e

teórico se deve, possivelmente, a interferência do solvente, pois o cálculo teórico

foi realizado no vácuo e o experimental foi realizado no metanol. Além disso, a

diferença apurada entre os dois métodos (teóricos e experimental) está o fato de

que o método MNDO/d utiliza parâmetros de átomos isolados.

5.3 – Estudos das Propriedades Biocompatíveis do Dendrímero PAMAM

A perda de um órgão ou de uma parte do corpo gera, além da perda da

função biológica, transtornos sociais e psicológicos. Os avanços alcançados na

medicina e odontologia modernas, com o conseqüente aumento da expectativa de

vida, têm possibilitado o desenvolvimento de materiais sintéticos com propriedades

que mimetizam o tecido biológico, visando à reposição do órgão perdido

proporcionando uma melhor qualidade de vida para o paciente.

Os materiais sintéticos desenvolvidos especialmente para a utilização em

implantes permanentes ou temporários na medicina são chamados de biomateriais.

Um biomaterial pode ser definido como um material sintético ou de origem natural

utilizado em contato com o organismo humano, substituindo desta maneira o tecido

biológico, órgão ou mesmo uma função do corpo humano.

91

Por sua vez, a propriedade de um biomaterial ou seja, sua

biocompatibilidade pode ser definida como a habilidade de um material em

desempenhar uma função específica de um tecido biológico ou órgão em produzir

qualquer resposta biológica adversa local ou sistêmica, o material deve ser não-

tóxico, não-carcinogênico, não antigênico e não-mutagênico.

As complicações oriundas dos dispositivos implantados irão variar de

acordo com a sua aplicação. Por exemplo, infecções e biodegradação irão afetar

dispositivos que têm aplicações de longa duração como próteses permanentes e

válvulas cardíacas. Em aplicações cardiovasculares, os biomateriais devem ser

não trombogênicos ou seja, não poderá haver a formação de trombos na superfície

do material sintético quando este está em contato com o sangue.

O organismo humano tem um modelo de funcionamento que pode ser

afetado por agressões de diversas naturezas. Qualquer situação, não identificada

pelo organismo como normal ou fisiológica, pode despertar um conjunto de

reações relacionadas aos mecanismos de defesa ou de compensação. O agente

que desencadeia a reação é considerado o “agente agressor” e a reação do

organismo à sua presença, é a resposta ao agente agressor.

A introdução no sistema biológico de um polímero sintético é identificado

pelo organismo humano como um agente agressor, e como tal, suscita uma série

de reações que leva a alterações significativas no equilíbrio fisiológico do

organismo constituindo um agente agressor complexo e multifatorial.

As alterações induzidas pelo uso de materiais sintéticos na área

cardiovascular são de natureza hemodinâmica, física, e química. A introdução de

stents por exemplo, é uma condição anormal, em que o sangue está,

continuamente, em contato com superfícies estranhas, não endoteliais. O

aparecimento de um conjunto de alterações no sistema hemodinâmico é,

provavelmente, devido a uma resposta ou reação inflamatória, desencadeada pela

ativação dos sistemas do complemento e da coagulação, da cascata fibrinolítica

bem como dos sistemas das cininas ou calicreina. Essa ativação dos sistemas

humorais específicos, ocorre imediatamente após a introdução do dispositivo

sintético e tem relação com a duração do implante.O primeiro evento resultante da

interação entre uma superfície sintética e o sangue é a adsorção protéica, que

92

pode influenciar nos demais eventos como adesão plaquetária e a formação de

trombos.

A adsorção de fibrinogênio tem grande importância no fenômeno da

hemocompatibilidade dos materiais poliméricos uma vez que por ser um dos

fatores da coagulação, facilita a adesão de plaquetas, participando de reações de

troca com outras proteínas, importantes no mecanismo de coagulação sangüínea.81

Diversos estudos tem relacionado a absorção preferencial de albumina ao

caráter não trombogênico das superfícies sintéticas orgânicas. A Figura 5.9 mostra

a adsorção de HSA e HFb sobre as superfícies revestidas por PAMAM. Observa-se

que a quantidade de HSA adsorvida nas superfícies sintéticas é significativamente

maior no PAMAM de maior geração, enquanto que a adsorção de HFb é

relativamente menor.

Figura 5.9: Adsorção de HSA (A) e HFb (B) nas superfícies dos dendrímeros PAMAM de geração 0 e 1.

No caso especificamente da área cardiovascular, o sangue pode circular

através de tubos ou câmaras de material plástico sintético, rígido, apenas

razoavelmente biocompatível aos quais faltam, obviamente; um revestimento

interno com as propriedades do endotélio vascular.

Durante o contato com a superfície sintética, as células sanguíneas estão

sujeitas à ação de diversas forças que diferem das forças que atuam na circulação

93

7,70 7,75 7,80 7,85 7,90 7,95 8,00 8,05 8,100,0

0,2

0,4

0,6

0,8

1,0

10

Adso

rção d

e H

SA

(.c

m-2)

PAMAM (Geração)

(A)

0

5

10

15

20

25

30

10

Ad

sorç

ão

de

HF

b (

.cm

-2)

PAMAM (Geração)

(B)

normal. As hemácias, os leucócitos e as plaquetas podem ser profundamente

afetados pelo contato com as superfícies da prótese sintética. Fenômenos como a

adesão e agregação plaquetária são desencadeados, deprimindo

significativamente a função das células sanguíneas.

O primeiro evento decorrente da exposição de uma superfície sintética ao

sangue é a adsorção de proteínas séricas seguido da adesão plaquetária na forma

de monocamadas ou agregados. Estudos indicam que o processo de adesão de

plaquetas envolve a interação física ou química dos receptores de membrana desta

célula com a superfície do polímero sintético.

A interação entre a superfície sintética e o sangue envolve uma

fenomenologia ainda não totalmente esclarecida pela literatura. Entretanto, sabe-

se que após exposição ao sangue uma série de eventos dominantemente de

adsorção dos elementos presentes no fluído vital iniciam-se na interfase

macromolécula-tecido biológico. Desta maneira as propriedades físico-químicas da

macromolécula tais como presença de microdomínios hidrofílico/hidrofóbico,

topologia e presença de cristálitos são fatores que podem influenciar nas

interações entre a superfície sintética e o sistema cardiovascular.82

De uma maneira geral, a série de fatores que determinam a formação de

uma interfase por deposição plaquetária sobre a superfície de um biomaterial são

influenciadas pela termodinâmica do sistema que através de variações entálpicas e

entrópicas dirigem o potencial termodinâmico de Gibbs para o processo de adesão

e agregação da célula sanguínea na superfície sintética.83 Entretanto, deve-se

recordar que o caráter não temporal da termodinâmica impede o estabelecimento

de uma avaliação mais criteriosa da dinâmica da interação célula

sangüínea/superfície sintética.

A adesão de plaquetas na superfície sintética é mediada pelo fator VII da

coagulação sangüínea, podendo ser liberados alguns constituintes do agregado

plaquetário dentro do plasma. Estas transformações estão sob o controle das

prostaglandinas, íons Ca+2, AMP e ADP. As proteínas específicas e fosfolipídeos

da membrana plaquetária são de importância primordial para a aceleração e

controle do processo de coagulação. Por sua vez, as plaquetas aderidas sobre a

superfície sintética podem ser ativadas levando ao início de um conjunto de

reações complexas que conduzem à formação de trombos.

94

Embora mais de três décadas tenham se passado na tentativa de se

estabelecer um mecanismo preciso da interação entre a plaqueta sangüínea e a

superfície dos polímeros sintéticos, semelhantemente à física contemporânea, falta

uma teoria unificada que seja capaz de prever tanto os processos de adesão

quanto os de ativação plaquetária, independente da estrutura da macromolécula

sintética em estudo.

A Figura 5.10 mostra as micrografias MEV para as superfícies do

dendrímero PAMAM G0 e G1, respectivamente após exposição ao plasma rico em

plaquetas. As superfícies de PAMAM G0 apresentaram menos plaquetas aderidas

comparativamente ao PAMAM G1, evidenciando uma tendência bastante

significativa na melhora das características hemocompatíveis do dendrímero de

geração um (G1). Entretanto, deve ser observado que este dendrímero não é o

ideal ainda para sua aplicação na área cardiovascular uma vez que se notam

plaquetas ativadas e com membranas desestruturadas pela interação com o

dendrímero.

Figura 5.10: Micrografia MEV das superfícies do dendrímero PAMAM G0 (A) e G1 (B).

Os resultados para a formação de trombos são apresentados na Figura

5.11. Observa-se na microscopia de epi-fluorescência que o número de agregados

é significativamente maior nas superfícies do PAMAM G0, o que parece estar em

boa concordância com os resultados de adesão plaquetária e adsorção protéica.

95

(A) (B)

Entretanto, ainda podem ser observados trombos formados na superfície do

PAMAM G1, que o desqualifica como material para aplicações cardiovasculares.

Figura 5.11: Microscopia de epi-fluorescência dos dendrímeros PAMAM de geração G0 (A) e G1(B) após

exposição ao sangue humano.

6

96

(A)(B)

CONCLUSÕES E PERSPECTIVAS

Considerando-se a investigação da estrutura eletrônica do dendrímero

PAMAM G0 e G1 utilizou-se métodos computacionais aplicados na mecânica

quântica. Foram feitas otimizações geométricas para estas moléculas com o intuito

de obter a estrutura com a mínima energia, ou seja, em eu estado fundamental.

A diferença básica entre as estruturas de PAMAM G0 e G1 parece estar

no fato de que a densidade eletrônica se concentra no núcleo do dendrímero,

observação esta comprovada pelo Mapa do Potencial Eletrostático. A diferença de

energia dos orbitais HOMO-LUMO parece estar ligada aos processos de adsorção

das proteínas HSA e HFb e indicam que a análise da biocompatibilidade do

PAMAM pode ser feita via métodos in silício, minimizando assim a experimentação

animal. Contudo, a análise da biocompatibilidade do dendrímero PAMAM deve ser

analisada de forma mais segura e rigorosa, utilizando-se outros métodos da

mecânica quântica e ampliando-se o número de gerações da macromolécula.

Uma vez que o processo de coagulação do sangue envolve um processo

de oxi-redução, havendo transferência de elétrons do fibrinogênio para a fibrina,

parece razoável assumir a diferença de energia dos orbitais HOMO-LUMO como

um possível descritor para o estudo da hemocompatibilidade do dendrímero

PAMAM.

Da mesma forma, encontrou-se entre as transições eletrônicas uma

variedade de possíveis transições correspondendo as mais importantes e que são

as responsáveis por gerarem o espectro eletrônico UV-VIS e vibracional (FTIR) do

PAMAM..

Além dos resultados já apresentados, este trabalho permite idealizar as

seguintes perspectivas:

a) Investigar a mudança conformacional e eletrônica para os

primeiros estados excitados (singleto e tripleto) com o intuito de descobrir a

forma como age o PAMAM de diferentes gerações sob excitação que faz

parte do processo de interação com outras moléculas biológicas como

proteínas e enzimas;

97

b) Investigar a mudança conformacional e eletrônica para os

dendrímeros protonados e desprotonados quando os átomos de hidrogênio

evoluem do/para o sistema. Este também pode vir a ser outro mecanismo do

processo de interação com outras moléculas biológicas;

c) Investigar, via métodos de dinâmica molecular, a interação

formal (formal no aspecto físico) entre os dendrímeros e as proteínas HSA e

HFb;

d) Comparar com resultados experimentais que podem vir a ser

obtidos dentro do grupo de biomateriais e biomiméticos visando um melhor

entendimento do processo de excitação e interação entre sistemas

biológicos.

98

7

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