Paradoxos Clássicos no Cálculo das Probabilidades Carlos Tenreiro Universidade de Coimbra.
DIVISIBILIDADE No Reino dos Números Primos Carlos Tenreiro Departamento de Matemática Universidade...
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DIVISIBILIDADE No Reino dos Números Primos Carlos Tenreiro Departamento de Matemática Universidade de Coimbra 18 de Março de 2006
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DIVISIBILIDADENo Reino dos
Números Primos
Carlos TenreiroDepartamento de Matemática
Universidade de Coimbra18 de Março de 2006
Divisores de um número
Divisores de um número são os números que dividem o número exactamente com resto zero:
3 é divisor de 15
15 é divisível por 3
15 é múltiplo de 3
Divisores de um número
Quais são os divisores de 3? 1 e 3
Quais são os divisores de 5? 1 e 5
Quais são os divisores de 6? 1, 2, 3 e 6
Quais são os divisores de 28? 1, 2, 4, 7,...
Número primo
Um número é primo se só tem dois divisores:
a unidade e ele próprio
Caso contrário, o número é composto
Primo ou Indecomponível
•15 é composto. Pode decompor-se:
15 = 3 x 5
• 7 é primo. Não se pode decompor:
7 = 7
Alguns números primos
Alguns números primos
Mais números primos
Primo = Importante = Primeiro
Os números primos são muito importantes. Qualquer número inteiro pode ser escrito como produto de números primos:
220 = 2 x 110
= 2 x 2 x 55
= 2 x 2 x 5 x 11
Decomposição em factores primos
220 = 2 x 2 x 5 x 11
11
55
21102220
5
111
Decomposição em factores primos
220 = 2 x 2 x 5 x 11
1, 2, 4, 5, 10, 11, 20, 22, 44, 55, 110, 220
Quais são os divisores de 220?
Divisores de um número
Quais são os divisores de 3? 1 e 3
Quais são os divisores de 5? 1 e 5
Quais são os divisores de 6? 1, 2, 3 e 6
Quais são os divisores de 28? 1, 2, 4, 7,...
Número perfeito
Um número é perfeito se só é igual à soma dos seus
divisores próprios
Divisores de 6 : 1, 2, 3, 6
1 + 2 + 3 = 6
Decomposição em factores primos de 28
28 = 2 x 2 x 7
17
214228
7
Divisores de 28:
1, 2, 4, 7, 14, 281+2+4+7+14=28
Desde quando se conhecem e estudam os números primos?
O osso de Ishango
O osso de Ishango
O osso de Ishango
Babilónios, Egípcios e Gregos
2006D.C.A.C.20000 6000
BabilóniosEgípciosConheciam o Teorema de Pitágoras
GregosPitágoras (569 – 475)Platão (427– 347)Aristóteles (384 – 322)Euclides (325 – 265)
Euclides de Alexandria
(325 A.C. – 265 A.C.)
• Mais importante matemático da antiguidade.
• Escreveu “Os Elementos”, mais importante obra matemática da antiguidade.
Os Elementos
Uma página de“Os Elementos” numa tradução latinapublicada em1482.
Os Elementos
O que diz Euclides:
Um número é primo se só pode ser medido pela unidade
e por ele próprio
Caso contrário, o número é composto
Os Elementos
15 =
5 =
O número 15 pode ser medido pelo 5 mas não pelo 4:
4 =
Os Elementos
15 =
5 =
O número 15 pode ser medido pelo 5 e pelo 3 (além do 1 e do 15):
3 =
Os Elementos
Euclides dizia:
3 e 5 medem 15
Nós dizemos:
3 e 5 dividem 15
Os Elementos
Existe um número infinito de números primos, ou seja, há sempre novos números primos.
Há sempre novos primos
2 3 5 ...
Há sempre novos primos
2, 3, 5, 7, 11, 13
2 x 3 x 5 x 7 x 11 x 13 + 1 = 30031
Como nenhum dos primos anteriores divide30031 terá de existir um novo primo
Crivo de Eratóstenes
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
11 12 13 14 15 16 17 18 19 20
21 22 23 24 25 26 27 28 29 30
31 32 33 34 35 36 37 38 39 40
41 42 43 44 45 46 47 48 49 50
51 52 53 54 55 56 57 58 59 60
61 62 63 64 65 66 67 68 69 70
71 72 73 74 75 76 77 78 79 80
81 82 83 84 85 86 87 88 89 90
91 92 93 94 95 96 97 98 99 100
Primos enormes
Primo com 39 algarismos obtido em 1876 e queaté 1951 foi o maior primo conhecido:
2127-1 = 170141183460469231731687303715884105727
Primo com 44 algarismos obtido em 1951 com a ajuda de uma calculadora mecânica:
(2148+1)/17 = 20988936657440586486151264256610222593863921
Primos enormes
909 526algarismos
Primo de Mersenne (1588-1648).
Números de Mersenne
2
Primo Número de Mersenne
22 – 1 = 2 x 2 – 1 = 3
5 25 – 1 = 31
11 211 – 1 = 2047
2047 = 89 x 23
Primos de Mersenne
Os primeiros primos de Mersenne eramconhecidos desde a antiguidade:
Nº p Mpano
1 2 3
2 3 7
3 5 31
4 7 127
5 13 8191 1461
6 17 131071 1588
7 19 524287 1588
Primos de Mersenne
Em 1644 Mersenne afirma que são primos os números gerados a partir de:
p = 2, 3, 5, 7, 13, 17, 19, 31, 67,127, 257
Faltavam:
p = 61, 89, 107
Primos de Mersenne
Nº p Algarismos de Mp
Ano
37 3021377 909526 Jan. 1998
38 6972593 2098960 Jun. 1999
39 13466917 4053946 Nov. 2001
40? 20996011 6320430 Nov. 2003
... ... ... ...
43? 30402457 9152052 Dez. 2005
Primos de Mersenne e números perfeitos
Euclides sabia como obter números perfeitos a partir dos primos de Mersenne:
p MpNúmero perfeito
2 22-1= 3 21x3= 6
3 23-1= 7 22x7= 28
5 25-1= 31 24x31= 496
7 27-1= 127 26x127= 8128
Primos de Mersenne e números perfeitos
Mais alguns números perfeitos:
p Número perfeito
13 33550336
17 8589869056
19 137438691328
31 2305843008139952128
Queres ficar famoso?
“Basta” saber responder a uma destas questões:
• Haverá um número infinito de primos de Mersenne?
• Haverá um número infinito de números compostos de Mersenne?
• Haverá números perfeitos ímpares?
Um problema perfeito
Mostra que um número perfeito par termina em 6 ou 8.
Números perfeitos
6
28
496
8128
33550336
8589869056
137438691328
2305843008139952128
BOM TRABALHODIVIRTAM-SE
