Divisores de 24_Una Caracterización Sofisticada

UNA CARACTERIZACIÓN SOFISTICADA

DE LOS DIVISORES DE 24

Luis Carlos Araúz

Una Caracterización Sofisticada de los Divisores de 24 2

ÍNDICE

Página

Agradecimiento 3

Dedicatoria 4

Introducción 5

Contenido

1. Planteamiento del problema 6

2. Consideraciones generales 8

3. Prueba utilizando el Teorema Chino de los Restos 10

4. Prueba utilizando el Teorema de Dirichlet relativo

a los primos que se encuentran en progresiones aritméticas 12

5. Prueba utilizando la Estructura de la Teoría de las Unidades 13

6. Prueba utilizando el Teorema de Bertrand – Chebyshev 15

7. Prueba utilizando los Teoremas de Erdös y Ramanujan 17

Conclusión 20

Recomendaciones 21

Bibliografía 22


AGRADECIMIENTO

En primera instancia a la Vida, por haberme concedido las herramientas suficientes para

progresar académicamente, así como la oportunidad de elaborar este documento; a mis

padres y hermanos, que sin dudar han extendido la mano en mi ayuda siempre que lo he

necesitado; a todos los Profesores que me dictaron clase durante mis estudios, de manera

particular al profesor Jaime Gutiérrez por guiar mi trabajo de graduación. Finalmente a

mis amigos, que han sabido decirme las palabras apropiadas en los momentos en que lo

he necesitado; y a quienes, en mayor o menor escala, han contribuido en mi formación

universitaria.


DEDICATORIA

A mis padres Eriberto Araúz y Aura Ma. Doris Valdés, a mis hermanos y al barrio de El

Chorrillo, de donde he salido y en el que me he educado.


INTRODUCCIÓN

Antes de iniciar en sí con el contenido de este documento, debemos mencionar y resaltar

una característica del ser humano que le ha permitido, a lo largo de la historia, haber

desarrollado o descubierto resultados muy importantes; no sólo en el Mundo Matemático,

sino en otras disciplinas científicas… Y es que la curiosidad matemática es precisamente

la que se hace “tangible” en la manera en que surge nuestro tema a desarrollar; y el cual no

se escapa de la manera natural en que se presentan los problemas en la Teoría de

Números: “entendibles hasta para quienes no son matemáticos, pero cuya demostración no

resulta tan fácil de concebir como su formulación”.

¿Qué tienen los divisores de 24 que no tiene ningún otro entero positivo? En este

documento se dará una caracterización de los divisores de 24, basándonos en las tablas de

multiplicar modular. Se realizarán los análisis pertinentes para dar respuesta a una simple

pregunta formulada por un estudiante en un salón de clase.

¿Cuáles son todos los valores de n para los cuales, en las tablas de multiplicar modular de

, se producen 1’s en la diagonal y nunca fuera de ella? Se dará respuesta a esta

interrogante utilizando diversas herramientas de la Teoría de Números; éstas son: el

Teorema Chino de los Restos, la Teoría de la estructura de las unidades en , el Teorema

de Dirichlet sobre primos en una progresión aritmética, el Teorema de Bertrand-

Chebyshev y algunos resultados de Erdös y Ramanujan. No hay duda de que algunas de

estas herramientas son bastante complejas, sin embargo, el objetivo lúdico, y el punto de

este documento, es introducirnos en temas de interés en la Teoría de Números como

posible vía a esta pregunta que surgió de forma natural en clase; y para mostrar el

resultado de las interconexiones entre estos temas.


¿QUÉ TIENEN DE ESPECIAL LOS DIVISORES DE 24?

1. Planteamiento del problema

Los divisores de 24 son 1, 2, 3, 4, 6, 8, 12 y 24. Para despertar el interés y curiosidad del

lector se plantea el siguiente acertijo: ¿Qué hay de interesante en una caracterización

teórica de los divisores de 24 entre todos los enteros positivos? Probablemente hay varias

caracterizaciones de estos números. En este documento se dará una caracterización en

términos de las tablas de multiplicar modular. Esta idea evolucionó (se desarrolló) a partir

de una interesante pregunta formulada por un joven (llamado Elliot) a su profesor (Sunil

Kumar Chebolu) en la clase de Teoría Elemental de Números... Poco después de

presentar el nuevo mundo de , el profesor pidió a los estudiantes que escribieran las

tablas de multiplicar para , , y . Luego, con la ayuda de un software, les mostró la

tabla de multiplicar para ; con el objeto de dirigir su atención a algunas diferencias entre

las tablas modulares para números primos y compuestos.

Tabla 1. Tabla de multiplicar modular para

Al ver estas tablas Elliot preguntó: “Veo que los 1’s, en las tablas de multiplicación,

aparecen solo en la diagonal. ¿Esto siempre es cierto?” Por supuesto, su tutor buscó una

respuesta satisfactoria. Los 1’s no siempre aparecen en la diagonal y un ejemplo a

* 0 1 2 3 4 5 6 7

0 0 0 0 0 0 0 0 0

1 0 1 2 3 4 5 6 7

2 0 2 4 6 0 2 4 6

3 0 3 6 1 4 7 2 5

4 0 4 0 4 0 4 0 4

5 0 5 2 7 4 1 6 3

6 0 6 4 2 0 6 4 2

7 0 7 6 5 4 3 2 1


considerar es en , donde el número 1 aparece en la posición (2,3), es decir, fuera de la

diagonal; y que corresponde a la multiplicación

(2)(3) = 1 en

De igual manera, en , aparece el número 1 en la posición (2,5); fuera de la diagonal.

Después de haber visto algunos ejemplos con 1’s solo en la diagonal y algunos con 1’s

fuera de ella, la siguiente pregunta pide ser contestada. ¿Cuáles son todos los valores de

n para los cuales, en las tablas de multiplicar de , se producen 1’s en la diagonal y

nunca fuera de ella?

En este documento se investigará este asunto utilizando diversas herramientas de la Teoría

de Números y lo vincularemos con algunos temas interesantes, a priori, lejos y sin relación

con este tópico. Específicamente, las herramientas a usar son el Teorema Chino de los

Restos, la Teoría de la estructura de las unidades en , el Teorema de Dirichlet sobre

primos en una progresión aritmética, el Teorema de Bertrand-Chebyshev y algunos

resultados de Erdös y Ramanujan. No hay duda de que alguna de estas herramientas son

bastante complejas a la, relativamente simple, cuestión bajo investigación. Sin embargo, lo

divertido, y el punto de este documento, es introducirnos en temas de interés en la Teoría

de Números como posible vía a esta pregunta que surgió de forma natural en un aula, y

para mostrar el resultado de las interconexiones entre estos temas.

La pregunta objeto de investigación se responde en el siguiente teorema.

Teorema. La tabla de multiplicación para contiene 1’s solamente en la diagonal si y

solo si n es divisor de 24.

Se debe señalar que el divisor trivial 1 de 24 correspondiente a , consiste en un solo

elemento (0). Por lo tanto el requisito de los 1’s en la diagonal es vacuamente cumplido en

este caso.


Se darán cerca de cuatro a cinco pruebas diferentes de este teorema, pero antes de ahondar

en estas pruebas, se inicia con algunas generalidades.

2. Consideraciones generales

Comenzamos examinando, más de cerca, la condición de que “los 1’s en la tabla de

multiplicar de ocurren solo a lo largo de la diagonal”. Para mayor comodidad, nos

referiremos a esto como la condición diagonal (como propiedad de n). Fijemos los

representantes de los elementos de :

Supongamos que hay un 1 en la posición (a,b) en la tabla de multiplicar para . Esto

significa que ab=1 en (a, y por tanto también b, es llamado inversible en ). Si la

condición diagonal vale para n, entonces (a,b) tiene que ocupar una posición en la

diagonal. Esto significa que a=b, y por lo tanto a2=1 en , o equivalentemente n| a

2 -1.

Teniendo ya estas consideraciones se formula la siguiente proposición.

Proposición 2. 1. Sea a . Entonces a es inversible en si y solo si (a,n)=1.

Demostración.

( ) Si a es inversible en , existe b en tal que ab=1. Lo cual se puede expresar

como:


( ) Si , por la ecuación de Bezout se tiene que:

Luego queda probado que a es inversible en si y solo si (a,n)=1. □

También con facilidad se observa que los siguientes enunciados son equivalentes.

Proposición 2. 2. Sea n un entero positivo, luego las siguientes afirmaciones son

equivalentes.

(1) Los 1’s en la tabla de multiplicación de se producen sólo en la diagonal.

(2) Si a es un elemento inversible en , entonces a2=1 en .

(3) Si a es un entero que es primo relativo con n, entonces n divide a a2-1.

(4) Si p es un primo que no divide a n, entonces n divide a p2-1.

Demostración. Sólo probaremos que las proposiciones (3) y (4) son equivalentes.

( ) Si p es un primo que no divide a n, se tiene que , por tanto se cumple que

.

( ) Sean y p un divisor primo de a, en consecuencia ; entonces n divide

a p2-1, pero p

2-1 divide a a

2-1. Luego, transitivamente, n divide a a

2-1. □

Se utilizarán estas declaraciones equivalentes (indistintamente) para referirse a los

números enteros que tiene la propiedad diagonal.


3. Prueba utilizando el Teorema Chino de los Restos

El Teorema Chino de los Restos es una forma clásica de hablar acerca de las soluciones

simultáneas a un sistema de congruencias lineales. Lo mismo puede afirmarse como un

isomorfismo de anillos

siempre que a y b sean enteros positivos que son primos entre sí. (La multiplicación de

se hace componente a componente). Argumentamos esto en base a lo siguiente:

Si a y b son enteros positivos y son primos relativos entre sí, entonces:

donde βa es la clase de equivalencia de β en y de igual forma βb es la clase de

equivalencia de β en . Ahora probamos que f es un isomorfismo:

Utilizando las propiedades de congruencia modular, es fácil mostrar que f es un

morfismo de anillos.

Es sobreyectiva, porque por el Teorema Chino de los Restos el sistema:

tiene solución única módulo el producto ab, pues por hipótesis (a,b)=1; y la cual,

con una construcción adecuada, está dada por la siguiente suma

. Ahora probamos que x es la solución al sistema de congruencias:


Por tanto x es la solución simultánea a las dos congruencias.

Como f es sobreyectiva y además tienen la misma cantidad de

elementos, se tiene que f es inyectiva.

Luego f es un isomorfismo de anillos, es decir: . Y es precisamente este

isomorfismo el que utilizaremos para dar la prueba geodésica del teorema principal.

Para iniciar, primero considere el caso cuando n es impar. Si n es impar, (2,n)=1. Luego

con el fin de que n posea la propiedad diagonal, n tiene que dividir a 22

-1 = 3. Esto

significa que n puede tener tiene que ser 1 ó 3, los cuales tienen la propiedad diagonal.

Consideremos ahora el caso en que n es una potencia de 2, es decir 2t. Ahora tenemos que

(3,n)= 1. Al igual que antes, para n tener la propiedad diagonal, n tiene que dividir 32 -1 =

8. Es fácil ver que todos los divisores de 8 tienen la propiedad diagonal. Se exponen estos

dos casos, junto con la simple observación de que cualquier número entero positivo n

puede ser escrito de manera única como:

n = 2t k,

donde k es impar y t es un número entero no negativo. Entonces por el Teorema Chino de

los Restos obtenemos el siguiente isomorfismo:

A partir de este isomorfismo es fácil ver que n tiene la propiedad diagonal si y sólo si

ambos 2t y k tienen la propiedad diagonal. Combinando estas piezas, se deduce que los

únicos números enteros con la propiedad diagonal son los divisores de (8)(3)=24.


4. Prueba utilizando el Teorema de Dirichlet relativo a los primos que se encuentran

en progresiones aritméticas

4.1. Antecedentes históricos

La progresión aritmética de los números

impares 1, 3, 5,…, 2n+1,… contiene una

cantidad infinita de números primos. Es

natural preguntarse si otras progresiones

poseen esta propiedad... Fue Johann Peter

Dirichlet (1805 – 1859) el primero en

demostrar que una progresión aritmética de

primer término h y diferencia k, cuyos

términos son todos de la forma , con

, contiene una infinidad de primos si

(h,k)=1. Resultado que, además, es una

extensión de gran alcance del teorema de

Euclides de la infinitud de los números

primos y uno de los más hermosos de toda

la Teoría de Números.

Recordemos que Euler demostró la existencia de una infinidad de números primos

probando que la serie , extendida a todos los primos, diverge. La idea de Dirichlet

consiste en demostrar un teorema análogo cuando los primos se hallan obligados a

pertenecer a la progresión dada en el párrafo anterior. En una famosa memoria publicada

en 1837 Dirichlet alcanzó este objetivo por métodos analíticos ingeniosos, pues se salió

del reino de los enteros e introdujo instrumentos de Análisis tales como los límites y

continuidad.

Fig. 1 Johann Peter Gustav

Lejeune Dirichlet


4.2. Prueba

El Teorema afirma que dado dos enteros cualesquiera s y t que son primos relativos entre

sí, la progresión aritmética contiene infinitos números primos. Usaremos

este resultado para demostrar el teorema principal.

Sea n un entero que tiene la propiedad diagonal. Entonces n tiene la característica de que

para cualquier primo p que no le divide, se cumple que . Si , luego para

todo divisor primo q de n, q divide a ó . En otras palabras, cada primo p que

no divide a n tiene que ser de la forma para cada divisor primo q de n.

Esto es claramente una condición fuerte sobre n. Si existe un divisor primo de n que es

mayor que 3, entonces tenemos una progresión aritmética , donde ,

1 ó y . Note que y por el Teorema de Dirichlet

sabemos que esta progresión aritmética tiene un número infinito de números primos. En

particular, contiene un primo que no divide a n. Esta elección de no cumple con el

requisito de que es uno de la forma para cada divisor primo q de n; se

produce un error en la construcción de . El resultado es que no hay ningún divisor

primo de n que es mayor que 3, lo que significa que n es de la forma . El número

primo más pequeño que es primo relativo con cada número de la forma es 5. Nuestra

proposición dice entonces que, n tiene que dividir a , como se deseaba.

5. Prueba utilizando la Estructura de la Teoría de la Unidades

El conjunto de elementos invertibles en son denotan por . Este conjunto forma un

grupo abeliano bajo la multiplicación, lo cual se puede comprobar rápidamente. La

estructura de grupo de ha sido completamente determinada. Para explicarlo sea

la descomposición en primos de n (> 1). Usando el Teorema Chino de

los Restos, se demuestra que existe el siguiente isomorfismo de grupos


Por tanto, es suficiente explicar la estructura de . La misma está dada por:

Donde es el grupo cíclico de orden k, y es la función de Euler, que indica el

número de enteros positivos menores que x que son primos relativos con x.

Volviendo a nuestro problema, recordamos la proposición anterior que dice que n tiene la

propiedad diagonal si y sólo si para todo a en . Por lo tanto nuestra tarea es

simplemente identificar a los grupos de la lista anterior que tienen la propiedad de que

cada uno de sus elementos tiene, a lo sumo, orden dos. y , obviamente tienen esta

propiedad. tendrá esta propiedad si y sólo si ó . Finalmente,

tendrá esta propiedad para p impar si y sólo si . Es fácil

ver que esto es posible precisamente cuando . A partir de estos cálculos se observa

que un entero n con la propiedad diagonal no puede tener un divisor primo mayor que 3.

Por otra parte, la potencia máxima de 3 en n tiene que ser 1 y la de dos tiene que ser 3. La

colección de estos enteros se da por

, donde

que son exactamente los divisores de 24.

Nota: Tenga en cuenta que el grupo abeliano tiene una natural estructura del espacio

vectorial , precisamente cuando para todo a en . Por lo tanto podemos decir

que n tiene la propiedad diagonal si y sólo si es naturalmente un espacio vectorial

sobre .


En las dos secciones siguientes vamos a utilizar algunos resultados en Teoría de Números

para demostrar que si n tiene la propiedad diagonal, entonces . Los valores de un

número finito de n hasta 24 pueden ser tratados por separado para probar el teorema

principal.

6. Prueba utilizando el Teorema de Bertrand - Chebyshev


En el año 1845, Joseph Bertrand

(1822-1900) postula que si ,

entonces siempre hay un número

primo entre n y 2n. Aunque no dio una

prueba, él lo verificó para todos los

valores de n hasta tres millones. Unos

años más tarde (1850) Pafnuti

Chebyshev (1821-1894) dio una

prueba analítica de este resultado. Una

prueba elemental, sin embargo, tuvo

que esperar casi un siglo. En su primer

artículo en 1932, Erdös dio una bella

prueba elemental de este teorema

usando nada más que algunas

propiedades de los coeficientes

binomiales que son fácilmente

verificables.

Veamos lo que este teorema tiene que decir acerca de nuestro cuestionamiento.

Fig. 2. Joseph Louis Bertrand (izq.) y Pafnuti

Lvóvich Chebyshov (der.)


6.2. Prueba

Sea n un entero con la propiedad diagonal. Esto es, dado un primo p que no divide a

n, . Tenga en cuenta que si n divide a , entonces , ó

. De manera equivalente, mirando la contrarecíproca, tenemos la siguiente

declaración, que es más atractiva. Si entonces p divide a n.

Hay varias maneras de proceder desde este punto, y aquí se presenta una. Supongamos

que y consideramos los intervalos siguientes

Por el teorema de Bertrand-Chebyshev cada uno de estos intervalos tiene al menos un

primo. Tenga en cuenta que estos dos números primos son menores que . También,

los primos 2, 3 y 5 son menores que porque se supone que es mayor o igual

que 5. Por lo tanto, todos estos números primos, así como su producto, dividen a n. En

particular, el producto de estos primos es a lo sumo n. De esto tenemos la siguiente

desigualdad

Que se simplifica a

Esto es imposible, por lo tanto debemos tener que , lo que significa que

ó . Ahora afirmamos que . Si no es así, entonces el producto 210

de los primos 2, 3, 5 y 7 dividiría a n. Puesto que , sólo hay una posibilidad, es


decir, n=210. Sin embargo, 210 no tiene la propiedad diagonal, porque

. Por lo tanto ó .

Ahora veamos qué pasa si . En este caso, los primos 2, 3 y 5 dividen a n. Por

lo tanto, también su producto, 30, divide a n. El único múltiplo de 30 menor que 48 es 30

mismo, que no tiene la propiedad diagonal, porque . Por lo

tanto , lo que significa que , sin duda el mejor salto que se puede

obtener.

El cálculo anterior se puede simplificar un poco, si se utiliza una generalización del

teorema de Bertrand-Chebyshev debido a Erdös, como veremos en la siguiente sección.

7. Prueba utilizando los Teoremas de Erdös y Ramanujan


Existe diferentes variaciones impresionantes,

así como generalizaciones del Teorema de de

Bertrand - Chebyshev. Un ejemplo de estas

generalizaciones se le debe a Paul Erdös

(1913-1996); ésta dice que si , entonces

hay por lo menos dos números primos entre n

y 2n. Este teorema fue demostrado de forma

independiente por Ramanujan (1887-1920).

Y se usará dicho teorema para simplificar la

prueba anterior. Pero antes, para conocer un

poco más de la gran historia de Ramanujan,

tomaremos una cita de la biografía de este

gran matemático elaborada por André Weil:

Fig. 3 Paul Erdös (izq.) y Srinivasa

Ramanujan (der.)


“Este joven cuya carrera fue bloqueada por su pobre conocimiento del inglés, tuvo que

vegetar en trabajos inferiores como contable, que consiguió gracias a la protección de

algunos patronos a los que interesó su trabajo; por su cuenta y sin ningún apoyo llevó a

cabo sus investigaciones en teoría de números, la teoría de las series y las fracciones

continuas. Habiendo tenido acceso tan sólo a anticuados y mediocres libros de texto

británicos, no conocía ni tan siquiera la noción de convergencia de una serie. Por un

accidente fortuito algunos de sus resultados cayeron en manos de Hardy, que se apresuró a

arreglar su viaje a Inglaterra hacia 1916. Allí Ramanujan escribió sus trabajos más

importantes a los cuales debió, algunos años después, su elección como Fellow de la

Royal Society, un título de gran prestigio nunca hasta entonces concedido a alguien de

India. Pero durante su estancia en Inglaterra Ramanujan contrajo tuberculosis; murió en

1920, al poco tiempo de regresar a su país, donde nunca llegó a concedérsele una posición

académica. Así pues, nunca fundó escuela ni tuvo alumnos”.

Ahora veamos cómo utilizamos los resultados de estos grandes matemáticos de la historia

en la demostración de nuestro teorema principal.

7.2. Prueba

Asumimos que n tiene la propiedad diagonal. Entonces, como antes, tenemos la

implicación, “ ”. Ahora consideremos un solo intervalo

Si , este intervalo tiene por lo menos dos primos por el

Teorema de Erdös. Desde , los números primos 2, 3 y 5 serán menores que

. Argumentando como antes, entonces tenemos la siguiente desigualdad

que se simplifica para obtener , y que es una contradicción. Por lo tanto,

ó . Ahora se procede como antes, en primer lugar demostrar

que . Si no, entonces los primos 2, 3, 5 y 7; así como su producto 210, dividen


a n. Esto es imposible porque . Así lo que significa que .

Del mismo modo, si , los primos 2, 3 y 5; y también su producto 30, dividen a

n. El único múltiplo de 30 menor que 48 es el mismo 30, que no posee la propiedad

diagonal. Por tanto , lo que quiere decir que .

Esto es sólo el comienzo. Aquí se encuentra una generalización salvaje y genial, debido a

Ramanujan. Sea que denota el número de primos menores o iguales a x. Ramanujan

demostró que:

respectivamente

Los números 2, 11, 17, 29, 41, … son llamados los primos de Ramanujan. Tenga en

cuenta que el Teorema de Bertrand – Chebyshev está cubierto por el caso especial

y el Teorema de Erdös en el caso

Hace falta decir, en la misma forma de antes, que también se pueden utilizar estos

resultados más exóticos de Ramanujan para hacer frente a nuestra pregunta.


CONCLUSIÓN

Luego de haber demostrado que la tabla de multiplicación para contiene 1’s solamente

en la diagonal si y solo si n es divisor de 24, debo decir que: indudablemente la Teoría de

Números es una de las áreas de la Matemática que más me ha llamado la atención, sobre

todo ahora que se ha profundizado un poco en algunos resultados importantes de la

misma: el Teorema Chino de los Restos, el Teorema de Dirichlet sobre primos en una

progresión aritmética, y otros. Pero no sólo por los resultados, sino también por la forma

en que fueron obtenidos o bien por algunas particularidades en la vida de quienes

trabajaron en ellos. Por ejemplo: Ramanujan demostró de manera independiente que si

, entonces hay por lo menos dos números primos entre n y 2n; y que es una

variación del Teorema de de Bertrand – Chebyshev formulada por Erdös. Lo

impresionante es que, este y otros trabajos, los realizó sin haber tenido una formación

universitaria; y por lo cual es considerado uno de los mayores genios naturales de la

historia.

Por otro lado, se ha aprendido a valorar la estimulación que ejercen los estudiantes al

momento de formular preguntas en el salón de clase, pues este documento surge

precisamente por ello. Además, de que las complejas herramientas utilizadas en las

demostraciones, independientemente del área en el que se hayan descubierto, se pudieron

enlazar para dar respuesta a la pregunta de Elliot; poniendo de manifiesto la característica

particular de los problemas en la Teoría de Números: “entendibles hasta para quienes no

son matemáticos, pero cuya demostración no resulta tan fácil de concebir como su

formulación”.


RECOMENDACIONES

1. Uno puede evitar toda la fuerza del Teorema de Dirichlet como se usó aquí. Es

suficiente asumir el caso especial de que la progresión aritmética (o bien )

contiene un número infinito de números primos. Esto nos permitirá mostrar el resultado

(exactamente como antes) que el 5 no puede dividir a n. Por lo tanto n tiene que dividir a

. La prueba anterior es, sin embargo más natural. Se explica, naturalmente,

porque sólo los primos 2 y 3 se pueden producir en la factorización de n.

2. Cubos de Multiplicación.

En lugar de las tablas de multiplicar, también se pueden considerar los cubos de la

multiplicación. Esta es una extensión natural de la noción de una tabla de multiplicar y se

define de manera similar. Dado un entero positivo n, una multiplicación cúbica para es

un cubo cuya entrada en la coordenada es el

producto . Ahora podemos formular la misma pregunta para estos cubos.

¿Cuáles son todos los valores de n para que la multiplicación cúbica de tienen 1’s solo

en la diagonal?

Encontrar todos enteros positivos que tienen esta propiedad, de tantas maneras como sea

posible, es un proyecto divertido.


BIBLIOGRAFÍA

1. TOM APOSTOL. Editorial Reverté. 2002. Introducción a la Teoría Analítica de

Números. España.

2. HUGO BARRANTES. Editorial EUNED. 2007. Introducción a la Teoría de Números.

Costa Rica.

3. ANTONIO SANTIAGO. Editorial Visión Libros. Teoría de Números. España.

4. SUNIL KUMAR SHEBOLU. April 28, 2011. What is special about the divisors of 24?

Departmenth of Mathematics, Illinois State University, USA.

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