Experimento

Ministério da Ciência e Tecnologia

Ministério da Educação

Secretaria de Educação a Distância

O experimento

licença Esta obrá está licenciada sob uma licença Creative Commons

geometria e medidas

Duplicação do Cubo

Objetivos da unidadeExperimentalmente, obter a aresta de um cubo, que possui 1. o dobro do volume de um outro cubo de arestas já conhecidas;Obter numericamente um valor aproximado de ;2. Desenvolver a noção de número irracional.3.

3√2

O experimento

SinopseNesta atividade exploramos experimentalmente o problema clássico da duplicação de um cubo para, a partir disso, introduzir o número irracional e calcular numericamente a sua representação decimal com um determinado número de casas decimais.

ConteúdosNúmeros, Conjuntos Numéricos; �

Geometria Espacial, Geometria Métrica. �

ObjetivosExperimentalmente, obter a aresta de um cubo, que possui o dobro 1. do volume de um outro cubo de arestas já conhecidas;Obter numericamente um valor aproximado de ;2. Desenvolver a noção de número irracional.3.

DuraçãoUma aula dupla.

Duplicação do Cubo

3√2

Duplicação do Cubo O Experimento 2 / 8

Introdução

Desde meados do século V a.C. o problema da duplicação do cubo foi amplamente discutido pelos matemáticos gregos. Esse problema tem um enunciado muito simples: dado um cubo de aresta conhecida, qual deve ser a aresta do cubo que tem o dobro do volume do primeiro?

Há uma lenda que diz que os deuses enviaram uma peste que dizimou um quarto da população ateniense. Para saber como se livrar da peste, um grupo de sábios foi até o oráculo do deus Apolo e a solução proposta pelo oráculo foi a de que dobrassem o volume do altar cúbico de Apolo. Apesar da aparente simplicidade do problema, os gregos não conseguiram resolvê-lo utilizando apenas suas técnicas de construção com compasso e régua não-graduada. Apenas no século XIX, com o desenvolvimento da álgebra, foi demonstrado que é impossível fazer tal construção com esses instrumentos! Soluções incluindo diferentes recursos foram apresentadas. Entre elas, se destacam a de Arquitas (cerca de 400 a.C.), de Platão (340 a.C.), de Eratóstenes (cerca de 230 a.C.), de Viète (1593) e de Descartes (1637). Esse problema clássico serve de moti-vação para desen volver esse experi mento que, na sua primeira parte, tratará de uma busca geométrica e experimental por um valor aproximado de 3

√2 e, na segunda,

uma busca numérica para uma aproximação decimal desse número.

Material necessário

Massa de modelar ( � a massa de modelar pode ser confeccionada com a utilização de farinha de trigo e água);Régua; �

Lápis; �

Calculadora. �

Construção dos cubos

Nesta etapa, esperamos que o aluno encontre experimentalmente uma aproximação para o número irracional . Divida os seus alunos em pequenos grupos e distribua diferentes quantidades de massa de modelar a cada um deles. O objetivo desta etapa é fazer os alunos perceberem que, dados quaisquer pares de cubos, um com o dobro do volume do outro, a razão entre suas arestas será constante. Para isso, eles devem construir seus próprios cubos.

etapa

Professor, sugira aos �

seus alunos que façam uma pesquisa sobre os três problemas clássicos da geometria grega.

Cada grupo deve dividir sua porção de massa em três partes iguais. E, para fazê-lo, os grupos devem:

Modelar um cilindro com suas respectivas 1. massas de modelar e, utilizando uma régua, marcar de modo a dividi-lo em três partes iguais conforme a figura 1;Cortar o cilindro nas marcações utilizando 2. uma régua;Com uma das partes, modelar um cubo 3. e juntar as outras duas para fazer um segundo cubo conforme a figura 2.

Chamamos a aresta do cubo menor de e a do cubo maior de .

fig. 1

Observe com seus alunos que o cubo maior possui o dobro do volume do cubo menor devido à divisão efetuada anteri-ormente. Os grupos devem medir a aresta dos seus respectivos cubos e anotar os dados obtidos na tabela 1 da Folha do Aluno. Feito isso, peça que os grupos repitam esse procedimento com uma quantidade diferente de massa, construindo mais dois cubos e anotando os dados na tabela. Eles devem repetir esse procedimento três vezes com quantidades de massa diferentes. Peça aos grupos que completem a tabela 2 da Folha do Aluno calculando as razões

para cada construção e o valor médio das razões. A seguir, o professor deve socializar os dados de cada grupo preenchendo a tabela 1 na lousa.

fig. 2

Professor, chame a atenção da turma para si e discuta com os seus alunos a proximidade das razões. Atente para o fato de que existem imprecisões nos cálculos devido a erros na modelação dos cubos e na medição das arestas e, por isso, os valores obtidos pelos alunos não serão todos iguais. Na próxima etapa veremos que esta razão é constante.

O valor da razão

Nesta segunda etapa, o professor deve concluir que a razão é constante e provar aos seus alunos que o valor dessa constante é . Para isso, propomos que seja feita a seguinte demonstração na lousa:

Cabeça da tabela Média dos valores da razão

Grupo 1

Grupo 2

…

Último grupo

tabela 1

etapa

A segunda etapa deste !experimento tem caráter expositivo.

Peça para que os grupos �

preencham a tabela na lousa conforme forem obtendo seus valores médios.

O volume de um cubo de aresta é . Considerado um segundo cubo de aresta com o dobro do volume do primeiro, então

. Ao extrair a raiz cúbica de ambos os lados, obtemos . Dividindo ambos os lados da equação por , temos:

Como visto acima, tal constante é o número . Ele pertence ao conjunto dos números irracionais, ou seja, não pode ser escrito na forma com e

números inteiros e diferente de zero. A representação decimal de um número irracional é uma dízima não-periódica, ou seja, possui infinitas casas decimais sem nenhum padrão de repetição. Uma parte dessa representação decimal é

As razões obtidas pelos grupos devem estar próximas desse número, salvo casos em que tenham ocorrido grandes erros de medidas. Agora sabemos que para duplicar o volume de um cubo basta multiplicar a sua aresta por , o que não é uma tarefa trivial, visto que é um número irracional.Na etapa 3 veremos como encontrar uma aproximação para o número , sem que haja prejuízos por imprecisões de medidas.

Demonstração de que é igual a

Note que na demonstração !dizemos que , assim e/ou é irracional.

Uma aproximação decimal para

Nesta terceira etapa, os grupos devem encontrar uma aproximação com quatro casas decimais para o número e preencher a tabela 2 da Folha do Aluno. Reforce aos alunos o que significa um número ser igual a , ou seja, enfatize que é um número que, elevado ao cubo, resulta em 2. Encontramos o valor decimal aproximado de através do seguinte algoritmo:

Peça para que os alunos forneçam dois 1. números tais que um deles elevado ao cubo seja menor que dois e o outro seja maior. Vamos supor que os alunos sugiram os números 1 e 2 (se eles fornecerem outros números, o procedimento será o mesmo);Numa reta real, divida o intervalo 2. em dez partes iguais, marcando os números

. Calcule o cubo de todos esses números partindo do 1,1 em ordem crescente até que esse cubo seja maior que 2. Isso acontecerá em 1,3; marque esse número e o imediatamente anterior, o 1,2 no caso. Agora sabemos que está entre 1,2 e 1,3 já que .Divida o intervalo 3. em dez partes iguais e eleve esses valores ao cubo até o primeiro

etapa

Observe que este !procedimento não é muito simples, necessitando de uma maior atenção.

momento em que o resultado for maior que 2. O novo intervalo terá como extremidades esse número e o imediatamente anterior:

, pois .

Analogamente, divida o novo intervalo em 4. dez partes, encontre os dois valores que cercam e repita o procedimento no novo intervalo. Com mais 3 repetições, os alunos chegarão ao intervalo Desse modo, os alunos encontram duas 5. aproximações para com 5 casas decimais de precisão, a saber, e . O menor número é chamado de aproximação por falta e o maior de aproximação por excesso.

Os dois valores não são representações exatas de e seu erro pode ser medido através do número de casas decimais de precisão, no nosso caso o erro é menor do que 0,00001.

Sugerimos que os �

alunos calculem o valor aproximado com 4 casas decimais de precisão.

fig. 1

Professor, note que !os alunos podem realizar o algoritmo apresentado sem executar todos os passos sugeridos, apenas confi ra se os valores obtidos estão corretos.

Nas etapas 1 e 2 foi obtido um valor aproxi-mado de experimentalmente ao calcular a razão e ao provar que o valor dessa razão é . Já na etapa 3, foi encontrado um valor aproximado de ao executar um algoritmo que fornece uma aproximação decimal desse número. Compare o valor de encontrado na etapa 1 com a aproximação encontrada na etapa 3.

Questão ao alunoA solução da questão da Folha do Aluno provavelmente vai requerer um encami-nhamento por parte do professor, visto que exige dos alunos uma abstração do conceito de número que pode ainda não ter sido adquirida. O número 2 não é um cubo perfeito, pois não existe um número natural que elevado a 3 é igual a 2. Assim, o número é uma dízima. É preciso decidir se é uma dízima exata, periódica ou não periódica. Por meio do procedimento da etapa 3 não se pode concluir que é possível fazer apenas um número fi nito de passos, portanto não podemos afi rmar que é uma dízima exata e nem que o processo estende-se infi nitamente, nunca chegando a um valor exato de .

Na impossibilidade de respondê-la, analisando apenas o procedimento numérico para encontrar a aproximação do número

, surge uma oportunidade para mostrar ao aluno a importância de um raciocínio lógico envolvendo resultados teóricos para conseguir responder certas indagações. Neste ponto uma demonstração se faz necessária para que se possa afirmar que é impossível escrever como um decimal finito ou um decimal periódico. Para isso, é necessário mostrar primeiramente que ele é um número irracional:

Para um número ser irracional não podem existir e inteiros coprimos (primos entre si), com diferente de zero, tais que,

. Suponha que não seja irracional, ou seja, que existem e inteiros coprimos, com diferente de zero, tais que . Então e, elevando ambos lados à potência 3 vale , ou seja,

é um número par, e, por consequência, também o é. Como é par, pode-se dizer

que , para pertencente aos inteiros, e pode-se reescrever a expressão da seguinte maneira: , que é o mesmo de dizer que , ou ainda, . Disso pode-se concluir que é um número par, mas isso contradiz o enunciado de que

e são coprimos, já que ambos são pares divisíveis por 2.

Demonstração de que é irracional

Logo dizer que não é irracional é um absurdo, daí conclui-se que é um número irracional.

Ficha técnica

Ministério da Ciência e Tecnologia

Ministério da Educação

Matemática MultimídiaCoordenador GeralSamuel Rocha de OliveiraCoordenador de ExperimentosLeonardo Barichello

Instituto de Matemática, Estatística e Computação Científica (imecc – unicamp)DiretorJayme Vaz Jr.Vice-DiretorEdmundo Capelas de Oliveira

Universidade Estadual de CampinasReitorJosé Tadeu JorgeVice-ReitorFernando Ferreira da Costa

Grupo Gestor de Projetos Educacionais (ggpe – unicamp)CoordenadorFernando ArantesGerente ExecutivaMiriam C. C. de Oliveira

Secretaria de Educação a Distância

licença Esta obrá está licenciada sob uma licença Creative Commons

AutoresClaudina Izepe Rodrigues, Eliane Quelho Frota Rezende e Maria Lúcia Bontorim de Queiroz

Coordenação de RedaçãoFabricio de Paula Silva

RedaçãoKauan Pastini Paula Leite e Luís Antônio Rodrigues

RevisoresMatemáticaAntônio Carlos PatrocínioLíngua PortuguesaCarolina Bonturi PedagogiaÂngela Soligo

Projeto gráficoPreface Design

IlustradorLucas Ogasawara de Oliveira FotógrafoAugusto Fidalgo Yamamoto