E s f e r a. Quanto maior a dificuldade, tanto maior é o mérito em superá-la. (H. W. Beecher)
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E s f e r aE s f e r a
“ Quanto maior a dificuldade, tanto maior é o mérito em
superá-la.” (H. W. Beecher)
Corpos RedondosCorpos Redondos
Somos formados por superfícies planas e
curvas ou apenas por superfícies curvas.
Quem sou eu?Quem sou eu?
• Sou formado, apenas, por uma superfície curva
Esfera pag 221
ConceitoConceito
A esfera é um sólido limitado por uma superfície curva de revolução que tem todos os pontos igualmente distantes de um ponto interior chamado centro. A superfície esférica é resultado da revolução de uma semicircunferência em torno do diâmetro.
De uma forma geral e bastante simples, podemos dizer que a superfície esférica é a “casca”, enquanto a esfera é a reunião da “casca” com o “miolo”.
"Desejo é a chave da motivação, mas são adeterminação e o comprometimento com aperseguição implacável da sua meta que o possibilitarão de obter o sucesso que procura." (Mario Andretti)
Elementos da esferaElementos da esferaParalelo :
É qualquer seção (circunferência)
perpendicular ao eixo.
Meridiano:
É qualquer seção (circunferência)
cujo plano passa pelo eixo.
Eixo
Exercícios: pag 222 – 56, 59
Área de uma superfície esféricaÁrea de uma superfície esférica
A área de uma superfície esférica de raio “r”
é dada por S = 4 pi r2
Exemplo:
1. Calcular a área de uma superfície esférica
de raio 6 m.
Rsp: 144 pi m2
Volume de uma esferaVolume de uma esfera
O volume de uma esfera de raio “r” é dada
por V = 4/3 pi r3
Exemplo:
2. O raio de uma esfera é 3 m. Calcular o
volume dessa esfera.
Rsp: 36 pi m3
Exercícios: pag 223 – ler R 17 e R 18.
pag 225 - 61
pag 227 – 98 (desafio) turma 201 e 204
Cunha esférica e fuso esféricoCunha esférica e fuso esféricoCunha esférica é o sólido gerado pela
rotação, segundo um ângulo alfa, de
um semicírculo de raio “r” em torno
de um eixo.
Fuso esférico pela rotação, segundo um
ângulo alfa, de uma semicircunferência
de raio “r” em torno de um eixo.
Exercícios:
pag 224 – ler R 19.
pag 225 – 63, 65,67
r
r r
2rh2r
5
Pag 227 -100.
1. Uma esfera de círculo máximo com área 36 pi cm2 é secionado por um plano a 3 cm do centro. Calcule a área da seção determi -nada pelo plano.
3 cm6 cm
raio
Rsp: 27 pi cm2
2. Um fuso de uma esfera de 40 cm de raio apresenta ângulo diedro de 450. Determine a área do fuso e a área e o volume da cunha correspondente.
Rsp: Af= 800 pi cm2
Ac= 2400 pi cm2
Vc= 32000/3 pi cm3
3. A figura seguinte mostra um modelo de sombrinha muito usado em países orientais.
Esta figura é uma representação de uma superfície de revolução chamada de
a) pirâmide. b) semiesfera. c) cilindro. d) tronco de cone. e) cone. x
4. Oscar Niemayer é um arquiteto brasileiro, considerado um dos nomes mais influentes na arquitetura modernainternacional. Ele contribuiu, através de uma doação deum croqui, para a construção do planetário da UFSM, um marco arquitetônico importante da cidade de Santa Maria.
Suponha que a cobertura da construção seja uma semiesfera de 28 m de diâmetro, vazada por 12 partes iguais, as quais são aproximadas por semicírculos de raio 3 m. Sabendo que uma lata de tinta é suficiente para pintar 39 m2 de área, qual a quantidade mínima de latas de tinta necessária para pintar toda a cobertura do planetário? (Use 3)π
a) 20. b) 26. c) 40. d) 52. e) 60.
x
5. Considere um cone circular reto e um cilindro circular reto, ambos com diâmetro da base igual a 12 cm e tambémuma esfera com diâmetro de 12 cm, todos com volumes iguais. A altura do cone e a altura do cilindro devem ser respectivamente iguais a: a) 12 cm e 4 cm b) 30 cm e 10 cm c) 24 cm e 8 cm d) 9 cm e 3 cm e) 18 cm e 6 cm
x
6. A prefeitura de certo município realizou um processo de licitação para a construção de 100 cisternas de placas de cimento para famílias da zona rural do município. Esse sistema de armazenamento de água é muito simples, de baixo custo e não poluente. A empreiteira vencedora estipulou o preço de 40 reais por m2 construído, tomando por base aárea externa da cisterna. O modelo de cisterna pedido no processo tem a forma de um cilindro com uma cobertura em forma de cone, conforme a figura abaixo.
Considerando que a construção da base das cisternas deve estar incluída nos custos, é correto afirmar que o valor, em reais, a ser gasto pela prefeitura na construção das 100 cisternas será, no máximo, de:Use: = 3 πa) R$ 100.960,00 b) R$ 125.600,00 c) R$ 140.880,00 d) R$ 204.000,00 e) R$ 213.520,00 x
Elementos de um CONE pag 209
base
Seção meridiana
Eixo ( passa pelo vértice e o centro do círculo da base)
o rdiâmetro
centro
Classificação de um CONE pag 210
3, Cone de revolução
o r
1. Cone reto
2. Cone oblíquoeixo
g
Cone equilátero
g = 2r
