27/10/2016

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Dinâmica do MovimentoRotacional

Prof. Cristiano OliveiraEd. Basilio Jafet – sala 202

crislpo@if.usp.br

Fisica I ‐ IO

Para que o qualquer tipo de movimento ocorra é necessário a aplicação de uma força.

Dinâmica do Movimento rotacional

No movimento de rotação, é necessário a aplicação de uma força que faça o corpogirar.

Como veremos, podemos associar movimentos de rotação à uma nova quantidadefísica, o torque.

Além da conservação da energia, para sistemas isolados, definiremos a conservaçãodo momento angular do sistema. Este principio de conservação é extremamente utilna descrição e compreensão do movimento de rotação de corpos .

Veremos diversas aplicações comodescrição dinâmica de um giroscópio oude um pião.

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Como vimos anteriormente, forças agindo sobre um corpo podem afetar seu movimentotranslacional. Nesta descrição não nos importava a forma do corpo uma vez que tratáva‐mos tudo como pontos materiais.

Torque

Para que ocorram movimentos rotacionais a magnitude e direção da força são importantes,mas tão importante quanto é o ponto de aplicação desta força, uma vez que isso acabaráocasionando diferentes tipos de rotação.

Na figura ao lado a chave de boca está sendo usadapara soltar um parafuso. E três forças de igualmagnitude são indicadas. A força aplicada próxima aofinal da chave é mais efetiva do que uma força ,aplicada próxima ao parafuso. Além disso, a força ,não fornece nenhum tipo de contribuição, apesar de seraplicada no mesmo ponto de , mas está dirigida aolongo do comprimento da chave.

bF

aF

cF

bF

A quantidade que indica a tendência que uma força temde causar ou mudar o movimento de rotação de um corpoé chamado de torque.

Vamos tomar o corpo abaixo, que pode girar em torno do eixo O.

Torque

Três forças agem no corpo no plano da figura. Paraa força , a tendência para causar a rotação noponto O depende da intensidade da força .Além disso, depende da distancia perpendicular ,entre o ponto O e a linha de ação, da força, isto é,a linha na qual o vetor força está.

1F

1F1l

Chamamos a distancia como braço de alavanca(ou braço de momento) da força com relação aO. O esforço de torção é diretamente proporcionaltanto a quando a . Sendo assim definimostorque (ou momento) da força com respeito aO pelo simples produto . Usa‐se a letra grega“tau” para torque. Para uma força comintensidade F cuja linha de ação é uma distanciaperpendicular l a partir de O, definimos torquecomo,

1l1F

1F 1l1F

11lF

Os termos “torque” e “momento” são usualmente utizados, assim como “braço daalavanca” ou “braço do momento”.

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Para diferenciar os torques da força F1 e F2podemos definir o torque como positivo,quando causa rotação em sentido anti‐horário. Assim, torques que causam rotaçãoem sentido horário, serão negativos. Comessa definição,

No SI, a unidade de torque é Newton‐metro.Apesar de ter a mesma unidade, torquenão é trabalho ou energia! (como veremos,torque é um vetor, ao passo que trabalho eenergia são escalares!)Sendo assim a unidade que devemosutilizar para o torque é N.m e não J (joules)!

Como devemos proceder quando a linha de ação da Força atuante não éperpendicular ao braço da alavanca?

O torque sempre corresponde à ação de umaforça e braço com direções perpendiculares.

Sendo assim, podemos pegar a componenteda força perpendicular ao braço, ou acomponente do braço de alavanca que éperpendicular à força aplicada.Matematicamente,

Note que tanto a força F e o braço dealavanca r são vetores.Desta forma podemos escrever o torque como um produto destes dois vetores. Comoo torque também é um vetor, qual tipo deproduto seria??

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Como vimos anteriormente, tanto a velocidade angular quanto a aceleração angular podemser representados por vetores. O mesmo é aplicado para o torque.

Torque como um vetor

Na realidade, a quantidade nada mais é do que a magnitude do produtovetorial .

Logo, podemos generalizar o torque como: quando uma força F age em um ponto composição r com respeito a uma origem O, o torque desta força com respeito a O é aquantidade vetorial,

A direção do torque segue as regras do produto vetorial. Naverdade, os vetores r e F definem um plano e assim, o torque será um vetor perpendicular a este plano. Em termospráticos, pode‐se utilizar a regra da mão direita com Ffechando sobre F.

Como indicado na figura ao lado, esta definição indicará osentido de rotação induzido pelo torque. Rotações em sentidoanti‐horario, fornecem torques positivos (“para cima”) erotações no sentido horario fornecem torques negativos (“parabaixo”). Sendo assim o vetor torque, velocidade angular eaceleração angular possuem compreensões similares!

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Lembremos domovimento linear:• O movimento linear era descrito pela cinemática: posição, velocidade, aceleração, etc.• O movimento era causado por uma força, com módulo, direção e sentido.

Torque e aceleração angular para um corpo rígido

Podemos agora definir a mesma sistemática para omovimento rotacional:• O movimento de rotação era descrito pela cinemática: posição angular, velocidade

angular, aceleração angular, etc.• O movimento de rotação é causado por um torque, com módulo, direção e sentido.

Torque e aceleração angular para um corpo rígido

Vamos assumir um corpo rígido composto de váriaspartículas. Escolhemos como eixo z como eixo derotação.

A força resultante agindo sobre esta partícula podeser descrita em termos de três componentes. Umaradial, F1,rad , na mesma direção de r1, outratangencial, F1,tan , tangente ao circulo de raio r1 noqual esta partícula se move e outra ao longo do eixode rotação, F1z .

Definidas as forças, podemos aplicar a Segunda Lei deNewton.A segunda lei de Newton para a componentetangencial fornece,

Como vimos antes, podemos expressar estacomponente tangencial em termos da aceleraçãoangular z: a1,tan = r1 z. usando esta expressão paraa aceleração tangencial e multiplicando ambos ladospor r1,

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Torque e aceleração angular para um corpo rígido

F1,tanr1 nada mais é do que o torque da força resultante com respeito ao eixo de rotação,ou seja a componente 1z.

Nenhuma das outras forças, F1,rad e F1z , contribuem para o torque sob o eixo de rotação z,uma vez que não alteram a rotação da partícula com relação a este eixo.

Agora, é o momento de inércia I1 da partícula com massam1 com relação ao eixode rotação, assim,

Podemos obter uma equação similar para cada partícula que compõe o corpo. Assim,podemos somar todas as equações,

No lado esquerdo temos a soma de todos os torquesque age sobre o corpo rígido.

No lado direito temos , o momento de inércia total do corpo rígido,multiplicado pela aceleração angular, que é a mesma para todo o corpo, pois ele érigido. Assim, podemos finalmente escreve o análogo da Segunda lei de Newton para omovimento rotacional:

Torque e aceleração angular para um corpo rígido

Assim como a segunda Lei de Newton define a força resultante sobre uma partícula comosendo massa vezes aceleração, este resultado nos fala que o torque resultante em umcorpo rígido é igual ao momento de inércia do corpo em relação a um dado eixo,multiplicado por sua aceleração angular.

O torque em cada partícula do corpo é devidoà força resultante nesta partícula, ou seja, asoma da ação das forças internas e externas.

No entanto, pela terceira lei de Newtonsabemos que as forças internas para qualquerpar de partícula exercem forças iguais eopostas. Sendo assim, estas forças gerarãotorques iguais e opostos, e deste modo, sesomam a zero. Com isso, todos os torquesinternos são zero e só nos importa os torquesfeitos por forças externas.

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Rotação em torno de um eixo em movimento

Podemos estender as analises da dinâmica do movimento de rotação para casos onde oeixo de rotação se move. Quando isso acontece, o corpo terá um movimento de rotação etranslação combinado.

A chave para descrever estas situações consiste de entender que :

“Qualquer movimento possível do corpo rígido pode ser representado como umacombinação do movimento de translação do centro de massa e a rotação ao redor deum eixo passando pelo centro de massa. “

Esta afirmação é verdadeira mesmo que o centro de massa acelere, ou seja, parareferenciais não inerciais. Exemplos são um bastonete em movimento balístico, umcorpo em rolamento em um plano, um ioiô, etc.

Translação e rotação combinadas: Relações energéticas

Está além da abordagem deste curso demonstrar que o movimento de corpos rigidospodem sempre ser divididos entre o movimento de translação do centro de massa e o derotação em torno do centro de massa.

No entanto podemos demonstrar que isso é verdadeiro para a energia cinética de umcorpo rígido que possui tanto movimento translacional e rotacional.

Neste caso a energia cinética do corpo é a soma de uma parte associada com omovimento do centro de massa e de outra parte associada com a rotação emtorno de um eixo passando pelo centro de massa:

Ou seja, podemos desacoplar as duas formas de energia para o movimento de um corporígido.

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Demonstração:

Vamos imaginar um corpo rígido feito por partículas. Como mostrado na figura ao lado,uma partícula com massa possui velocidade relativa a um referencial inercial. Estavelocidade é a soma vetorial da velocidade do centro de massa e a velocidade dapartícula relativa ao centro de massa:

A energia cinética Ki desta partícula no referencialinercial é . Esta energia pode ser escrita como,

Logo,

Demonstração:

A energia cinética total é a soma para todas as partículas que compõem o corpo.Utilizando esta definição na expressão anterior, temos

O primeiro e segundo termos possuem fatores comuns que podem ser tirados fora da soma, 

O primeiro termo,  é a massa total M. 

O segundo termo é zero pois  é Mmultiplicado pela velocidade do centro de massa relativo ao centro de massa, que é zero por definição.

O ultimo termo é a soma das energias cinéticas das partículas calculadas utilizando suasvelocidades escalares com relação ao centro de massa. Este termo nada mais é do que aenergia cinética de rotação em torno do centro de massa, . Logo,

Agora basta uma análise dos termos acima. 

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Rolamento sem derrapagem

Um caso muito importante de rotação e translação combinadas é o rolamento semderrapagem. A roda é simétrica, logo o centro de massa está no centro geométrico. Vamosassumir o movimento em um referencial inercial de referencia no qual a superfície na quala roda rola está parada.

Neste referencial, o ponto no qual a roda está em contato com a superfície estáinstantaneamente em repouso de como que não derrapa.

Assim a velocidade  e um ponto de contato relativo ao centro de massa deve ter a mesma magnitude mas direção oposta à velocidade do centro de massa 

Se o raio da roda é R e sua velocidade angular é  , a magnitude de  é R,  assim,

Fotografia instantânea de uma roda de bicicleta em rolamento

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Translação e rotação combinadas: Dinâmica

Podemos fazer a analise da translação e rotação em termos da dinâmica.

Para um corpo de massa M, a aceleração do centro de massa é a mesma que teriauma massaM sob a ação de todas as forças externas agindo no corpo,

O movimento de rotação em torno do centro de massa é descrito pelo análogo da SegundaLei de Newton,

Sendo Icm o momento de inercia com respeito a um eixo passando pelo centro de massa, ea soma inclui todos os torques com respeito a este eixo.

Pode‐se demonstrar que esta equação para os torques é válida mesmo que o eixo de rotação se mova, desde que  duas condições sejam válidas:

1. O eixo passando pelo centro de massa deve ser um eixo de simetria.

2. O eixo não muda sua direção.

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Trabalho e Potencia no Movimento Rotacional

Ao andar de bicicleta a força que você aplica nos pedais (um corpo em rotação) faz umtrabalho neles. Um motor girando também realiza trabalho. Podemos descrever estetrabalho em termos do torque e de deslocamentos angulares.

Suponha uma força tangencial agindo sobre um discopivotado.

O disco roda um angulo infinitesimal d em torno do eixofixo, durante um tempo infinitesimal dt.

O trabalho dW feito pala força quando o ponto no discose move a uma distancia ds é

Se d é medido em radianos, então, ds = R d , logo,

Agora, é o torque feito pela força , logo

O trabalho total W feito pelo torque durante um deslocamento angular de  1 para  2 será,

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Trabalho e Potencia no Movimento Rotacional

Se o torque é constante durante a mudança angular, então,

Note a completa analogia com o movimento unidimensional,

Se o torque é dado em N.m e o ângulo em radianos, o trabalho será em Joules.

Trabalho e Potencia no Movimento Rotacional

Quando o torque realiza trabalho em um corpo em rotação, a energia cinética muda poruma quantidade igual ao trabalho feito.

Seja o torque total agindo sobre o corpo, de modo que . O corpo é rígido, demodo que o momento de inercia I é constante. Neste caso temos,

Como é o torque total agindo sobre o corpo, a integral deste torque fornecerá otrabalho total agindo sobre o corpo, logo,

A mudança na energia cinética rotacional em um corpo rígido éigual ao trabalho feito pelas forças externas ao corpo. Estaequação é análoga ao teorema trabalho energia para umapartícula.

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Trabalho e Potencia no Movimento Rotacional

Para obter a potencia associada ao torque, dividimos a equação do trabalho infinitesimalpor dt:

Mas dW/dt é a taxa de realização do trabalho, ou potencia P, e d/dt é a velocidadeangular , logo,

Veja que esta equação é análoga ao caso do movimento translacional,

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Momento Angular

Como mostrado anteriormente, todas as quantidades rotacionais possuem um análogotranslacional.

O análogo do momento de uma partícula é o momento angular, o qual denotaremos por L.

Sua relação para com o momento p (momento linear) é a mesma relação do torque paracom a força,

Par uma partícula de massa m, velocidade v, momento p = m v, e vetor posição r relativa auma origem O de um referencial inercial, o momento angular L é definido como,

O valor de L depende da origem escolhida, pois envolve o vetor posição relativo a O. As unidades de momento angular são kg.m2/s

Na figura ao lado a partícula se move no plano xy. Sua posição r e seu momento p = mv sãomostrados. O vetor momento angular L é perpendicular ao plano xy. A regra da mão direitamostra que sua direção será ao longo do eixo z positivo e seu modulo,

onde l é a distancia perpendicular da reta suporte de v paracom O. Esta distancia funciona como o braço da alavanca parao vetor momento.

Quando a força F age na partícula, sua velocidade e momentomudam. Logo, seu momento angular também pode mudar.

vmrL

Para ver esta variação temporal no momento angular podemostirar a derivada da equação do momento,

vmrdt

d

dt

Ld

dt

vdmrvm

dt

rd

O primeiro termo nos parênteses é zero pois dr/dt = v e v x v = 0. No segundo termo,podemos substituir ma pela força F. Assim,

A taxa de mudança no momento angular de uma partícula é igual ao torque da força resultante agindo sobre ele.

Análogo linear :  Fdt

pd

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Momento Angular de um corpo rígido

Primeiro consideramos uma fina fatia do corpo caindo noplano xy. Cada partícula nesta fatia se move em um circulocentralizado na origem e a cada instante sua velocidade vié perpendicular ao vetor posição ri.

Podemos agora obter o momento angular total de umcorpo rígido girando ao redor do eixo z com velocidadeangular .

Assim,  = 90º para cada partícula. A partícula com massa mi na distancia ri a partir de O, tem a velocidade vi igual a ri . Assim,

A direção do momento angular para cada partícula é dado pela regra da mão direita, na direção +z.

O momento angular total desta fatia do corpo caindo no plano xy é a soma de todos osmomentos angulares das partículas. Assim,

sendo I o momento de inércia da fatia para com o eixo z.

Momento Angular de um corpo rígido

Podemos fazer o mesmo cálculo para as outras fatias do corpo, todas paralelas ao planoxy. Para pontos que não caiam no plano xy pode‐se ter uma complicação pois osrespectivos vetores posição r possuirão componentes nas direções x, y e z. Com isso omomento angular de cada partícula terá componentes perpendiculares ao eixo z.

Podemos fazer o mesmo cálculo para as outras fatiasdo corpo, todas paralelas ao plano xy. Para pontos quenão caiam no plano xy pode‐se ter uma complicaçãopois os respectivos vetores posição r possuirãocomponentes nas direções x, y e z. Com isso omomento angular de cada partícula terá componentesperpendiculares ao eixo z.

No entanto, se o eixo z for um eixo de simetria, ascomponentes perpendiculares das partículas em ladosopostos se cancelarão e se somarão a zero. Assimquando o corpo gira em torno do eixo de simetria, seumomento angular L está alinhado ao eixo de simetria epossui modulo L = I

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O vetor velocidade angular também está alinhado ao eixo derotação, como visto antes. Sendo assim, para um corpo rígidogirando em torno do eixo de simetria, L e estão na mesmadireção. Desta maneira temos a forma vetorial,

Como vimos antes, a taxa de mudança do momento angular deuma partícula é igual ao torque da força resultante agindo napartícula.

Para qualquer sistema de partícula, a taxa de mudança do momento angular é igual à soma dos torques de todas as forças agindo em todas as partículas. 

Os torques das forças internas se cancelam e sendo assim a soma de todos os torquescorresponde apenas às forças externas.

Se o momento angular total L do sistema de partículas é a soma de todos os torques,

Se o sistema de partículas é um corpo rígido girando em torno de um eixo de simetria, eixo zpor exemplo, então, Lz = Iz e I é constante. Se este eixo está em uma direção fixa no espaçoentão os vetores L e mudam apenas em magnitude, mas não em direção. Neste caso, dLz /dt= I dz /dt = Iz :

O que repete a equação da dinâmica de rotação de corpo rígido que obtivemos anteriormente. 

Note que se um corpo não é rígido esta equação não é valida pois I pode variar. No entanto a relação entre o torque resultante e a variação do momento angular é sempre válida!

Quando o eixo de rotação não é um eixo de simetria o momento angular em geral não é paralelo ao eixo de rotação. 

Quando o corpo gira, o vetor momento angular L traça um coneao redor do eixo de rotação. Como L muda, existe um torqueresultante agindo sobre o corpo mesmo que o modulovelocidade angular seja constante.

Se o corpo em questão é uma roda desbalanceada de umcarro este torque acabará causando danos e desgastes nosrolamentos. Quando se faz o balanceamento de rodas, peladistribuição de massas em torno de um eixo de rotação, faz‐secom que o vetor L se alinhe ao eixo de rotação, e emconseqüência elimina‐se este torque resultante quando aroda gira.

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Conservação do Momento Angular 

Os resultados anteriores relacionando torque e momento angular podem servir comodefinições alternativas para o movimento rotacional.

Veremos agora o principio de conservação do momento angular.

Assim como a conservação da energia e momento linear, este principio é uma leiuniversal, válida em todas as escalas de tamanho, desde sistemas atômicos e nucleares aomovimento de galáxias.

Este principio vem diretamente da relação entre torque e variação do momento angular:

dt

Ld

Se,  0 0dt

Ld

constanteL

“Quando o torque resultante externo agindo em umsistema é zero, o momento angular total de um sistemaé constante (conservado).”

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Conservação do Momento Angular 

Este principio de conservação fornece resultados bastante interessantes.

Imagine uma acrobata girando em torno do centro de massa com braços e pernasestendidas. Quando ela encolhe os braços e pernas seu momento de inercia Icm comrespeito ao centro de massa muda de um valor I1 par outro valor I2. A única força externaagindo sobre ela é o peso, que não possui torque com respeito a um eixo passando pelocentro de massa. Assim, seu momento angular Lz = Icmz fica constante e sua velocidadez aumenta quando Icm diminui, ou seja:

Quando um esqueitista ou umabailarina gira com braçosestendidos e depois os recolhe,a velocidade angular aumentapois o momento de inerciadiminui. Isto é umaconsequência direta daconservação do momentoangular no qual a força externaé zero.

Um caso interessante ocorre quando um sistema é composto de várias partes. Cada parteexerce força uma em outra de modo que os momentos angulares individuais se alteram. Noentanto, o momento angular total não se altera!

Imagine um sistema composto de dois corpos, A e B, que interagem somente entre si e comnenhum corpo mais. Se o corpo A exerce uma força em B, FAonB o torque correspondenteserá AonB . Este torque gera uma alteração no momento angular do corpo B,

Ao mesmo tempo, o corpo B exerce uma força FBonA em A, com torque correspondente,BonA,

Da terceira lei de newton, FAonB=‐FBonA. Além disso se as forças agem ao longo da mesmalinha, os braços de alavanca serão os mesmos. Assim os torques serão iguais e opostos.Logo,

Ou seja, o momento angular do sistema é constante. Os torques feitos pelas forças internaspodem transferir momento angular de uma parte para outra dentro do corpo mas nãopodem alterar o momento angular total do sistema!

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dt

Ld

dt

LLd

dt

Ld

dt

Ld totalBABA

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Giroscópio e Precessão

Giroscópio e Precessão

Para compreender a precessão deve‐se lembrar que a velocidade angular, momentoangular e torque são quantidades vetoriais. Em particular, deve‐se ter em mente arelação entre o torque resultante que age sobre a variação do momentoangular , .

Vamos analisar duas situações. Inicialmente vamosassumir que o disco está parado. Tomamos comoorigem o pivô do giroscópio, O e assumimos que odisco é simétrico, com massa M e momento deinércia I com relação ao eixo de rotação. O eixo derotação está inicialmente colocado na direção x.

As únicas forças agindo no giroscópio são a forçanormal n que age no pivô (sem atrito) e o peso wdo disco, localizada no seu centro de massa à umadistância r da origem O.

A força normal não faz torque pois age no pivô, mas o peso gera um torque na direçãoy. Inicialmente não temos rotação e o momento inicial Li é zero. Como vimos, umapequena alteração dL no momento angular em um pequeno intervalo de tempo serelaciona com o torque por:

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Giroscópio e Precessão

Esta mudança também está na direção y que é onde está direcionado. A cadaintervalo dt o momento angular muda por incrementos adicionais dL na direção y pois otorque é constante. Este aumento do momento angular horizontal significa que ogiroscópio gira (cai preso ao pivô) cada vez mais rápido em torno do eixo y.

Giroscópio e Precessão

Vejamos agora o que acontece quando o disco estáinicialmente girando, de modo que o momento angular Linão é zero.

Como o disco está girando em torno do eixo, Li estádirecionado ao longo deste eixo. No entanto cada umamudança no momento angular dL é perpendicular a esteeixo uma vez que o torque é perpendiculara este eixo.

Isto causa alteração na direção de L, mas não na seumódulo. As mudanças dL são sempre no plano horizontalxy então o vetor momento angular e o eixo do disco quecom ele se move estão sempre em um plano horizontal.Em outras palavras, o eixo não cai, apenas sofreprecessão.

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Giroscópio e Precessão

Vamos obter a velocidade de precessão. O giroscópiopossui momento angular L. um intervalo dt depois, omomento angular será L+dL; a mudança infinitesimal nomomento angular é, dL=tdt, o qual é perpendicular à L,conforme indicado no diagrama ao lado.

Como o incremento é perpendicular, isso significa que ogiroscópio girou um pequeno angulo d dado pordfi=xxxx . A taxa no qual o eixo de move, d/dt échamada velocidade angular de precessão. Chamandoesta unidade de (ômega), temos,

A velocidade de precessão angular é inversamenteproporcional à velocidade angular de rotação ao redor doeixo. Um giroscópio gira rápido precessão lentamente. Seo atrito nos rolamentos faz com que sua velocidadeangular diminua, a velocidade de precessão aumenta!

Precessão da Terra

Velocidade de precessão da terra: 1 rev / 26000 anos

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Precessão de um Pião

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b

T

R

w

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