ELECTRICIDADE: Fluxo e Lei de Gauss

Aula – 4

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LICENCIATURA EM PILOTAGEM – EAD

Docente: Moisés João Chambule

FLUXO E LEI DE GAUSS

Conceito de fluxoLei de Gauss.Aplicações da Lei de Gauss.Forma diferencial da Lei de Gauss.As equaçao de Maxwell da electrostática.

Lei de Gauss

O campo eléctrico pode ser descrito qualitativamente através das linhas de campo.

Esta descrição esta relacionada a uma equação matemática conhecida como Lei de Gauss, que estabelece a ligação entre o campo eléctrico sobre uma superfície fechada e a carga no interior da superfície.

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A lei de Gauss permite calcular campos eléctricos de distribuições simétricas de carga.

Para a formulação da lei de Gauss joga um papel fundamental o conceito de “fluxo eléctrico”.

Consideremos uma superfície plana de área A num campo eléctrico E.

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Definiremos o fluxo eléctrico como sendo o produto da intensidade do campo E pela área A.

... Fluxo eléctrico para uma superfície plana perpendicular ao campo, onde n e’ um vector unitário da superfície.

Tratando-se de um produto escalar em θ = 0, então Unidades do Fluxo eléctrico: Quando o campo E forma com a normal n um Ângulo θ, o

fluxo será dado pela expressão:

Se a superfície for curva, independentemente de o campo ser uniforme ou não, a superfície é dividida em pequenos elementos superficiais dA1, dA2, dA3,... Para cada elemento e’ traçado o vector unitário n dirigido perpendicularmente para fora da superfície.

nAE

AE 21 m

CN

cosAE

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Acha-se para cada superfície elementar o respectivo fluxo eléctrico

Integrando para toda a superfície resulta

Num ponto onde as linhas de campo eléctrico saem da

superfície, E esta’ dirigido para fora e F é positivo. Num ponto onde as linhas do campo eléctrico entram na superfície E esta dirigido para dentro e F e’ negativo.

O Fluxo total Φt, também denominado fluxo liquido, através de uma superfície fechada será positivo ou negativo conforme E na superfície é predominantemente dirigido para fora ou para dentro da superfície.

ndAEd ii

SSS

dAEndAEd cos

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O fluxo de qualquer parte da superfície é proporcional ao número de linhas de campo que passam através da sua superfície.

O fluxo líquido é proporcional ao número líquido das linhas de campo que saem da superfície, isto é, o número de linhas que saem menos o número das linhas que entram através da superfície.

Assim o fluxo líquido através de uma superfície qualquer fechada será

Seja a superfície fechada de forma esférica:

A

nA

liq dAEndAE

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O campo eléctrico em qualquer ponto desta superfície é

perpendicular a superfície e tem o módulo

O fluxo líquido através desta superfície é ,onde En saiu fora do integral por esta componente ser

constante em qualquer ponto da superfície.

O integral de dA sobre a superfície é igual a área total da superfície, ou seja, 4πR2. Então

Conclusão: O fluxo eléctrico liquido que passa por uma superfície esférica que envolve uma carga eléctrica Q puntiforme, é 4πKo vezes o valor da carga puntiforme.

2RKQEn

A

nliq dAE

QKRRQK

oo

liq 44 22

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Lei de Gauss: O fluxo líquido através de qualquer superfície é igual a 4πKo vezes a carga líquida no interior da superfície.

Em termos de εo teremos:

A lei de Gauss é válida para todas as superfícies e

todas as distribuições de carga.Para N cargas pontuais distribuídas discretamente

teremos por exemplo:

liqoA

nliq QKdAE 4

liqoA

nliq QdAE1

no

liqo

liq QQQQQ ...11321

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1.1.7.1. Campo eléctrico E nas vizinhançasde uma carga puntiforme

Quando a distribuição de carga é muito simétrica, como o caso de uma esfera uniformemente carregada, ou de uma recta infinita com carga eléctrica uniforme, é possível encontrar uma superfície matemática na qual se sabe, por simetria, que o campo eléctrico é constante e perpendicular à superfície.

Podemos então calcular com facilidade o fluxo eléctrico através da superfície e usar a lei de Gauss para relacionar o campo, a carga e a superfície.

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Consideremos uma carga pontual q localizada no centro de uma superfície esférica para a qual, por simetria, o vector campo eléctrico E é radial e o seu módulo depende só da distância à carga.Neste caso a componente normal En coincide com E. Então En =E.n=Er, e tem o mesmo valor em qualquer ponto da superfície esférica.

O fluxo líquido através desta superfície será

donde

Então . Considerando

e

ArA rAliq dAEdAEndAE

24 RdA

24 RErliq int1 Qo

liq

qREo

r 14 2 224

1RqK

RqE o

or

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Conclusão: As duas leis são equivalentes no que respeita a cargas em repouso.

1.1.7.2. Campo eléctrico E nas vizinhançasde um Plano Infinito de Cargas

Seja σ a densidade superficial de carga de um plano infinito xy. Por simetria, sabe-se que o campo eléctrico deve ser perpendicular ao plano e só depende da distância z ao plano.Além disso o campo eléctrico tem o mesmo módulo nas duas faces do plano, mas sentidos opostos, nos pontos igualmente distantes do plano, numa e na outra face.A superfície gaussiana será um cilindro, com eixo perpendicular ao plano e com o centro sobre o plano.

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Cada base do cilindro é paralela ao plano e tem a área A. Neste caso E é paralelo a superfície cilíndrica, de modo que não há fluxo do campo eléctrico através destasuperfície curva.O fluxo através de cada base do cilindro é EnA, de modo que o fluxo total é 2EnA.A carga no interior da superfície é σA. A lei de Gauss dá-nos donde ou int

1 QdAEo

nliq AAE

on

12

oo

n KE 22

Este resultado é idêntico ao obtido anteriormente com ajuda da lei de Colombo, para o campo de um plano infinito de cargas.

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1.1.7.3. Campo eléctrico E nas vizinhançasde uma Recta Infinita de Cargas

Seja dada uma recta de grande comprimento, com uma densidade linear de carga uniforme λ. Pretende-se determinar o seu campo eléctrico a uma dada distancia r.

Vamos escolher como superfície gaussiana uma superfície cilíndrica de comprimento L e raio r, com o eixo sobre a recta. Por simetria, nos pontos afastados das extremidades da recta, as linhas do campo eléctrico partem radial e uniformemente da recta carregada.O campo eléctrico é então perpendicular a superfície cilíndrica e tem o mesmo valor em todos os pontos desta superfície.

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O fluxo eléctrico será dado pelo produto do campo eléctrico com a área da superfície cilíndrica.Não há fluxo através das bases do cilindro.A carga no interior da superfície é igual a λL.

int1 QdAEo

nliq

orr

LdAEdAE

Segundo a lei de Gauss

Teremos

or

LrLE 2

rK

rE o

or

22

1

A área lateral total do cilindro é 2πrL. Substituindo resulta

Conclusão: Este resultado coincide com o obtido pela integração directa sobre a recta de cargas eléctricas.

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1.1.7.4. Campo eléctrico E no interior e no exterior de uma casca cilíndrica electricamente carregada

Para calcular o campo no interior de uma casca cilíndrica de raio R e densidade superficial de carga uniformes, construímos uma superfície gaussiana cilíndrica de comprimento L e raio r<R, co-axial a casca cilíndrica.

Por simetria o campo é normal a esta superfície gaussiana e tem o modulo Er, constante em todos os pontos da superfície.

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O fluxo do campo E através desta superfície gaussiana é então rLEdAEdAE rrnliq 2 Onde 2πrL é a área da superfície gaussiana.

Uma vez que a carga total no interior desta superfície é nula, da lei de Gauss resulta quePortanto para r<R

02 rLErliq 0rE

Conclusão: O campo eléctrico no interior de uma casca uniformemente carregada é nulo em todos os pontos.

Para acharmos o campo eléctrico no exterior da casca cilíndrica, construímos uma superfície gaussiana cilíndrica de raio r>R.

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Por simetria, E é perpendicular a superfície gaussiana e o seu modulo Er é constante em todos os pontos da superfície.

O fluxo é Er2πrL, mas agora a carga no interior da superfície é Q= σA= σ2πRL.A lei de Gauss dá-nos entãoPortanto o

rliqRLrLE

22

rREo

r

Considerando que o comprimento L da casca cilíndrica tem uma carga Q= σ2πRL, a carga por unidade de comprimento da casca cilíndrica será λ= σ2πR, donde σ= λ /2πR.

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Substituindo na equação de Er teremos r>R

rrRE

oor

2

1

Conclusão: Este resultado coincide com o do campo E a uma distância r de uma recta infinita uniformemente carregada. Assim, o campo eléctrico no exterior de uma casca cilíndrica de cargas eléctricas coincide com o campo eléctrico que se teria se toda a carga estivesse concentrada no eixo do cilindro.

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Lei de Gauss na forma diferencialDos conceitos sobre campos e operadores vectoriais, pode

ser deduzida a divergência do campo eléctrico e a Lei de Gauss pode ser expressa de modo bastante resumido na sua forma diferencial:

ou

Significado físicoA divergência do campo eléctrico, não nula, indica a presença duma densidade de carga eléctrica no ponto considerado, ou seja, cargas eléctricas são fontes de linhas de força.

o

divE

o

zyx

zE

yE

xE

As equações de Maxwell da electrostática

1ª equação de Maxwell

Lei de Gauss na forma integral

Lei de Gauss na forma diferencial

oAn

QdAE

O MEU MUITO OBRIGADO

04/27/23 22