Elementos Del Algebra Capitulo 1 Logica

5/27/2018 Elementos Del Algebra Capitulo 1 Logica

1/16

/C ap itu lo L gica

Como teorfa formal, la lgica binaria posee elementos primitivos, los cualesse denominan proposiciones Al estudiar la lgica como modelo del ra-zonamiento o buen pensamiento , las proposiciones representan frases oexpresiones que poseen un valor de verdad, el cual puede ser verdadero ofalso. Para representar las proposiciones normalmente se emplean las letrasq\ sEjemplo 7 es un nmero primo y 3 es mayor que 5 son proposi-nes, la primera es verdadera es decir, tiene valor de verdad verdadero).

. q representa 3 es mayor que 5 , podemos decir q es falsa.Dada una proposicin, se define su negacin comolaproposicin que tieneor de verdad contrario. Es decir, si la proposicin es verdadera su negacinfalsa, y si es falsa, su negacin es verdadera. La neg cin se representael simbolo rv y se lee no_Fm:malmente la definicin anterior es la

siguienteDefinicin Dada una proposicin p, se define la negacin rv p como

proposicin que tiene valor de verdad de acuerdo a la tabla: t : IEjemplo Sila proposicin representa: oy esjueves, laproposicinp representa : Hoy no es jueves .Observe que si rvp representa: Hoy no es jueves , entonces( p ) representa la oracin No es cierto que hoy no,es jueves. Oracinequivale a decir Hoyes jueves . En efecto, la doble negacin de una

- posicin tiene el mismo valor de verdad que el de la proposicin inicial.es una propiedad, la cual est dada por la siguiente proposicin:Proposicin Dada una proposicin p, el valor de verdad de rv rvpel mismo que el de p.


2/16

Elementos de lgebra

Demostracin:p r v v - v pV VF V F\

Los conectivos lgicos definen nuevas proposiciones a partir de proposi-ciones dadas. El valor de verdad de la nueva proposicin depende de la com-binacin de valores de verdad de las proposiciones dadas. Con dos proposi-ciones se obtienen 4 combinaciones de valores de verdad.

V

En general, con proposiciones iniciales se obtienen combinaciones.

Dadas dos proposiciones con sus respectivos valores de verdad, se cons-truye una tercera proposicin llamada disyuncin cuyo valor de verdad esverdadero cuando al menos una de las proposiciones es verdadera, es falsocuando ambas proposiciones iniciales son falsas. La disyuncin se representacon el sfmbolo Yse lee o . Formalmente la definicin anterior es lasiguiente: Definicin Dadas las proposiciones p q se define la disyuncin p;qcomo la proposicin que tiene un valor de verdad de acuerdo a la siguientetabla: p q pVq

V V VF V

F V VF F F

Como modelo del razonamiento, la disyuncin corresponde a la unin dedos oraciones con el conectivo o . Por ejemplo, si representa Jorge estde vacaciones y q representa Jorge est fuera del pas , entonces p q:representa Jorge est de vacaciones o est fuera del pas .

Observe que si la proposicin Jorge est de vacaciones o est fuera delpas e s verdadera, no es posible deducir si J orge est de vacahiones obien Jorge est fuera del pas. Incluso podra ocurrir que ambas fue ranverdaderas. Lo nico que se puede asegurar es que ambas no son falsas a lavez.


3/16

Lgica 3

Por otro lado, si se sabe que Jorge est de vacaciones o est fuera delpas es falsa, entonces, definitivamente ambas frases Jorge est de vaca-ciones y Jorge sali del pas son falsas. .

Ejemplo Determinemos el valor de verdad de la proposicin(5 4) (2 es divisor de 6).

Aunque 5 < 4 es falsa, la expresin completa es verdadera. Puespara que la disyuncin sea verdadera basta que una de las proposicionescomponentes lo sea.

Dadas dos proposiciones , la conjuncin de ellas forma una terceraproposicin, cuyo valor de verdad es verdadero solamente cuando las dosproposiciones le son. Y es falsa sial menos .una de ellas es falsa.

La conjuncin se representa con el smbolo /\ se lee y Formal-mente la definicin anterior es la siguiente:Definicin Dadas las proposiciones P g se define la conjuncinp \qcomo la proposicin que tiene un valor de verdad de acuerdo a la siguientetabla:

p q p qV V VV F FF V FF F F

Dadas dos proposiciones, la implicacin forma una tercera proposicin,cuyo valor es verdadero, salvo en el caso que la primera proposicin sea ver-dadera y la segunda falsa.

La implicacin se representa con el smbolo y se lee implica .Formalmente la definicin anterior es la siguiente:Definicin Dadas las proposiciones p q s define la implicacinp } q como la proposicin que tiene un valor de verdad de acuerdo a lasiguiente tabla:

p q p qV V VV F FF F F


4/16

Elementos de lgebra

Otra forma de definir la implicacin es a travs de la expresin p qEn efecto, es fcil demostrar lo siguiente:

Proposicin 2. p q) tiene el mismo valor de verdad de r-; p qDemostracin.

q rvp jJ }q pVqV IV V VV F F V V V V V V V

Habitualmente sediceque p impli q cuando la proposicin p qes verdadera. Tambin se dice Si p, entonces q . El primer componentede la implicacin se llama antecedente y el segundo se llama consecuente.As, en la implicacin r s el antecedente es ry el consecuente es s

La implicacin como modelo del buen razonamiento es fcil de entendercuando el antecedente es verdadero. Por ejemplo, si la proposicin si voya la playa me bao es verdadera. Qu consecuencia obtiene Ud. de lainformacin voy a la playa ? Era de esperarse que Ud. respondiera queyome bao . Lo cual coincideplenamente con la tabla de verdad. Es decir, p q es verdad y es verdad, entonces q tambin es verdad.

Ahora bin si la proposicin si voy a la playa entonces me bao esverdadera, pero la proposicin voy a la playa es falsa, qu puede decirsede la proposicin yome bao ? No se apresure, piense bien.

Ntese que la afirmacin si voy a la playa me bao significa que cadavez que voy a la playa, tengo la obligacin de baarme. Pero, no afirma nadacon respecto a qu sucede si no voy a la playa. En efecto, si no voy a la playa,puedo baarme en cualquier otro lado y ello no contradice la proposicin obien podra no baarme.

Otro ejemplo es el siguiente: si x -3, entonces x2 9. Esa frasees verdadera, pese a que existe un caso en que x no es menos tres x 3)y su cuadrado es nueve.

Si la implicacin p q es verdadera, se dice que p es la causa de q,o bien que es una condicin suficiente para que ocurra q. Tambin sedice que q es una condicin necesaria para que ocurra p, puesto que qes el efecto de p. Por ltimo, note que la expresin p slo si q significaque p ocurre solamente si ocurre q, es decir, q es condicin necesaria


5/16

Lgica

para que ocurra p o bien, p => q.

Definicin Dadas las proposiciones p y q, se define la equivalenciap { =;> q como la proposicin que tiene un valor de verdad de acuerdo a lasiguiente tabla:

p q p { = ;> qV V VV F FF V FF F V

e

Dadas dos proposiciones, la equivalencia forma una tercera proposicin,cuyo valor de verdad es verdadero cuando las proposiciones tienen el mismovalor de verdad, es falsa cuando las proposiciones tienen valores de verdad,diferentes.

La equivalencia se representa con el sfmbolo { =;> y se lee es equi-valente a o bien si y slo si . Esto ltimo se escribe abreviadamente ssi..Habitualmente se dice que p es equivalente a q cuando la proposicinp { = ;> q es verdadera. Formalmente la definicin de equivalencia es:

Otra forma de definir la equivalencia es a partir de dosimplicaciones esdecir, a travs de la expresin p { = ;> q) A q => p) , en efecto, es fcildemostrar

Proposicin p => q q => p tiene el-mismo valor de verdad dep { = ;> qDemostracin: Ejercicio para el lector .Definicin Una proposicin se denomina t.autologia si su valor de ver-

dad es verdadero, cualquiera sean los valores de verdad de las proposicionesque la componen. Las tautoloqias se representan usualmente con la letra (tau) .

Ejemplo Mostremos que p p V q) es una tautologia. a travs deuna tabla de verdad.-

p q p => p q)V V V V VV F V V VF V F V VF F F V F


6/16

6 lementos de lgebr

Definicin Una proposicin se denomina contradiccin o absurdo si suvalor de verdad es falso, cualquiera sean los valores de verdad de las proposi-ciones que la componen. Las contradicciones se representan con la letra alpha .Ejemplo Mostremos que (p q) /\ rv p/\ rv q) es una contradiccin.

p q pV q) /\ rv p/\ rv q)V V V F FV F V F FF V V F FF F F F V

Nota: Para evitar un exceso de parntesis convendremos que los smbolos y /\ tienen prioridad sobre y{=} As, por ejemplo p q rser interpretada como p (q V r) .

Teorema Sean p, q y r proposiciones. Las siguientes propos ..ionesson tautologas:

4 2 pV '- 'P Principio del tercero excluido4.3) = = = > p 4.4) P V P


7/16

Lgica

4.10) rJ (p V q) r J p/\ r J qrJ (p /\ q) rJ pV ' q .

411 (p '* q) 'p V q

Ley de De Morgan)

4.12) +vv p/\g ,*p413 [(p '* q] /\ (q '* r) ] * (p '* r)414 (p , * q) ( ' q * p)4.15 (p


8/16

8 lementos de lgebr

} ( p V q ) A q ] [p }( ( p V q ) A q ) ] - ' p V [( (p V q ) A q ) ] Teo. 4.7

convencin

[ , , - , p V ( p V q ) ] A [' V q ] distributividad, [ ( r v p V p ) V q ] A [' V q ] asociatividad, V q] A [' P V q] Teo. 4.2

] A [' P V q] Teo. 4.16 [ ,,-, p V q] Teo. 4.16i

rvp V q. convencin.Ejercicios Resueltos1. Demostrar que p A q tiene el mismo valor de verdad de rv(rv V - qSolucin:

p Aq - p q rvp V rvq - (rvp V rvq)V V V F F F VV F F F V V F V F V F V FF F F V V V -

2. Determinar la veracidad de cada proposicin.a 2 < 4 V 2 es divisor de 6b 2 < 3 V 3 < 2c) 3 1 A 1


9/16

Lgica.

a Si p \q es falsa p es verdadera, entonces q es ...b Si p es falsa y p v q es verdadera , entonces q es ...e Si pVq es falsa, entonces p 1\ q ...d Si pVq es verdadera, entonces p 1\ q ...e Si pl\q es verdadera, entonces p V q ...

Solucin: a F, b V, e F, d puede ser V o F d V. Compare los valores de verdad en una tabla , determinando si difieren oson los mismos.

a Entre p \q Y q \ Pb Entre p qc Entre pVq /\r pV q l\r

Solucin: a son los mismos, b difieren e difieren.5 Demostrar que [p* q \ r ]


10/16

lementos de lgebra

p q p * qV V FV F V V V V

Solucin:

[ ' (p V q ) V (' P A q ) ] [ ( ' pA ' q ) V (' P A q ) ] [' P A ( q V q ) ] 'pAT ' p

Considere el conectivo * , definido por siguiente tabla:

p * q se lee p es incompatible con q . Determine si la proposicin[ ( p : : : : ; . q ) V q ] [(P A q ) * ' q J es una tautologa ..Solucin:

p q [( P : : : : ; . q ) V q ] [(P A q ) * ' q JF V V V V F F rF F V

8. Se puede concluir que Tina aprende si sabemos que el siguiente enun-ciado es verdadero? Si Pepe no le ensea a Tina, ella no aprende y si Tina no le pregunta

a Pepe entonces Tina no aprende es condicin suficiente para que TinaaprendaSolucin: Consideremos las siguientes proposiciones: p: Pepe ensea aTina, q: Tina le pregunta a Pepe y r: Tina aprende

enunciado es el siguiente :

al simplificar el enunciado se obtiene p A q lo cual no permite concluirr es decir, p A q) ::::;.r no es tautologa .9Sean p y q dos proposiciones.


11/16

gica 11

a Si p es verdadera qu valor de verdad tiene p V q?b Si q es falsa cul ser el valor de verdad de p V q?c Si p V q es falsa qu se sabe de q?

Soluciones: a Verdadero bEI valor de verdad de p c q es falsa.10 Determinar el valor de verdad

a Si 3 4 entonces 3 7b Si Andrs es chileno entonces Andrs es americanoc Si 23 entonces 8 es pard Si 2 3 entonces 8 es impare 4 es par implica que 3 es divisor de 12f 3 es par implica que 4 es divisor de 12g La implicacin es falsa slo cuando el antecedente es verdadero el.

consecuente es falso. Solucin: a V b V e V d V e V f V Yg V.

II a Si q es verdadero Qu se puede decir de p q? Si p es falso Qu valor de verdad tiene p q?c Si p q es verdadero Qu se sabe de p?d Si p q es verdadero Qu se sabe de q?e Si p >q es falso Qu se sabe de p?f Si p >q es falso Qu se sabe de q?

Solucin: a Es verdadero b V e Que podra ser V o F d Podria ser Vo F e Es V y f es F.12 Demuestre que v p /\ q v pV v q es tautologia.


12/16

Solucin: [(q p) p] rv q V p) p r v rv q V p ) V P

; (q A rv p) P . (qVp)A (rvpVPY (q Vp)A T

qVp

Elementos de lgebra

Solucin: rv (p q) rvpV rv qV V F V FV F V V FF V V V FF F V V V

13. Demuestre sin usar tablas de verdad que

Solucin;[rv PVq V rv pAq)] (rv pA rvq)V (rvpAq)

rv p A r v q V q ) r v pAT r vp

De Morgandistributividad) 3excluido)

4 Simplifique la expresin (q p) p.

15. Determinar valores de verdad para q sabiendo que[ PA rv q) A r rv (p V q) es falsa.

Solucin: Si la implicacin es falsa entonces, PA rv A r es verdaderay rv (p V q) es falso. Si P A rv q) A r es verdadero, p es verdadero,rv q es verdadero r es verdadero como p es verdadero, p q esverdadero. En este ejercicio es adecuado comprobar que est bien planteado,es decir, siendo p verdadero y q falso se concluye que rv p q es falsa, loque concuerda con la conclusin previa, 6Determinar los valores x E R para que la proposicin x > O x < Osea verdadera;


13/16

Lgica

Solucin: S i x O es verdadero x O es falso Luego x O : : : :} x Oes falso Si x S O es verdadero entonces x O es falso y por endex O::::} O ser verdadero7 Se sabe que:

Si Pedro no es alumno de la Universidad de La Serena o Juan es alumnode la Universidad de La Serena entonces Juan es alumno de la Universidadde Chile Si Pedro es ahora de la Universidad de La Serena y Juan no esalumno de la Universidad de Chile entonces Juan es alumno de la Universi-dad de La Serena En qu Universidad estudia Juan?Solucin: Sea p: Pedro es alumno de la Universidad de La Serenaq: Juan es alumno de la Universidad de La Serena Juan es alumno de laUniversidad de Chile

Los datos se representan entonces por:[(rv p V q }s ] r ; [ ( P / \ rv s ) : : : : } q ]

Simplificamos la expresin:

[rv ( p V q) V 8 ] / \ ( (p/\ s ) V q ]( ( P A q) V 8] /\ [( P V 8) V q J[(p /\ q) V 8 J / \ [ ( P V q) V 8 J[ ( p / \ rv q ) A ( P V q ) ] V s

[ ( p V q) /\ ( p V q)J 8 88

La proposicin equivale a decir Juan esalumno de la Universidad de Chile8 Encuentre el valor de verdad de

[( p ::::} q) V ( P r. q)] /\ (r ::: :}q)SI p, q y son falsasSolucin: Como p es falsa p:: :: } q es verdadera y por ende(p ::::} q ) (rv p /\ q ) es verdadera Como es falsa } q es ver-dadera Luego la proposicin completa es verdadera


14/16

4 lementos de lgebr

19. Determinar el valor.de verdad de la siguiente proposicin:Si estudio leyes entonces gano mucho dinero. Si estudio arqueologa en-

tonces viajo mucho. Si gano mucho dinero y viajo mucho no me decepciono.Por lo tanto si estoy decepcionado no estudi leyes ni estudi arqueologa.Solucin:

p: estudio leyesq: gano mucho dineror: estudio arqueologas: viajo muchot: me decepciono.

la proposicin se reduce a:[ P =? q ) A r =? s) A (q A s) =? - t =? t =? (r v pA r)

al analizar esta proposicin en una tabla de verdad o al simplificar no resultauna tautologa. Por lo cual esta proposicin no es siempre verdadera.Ejercicios Propuestos.1. Cules de las siguientes proposiciones son tautologas

a A (rv q =? p) ] A [( p rv q ) = ?(q V - ' p )b) [(pAq)= ?r ] [(p=? r)A(q=?r ) ]c) [p =? (q A r ) ] [( p =? q ) A (p =? r ) ]d) =? (q =? r) ] [ (pAq) =? r ]

2. Exprese en la forma ms simple posible cada proposicin:a [ p =? q A r ) ] [ p =? q ) A p =? r ) ]b) [(p =? q )A -' p ] =? q

/cr} - 5 p q ) p rv q ) .d) [PV ( pAq ) ] p .e [[(rv p A q ) V p =? q )] =? q ] V p

3. Determine el valor de verdad de cada proposicin:


15/16

Lgica

a Si 9 entonces - -9b No es verdad que: 1+ 3 3 o 3 + 11 12c 1+ 67 si y slo si 2+ 4 = 3 implica 4 + 2 = 11d Juan es feliz Maria es pobre si y slo si Juan no es feliz. En conse-

cuencia Juan es feliz y Marfa no es pobre.4 Demuestre usando propiedades que p q V rv p A q ) es tautologa.5. Se define el conectivo por q -


16/16

lementos de lgebr

Encuentre la expresin ms simple de la proposicin real en trminos de q y 1 Determine el valor de verdad:

Simis clculos son correctos pago la cuenta de electricidad me quedarsin dinero. Si no pago la cuenta de electricidad me cortarn la corriente. Porlo tanto si no me he quedado sin dinero no me han cortado la corrienteentonces mis clculos son incorrectos .

Elementos Del Algebra Capitulo 1 Logica

Documents

Transcript of Elementos Del Algebra Capitulo 1 Logica