Elementos Geometricos
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geo
Elementos
Geométricos
A
B
CD
E
F
convexoconvexo
Polígonos convexosPolígonos convexos
Todos os seus ângulos internos medem menos de 180º
Todos os seus ângulos internos medem menos de 180º
O prolongamento de qualquer lado não intercepta outro ladoO prolongamento de qualquer lado não intercepta outro lado
D
A
B
C
E
CÔNCAVOCÔNCAVO
n = 3n = 3
n = 4n = 4
n = 5n = 5
polígonopolígono
triângulotriângulo
quadriláteroquadrilátero
pentágonopentágono
n n
número de lados
n = 6n = 6 hexágonohexágono
n = 7n = 7
n = 8n = 8
n = 9n = 9
polígonopolígononn
n = 11n = 11
n = 12n = 12
n = 15n = 15
polígonopolígono
undecágonoundecágono
dodecágonododecágono
pentadecágonopentadecágono
nn
n = 20n = 20 icoságonoicoságono
eneágonoeneágono
octógonooctógono
heptágonoheptágono
n =10 n =10
decágonodecágono
O prolongamento do lado intercepta outro lado
O prolongamento do lado intercepta outro lado
Ângulo interno com medida superior a 180º
Ângulo interno com medida superior a 180º
n = 3n = 3
n = 4n = 4
n = 5n = 5
triângulotriângulo
quadriláteroquadrilátero
pentágonopentágono
n = 6n = 6hexágonohexágono
n = 7n = 7
n = 8n = 8
n = 9n = 9
n = 11n = 11
n = 12n = 12
n = 15n = 15
undecágonoundecágono
dodecágonododecágono
pentadecágonopentadecágono
n = 20n = 20icoságonoicoságono
eneágonoeneágono
octógonooctógono
heptágonoheptágono
n =10
n =10 decágonodecágono
vértices do polígono
Diagonal
são os extremos dos lados do polígono
segmento que ligasegmento que liga
dois vértices não consecutivosdois vértices não consecutivos
Lado
segmento que liga
dois vértices consecutivos
vértices consecutivos
são os extremos de um mesmo lado
Número de diagonais que partem de um vértice
Número de diagonais que partem de um vértice
De um dos n vértices partem
uma para cada um dos “n”vértice
dele para ele mesmo e
dele para os dois vértices adjacentes a ele
menos
dv = n - 3
dv = 4 - 3
dv = 1
dv = n - 3
dv = 5 - 3
dv = 2
dv = n - 3
dv = 6 - 3
dv = 3
dv = n - 3
dv = 3 - 3
dv = 0
dv = n - 3
dv = 7 - 3
dv = 4
zero
n - 3 diagonais
dv = (n-3)
A
E
B
C
D
F
Número de diagonais do polígonoNúmero de diagonais do polígono
De 1 vértice partem (n-3)
De 2 vértice partem 2 ( n-3)
Aparentemente o polígono tem n(n-3) diagonais Mas elas foram contadas em dobro. Veja
Ex.: AC e CA são a mesma diagonal
Logo o número total de diagonais é a metade de n(n-3)
(n – 3)
(n – 3)
(n – 3)
(n – 3)
(n – 3)
De 3 vértice partem 3 ( n-3)
De n vértice partem n ( n-3)
De ... vértice partem ..............
(n – 3)
(n – 3)
Do vértice A partem as diagonais AC, AD, AE
Do vértice B partem as diagonais BD, BE, BF
Do vértice C partem as diagonais CA, CE, CF
Do vértice D partem as diagonais DA, DB, DF
Do vértice E partem as diagonais EA, EB, EC
Do vértice F partem as diagonais FB, FC, FD
Duas diagonais de mesma cor são apenas uma.
polígono
de “n”
vértices
(n – 3
2n (n - 3)d =
B
C
DE
F
G
A partir de um dos vértices, dividimos o polígono em triângulos.
A soma dos seus ângulos internos
é igual à soma dos ângulos de todos os triângulos
Soma dos ângulos internos de qualquer polígono convexo Sin
Sin = 180º “vezes” o número de Δs
A
O polígono de “n” lados ficou dividido em n – 2 triângulos.
Δs 6Δs 5Δs 4Δs 3Δs 2
n= 8n= 7n= 6n= 5n= 4
Sin = 180º( n -2 )
Como a soma dos ângulos internos de cada triângulo é 180º.
A soma dos ângulos de todos os triângulos é 180º ( n -2 )
1
2
3 41
2 3 4
1
2
3
5
1
34
1
2
5
26
Δs n - 2
n = n
Soma dos ângulos internos de qualquer polígono convexo
Soma dos ângulos externos de qualquer polígono convexo Sex
a’
a
b’
b
c
c’
d’d
e’
e(c+c’) = 180º(d+d’) = 180º(e+e’) = 180º
(a+a’)+ (b+b’)+ (c+c’) + (d+d’)+ (e+e’) + ... = 180º n
a+b+c+d+e... + a’+b’+c’+d’+e’... = 180º n
somando
(b+b’) = 180º(a+a’) = 180º
Sex
180º( n - 2 )
+Sex = 180º n
180º n - 360º
+Sex = 180º n
Sex = 360º
Polígono de “n” lados
Sex = 360º
A soma dos ângulos externos de qualquer
polígono é de 360º
Sin
Âex= 360/n
Polígono circunscrito
In = dentro
corda
Ponto de tangênciaPonto de tangência
Polígono inscrito
Polígono inscritoPolígono inscrito
Polígono circunscrito
Contém uma circunferência que tangencia todos os seus lados
Seus lados são cordas da circunferênciaSeus lados são cordas da circunferência
circunscrita
Todo triângulo é inscritível numa circunferênciaTodo triângulo é inscritível numa circunferência
Todo triângulo é circunscritível a uma circunferênciaTodo triângulo é circunscritível a uma circunferência
Circunferência
Triângulo inscrito
Triângulo circunscritoCircunferência
inscrita
Elementos Notáveis do Triângulo
Elementos Notáveis do Trapézio
ApótemaApótema