eletrotecnica_desenho_tecnico

Governador

Vice Governador

Secretria da Educao

Secretrio Adjunto

Secretrio Executivo

Assessora Institucional do Gabinete da Seduc

Coordenadora da Educao Profissional SEDUC

Cid Ferreira Gomes

Domingos Gomes de Aguiar Filho

Maria Izolda Cela de Arruda Coelho

Maurcio Holanda Maia

Antnio Idilvan de Lima Alencar

Cristiane Carvalho Holanda

Andra Arajo Rocha

Eletrotcnica Desenho Tcnico

1 INTRODUO.................................................................................................. 3

2 GEOMETRIA................................................................................................. 4

2.1 Primeiros conceitos............................................................................. 4 2.1.1 Princpios da Geometria................................................................... 4 2.1.2 Desenho geomtrico......................................................................... 4 2.1.3 Espao............................................................................................... 4 2.1.4 Medio.............................................................................................. 4 2.1.5 Ponto................................................................................................. 4 2.1.6 Linhas................................................................................................. 4 2.1.7 Linha reta........................................................................................... 5 2.1.8 Semi-reta............................................................................................ 5 2.1.9 Segmento de reta.............................................................................. 6 2.1.10 ngulos............................................................................................ 6 2.2 Construo........................................................................................... 7 2.2.1 Linha horizontal ............................................................................... 7 2.2.2 Linha vertical..................................................................................... 7 2.2.3 Linha inclinada.................................................................................. 7 2.2.4 Quanto direo............................................................................... 8 2.2.5 Linhas perpendiculares.................................................................... 8 2.2.6 Linhas convergentes........................................................................ 8 2.2.7 Linhas divergentes........................................................................... 8 2.2.8 Diagonal............................................................................................. 10 2.2.9 Mediana.............................................................................................. 10 2.2.10 Aptema........................................................................................... 10 2.2.11 Bissetriz........................................................................................... 11

3 GEOMETRIA DESCRITIVA.............................................................................. 12 3.1 Projeo ortogonal de um ponto........................................................ 12 3.2 Classificao das projees............................................................... 12 3.3 Estudo do ponto................................................................................... 13 3.4 Posies do ponto............................................................................... 15 3.5 Plano Bissetor...................................................................................... 17 3.6 Estudo da reta...................................................................................... 18 3.7 Determinao da reta.......................................................................... 19 3.8 Posies da reta.................................................................................. 19

4 GEOMETRIA PLANA....................................................................................... 22 4.1 Tringulos............................................................................................. 22 4.2 Elementos do tringulo....................................................................... 22 4.3 Formas triangulares............................................................................ 26 4.4 Formas paralelogrmicas................................................................... 30 4.5 Formas irregulares.............................................................................. 35 4.6 Polgono................................................................................................ 37 4.6.1 Polgonos regulares.......................................................................... 39 4.6.2 Polgonos irregulares....................................................................... 39 4.6.2.1 Polgono irregular convexo........................................................... 39 4.6.2.2 Polgono irregular cncavo........................................................... 39 4.6.2.3 Polgono estrelado......................................................................... 40 4.6.2.4 Polgonos quanto aos ngulos..................................................... 40 4.7 Circulo................................................................................................... 40 4.7.1 Raio................................................................................................. 41 4.7.2 Corda.................................................................................................. 41

4.7.3 Dimetro............................................................................................. 41 4.7.4 Tangncia e concordncia............................................................... 41 4.8 Clculo de rea................................................................................... 54 4.8.1 Clculo da rea do tringulo............................................................ 55 4.8.2 Clculo da rea do paralelogramo.................................................. 56 4.8.3 Clculo da rea do losango............................................................. 57 4.8.4 Clculo da rea do quadrado........................................................... 58 4.8.5 Clculo da rea do crculo............................................................... 60 4.8.6 Clculo da rea de setores circulares............................................ 61 4.8.7 Clculo da rea de coroas circulares............................................. 61 4.8.8 Medio de ngulo............................................................................ 63

5 GEOMETRIA ESPACIAL................................................................................ 64 5.1 Conceitos gerais.................................................................................. 64 5.2 As linhas nos desenhos tcnicos...................................................... 65 5.3 Projees ortogonais.......................................................................... 67 5.4 Planos de projeo.............................................................................. 68 5.5 Escolha das vistas............................................................................... 72 5.6 Projees pelo 3 diedro..................................................................... 77

6 REPRESENTAO DE COTAGEM................................................................ 90 7 PROPORES E DIMENSES...................................................................... 95 8 LEGENDA......................................................................................................... 96 9 ESCALA DO DESENHO.................................................................................. 96 10 A ORIGEM DO DESENHO TCNICO............................................................ 98

10.1 Normas................................................................................................ 98 10.1.1Normas da ABNT.............................................................................. 99 10.2 Instrumentos usados......................................................................... 101 10.1.1 Lpis e lapiseiras............................................................................ 101 10.2.2 Esquadros....................................................................................... 101 10.2.3 Compasso........................................................................................ 102 10.2.4 Escalmetro...................................................................................... 102 10.2.5 Folhas............................................................................................... 103 10.2.6 Dobragem........................................................................................ 103

11 PERSPECTIVA............................................................................................... 105 12 EXEMPLOS DE DESENHO TCNICO UTILIZADO NA INDSTRIA........... 106 13 EXERCCIOS.................................................................................................. 111

Escola Estadual de Educao Profissional [EEEP] Ensino Mdio Integrado Educao Profissional

Eletrotcnica Desenho Tcnico 3

1. INTRODUO

A palavra geometria composta de duas palavras gregas: geos (terra) e metron (medida). Esta denominao deve a sua origem necessidade que, desde os tempos remotos, o homem necessitava medir terrenos. Ano aps ano o Rio Nilo transbordava do seu leito natural, espalhando um rico limo sobre os campos ribeirinhos, o que constitua uma beno, a base de existncia do pas dos Faras, que na poca se circunscrevia a uma estreita faixa de terra s margens do rio. A inundao fazia desaparecer os marcos de delimitao entre os campos. Para demarcarem novamente os limites existiam os "puxadores de corda", os "harpedonaptas" que baseavam a sua arte essencialmente no conhecimento de que o tringulo de lados 3, 4, 5 retngulo. As construes das pirmides e templos pelas civilizaes egpcia e Babilnica so o testemunho mais antigo de um conhecimento sistemtico da Geometria. Contudo, muitas outras civilizaes antigas possuam conhecimentos de natureza geomtrica, desde a Babilnia China, passando pela civilizao Hindu. Os Babilnicos tinham conhecimentos matemticos que provinham da agrimensura e comrcio e a civilizao Hindu conhecia o teorema sobre o quadrado da hipotenusa de um tringulo retngulo. A Geometria como cincia dedutiva apenas teve incio na Grcia Antiga, cerca de sete sculos antes de Cristo, graas aos esforos de muitos notveis predecessores de Euclides, como Tales de Mileto (640 - 546 a.C.), Pitgoras (580 - 500 a.C.) e Eudxio (408 - 355 a.C.). Plato interessou-se muito pela Geometria e ao longo do seu ensino evidenciou a necessidade de demonstraes rigorosas, o que facilitou o trabalho de Euclides. Euclides (323 - 285 a.C.) deu uma grande contribuio para a Geometria escrevendo o livro "Elementos" que constitudo por 13 volumes. Este livro estabeleceu um mtodo de demonstrao rigorosa usado at hoje como fonte de informaes para estudos na rea.



2 PRINCPIOS GEOMETRIA Os estudos iniciais sobre Geometria Plana esto relacionados Grcia Antiga, tambm pode ser denominada Geometria Euclidiana em homenagem a Euclides de Alexandria (360 a.C. - 295 a.C.), grande matemtico educado na cidade de Atenas e frequentador da escola fundamentada nos princpios de Plato. Os princpios que levaram elaborao da Geometria Euclidiana eram baseados nos estudos do ponto, da reta e do plano. O ponto era considerado um elemento que no tinha definio plausvel, a reta era definida como uma sequncia infinita de pontos e o plano definido atravs da disposio de retas. As definies tericas da Geometria de Euclides esto baseadas em axiomas, postulados, definies e teoremas que estruturam a construo de variadas formas planas. Os polgonos so representaes planas que possuem definies, propriedades e elementos. 2.1 PRIMEIROS CONCEITOS

2.1.1 PROPRIEDADES DA GEOMETRIA a cincia que tem por objetivo estudar as propriedades relativas s formas e as dimenses dos corpos. 2.1.2 DESENHO GEOMTRICO a representao grfica das figuras geomtricas. O desenho geomtrico trata das construes grficas e da morfologia das figuras. 2.1.3 ESPAO O espao a extenso sem limite. indefinido e ilimitado. A simples considerao dos objetos que nos rodeiam em relao s suas caractersticas geomtricas, tais como: a forma; a grandeza e a posio, nos revela a existncia do espao. 2.1.4 MEDIO a parte da geometria que estuda a determinao dos comprimentos das linhas, reas e volume das figuras. 2.1.5 PONTO O ponto o elemento que no tem dimenso. Para represent-lo costuma-se cruzar duas linhas. Em desenho um ponto deve sempre vir acompanhado por uma letra, para distinguir um do outro.

2.1.6 LINHAS



A linha a sucesso de pontos, to unidos que chegam a se confundir em um trao contnuo. Quando deslocamos o grafite sobre o papel representamos a imagem de uma linha. A linha se caracteriza por uma dimenso: o comprimento. As Linhas podem ser classificadas: Quanto a Forma, Quanto a Posio e Quanto a Direo.

Quanto a Forma podem ser: RETA, COMPOSTA E CURVA. Composta: Poligonal, mista e sinuosa. Curva: Cncava e convexa

Quanto a Posio: Horizontal, Vertical e Inclinada Quanto a Direo: Convergente, Divergente, Paralela e Perpendicular

2.1.7 LINHA RETA A reta a menor distncia entre dois pontos. A reta contm uma infinidade de pontos, e por um ponto podemos traar uma infinidade de retas. A reta infinita em ambos os sentidos.

2.1.8 SEMI-RETA Diz-se Semi-Reta cada uma das partes em que fica dividida uma reta por um dos seus pontos. A Semi-Reta infinita em apenas um sentido.



2.1.9 SEGMENTO DE RETA Uma Reta no tem origem, nem fim. Quando queremos que uma Reta possua limite, ou seja, um segmento de reta, devemos marcar dois pontos quaisquer que marcaro sua origem e o seu fim. O Segmento de Reta finito.

2.1.10 NGULOS Os ngulos podem ser classificados, quanto posio dos lados, quanto sua abertura e quanto soma. QUANTO ABERTURA DOS LADOS Os ngulos podem ser: - De volta inteira = 360 - ngulo raso ou meia volta = 180 - ngulo obtuso = maior que 90 -ngulo reto = ngulo que possui 90 - ngulo agudo + menor que 90 NGULO DE VOLTA INTEIRA A soma dos ngulos formados em torno de um ponto 0, igual a quatro ngulos retos.



NGULO RASO OU DE MEIA VOLTA A soma dos ngulos formados em torno de um ponto e do mesmo lado de uma reta igual a dois ngulos retos, ou seja, 180.

NGULO OBTUSO qualquer ngulo maior que o ngulo de 90.

NGULO RETO o ngulo que possui 90. Quando os ngulos so adjacentes iguais.

NGULO AGUDO o ngulo cuja abertura dos lados menor que 90.

2.2 CONSTRUO 2.2.1 LINHA HORIZONTAL aquela que segue a posio do plano das guas paradas. _____________________ 2.2.2 LINHA VERTICAL Dizemos que uma Reta e Vertical quando coincide com a direo do fio de prumo.



2.2.3 LINHA INCLINADA Dizemos que uma reta inclinada ou oblqua, quando no nem vertical, nem horizontal.

2.2.4 QUANTO DIREO Podemos Dizer que as linhas quanto direo podem ser: - Paralelas - Perpendiculares - Convergentes - Divergentes Linhas paralelas: As linhas so paralelas quando conservam entre si a mesma distncia. A linha paralela no tem nenhum ponto comum. As linhas paralelas podem ser: - Paralelas Verticais - Paralelas Horizontais - Paralelas Eqidistantes - Paralelas no Eqidistantes - Paralelas Curvas - Paralelas Poligonais 2.2.5 LINHAS PERPENDICULARES: Diz-se que uma reta perpendicular a outra, se a primeira linha ou o seu prolongamento encontrar a segunda linha, sem se inclinar sobre ela para qualquer dos lados. As retas que possuem ponto comum so chamadas retas concorrentes.

2.2.6 LINHAS CONVERGENTES:



So aquelas que concorrem a um mesmo ponto. Este ponto denominado ponto de convergncia das linhas.

2.2.7 LINHAS DIVERGENTES So linhas que partem do mesmo ponto.



2.2.8 DIAGONAL So os segmentos de retas que unem os vrtices no consecutivos de um POLGONO. Na figura temos as diagonais.

2.2.9 MEDIANA As medianas de um ngulo interno de um polgono regular encontram-se num ponto que ser o centro da figura. Ou, noutras palavras mediana a linha que une um vrtice ao ponto mdio do lado oposto.



2.2.10 APTEMA Aptema de um polgono regular a distancia do centro a um dos pontos mdios do lado oposto do POLGONO.

2.2.11 BISSETRIZ o segmento de reta que divide o ngulo em duas partes iguais.



.3 GEOMETRIA DESCRITIVA

Geometria Descritiva, a cincia que tem por fim representar num plano, as figuras do espao, de maneira tal que, nesse plano, se possam resolver todos os problemas relativos a essas figuras. Ela foi criada no fim do sculo XVIII, pelo matemtico francs Gaspar Monge.

3.1 PROJEO ORTOGONAL DE UM PONTO

A projeo ortogonal de um ponto sobre um plano, o p da perpendicular baixada do ponto ao plano.

"a" a projeo e "A" sobre o plano "M" e "Aa" a projetante (perpendicular)



3.2 CLASSIFICAO DAS PROJEES

Projeo Cnica

Projeo Cilndrica ou Paralela Ortogonal

Projeo Cilndrica ou Paralela - Oblqua



3.3 ESTUDO DO PONTO

Plano Horizontal (H) e Plano Vertical (V) so perpendiculares entre si.

Linha de Terra (XY).

Os planos so infinitos e perpendiculares, formando quatro regies (diedros).

Plano Horizontal Anterior (HA)

Plano Horizontal Posterior (HP)

Plano Vertical Superior (VS)

Plano Vertical Inferior (VI)

O plano vertical rebatido (sentido anti-horrio) sobre o plano horizontal.

PURA - a representao de uma figura do espao pelas suas projees (rebatimento do plano vertical sobre o plano horizontal).

CONVENES - sendo os planos opacos, s as figuras situadas no 1 diedro so visveis pelo observador ( o observador sempre considerado como estando no



primeiro diedro).

_________ linhas visveis (contnua)

.................... linhas invisveis (pontilhada)

- - - - - - - - - linhas de projeo (tracejada)

_._._._._._ linhas auxiliares (trao e ponto)

Cota - distncia do ponto ao Plano Horizontal (Aa).

Afastamento - distncia do ponto ao Plano Vertical (Aa`).

3.4 POSIES DO PONTO

Ponto no 1 diedro



Ponto no 2 diedro

Ponto no 3 diedro

Ponto no 4 diedro



Ponto no Plano Vertical Superior

Ponto no Plano Vertical Inferior

Ponto no Plano Horizontal Superior



Ponto no Plano Horizontal Inferior

Ponto na Linha de Terra

3.5 PLANO BISSETOR

o plano que divide o diedro em duas partes iguais.

1 bissetor - corta o 1 e o 3 diedros.

2 bissetor - corta o 2 e o 4 diedros.



3.6 ESTUDO DA RETA

Reta Perpendicular ao Plano - a projeo ser um ponto.

Reta Paralela ao Plano - a projeo igual prpria reta.

Reta Oblqua ao Plano - a projeo menor que a reta.



3.7 DETERMINAO DA RETA

A posio da reta determinada quando conhecidas as projees desta nos planos.

3.8 POSIES DA RETA

Reta Oblqua aos dois planos - Reta Qualquer

Reta Paralela ao PH e Oblqua ao PV - Reta Horizontal



Reta Paralela ao PV e Oblqua ao PH - Reta Frontal

Reta Paralela aos dois planos - Reta Fronto-Horizontal

Reta Perpendicular ao PH - Reta Vertical



Reta Perpendicular ao PV - Reta Topo

Reta Perpendicular Linha de Terra - Reta de Perfil



4 GEOMETRIA PLANA 4.1 TRIANGULOS Quanto aos lados. - Equiltero - Issceles - Escaleno Quanto aos ngulos - Acutngulo - Retngulo - Obtusngulo - Equingulo 4.2 ELEMENTOS DO TRIANGULO LADOS Num tringulo qualquer, temos trs lados: AB BC AC VRTICES Quando as linhas que formam os ngulos de um tringulo se encontram, do origem aos vrtices, A B C. BASE o lado sobre o qual se imagina que o tringulo esteja assente na fig, AB apresenta a base. ALTURA a perpendicular tirada desde o vrtice at a base. Portanto, a altura a distncia de um vrtice ao lado oposto. O tringulo, portanto, tem trs alturas, onde, cada uma, corresponde a uma base, que o lado oposto ao vrtice o qual relaciona a altura (h). NGULO Trs so os ngulos de um tringulo B C



MEDIANA o segmento que une o ponto mdio do lado, ao vrtice oposto. O tringulo possui trs medianas: M1 (AE) M2 (BF) M3 (CD).

MEDIATRIZ a perpendicular tacada pelo ponto mdio de um dos lados do tringulo.

CEVIANA a reta que partindo do vrtice, corta o lado oposto em qualquer ponto.



BISSETRIZ o segmento de reta que divide o ngulo em duas partes iguais.

CATETO qualquer dos dois lados perpendiculares de um tringulo retngulo. HIPOTENUSA Lado oposto ao ngulo reto. Na figura, reta BC a Hipotenusa.

CIRCUNSCENTRO Quando determinamos as medianas de um tringulo, estas se encontram num ponto que eqidistam dos trs vrtices. Este ponto



chama-se CIRCUNSCENTRO, e nele que se faz centro para inscrever um tringulo.

INCENTRO As Bissetrizes de um tringulo se cortam sobre um ponto que eqidistante dos lados. Este ponto o INCENTRO e serve para circunscrever os tringulos.

ORTOCENTRO o encontro das trs alturas.



BARICENTRO o encontro das trs MEDIANAS de um tringulo.

PERMETRO a soma dos lados de um tringulo. Ex: AB+BC+AC



4.3 FORMAS TRIANGULARES Tringulo Equiltero Como Executar: - Traar a base AB = a 5 cm Abertura do compasso = AB, centro em A, descrever um arco. Com a mesma abertura, centro em B, traar outro arco que cortar o primeiro no ponto C. - Unindo os pontos ABC, teremos o tringulo eqiltero. - Pelo vrtice C, baixar uma perpendicular a AB (altura do tringulo). Traar mais duas perpendiculares aos outros lados do tringulo, determinando mais duas alturas. - No encontro das alturas teremos o ORTOCENTRO, ponto G. - Unir os pontos DEF, para definir o tringulo RTICO. - Cotar o desenho e hachurar o tringulo RTICO.



Tringulo Issceles Como Executar: - Traar a base AB= 5,5cm - Pelo ponto mdio de AB levantar uma perpendicular, CD=5,0 cm - Unir os pontos ABC, determinando o tringulo ISSCELES. - Determinar as bissetrizes dos ngulos A e B; - No encontro das bissetrizes, teremos o INCENTRO G; - Pelo ponto G, traar duas perpendiculares aos lados BC e AC; - Centro em G, raio = GD,GF ou GE, inscrever a circunferncia no tringulo - Cotar e hachurar a circunferncia inscrita.

Tringulo Escaleno Como Executar: - Traar a base AB=5,5cm - Pela extremidade A, traar uma linha inclinada AC com 75 (30+45) usar os esquadros. - Unindo os pontos, teremos o tringulo escaleno ABC. - Traar a mediatriz de BC, centro em B, abertura maior que a meta de BC, descrever dois arcos. Com a mesma abertura, centro em C, traar outros arcos que interceptaro os outros arcos j traados. Unir os dois arcos, determinando, assim a MEDIATRIZ. - Determinar a mediatriz do lado AC; - No encontro das mediatrizes, teremos o ponto D, que o CIRCUNSCENTRO do triangulo;



- Centro em D, raios DA, circunscrever a circunferncia no tringulo; - Cotar e hachurar o desenho.

Tringulo Retngulo Como Executar: - Traar a base AB = 5,5cm - Pela extremidade B, levantar uma perpendicular com 5 cm. - Unir os pontos ABC, tringulo Retngulo. - Traar a mediana de BC. Determinar o ponto mdio de BC (ponto D). Unindo os pontos AD, teremos a mediana pedida; - Traar a mediana dos lados AB e AC; - No encontro das medianas teremos o BARICENTRO; - Traar um tringulo semelhante ao tringulo original. Determinar nas linhas AD, BE e CF, pontos que devem ficar a 1/3 dos vrtices do tringulo original. - Unindo os pontos HIJ, termos um tringulo semelhante ao primeiro. - Cotar, hachurar e dar o acabamento final.



4.4 FORMAS PARALELOGRMICAS Desenho do Retngulo Como Executar: - Traar um quadrado ABCD. Lado = 5 cm. - Traar a diagonal AC; - Centro em A, raio AC, descrever um arco que cortar o prolongamento de AB, no ponto E; - Levantar uma perpendicular pelo ponto E. EF = 5 cm - Unindo os pontos AEFD, teremos o RETNGULO HARMNICO. Observe que AE= AC. A diagonal d=L raiz quadrada onde d=5 vezes 1,41 onde d=7,05cm. - Determinar o Aptema do quadrado ABCD. Pelo ponto mdio de BC, traar uma perpendicular que cortar a diagonal d, no ponto H.O segmento GH o APTEMA. - Cotar o desenho



Desenho do Rombide Como Executar: - Traar a base AB = 7 cm - Pelas extremidades A e B, traar linhas inclinadas com 75. - Unir os pontos ABCD - Traar as diagonais AC E BD do ROMBIDE - Determinar a altura EF - Cotar e anotar os ngulos.



Desenho do Losango Como Executar: - Traar as diagonais AC e BD - Unindo os pontos ABCD, teremos o LOSANGO pedido; - Anotar os ngulos - Cotar o desenho



Trapzio Retngulo Como Executar: - Traar a base maior AB=5,5cm; - Pela extremidade A, levantar uma perpendicular AD=5cm; - Pelo ponto D, traar uma paralela a AB,marcando a base menor, CD=3cm - Unir os pontos ABCD, determinando o TRAPZIO RETNGULO - Traar as diagonais AC e BD; - Traar a base mdia; - Cotar o desenho; - Fazer as anotaes.



Trapzio Issceles Como Executar: - Traar a base AB = 5,5cm - Pelo ponto mdio de AB, levantar uma perpendicular; - Pela extremidade da altura, traar a base menor CD = 3 cm, paralela base AB. - Unindo os pontos ABCD, teremos o TRAPZIO ISSCELES. - Traar as diagonais AC e BD; - Traar a base mdia (metade da altura); - No encontro das diagonais com a base mdia, teremos os pontos GH; - EF = AB + CD dividido por 2 e GH = AB - CD dividido por 2; - Cotar o desenho; - Fazer as anotaes



4.5 FORMAS IRREGULARES Forma Dodecagonal Como Executar: - Traar a Base AB =5 cm - Levantar uma perpendicular pela extremidade, com 5 cm - Traar uma paralela base =5 cm - Definir a forma dodecagonal; - Cotar o desenho - Hachurar - Fazer as anotaes



Forma Octogonal Como Executar: - Traar a base com 2 cm - Levantar perpendiculares pelas extremidades; - Definir a forma OCTOGONAL; - Cotar o desenho; - Hachurar - Fazer anotaes



4.6 POLGONO uma poro de superfcie plana limitada por segmentos unidos sucessivamente pelas suas extremidades.

LADOS Chamam-se LADOS de um POLGONO as linhas equivalentes retas ou curvas quecontornam a referida figura. Na figura, temos dois polgonos quaisquer, cujos lados so: AB; BC; CD; DE; EA; - AB;BC;CD;DE;EF;FA.



VRTICE So os pontos de interseo de dois lados consecutivos. Na figura, temos os seguintes vrtices: A;B;C;D;E A;B;C;D;E NGULOS a abertura dos lados.

POLGONOS QUANTO DIMENSES DOS LADOS Os polgonos quanto s dimenses dos lados podem ser: regular; irregular; estrelado.



4.6.1 POLIGONOS REGULARES Diz-se que um polgono regular quando possui todos os lados e ngulos iguais. Observe nafigura que todos os lados e todos os ngulos so iguais.

4.6.2 POLIGONOS IRREGULARES O polgono considerado irregular quando os seus lados e os seus ngulos so diferentes. Estes polgonos irregulares podem ser: CNCAVO ou CONVEXO. 4.6.2.1 POLIGONO IRREGULAR CONVEXO O polgono convexo quando qualquer dos seus lados prolongados no cortam os lados desse polgono em outro ponto, ou, quando seccionado por uma linha qualquer corta o polgono em dois pontos. 4.6.2.2 POLIGONO IRREGULAR CNCAVO Diz-se que um polgono cncavo, quando um dos seus lados prolongados corta o polgono emmais de dois pontos, ou, quando seccionado por uma reta qualquer corta este polgono em mais de dois pontos.



4.6.2.3 POLIGONO ESTRELADO o polgono entrelaado em que cada lado corta o mesmo nmero de lados no consecutivos

4.6.2.4 POLGONOS QUANTO AOS NGULOS Os polgonos de acordo com o nmero de ngulos recebem denominaes especiais. - TRINGULO 3 ngulos - QUADRILTEROS 4 ngulos - PENTGONOS 5 ngulos - HEXGONOS 6 ngulos - HEPTGONO 7 ngulos - OCTGONOS 8 ngulos - ENEGONO 9 ngulos - DECGONO 10 ngulos - UNDECGONO 11 ngulos - DODECGONO 12 ngulos - PENTADECGONO 15 ngulos - ICOSGONO 20 ngulos



Observao: Quando um polgono apresenta um nmero de ngulos diferentes dos relacionados acima,este polgono receber o nmero correspondente aos lados acompanhado da palavra lado. 4.7 CIRCULO.

Para se desenhar uma circunferncia, costuma-se utilizar-se um instrumento

chamado compasso:

Outros elementos importantes da circunferncia:

4.7.1 RAIO(r) : o segmento que une o centro a qualquer ponto da

circunferncia.

4.7.2 CORDA: um segmento que une dois pontos quaisquer da

circunferncia.

4.7.3 DIMETRO(d): uma corda que passa pelo centro. Pode-se observar

que o dimetro igual a dois raios, ou seja, d = 2.r

Quando se considera o interior da circunferncia, e no apenas seu contorno,

tem-se um crculo.

4.7.4 TANGNCIA E CONCORDNCIA tangncia entre reta e circunferncia: a reta tangente a um arco de circunferncia sempre vai ser perpendicular



ao raio do arco, no ponto de tangncia

exerccio de concordncia: desenhar um arco de circunferncia que concorde com a reta r no ponto t e passe pelo ponto p.



tangentes a uma circunferncia por um ponto exterior pelo ponto p, desenhar retas tangentes circunferncia.



RETAS TANGENTES A DUAS CIRCUNFERNCIAS



T2T4 a outra tangente as duas circunferncia.



T2T4 a outra tangente as duas circunferncias.



4.8 CLCULO DE REA

Aproveitando uma promoo de uma loja de materiais para construo, uma famlia resolve trocar o piso da sala de sua residncia. Sabem que a sala mede 4 metros de largura e possui um comprimento de 5,5 metros. Sabem tambm que o ladrilho desejado quadrado, com 25 cm de lado. Quantos ladrilhos sero necessrios para ladrilhar o piso da sala inteira?

http://www.matematicadidatica.com.br/GeometriaCalculoAreaFigurasPlanas.aspx#anchor_prob1http://www.matematicadidatica.com.br/GeometriaCalculoAreaFigurasPlanas.aspx#anchor_prob1http://www.matematicadidatica.com.br/GeometriaCalculoAreaFigurasPlanas.aspx#anchor_prob1http://www.matematicadidatica.com.br/GeometriaCalculoAreaFigurasPlanas.aspx#anchor_prob1http://www.matematicadidatica.com.br/GeometriaCalculoAreaFigurasPlanas.aspx#anchor_prob1



rea a denominao dada medida de uma superfcie. Na situao acima estamos nos referindo s reas da sala e do ladrilho. Partindo-se deste princpio, o nosso problema se resume ao clculo da razo entre as reas da sala e do ladrilho. Para que voc saiba solucionar, dentre outros, o problema acima, vamos ento nos atentar ao mtodo de clculo da rea das figuras geomtricas planas mais comuns. De qualquer forma, no final da pgina voc encontra a resoluo detalhada do problema acima.

4.8.1 CLCULO DA REA DO TRINGULO

Denominamos de tringulo a um polgono de trs lados. Observe a figura ao lado. A letra h representa a medida da altura do tringulo, assim como letra b representa a medida da sua base. A rea do tringulo ser metade do produto do valor da medida da base, pelo valor da medida da altura, tal como na frmula abaixo:

A letra S representa a rea ou superfcie do tringulo.

Onde l representa a medida dos lados do tringulo. No caso do tringulo equiltero, que possui os trs ngulos internos iguais, assim como os seus trs lados, podemos utilizar a seguinte frmula:

Exemplos

A medida da base de um tringulo de 7 cm, visto que a medida da sua altura de 3,5 cm, qual a rea deste tringulo? Do enunciado temos:

Utilizando a frmula:

http://www.matematicadidatica.com.br/Razao.aspxhttp://www.matematicadidatica.com.br/GeometriaCalculoAreaFigurasPlanas.aspx#anchor_prob1http://www.matematicadidatica.com.br/GeometriaCalculoAreaFigurasPlanas.aspx#anchor_prob1



A rea deste tringulo 12,25 cm2. Os lados de um tringulo equiltero medem 5 mm. Qual a rea deste tringulo equiltero? Segundo o enunciado temos:

Substituindo na frmula: A rea deste tringulo equiltero de aproximadamente 10,8 mm2. 4.8.2 CLCULO DA REA DO PARALELOGRAMO

Um quadriltero cujos lados opostos so iguais e paralelos denominadoparalelogramo. Com h representando a medida da sua altura e com b representando a medida da sua base, a rea do paralelogramo pode ser obtida multiplicando-se b por h, tal como na frmula abaixo:

Exemplos

A medida da base de um paralelogramo de 5,2 dm, sendo que a medida da altura de 1,5 dm. Qual a rea deste polgono? Segundo o enunciado temos:

Substituindo na frmula:

A rea deste polgono 7,8 dm2. Qual a medida da rea de um paralelogramo cujas medidas da altura e da base so respectivamente 10 cm e 2 dm? Sabemos que 2 dm equivalem a 20 cm, temos:

Substituindo na frmula:

A medida da rea deste paralelogramo 200 cm2 ou 2 dm2.



4.8.3 CLCULO DA REA DO LOSANGO

O losango um tipo particular de paralelogramo. Neste caso alm dos lados opostos serem paralelos, todos os quatro lados so iguais. Se voc dispuser do valor das medidas h e b, voc poder utilizar a frmula do paralelogramo para obter a rea do losango. Outra caracterstica do losango que as suas diagonais so perpendiculares.

Observe na figura direita, que a partir das diagonais podemos dividir o losango em quatro tringulos iguais. Consideremos a base b como a metade da diagonal d1 e a altura h como a metade da diagonal d2, para calcularmos a rea de um destes quatro tringulos. Bastar ento que a multipliquemos por 4, para obtermos a rea do losango. Vejamos:

Realizando as devidas simplificaes chegaremos frmula:

Exemplos

As diagonais de um losango medem 10 cm e 15 cm. Qual a medida da sua superfcie? Para o clculo da superfcie utilizaremos a frmula que envolve as diagonais, cujos valores temos abaixo:

Utilizando na frmula temos: A medida da superfcie deste losango de 75 cm2 Qual a medida da rea de um losango cuja base mede 12 cm e cuja altura seja de 9 cm?



Neste caso, para o clculo da rea utilizaremos a frmula do paralelogramo, onde utilizamos a base e a altura da figura geomtrica, cujos valores temos abaixo:

Segundo a frmula temos:

A medida da rea do losango de 108 cm2. 4.8.4 CLCULO DA REA DO QUADRADO

Todo quadrado tambm um losango, mas nem todo losango vem a ser um quadrado, do mesmo modo que todo quadrado um retngulo, mas nem todo retngulo um quadrado. O quadrado um losango, que alm de possuir quatro lados iguais, com diagonais perpendiculares, ainda possui todos os seus ngulos internos iguais a 90. Observe ainda que alm de perpendiculares, as diagonais tambm so iguais. Por ser o quadrado um losango e por ser o losango um paralelogramo, podemos utilizar para o clculo da rea do quadrado, as mesmas frmulas utilizadas para o clculo da rea tanto do losango, quanto do paralelogramo.

Quando dispomos da medida do lado do quadrado, podemos utilizar a frmula do paralelogramo:

Como h e b possuem a mesma medida, podemos substitu-las por l, ficando a frmula ento como sendo:

Quando dispomos da medida das diagonais do quadrado, podemos utilizar a frmula do losango:

Como ambas as diagonais so idnticas, podemos substitu-las por d, simplificando a frmula para:



Exemplos

A lateral da tampa quadrada de uma caixa mede 17 cm. Qual a superfcie desta tampa? Do enunciado temos que a varivel l igual a 17:

Substituindo na frmula temos:

Portanto a superfcie da tampa desta caixa de 289 cm2. A medida do lado de um quadrado de 20 cm. Qual a sua rea? Como o lado mede 20 cm, temos:

Substituindo na frmula temos:

A rea do quadrado de 400 cm2. A rea de um quadrado igual a 196 cm2. Qual a medida do lado deste quadrado? Temos que S igual a 196.

Utilizando a frmula temos:

Como a medida do lado no pode ser negativa, temos que o lado do quadrado mede 14 cm. Clculo da rea do Retngulo

Por definio o retngulo um quadriltero equingulo (todo os seus ngulos internos so iguais), cujos lados opostos so iguais. Se todos os seus quatro lados forem iguais, teremos um tipo especial de retngulo, chamado de quadrado. Por ser o retngulo um paralelogramo, o clculo da sua rea realizado da mesma forma. Se denominarmos as medidas dos lados de um retngulo como na figura ao lado, teremos a seguinte frmula:



Exemplos

Um terreno mede 5 metros de largura por 25 metros de comprimento. Qual a rea deste terreno? Atribuindo 5 varivel h e 25 varivel b temos:

Utilizando a frmula:

A rea deste terreno de 125 m2. A tampa de uma caixa de sapatos tem as dimenses 30 cm por 15 cm. Qual a rea desta tampa? Podemos atribuir 15 varivel h e 30 varivel b:

Ao substituirmos as variveis na frmula teremos:

Portanto a rea da tampa da caixa de sapatos de 450 cm2. 4.8.5 CLCULO DA REA DO CRCULO

A diviso do permetro de uma circunferncia, pelo seu dimetro resultar sempre no mesmo valor, qualquer que seja circunferncia. Este valor irracional constante representado pela letra grega minscula pi, grafada como:

Por ser um nmero irracional, o nmero pi possui infinitas casas decimais. Para clculos corriqueiros, podemos utilizar o valor 3,14159265. Para clculos com menos preciso, podemos utilizar 3,1416, ou at mesmo 3,14. O permetro de uma circunferncia obtido atravs da frmula:

O clculo da rea do crculo realizado segundo a frmula abaixo:

Onde r representa o raio do crculo.

Exemplos

A lente de uma lupa tem 10 cm de dimetro. Qual a rea da lente desta lupa? Como informado no enunciado, o dimetro da circunferncia da lupa igual a 10 cm, o que nos leva a concluir que o seu raio igual a 5 cm, que corresponde metade deste valor:



Substituindo-o na frmula: A rea da lente da lupa de 78,54 cm2. Um crculo tem raio de 8,52 mm. Quantos milmetros quadrados ele possui de superfcie? Do enunciado, temos que o valor do raio r :

Ao substituirmos valor de r na frmula teremos: A superfcie do crculo de 228,05 mm2. 4.8.6 CLCULO DA REA DE SETORES CIRCULARES

O clculo da rea de um setor circular pode ser realizado calculando-se a rea total do crculo e depois se montando uma regra de trs, onde a rea total do crculo estar para 360, assim como a rea do setor estar para o nmero de graus do setor. Sendo S a rea total do crculo, S a rea do setor circular e o seu nmero de graus, temos:

Em radianos temos:

A partir destas sentenas podemos chegar a esta frmula em graus:

E a esta outra em radianos:

Onde r representa o raio do crculo referente ao setor e o ngulo tambm referente ao setor.

Exemplos

Qual a rea de um setor circular com ngulo de 30 e raio de 12 cm? Aplicando a frmula em graus temos: A rea do setor circular de 37,6992 cm2. Qual a superfcie de um setor circular com ngulo de 0,5 rad e raio de 8 mm? Aplicando a frmula em radianos temos:



A superfcie do setor circular de 16 mm2. 4.8.7 CLCULO DA REA DE COROAS CIRCULARES

O clculo da rea de uma coroa circular pode ser realizado calculando-se a rea total do crculo e subtraindo-se desta, a rea do crculo inscrito. Podemos tambm utilizar a seguinte frmula:

Onde R representa o raio do crculo e r representa o raio do crculo inscrito.

Exemplos

Qual a rea de uma coroa circular com raio de 20 cm e largura de 5 cm? Se a largura de 5 cm, significa que r = 20 - 5 = 15, substituindo na frmula temos: A rea da coroa circular de 549,78 cm2. Qual a superfcie de uma coroa circular com r = 17 e R = 34? Aplicando a frmula em temos: A superfcie desta coroa circular 2723,7672.

Resoluo Detalhada do Problema no Comeo da Pgina

Para resolvermos tal problema, primeiramente vamos calcular a rea da sala. Para podermos utilizar a frmula do clculo da rea de um retngulo, vamos atribuir os 4 m da largura letra h e os 5,5 m do comprimento letra b:

Resolvendo atravs da frmula:

Agora que sabemos que a sala tem uma rea de 22 m2, precisamos conhecer a rea do ladrilho. Como o ladrilho quadrado, precisamos calcular a rea de um quadrado, s que devemos trabalhar em metros e no em centmetros, pois a rea da sala foi calculada utilizando-se medidas em metros e no medidas em centmetros. Poderamos ter convertido as medidas da sala em centmetros, para



trabalharmos apenas com centmetros. O importante que utilizemos sempre a mesma unidade (mltiplo/submltiplo). A transformao de 25 cm em metros realizada dividindo-se tal medida por 100:

Ento a medida dos lados dos ladrilhos de 0,25 m. Se tiver dvidas sobre como realizar tal converso, por favor acesse a pgina que trata sobre as unidades de medidas, l voc encontrar vrias informaes sobre este assunto, incluindo vrios exemplos e um link para uma calculadora sobre o tema. Voltando ao problema, como o ladrilho quadrado, a rea do ladrilho com lado l = 0,25 igual a:

Como dito no comeo da pgina, a resoluo do problema se resume ao clculo da razo entre a rea da sala e a rea do ladrilho. Como a sala tem uma rea de 22 m2 e o ladrilho de 0,0625 m2, temos a seguinte razo:

Ou seja, para ladrilhar o piso da sala inteira sero necessrios ladrilhos 35 4.8.8 MEDIO DE NGULO Todo circulo dividido em 360 partes iguais, cada uma das quais se chama GRAU. Um Grau 1/360 de um circulo completo, qualquer que seja o circulo grande ou pequeno, visto que um grau amedida de abertura e no depende do raio do circulo. Qualquer ngulo pode ser medido. Para sedeterminar a medida de um ngulo basta coincidir o centro do TRANSFERIDOR no vrtice do ngulo, e ler no LIMBO quantos graus marcados pelos lados dos ngulos. Se estes lados forem curtos, eles sero prolongados, pois j sabemos que o tamanho dos lados de um ngulo no altera na sua abertura. O Grau a unidade para se expressar a medida dos ngulos. O GRAU est dividido em 60vpartes denominadas MINUTOS, o minuto est dividido em 60 SEGUNDOS, portanto, um ngulo que no contenha um nmero completo de graus poder ser expresso em graus e partes fracionrias do GRAU. Para representar GRAUS, MINUTOS e SEGUNDOS existem smbolos convencionais. GRAU (o), MINUTO (), SEGUNDO (). Ex: 40 30 30. Quarenta graus trinta minutos e trinta segundos.

http://www.matematicadidatica.com.br/SistemasMedida.aspxhttp://www.matematicadidatica.com.br/CalculadoraConversaoUnidadesMedida.aspxhttp://www.matematicadidatica.com.br/Razao.aspx



a soma dos comprimentos dos lados de um POLGONO.

5 GEOMETRIA ESPACIAL

A Geometria espacial (euclidiana) funciona como uma ampliao da Geometria

plana (euclidiana) e trata dos mtodos apropriados para o estudo de objetos

espaciais assim como a relao entre esses elementos. Os objetos primitivos

do ponto de vista espacial, so: pontos, retas, segmentos de retas, planos,

curvas, ngulos e superfcies. Os principais tipos de clculos que podemos

realizar so: comprimentos de curvas, reas de superfcies e volumes de

regies slidas. Tomaremos ponto e reta como conceitos primitivos, os quais

sero aceitos sem definio.

5.1 CONCEITOS GERAIS

Um plano um subconjunto do espao R3 de tal modo que quaisquer dois

pontos desse conjunto pode ser ligado por um segmento de reta inteiramente

contido no conjunto.

Um plano no espao R3 pode ser determinado por qualquer uma das situaes:

Trs pontos no colineares (no pertencentes mesma reta);



Um ponto e uma reta que no contem o ponto;

Um ponto e um segmento de reta que no contem o ponto;

Duas retas paralelas que no se sobrepe;

Dois segmentos de reta paralelos que no se sobrepe;

Duas retas concorrentes;

Dois segmentos de reta concorrentes.

Duas retas (segmentos de reta) no espao R3 podem ser: paralelas,

concorrentes ou reversas.

Duas retas so ditas reversas quando uma no tem interseo com a outra e

elas no so paralelas. Pode-se pensar de uma rera r desenhada no cho de

uma casa e uma reta s desenhada no teto dessa mesma casa.

Uma reta perpendicular a um plano no espao R3, se ela intersecta o plano

em um ponto P e todo segmento de reta contido no plano que tem P como uma

de suas extremidades perpendicular reta.

Uma reta r paralela a um plano no espao R3, se existe uma

reta s inteiramente contida no plano que paralela reta dada.

Seja P um ponto localizado fora de um plano. A distncia do ponto ao plano

a medida do segmento de reta perpendicular ao plano em que uma extremidade

o ponto P e a outra extremidade o ponto que a interseo entre o plano e

o segmento.

Se o ponto P estiver no plano, a distncia nula.

Planos concorrentes no espao R3 so planos cuja interseo uma

reta. Planos paralelos no espao R3 so planos que no tem interseo.

Quando dois planos so concorrentes, dizemos que tais planos formam

um diedro e o ngulo formado entre estes dois planos denominado ngulo



diedral. Para obter este ngulo diedral, basta tomar o ngulo formado por

quaisquer duas retas perpendiculares aos planos concorrentes.

Planos normais so aqueles cujo ngulo diedral um ngulo reto (90 graus).

5.2 AS LINHAS NOS DESENHOS TCNICOS Quando desenhamos apenas pela vontade ou pelo prazer de expressar o que estamos pensando ou sentindo, traos contnuos ou uma s dimenso e combinaes de linhas esto sempre presentes. Nesse caso, elas so inteiramente livres, ou seja, costumam fl utuar nas superfcies, porque so guiadas to somente por nosso sentimento. Na construo de desenho tcnico, no entanto, essa liberdade relativa, pois as linhas devemobedecer a normas e convenes, que determinam sua utilizao em trs espessuras: grossa, mdia e fi na. O quadro a seguir apresenta as situaes em que se aplica cada uma dessas espessuras.

A figura mostra o uso dos diferentes tipos de linha apresentados no quadro, atravs de um desenho tcnico de um mvel



5.3 PROJEES ORTOGONAIS ngulos Diedros A representao de objetos tridimensionais por meio de desenhos bidimensionais, utilizando projees ortogonais, foi idealizada por Gaspar Monge no sculo XVIII. O sistema de representao criado por Gaspar Monge denominado Geometria Descritiva. Considerando os planos vertical e horizontal prolongados alm de suas intersees, como mostra a Figura 3.1, dividiremos o espao em quatro ngulos diedros (que tem duas faces). Os quatros ngulos so numerados no sentido anti-horrio, e denominados 1, 2, 3, e 4 Diedros.



Utilizando os princpios da Geometria Descritiva, pode-se, mediante figuras planas, representar formas espaciais utilizando os rebatimentos de qualquer um dos quatro diedros. Entretanto, para viabilizar o desenvolvimento industrial e facilitar o exerccio da engenharia, foi necessrio normalizar uma linguagem que, a nvel internacional, simplifica o intercmbio de informaes tecnolgicas. Assim, a partir dos princpios da Geometria Descritiva, as normas de Desenho Tcnico fixaram a utilizao das projees ortogonais somente pelos 1 e 3 diedros, criando pelas normas internacionais dois sistemas para representao de peas: sistema de projees ortogonais pelo 1 diedro sistema de projees ortogonais pelo 3 diedro O uso de um ou do outro sistema depender das normas adotadas por cada pas. Por exemplo, nos Estados Unidos da Amrica (USA) mais difundido o uso do 3 diedro; nos pases europeus mais difundido o uso do 1 diedro. No Brasil mais utilizado o 1 diedro, porm, nas indstrias oriundas dos USA, da Inglaterra e do Japo, podero aparecer desenhos representados no 3 diedro. Como as normas internacionais convencionaram, para o desenho tcnico, o uso dos 1 e 3 diedros importante a familiarizao com os dois sistemas de representao. A interpretao errnea de um desenho tcnico poder causar grandes prejuzos.



5.4 PLANOS DE PROJEO

As projees feitas em qualquer plano do 1 diedro seguem um princpio bsico que determina que o objeto a ser representado dever estar entre o observador e o plano de projeo, conforme mostra a figura abaixo:

A partir da, considerando o objeto imvel no espao, o observador pode v- lo por seis direes diferentes, obtendo seis vistas da pea.

A figura a seguir mostra a pea circundada pelos seis planos principais, que posteriormente so rebatidos de modo a se transformarem em um nico plano.

Cada face se movimenta 90 em relao outra.

A projeo que aparece no plano 1(Plano vertical de origem do 1 diedro) sempre chamada de vista de frente.



Em relao posio da vista de frente, aplicando o princpio bsico do 1 diedro, nos outros planos de projeo resultam nas seguintes vistas:

Plano 1 Vista de Frente ou Elevao mostra a projeo frontal do objeto.

Plano 2 Vista Superior ou Planta mostra a projeo do objeto visto por cima.

Plano 3 Vista Lateral Esquerda ou Perfil mostra o objeto visto pelo lado esquerdo.

Plano 4 Vista Lateral Direita mostra o objeto visto pelo lado direito.

Plano 5 Vista Inferior mostra o objeto sendo visto pelo lado de baixo.

Plano 6 Vista Posterior mostra o objeto sendo visto por trs.

A padronizao dos sentidos de rebatimentos dos planos de projeo garante que no 1 diedro as vistas sempre tero as mesmas posies relativas.

Ou seja, os rebatimentos normalizados para o 1 diedro mantm,em relao vista de frente, as seguintes posies:

a vista de cima fica em baixo; a vista de baixo fica em cima;

a vista da esquerda fica direita;

a vista da direita fica esquerda.

Talvez o entendimento fique mais simples, raciocinando-se com o tombamento do objeto.



O resultado ser o mesmo se for dado ao objeto o mesmo rebatimento dado aos planos de projeo.

A figura abaixo mostra as 6 vistas de uma pea no 1 diedro.

Observe que no so colocados os nomes das vistas, bem como no aparecem as linhas de limite dos planos de projees.

importante olhar para o desenho sabendo que as vistas, apesar de serem desenhos bidimensionais, representam o mesmo objeto visto por diversas posies.

Com a conscincia de que em cada vista existe uma terceira dimenso escondida pela projeo ortogonal; partindo da posio definida pela vista de frente e sabendo a disposio final convencionada para as outras vistas, possvel entender os tombos (rebatimentos) efetuados no objeto.

Outra conseqncia da forma normalizada para obteno das vistas principais do 1 diedro que as vistas so alinhadas horizontalmente e verticalmente.



Para facilitar a elaborao de esboos, como as distncias entre as vistas devem ser visualmente iguais, pode-se relacionar as dimenses do objeto nas diversas vistas, conforme mostra a figura.

Verticalmente relacionam se as dimenses de comprimento, Horizontalmente relacionam-se as dimenses de altura,

Os arcos transferem as dimenses de largura.

Exemplo:



Exerccios

Desenhar as 6 vistas principais das peas abaixo no 1 diedro:

Dificilmente ser necessrio fazer seis vistas para representar qualquer objeto.

Porm, quaisquer que sejam as vistas utilizadas, as suas posies relativas obedecero s disposies definidas pelas vistas principais.

Na maioria dos casos, o conjunto formado pelas vistas de frente, vista superior e uma das vistas laterais suficiente para representar, com perfeio, o objeto desenhado.

5.5 ESCOLHA DAS VISTAS

No 1 diedro mais difundido o uso da vista lateral esquerda, resultando no conjunto preferencial composto pelas vistas de frente, superior e lateral esquerda, que tambm so chamadas, respectivamente, de elevao, planta e perfil, como mostradas na figura.



Na prtica, devido simplicidade de forma da maioria das peas que compem as mquinas e equipamentos, so utilizadas somente duas vistas. 19

Escolha das Vistas

Em alguns casos, com auxlio de smbolos convencionais, possvel definir a forma da pea desenhada com uma nica vista.

No importa o nmero de vistas utilizadas, o que importa que o desenho fique claro e objetivo.

O desenho de qualquer pea, em hiptese alguma, pode dar margem a dupla interpretao.

O ponto de partida para determinar as vistas necessrias escolher o lado da pea que ser considerado como frente.

Normalmente, considerando a pea em sua posio de trabalho ou de equilbrio, toma-se como frente o lado que melhor define a forma da pea.

Quando dois lados definem bem a forma da pea, escolhese o de maior comprimento.

Feita a vista de frente faz-se tantos rebatimentos quantos forem necessrios para definir a forma da pea.

Na figura a seguir, considerando como frente a direo indicada, as trs vistas preferenciais do 1 diedro so suficientes para representar o objeto.

Observe no conjunto de seis vistas que as outras trs vistas, alm de apresentarem partes ocultas, so desnecessrias na definio da forma do objeto.



Na figura abaixo, considerando a frente indicada no objeto, o conjunto formado pelas vistas de frente, superior e lateral direita o que melhor representa a pea.

Na vista lateral esquerda aparecem linhas tracejadas, que devem ser evitadas.

Quando a vista de frente for uma figura simtrica, conforme mostra a ilustrao abaixo, teoricamente poderia utilizar qualquer uma das vistas laterais, porm deve-se utilizar a vista lateral esquerda para compor o conjunto das vistas preferenciais.



preciso ter muito cuidado com a escolha das vistas, porque o uso de vistas inadequadas pode levar a solues desastrosas.

A figura esquerda mostra que as duas vistas escolhidas podem representar qualquer uma das peas mostradas na figura a direta, se considerarmos os sentidos de observao indicados no paraleleppedo.



Ainda que parea que o problema est resolvido, a soluo pode ser enganosa como mostrado na imagem.

As duas vistas escolhidas (a) podem corresponder a qualquer uma das quatro peas mostradas na figura a esquerda (b).

As vistas precisam ser escolhidas de modo que o desenho defina fielmente a forma da pea e que, em hiptese nenhuma, d margem a dupla interpretao.

Exemplo 1



Exemplo 2:

Exerccios

Dadas as perspectivas faa o esboo das trs vistas que melhor representam as peas:



5.6 PROJEES PELO 3 DIEDRO

Assim como no 1 diedro, qualquer projeo do 3 diedro tambm segue um princpio bsico.

Para fazer qualquer projeo no 3 diedro, o plano de projeo dever estar posicionado entre o observador e o objeto, conforme mostra a figura ao lado

O plano de projeo precisa ser transparente (como uma placa de vidro) e o observador, por trs do plano de projeo, puxa as projetantes do objeto para o plano.

As vistas principais so obtidas em seis planos perpendiculares entre si e paralelos dois a dois, como se fosse uma caixa de vidro e, posteriormente, rebatidos de modo a formarem um nico plano.

A figura a seguir mostra os rebatimentos dos planos que compem a caixa de vidro, onde cada plano se movimenta 90 em relao ao outro.

Da mesma forma que no 1 diedro, a projeo que representada no plano 1 corresponde ao lado da frente da pea.



Deste modo, considerando o princpio bsico e os rebatimentos dados aos planos de projeo, tm-se as seguintes posies relativas das vistas:

Plano 1 Vista de Frente mostra a projeo frontal do objeto.

Plano 2 Vista Superior mostra a projeo do objeto visto por cima.

Plano 3 Vista Lateral Direita mostra o objeto visto pelo lado direito.

Plano 4 Vista Lateral Esquerda mostra o objeto visto pelo lado esquerdo

Plano 5 Vista Inferior mostra o objeto sendo visto pelo lado de baixo.

Plano 6 Vista Posterior mostra o objeto sendo visto por trs.

A ilustrao abaixo mostra as vistas principais resultantes das projees na caixa de vidro e tambm os tombamentos que devem ser dados pea para obter o mesmo resultado.



No 3 diedro as vistas mais utilizadas, que acabam se constituindo nas vistas preferenciais, so o conjunto formado pelas vistas de frente, superior e lateral direita.

A figura a seguir mostra as vistas principais e as vistas preferenciais do 3 diedro.

Exemplo: analise as projees das peas abaixo e procure entender os rebatimentos convencionados para o 3 diedro.

Exemplo: analise as projees das peas abaixo e procure entender os rebatimentos convencionados para o 3 diedro.



Exerccios

Tome como vistas de frente as direes indicadas e, analisando cuidadosamente os rebatimentos, faa o esboo das seis vistas principais de cada pea dada.

Comparao entre as Projees dos Diedros.

Visando facilitar o estudo e o entendimento dos dois sistemas de projees ortogonais, normalizados como linguagem grfica para o desenho tcnico, sero realadas as diferenas e as coincidncias existentes entre o 1 e o 3 diedros a seguir.

Quanto vista de Frente

Tanto no 1 como no 3 diedro, deve-se escolher como frente o lado que melhor representa a forma da pea, respeitando sua posio de trabalho ou de equilbrio.

Quanto s Posies relativas das vistas

A figura do prximo slide mostra as vistas principais do 1 e do 3 diedros. Para facilitar a comparao, nos dois casos, a vista de frente corresponde ao mesmo lado do objeto.

Como mantida a mesma frente, conseqentemente, todas as outras vistas so iguais, modificando somente as suas posies relativas.



Comparao entre as Projees dos Diedros


As figuras abaixo fazem a comparao dos sentidos dos rebatimentos dos planos de projees.



As figuras abaixo fazem a comparao dos sentidos dos tombamentos do objeto.

Observe que no 1 diedro, olha-se a pea por um lado e desenha-se o que se est vendo do outro lado, enquanto no terceiro diedro, o que se est vendo desenhado no prprio lado donde se est olhando a pea.



No se pode esquecer que cada projeo ortogonal representa o objeto em uma determinada posio e, assim sendo, no 1 diedro qualquer projeo ortogonal corresponde quilo que visto pelo outro lado da projeo que estiver ao seu lado.

Da mesma forma, no 3 diedro qualquer projeo ortogonal corresponde quilo que visto na direo da projeo que estiver ao seu lado.

Vistas superior e inferior:

VISTAS LATERAIS:



.

Exemplo: A Figura mostra as vistas principais no 1 e no 3 diedros obtidas a partir da mesma vista de frente (direo indicada na perspectiva).



De acordo com as normas internacionais, na execuo de desenhos tcnicos, pode-se utilizar tanto o 1 como o 3 diedros.

Para facilitar a interpretao do desenho recomendado que se faa a indicao do diedro utilizado na representao.

A indicao pode ser feita escrevendo o nome do diedro utilizado, como mostrado no prximo slide ou utilizando os smbolos abaixo:




Exemplos

No desenho seguinte so dadas as vistas principais no 1 e no 3 diedros.

Analise as projees das superfcies que compem a pea procurando entender os seus rebatimentos.



Exemplos



Exemplos

Os desenhos seguintes mostram as trs vistas que melhor representam a pea (conjunto de vistas que tm o menor nmero possvel de arestas invisveis), mantendo a mesma vista de frente tanto no 1 como no 3 diedros.

Observe que, para manter a mesma vista de frente nos dois diedros, foi necessrio fugir das vistas preferenciais em um deles.



Ou seja, aplicando o princpio bsico em seis planos circundando a pea, obtemos, de acordo com as normas internacionais, as vistas principais no 1 diedro.

Para serem denominadas vistas principais, as projees tm de ser obtidas em planos perpendiculares entre si e paralelos dois a dois, formando uma caixa. 6 REPRESENTAO DE COTAGEM Para cada tipo de cotagem, tambm existem convenes especficas. Vejamos, a seguir, alguns exemplos. Crculos grandes



Crculos pequenos

Peas cilndricas

Raios pequenos

Raios mdios



Seo quadrada

Furo quadrado

Peas esfricas



ngulos



Peas simtricas

Espaos reduzidos

Pea com furos



7 PROPORES E DIMENSES fundamental que um mvel ou qualquer outra pea a ser construda seja funcional, oferea conforto e, sobretudo, atenda as fi nalidades a que se destina. Por isso, as informaes do tipopropores e dimenses so importantes e devem constar no desenho tcnico, de acordo com as normas e convenes estabelecidas na rea da marcenaria, conforme veremos nos exemplos a seguir.



Peas simtricas (meia vista) Pode-se desenhar somente um dos lados de uma pea simtrica, no qual a linhade eixo indicar a simetria. Pode-se usar esta representao para uma pea com dois lados iguais (desenhando a metade) e quatro lados iguais (desenhando a quarta parte), conforme figuras abaixo. 8 LEGENDA A legenda no informa somente detalhes do desenho, mas tambm o nome da empresa, dos projetistas, data, logomarca, arquivo, etc. na legenda que o



projetista assina seu projeto e marca revises. Em folhas grandes, quando se dobra o desenho, a legenda sempre deve estar visvel, para facilitar a procura em arquivo sem necessidade de desdobr-lo. Figura

9 ESCALA DO DESENHO Sua funo reduzir ou ampliar o dimensionamento do mvel, devendo ser indicada na legenda ou no detalhe, quando o ltimo no for desenhado em escala natural. Vejamos a seguir os tipos de escala utilizados e alguns exemplos de sua aplicao: Escala natural: 1:1 Escala de reduo: 1:2, 1:2,5, 1:5, 1:10, 1:20, 1:25, 1:50, 1:100 Escala de ampliao: 2:1, 5:1, 10:11 Escala natural 1:1



Escala de reduo 1:2

Escala de ampliao 2:1



10 A ORIGEM DO DESENHO TCNICO A representao de objetos tridimensionais em superfcies bidimensionais evoluiu gradualmente atravs dos tempos. Conforme histrico feito por HOELSCHER, SPRINGER E DOBROVOLNY (1978) um dos exemplos mais antigos do uso de planta e elevao est includo no lbum de desenhos na Livraria do Vaticano desenhado por Giuliano de Sangalo no ano de 1490. No sculo XVII, por patriotismo e visando facilitar as construes de fortificaes, o matemtico francs Gaspar Monge, que alm de sbio era dotado de extraordinria habilidade como desenhista, criou, utilizando projees ortogonais, um sistema com correspondncia biunvoca entre os elementos do plano e do espao. O sistema criado por Gaspar Monge, publicado em 1795 com o ttulo Geometrie Descriptive a base da linguagem utilizada pelo Desenho Tcnico. No sculo XIX, com a exploso mundial do desenvolvimento industrial, foi necessrio normalizar a forma de utilizao da Geometria Descritiva para transform-la numa linguagem grfica que, a nvel internacional, simplificasse a comunicao e viabilizasse o intercmbio de informaes tecnolgicas. Desta forma, a Comisso Tcnica TC 10 da International Organization for Standardization ISO normalizou a forma de utilizao da Geometria Descritiva como linguagem grfica da engenharia e da arquitetura, chamando-a de Desenho Tcnico. Nos dias de hoje a expresso desenho tcnico representa todos os tipos de desenhos utilizados pela engenharia incorporando tambm os desenhos no- projetivos (grficos, diagramas, fluxogramas etc.). 10.1 NORMAS So guias para a padronizao de procedimentos. Dependendo do mbito de seu projeto, voc pode encontrar normas internacionais, nacionais e internas de suaempresa, que buscam padronizar os desenhos. Antes de mais nada, Normas no so leis o profissional pode no se prender atodos os aspectos da norma, desde que justifique e se responsabilize por isso. Nocaso do desenho tcnico, no teremos normas que comprometam diretamente asegurana pessoal, porm procura-se sempre manter um padro. As seguintes normas se aplicam diretamente ao desenho tcnico no Brasil: NBR 10067 Princpios Gerais de Representao em Desenho Tcnico NBR 10126 Cotagem em Desenho Tcnico Sendo complementadas pelas seguintes normas: NBR 8402 Execuo de Caracteres para Escrita em Desenhos Tcnicos NBR 8403 Aplicao de Linhas em Desenho Tcnico NBR 12296 Representao de rea de Corte por Meio de Hachuras em Desenho Tcnico Outras normas podem ser utilizadas para desenhos especficos: arquitetura,



eltrica, hidrulica... 10.1.1 Normas da ABNT A execuo de desenhos tcnicos inteiramente normalizada pela ABNT. Os procedimentos para execuo de desenhos tcnicos aparecem em normas gerais que abordam desde a denominao e classificao dos desenhos at as formas de representao grfica, como o caso da NBR 5984 NORMA GERAL DE DESENHO TCNICO (Antiga NB 8) e da NBR 6402 EXECUO DE DESENHOS TCNICOS DE MQUINAS E ESTRUTURAS METLICAS (Antiga NB 13), bem como em normas especficas que tratam os assuntos separadamente, conforme os exemplos seguintes: NBR 10647 DESENHO TCNICO NORMA GERAL, cujo objetivo definir os termos empregados em desenho tcnico. A norma define os tipos de desenho quanto aos seus aspectos geomtricos (Desenho Projetivo e No- Projetivo), quanto ao grau de elaborao (Esboo, Desenho Preliminar e Definitivo), quanto ao grau de pormenorizao (Desenho de Detalhes e Conjuntos) e quanto tcnica de execuo ( mo livre ou utilizando computador) NBR 10068 FOLHA DE DESENHO LAY-OUT E DIMENSES, cujo objetivo padronizar as dimenses das folhas utilizadas na execuo de desenhos tcnicos e definir seu lay-out com suas respectivas margens e legenda.

As folhas podem ser utilizadas tanto na posio vertical como na posio horizontal, conforme mostra a Figura 1.2. Os tamanhos das folhas seguem os Formatos da srie A, e o desenho deve ser executado no menor formato possvel, desde que no comprometa a sua interpretao.



Os formatos da srie A tm como base o formato A0, cujas dimenses guardam entre si a mesma relao que existe entre o lado de um quadrado e sua diagonal (841 2 =1189), e que corresponde a um retngulo de rea igual a 1 m2. Havendo necessidade de utilizar formatos fora dos padres mostrados na tabela 1, recomendada a utilizao de folhas com dimenses de comprimentos ou larguras correspondentes a mltiplos ou a submltiplos dos citados padres. A legenda deve conter todos os dados para identificao do desenho (nmero, origem, ttulo, executor etc.) e sempre estar situada no canto inferior direito da folha. NBR 10582 APRESENTAO DA FOLHA PARA DESENHO TCNICO, que normaliza a distribuio do espao da folha de desenho, definindo a rea para texto, o espao para desenho etc.. Como regra geral deve-se organizar os desenhos distribudos na folha, de modo a ocupar toda a rea, e organizar os textos acima da legenda junto margem direita, ou esquerda da legenda logo acima da margem inferior. NBR 13142 DESENHO TCNICO DOBRAMENTO DE CPIAS, que fixa a forma de dobramento de todos os formatos de folhas de desenho: para facilitar a fixao em pastas, eles so dobrados at as dimenses do formato A4. NBR 8402 EXECUO DE CARACTERES PARA ESCRITA EM DESENHOS TCNICOS que, visando uniformidade e legibilidade para evitar prejuzos na clareza do desenho e evitar a possibilidade de interpretaes erradas, fixou as caractersticas de escrita em desenhos tcnicos. Neste livro, alm das normas citadas acima, como exemplos, os assuntos abordados nos captulos seguintes estaro em consonncia com as seguintes normas da ABNT: NBR 8403 APLICAO DE LINHAS EM DESENHOS TIPOS DE LINHAS LARGURAS DAS LINHAS NBR10067 PRINCPIOS GERAIS DE REPRESENTAO EM DESENHO TCNICO NBR 8196 DESENHO TCNICO EMPREGO DE ESCALAS NBR 12298 REPRESENTAO DE REA DE CORTE POR MEIO DE HACHURAS EM DESENHO TCNICO NBR10126 COTAGEM EM DESENHO TCNICO NBR8404 INDICAO DO ESTADO DE SUPERFCIE EM DESENHOS TCNICOS



NBR 6158 SISTEMA DE TOLERNCIAS E AJUSTES NBR 8993 REPRESENTAO CONVENCIONAL DE PARTES ROSCADAS EM DESENHO TCNICO Existem normas que regulam a elaborao dos desenhos e tm a finalidade de atender a uma determinada modalidade de engenharia. Como exemplo, pode-se citar: a NBR 6409, que normaliza a execuo dos desenhos de eletrnica; a NBR7191, que normaliza a execuo de desenhos para obras de concreto simples ou armado; NBR 11534, que normaliza a representao de engrenagens em desenho tcnico. Uma consulta aos catlogos da ABNTmostrar muitas outras normas vinculadas execuo de algum tipo ou alguma especificidade de desenho tcnico. 10.2 INSTRUMENTOS USADOS 10.2.1 LPIS E LAPISEIRAS Ambos possuem vrios graus de dureza: uma grafite mais dura permite pontas finas, mas traos muito claros. Uma grafite mais macia cria traos mais escuros, mas as pontas sero rombudas. Recomenda-se uma grafite HB, F ou H para traar rascunhos e traos finos, e uma grafite HB ou B para traos fortes. O tipo de grafite depender da preferncia pessoal de cada um. Os lpis devem estar sempre apontados, de preferncia com estilete. Para lapiseiras, recomenda-se usar grafites de dimetro 0,5 ou 0,3 mm. 10.2.2 ESQUADROS So usados em pares: um de 45o e outro de 30o / 60o. A combinao de ambos permite obter vrios ngulos comuns nos desenhos, bem como traar retas paralelas e perpendiculares. Para traar retas paralelas, segure um dos esquadros, guiando o segundo esquadro atravs do papel. Ceaso o segundo esquadro chegue na ponta do primeiro, segure o segundo esquadro e ajuste o primeiro para continuar o traado.



Exerccio Utilize ambos os esquadros para traar uma estrela de retas:, usando os seguintes ngulos: 0o , 15o , 30o, 45o, 60o, 75o , 90o, 105o, 120o, 135o, 150o, 165o, 180o. 10.2.3 COMPASSO Usado para traar circunferncias e para transportar medidas. O compasso tradicional possui uma ponta seca e uma ponta com grafite, com alguns modelos com cabeas intercambiveis para canetas de nanquim ou tira-linhas. Em um compasso ideal, suas pontas se tocam quando se fecha o compasso, caso contrrio o instrumento est descalibrado. A ponta de grafite deve ser apontada em bizel, feita com o auxlio de uma lixa. Os compassos tambm podem ter pernas fixas ou articuladas, que pode ser til para grandes circunferncias. Alguns modelos possuem extensores para traar circunferncias ainda maiores. Existem ainda compassos especficos, como o de pontas secas (usado somente para transportar medidas), compassos de mola (para pequenas circunferncias),compasso bomba (para circunferncias minsculas) e compasso de reduo(usado para converter escalas).



10.2.4 ESCALMETRO Conjunto de rguas com vrias escalas usadas em engenharia. Seu uso elimina ouso de clculos para converter medidas, reduzindo o tempo de execuo do projeto. O tipo de escalmetro mais usado o triangular, com escalas tpicas de arquitetura: 1:20, 1:25, 1:50, 1:75, 1:100, 1:125. A escala 1:100 corresponde a 1 m = 1 cm, e pode ser usado como uma rgua comum (1:1). O uso de escalas ser explicado mais adiante. 10.2.5 FOLHAS O formato usado o baseado na norma NBR 10068, denominado A0 (A-zero). Trata-se de uma folha com 1 m2, cujas propores da altura e largura so de 1: 2 . Todos os formatos seguintes so proporcionais: o formato A1 tem metade da rea do formato A0, etc. Obtm-se ento os seguintes tamanhos:

Cabe ao desenhista escolher o formato adequado, no qual o desenho ser visto com clareza. Todos os formatos devem possuir margens: 25 mm no lado esquerdo, 10 mm nos outros lados (formatos A0 e A1) ou 7 mm (formatos A2, A3 e A4). Tambm costuma-se desenhar a legenda no canto inferior direito. 10.2.6 DOBRAGEM Toda folha com formato acima do A4 possui uma forma recomendada de dobragem. Esta forma visa que o desenho seja armazenado em uma pasta, que possa ser consultada com facilidade sem necessidade de retir-la da pasta, e que a legenda estaja visvel com o desenho dobrado. As ilustraes abaixo mostram a ordem das dobras. Primeiro dobra-se na



horizontal (em sanfona), depois na vertical (para trs), terminando a dobra com a parte da legenda na frente. A dobra no canto superior esquerdo para evitar de furar a folha na dobra traseira, possibilitando desdobrar o desenho sem retirar do arquivo.



11. PERSPECTIVA Quando olhamos para um objeto, temos a sensao de profundidade e relevo. As partes que esto mais prximas de ns parecem maiores e as partes mais distantes aparentam ser menores. A fotografia mostra um objeto do mesmo modo como ele visto pelo olho humano, pois transmite a idia de trs dimenses: comprimento, largura e altura. O desenho, para transmitir essa mesma idia, precisa recorrer a um modo especial de representao grfica: a perspectiva. Ela representa graficamente as trs dimenses de um objeto em um nico plano, de maneira a transmitir a idia de profundidade e relevo. Existem diferentes tipos de perspectiva. Veja como fica a representao de um cubo em trs tipos diferentes de perspectiva:

perspectiva cnica perspectiva cavaleira perspectiva isomtrica Cada tipo de perspectiva mostra o objeto de um jeito. Comparando as trs formas de representao, voc pode notar que a perspectiva isomtrica a que d a idia menos deformada do objeto. Iso quer dizer mesma; mtrica quer dizer medida. A perspectiva isomtrica mantm as mesmas propores do comprimento, da largura e da altura do objeto representado. Alm disso, o traado 29 da perspectiva isomtrica relativamente simples.



12 EXEMPLO DE DESENHO TCNICO UTILIZADO NA INDSTRIA.



13. EXERCICIOS 1.EXECUTE OS DESENHOS ABAIXO. A. Desenhe linhas paralelas formando ngulos de 30, 45 e 60 com uma reta s horizontal ut

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