Universidade Federal do Triângulo Mineiro – UFTM

Prof.: Daniel Oliveira Veronese

Cônicas

ELIPSE

Elipse é o lugar geométrico dos pontos de um plano cuja soma das distâncias a dois pontos fixos desse plano é constante.

Consideremos no plano dois pontos distintos, F1

e F2, tal que a distância d(F1,F2)=2c. Seja a um número real tal que 2a>2c.

Ao conjunto de todos os pontos P do plano tais que:

dá-se o nome de elipse.

Elementos da Elipse Focos: são os pontos F1 e F2 Distância Focal: é a distância 2c entre os focos Centro: é o ponto médio C do seguimento F1 F2 Eixo Maior: é o seguimento A1A2 de comprimento 2a Eixo Menor: é o seguimento B1B2

de comprimento 2b Vértices: são os pontos A1 , A2 , B1 e B2 Excentricidade: é o número e(0<e<1) dado por: e=c/a.

Observações 1) Se mantivermos constante o comprimento

“2a” e variarmos as posições de F1 e F2, a forma da elipse irá variar. Assim, quanto mais próximos os focos estão entre si, tanto mais a forma da elipse se assemelha à da circunferência. Por outro lado, quanto mais afastados estiverem os focos entre si, mais “achatada” será a elipse. Em outras palavras, quanto maior a excentricidade mais achatada será a elipse e, quanto menor a excentricidade, mais próxima a elipse estará de uma circunferência.

2) Se F1 = F2 então c=0 e, neste caso, obtemos uma circunferência de raio “a”.

ObservaçãoEm toda elipse vale a relação:

Equação da Elipse de Centro na Origem do Sistema

1º caso: o eixo maior está sobre o eixo dos x

Da definição da elipse temos que:

ou seja:

Daí:

Agora, lembrando que:

obtemos:

ou, ainda:

que é a equação reduzida da elipse de centro na origem e eixo maior sobre o eixo dos x.

2º caso: o eixo maior está sobre o eixo dos y

Nesse caso, de modo análago ao caso anterior, concluímos que a equação reduzida da elipse é dada por:

Equação da Elipse de Centro Fora da Origem do Sistema

1º caso: o eixo maior é paralelo ao eixo dos x

Equação da Elipse:

2º caso: o eixo maior é paralelo ao eixo dos y

Equação da Elipse:

Exemplos

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