Departamento de reas Acadmicas IVCurso de Engenharia de Controle e AutomaoDisciplina CEA04 -EletromagnetismoProfessor: Tauler Teixeira BorgesANEXOS e LISTAS DE EXERCCIOS2 SEMESTRE DE 2010Anexos do Captulo 1 ANALISE VETORIALRepresentao de um ponto nos 3 sistemas de coordenadasQuadro das transformaes entre os trs sistemas de coordenadasSISTEMACartesiano Cilndrico EsfricoCartesianoz zy yx x===z zsen ycos x= = = = = =rcos zsen rsen ycos sen r xCilndricoz z2 0 ) x / y ( tan0 y x1 -2 2= = + = z z = = = = = = rcos zsen rEsfrico( )( ) = + = + + =2 0 x / y tan0 z y x tan0 r z y x r1 -2 2 1 -2 2 2( ) = = + + =2 00 z tan0 r z y x r2 1 -2 2 2 = = = r rVetores unitrios nos 3 sistemas de coordenadasProdutos escalares entre vetores unitrios nos 3 sistemas de coordenadasCoordenadas cartesianas e cilndricas Coordenadas cartesianas e esfricasComprimentos, reas e volumes diferenciais nos 3 sistemas de coordenadasQuadro dos elementos diferenciais nos 3 sistemas de coordenadasSistemaComprimento (d L )rea (d s ) Volume(dv)Cartesianoz y xa dz a dy a dx L d + + =z zy yx xa dxdy s da dxdz s da dydz s d=== dz dy dx dv =Cilndricoz pa dz a d a d L d + + =z za d d s da dz d s da dz d s d = = = dz d d dv =Esfrico + + = a d sen r a rd a dr L dr = = =a rdrd s da drd sen r s da d d sen r s dr2r = d drd sen r dv2araaax-senu cos| cosu cos| - sen|ay-senu sen| cosu sen| cos|az-cosu - senu 0aaZaax-cos| - sen| 0ay-sen| cos| 0az-0 0 1Anexos do Captulo 2 LEI DE COULOMB E INTENSIDADE DE CAMPO ELTRICOCAMPO ELTRICO DE UMA DISTRIBUIO LINEAR DE CARGA = a2EoLsendo:L= densidade linear de carga[C/m](valor constante) = menor distncia da linha ao ponto P[m]a = versor normal linha orientado para o ponto PDemosntrao:Observando a figura temos:dz dQL = + = a a z Rze2 2z R + = 2 2zRza a zRRa + + = =Substituindo na frmula geral acima obtemos:( )( )( ) + = + + + == + + + + == E Ez 4a a z dzzza a zz 4dzzEz2 / 32 2oz L2 2z2 2oLPor simetria 0 Ez = .Fazendo a substituio trigonomtrica (ver tringulo ao lado): = tg z = d dz2sece levando na expresso acima e desenvolvendo,( ) = + = = = + = a d os4a d4E E2 /2 /2 /2 /oL2 / 32 2oLctgsec22[ ] [ ] = = += = = a 1 14a4E E2 /2 /oL 2 /2 /oLsenDa chegamos finalmente a: = = a2E EoLLogo, E inversamente proporcional distncia de P a linha com carga uniforme.CAMPO ELTRICO DE UMA DISTRIBUIO SUPERFICIAL DE CARGAnosa2E=sendo:S= densidade superficial decarga[C/m2] (constante)na = versor normal ao planoorientado para o ponto PDemosntrao:Observando a figura temos: = = d d dS dQs sza z a R + =e2 2z R + = 2 2zRza z aRRa+ + = =Substituindo na frmula geral acima obtemos:( )2 2z2 2osza z az 4d d020E+ + + += = = ( )( )z2 / 32 2oz s2sE Ez 4d d a z a020E + =+ + += = = Por simetria 0 E =.( ) ( )2 / 32 2oz s2 / 32 2oz szzd02a zzd0d204a zE E+ += =+ += = = = Fazendo a substituio trigonomtrica (ver tringulo ao lado): = tg z = d z d2sec ,e levando na expresso acima e desenvolvendo,( ) = = = =+ = = = d2 /02a d2 /02az zd z z2 /02a zE Eoz soz s2 / 32 22oz szsensectgtgsec tg2[ ] [ ]zos 2 /0oz sza 1 02 2aE E += = == cos zosza2E E= =De uma forma mais geral, fazendon za a = nosna2E E= =Logo, E independente da distncia (z) de P ao plano com carga uniforme.Anexo do Captulo 3DENSIDADE DE FLUXO ELTRICO, LEI DE GAUSS E DIVERGNCIADIVERGNCIA CARTESIANAS:zzDyyDxxDD++= CILNDRICAS:zzDD1) D (1++ = D ESFRICAS:++= Dsen r1) sen D (sen r1r)rD r (r122DAnexos do Captulo 4 ENERGIA E POTENCIALGRADIENTE CARTESIANASz y xzVyVxVV a a ar r r++= ; CILINDRICASzzV V 1 VV a a ar r r++= ESFRICAS ++= a a ar r r Vsen r1 Vr1rVVrAnexo do Captulo 5 FORAS MAGNTICAS, MATERIAS E INDUTNCIAA NATUREZA DOS MATERIAIS DIELTRICOSPolarizao P definido como sendo o momento eltrico total por unidade de volume, isto :vplim pv1lim Ptotal0 vv n1 ii0 v = = = (Unidade:C/m2 mesma unidade de D)onde n o nmero de dipolos eltricos por unidade de volume vA lei de Gauss relaciona a densidade de fluxo eltrico D com a carga eltrica livre, Q, isto : = S d D Q (Nota: D sai ou diverge da carga livre positiva)Por analogia, pode-se tambm relacionar o campo P com uma carga, QP, que produz este campo,sendo esta carga chamada de carga de polarizao. = S d P QP(Nota: P sai ou diverge da carga de polarizao negativa)A lei Gauss em termos da carga total,QT,(lei de Gauss generalizada) expressa por: = S d E Qo Tonde:QT= Q + QP= soma da carga livre com a carga de polarizaoo=8,85410-12= permissividade eltrica do vcuo (unidade:F/m)Substituindo as cargas pelas suas expresses com integrais, obtemos a seguinte expresso geral querelaciona os 3 campos D, E e P , para qualquer tipo de meio:P E Do+ =(Nota: No vcuo 0 P = )Para um material linear, homogneo e isotrpico,tem-se:E Po e = [C/m2]sendo ea suscetibilidadeeltricadomaterial (constanteadimensional, l-secsi).Estaconstante relacionada com a permissividade eltrica relativa (ou constante dieltrica) do material,R, (grandeza tambm adimensional) atravs da expresso:1R e = Combinando estas 3 ltimas equaes obtm-se:E D =onde:o R = sendo a permissividade eltrica absoluta do material, dada emF/m.Relaesusandoasdensidadesvolumtricasdecargalivre, v(ousimplesmente ),decargadepolarizao, P, e de carga total, T:dv Qvv= = Dvdv QPvP=PP = dv QTvT=T oE = Anexos do Captulo 6 EQUAES DE POISSON E LAPLACELAPLACIANO CARTESIANAS: = + +2222222VVxVyVz CILNDRICAS: = + +2222221 1VV V Vz ESFRICAS: = + +2222 2 2221 1 1Vr rrVr rVrV sensensenSOLUO PRODUTO DA EQUAO DE LAPLACESuponha o potencial seja funo das variveis x e y de acordo com a seguinte expresso:XY ) y ( f ) x ( f V = = onde ) x ( f X = e ) y ( f Y = (01)Aplicando a equao de Laplace, obtemos:0 V2= 0yVxV2222=+(02)(01) (02):0yYXxXY2222=+(03)Dividindo (03) por XY:0yYY1xXX12222=+Separando os termos somente dependentes de x dos termos somente dependentes de y, escrevemos:2222dyY dY1dxX dX1 = (04)Como ) x ( f X = e ) y ( f Y = ,ento para que a equao (04) seja verdadeira, cada um dos membrosde (04) deve resultar em uma mesma constante. Chamando esta constante de 2, temos:222dxX dX1 = (05)222dyY dY1 = (06)Re-escrevendo (05) e (06) temos:XdxX d222 = (07) YdyY d222 = (08)Soluo da equao (07) pelo Mtodo de Deduo Lgica:Basta responder a seguinte pergunta:Qual a funo cuja segunda derivada igual a prpria funo multiplicada por umaconstante positiva?Soluo :Funo trigonomtrica hiperblica em seno ou co-seno. Assim:x h B x h A X + = sen cos (09)Soluo da equao (08) pelo Mtodo de Deduo Lgica:Basta responder a seguinte pergunta:Qual a funo cuja segunda derivada igual a prpria funo multiplicada por umaconstante negativa?Soluo :Funo trigonomtrica em seno ou co-seno.Assim:y D y C Y + = sen cos (10)Substituindo (09) e (10) em (01), obtemos finalmente:( ) ( ) y C y C x h B x h A XY V + + = = sen cos sen cos (13)Exemplo de aplicao do Laplaciano para variao de potencial em duas direes , ou seja V= f (x) f(y)A Partir da Equao: (1):( ) ( ) y D y C x h B x h A XY V + + = = sen cos sen cos (1)Calculeopotencialnaregiointernadacalharetangulardafigura.Soconhecidostodosospotenciaisnoscontornosmetlicos da calha.Soluo: Pela figura temos as condies de contorno:(i) V = 0 em x = 0,(ii) V = 0 em y = 0,(iii) V = 0 em y = d,0 < x < c(iv) V = Voem x = c,0 < y < dAplicando as condies (i) e (ii)em (1) obtemos A = C = 0 e chamando BD = V1, chegamos a:y x h V y x h BD XY V1 = = = sen sen sen sen (2)e aplicando a condio (iii), V = 0 em y = d, temos:d x h V 01 = sen sen ( ) , 2 , 1 ndn== (3)Substituindo o de (3) em (2):dy ndx nh V V1 = sen sen (4) impossvel escolher um n ou V1de modo que V = Voem x = c, para cada0 Bapl,Bint Baplr> 1,r 1K, O, Al, Be, tungstnio,terras-raras, vrios sais.Ferromagnticoorb spinm m >>Bint>> Bapl r>> 1 Fe, Co, Ni, ligas. Domniosmagnticos fortesAntiferromagnticoorb spinm m >>Bint Baplr 1 xido de magnsio. Momentosadjacentes se opemFerrimagnticoorb spinm m >Bint>> Bapl r>> 1 Ferrites. Momentos adjacentesdesiguais paralelos e opostosSuperparamagnticoorb spinm m >>Bint> Bapl 1 < r