EME 311 5.1 – Momento de Inércia de uma Área; Mecânica dos...

EME 311Mecânica dos Sólidos

- CAPÍTULO 5 -- CAPÍTULO 5 -

Profa. PatriciaEmail: [email protected]

IEM – Instituto de Engenharia MecânicaUNIFEI – Universidade Federal de Itajubá

5 – MOMENTOS E PRODUTOS DE INÉRCIA DE ÁREAS

� 5.1 – Momento de Inércia de uma Área;� 5.2 – Teorema dos eixos Paralelos;� 5.3 – Raio de Giração;� 5.4 – Momento de inércia de Figuras

Capítulo 5 - Momentos e Produtos de Inércia de Áreas 2

� 5.4 – Momento de inércia de Figuras Compostas;

� 5.5 – Produto de Inércia;� 5.6 – Mudança do Momento de Inércia com

Rotação de Eixos;� 5.7 – Círculo de Mohr.

O projeto de um elemento estrutural (viga ou coluna) necessita do

5.1 – Momento de Inércia de uma Área


necessita do momento de inércia de sua seção reta.


� No capítulo anterior, determinamos o centróide de uma área considerando o primeiro momento da área em relação a um eixo

dA

x A∫


� O segundo momento de inércia de uma área é chamado de momento de inércia da área.

2dA

x A∫

A


� Definições:� O momento de inércia de uma área plana (seção reta

de uma viga) com relação a um eixo é uma característica geométrica da seção e numericamente igual a integral:


2

2

d

d

x

A

y

A

I y A

I x A

=

=

∫

∫


� Definições:� O momento de inércia polar da área de uma figura em

relação ao eixo z ou pólo O é uma característica geométrica da seção e numericamente igual a integral:

2dz OJ J r A= = ∫


2 2 2

dz O

A

z O x y

J J r A

J J I I

r x y

= =

= = +

= +

∫


� Definições:� Os momentos de inércia, tanto polar como com relação

a eixos, são quantidades POSITIVAS (envolvem distâncias ao quadrado e áreas);

� As unidades envolvem comprimento elevado à quarta


� As unidades envolvem comprimento elevado à quarta potência (m4, mm4, pés4, pol4);

� A soma dos momentos de inércia axiais é invariante com relação a rotação do sistema de coordenadas em torno do ponto ( ).O x yJ I I= +

5.2 – Teorema dos Eixos Paralelos

� Seja determinarmos o momento de inércia de uma figura com relação a qualquer eixo x.

Seja x’ um eixo centroidal paralelo a x, e


paralelo a x, e

o momento de inércia da área com relação a x’.

'xI


� Temos que: ( )2

2 2

' d

' d 2 'd d

x y

A

y y

A A A

I y d A

y A d y A d A

= +

= + +

∫

∫ ∫ ∫


A A A

onde dy é a distância (perpendicular) entre os eixos paralelos x e x’.


� A primeira integral representa o momento de inércia da área em relação ao eixo centroidal;

� A segunda integral representa o momento estático da área sobre o eixo centroidal, e é zero ( );

� A terceira integral representa a área total A.

∫ ∫ ∫

0y =


Analogamente:

2 2

2'

' d 2 'd dx y y

A A A

x x y

I y A d y A d A

I I Ad

= + +

= +

∫ ∫ ∫

2'y y xI I Ad= +


Para o momento polar de inércia em relação a um eixo perpendicular ao plano xy que passo pelo pólo O (eixo z), temos:

( )O x yJ I I= +


( )2 2' '

2

x y y x

O O

I I A d d

J J Ad

= + + +

= +


� Concluímos então que: � O momento de inércia com relação a qualquer eixo é

igual ao momento de inércia com relação ao eixo centroidal paralelo ao dado eixo, mais o produto da área da figura pelo quadrado da distância entre os dois eixos;


� O momento de inércia com relação ao eixo centroidal é menor que o momento de inércia com relação a qualquer outro eixo não centroidal paralelo ao primeiro.

2'y y xI I Ad= + 2

O OJ J Ad= +2'x x yI I Ad= +

5.3 – Raio de Giração

� O raio de giração Kv de uma área plana relativa-mente a um eixo v possui unidade de comprimento e é definido a partir da relação:

2vIk I k A= ⇒ =


� Pode ser interpretado como a distância de v para a qual a área A possa ser concentrada, sem alterar o momento de inércia relativo a v.

2vv v v

Ik I k A

A= ⇒ =

Exemplo 1

a) O momento de inércia com relação ao eixo x e ao eixo y dados;

b) O momento de inércia com relação ao eixo x’;

Calcular para um retângulo de base b e altura h:


relação ao eixo x’;

c) O momento de inércia polar centroidal;

d) O raio de giração da área com relação ao eixo x.

5.4 – Momento de Inércia de Figuras Compostas

� É igual a soma dos momentos de inércia de suas partes separadamente:

x xI I=∑


� Devemos observar que uma área pode ser composta de áreas positivas e negativas;

� O momentos de inércia de uma área negativa é uma quantidade negativa.

Exemplo 2

a) O momento de inércia polar centroidal ;

b) Os momentos de inércia centroidais e .xI yI

zJ

Calcular para o anel dado:


centroidais e .xI yI

Exemplo 3 – (Hibbeler, pág. 432)

Calcule o momento de inércia da área composta mostrada na figura em relação ao eixo x:


5.5 – Produto de Inércia

� O produto de inércia da área de uma figura é uma característica geométrica da seção, definido pela integral da forma:

dxy

A

I xy A= ∫


A

Onde x e y são as distân-cias da área elementar dA aos eixos y e x.


� O produto de inércia pode ser POSITIVO, NEGATIVO

dxy

A

I xy A= ∫


� O produto de inércia pode ser POSITIVO, NEGATIVO ou ZERO.

� Possui unidades de comprimento elevado à quarta potência (m4, mm4, pés4, pol4);


Se os eixos x ou y forem eixo de simetria, o produto de inércia de uma área será ZERO.


Para qualquer elemento dA em (x, y), há um elemento dAem (x, - y)


O sinal depende do

quadrante onde


quadrante onde a área está localizada.

5.5 – Produto de InérciaTEOREMA DOS EIXOS PARALELOS:

dxy

A

I xy A= ∫


( )( )' ' d

' 'd 'd 'd d

xy x y

A

xy x y x y

A A A A

I x d y d A

I x y A d y A d x A d d A

= + +

= + + +

∫

∫ ∫ ∫ ∫

5.5 – Produto de InérciaTEOREMA DOS EIXOS PARALELOS:

� A primeira integral representa o produto de inércia da área em relação ao eixo centroidal;

� A segunda e a terceira integral são iguais a zero, pois os momentos estáticos de área são tomados em relação aos eixos que passam pelo centóide;


� A quarta integral representa a área total A.

' '

' 'd 'd 'd dxy x y x y

A A A A

xy x y x y

I x y A d y A d x A d d A

I I Ad d

= + + +

= +

∫ ∫ ∫ ∫

Exemplo 4

Determine o produto de inércia da área do triângulo retângulo com relação aos eixos centroidais e paralelos a base e a altura.


Exemplo 4 - Solução

Solução1:

' 'xy x ydI dI dAxy= + ɶɶ

dA ydx=


dA ydx=

' ' 0x ydI =

e 2yx x y= =ɶ ɶ


Solução1:

( )2

3

02xy

ydI ydx x

h h hxdx x x x dx

= + =

= =


322 2

h h hxdx x x x dx

b b b = =

2 2 23

20 2 8

b

xy

h b hI x dx

b= =∫


Solução2:

' 'xy x ydI dI dAxy= + ɶɶ

( )dA b x dy= −


( )dA b x dy= −

' ' 0x ydI =

e2 2

b x b xx x y y

− + = + = =

ɶ ɶ


Solução1:

22 2

2

1

2xy

bdI y b y dy

h

= −


22 2

20

2 2

1

2

8

b

xy

bI y b y dy

h

b h

= −

=

∫

Exemplo 5

Calcule o produto de inércia da área da seção reta da viga mostrada na figura em relação aos eixos que passam pelo centróide.


5.6 – Mudança do Momento de Inércia com Rotação de Eixos

� Seja encontrarmos a relação entre os momentos de inércia em relação aos


em relação aos eixos x e y, e os momentos de inércia com relação aos eixos u e v.


cos senu x y= θ + θ


cos sen

cos sen

u x y

v y x

= θ + θ= θ − θ


� Os momentos de inércia de dA em relação aos eixos u e v ficam:

( )22

2 2 2 2

d cosθ senθ d

cos θd 2 senθcosθd sen θd

u

A A

I v A y x A

y A xy A x A

= = − =

= − +

∫ ∫

∫ ∫ ∫


Do mesmo modo:

2 2 2 2

2 2

cos θd 2 senθcosθd sen θd

cos θ sen θ sen 2θA A A

u x y xy

y A xy A x A

I I I I

= − +

= + −

∫ ∫ ∫

( )22

2 2

d cosθ senθ d

sen θ cos θ sen 2θ

v

A A

v x y xy

I u A x y A

I I I I

= = +

= + +

∫ ∫


� Para o produto de inércia:

( )( )cosθ senθ cosθ senθ d

sen 2θsen 2θcos 2θ

uv

A

yx

I x y y x A

III I

= + −

= − +

∫


� A soma dos momentos de inércia em relação a quaisquer eixos perpendiculares entre si, que passa por O, é invariante na rotação:

u v x y OI I I I J+ = + =


2 2yx

uv xy

III I= − +


MOMENTOS PRINCIPAIS DE INÉRCIA:

� As equações para os momentos e produtos de inércia para os eixos u e v, dependem do ângulo de inclinação.


inclinação.

� Vamos determinar um valor particular para o ângulo de inclinação que faz com que os momentos de inércia sejam máximos e mínimos;



� O ângulo que faz com que Iu ou Iv sejam máximos

ou mínimos podem ser determinados derivando Iu ou

Iv em relação a e igualando o resultado a zero:θ


2 sen 2 2 cos2 02

2tg2

x yuxy

xy

y x

I IdII

d

I

I I

− = − θ − θ = θ

θ =−



� Chamando o ângulo:

� Então:

pθ = θ1 2

2 xyp

Itg

I I−θ =

−


� Então:

Esta equação fornece dois valores para , pois

Em conseqüência as duas soluções em diferem de .

2 py x

tgI I

θ =−

2 pθ

( )tg 2 tg 2p pθ = θ + π

θ2π


MOMENTOS PRINCIPAIS DE INÉRCIA:� Uma solução define o eixo de momento de inércia

mínimo e a outra define o eixo de momento de inércia máximo. Estes dois eixos retangulares são chamados de EIXOS PRINCIPAIS DE INÉRCIA.


� Substituindo a equação de na equação para , e fazendo transformações trigonométricas, teremos:

2 pθ uI

( )2 2max min

1ou 4

2 2x y

x y xy

I II I I I I

+= ± − +



� Investigando a segunda derivada :

� o máximo momento de inércia ocorre com relação

2 2d duI θ


� o máximo momento de inércia ocorre com relação ao eixo principal fazendo um ângulo em relação a x;

� o mínimo momento de inércia é em relação ao outro eixo perpendicular.

pθ



� Da equação:

Se


2 2yx

uv xy

III I= − +

2θ θ tg 2θ xy

p p

II I= ⇒ = −


Se θ θ tg 2θp py xI I= ⇒ = −

( )sen 2θ cos 2θ

2

2 sen 2θcos 2θ 0

tg 2θ 2

x y

uv xy

xy pxy p

p

I II I

II

−= +

−= + =



� Portanto, o produto de inércia de uma área com relação aos eixos principais de inércia é nulo.


nulo.

( )sen 2θ cos 2θ

2

2 sen 2θcos 2θ 0

tg 2θ 2

x y

uv xy

xy pxy p

p

I II I

II

−= +

−= + =

Exemplo 6 – (Hibbeler exemplo 10.8)

Determine os momentos principais de inércia da área da seção transversal da viga mostrada na figura em relação a um dos eixos que passa pelo centróide.


5.7 – Círculo de Mohr

Com algumas transformações, temos:

2 2cos θ sen θ sen 2θu x y xyI I I I= + −2 2sen θ cos θ sen 2θv x y xyI I I I= + +


2 2yx

uv xy

III I= − +


sen 2θ cos 2θ2

x yuv xy

I II I

−= +

cos2θ sen 2θ2 2

x y x yu xy

I I I II I

+ −= + −

cos 2θ sen 2θ2 2

x y x yv xy

I I I II I

+ −= − +


Elevando ao quadrado a primeira e a terceira das equações anteriores e somando-as, obtemos:

2 2

2 2

2 2x y x y

u uv xy

I I I II I I

+ − − + = +

I I+


Para simplificar:2

x ym

I II

+=

2

2

2x y

xy

I IR I

− = +


Logo:

� Esta expressão é representada graficamente em um conjunto de eixos com Iu na abscissa e Iuv na

( )2 2 2u m uvI I I R− + =


u uv ordenada.

� Ela representa a equação característica de uma círculo de centro C(Im, 0)e raio R.

� Este círculo é conhecido como CÍRCULO DE MOHR.




PROCEDIMENTO:

� Conhecendo Ix e Iy , o centro do círculo é dado por Im.

� Com abscissa Ix e ordenada Ixy, marcamos o ponto


� Com abscissa Ix e ordenada Ixy, marcamos o ponto A(Ix, Ixy) e traçamos o círculo de Mohr;

� Imaxe Imin são obtidos quando Ixy = 0.


PROCEDIMENTO:

� Portanto, do círculo de Mohr, temos:

max mI I R

I I R

= += −


� Então, o círculo de Mohr apresenta um meio conveniente para transformar (Ix , Iy e Ixy) nos momentos principais de inércia (Iu , Iv e Iuv).

min mI I R= −


Eixos principais: No círculo de Mohr, a

direção do eixo principal

correspondente ao


correspondente ao máximo momento de inércia é medida do raio AO até o eixo

positivo I, fornecendo o ângulo o .2θ p


Eixos principais: Na área em estudo,

este ângulo é metade do ângulo do círculo de Mohr e sua direção vai

desde o eixo x até o


desde o eixo x até o eixo do momento de

inércia máximo.

As direções possuem o mesmo sentido!

Exemplo 7

Utilizando o círculo de Mohr, determine os momentos principais de inércia para a área da seção transversal da viga da figura em relação a um eixo que passa pelo centróide.




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