Física I

Inércia

Rotacional

Profs.: Camilla Codeço e Marcello Barbosa

Coordenação: Malena Hor-Meyll e Thereza Paiva

Objetivos da aula

• Inércia translacional e a massa – recordação

• Inércia rotacional e o momento de inércia

• Definição matemática do momento de inércia

• Cálculo de para alguns objetos conhecidos

• Teorema dos eixos paralelos

𝐼

𝐼

Inércia translacional e a massa inercial 𝑚

A massa é uma medida da capacidade de resistir à (dificuldade de promover) alterações no estado de movimento translacional de corpos e objetos

𝑚

𝑚

𝑚

𝑚

Inércia rotacional e o momento de inércia 𝐼

A momento de inércia é uma medida da capacidade de resistir à (dificuldade de promover) alterações no estado de movimento rotacional de corpos e objetos

𝐼

Energia cinética de rotação e o momento de inércia

Definimos o momento de inércia

𝐾 =12

𝐼𝜔2𝐼 = ∑𝑖

𝑚𝑖𝑟2𝑖 O momento de inércia faz, para rotações, o

mesmo papel da massa para translações !!!𝐼𝒎

Para o elemento de massa em P

𝐾𝑃 =12

𝑚𝑃𝑣2𝑃

Somando sobre todos os possíveis P’s

𝐾 = ∑𝑖

12

𝑚𝑖𝑣2𝑖

Como a velocidade angular é a MESMA

𝐾 = ∑𝑖

12

𝑚𝑖𝑟2𝑖 𝜔2 =

12 (∑

𝑖

𝑚𝑖𝑟2𝑖 )𝜔2

𝑣𝑖 = 𝜔 𝑟𝑖com

Dividir para conquistar – Julius Caesar

Definição matemática do momento de inércia

O momento de inércia como uma soma

• Identificar o eixo de rotação

• Calcular as distâncias de cada massa

• Calcular o produto

• Efetuar o somatório

𝑟𝑖  𝑚𝑖

𝑚𝑖𝑟𝑖2

Caso discreto

O momento de inércia como uma soma – exemplo

• Identificar o eixo de rotação • Calcular as distâncias de cada massa

• Calcular o produto • Efetuar o somatório

𝑟𝑖 𝑚𝑖

𝑚𝑖𝑟𝑖2

𝑚1 = 1 𝑘𝑔𝑚2 = 2 𝑘𝑔𝑚3 = 1 𝑘𝑔𝑚4 = 1 𝑘𝑔

𝑟1 = 0.75 𝑚𝑟2 = 0.75 𝑚𝑟3 = 1.0 𝑚𝑟4 = 1 . 5 𝑚

𝐼 =4

∑𝑖=1

𝑚𝑖𝑟𝑖2 = 1𝑘𝑔 × (0.75 𝑚)2 + 2𝑘𝑔 × (0.75 𝑚)2 + 1𝑘𝑔 × (1 . 0 𝑚)2 + 1𝑘𝑔 × (1 . 5 𝑚)2 = 𝟒 . 𝟗𝟑𝟕𝟓 𝒌𝒈 𝒎𝟐

Eixo de rotação – eixo y – vertical

O momento de inércia como uma soma – exemplo

• Identificar o eixo de rotação • Calcular as distâncias de cada massa

• Calcular o produto • Efetuar o somatório

𝑟𝑖 𝑚𝑖

𝑚𝑖𝑟𝑖2

𝑚1 = 1 𝑘𝑔𝑚2 = 2 𝑘𝑔𝑚3 = 1 𝑘𝑔𝑚4 = 1 𝑘𝑔

𝑟1 = 0.5 𝑚𝑟2 = 0.5 𝑚𝑟3 = 0 . 5 𝑚𝑟4 = 0 . 5 𝑚

𝐼 =4

∑𝑖=1

𝑚𝑖𝑟𝑖2 = 1𝑘𝑔 × (0.5 𝑚)2 + 2𝑘𝑔 × (0.5 𝑚)2 + 1𝑘𝑔 × (0 . 5 𝑚)2 + 1𝑘𝑔 × (0 . 5 𝑚)2 = 𝟏 . 𝟐𝟓 𝒌𝒈 𝒎𝟐

Eixo de rotação – eixo x – horizontal

O momento de inércia como uma integral

• Identificar o eixo de rotação

• Escrever o elemento de massa à uma distância ao eixo

• Calcular o produto • Efetuar a integral

𝑑𝑚𝑟

𝑚𝑟2

Caso contínuo

𝐼 = ∫ 𝑟2𝑑𝑚

Tipos de elementos de massa – 1D, 2D e 3D

𝐼 = ∫ 𝑟2𝑑𝑚𝐼 = ∑𝑖

𝑚𝑖𝑟𝑖2

Em todos os casos neste curso precisaremos apenas resolver uma integral SIMPLES !!!!

A barra delgada – rotação relativa ao centro

• Identificar o eixo de rotação • Escrever o elemento de massa

à uma distância ao eixo • Calcular o produto • Efetuar a integral

𝑑𝑚𝑟

𝑚𝑟2

Eixo de rotação – eixo y – no CM

𝑑𝑚 = 𝜆 𝑑𝑙 =  ( 𝑚𝐿 ) 𝑑𝑥

𝐼 = ∫ 𝑟2𝑑𝑚 =𝐿/2

∫−𝐿/2

𝑥2( 𝑚𝐿 ) 𝑑𝑥 =  ( 𝑚

𝐿 )𝐿/2

∫−𝐿/2

𝑥2 𝑑𝑥 = ( 𝑚𝐿 ) 𝑥3

3

𝐿/2

−𝐿/2

= ( 𝑚𝐿 ) ((𝐿/2)3 − (−𝐿/2)3)

3=

112

𝑚𝐿2

𝑟 = 𝑥

𝑥

𝑦

A barra delgada – rotação relativa à extremidade

• Identificar o eixo de rotação • Escrever o elemento de massa

à uma distância ao eixo • Calcular o produto • Efetuar a integral

𝑑𝑚𝑟

𝑚𝑟2

Eixo de rotação – eixo y – na extremidade

𝑑𝑚 = 𝜆 𝑑𝑙 =  ( 𝑚𝐿 ) 𝑑𝑥

𝐼 = ∫ 𝑟2𝑑𝑚 =𝐿

∫0

𝑥2( 𝑚𝐿 ) 𝑑𝑥 =  ( 𝑚

𝐿 )𝐿

∫0

𝑥2 𝑑𝑥 = ( 𝑚𝐿 ) 𝑥3

3

𝐿

0

= ( 𝑚𝐿 ) (𝐿3 − 03)

3=

13

𝑚𝐿2

𝑟 = 𝑥

• Identificar o eixo de rotação • Escrever o • Calcular o produto • Efetuar a integral

𝑑𝑚

𝑚𝑟2

Eixo de rotação – eixo y – passando pelo CM

𝑑𝑚 = 𝜎 𝑑𝐴 =  ( 𝑚𝑎𝑏 )𝑏 𝑑𝑥

𝐼 = ∫ 𝑟2𝑑𝑚 =𝑎/2

∫−𝑎/2

𝑥2( 𝑚𝑎𝑏 )𝑏 𝑑𝑥 = ( 𝑚

𝑎 )𝑎/2

∫−𝑎/2

𝑥2 𝑑𝑥 = ( 𝑚𝑎 ) 𝑥3

3

𝑎/2

−𝑎/2

= ( 𝑚𝑎 ) ((𝑎 /2)3 − (−𝑎 /2)3)

3=

112

𝑚𝑎2

𝑟 = 𝑥

Placa retangular delgada – eixo longitudinal

-a/2 a/2

b

Placa retangular delgada – eixo na aresta• Identificar o eixo de rotação • Escrever o • Calcular o produto • Efetuar a integral

𝑑𝑚

𝑚𝑟2

Eixo de rotação – eixo y – ao longo da aresta

𝑑𝑚 = 𝜎 𝑑𝐴 =  ( 𝑚𝑎𝑏 )𝑏 𝑑𝑥

𝐼 = ∫ 𝑟2𝑑𝑚 =𝑎

∫0

𝑥2( 𝑚𝑎𝑏 )𝑏 𝑑𝑥 = ( 𝑚

𝑎 )𝑎

∫0

𝑥2 𝑑𝑥 = ( 𝑚𝑎 ) 𝑥3

3

𝑎

0

= ( 𝑚𝑎 ) (𝑎3 − 03)

3=

13

𝑚𝑎2

𝑟 = 𝑥

Eixos paralelos

Simplificando o cálculo de 𝐼

O teorema dos eixos paralelos – caso geral

Dado: momento de inércia em relação a um eixo passando CM

Pede-se: momento de inércia em relação a algum outro eixo

Solução: teorema dos eixos paralelos

Exemplos do teorema dos eixos paralelos

𝐼(𝑏) = 𝐼(𝑎) + 𝑀( 𝐿2 )

2

=112

𝑀𝐿2 +14

𝑀𝐿2 =13

𝑀𝐿2

𝐼(𝑏) = 𝐼(𝑎) + 𝑀( 𝑎2 )

2

=1

12𝑀𝑎2 +

14

𝑀𝑎2 =13

𝑀𝑎2

(a) (b)

-a/2 a/2

b

Cilindros e esferas

Casos mais simples – integral SIMPLES

Momento de inércia – cilindro

• Identificar o eixo de rotação • Escrever o • Calcular o produto • Efetuar a integral

𝑑𝑚

𝑚𝑟2

Eixo de rotação – eixo z – de simetria do cilindro

𝑟 = 𝑟

𝜌 =𝑀𝑉

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Volte ao slide “Objetivos da aula” e avalie se você compreendeu os conceitos. Por exemplo, pense se você é capaz de falar sobre eles ou explicá-los para uma outra pessoa.

Pense em perguntas sobre esses conceitos e as tragam para a aula

Não entendeu algo ou tudo? Calma! Assista o vídeo novamente, leia o livro texto e traga suas dúvidas para a aula.