UNIVERSIDADE FEDERAL DA BAHIA ESCOLA POLITCNICA DEPARTAMENTO DE ENGENHARIA QUMICA ENG 008 Fenmenos de Transporte I A Prof Ftima Lopes ________________________________________________________________________________________________ 80 Esttica dos fluidos Definio: Um fluido considerado esttico se todos os elementos do fluido esto parados ou se movem com uma velocidade constante, relativamente a um sistema de referncia. Para que esta condio seja satisfeita, necessrio que exista um equilbrio entre as foras que agem sobre o elemento do fluido considerado. A cincia da esttica dos fluidos ser tratada em duas partes: 1.O estudo da presso e sua variao no interior de um fluido; 2.O estudo das foras de presso em superfcies finitas. Como no h movimento de uma camada de fluido em relao outra adjacente, no haver desenvolvimento de tenses de cisalhamento no fluido. Dentreasforasdesuperfcieasforastangenciais(responsveispelatensode cisalhamento) no so consideradas pois est se estudando esttica dos fluidos e a ao destetipodeforacolocariaofluidoemmovimento.Restaentoasforasnormais responsveis pela tenso normal, tenso de presso ou simplesmente presso. Destaforma,emtodosossistemasestudadospelaestticadosfluidos,agiro somente foras normais de presso. Presso em um ponto: Apressomdiacalculadadividindo-seaforanormalqueagecontrauma superfcie plana, pela rea desta. ApressoemumpontoMqualquerdefinidacomoolimitedarelaoentrea fora normal e a rea, quando fazemos a rea tender a zero no entorno do ponto. AFlimP0 A = A presso em um ponto de um fluido em repouso a mesma em qualquer direo, seu valor independe da direo sendo portanto uma grandeza escalar. UNIVERSIDADE FEDERAL DA BAHIA ESCOLA POLITCNICA DEPARTAMENTO DE ENGENHARIA QUMICA ENG 008 Fenmenos de Transporte I A Prof Ftima Lopes ________________________________________________________________________________________________ 81 Destemodo,apressonoseiodeumfluidoumafunodeposio(funode ponto), ou seja p = p(x,y,z). Pode-se demonstrar este fato, adotando umpequeno corpo em forma de cunha, de comprimento unitrio, no ponto (x,y) de um fluido em repouso. Como no podem existir tenses de cisalhamento as nicas foras so as normais: de contato e o peso (campo). peso = ? x volume volume = rea da base x altura rea da base = rea do tringulo altura = 1 UNIVERSIDADE FEDERAL DA BAHIA ESCOLA POLITCNICA DEPARTAMENTO DE ENGENHARIA QUMICA ENG 008 Fenmenos de Transporte I A Prof Ftima Lopes ________________________________________________________________________________________________ 82 ( )xs x xS p y p F = ( )2y xS p x p Fys y y = S = cos S x y = sen S y x S ps ( )ysS p ( ) y p sen S p S ps sxs = = ( )xsS p ( ) x p cos S p S ps sys = = ( ) y p y p S p y p Fs xxs x x = = ( )2y xx p x p2y xS p x p Fs yys y y = = Se um fluido est em repouso a fora resultante que age sobre ele zero, logo isto implica tambm em dizer que as componentes da fora resultante so nulas. 0 y p y p Fs x x= =02y xx p x p Fs y y= = 2y x um infinitsimo de ordem superior e pode ser desprezado. ( )s x s x s x s xp p 0 p p 0 y p p 0 y p y p = = = = ( )s y s y s y s yp p 0 p p 0 x p p 0 x p x p = = = = Se s xp p = e s yp p =, temos: s y xp p p = =Como um ngulo arbitrrio, esta equao prova que a presso a mesma em todas as direes em um ponto de um fluido em repouso. UNIVERSIDADE FEDERAL DA BAHIA ESCOLA POLITCNICA DEPARTAMENTO DE ENGENHARIA QUMICA ENG 008 Fenmenos de Transporte I A Prof Ftima Lopes ________________________________________________________________________________________________ 83 dx dy dz 0 no centro a presso p y x z Se o fluido estiver em movimento de forma que uma camada se mova em relao a outraadjacente,ocorrerotensesdecisalhamento,eastensesnormaisnoteroo mesmo valor em qualquer direo em torno de um ponto. Apressonestecaso(noesttico)serdefinidacomosendoamdiadastrs tenses de compresso normais quaisquer, mutuamente perpendiculares em um ponto. 3p p ppz y x+ += Em umfluidoideal ouperfeito( ) 0 = ,noocorrerotensesdecisalhamento, mesmoquandoofluidoestsujeitoaqualquermovimento,nestecasoapressosera mesma em todas as direes. Equao bsica da esttica dos fluidos Variao da presso em um fluido em repouso. As foras que agem em um elemento de fluido em repouso so: 1.foras de campo (peso) 2.foras de contato ou superfcie (presso) Objetivo: Obter uma equao que permita determinar o campo de presso no fluido. Vamos considerarumelementodiferencialdemassadmcomdimensesdx,dye dz:

( ) j z d x d2y dypp + ( ) j z d x d2y dypp UNIVERSIDADE FEDERAL DA BAHIA ESCOLA POLITCNICA DEPARTAMENTO DE ENGENHARIA QUMICA ENG 008 Fenmenos de Transporte I A Prof Ftima Lopes ________________________________________________________________________________________________ 84 B sF d F d F d + = = = = d a m d a a m d F dad F d = Fluido esttico: a = 0 0d F d= Para um elemento diferencial de fluido, a fora de campo BF d , : = = d g m d g F dB onde: g - vetor gravidade local - massa especfica d- volume do elemento em coordenadas cartesianas:z d y d x d d = Assim: z d y d x d g F dB = ou: = d F dB sendo g = ez d y d x d d = Logo: z d y d x d g F dB = Inicialmente vamos considerar que p = p(x,y,z). A fora de presso resultante pode ser calculada somando-se as foras que agem nas seis faces do elemento de fluido. Seja a presso no centro 0 do elemento igual a p. Ento: ( )2y dypp2y dypp y yypp pL L =+ = + = Teorema do valor mdio: ( ) ( ) ( ) y y f y f y y f + = + ( )2y dypp2y dypp y yypp pR R+ =+ = + = UNIVERSIDADE FEDERAL DA BAHIA ESCOLA POLITCNICA DEPARTAMENTO DE ENGENHARIA QUMICA ENG 008 Fenmenos de Transporte I A Prof Ftima Lopes ________________________________________________________________________________________________ 85 ( ) ( )( ) ( )( ) ( ) k y d x d2z dzpp k y d x d2z dzppj z d x d2y dypp j z d x d2y dyppi z d y d2x dxpp i z d y d2x dxpp F dS+ ++ + ++ + + = z d y d x d kzpjypixpF dS = ou z d y d x d kzpjypixpF dS++ = p p grad = ( ) z d y d x d p z d y d x d p grad F dS = =z d y d x dF dp p gradS = = Ogradientedepressoaforadesuperfcieporunidadedevolumedevido presso, com sinal negativo. ( ) z d y d x d g p gradF d F d F dB s + + = Em termos de volume unitrio: g p gradz d y d x dF dd F d + = = Para uma partcula de fluido, a segunda lei de Newton fornece: = = = d a m d a a m d F d Para um fluido esttico, a = 0, ento: 0 ad F d= = Substituindo-se: 0 g p grad = + UNIVERSIDADE FEDERAL DA BAHIA ESCOLA POLITCNICA DEPARTAMENTO DE ENGENHARIA QUMICA ENG 008 Fenmenos de Transporte I A Prof Ftima Lopes ________________________________________________________________________________________________ 86 p grad +g =0 ponto umem volume de unidadepor presso de fora ponto umem volume de unidadepor campo de fora= 0 Componente-x:0 gxpx = + Componente-y:0 gypy = + Componente-x:0 gzpz = + Tem-se que: g g0 g0 gyzx === Logo: 0zpgyp0xp= == = = gy dp d(1) Foi considerado o eixo y sendo vertical. Para o fluido esttico a gravidade a nica fora de corpo. Estaequaodiferencialsimplesrelacionaavariaodepressocomopeso especficoeavariaodecota,sendovlidatantofluidoscompressveiscomopara incompressveis. Para fluidos que podem ser considerados como homogneos e incompressveis, = constante, pode-se integrar a equao (1): UNIVERSIDADE FEDERAL DA BAHIA ESCOLA POLITCNICA DEPARTAMENTO DE ENGENHARIA QUMICA ENG 008 Fenmenos de Transporte I A Prof Ftima Lopes ________________________________________________________________________________________________ 87 c y p + = (2) onde c constante de integrao A lei bsica da hidrosttica s computa valores para a presso devidos coluna de lquido. Portanto, na superfcie: Para y = 0, p = 0 c = 0 y p =y p aumenta com h h A lei da hidrosttica da variao de presso escrita freqentemente na forma: h p = (3) na qual h medida verticalmente para baixo. Exemplo: Obteraequao(3)adotando-secomosistemafluidoumacolunaverticalde lquido de altura finita h, tendo sua face superior na superfcie livre. rea A h c A presso p no ponto c deve-se ao peso da coluna de lquido dividido pela rea: Ag mpAFp = = Multiplicando e dividindo por h: V h g mh Ah g mp = = UNIVERSIDADE FEDERAL DA BAHIA ESCOLA POLITCNICA DEPARTAMENTO DE ENGENHARIA QUMICA ENG 008 Fenmenos de Transporte I A Prof Ftima Lopes ________________________________________________________________________________________________ 88 Mas: = = g gVm Ento: h p = Exemplo 2.1 Streeter, pg. 31: Umtanqueabertocontm0,61mdeguacobertopor0,30mdeleode densidade 0,83. Determinar a presso na interface e no fundo do tanque. p0 = 0 leo h1 = 0,30 m p1 guah2 = 0,61 m p2 3 3O Hm kgf 102= 3 3leom kgf 10 83 , 0 = 3 2leom kgf 10 3 , 8 = 2 3 21 leo 1m kgf 0 , 249 m 30 , 0 m kgf 10 3 , 8 h p = = =23 3 22 O H 1 2m kgf 0 , 859m 61 , 0 m kgf 10 m kgf 0 , 249 h p p2== + = + = Presses instrumentais e absolutas Valores de presso devem ser dados relativos a um nvel de presso de referncia. Se o nvel de referncia for um vcuo, as presses so chamadas absolutas. Emsuamaioria,osmanmetrosdepressonaverdadelemumadiferenade presso a diferena entre o nvelde presso medido e o nvel ambiental (normalmente, a presso atmosfrica). Nveisdepressomedidoscomrelaopressoatmosfricasodenominados presses instrumentais ou manomtricas. UNIVERSIDADE FEDERAL DA BAHIA ESCOLA POLITCNICA DEPARTAMENTO DE ENGENHARIA QUMICA ENG 008 Fenmenos de Transporte I A Prof Ftima Lopes ________________________________________________________________________________________________ 89 Nvel de presso 2 Pinstrumental ou manomtrica 2 Pabsoluta 2 Pefetiva negativa (depresso, vcuo, suco) Nvel de presso 1 Pabsoluta 1 Patm nas condies padres ao nvel do mar vcuo patm = 101,3 kPa = 14,696 lbf/in2 abs 1 kPa = 1000 Pa Pa [=] N/m2 Presses absolutas devem ser usadas em todos os clculos com a equao do gs ideal e outras equaes de estado. Assim, pabsoluta = pinstrumental + patmosfrica Vimosentoqueapressopodeserexpressaemrelaoaqualquerreferncia arbitrria. Usualmente, adota-se como tal, o zero absoluto e a presso atmosfrica local. Pressoabsolutaquandoamedidadepressoexpressacomosendoa diferena entre o seu valor e o vcuo absoluto. Presso efetiva ou relativa ou instrumental quando expressa como sendo a diferena entre o seu valor e o da presso atmosfrica, ( a leitura do manmetro). Unidades tpicas de presso: 1.lbf/in2 = psi 2.lbf/ft2 3.kgf/m2 4.in de Hg 5.mm de Hg 6.ft de H2O ou m de H2O 7.N/m2 = Pa 8.atm, bar(1 bar = 0,9869 atm) UNIVERSIDADE FEDERAL DA BAHIA ESCOLA POLITCNICA DEPARTAMENTO DE ENGENHARIA QUMICA ENG 008 Fenmenos de Transporte I A Prof Ftima Lopes ________________________________________________________________________________________________ 90 Presso atmosfrica normal ou padro a presso mdia ao nvel do mar. Patm = 29,92 in Hg (30 in Hg) = 760 mm Hg = 14,7 psi = 2116 lbf/ft2 = 34 ft de H2O = 1 atm = 1,033 x 104 kgf/m2 = 10,33 m de H2O = 101,3 kPa 1 kPa = 1000 Pa Pa [=] N/m2 Observao: Umapressoexpressaemtermosdecolunadeumlquido,refere-se fora por unidade de rea na base da coluna. h p =?expresso para a variao da presso com a profundidade do lquido. Manmetro de Bourdon: Um dos dispositivos tpicos para a medida de presses efetivas. O zero ser indicado no mostrador sempre que as presses internas e externas do tubo forem iguais, independentemente de seu valor. Estesmanmetrosconsistemdeumtubocurvoabertoemumaextremidadee fechado na outra. O lado aberto fica em contato com o fluido que se quer medir a presso, aopassoqueaextremidadefechadaligadaaummecanismocapazdeacionarum ponteiro.Ofluidosobpressoentranaparteabertadotuboetendeaestica-lo,fazendo comqueomecanismosejaacionado.Apressolidadiretamenteemummostrador previamente calibrado. Presso atmosfrica local a medida por umbarmetro ou umaneridequemedeadiferenadepresso entreaatmosferaeumreservatrionoqualfoifeitoovcuo,deformaanlogaqueno tipo Bourdon, exceto pelo fato de que o tubo esvaziado e selado. UNIVERSIDADE FEDERAL DA BAHIA ESCOLA POLITCNICA DEPARTAMENTO DE ENGENHARIA QUMICA ENG 008 Fenmenos de Transporte I A Prof Ftima Lopes ________________________________________________________________________________________________ 91 Barmetro Aneride ?medidas de presses absolutas Aspressesexercidasforadodiafragmacausamumadeflexoparadentro,e estas deflexes fornecem uma medida direta das presses aplicadas. BARMETRO: Considerandoumtuboeumacubacheiadeumlquido(deprefernciacom presso de vapor baixa). Seotuboforemborcadodentrodacubademodoanoentrararolquidoir descer e estabilizar-se a uma certa altura h. 01Patmvcuo01Patmvcuo UNIVERSIDADE FEDERAL DA BAHIA ESCOLA POLITCNICA DEPARTAMENTO DE ENGENHARIA QUMICA ENG 008 Fenmenos de Transporte I A Prof Ftima Lopes ________________________________________________________________________________________________ 92 Seolquidoapresentarumapressodevaporrealmentepequena,comoo mercrio, a presso p1 pode ser considerada nula (vcuo) e tem-se: h p pL atm A = = OBSERVAO: Emrelaoaogrficodepresses,parafixaroconceitodepressoefetiva, suponhamos que: ponto 1 18 in de Hg abs; presso baromtrica 29 in Hg; Ento, a presso efetiva ser: - 11 in Hg 11 in Hg de depresso 11 in Hg de suco 11 in Hg de vcuo psi unidade de presso 2inlbf 1psi 1 =psi 7 , 14inlbf7 , 14 atmosfera 12= = h p = patm = 30 in HgdHg = 13,6 ( )psi 7 , 14inlbf7 , 14 in 30in 12 ft 16 , 13ftlbf4 , 62 p2 3 333= = = h (in)

3 HGinlbf Naconveno adotada nolivrotextonadaseindica quando apressoforefetiva, indicandosemprequeforabsoluta,comexceodapressoatmosfricaqueestar sempre na escala absoluta. UNIVERSIDADE FEDERAL DA BAHIA ESCOLA POLITCNICA DEPARTAMENTO DE ENGENHARIA QUMICA ENG 008 Fenmenos de Transporte I A Prof Ftima Lopes ________________________________________________________________________________________________ 93 EXEMPLO 2.3: Expressar 4 psi de oito maneiras usuais. I) Supondo a presso efetiva de 4 psi = 4 lbf/in2 1) 2222ft lbf 576ft 1in 144inlbf4 = 2)Hg in 16 , 8atm 1Hg in 30psi 7 , 14atm 1psi 4 = 3)O H ft 25 , 9atm 1O H ft 34psi 7 , 14atm 1psi 422= II) Na escala absoluta 4) De (2) ( ) ( ) abs Hg in 66 , 36 bar Hg in 5 , 28 ef Hg in 16 , 8 = + 5)abs atm 222 , 1Hg in 30 atm 1abs Hg in 66 , 36 = 6)psia 0 , 18atm 1psi 7 , 14abs atm 222 , 1 = 7)abs ft lbf 16 , 2583atm 1ft lbf 2116abs atm 222 , 122= 8)abs O H ft 6 , 41atm 1O H ft 34abs atm 222 , 122=