ENGENHARIA DE ESTRUTURAS

São Carlos, v.8 n. 30 2006

UNIVERSIDADE DE SÃO PAULO

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São Carlos, v.8 n. 30 2006

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SSUUMMÁÁRRIIOO Análise teórico-experimental de elementos comprimidos de aço: ênfase em perfis soldados Geraldo Donizetti de Paula & Roberto Martins Gonçalves 1 Análise de pontes de madeira protendidas transversalmente formadas por vigas-T Nívea Mara Pereira Alves & Antonio Alves Dias 27 Efeitos do confinamento em pilares de concreto armado encamisados com compósito de fibra de carbono Ricardo Carrazedo & João Bento de Hanai 59 Tabuleiro ortótropo treliçado protendido transversalmente para aplicação em pontes de madeira Andrés Batista Cheung & Carlito Calil Junior 79 Pilares de concreto de alta resistência confinados por estribos retangulares e com adição de fibras de aço Humberto Correia Lima Júnior & José Samuel Giongo 111 Análise não linear física de placas e cascas anisotrópicas laminadas acopladas ou não com meio contínuo tridimensional viscoelástico através da combinação entre o MEC e o MEF Rodrigo Ribeiro Paccola & Humberto Breves Coda 135

ISSN 1809-5860

Cadernos de Engenharia de Estruturas, São Carlos, v. 8, n. 30, p. 1-25, 2006

ANÁLISE TEÓRICO-EXPERIMENTAL DE ELEMENTOS COMPRIMIDOS DE AÇO: ÊNFASE EM

PERFIS SOLDADOS

Geraldo Donizetti de Paula1 & Roberto Martins Gonçalves 2

Resumo

Este trabalho apresenta resultados de uma análise teórico-experimental sobre a resistência à compressão de perfis I soldados de aço, formados por chapas cortadas a maçarico. A construção metálica no Brasil utiliza os perfis I soldados de aço formados por chapas cortadas a maçarico em virtude da pouca disponibilidade no mercado dos perfis laminados. Os perfis soldados brasileiros apresentam dimensões (altura, largura de mesa e espessura) diferentes das encontradas nos perfis laminados e soldados, fabricados em outros países. Apresentam-se os principais parâmetros envolvidos na formulação das curvas de resistência à compressão para perfis soldados de pequenas dimensões, tais como: tensões residuais, imperfeições geométricas iniciais e seus efeitos no cálculo da resistência à compressão dos perfis soldados compostos por chapas cortadas a maçarico. Os perfis ensaiados pertencem às séries CS 150 x 25, PS 200 x 25 e PS 225 x 29, sendo que foram obtidos resultados experimentais da força normal crítica e das imperfeições geométricas iniciais para três modelos de cada série com quatro índices de esbeltez diferente.

Palavras-chave: perfis soldados de aço; resistência à compressão; imperfeições iniciais.

1 INTRODUÇÃO

Apresenta-se neste trabalho as formulações analíticas baseadas no modelo de 2ª espécie, os principais parâmetros que regem as curvas de resistência à compressão dos perfis de aço estrutural e os resultados de uma análise teórico-experimental sobre a resistência à compressão dos perfis I soldados de aço formados por chapas cortadas a maçarico (I – FC) das séries CS 150 x 25, PS 200 x 25 e PS 225 x 29. A análise experimental consta-se do ensaio de caracterização do aço, do ensaio para medir as imperfeições iniciais transversais medidas ao longo do

1 Mestre em Engenharia de Estruturas - EESC-USP, [email protected] 2 Professor do Departamento de Engenharia de Estruturas da EESC-USP, [email protected]

Geraldo Donizetti de Paula & Roberto Martins Gonçalves


2

comprimento dos perfis e do ensaio à compressão dos perfis I – FC, com três modelos para cada série, sendo utilizados quatro índices de esbeltez λ diferente. Os resultados teóricos e experimentais se referem à força normal crítica dos modelos ensaiados à compressão. Utiliza-se a nomenclatura PS para representar as séries de perfis I soldados de aço duplamente simétricos, não relacionadas nas Tabelas do anexo B da norma NBR 5884: 2000, atendendo uma recomendação da própria norma.

2 ANÁLISE TEÓRICA

Apresenta-se nesta seção uma análise baseada no denominado modelo de 2a espécie, admitindo o equilíbrio do elemento comprimido em sua posição deslocada e as curvas de resistência à compressão recomendadas pelas normas brasileira NBR 8800:1986 e européia Eurocode 3:1992. A partir da análise do modelo de 2a espécie pode-se definir os principais parâmetros envolvidos na formulação das curvas de resistência à compressão para as diversas famílias de perfis de aço estrutural. Os resultados da força normal crítica teórica de cada modelo analisado são determinados a partir das curvas b e c da norma Eurocode 3:1992, admitindo as imperfeições iniciais v0 medidas em laboratório.

2.1 Modelo de 2ª espécie

O modelo de 2a espécie, considerado nesta análise, representa um elemento comprimido com articulações nas extremidades em sua posição deslocada, ou seja, um elemento com um deslocamento inicial v0 no meio do vão, conforme ilustra a Figura 1.

v0

N

N

L

L/2

L/2

posição deslocada

x

y

(a) elemento comprimido (b) perspectiva

Figura 1 - Modelo de 2a espécie.

Análise teórico-experimental de elementos comprimidos de aço: ênfase em perfis soldados

Cadernos de Engenharia de Estruturas, São Carlos, v. 8, n. 30, p.1-25, 2006

3

Admitindo o equilíbrio do elemento na posição deslocada, obtém-se a expressão para o momento de segunda ordem:

( )⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡

−=

N N 1

1 NvM

e0 (1)

Para análise de um modelo de 2ª espécie, pode-se admitir a verificação da resistência na seção mais solicitada de um elemento comprimido na sua configuração deformada. Admitindo que a máxima tensão num elemento comprimido seja igual à tensão de escoamento do material fy, tem-se a expressão da flexão composta, definida como:

yg

fW

M

A

N=+ (2)

Substituindo a expressão (1) em (2) e introduzindo Ag, obtém-se:

ye

0g

g

g

fN N1

1 vA

A

W

N

A

N=⎟

⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛

−⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛+ (3)

Rearranjando a equação (3), tem-se:

yegg

fN N1

1 A

N

A

N=⎟

⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛

−η+ (4)

onde:

W

v A 0g=η (5)

Reescrevendo a expressão (4), tem-se:

⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛−

⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛−=

⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛η

egy

g N

N1 A

NfA

N (6)

Dividindo os dois termos da equação (6) por fy e reescrevendo, tem-se:

( )( )eN N1 N1 N −−=η (7) onde:

yyg N

N

f A

NN ==ρ= (força normal resistente) (8)

Rearranjando a expressão (7), obtém-se:

( )( )2 N1 N1 N λ−−=η (9)

onde:



4

e

y

e

y

e f

f

N

N

N

Nρ=ρ= (10)

2

2

eE

fλ

π= (tensão crítica de Euler) (11)

y

2

pf

E π

=λ (índice de esbeltez correspondente a plastificação) (12)

pλ

λ=λ (índice de esbeltez reduzido) (13)

A expressão (9) é conhecida como fórmula adimensional de “Ayrton-Perry”.

Rearranjando esta, obtém-se: ( ) ( ) 01 1 2 22 =+ρλ+η+−ρλ (14) O valor de ρ possibilita o cálculo da força normal crítica, cuja solução é:

( ) ( )2

2222

2

4 1 1

λ

λ−+η+λ±+η+λ=ρ (15)

Deve-se desprezar a maior raiz da equação (15) para obter-se a menor força normal crítica de compressão. O parâmetro η representa matematicamente a influência das imperfeições iniciais v0 e os efeitos de tensão residual. MAQUOI & RONDAL (1978) apresentaram sete (07) proposições para o parâmetro η. As proposições para η foram obtidas por meio de resultados de ensaios realizados na Europa, considerando tensões residuais e uma imperfeição inicial padrão v0 = L / 1000. Propuseram-se inicialmente quatro curvas de resistência à compressão para diversas “famílias” de perfis de perfis de aço estruturais, “famílias” estas definidas pela distribuição das tensões residuais. A partir do parâmetro η pode-se determinar um coeficiente γ, o qual associa a uma imperfeição geométrica fictícia que considera o tipo da seção transversal e os eixos considerados.

Dividindo o segundo termo da expressão (5) por y / y, obtém-se:

( ) W y y

v A 0g=η (16)

Define-se y como a distância da fibra mais comprimida em relação ao eixo

considerado, conforme o esquema da Figura 2.



5

xxy

Figura 2 - Representação da distância y ao eixo x – x.

Considerando-se que W.y = I, tem-se da expressão (17):

y I

v A 0g=η (17)

Substituindo gA I r = na expressão (17), obtém-se:

y r

v2

0=η (18)

O fator v0 representa as imperfeições geométricas iniciais, o qual pode ser

expresso em função de uma imperfeição padrão.

γ=

Lv0 (19)

onde γ é um número definido para cada tipo de seção e dos eixos considerados.

Substituindo a expressão (19) na equação (18), tem-se:

⎟⎠⎞⎜

⎝⎛γ

=ηy r

L2

(20)

Admitindo por definição λ = L / r e rearranjando a expressão (20), tem-se:

( ) y r γ

λ=η (21)

Isolando γ na expressão (21), tem-se:

( ) y r η

λ=γ (22)

Substituindo (12) e (13) na expressão (22) e rearranjando, obtém-se:

( )( ) y r

f E y

η

πλ=γ (23)



6

Considerando o índice de esbeltez reduzido λ a partir do patamar de escoamento, ρ = 1,0 para 0λ≤λ , a expressão (23) resulta em:

( )( )y r

f E y0

η

πλ−λ=γ (24)

Substituindo η da expressão (24) por ( )0λ−λα=η , parâmetro utilizado pela normalização européia - Eurocode 3: 1992, tem-se:

( )y r

f E y

α

π=γ (25)

A Tabela 1 apresenta valores da relação r / y para os perfis I – FC ensaiados à compressão no Laboratório de Estruturas do Departamento de Engenharia de Estruturas da Escola de Engenharia de São Carlos. Tabela 1 - Valores da relação r / y para os perfis I – FC ensaiados

Perfil Séries Eixo Valor de r / y

CS 150 x 25 x – x 0,85

y – y 0,50

PS 200 x 25 x – x 0,83

y – y 0,46

PS 225 x 29 x – x 0,83

y – y 0,46 O parâmetro α considerado na expressão (25) representa as contribuições das tensões residuais α1 e da imperfeição geométrica α2, respectivamente, como: α = α1 + α2 (26) Admitindo na expressão (25) α = α2 e γ = 1000, tem-se que:

( ) y r 1000

f E y2

π=α (27)

A partir das expressões (25), (26) e (27) pode-se estabelecer um parâmetro α* para determinar o fator de redução da força normal crítica ρ de um perfil de aço estrutural contendo tensões residuais e uma imperfeição geométrica inicial igual a L / γ, como:

( ) ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−

γ

π+α=α

100011

y r f E y* (28)

x x

y

y



7

onde: α ⇒ coeficiente que representa a contribuição das tensões residuais; γ ⇒ número correspondente ao denominador da fração que representa uma

imperfeição geométrica inicial (por exemplo: 500, 1000, 2000). Cabe salientar que o fator γ = 1000 foi adotado para o estabelecimento das curvas de resistência à compressão das diversas famílias de perfis de aço estrutural. MAQUOI & RONDAL (1979) recomendam considerar o valor de α da expressão (28) em função da curva de resistência à compressão correspondente ao perfil considerado. Por exemplo, utilizando a norma Eurocode 3: 1992 para a determinação da resistência à compressão dos perfis I – FC analisados neste trabalho, os valores de α para as curvas b e c são 0,339 e 0,489, conforme ilustra a Tabela 3.

2.2 Curvas de resistência à compressão

A representação matemática das curvas de resistência à compressão adotada pela normalização européia teve sua origem a partir da formulação analítica proposta por Aryton-Perry, ou seja, a menor raiz da expressão (15), ou seja, expressão (29).

MAQUOI & RONDAL (1978) adotou expressão (29) ajustando esta com o

parâmetro 20

2 λ−λα=η , para diversas famílias de perfis de aço estrutural, de tal forma que os valores de α sejam os apresentados na Tabela 2. Esta formulação foi adotada pela norma Eurocode 3: 1978 (DRAFT).

( ) ( )2

2222

2

4 1 1

λ

λ−+η+λ−+η+λ=ρ (29)

Tabela 2 - Valores de α

curva α a 0,158 b 0,281 c 0,384 d 0,587

A norma brasileira NBR 8800: 1986 baseou-se nas recomendações do Eurocode 3: 1978 (DRAFT) para estabelecer suas curvas de resistência à compressão das diversas famílias de perfis de aço estrutural.

MAQUOI & RONDAL (1979) admitiu o parâmetro ( ) 0λ−λα=η na expressão (29) ajustando esta para diversas famílias de perfis de aço estrutural, propondo novas curvas de resistência à compressão, com os valores de α ilustrados na Tabela 3.



8

Tabela 3 - Valores de α

curva α a 0,206 b 0,339 c 0,489 d 0,756

Em 1983 a norma Eurocode 3 corrigiu suas curvas de resistência à compressão e recomendou-se a formulação proposta por MAQUOI & RONDAL (1979). Cabe salientar que a nova formulação é representada pela expressão (29) com o parâmetro ( ) 0λ−λα=η e os valores de α da Tabela 3.

2.3 Seção transversal dos perfis analisados

Os perfis formados por chapas cortadas a maçarico (I – FC) analisados neste trabalho, pertencem às séries CS 150 x 25, PS 200 x 25 e PS 225 x 29, cujas dimensões nominais e médias encontram-se ilustradas na Tabela 4 e suas respectivas propriedades geométricas na Tabela 5. Cabe salientar que as dimensões médias da seção transversal dos perfis foram medidas no Laboratório de Estruturas do Departamento de Engenharia de Estruturas da EESC - USP, com um paquímetro de sensibilidade igual a 0,01 mm. Tabela 4 - Seções transversais analisadas (dimensões nominais e médias)

Dimensões nominais (mm) Dimensões médias (mm) Seção Transversal Perfil d h bf tf tw d h bf tf tw

CS 150 x 25 150 134 150 8,0 6,3 152 135,8 152 8,1 6,7

PS 200 x 25 200 184 130 8,0 6,3 202 185,8 132 8,1 6,7

PS 225 x 29 225 209 150 8,0 6,3 227 210,8 152 8,1 6,7

Tabela 5 - Propriedades geométricas dos perfis

Perfil Ag

(cm2) Ix

(cm4) Iy

(cm4) It

(cm4)Wx

(cm3) Wy

(cm3) rx

(cm)ry

(cm)r0

2

(cm2) Cw

(cm6) CS 150 33,72 1415,91 474,43 6,75 186,30 62,43 6,48 3,75 56,06 24542,91 PS 200 33,83 2369,24 310,96 6,54 234,58 47,12 8,37 3,03 79,23 29184,43 PS 225 38,75 3474,13 474,62 7,50 306,09 62,45 9,47 3,50 101,90 56793,16

t

tf

h

b

tf

xx

y

y

d



9

As propriedades geométricas apresentadas na Tabela 5 foram determinadas admitindo-se as dimensões médias dos perfis ilustradas na Tabela 4.

2.4 Resultados da análise teórica

Os resultados apresentados nesta seção correspondem aos valores da força normal crítica teórica, obtida por meio das curvas b e c norma Eurocode 3: 1992, de para cada modelo ensaiado com suas respectivas imperfeições iniciais v0. Salientando que v0 corresponde às imperfeições transversais medidas ao longo do comprimento do perfil. Determina-se a força normal crítica teórica NT, para os modelos ensaiados à compressão, por meio da expressão (30).

ygT f A N ρ= (30) Sendo Ag a área bruta da seção transversal e fy a tensão de escoamento do aço. Os valores de Ag para os modelos pertencentes às séries CS 150 x 25, PS 200x25 e PS 225x29 estão apresentados na Tabela 5.

Determina-se o fator de redução da resistência ρ da expressão (30) por meio da expressão (29), apresentada na seção 2.2, admitindo nesta equação os seguintes parâmetros:

( )0* λ−λα=η (31)

2,00 =λ (32)

E

f

r

kL

1 y

y⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

π=λ (33)

( ) ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−

γ

π+α=α

1000

11

y r

f E y* (34)

Para o cálculo da força normal crítica teórica por meio das curvas b e c da norma Eurocode 3: 1992, considerando as imperfeições iniciais v0, utiliza-se o parâmetro α* da expressão (34) com os valores de α apresentados na Tabela 3. Admitiu-se para a determinação da força normal crítica teórica, o módulo de elasticidade E = 20500 kN / cm2 e a tensão de escoamento do aço fy = 30 kN / cm2. Os valores de E e de fy correspondem aos valores médios, aproximados, obtidos a partir da caracterização do aço, por meio do ensaio à tração de corpos-de-prova retirados das mesas dos perfis soldados. A força normal crítica NT é obtida para uma imperfeição inicial v0 / L = 1 / γ (medida no Laboratório para cada modelo) e a força normal crítica NT

* é determinada para uma imperfeição inicial padrão v0

* / L = 1 / 1000. As Tabelas 6, 7 e 8 apresentam os valores da força normal crítica teórica para os modelos pertencentes às séries CS 150 x 25, PS 200 x 25 e PS 225 x 29. Nas Tabelas 6, 7 e 8 as forças críticas (NT)Eb e (NT)Ec são determinadas por meio das curvas b e c da norma Eurocode 3: 1992, com a imperfeição inicial v0 / L = 1 / γ para cada modelo, enquanto que as forças (NT

*)Eb e (NT*)Ec são obtidas

com a imperfeição inicial padrão v0* / L = 1 / 1000.



10

Adotou-se para a determinação de λ e λ um fator comprimento efetivo k = 0,85, como sendo uma aproximação do valor médio obtido a partir da deformada dos os modelos ensaiados à compressão e a flambagem por flexão em torno do eixo de menor inércia (y-y). Tabela 6 - Valores da força normal crítica teórica para o perfil CS 150 x 25

Modelo L (cm)

λ v0 / L (NT)Eb

(kN)

(NT*)Eb

(kN) (NT)Ec

(kN)

(NT*)Ec

(kN) (NT)Eb / (NT

*)Eb (NT)Ec / (NT*)Ec

1 180 0,50 1/1593 915 893 871 851 1,025 1,024 2 180 0,50 1/1895 920 893 876 851 1,030 1,029 3 180 0,50 1/1698 916 893 873 851 1,026 1,026 1 220 0,61 1/1264 858 840 803 786 1,021 1,022 2 220 0,61 1/928* 839 840 786 786 0,999 1,000 3 220 0,61 1/1196 854 840 799 786 1,017 1,017 1 290 0,80 1/1534 762 727 692 664 1,048 1,042 2 290 0,80 1/2266 782 727 707 664 1,076 1,065 3 290 0,80 1/1629 766 727 695 664 1,054 1,047 1 360 1,00 1/1698 642 600 574 543 1,070 1,057 2 360 1,00 1/1818 645 600 577 543 1,075 1,063 3 360 1,00 1/1423 632 600 567 543 1,053 1,044

* Deslocamento inicial v0 superior ao valor permitido pela norma NBR 5884, ou seja, L / 1000. O modelo 2, de comprimento L = 220 cm, do perfil CS 150 x 25 apresenta um deslocamento inicial v0 superior a L / 1000, porém a força NT iguala-se à força NT

*. Tabela 7 - Valores da força normal crítica teórica para o perfil PS 200 x 25

Modelo L (cm)

λ v0 / L (NT)Eb

(kN)

(NT*)Eb

(kN) (NT)Ec

(kN)

(NT*)Ec

(kN) (NT)Eb / (NT


1 150 0,51 1/1389 908 889 863 845 1,021 1,021 2 150 0,51 1/1420 909 889 863 845 1,023 1,021 3 150 0,51 1/1304 905 889 860 845 1,018 1,018 1 200 0,68 1/1087 812 800 751 741 1,015 1,008 2 200 0,68 1/1242 821 800 759 741 1,026 1,024 3 200 0,68 1/1136 815 800 754 741 1,019 1,018 1 240 0,82 1/1290 744 716 675 653 1,039 1,034 2 240 0,82 1/938* 718 716 655 653 1,003 1,003 3 240 0,82 1/1212 739 716 672 653 1,032 1,029 1 300 1,02 1/787* 570 582 519 526 0,979 0,987 2 300 1,02 1/1685 625 582 559 526 1,074 1,063 3 300 1,02 1/1240 606 582 545 526 1,041 1,036

* Deslocamento inicial v0 superior ao valor permitido pela norma NBR 5884, ou seja, L / 1000.



11

Tabela 8 - Valores da força normal crítica teórica para o perfil PS 225 x 29

Modelo L (cm)

λ v0 / L (NT)Eb

(kN) (NT*)Eb

(kN) (NT)Ec

(kN)

(NT*)Ec

(kN) (NT)Eb / (NT


1 160 0,47 1/1282 1054 1039 1009 994 1,014 1,015 2 160 0,47 1/1695 1065 1039 1019 994 1,025 1,025 3 160 0,47 1/1356 1057 1039 1011 994 1,017 1,017 1 200 0,59 1/1980 1018 974 953 914 1,045 1,043 2 200 0,59 1/1220 993 974 931 914 1,020 1,019 3 200 0,59 1/1328 998 974 936 914 1,025 1,024 1 250 0,74 1/1289 907 879 832 808 1,032 1,030 2 250 0,74 1/1572 922 879 843 808 1,049 1,043 3 250 0,74 1/1269 906 879 831 808 1,031 1,029 1 350 1,04 1/1944 717 659 639 596 1,088 1,072 2 350 1,04 1/1563 704 659 630 596 1,068 1,057 3 350 1,04 1/1584 704 659 631 596 1,068 1,059

O modelo 1, de L = 300 cm, do perfil PS 200 x 25 apresenta um deslocamento inicial v0 / L = 1 / 717 superior ao deslocamento inicial v0

* / L = 1 / 1000, permitido pela norma NBR 5884. Neste caso, como a resistência do modelo é inferior à permitida pela normalização, conforme ilustra a Tabela 7, o mesmo deve ser desprezado. O modelo 2, de L = 240 cm, do perfil PS 200 x 25 com uma imperfeição inicial v0 / L = 1 / 938 superior à imperfeição inicial padrão v0

* / L = 1 / 1000, porém da mesma ordem de grandeza, poderá ser utilizado, pois conforme ilustra a Tabelas 7 sua resistência não é inferior à permitida pela normalização. A influência das imperfeições iniciais v0 na resistência à compressão dos modelos pertencentes às três séries em análise é clara e como já era previsto o maior efeito ocorre para os modelos mais esbeltos.

3 ANÁLISE EXPERMENTAL

Apresenta-se nesta seção, a metodologia adotada para realização dos ensaios de laboratório, bem como os principais resultados experimentais obtidos, os quais são utilizados para a determinação da força normal crítica à compressão dos modelos formados por perfis I – FC das séries CS 150 x 25, PS 200 x 25 e PS 225 x 29. Durante a fase experimental foram executados os ensaios de caracterização do material, medição das imperfeições iniciais transversais medidas ao longo do comprimento do perfil e o ensaio à compressão dos modelos.

3.1 Ensaio de caracterização do aço

As propriedades mecânicas de interesse do aço ASTM – A36, empregado na fabricação dos perfis, foram determinadas por meio do ensaio à tração de oito (08) corpos-de-prova, na máquina de ensaio servo-hidráulica INSTRON. A partir destes ensaios determinou-se as resistências ao escoamento fy e à ruptura fu e o modulo de elasticidade E, estabelecendo-se os seguintes valores médios: fy = 300 MPa, fu = 400 MPa e E = 205000 MPa.



12

Os corpos-de-prova foram retirados de três (03) perfis I - FC, pertencentes ao lote de perfis destinados ao ensaio à compressão. Retirou-se destes perfis quatro (04) corpos-de-prova das mesas e quatro (04) da alma, totalizando-se oito (08). As dimensões foram admitidas segundo as recomendações da norma ASTM A370 – 96, as quais encontram-se ilustradas na figura 3. Onde t corresponde a espessura da chapa constituinte do perfil.

50

230

Rmin = 25 w = 40 ± 2,0

800 mm

t

Figura 3 - Dimensões nominais do corpo-de-prova para o ensaio à tração. A figura 4 ilustra um diagrama tensão-deformação (σ x ε) padrão para os corpos-de-prova retirados das mesas dos perfis. Salientar-se que os corpos-de-prova apresentaram propriedades mecânicas diferentes, caracterizando que os perfis foram fabricados de chapas de aço de corrida diferente durante o processo de laminação.

0

50

100

150

200

250

300

350

400

0,000 0,003 0,005 0,008 0,010 0,013

σ (M

Pa)

ε

Figura 4 - Diagrama tensão-deformação.

3.2 Medição das imperfeições iniciais

As imperfeições geométricas iniciais dos perfis foram determinadas por meio da utilização de uma bancada, composta por um mancal devidamente ajustado sobre um perfil U laminado de 200 mm de altura construída para esta finalidade no Laboratório de Estruturas do Departamento de Engenharia de Estruturas da Escola de Engenharia de São Carlos da Universidade de São Paulo. A Figura 5 mostra um dispositivo utilizando a bancada, citada anteriormente, para a leitura das imperfeições geométricas transversais, as quais são medidas ao longo do comprimento longitudinal dos perfis. As imperfeições geométricas dos perfis foram obtidas por meio de um transdutor de deslocamento linear, que se desloca com o mancal, a fim de se obter as leituras nos pontos desejados.



13

Figura 5 - Dispositivo para leitura das imperfeições geométricas transversais.

As imperfeições geométricas foram medidas na alma e nas mesas dos perfis, em três linhas, conforme ilustra a Figura 6. As medidas foram realizadas a cada 200 mm, com o transdutor de deslocamento posicionado manualmente ao longo de cada ponto.

A B C

FED

G

H

I

Figura 6 - Posições para medidas das deslocadas transversais.

A figura 7 apresenta um ajuste das imperfeições transversais, medidas ao longo da linha média da alma, linha H. O ajuste foi realizado por meio da função senoidal, proposta por Young (1807), representada pela expressão (35):

)Lx(senv)x(v 00 π= (35)

onde v0 é o valor da imperfeição inicial no meio do vão do modelo.

A figura 7 ilustra a posição deslocada inicial do modelo 3 pertencente ao perfil PS 225 x 29, de comprimento L = 1600 mm.



14

0,00

0,50

1,00

1,50

2,00

0 200 400 600 800 1000 1200 1400 1600L (mm)

v 0 (m

m)

Figura 7 - Ajuste da imperfeição transversal na linha H do perfil.

Os resultados experimentais dos deslocamentos iniciais v0 ajustados no meio do vão dos modelos pertencentes às séries CS 150 x 25, PS 200 x 25 e PS 225 x 29 encontram-se ilustrados nas Tabelas 12, 13 e 14, sob a forma de v0 / L = 1 / γ.

3.3 Ensaio dos modelos à compressão

Os elementos comprimidos foram ensaiados em modelos que se aproximam de pilares com articulações nas extremidades e a instabilidade prevista para o eixo de menor inércia y – y. Os ensaios de 36 modelos pertencentes às séries em estudo foram realizados na máquina de ensaio servo-hidráulica INSTRON, com capacidade de 3000 kN e altura de 4000 mm, do Laboratório de Estruturas do Departamento de Engenharia de Estruturas da Escola de Engenharia de São Carlos da Universidade de São Paulo. A figura 8 mostra uma foto da Máquina INSTRON, com o modelo na posição do ensaio.

Figura 8 - Máquina INSTRON, com o modelo na posição do ensaio.

A Tabela 9 apresenta o número de modelos, com seus respectivos comprimentos, para as séries CS 150 x 25, PS 200 x 25 e PS 225 x 29 ensaiadas.



15

Tabela 9 - Relação dos modelos ensaiados

Perfil Série Comprimento (mm) Nº de Modelos

1800 3

CS 150 x 25 2200 3

2900 3

3600 3

1500 3

PS 200 x 25 2000 3

2400 3

3000 3

1600 3

PS 225 x 29 2000 3

2500 3

3500 3 Os modelos foram instrumentados com transdutores de deslocamento, posicionados nas linhas médias da alma e de uma das mesas do perfil, para se obter os deslocamentos laterais nas posições indicadas, conforme ilustra a figura 9.

A figura 9.a ilustra a posição dos transdutores 1 a 7 na alma e 8 a 10 na mesa do modelo, numerados a partir da extremidade superior do perfil, enquanto que, a figura 9.b mostra uma foto ilustrativa de um modelo instrumentado.

y

z

x

(a) (b) Figura 9 - Modelo instrumentado com transdutores de deslocamento.



16

As Tabelas 10 e 11 apresentam as cotas dos transdutores de deslocamento posicionados na alma e na mesa dos modelos pertencentes às séries CS 150 x 25, PS 200 x 25 e PS 225 x 29. Tabela 10 - Cotas dos transdutores posicionados na alma dos modelos

Perfil L (mm) Cotas dos Transdutores (mm)

T1 T2 T3 T4 T5 T6 T7

CS 1800 1700 1300 900 500 367 233 100

150 X 25 2200 2100 1600 1100 600 433 267 100

2900 2800 2125 1450 775 550 325 100

3600 3500 2650 1800 950 667 383 100

T1 T2 T3 T4 T5 T6 T7

PS 1500 1400 1075 750 425 317 208 100

200 x 25 2000 1900 1450 1000 550 400 250 100

2400 2300 1750 1200 650 467 283 100

3000 2900 2200 1500 800 567 333 100

T1 T2 T3 T4 T5 T6 T7

PS 1600 1500 1150 800 450 333 217 100

225 x 29 2000 1900 1450 1000 550 400 250 100

2500 2400 1825 1250 675 483 292 100

3500 3400 2575 1750 925 650 375 100

T 1

T 2

T 3

T 4

T 5

T 6

T 7

O

z

y



17

Tabela 11 - Cotas dos transdutores posicionados na mesa dos modelos

Perfil L (mm) Cotas dos Transdutores (mm)

T8 T9 T10

CS 1800 1700 900 100

150 X 26 2200 2100 1100 100

2900 2800 1450 100

3600 3500 1800 100

T8 T9 T10

CVS 1500 1400 750 100

200 x 26 2000 1900 1000 100

2400 2300 1200 100

3000 2900 1500 100

T8 T9 T10

CVS 1600 1500 800 100

225 x 30 2000 1900 1000 100

2500 2400 1250 100

3500 3400 1750 100

3.4 Resultados da análise experimental

Apresentam-se nas tabelas 12, 13 e 14 os valores experimentais da imperfeição inicial v0, dos deslocamentos laterais v, do fator comprimento efetivo de flambagem k e da força normal crítica experimental NE para os modelos pertencentes às séries CS 150 x 25, PS 200 x 25 e PS 225 x 29. Os deslocamentos laterais v apresentados nas Tabelas 12, 13 e 14 referem-se aos deslocamentos medidos durante o ensaio à compressão dos modelos nos transdutores T3 e T9, posicionados na altura média da alma e da mesa dos perfis. O fator comprimento efetivo de flambagem k encontra-se apresentado nas Tabelas 12, 13 e 14 em função de ky (obtido a partir da deformada do modelo na direção do eixo de menor inércia) e kx (determinado a partir da deformada do modelo na direção do eixo de maior inércia).

T 8

T 9

T 10

O

z

x



18

Tabela 12 - Valores experimentais para os modelos da série CS 150 x 25

Modelo L (mm) v0 / L NE (kN) v (mm) T3

v (mm) T9

ky kx

1 1800 1/1593 951 11 1 0,85 0,64 2 1800 1/1895 1044 2 3 0,61 0,90 3 1800 1/1698 959 8 1 0,78 0,47 1 2200 1/1264 916 7 5 0,92 0,53 2 2200 1/928 849 8 1 0,83 0,74 3 2200 1/1196 924 4 0 0,81 0,74 1 2900 1/1534 788 10 2 0,93 0,73 2 2900 1/2266 894 3 2 0,77 0,62 3 2900 1/1629 783 10 3 1,00 0,59 1 3600 1/1698 699 11 3 0,83 0,67 2 3600 1/1818 708 10 4 0,83 0,76 3 3600 1/1423 676 11 3 0,78 0,62

Tabela 13 - Valores experimentais para os modelos da série PS 200 x 25


v (mm) T9

ky kx

1 1500 1/1389 1029 2 1 0,50 0,17 2 1500 1/1420 985 5 3 0,70 0,70 3 1500 1/1304 964 4 1 0,58 0,34 1 2000 1/1087 836 11 0 0,66 0,49 2 2000 1/1242 1011 4 0 0,66 0,59 3 2000 1/1136 859 7 0 0,68 0,71 1 2400 1/1290 936 2 1 0,81 0,37 2 2400 1/938 769 9 1 0,79 0,77 3 2400 1/1212 850 3 3 0,75 0,70 1 3000 1/787 573 18 14 1,00 0,88 2 3000 1/1685 813 6 5 0,61 0,69 3 3000 1/1240 785 8 0 0,77 0,44



19

Tabela 14 - Valores experimentais para os modelos da série PS 225 x 29


v (mm) T9

ky kx

1 1600 1/1282 1135 9 1 0,86 0,47 2 1600 1/1695 1162 7 * 0,88 * 3 1600 1/1356 1144 4 0 0,72 0,30 1 2000 1/1980 1155 4 1 0,80 0,75 2 2000 1/1220 978 13 0 1,00 0,69 3 2000 1/1328 1055 10 0 0,85 0,69 1 2500 1/1289 953 11 2 0,88 0,50 2 2500 1/1572 917 13 0 0,94 0,60 3 2500 1/1269 845 15 1 0,91 0,53 1 3500 1/1944 850 0 1 0,77 0,82 2 3500 1/1563 752 14 0 0,90 0,38 3 3500 1/1584 763 15 2 0,87 0,87

* As leituras foram desprezadas, devido a problemas no transdutor T9. Os resultados das imperfeições iniciais v0 apresentados nas Tabelas 12, 13 e 14 foram utilizados na seção 2.4, para a determinação da força normal crítica teórica. Os valores da força normal crítica experimental NE serão utilizados no item 4, seções 4.1 e 4.2, para comparações com a força normal crítica teórica NT e com as curvas b e c da norma Eurocode 3: 1992. Os deslocamentos laterais v no meio do vão, medidos pelos transdutores T3 e T9 localizados na alma e na mesa dos perfis, mostram a influência das imperfeições iniciais na resistência à compressão dos elementos comprimidos e indicam que a flambagem ocorre em torno do menor eixo de inércia para a maioria dos modelos ensaiados. As séries CS 150x25, PS 200x25 e PS 225x29, apresentaram um fator comprimento efetivo de flambagem (ky)médio, na direção do eixo de menor inércia, iguais a 0,83, 071 e 0,87, respectivamente. Considerando que a série PS 200x25 apresentou um fator comprimento efetivo (ky)médio = 0,71 muito baixo, em virtude da grande influência das imperfeições iniciais, esta série foi desprezada para a determinação do fator k médio a ser utilizado na análise teórica. O fator comprimento efetivo (k)médio foi admitido como sendo a média aritmética entre (ky)médio da série CS 150x25 e o (ky)médio da série PS 225x29, ou seja, (k)médio = (0,83 + 0,87) / 2 = 0,85. O fator (k)médio = 0,85 foi utilizado para o cáculo da força normal crítica teórica NT apresentada na seção 2.4 e na determinação do índice de esbeltez λ e do índice de esbeltez reduzido λ utilizados nos gráficos apresentados na seção 4.4. Admitiu-se o fator k = 0,85 para as três séries ensaiadas, numa tentativa de se ajustar as posições dos modelos em relação às curvas de resistência à compressão adotadas pelas normas de cálculo.



20

4 COMPARAÇÃO DOS RESULTADOS

Discute-se neste item, por meio de uma análise comparativa, os resultados da força normal crítica obtidos teoricamente e experimentalmente. Compara-se também, em forma de gráficos, os valores da força normal crítica experimental NE com as curvas b e c da norma Eurocode 3: 1992.

4.1 Comparação entre a força crítica experimental e teórica

Apresenta-se nesta seção uma comparação entre a força normal crítica experimental NE e a força normal crítica teórica NT, determinada a partir das curvas b e c da norma Eurocode 3: 1992, admitindo imperfeições iniciais v0 / L = 1 / γ, conforme ilustram as tabela 15, 16 e 17. Tabela 15 - Valores da força crítica NE e NT – perfil CS 150 x 25

Modelo L (cm)

k λ v0 / L (NT)Eb

(kN)

(NT)Ec

(kN) NE

(kN)

NE / (NT)Eb NE / (NT)Ec

1 180 0,85 0,50 1/1593 915 871 951 1,039 1,092 2 180 0,85 0,50 1/1895 920 876 1044 1,135 1,192 3 180 0,85 0,50 1/1698 916 873 959 1,047 1,099 1 220 0,85 0,61 1/1264 858 803 916 1,068 1,141 2 220 0,85 0,61 1/928 839 786 849 1,012 1,080 3 220 0,85 0,61 1/1196 854 799 924 1,082 1,156 1 290 0,85 0,81 1/1534 762 692 788 1,034 1,139 2 290 0,85 0,81 1/2266 782 707 894 1,143 1,265 3 290 0,85 0,81 1/1629 766 695 783 1,022 1,127 1 360 0,85 1,01 1/1698 642 574 699 1,088 1,218 2 360 0,85 1,01 1/1818 645 577 708 1,098 1,227 3 360 0,85 1,01 1/1423 632 567 676 1,069 1,192

Tabela 16 - Valores da força crítica NE e NT – perfil PS 200 x 25

Modelo L (cm)

k λ v0 / L (NT)Eb

(kN)

(NT)Ec

(kN) NE

(kN)


1 150 0,85 0,52 1/1389 908 863 1029 1,133 1,192 2 150 0,85 0,52 1/1420 909 863 985 1,084 1,141 3 150 0,85 0,52 1/1304 905 860 964 1,065 1,121 1 200 0,85 0,69 1/1087 812 751 836 1,030 1,113 2 200 0,85 0,69 1/1242 821 759 900 1,096 1,186 3 200 0,85 0,69 1/1136 815 754 859 1,054 1,139 1 240 0,85 0,83 1/1290 744 675 850 1,143 1,259 2 240 0,85 0,83 1/938 718 655 769 1,071 1,174 3 240 0,85 0,83 1/1212 739 672 850 1,150 1,265 1 300 0,85 1,04 1/787 570 519 573 1,005 1,104 2 300 0,85 1,04 1/1685 625 559 813 1,301 1,454 3 300 0,85 1,04 1/1240 606 545 785 1,295 1,440



21

Tabela 17 - Valores da força crítica NE e NT – perfil PS 225 x 29

Nas Tabelas 15, 16 e 17, NE corresponde a força normal crítica experimental, (NT)Eb a força normal crítica teórica para v0 / L = 1 / γ - curva b do Eurocode 3 e (NT)Ec a força normal crítica teórica para v0 / L = 1 / γ - curva c do Eurocode 3. O modelo 2, de comprimento L = 180 cm, do perfil CS 150 x 25 apresenta na Tabela 15 uma força normal crítica experimental NE da ordem de grandeza da força normal crítica de escoamento Ny, caracterizando o escoamento da seção transversal. Os deslocamentos laterais nos transdutores T3 e T9 e os próprios valores de ky e kx, ilustrados na Tabela 12, indicam que não ocorre predominância de flambagem em torno do eixo de menor inércia. O modelo 1, de comprimento L = 150 cm, do perfil PS 200 x 25 apresenta na Tabela 16 uma força normal crítica experimental NE da ordem de grandeza da força normal crítica de escoamento Ny, caracterizando o escoamento da seção transversal. Os deslocamentos laterais nos transdutores T3 e T9, ilustrados na Tabela 13, indicam que não ocorre predominância de flambagem em torno do eixo de menor inércia. O modelo 2, de comprimento L = 160 cm, do perfil PS 225 x 29 apresenta na Tabela 17 uma força normal crítica experimental NE da ordem de grandeza da força normal crítica de escoamento Ny, caracterizando o escoamento da seção transversal.

4.2 Força normal reduzida para os modelos ensaiados

Apresenta-se nesta seção uma comparação entre os resultados de ensaio e as curvas b e c do Eurocode 3: 1992. Os resultados de ensaios são representados pela força normal reduzida ρ. A força normal reduzida ρ é definida pela a razão entre a força normal crítica experimental NE e a força normal teórica de escoamento Ny = Ag . fy, conforme a expressão (36).

y

E

N

N=ρ (36)

Modelo L (cm)

k λ v0 / L (NT)Eb

(kN)

(NT)Ec

(kN) NE

(kN)


1 160 0,85 0,48 1/1282 1054 1009 1135 1,077 1,125 2 160 0,85 0,48 1/1695 1065 1019 1162 1,091 1,140 3 160 0,85 0,48 1/1356 1057 1011 1144 1,082 1,132 1 200 0,85 0,60 1/1980 1018 953 1155 1,135 1,212 2 200 0,85 0,60 1/1220 993 931 978 0,985 1,051 3 200 0,85 0,60 1/1328 998 936 1055 1,057 1,127 1 250 0,85 0,75 1/1289 907 832 953 1,051 1,145 2 250 0,85 0,75 1/1572 922 843 917 0,995 1,088 3 250 0,85 0,75 1/1269 906 831 845 0,933 1,017 1 350 0,85 1,05 1/1944 717 639 850 1,186 1,330 2 350 0,85 1,05 1/1563 704 630 752 1,068 1,194 3 350 0,85 1,05 1/1584 704 631 763 1,084 1,209



22

Admite-se na expressão (36) a tensão de escoamento fy = 30 kN/cm2 e os valores da área bruta Ag iguais aos apresentados, anteriormente, na Tabela 5. Os gráficos apresentados nas figuras 10, 11 e 12 ilustram os valores da força normal reduzida ρ para os modelos pertencentes às séries CS 150 x 25, PS 200 x 25 e PS 225 x 29, admitindo o fator comprimento efetivo de flambagem k = 0,85 e a flambagem por flexão em torno do eixo de menor inércia y – y.

0,0

0,2

0,4

0,6

0,8

1,0

1,2

0,0 0,2 0,4 0,6 0,8 1,0 1,2 1,4 1,6 1,8 2,0 2,2

curva b curva c modelos média

ρ

λ

λ = 41λ = 50

λ = 66

λ = 82

Figura 10 - Força normal reduzida, perfil CS 150 x 25.Curvas b e c - Eurocode 3.

ρ

λ

λ = 42λ = 56

λ = 67

λ = 84

0,0

0,2

0,4

0,6

0,8

1,0

1,2

0,0 0,2 0,4 0,6 0,8 1,0 1,2 1,4 1,6 1,8 2,0 2,2

curva bcurva cmodelosmédia

Figura 11 - Força normal reduzidal, perfil PS 200 x 25. Curvas b e c – Eurocode 3.



23

0,0

0,2

0,4

0,6

0,8

1,0

1,2

0,0 0,2 0,4 0,6 0,8 1,0 1,2 1,4 1,6 1,8 2,0 2,2

curva bcurva cmodelosmédia

ρ

λ

λ = 39 λ = 49

λ = 61

λ = 85

Figura 12 - Força normal reduzida, perfil PS 225 x 29. Curvas b e c – Eurocode 3.

Analisando o gráfico da figura 10, observa-se que a média dos resultados da força normal crítica experimental NE dos modelos da série CS 150 x 25 situa-se acima da curva b da norma Eurocode 3: 1992, permitindo concluir que a curva b representa melhor a resistência à compressão dos modelos ensaiados. Percebe-se ainda, do gráfico da figura 10 que ocorre uma grande dispersão entre os resultados experimentais da força normal crítica, para o índice de esbeltez λ = 84, isto ocorre em virtude da grande influência das imperfeições geométricas iniciais e de alguma provável perturbação ocorrida na direção do eixo de maior inércia. O gráfico da figura 11 mostra que a média dos resultados da força normal crítica experimental NE dos modelos da série PS 200 x 25 situa-se acima da curva b da norma Eurocode 3: 1992, entretanto, verifica-se que os resultados desta série encontram-se mais dispersos, em virtude de uma maior influência das imperfeições iniciais. Este maior efeito ocorre porque os modelos da série PS 200 x 25 apresentam maiores valores dos deslocamentos iniciais v0, quando comparados com as outras duas séries. Verifica-se a partir do gráfico da figura 12, que a média dos resultados da força normal crítica experimental NE dos modelos da série PS 225 x 29 aproxima-se mais da curva b da norma Eurocode 3: 1992, permitindo concluir que a curva b representa melhor a resistência à compressão dos modelos ensaiados. Percebe-se ainda que os modelos de esbeltez λ = 39 apresentaram a força normal crítica experimental NE próxima da força normal de escoamento Ny e que o modelo 1, de comprimento L = 350 cm e esbeltez λ = 85, com uma imperfeição v0 pequena e uma força crítica NE bem superior ao valor estimado pela análise teórica deverá ser desprezado.

5 CONCLUSÕES

Os resultados da análise teórica, baseada no modelo de 2a espécie, fundamentam a verificação da resistência na seção mais solicitada do elemento



24

comprimido na sua configuração deformada e indica resultados com boa correlação quando comparados com os obtidos experimentalmente.

Verifica-se a partir de uma comparação entre a força normal crítica experimental NE e a força normal crítica teórica NT, que os resultados obtidos experimentalmente são coerentes e satisfatórios.

Comparando a força normal crítica experimental NE com a força normal crítica determinada pela norma Eurocode 3: 1992, admitindo as imperfeições geométricas iniciais v0 / L = 1 / γ, apresentada nas Tabelas 15, 16 e 17, pode-se perceber a grande influência das imperfeições iniciais na resistência à compressão dos elementos comprimidos de aço formados pelos perfis I – FC de pequenas dimensões.

Verifica-se a partir de uma comparação entre a força normal crítica experimental NE e a força normal crítica NT apresentada nas Tabelas 15, 16 e 17, que a maior influência das imperfeições iniciais v0 ocorre para os modelos com maiores índices de esbeltez λ, pois os modelos mais esbeltos situam na faixa de esbeltez com maior efeito das imperfeições geométricas iniciais na resistência à compressão.

Levando em consideração a posição da média dos resultados da força normal crítica de compressão dos modelos ensaiados, em relação às curvas b e c, conclui-se que a curva b é a mais adequada, quando a flambagem ocorre por flexão em torno do eixo de menor inércia y – y, para o cálculo da resistência à compressão dos perfis I – FC de pequenas dimensões.

Analisando as três séries ensaiadas, considerando a posição da média dos valores da força normal crítica experimental NE em relação às curvas do Eurocode 3, percebe-se que a série CS 150 x 25 apresenta melhores resultados em relação às demais séries. Dentre as séries PS, perfis que não constam nas Tabelas apresentadas no anexo B da norma NBR 5884: 2000, a série PS 225 x 29 é a que se comporta melhor. É importante ressaltar que há necessidade de ampliar o número de modelos a serem ensaiados e avaliar as condições e resultados quando a flambagem não ocorre em torno do eixo de menor inércia e que seja realizado um trabalho efetivo de caracterização de tensões residuais, para permitir uma conclusão definitiva sobre os procedimentos adotados quanto ao dimensionamento de perfis I soldados de aço, formados por chapas cortadas a maçarico, comprimidos.

6 AGRADECIMENTOS

Agradecemos a CAPES pela concessão da bolsa de estudos e a empresa USIMINAS pelo apoio financeiro na compra dos perfis estruturais de aço, sem o qual esta pesquisa poderia não ter sido realizada.

7 REFERÊNCIAS

ALPSTEN, G. A.; TALL, L. (1970). Residual stresses in heavy welded shapes. Welding Journal, v.49, n.3, Research Suppl., p. 93s-105s, Mar. ASSOCIAÇÃO BRASILEIRA DE NORMAS TÉCNICAS – ABNT. (1986). NBR 8800/86 - Projeto e execução de estruturas de aço de edifícios. Rio de Janeiro. ASSOCIAÇÃO BRASILEIRA DE NORMAS TÉCNICAS – ABNT. (2000). Texto base para revisão da NBR 5884 – Elementos estruturais de aço soldados por arco elétrico – Parte I – Perfil I. Rio de Janeiro.



25

AMERICAN SOCIETY FOR TESTING AND MATERIALS. (1996). A-370 – Standart test methods and definitions for mechanical testing of steel products. Philadelphia. BALLIO, G.; MAZZOLANI, F. M. (1983). Theory and design of steel structures. London: Chapman and Hall. CHERNENKO, D. E.; KENNEDY, D. J. L. (1991). Analysis of the performance of welded wide flange columns. Canadian Journal of Civil Engineering, v.18, n.4, p.537-555, Aug. COMITÉ EUROPEO DE NORNALIZACIÓN. (1992). Eurocódigo 3 - Projecto de estructuras de acervo. Parte 1-1: Reglas generales y reglas para edificación. Bruxelles, CEN. (ENV 1993-1-1). GALAMBOS, T. V. (Ed.). (1988). Guide to stability design criteria for metal structures. 4.ed. New York: John Wiley & Sons. McFALLS, R. K.; TALL, L. (1969). A study of welded columns manufactured from flame-cut plates. Welding Journal, v.48, n.4, Research Suppl, p.141s-153s, Apr. MAQUOI, R.; RONDAL, J. (1978). Analytical formulation of the new European buckling curves. Acier Stahl Steel, n.1, p.23-28. MAQUOI, R.; RONDAL, J. (1978). Mise en équation des novelles courbes européennes de flambament. Construction Métallique, n.1. MAQUOI, R.; RONDAL, J. (1979). Formulations d’ Airton - Perry pour flambement de barres métalliques. Construction Métallique, n.4, Paris. PAULA, G. D. (2002). Estudo teórico-experimental de elementos comprimidos de aço. São Carlos. Tese (Doutorado) – Escola de Engenharia de São Carlos – Universidade de São Carlos. PAULA, G. D. (1994). Alguns aspectos da fundamentação teórica e dimensionamento de elementos comprimidos de aço. São Carlos. Dissertação (Mestrado) – Escola de Engenharia de São Carlos – Universidade de São Carlos. PIMENTA, R. J. (1997). Proposição de uma curva de flambagem para perfis I soldados formados por chapas cortadas a maçarico. Belo Horizonte. Dissertação (Mestrado) – Universidade Federal de Minas Gerais. SALMON, C. G.; JOHNSON, J. E. (1996). Steel Structures: design and behavior. 4.ed. New York: HarperCollins.

ISSN 1809-5860


ANÁLISE DE PONTES DE MADEIRA PROTENDIDAS TRANSVERSALMENTE FORMADAS POR VIGAS-T

Nívea Mara Pereira Alves1 & Antonio Alves Dias2

Resumo

Neste trabalho é estudada uma variação do sistema estrutural de ponte de madeira com tabuleiro laminado protendido, em que a seção transversal é formada por vigas-T. As nervuras destas vigas são de madeira laminada colada e o tabuleiro de madeira serrada. São analisadas pontes da classe 30, com uma ou duas faixas de tráfego, dimensionando-se os elementos estruturais para diversas situações de projeto, e avaliando-se as influências das espécies e classes de resistência das madeiras e dos fatores geométricos (largura da nervura, altura do tabuleiro e espaçamento entre nervuras) na altura das nervuras. O procedimento de cálculo utilizado no dimensionamento das pontes de madeira formadas por vigas-T baseia-se no método WVU. Para o desenvolvimento deste trabalho, o método foi adaptado aos critérios da Associação Brasileira de Normas Técnicas, “NBR 7188/84 - Cargas Móveis em Pontes Rodoviárias e Passarelas de Pedestres” e “NBR 7190/97 - Projeto de Estruturas de Madeira”, e programado em software MATHCAD©. Os resultados obtidos indicam que não existe influência significativa na altura da nervura, ao se utilizar madeira da classe C 30 ou C 40 no tabuleiro, ou ao se variar a altura do tabuleiro de 15 até 25 cm. O modelo teórico é avaliado experimentalmente, por meio de modelo reduzido na escala geométrica de 1:5, obtendo-se boa concordância entre os valores experimentais e os teóricos. Palavras-chave: pontes de madeira; protensão transversal; vigas-T.

1 INTRODUÇÃO

O sistema estrutural de pontes de madeira com tabuleiro protendido se originou no Canadá, em 1976, como uma forma de recuperar tabuleiros pregados, que apresentavam problemas de delaminação. O bom desempenho estrutural dos tabuleiros recuperados com esta técnica incentivou a sua aplicação na construção de novas pontes. O sistema laminado protendido consiste em peças de madeira posicionadas ao longo do vão, umas adjacentes às outras, e protendidas transversalmente por barras ou cabos de aço de alta resistência. Esta protensão transversal permite que o esforço

1 Mestre em Engenharia de Estrutura – EESC-USP. 2 Professor do Departamento de Engenharia de Estruturas da EESC – USP, [email protected]

Nívea Mara Pereira Alves & Antonio Alves Dias


28

cortante vertical seja transmitido lateralmente entre as lâminas, por meio do atrito. Com isto, o sistema comporta-se como uma placa ortotrópica capaz de distribuir lateralmente as cargas dos veículos e de resistir à flexão transversal. Os tabuleiros protendidos com seção transversal constituído por peças de mesma altura são os mais utilizados para vãos menores que 10 m. Devido à necessidade de se construir pontes para vencer vãos maiores, foram estudadas derivações deste sistema, utilizando formas estruturais mais eficientes para a seção transversal (sistema T, sistema sanduíche, seção caixão e outras). O sistema T, mostrado na figura 1, consiste na introdução de vigas intermediárias com maiores dimensões no tabuleiro.

Figura 1 - Ponte de madeira com vigas-T (OKIMOTO, 1997).

Neste trabalho são avaliadas as pontes formadas por vigas-T, utilizando nervuras de madeira laminada colada (MLC) e tabuleiro de madeira serrada. Inicialmente. Inicialmente, são efetuados os dimensionamentos destas pontes, para diversas situações de projeto, seguindo o procedimento de cálculo baseado no método WVU (Método desenvolvido pelo Departamento de Engenharia Civil da West Virginia University e apresentado por DAVALOS & SALIM (1992)) para o sistema T das pontes de madeira protendidas transversalmente, e um estudo para verificar a influência das espécies e classes de resistência das madeiras e das variações dos fatores geométricos na altura das nervuras. Por último, é realizado o ensaio de um modelo reduzido de ponte formada por vigas-T, para se avaliar o modelo teórico utilizado no dimensionamento destas pontes. Para o desenvolvimento deste trabalho, o método WVU foi adaptado aos critérios da Associação Brasileira de Normas Técnicas, “NBR 7188/84 - Cargas Móveis em Pontes Rodoviárias e Passarelas de Pedestres” e “NBR 7190/97 - Projeto de Estruturas de Madeira”, e programado em software MATHCAD©.

2 ANÁLISE NUMÉRICA DO SISTEMA T

O procedimento de cálculo utilizado para a análise numérica do sistema T das pontes de madeira baseia-se no método WVU para o dimensionamento da altura e largura das nervuras, da altura do tabuleiro e do espaçamento entre nervuras. Para o desenvolvimento deste trabalho, o método WVU foi adaptado aos critérios da Associação Brasileira de Normas Técnicas, “NBR 7188/84 - Cargas Móveis em Pontes Rodoviárias e Passarelas de Pedestres” e “NBR 7190/97 - Projeto de Estruturas de Madeira”, e programado em software MATHCAD©. Este estudo é conduzido a partir da definição preliminar do vão, da largura e classe da ponte, das espécies e classes de resistência das madeiras utilizadas para as nervuras e o tabuleiro. São analisadas diversas configurações de pontes, variando-se

Análise de pontes de madeira protendidas transversalmente formadas por vigas – T


29

a altura do tabuleiro, a largura das nervuras, o número de nervuras e determinando-se a altura das mesmas para cada configuração.

2.1 Características das pontes

As pontes analisadas numericamente são da classe 30, por se tratar do emprego mais comum das pontes de madeira protendidas. Os vãos utilizados para a análise destas pontes foram iguais a 10, 15, 20 e 25 m. O limite inferior é escolhido porque para vãos menores que 10 m empregam-se pontes com seção transversal de altura constante e o limite superior é o vão máximo empregado para as pontes de madeira formadas por vigas-T. Estas pontes têm uma ou duas faixas de tráfego, de larguras iguais a 5,5 e 10,0 m respectivamente. As figuras 2 e 3 apresentam os desenhos esquemáticos de uma ponte com 5 nervuras e uma faixa de tráfego e de uma ponte com 9 nervuras e duas faixas de tráfego.

t

Unidade: cm

bwS550

100 350 100

D

Figura 2 - Ponte com uma faixa de tráfego.

1000S

150t

bw

Unidade: cm

D

700 150

Figura 3 - Ponte com duas faixas de tráfego.

Com relação às dimensões dos elementos estruturais, foram adotadas larguras das nervuras e alturas dos tabuleiros iguais a 15, 20 e 25 cm. As dimensões menores que 15 cm tornam a seção transversal delgada em relação à altura da nervura, e as dimensões maiores que 25 cm dificultam a obtenção das peças de madeira serrada. O espaçamento mínimo entre duas nervuras deve ser maior ou igual a 70 cm, resultando em um número máximo de nervuras igual a 8 para pontes com uma faixa de tráfego e 14 para pontes com duas faixas de tráfego. O espaçamento máximo deve ser menor ou igual a 200 cm, resultando em um número mínimo de nervuras igual a 8 para ponte com uma faixa de tráfego e 14 para ponte com duas faixas de tráfego.



30

2.2 Procedimento de cálculo

Neste tópico está descrito e exemplificado o procedimento de cálculo utilizado no dimensionamento das pontes de madeira formadas por vigas-T. Após a definição do vão, da largura e da classe da ponte, das espécies e das classes de resistência das madeiras utilizadas para as nervuras e o tabuleiro, é calculado o módulo de elasticidade na direção transversal do tabuleiro. O número mínimo de nervuras é determinado, segundo DAVALOS et al (1993), em função do deslocamento máximo da porção do tabuleiro entre duas nervuras adjacentes, sob a ação da carga de uma roda (Figura 4). Segundo GANGARAO & RAJU (1992), este deslocamento deve ser menor ou igual a 0,5 cm para que não ocorra fissuração do pavimento asfáltico, sendo este o limite utilizado no presente trabalho. Deste modo, o espaçamento máximo entre nervuras deve ser menor ou igual a 2,0 m para que apenas uma roda se posicione entre duas nervuras.

Figura 4 - Número mínimo de nervuras.

O número máximo de nervuras é determinado, de modo que o espaçamento mínimo entre nervuras seja maior ou igual a 0,7 m (Figura 5). Este valor foi definido como premissa do trabalho, pois os espaçamentos menores que 0,7 m conduzem ao tabuleiro com altura constante.

Figura 5 - Número máximo de nervuras.

Após a determinação do número de nervuras, são feitas as verificações dos efeitos localizados no tabuleiro e os cálculos da largura efetiva da mesa de uma viga-T interna e do fator de distribuição da carga, que determina a parcela da carga transmitida para a nervura mais solicitada. A partir de então, o projeto do sistema T resume-se ao dimensionamento de uma viga-T. Com as equações de flexão simples, são calculados os momentos fletores e os esforços cortantes máximos devidos às ações permanentes e variáveis, e verificados os estados limites últimos e de utilização

Smín ≥ 0,7 m

Smáx ≤ 2,0 m

δ ≤ 0,5 cm



31

correspondentes. Por último, calcula-se o volume de madeira do tabuleiro e das nervuras, para efeito de comparação.

2.3 Descrição e resultados da análise numérica

A seguir são descritos os métodos das análises efetuadas numericamente e apresentados os resultados correspondentes. Estas análises referem-se ao dimensionamento das pontes formadas com vigas-T; ao estudo das influências da altura do tabuleiro e da largura das nervuras, e da espécie de madeira do tabuleiro e das nervuras na altura D. As pontes formadas com vigas-T foram dimensionadas para vãos L iguais a 10, 15, 20 e 25 m, larguras b iguais a 5,5 (1 faixa de tráfego) e 10,0 m (2 faixas de tráfego), larguras das nervuras Bw e alturas dos tabuleiros t iguais a 15, 20 e 25 cm e número de nervuras n variando de 4 até 8 (1 faixa de tráfego) e de 7 até 14 (2 faixas de tráfego). O estudo das influências da altura do tabuleiro e da largura das nervuras, da espécie de madeira do tabuleiro e das nervuras na altura D foram realizados a partir dos resultados numéricos do dimensionamento de pontes com os mesmos parâmetros supracitados, porém fixando-se o vão L em 15 m.

2.3.1 Dimensionamento das pontes formadas por vigas-T Com o objetivo de se conhecer as dimensões das seções transversais das pontes formadas com vigas-T, as alturas D foram calculadas considerando-se a madeira Classe C 30 - Conífera para as nervuras e o tabuleiro, e as combinações das variações de L, b, Bw, t, e n, conforme descritos no item 3.3. Com os resultados obtidos, foi montada a tabela 1, que apresenta as alturas das nervuras para a ponte com 1 faixa de tráfego. Estes resultados também podem ser visualizados na figura 6. Os resultados referentes às pontes com 2 faixas de tráfego são apresentados na tabela 2 e na figura 7.



32

Tabela 1 - Alturas das nervuras D para pontes com 1 faixa de tráfego (Bw, t, D em cm)

VÃOS DAS PONTES n L = 10 m L = 15 m L = 20 m L = 25 m

Bw t 15 20 25 Bw

t 15 20 25 Bwt 15 20 25 Bw

t 15 20 25

4 15 20 25

- 145 145

- 128 128

- 117 116

15 20 25

- 192 192

- 170169

- 154153

15 20 25

- 241239

- 213210

- 193191

15 20 25

- 289 286

- 256 252

- 233 229

Bw t 15 20 25 Bw

t 15 20 25 Bwt 15 20 25 Bw

t 15 20 25

5 15 20 25

126 126 126

112 112 112

102 102 102

15 20 25

171 169 168

151150148

138136135

15 20 25

215212210

191188185

174171168

15 20 25

260 255 251

231 226 222

211 206 202

Bw t 15 20 25 Bw

t 15 20 25 Bwt 15 20 25 Bw

t 15 20 25

6 15 20 25

114 114 114

101 101 101

92 92 92

15 20 25

155 154 152

138136134

126124122

15 20 25

196193190

174171168

159156153

15 20 25

237 232 227

211 206 201

193 188 183

Bw t 15 20 25 Bw

t 15 20 25 Bwt 15 20 25 Bw

t 15 20 25

7 15 20 25

106 105 105

94 93 93

85 85 85

15 20 25

144 142 140

128126124

117115113

15 20 25

182178175

162158155

148144141

15 20 25

220 214 209

196 190 185

179 174 169

Bw t 15 20 25 Bw

t 15 20 25 Bwt 15 20 25 Bw

t 15 20 25

8 15 20 25

99 98 98

88 87 86

80 79 79

15 20 25

135 133 131

120118116

110108105

15 20 25

170166163

152148144

139135132

15 20 25

206 200 195

184 178 173

169 164 159



33

n = 4

110

146

182

218

254

290

10 15 20 25

L (m)

D (c

m)

n = 5

100

133

166

199

232

265

10 15 20 25

L (m)

D (c

m)

n = 6

90

120

150

180

210

240

10 15 20 25

L (m)

D (c

m)

n = 7

80

109

138

167

196

225

10 15 20 25

L (m)

D (c

m)

n = 8

75

102

129

156

183

210

10 15 20 25

L (m)

D (c

m)

t = 15 cm, Bw = 15 cm t = 15 cm, Bw = 20 cm t = 15 cm, Bw = 25 cm



Figura 6 - Gráficos D x L para pontes com 1 faixa de tráfego.



34

Tabela 2 - Alturas das nervuras D para pontes com 2 faixas de tráfego (Bw, t, D em cm)

VÃOS DAS PONTES n L = 10 m L = 15 m L = 20 m L = 25 m

Bw t 15 20 25 Bw

t 15 20 25 Bwt 15 20 25 Bw

t 15 20 25

7 15 20 25

- 118 119

- 104 105

- 95 96

15 20 25

- 157 158

- 139140

- 127128

15 20 25

- 198198

- 175176

- 160160

15 20 25

- 239 239

- 212 212

- 194 193

Bw t 15 20 25 Bw

t 15 20 25 Bwt 15 20 25 Bw

t 15 20 25

8 15 20 25

- 110 111

- 97 98

- 89 89

15 20 25

- 147 148

- 130131

- 119119

15 20 25

- 185186

- 164164

- 150150

15 20 25

- 224 224

- 199 198

- 182 181

Bw t 15 20 25 Bw

t 15 20 25 Bwt 15 20 25 Bw

t 15 20 25

9 15 20 25

102 103 104

90 92 92

83 84 84

15 20 25

139 139 139

123123123

113112112

15 20 25

176175175

156155155

143142142

15 20 25

213 212 211

190 188 188

174 173 172

Bw t 15 20 25 Bw

t 15 20 25 Bwt 15 20 25 Bw

t 15 20 25

10 15 20 25

97 98 99

86 87 88

78 79 80

15 20 25

132 132 132

117117117

107107107

15 20 25

168167167

149149148

136135135

15 20 25

203 202 201

181 180 179

166 165 164

Bw t 15 20 25 Bw

t 15 20 25 Bwt 15 20 25 Bw

t 15 20 25

11 15 20 25

93 93 94

82 83 84

75 76 76

15 20 25

127 126 127

112112112

103102102

15 20 25

160159159

143142141

131130129

15 20 25

195 193 192

174 172 171

160 158 157

Bw t 15 20 25 Bw

t 15 20 25 Bwt 15 20 25 Bw

t 15 20 25

12 15 20 25

89 89 90

79 80 80

72 73 73

15 20 25

122 121 121

108108108

99 99 98

15 20 25

154153153

138136136

126125124

15 20 25

188 186 185

168 166 165

154 152 151

Bw t 15 20 25 Bw

t 15 20 25 Bwt 15 20 25 Bw

t 15 20 25

13 15 20 25

86 86 87

76 77 77

70 70 70

15 20 25

117 117 117

104104104

96 95 95

15 20 25

149148147

133132131

122121120

15 20 25

181 179 178

162 160 159

149 147 146

Bw t 15 20 25 Bw

t 15 20 25 Bwt 15 20 25 Bw

t 15 20 25

14 15 20 25

83 83 84

74 74 74

67 68 68

15 20 25

114 113 113

101101100

93 92 92

15 20 25

144143142

129128127

118117116

15 20 25

176 174 172

157 155 154

145 143 141



35

n = 7

90

120

150

180

210

240

10 15 20 25L (m)

D (c

m)

n = 8

85

113

141

169

197

225

10 15 20 25L (m)

D (c

m)

n = 9

80

107

134

161

188

215

10 15 20 25L (m)

D (c

m)

n = 10

75

102

129

156

183

210

10 15 20 25L (m)

D (c

m)

n = 11

70

96

122

148

174

200

10 15 20 25L (m)

D (c

m)

n = 12

70

94

118

142

166

190

10 15 20 25L (m)

D (c

m)

n = 13

65

89

113

137

161

185

10 15 20 25L (m)

D (c

m)

n = 14

60

84

108

132

156

180

10 15 20 25L (m)

D (c

m)




Figura 7 - Gráficos D x L para pontes com 2 faixas de tráfego.



36

2.3.2 Influência da altura do tabuleiro e da largura das nervuras na altura D Com o objetivo de se verificar a influência da largura Bw e da altura t na altura D, estas alturas foram calculadas para pontes com as mesmas características (largura da ponte, número de nervuras e madeira Classe C 30 - Conífera para as nervuras e o tabuleiro), e então comparadas inicialmente fixando-se a largura Bw e variando-se a altura t e, posteriormente, fixando-se a altura t e variando-se a largura Bw. Com os resultados obtidos, foram montadas as tabelas 3 e 4, que apresentam, respectivamente, as alturas das nervuras para as pontes com 1 e 2 faixas de tráfego. Estes resultados também podem ser visualizados na figura 8. Tabela 3 - Alturas D para pontes com 1 faixa de tráfego (Bw, t, D em cm)

n TABULEIRO E NERVURAS CLASSE C 30 (CONÍFERA) Bw

t 15 20 25

4 15 20 25

- 192 192

- 170 169

- 154 153

Bw t 15 20 25

5 15 20 25

171 169 168

151 150 148

138 136 135

Bw t 15 20 25

6 15 20 25

155 154 152

138 136 134

126 124 122

Bw t 15 20 25

7 15 20 25

144 142 140

128 126 124

117 115 113

Bw t 15 20 25

8 15 20 25

135 133 131

120 118 116

110 108 105



37

Tabela 4 - Alturas D para pontes com 2 faixas de tráfego (Bw, t, D em cm)

n TABULEIRO E NERVURAS CLASSE C 30 (CONÍFERA) Bw

t 15 20 25

7 15 20 25

- 157 158

- 139 140

- 127 128

Bw t 15 20 25

8 15 20 25

- 147 148

- 130 131

- 119 119

Bw t 15 20 25

9 15 20 25

139 139 139

123 123 123

113 112 112

Bw t 15 20 25

10 15 20 25

132 132 132

117 117 117

107 107 107

Bw t 15 20 25

11 15 20 25

127 126 127

112 112 112

103 102 102

Bw t 15 20 25

12 15 20 25

122 121 121

108 108 108

99 99 98

Bw t 15 20 25

13 15 20 25

117 117 117

104 104 104

96 95 95

Bw t 15 20 25

14 15 20 25

114 113 113

101 101 100

93 92 92



38

Influência de Bw (1 faixa)

100

112

124

136

148

160

15 20 25

Bw (cm)

D (c

m)

t = 15 cm, n = 6

t = 15 cm, n = 7

t = 15 cm, n = 8

t = 20 cm, n = 6

t = 20 cm, n = 7

t = 20 cm, n = 8

t = 25 cm, n = 6

t = 25 cm, n = 7

t = 25 cm, n = 8

Influência de Bw (2 faixas)

90

101

112

123

134

145

15 20 25

Bw (cm)

D (c

m)

t = 15 cm, n = 9

t = 15 cm, n = 11

t = 15 cm, n = 14

t = 20 cm, n = 9

t = 20 cm, n = 11

t = 20 cm, n = 14

t = 25 cm, n = 9

t = 25 cm, n = 11

t = 25 cm, n = 14

Influência de t (1 faixa)

100

112

124

136

148

160

15 20 25

t (cm)

D (c

m)

t = 15 cm, n = 6

t = 15 cm, n = 7

t = 15 cm, n = 8

t = 20 cm, n = 6

t = 20 cm, n = 7

t = 20 cm, n = 8

t = 25 cm, n = 6

t = 25 cm, n = 7

t = 25 cm, n = 8

Influência de t (2 faixas)

90

101

112

123

134

145

15 20 25

t (cm)

D (c

m)

t = 15 cm, n = 9

t = 15 cm, n = 11

t = 15 cm, n = 14

t = 20 cm, n = 9

t = 20 cm, n = 11

t = 20 cm, n = 14

t = 25 cm, n = 9

t = 25 cm, n = 11

t = 25 cm, n = 14 Figura 8 - Gráficos D x Bw e D x t para pontes com 1 e 2 faixas de tráfego.



39

2.3.3 Influência da espécie de madeira do tabuleiro na altura D Com o objetivo de se verificar a influência da espécie de madeira do tabuleiro na altura D, estas alturas foram calculadas para pontes com as mesmas características (largura da ponte, largura das nervuras, altura do tabuleiro, número de nervuras e madeira Classe C 30 - Conífera para as nervuras), e então comparadas entre si, mudando-se apenas a madeira do tabuleiro (Classe C 30 - Conífera, Classe C 30 - Dicotiledônea e Classe C 40 - Dicotiledônea). Com os resultados obtidos, foi montada a tabela 5, que apresenta as alturas das nervuras para a ponte com 1 faixa de tráfego. Os resultados referentes às pontes com 2 faixas de tráfego são apresentados na tabela 6. Estes resultados também podem ser visualizados na figura 9. Tabela 5 - Alturas das nervuras D para pontes com 1 faixa de tráfego (Bw, t, D em cm)

CLASSES DE RESISTÊNCIA DAS MADEIRAS DO TABULEIRO n CLASSE C 30

(CONÍFERA) CLASSE C 30

(DICOTILEDÔNEA) CLASSE C 40

(DICOTILEDÔNEA) Bw

t 15 20 25 Bwt 15 20 25 Bw

t 15 20 25

4 15 20 25

- 192 192

- 170 169

- 154 153

15 20 25

- 194 194

- 171 171

- 155 155

15 20 25

- 192 192

- 169 170

- 153 154

Bw t 15 20 25 Bw

t 15 20 25 Bwt 15 20 25

5 15 20 25

171 169 168

151 150 148

138 136 135

15 20 25

172 171 170

152 151 150

139 137 136

15 20 25

169 168 168

149 148 148

136 135 135

Bw t 15 20 25 Bw

t 15 20 25 Bwt 15 20 25

6 15 20 25

155 154 152

138 136 134

126 124 122

15 20 25

156 155 154

139 137 136

127 125 124

15 20 25

153 152 152

136 135 134

124 123 121

Bw t 15 20 25 Bw

t 15 20 25 Bwt 15 20 25

7 15 20 25

144 142 140

128 126 124

117 115 113

15 20 25

145 143 142

129 127 125

117 116 114

15 20 25

142 141 139

126 124 123

115 113 112

Bw t 15 20 25 Bw

t 15 20 25 Bwt 15 20 25

8 15 20 25

135 133 131

120 118 116

110 108 105

15 20 25

136 134 132

121 119 117

110 108 107

15 20 25

133 131 130

118 116 115

108 106 104



40

Tabela 6 - Alturas das nervuras D para pontes com 2 faixas de tráfego (Bw, t, D em cm) CLASSES DE RESISTÊNCIA DAS MADEIRAS DO TABULEIRO

n CLASSE C 30 (CONÍFERA)

CLASSE C 30 (DICOTILEDÔNEA)

CLASSE C 40 (DICOTILEDÔNEA)

Bw t 15 20 25 Bw

t 15 20 25 Bwt 15 20 25

7 15 20 25

- 157 158

- 139 140

- 127 128

15 20 25

- 159 160

- 141 142

- 128 129

15 20 25

- 158 160

- 140 142

- 127 129

Bw t 15 20 25 Bw

t 15 20 25 Bwt 15 20 25

8 15 20 25

- 147 148

- 130 131

- 119 119

15 20 25

- 149 150

- 132 132

- 120 121

15 20 25

- 147 149

- 130 132

- 119 120

Bw t 15 20 25 Bw

t 15 20 25 Bwt 15 20 25

9 15 20 25

139 139 139

123 123 123

113 112 112

15 20 25

140 140 141

124 124 125

113 113 114

15 20 25

138 139 140

122 123 124

111 112 113

Bw t 15 20 25 Bw

t 15 20 25 Bwt 15 20 25

10 15 20 25

132 132 132

117 117 117

107 107 107

15 20 25

133 134 134

118 118 119

108 108 108

15 20 25

131 132 133

116 117 118

106 106 107

Bw t 15 20 25 Bw

t 15 20 25 Bwt 15 20 25

11 15 20 25

127 126 127

112 112 112

103 102 102

15 20 25

128 128 128

113 113 114

104 103 104

15 20 25

126 126 127

111 112 112

102 102 102

Bw t 15 20 25 Bw

t 15 20 25 Bwt 15 20 25

12 15 20 25

122 121 121

108 108 108

99 99 98

15 20 25

123 123 123

109 109 109

100 99 99

15 20 25

121 121 122

107 107 108

98 98 98

Bw t 15 20 25 Bw

t 15 20 25 Bwt 15 20 25

13 15 20 25

117 117 117

104 104 104

96 95 95

15 20 25

118 118 118

105 105 105

96 96 96

15 20 25

116 117 117

103 103 104

95 94 94

Bw t 15 20 25 Bw

t 15 20 25 Bwt 15 20 25

14 15 20 25

114 113 113

101 101 100

93 92 92

15 20 25

114 114 114

102 102 102

93 93 93

15 20 25

112 113 113

100 100 100

92 92 91



41

t = 15 cm (1 faixa)

105

120

135

150

165

180

4 5 6 7 8

n

D (c

m)

t = 15 cm (2 faixas)

90

105

120

135

150

165

7 8 9 10 11 12 13 14n

D (c

m)

t = 20 cm (1 faixa)

100

120

140

160

180

200

4 5 6 7 8

n

D (c

m)


90

105

120

135

150

165

7 8 9 10 11 12 13 14n

D (c

m)

t = 25 cm (1 faixa)

100

120

140

160

180

200

4 5 6 7 8

n

D (c

m)


90

105

120

135

150

165

7 8 9 10 11 12 13 14n

D (c

m)

Bw = 15 cm, Tab C 30 (Con) Bw = 20 cm, Tab C 30 (Con) Bw = 25 cm, Tab C 30 (Con)

Bw = 15 cm, Tab C 30 (Dic) Bw = 20 cm, Tab C 30 (Dic) Bw = 25 cm, Tab C 30 (Dic)

Bw = 15 cm, Tab C 40 (Dic) Bw = 20 cm, Tab C 40 (Dic) Bw = 25 cm, Tab C 40 (Dic)

Figura 9 - Gráficos D x n para pontes com 1 e 2 faixas de tráfego.

2.3.4 Influência da espécie de madeira das nervuras na altura D Com o objetivo de se verificar a influência da espécie de madeira das nervuras na altura D, estas alturas foram calculadas para pontes com as mesmas características (largura, largura das nervuras, altura do tabuleiro, número de nervuras e madeira Classe C 30 - Conífera para o tabuleiro), e então comparadas entre si, mudando-se apenas a madeira das nervuras (Classe C 30 - Conífera e Classe C 30 - Dicotiledônea).



42

Com os resultados obtidos, foi montada a tabela 7, que apresenta as alturas das nervuras para a ponte com 1 faixa de tráfego. Os resultados referentes às pontes com 2 faixas de tráfego são apresentados na tabela 8. Estes resultados também podem ser visualizados na figura 10. Tabela 7 - Alturas das nervuras D para pontes com 1 faixa de tráfego (Bw, t, D em cm)

CLASSES DE RESISTÊNCIA DAS MADEIRAS DAS NERVURAS n CLASSE C 30 (CONÍFERA) CLASSE C 30 (DICOTILEDÔNEA)

Bw t 15 20 25 Bw

t 15 20 25

4 15 20 25

- 192 192

- 170 169

- 154 153

15 20 25

- 194 193

- 171 170

- 156 155

Bw t 15 20 25 Bw

t 15 20 25

5 15 20 25

171 169 168

151 150 148

138 136 135

15 20 25

172 171 170

153 151 150

140 138 136

Bw t 15 20 25 Bw

t 15 20 25

6 15 20 25

155 154 152

138 136 134

126 124 122

15 20 25

157 155 154

139 138 136

127 126 124

Bw t 15 20 25 Bw

t 15 20 25

7 15 20 25

144 142 140

128 126 124

117 115 113

15 20 25

145 143 142

129 127 126

118 116 115

Bw t 15 20 25 Bw

t 15 20 25

8 15 20 25

135 133 131

120 118 116

110 108 105

15 20 25

136 134 132

122 119 117

111 109 107



43

Tabela 8 - Alturas das nervuras D para pontes com 2 faixas de tráfego (Bw, t, D em cm)

CLASSES DE RESISTÊNCIA DAS MADEIRAS DAS NERVURAS n CLASSE C 30 (CONÍFERA) CLASSE C 30 (DICOTILEDÔNEA)

Bw t 15 20 25 Bw

t 15 20 25

7 15 20 25

- 157 158

- 139 140

- 127 128

15 20 25

- 159 159

- 140 141

- 128 129

Bw t 15 20 25 Bw

t 15 20 25

8 15 20 25

- 147 148

- 130 131

- 119 119

15 20 25

- 149 149

- 132 132

- 120 121

Bw t 15 20 25 Bw

t 15 20 25

9 15 20 25

139 139 139

123 123 123

113 112 112

15 20 25

140 140 141

125 125 125

114 114 114

Bw t 15 20 25 Bw

t 15 20 25

10 15 20 25

132 132 132

117 117 117

107 107 107

15 20 25

134 134 134

119 119 119

109 109 108

Bw t 15 20 25 Bw

t 15 20 25

11 15 20 25

127 126 127

112 112 112

103 102 102

15 20 25

128 128 128

114 114 114

104 104 104

Bw t 15 20 25 Bw

t 15 20 25

12 15 20 25

122 121 121

108 108 108

99 99 98

15 20 25

123 123 123

110 109 109

101 100 100

Bw t 15 20 25 Bw

t 15 20 25

13 15 20 25

117 117 117

104 104 104

96 95 95

15 20 25

119 118 118

106 106 105

97 97 96

Bw t 15 20 25 Bw

t 15 20 25

14 15 20 25

114 113 113

101 101 100

93 92 92

15 20 25

115 115 114

103 102 102

94 94 93



44

t = 15 cm (1 faixa)

105

119

133

147

161

175

4 5 6 7 8

n

D (c

m)


90

105

120

135

150

165

7 8 9 10 11 12 13 14

n

D (c

m)

t = 20 cm (1 faixa)

100

120

140

160

180

200

4 5 6 7 8

n

D (c

m)


90

105

120

135

150

165

7 8 9 10 11 12 13 14

n

D (c

m)

t = 25 cm (1 faixa)

100

120

140

160

180

200

4 5 6 7 8

n

D (c

m)


90

105

120

135

150

165

7 8 9 10 11 12 13 14

n

D (c

m)

Bw = 15 cm, Tab C 30 (Con) Bw = 20 cm, Tab C 30 (Con) Bw = 25 cm, Tab C 30 (Con) Bw = 15 cm, Tab C 30 (Dic) Bw = 15 cm, Tab C 30 (Dic) Bw = 15 cm, Tab C 30 (Dic)

Figura 10 - Gráficos D x n para pontes com 1 e 2 faixas de tráfego. 2.4 Discussões sobre a análise numérica No processo de dimensionamento das nervuras, o fator limitante foi o estado limite último de tração nas fibras inferiores das nervuras, para todas as situações analisadas. O critério estipulado pela NBR 7190/97, para o estado limite de utilização, conduz a resultados distintos dos que eram obtidos anteriormente à implantação desta norma, quando se observava que o fator limitante era o deslocamento vertical da estrutura. Deste modo, podem-se esperar reduções significativas na altura das nervuras ao se utilizar resistências de cálculo à tração superiores às empregadas neste trabalho, por meio de critérios de dimensionamento que permitam considerar a maior resistência à tração da madeira.



45

No processo de avaliação da influência dos fatores geométricos, observa-se que a variação da altura do tabuleiro de 15 a 25 cm conduz a reduções de, no máximo, 3% para a altura das nervuras, e que a variação da largura das nervuras de 15 a 25 cm conduz a reduções de, no máximo, 12% para a altura das mesmas. Em relação à influência da madeira do tabuleiro (conífera C 30 ou dicotiledônea C 30 ou C 40) na altura das nervuras, observa-se uma ligeira vantagem para as coníferas quando são comparadas espécies de madeira com a mesma resistência à compressão paralela às fibras e o mesmo módulo de elasticidade na direção longitudinal (Classe C 30). Isto ocorre porque a distribuição lateral das cargas é mais favorável (menor Wf) devido ao efeito da protensão na rigidez à flexão transversal ser mais eficiente para madeiras de menor densidade. Deste modo, ocorre uma diminuição de, no máximo, 2% para a altura das nervuras. A utilização de espécies de madeira com maior módulo de elasticidade na direção longitudinal (Classe C 40) conduz a uma diminuição de, no máximo, 3% para a altura das nervuras. Deve ser considerado que as estruturas mais eficientes, em termos de consumo de madeira, são aquelas que apresentam nervuras com maior altura. Entretanto, devido ao custo de fabricação da madeira laminada colada ser muito superior ao da madeira serrada utilizada no tabuleiro, a definição da geometria mais eficiente depende da análise de custos e da possível limitação na altura das vigas laminadas.

3 EXPERIMENTAÇÃO DO MODELO REDUZIDO

Neste capítulo está descrito o ensaio estático de um modelo reduzido de ponte formada por vigas-T. Estes ensaios foram realizados com o objetivo de se avaliar o modelo teórico utilizado no dimensionamento destas pontes, principalmente quanto à comparação entre as rigidezes à flexão longitudinal experimental e teórica da seção transversal e ao fator de distribuição da carga (Wf).

3.1 Características do modelo reduzido

A estrutura avaliada é uma ponte classe 30 com comprimento L igual a 10 m, uma faixa de tráfego com largura b igual a 5,5 m e madeira classe C 30 (conífera) para as nervuras e o tabuleiro. O dimensionamento utilizando o procedimento de cálculo baseado no método WVU conduziu a uma ponte formada por 6 nervuras com largura Bw igual a 25 cm, altura D igual a 100 cm e espaçamento entre os eixos igual a 105 cm, e tabuleiro com 80 lâminas de espessura igual a 5 cm e altura t igual a 25 cm. A análise experimental desta ponte foi efetuada por meio de um modelo reduzido na escala 1:5, cujas dimensões estão apresentadas na figura 11. Este modelo foi construído utilizando a espécie Pinus Hondurensis (Pinus caribaea var. hondurensis) para as nervuras e a espécie Pinus Taeda (Pinus taeda) para as lâminas do tabuleiro.



46

10

Unidade: cm

200

5

20

1105 21

Figura 11 - Dimensões do modelo reduzido.

3.1.1 Caracterização das nervuras O módulo de elasticidade de cada nervura, cujas dimensões nominais são 5x20x200 cm, foi determinado experimentalmente por meio de ensaio à flexão. Os ensaios foram realizados com uma repetição para cada nervura, e o módulo de elasticidade da mesma EL,n foi calculado pela equação 1:

I48

LkE3

n,L ⋅⋅

= (1)

sendo:

δ

=Pk (2)

Os valores de EL,n estão apresentados na tabela 9. Tabela 9 - Módulos de elasticidade na direção longitudinal EL,n das nervuras Nervura EL,n (MPa)

A 6523

B 7744

C 5236

D 7216

E 6940

F 5172

3.1.2 Caracterização das lâminas do tabuleiro O módulo de elasticidade de cada lâmina, cujas dimensões nominais são 1x5x200 cm, foi determinado experimentalmente por meio de ensaio à flexão. Os ensaios foram realizados com uma repetição para cada lâmina, e o módulo de elasticidade da mesma EL,t foi calculado no intervalo 5 - 35 N pela equação 3:

I48

LPE3

t,L ⋅δ⋅⋅

= (3)



47

Os valores de EL,t estão apresentados na tabela 10. Tabela 10 - Módulos de elasticidade na direção longitudinal das lâminas do tabuleiro EL,t

N° da lâmina

EL,t (MPa)

N° da lâmina

EL,t (MPa)

N° da lâmina

EL,t (MPa)

N° da lâmina

EL,t (MPa)

1 10123 21 9418 41 7611 61 7768 2 7067 22 7370 42 9099 62 9746 3 7778 23 11606 43 10318 63 9282 4 5490 24 7656 44 8283 64 7048 5 7890 25 8781 45 9974 65 9480 6 8829 26 10154 46 8726 66 8238 7 9795 27 7363 47 7661 67 8702 8 7624 28 7506 48 9429 68 6424 9 6168 29 8379 49 11866 69 10254

10 9992 30 6797 50 10617 70 10690 11 6416 31 6986 51 8450 71 12242 12 7034 32 8848 52 10558 72 11315 13 7608 33 8328 53 9021 73 8080 14 7054 34 6661 54 12483 74 6400 15 8106 35 9373 55 9856 75 7326 16 9547 36 6946 56 11984 76 7571 17 7394 37 7557 57 12291 77 10514 18 7099 38 7523 58 8904 78 6507 19 6693 39 7842 59 6106 79 8938 20 8533 40 11510 60 7939 80 6374

3.1.3 Classificação das nervuras e das lâminas do tabuleiro As classes de resistência das nervuras e das lâminas foram determinadas experimentalmente por meio de ensaio de compressão paralela às fibras. Os resultados indicaram que as nervuras e as lâminas do tabuleiro pertencem à classe C 30 (conífera).

3.2 Montagem do modelo

A seguir são descritas as etapas realizadas na montagem do modelo. Estas etapas referem-se à distribuição das nervuras e das lâminas do tabuleiro, aos apoios do modelo, ao sistema de protensão, aos dispositivos utilizados na experimentação e às formas de aplicação das forças.

3.2.1 Distribuição das nervuras e das lâminas do tabuleiro A distribuição adequada das nervuras e das lâminas do tabuleiro tem como objetivo uniformizar a rigidez longitudinal do modelo. As nervuras foram distribuídas o mais simetricamente possível em relação ao eixo longitudinal do modelo reduzido, posicionando-se externamente as nervuras com os módulos de elasticidade EL,n maiores (Figura 12).



48

1B

2A

3C

4F

5E

6D

Figura 12 - Distribuição das nervuras no modelo reduzido.

A distribuição das lâminas do tabuleiro se fez em conjuntos de 4 peças (Figura 13 e 14), de modo que as médias dos módulos de elasticidade na direção longitudinal de cada conjunto fossem próximas entre si e também próximas da média do módulo de elasticidade de todas as lâminas.

Figura 13 - Conjunto de lâminas formado por quatro peças.

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 131112 141516 191718 20

Figura 14 - Distribuição dos conjuntos de lâminas no modelo reduzido.

3.2.2 Apoios do modelo O modelo reduzido foi apoiado sobre um sistema composto de perfis metálicos e roletes de aço montados sobre a laje de reação. Estes roletes permitem a rotação no ponto de apoio e não impedem o deslocamento horizontal do modelo.

3.2.3 Sistema de protensão O sistema de protensão foi constituído por 21 barras de aço espaçadas 10 cm entre si e com diâmetros nominais igual a 9,5 mm. Para a aplicação da força de protensão no modelo, as barras de aço foram tensionadas pelo rosqueamento manual das porcas sextavadas e então ancoradas por um conjunto de placa de ancoragem de aço comum e bloco de distribuição de madeira. Para estabelecer a tensão de protensão no tabuleiro igual a 0,7 MPa, cada barra estava tensionada de modo a aplicar uma força de 3,5 kN em uma área de 50 cm2 (distância entre as barras igual a 10 cm e altura do tabuleiro igual a 5 cm).

Conjunto

S



49

3.2.4 Formas de aplicação das forças Com o objetivo de se obter a rigidez efetiva do modelo, foi realizado um ensaio preliminar aplicando-se uma força no meio do vão do modelo e distribuída ao longo da largura (Figura 15).

Figura 15 - Força uniformemente distribuída.

Posteriormente, os ensaios foram realizados simulando a atuação de um eixo do veículo-tipo. Para isto, foram aplicadas duas forças concentradas no meio do vão do modelo e em várias posições ao longo de sua largura (Figura 16).

Figura 16 - Simulação de um eixo centrado.

Em cada ensaio, os deslocamentos verticais foram medidos a cada incremento de 4,58 kN na força aplicada, até o valor máximo de 45,8 kN para o carregamento distribuído; 4,25 na força aplicada, até o valor máximo de 34 kN para o carregamento de um eixo com a roda externa na nervura 2 ou 5; 3,84 na força aplicada, até o valor máximo de 23 kN para o carregamento centrado de um eixo e o carregamento de um eixo com a roda externa na nervura 1 ou 6. Todos os ensaios foram realizados com uma repetição para cada carregamento. Para se ter noção da magnitude da força aplicada no modelo em relação à carga móvel, foram determinados os momentos fletores no meio do vão da estrutura real, acrescidos do efeito do impacto, devidos ao carregamento móvel na faixa ocupada pelo veículo-tipo Mreal = 78120 kN.cm e ao carregamento móvel em toda a largura da ponte Mreal = 81995 kN.cm.



50

Os momentos fletores equivalentes no modelo, em termos de se obter tensões normais da mesma magnitude, são determinados dividindo-se os momentos fletores na estrutura real pelo cubo do fator de redução de escala (Mmodelo = Mreal/53), sendo Mmodelo = 625 kN.cm e Mmodelo = 656 kN.cm. Estes momentos são provocados por forças concentradas iguais a 12,5 kN e 13,12 kN, respectivamente. 3.3 Resultados obtidos e análises

A seguir são apresentados os resultados experimentais dos ensaios estáticos do modelo reduzido de ponte com seção-T e as análises numéricas correspondentes. Estes resultados são a média dos valores observados no primeiro ciclo de leituras e na sua repetição. É importante salientar que não ocorreram diferenças significativas entre os valores do primeiro ciclo em relação aos da repetição.

3.3.1 Resultados Para cada carregamento, foi efetuada a regressão linear entre as forças aplicadas e os deslocamentos correspondentes, obtendo-se a equação abaixo: )kN(Pba)mm( ⋅+=δ (4) As tabelas 11 a 16 apresentam os resultados obtidos para todos os ensaios, os valores das constantes a e b e o coeficiente de correlação obtidos em cada regressão. Tabela 11 - Força uniformemente distribuída – (I)

1 2 43 5 6

p

Deslocamentos no meio do modelo Força aplicada p.b

(kN) δ1 (mm) δ2 (mm) δ3 (mm) δ4 (mm) δ5 (mm) δ6 (mm) 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 4,58 0,79 0,54 0,38 0,64 0,61 0,35 9,16 1,17 0,92 0,73 1,01 0,96 0,66

13,74 1,55 1,30 1,07 1,38 1,30 0,98 18,32 1,93 1,68 1,42 1,76 1,65 1,29 22,90 2,31 2,06 1,77 2,13 2,00 1,60 27,48 2,68 2,44 2,11 2,50 2,34 1,92 32,03 3,06 2,82 2,46 2,87 2,69 2,23 36,64 3,44 3,20 2,80 3,24 3,04 2,55 41,22 3,82 3,58 3,15 3,62 3,38 2,86 45,80 4,20 3,96 3,49 3,99 3,73 3,18

Resultados obtidos nas regressões a (mm) 0,4133 0,1600 0,0367 0,2667 0,2640 0,0333

b (mm/kN) 0,0826 0,0830 0,0755 0,0813 0,0757 0,0686 r2 (%) 99,99 100 99,99 99,99 99,99 99,99 Momento fletor máximo no meio do vão do modelo = 2290 kN.cm



51

Tabela 12 - Carregamento de um eixo com a roda externa na nervura 1 – (II)

1 2 43 5 6

P P40 cm

Deslocamento no meio do vão do modelo Força aplicada 2P

(kN) δ1 (mm) δ2 (mm) δ3 (mm) δ4 (mm) δ5 (mm) δ6 (mm)0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 3,84 1,10 0,65 0,59 0,34 0,12 0,05 7,68 1,83 1,13 1,08 0,55 0,13 -0,04

11,52 2,56 1,60 1,57 0,76 0,15 -0,12 15,36 3,29 2,08 2,07 0,97 0,17 -0,20 19,20 4,02 2,56 2,56 1,18 0,19 -0,29 23,00 4,75 3,04 3,05 1,39 0,20 -0,37


b (mm/kN) 0,1904 0,1246 0,1285 0,0548 0,0045 -0,0218r2 (%) 100 100 100 100 98,92 99,97 Momento fletor máximo no meio do vão do modelo = 1150 kN.cm

Tabela 13 - Carregamento de um eixo com a roda externa na nervura 2 – (III)


(kN) δ1 (mm) δ2 (mm) δ3 (mm) δ4 (mm) δ5 (mm) δ6 (mm)0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 4,25 0,54 0,79 0,59 0,71 0,35 0,11 8,50 0,77 1,42 1,05 1,22 0,55 0,05

12,75 1,01 2,06 1,51 1,74 0,75 -0,01 17,00 1,24 2,69 1,96 2,25 0,96 -0,07 21,25 1,48 3,32 2,42 2,77 1,16 -0,14 25,50 1,72 3,95 2,87 3,28 1,36 -0,20 29,75 1,95 4,58 3,33 3,80 1,56 -0,26 34,00 2,19 5,21 3,79 4,31 1,76 -0,32


b (mm/kN) 0,0555 0,1486 0,1074 0,1211 0,0475 -0,0146r2 (%) 100 100 100 100 100 99,97 Momento fletor máximo no meio do vão do modelo = 1700 kN.cm

P P 40 cm

1 2 3 4 5 6



52

Tabela 14 - Carregamento de um eixo com a roda externa na nervura 5 – (IV)

1 2 43 5 6

P P40 cm


(kN) δ1 (mm) δ2 (mm) δ3 (mm) δ4 (mm) δ5 (mm) δ6 (mm) 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 4,25 -0,01 0,28 0,69 0,73 0,66 0,20 8,50 -0,14 0,46 1,21 1,21 1,21 0,40

12,75 -0,26 0,65 1,74 1,69 1,77 0,61 17,00 -0,39 0,84 2,27 2,17 2,33 0,81 21,25 -0,52 1,03 2,80 2,65 2,89 1,01 25,50 -0,64 1,22 3,32 3,12 3,44 1,21 29,75 -0,77 1,41 3,85 3,60 4,00 1,41 34,00 -0,90 1,60 4,38 4,08 4,56 1,61


b (mm/kN) -0,0298 0,0445 0,1241 0,1125 0,1311 0,0474 r2 (%) 100 100 100 100 100 100 Momento fletor máximo no meio do vão do modelo = 1700 kN.cm

Tabela 15 - Carregamento de um eixo com a roda externa na nervura 6 – (V)


(kN) δ1 (mm) δ2 (mm) δ3 (mm) δ4 (mm) δ5 (mm) δ6 (mm) 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 3,84 -0,10 0,04 0,30 0,69 0,53 0,79 7,68 -0,36 0,07 0,50 1,19 0,90 1,42

11,52 -0,61 0,11 0,70 1,68 1,28 2,06 15,36 -0,87 0,13 0,90 2,18 1,66 2,69 19,20 -1,12 0,17 1,09 2,67 2,04 3,32 23,00 -1,37 0,19 1,29 3,16 2,42 3,95


b (mm/kN) -0,0662 0,0080 0,0516 0,1288 0,0987 0,1649 r2 (%) 100 99,24 100 100 100 100 Momento fletor máximo no meio do vão do modelo = 1150 kN.cm

P P 40 cm

1 2 3 4 5 6



53

Tabela 16 - Carregamento centrado de um eixo – (VI)

1 2 43 5 6

P P40 cm


(kN) δ1 (mm) δ2 (mm) δ3 (mm) δ4 (mm) δ5 (mm) δ6 (mm)0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 3,84 0,25 0,67 0,71 0,73 0,60 0,17 7,68 0,30 1,15 1,30 1,29 1,03 0,23

11,52 0,36 1,62 1,89 1,86 1,46 0,29 15,36 0,41 2,10 2,48 2,42 1,89 0,35 19,20 0,46 2,58 3,07 2,98 2,33 0,41 23,00 0,52 3,05 3,66 3,55 2,76 0,47


b (mm/kN) 0,0140 0,1242 0,1539 0,1470 0,1127 0,0156 r2 (%) 99,91 100 100 100 100 100 Momento fletor máximo no meio do vão do modelo = 1150 kN.cm

3.3.2 Análise da rigidez à flexão longitudinal do modelo Este item apresenta a comparação entre as rigidezes à flexão longitudinal experimental e teórica (método WVU) do modelo. A rigidez à flexão longitudinal experimental erimentalexp)IE( ⋅ foi calculada com base nos resultados do carregamento em que a força é uniformemente distribuída no meio do vão e ao longo da largura do modelo. Para este carregamento, não há influência da rigidez à flexão transversal e a ponte se comporta como um conjunto de vigas longitudinais. Então:

δ⋅

⋅=⋅

48LP)IE(

3

erimentalexp (5)

A relação P/δ foi tomada como o inverso da média dos valores “b” apresentados na tabela 11:

56,128P=

δ kN/cm

Substituindo este valor na equação 5 tem-se:

667.426.2148

20056,128)IE(3

erimentalexp =⋅

=⋅ kN.cm2

A rigidez à flexão longitudinal teórica teórica)IE( ⋅ foi calculada a partir da soma dos momentos de inércia transformados das vigas do modelo reduzido. Inicialmente, as larguras efetivas das abas de cada viga-T do modelo foram determinadas de acordo com o método WVU. Posteriormente, a seção transversal do modelo foi uniformizada adotando-se um valor único para o módulo de elasticidade na direção longitudinal das nervuras e das lâminas do tabuleiro (Eadotado = 1000 kN/cm2), e foram determinadas as larguras transformadas das nervuras e das abas.



54

Por último, foram determinados os momentos de inércia, para cada uma destas vigas, em relação ao eixo horizontal que passa pelo CG da seção transformada total do modelo. A rigidez à flexão longitudinal da seção transversal transformada é dada por: ( )[ ] ( ) 2205025821792yyAII 2

iCGiidatransforma =+=−⋅+= ∑ cm4 000.050.22220501000)IE( datransforma =⋅=⋅ kN.cm2 Comparando o valor teórico com o experimental, observa-se que este é cerca de 97 % do valor do primeiro, indicando uma composição da seção transversal com uma eficiência praticamente equivalente à prevista pelo método WVU.

3.3.3 Análise do fator de distribuição da carga (Wf) Este item apresenta a comparação entre os fatores de distribuição da carga experimental e teórica (método WVU) do modelo. Para o cálculo do fator Wf experimental do modelo, determinou-se a parcela de carga absorvida por cada nervura (Pi) quando foram aplicados os carregamentos em que a roda do eixo ficou sobre uma das nervuras externas. Estes carregamentos são as situações mais desfavoráveis em termos de distribuição transversal das cargas. No cálculo de Pi foi feita uma simplificação na qual admitiu-se que cada nervura absorveu uma parcela de carga proporcional ao produto do deslocamento desta nervura por sua rigidez à flexão. Deste modo, Wf experimental foi determinado pela relação entre a parcela de carga máxima (Pi,máx) e o somatório das parcelas de carga (ΣPi) de cada nervura:

∑

=i

máx,if P

PW (6)

sendo:

3datransforma,iadotadoi

i LIE48

P⋅⋅δ⋅

= (7)

Substituindo Pi na equação 6 tem-se:

( )∑ δ⋅δ⋅

=idatransforma,i

idatransforma,if I

IW (8)

Inicialmente, calculou-se o fator (Wf1) com os resultados apresentados na tabela 12, caso em que a roda ficou sobre a nervura externa 1:

( ) 411004376

475,03793I

IW

idatransforma,i

1datransforma,11f =⋅

⋅=

δ⋅δ⋅

=∑

%

Posteriormente, calculou-se o fator (Wf6) com os resultados apresentados na tabela 15, caso em que a roda ficou sobre a nervura externa 6:

( ) 411003377

395,03548I

IW

idatransforma,i

6datransforma,66f =⋅

⋅=

δ⋅δ⋅

=∑

%

E, finalmente, calculou-se o fator de distribuição da carga (Wf):

2

WWW 6f1ff

+= ⇒ 41Wf = %

O fator Wf teórico do modelo foi determinado de acordo com o método WVU, conforme descrito abaixo:



55

( )1n2Cn

C1W0

0f

−⋅π

+⋅

+= (9)

sendo:

4

2

e

Tw0 )(

]1)(8[BD)Bb(C

λ+λ⋅

⋅⋅π−

= (10)

12tED

3

TT ⋅= (11)

L

)Bb( W−=λ (12)

IexEB n,Le ⋅= (13) Calculando, tem-se que:

196

12578,18D

3

T =⋅= kN.cm

( ) 525,0200

5110=

−=λ

821.762.358142,647Be =⋅= kN.cm2

0734,0)525,0(

]1)525,0(8[821.762.3

196)5110(C 4

2

0 =+⋅

⋅⋅π−

=

( )

476,11620734,06

0734,01Wf =⋅−⋅

π+⋅

+= %

Comparando o valor teórico com o experimental, observa-se que este (Wf = 41 %) é ligeiramente menor que o obtido pelo método WVU (Wf = 47 %), indicando que a parcela de carga absorvida pela nervura mais solicitada do modelo é menor que a parcela de carga determinada pelo método WVU.

4 CONCLUSÕES

O desenvolvimento do sistema T das pontes de madeira protendidas transversalmente surgiu devido à necessidade de se construir pontes que vencessem vãos maiores que os alcançados pelas pontes com tabuleiros protendidos de altura constante. O procedimento de cálculo, utilizado na determinação das dimensões efetivas das pontes formadas por vigas-T, possibilitou efetuar a análise numérica destas pontes para diversas situações de projeto.

Estas pontes classe 30 foram dimensionadas para vãos iguais a 10, 15, 20 e 25 m, larguras iguais a 5,5 (1 faixa de tráfego) e 10,0 m (2 faixas de tráfego), larguras das nervuras e alturas dos tabuleiros iguais a 15, 20 e 25 cm, número de nervuras variando de 4 até 8 (1 faixa de tráfego) e de 7 até 14 (2 faixas de tráfego), e espaçamento entre nervuras variando de 70 até 200 cm.

A partir das discussões desenvolvidas ao longo do trabalho, conclui-se que: - No processo de dimensionamento das nervuras realizado na análise numérica, o fator limitante foi o estado limite último de tração nas fibras inferiores das nervuras, para todas as situações analisadas. Deste modo, podem-se esperar reduções significativas na altura das nervuras ao se utilizar resistências de cálculo à tração superiores às empregadas neste trabalho, por meio de critérios de dimensionamento que permitam considerar a maior resistência à tração da madeira.



56

- A altura do tabuleiro não influencia de maneira significativa na altura das nervuras, pois a variação da altura do tabuleiro de 15 a 25 cm conduz a reduções de, no máximo, 3% para a altura das nervuras.

- A largura das nervuras influencia de maneira significativa na altura das mesmas, pois a variação desta largura de 15 a 25 cm conduz a reduções de, no máximo, 12% para a sua altura. - Em relação ao tabuleiro, observa-se que a utilização de madeira conífera C 30 ou dicotiledônea C 30 ou C 40 não influencia de maneira significativa na altura das nervuras. Para as madeiras classe C 30, que apresentam o mesmo módulo de elasticidade na direção longitudinal, observa-se uma melhor distribuição transversal das cargas para as coníferas devido à protensão transversal proporcionar um maior módulo de elasticidade na direção transversal para estas madeiras; para as madeiras classe C 40, que apresentam maior módulo de elasticidade na direção longitudinal, observa-se uma diminuição de, no máximo, 3% para a altura das nervuras. - Na análise experimental do modelo foram obtidos valores para a rigidez à flexão longitudinal e para o fator de distribuição da carga muito próximos dos valores teóricos determinados pelo método WVU, indicando que o método possibilita um dimensionamento adequado para as pontes de madeira protendidas transversalmente formadas por vigas-T.

5 AGRADECIMENTOS

Agradecemos à CAPES pelo apoio financeiro, sem o qual esta pesquisa não poderia ter sido realizada.

6 REFERÊNCIAS

ALVES, N. M. P. (2002). Análise de pontes de madeira protendidas transversalmente formadas por vigas – T. São Carlos. Dissertação (Mestrado) – Escola de Engenharia de São Carlos – Universidade de São Paulo. ASSOCIAÇÃO BRASILEIRA DE NORMAS TÉCNICAS. (1984). NBR 7188 - Cargas Móveis em Pontes Rodoviárias e Passarelas de Pedestres. Rio de Janeiro. ASSOCIAÇÃO BRASILEIRA DE NORMAS TÉCNICAS. (1997). NBR 7190 - Projeto de Estruturas em Madeira. Rio de Janeiro. DAVALOS, J. F; SALIM, H. A. (1992). Design of Stress-Laminated T-System Timber Bridges. National Hardwood Timber Bridge Conference 1992, Timber Bridge Information Resource Center–TBIRC, USDA-FS-Northeastern Area. DAVALOS, J. F.; SALIM, H. A.; DICKSON, B. (1993). Development and Field Testing of the Camp Arrowhead Modular Stress-Laminated T-System Timber Bridge. Annual Meeting, TRB, 72., National Research Council, Washington, D.C., n.93-0663.



57

GANGARAO, H. V. S.; RAJU, P. R. (1992). Transverse Wheel Load Distribution for Deck-Stringer Bridges. In: NSF WORKSHOP ON BRIDGE ENGINEERING RESEARCH IN PROGRESS, 3., La Jolla, CA, 1992. Proceedings... University of CA, p.109-112. OKIMOTO, F. S. (1997). Pontes Protendidas de Madeira: parâmetros elásticos para o projeto. São Carlos. Dissertação (Mestrado) - Escola de Engenharia de São Carlos - Universidade de São Paulo.

ISSN 1809-5860


EFEITOS DO CONFINAMENTO EM PILARES DE CONCRETO ARMADO ENCAMISADOS COM

COMPÓSITO DE FIBRAS DE CARBONO Ricardo Carrazedo 1 & João Bento de Hanai 2

R e s u m o

Sabe-se que o confinamento pode aumentar significativamente a resistência e a ductilidade de pilares de concreto armado. Normalmente utiliza-se o confinamento passivo, desenvolvido por armaduras transversais e camisas que restringem a expansão lateral do concreto. Nas últimas décadas diversas pesquisas abordaram o confinamento com armaduras transversais. Recentemente observou-se na literatura diversos trabalhos sobre o confinamento em pilares de concreto encamisados com compósitos de fibras de carbono e vidro, sendo na maior parte destes trabalhos realizados ensaios de corpos-de-prova sem armaduras. A partir destas pesquisas foram elaborados modelos teóricos. O presente trabalho apresenta e discute os resultados de uma análise experimental de pilares de concreto armado encamisados com compósitos de fibras de carbono e ensaiados à compressão axial. Foram ensaiados pilares de seção circular com diferentes taxas de armadura transversal e pilares de seção quadrada não armados, envolvidos por camisas de diferentes espessuras. Pôde-se observar os ganhos de resistência e ductilidade devidos ao efeito de confinamento da camisa de reforço e da armadura transversal pré-existente. Verificou-se também a importância da forma da seção transversal sobre o desempenho do reforço, comparando-se os resultados obtidos nos pilares de seção circular e quadrada. Palavras-chave: pilares; reforço; compósitos; fibra de carbono; confinamento; concreto armado.

1 INTRODUÇÃO

As primeiras pesquisas sobre confinamento datam do início do século XX e relacionaram o ganho de resistência à compressão do concreto confinado linearmente com a pressão lateral, segundo a formulação a seguir:

l1cocc fkff ⋅+= (1)

onde: fcc – resistência à compressão do concreto confinado; 1 Mestre em Engenharia de Estruturas - EESC-USP, [email protected] 2 Professor do Departamento de Engenharia de Estruturas da EESC-USP, [email protected]

Ricardo Carrazedo & João Bento de Hanai


60

fco – resistência à compressão do concreto não confinado; fl – pressão lateral; k1 – coeficiente obtido experimentalmente. RICHART et al. (1929) encontraram k1=4,1 em ensaios do concreto submetido ao confinamento ativo por meio de fluidos e no confinamento passivo com armaduras em espirais. Observaram também um grande aumento da deformação axial última do concreto confinado (εcc), que foi relacionada à pressão lateral por meio da expressão:

co

l2cocc f

fk ⋅+ε=ε (2)

onde:

εcc – deformação última do concreto confinado;

εco - deformação última do concreto não confinado;

k2 = 5⋅k1 - coeficiente obtido experimentalmente.

2 DEFINIÇÕES

Suponha-se que o pilar circular da Figura 1 esteja envolvido por um tubo de parede fina e submetido a um esforço de compressão axial. Aplicada a carga P o tubo restringe a expansão lateral, desenvolvendo-se no interior do tubo uma pressão fl. Considerando-se que o tubo tenha parede fina, a relação entre a pressão interna e o esforço de tração no tubo pode ser obtida por meio de um simples equilíbrio de esforços da seção transversal.

P

P2R t

F F

fl

Seção transversal

Esforços atuantes

x

y

α

L=1

Figura 1 - Pilar circular envolvido por parede fina.

Considerando-se o equilíbrio dos esforços da seção transversal atuantes na direção y da Figura 1 obtém-se:

Efeitos do confinamento em pilares de concreto armado encamisados com compósitos...


61

0dsenRfF20

l =α⋅α⋅⋅+⋅− ∫π

(3)

onde: • F - esforço de tração por unidade de comprimento do tubo; • R é o raio médio do tubo e α o ângulo central do pilar. Por meio da Equação 3 e admitindo-se que a tensão no tubo (fp) é constante ao longo da espessura (t), a relação entre a pressão lateral e a tensão no tubo dependem apenas das características geométricas:

tRff l

p⋅

= (4)

Pode-se então chegar a uma relação entre a pressão lateral, a tensão no tubo e a taxa volumétrica de material do tubo (ρp) válida para pilares circulares:

pp

l f2

f ⋅ρ

= (5)

A equação 5 se aplica também a pilares de seção circular com armaduras transversais, onde a taxa de material do tubo é substituída pela taxa volumétrica de armadura transversal, dada por:

sDA4

c

sp ⋅

⋅=ρ φ

(6)

sendo:

• Asø - área da seção de uma barra da armadura transversal;

• Dc - diâmetro do núcleo confinado (de centro a centro das barras transversais);

• s - espaçamento da armadura transversal (de centro a centro das barras transversais).

3 MODELOS TEÓRICOS DE CONFINAMENTO

Existem diversos modelos teóricos para prever o comportamento do concreto confinado por armaduras transversais e por compósitos na compressão axial centrada. No confinamento com armaduras transversais alguns pesquisadores adotaram coeficientes de efetividade (ke) para reduzir a pressão lateral calculada pela Equação 5, levando em conta a influência do espaçamento da armadura transversal. Os modelos teóricos são baseados em resultados de análises experimentais. No caso de pilares envolvidos por camisas de compósitos os modelos foram elaborados com base em ensaios de corpos-de-prova de pequenas dimensões à compressão axial centrada. As principais variáveis para representar o comportamento do concreto confinado são a sua resistência (fcc) e a deformação última (εcc). Na Tabela 1 são apresentadas as formulações de alguns modelos teóricos para estimar fcc e εcc. Estas



62

formulações são na maioria restritas a pilares de concreto de resistência normal, de seção circular e submetidos à compressão axial centrada.

Tabela 1 - Modelos teóricos de confinamento

Modelo Tipo fcc εcc Mander

et al. (1988)

1 ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛⋅−

⋅+⋅+−⋅=

co

le

co

leco

co

cc

ff2

ff94,71254,2254,1f

ff

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−⋅+⋅ε=ε 1

ff

51co

cccocc

Cusson & Paultrè (1995)

1 7,0

co

le

co

cc

ff1,20,1

ff

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛⋅+=

7,1

co

lecocc f

f21,0 ⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛⋅+ε=ε

Razvi & Saatcioglu

(1999) 1 83,0

lecocc f7,6ff ⋅+=

)f5,331( 17,0lecocc

−⋅+⋅ε=ε

Miyauchi et al. (1997) 2

co

l

co

cc

ff50,31

ff

⋅+= 373,0

co

l

co

cc

ff6,100,1 ⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛⋅+=

εε

7,0lcocc f0,6ff ⋅+=

2

0cccc E

ff −=ε

258,6f371,0f872,0f lcoo +⋅+⋅= Samaan et al. (1998) 2

c

ff2,0co2 D

ntE3456,1f61,245E ⋅⋅⋅+⋅=

Tipo 1: Modelos teóricos desenvolvidos para confinamento com armaduras transversais de aço. A pressão lateral efetiva (fle) é obtida multiplicando-se a pressão lateral pelo coeficiente de efetividade (ke). As formulações aqui apresentadas se aplicam apenas a pilares de seção transversal circular. Tipo 2: Modelos teóricos desenvolvidos para confinamento com camisas de compósitos, como os de fibras de vidro ou carbono. As formulações destes modelos se aplicam somente a pilares de seção transversal circular. onde:

• tf é a espessura da camada de compósito;

• n é o número de camadas de compósito;

• εfu é a deformação última do compósito;

• Ef é o módulo de elasticidade do compósito.

4 ANÁLISE EXPERIMENTAL

4.1 Materiais e métodos

4.1.1 Concreto Utilizou-se areia natural como agregado miúdo e brita nº 1 de origem basáltica como agregado graúdo. Como aglomerante foi utilizado cimento Portland do tipo CP II E 32, da marca Itaú. As características do concreto são apresentadas na Tabela 2, incluindo-se o traço unitário, resistência à compressão e módulo de elasticidade.



63

Tabela 2 - Características do concreto

Material Traço unitário em massa Resistência

(MPa)

Módulo de elasticidade

(GPa) Cimento CP II E –

Itaú 1,000 Série 1 32,0 28,55

Areia natural 2,762 Série 2 35,3 26,32 Brita 1 3,238 Água 0,610

Valores obtidos com o ensaio de corpos de prova de 10 x 20 cm (diâmetro x altura) na

data de ensaio dos pilares

A cura foi realizada em câmara úmida por 7 dias.

4.1.2 Armaduras Foram confeccionados 9 pilares circulares de concreto armado, sendo que em 6 destes utilizou-se armaduras nas direções longitudinal e transversal. O diâmetro das armaduras transversais foi de 5 mm enquanto o das longitudinais foi de 8 mm. Utilizou-se diferentes espaçamentos de armaduras transversais para obter as taxas volumétricas necessárias (0, 1 e 2%). A tensão de escoamento da armadura transversal foi de 756 MPa e o módulo de elasticidade de 204,7 GPa. A armadura longitudinal apresentou uma tensão de escoamento de 554,8 MPa e módulo de elasticidade de 201,5 GPa.

4.1.3 Sistema de reforço por encamisamento

Os pilares foram encamisados com o sistema SIKAWRAP®, que consiste na colagem de tecidos unidirecionais de fibras de carbono (SIKAWRAP HEX-230 C) com resina epóxi (SIKADUR-330). As características das fibras de carbono e da resina são apresentadas na Tabela 3, segundo dados fornecidos pelo fabricante.

Tabela 3 - Propriedades dos materiais do reforço – dados do fabricante

Fibras: SIKAWRAP HEX-230 C Resina epóxi: SIKADUR-330

Orientação das fibras 0º (unidirecional) Massa específica 1,31

kg/dm³

Massa / área 225 g/m² Dosagem A:B 1:4

Espessura* 0,13 mm Pot-life (5 kg) 90 min (15ºC)

Módulo de elasticidade à tração 230 GPa 30 min

(35ºC)

Resistência à tração 3500 MPa Resistência à tração 30 MPa (7 dias)

Alongamento de ruptura 1,5% Módulo de elasticidade à tração

3,8 GPa (7 dias)

*Baseada na área total das fibras de carbono



64

A resina foi preparada com um misturador elétrico até se obter uma mistura homogênea e de coloração uniforme e então aplicada sobre as superfícies a serem encamisadas. O consumo de epóxi foi de 1,0 kg/m2 para as superfícies de concreto e de 0,75 kg/m2 para as superfícies já cobertas com fibras (2ª ou 3ª camadas). Após a impregnação da superfície aplicou-se os tecidos unidirecionais, expulsando-se o ar com um pequeno rolo plástico.

4.1.4 Ensaios à compressão axial Após a preparação da instrumentação aplicou-se uma fina camada de massa plástica sobre as superfícies que receberam o carregamento, de maneira a diminuir as imperfeições e melhorar a planicidade. Os pilares foram então ensaiados à compressão axial centrada com crescimento linear do deslocamento em uma máquina universal de ensaios servo-hidráulica da marca INSTRON, Modelo 8506, com capacidade de 2500 kN.

4.1.5 Ensaios de caracterização do compósito Os ensaios de caracterização do compósito foram realizados em duas etapas: preliminar e definitiva. Observou-se uma grande variação das propriedades do compósito entre as duas etapas. Inicialmente verificou-se que as frações volumétricas dos materiais constituintes (resina e fibras) mudaram significativamente, provavelmente devido à variação da quantidade de resina ou alguma mudança no processo de moldagem. A espessura do compósito conseqüentemente também apresentou variação. Desta maneira as propriedades mecânicas do compósito obtidas nestas duas etapas divergiram significativamente, como se pode observar na Figura 2, comparando os resultados de PRFC 1 e PRFC 2. Optou-se então por desprezar a colaboração da matriz sobre as propriedades mecânicas do compósito. As tensões foram calculadas dividindo-se a carga atuante na amostra pela área das fibras de carbono. Este procedimento é recomendado por FIORELLI & DIAS (2001). Por meio desta hipótese as propriedades mecânicas apresentaram uma variabilidade muito pequena nas duas situações, como é observado na Figura 2 comparando-se os resultados de Fibras 1 e Fibras 2.



65

0 2 4 6 8 10 12 140

500

1000

1500

2000

2500

3000 Fibras 1

Fibras 2

PRFC 1

PRFC 2

Ten

são

(MP

a)

Deformação (./..) Figura 2 - Pilar circular envolvido por parede fina.

Na etapa definitiva foram ensaiadas 5 amostras do compósito de fibras de carbono à tração conforme recomendações da ASTM D 3039 (1995). Utilizou-se uma máquina de ensaio da marca DARTEC, modelo M1000 RK, com capacidade de 100 kN, do Laboratório de Madeiras e Estruturas de Madeira da Escola de Engenharia de São Carlos / Universidade de São Paulo. Na Tabela 4 são apresentados os resultados obtidos nesta caracterização das propriedades mecânicas.

Tabela 4 - Resultados dos ensaios de tração – propriedades das fibras

Amostra Tensão (MPa) εfu (‰) Ef (GPa)1 2981,07 13,232 218,43 2 2679,07 12,015 220,81 3 2621,55 11,887 217,64 4 2922,41 13,021 218,93

Média 2801,02 12,539 218,95 Deve-se observar que nestes ensaios à tração a resistência e a deformação última das fibras foram menores que os valores fornecidos pelo fabricante. Esta redução provavelmente ocorreu devido à ocorrência de flexão no ensaio. No entanto o módulo de elasticidade das fibras apresentou uniformidade e foi um parâmetro de dimensionamento importante. A utilização das propriedades das fibras (e não do compósito) para o estudo do confinamento foi adotada por alguns pesquisadores em seus modelos teóricos.

4.1.6 Pilares de seção transversal circular Os pilares foram preparados em duas séries referentes a duas concretagens. À série 1 pertencem os pilares circulares C0, C1, C2, C0S50, C1S50 e C2S50. À serie 2 pertencem o C0S25, C1S25 e C2S25. Os pilares de seção circular foram



66

confeccionados com diferentes taxas volumétricas da armadura transversal (ρs) e número de camadas de compósito (n). Na Tabela 5 apresenta-se um esquema da nomenclatura adotada para os pilares de seção circular.

Tabela 5 - Nomenclatura dos pilares circulares

Número de camadas de compósito 0 1 2

0 C0 C1 C2 1 C0S50 C1S50 C2S50 ρs (%) 2 C0S25 C1S25 C2S25

Na Figura 3 são apresentadas as dimensões, instrumentação e o esquema de colagem dos tecidos.

n=0 n=1 n=2

Detalhe da instrumentação

1

L

3

T4

T

1

L3

5

9

T T

2

7

L

6

2

8

190 mm

(cobrimento = 15 mm)

Extensômetro na camisa de reforço

Extensômetro na armadura longitudinal

Extensômetro na armadura transversal

T

Transdutor

L

LEGENDA

190

n+1

190

190

190

n+1

n570

(Dimensões em mm) Figura 3 - Características dos pilares de seção circular.

4.1.7 Pilares de seção transversal quadrada A nomenclatura dos pilares de seção quadrada consiste na letra Q seguida do número de camadas de reforço. Os modelos de seção transversal quadrada receberam 4 transdutores na região central. Os modelos Q1 e Q2 receberam ainda extensômetros na camisa de reforço na região central, colocados nos cantos e no meio das faces. As dimensões e a instrumentação utilizadas estão indicadas na



67

Figura 4. Observou-se um raio mínimo de curvatura de 3 cm nos cantos do pilar para evitar rupturas localizadas por concentrações de tensões. Na Figura 4 são apresentadas as características geométricas e a instrumentação utilizada nos modelos de seção transversal quadrada.

Q0 Q1

Q2

Detalhe da instrumentação

4

4

3

3

1

1

2

2

150 mm

(raio dos cantos = 30 mm)Extensômetro na camisa de reforço

Transdutor

LEGENDA

(Dimensões em mm)

150

150

n+1

n

150

150

n+1

150

450

Figura 4 - Modelos de seção transversal quadrada.

4.1.8 Instrumentação Utilizou-se extensômetros elétricos de resistência da marca KYOWA, sendo que para a camisa de reforço foram empregados extensômetros do tipo KFG-10-C1-120-11 e para as armaduras o KFG-5-C1-120-11. Para registrar os deslocamentos da região central dos modelos empregou-se transdutores de deslocamento da marca KYOWA, com curso de 10 mm e sensibilidade de 0,03 mm. A base de leitura dos transdutores foi de 210 mm.

4.2 Resultados e discussões

4.2.1 Resultados dos pilares de seção circular Observou-se significativos ganhos de resistência e ductilidade com o aumento do número de camadas do compósito para todas as taxas de armaduras transversais. O comportamento força-deslocamento foi próximo do bi-linear até a ruptura da camisa



68

de reforço. Nas Figuras 5 a 7 são apresentados os diagramas força x deslocamento dos modelos agrupados para cada taxa de armadura transversal. A base de leitura do deslocamento é de 570 mm (comprimento do pilar). No caso dos pilares de seção transversal circular não armados é possivel calcular a tensão no concreto confinado dividindo-se a força atuante pela área da seção de concreto (28353 mm2) e a deformação dividindo-se o deslocamento do pilar pelo comprimento (570 mm). Assim verifica-se que o diagrama tensão-deformação do concreto confinado por camisas de compósitos em pilares de seção circular é aproximadamente bi-linear. A Figura 5 indica este comportamento, porém em termos de força x deslocamento. A inclinação do segundo trecho linear depende do número de camadas de reforço.

0 -1 -2 -3 -4 -5 -6 -7 -8 -9 -10 -110

-200

-400

-600

-800

-1000

-1200

-1400

-1600

c0

c1

c2

For

ça (

kN)

Deslocamento axial do modelo (mm)

Figura 5 - Diagramas força x deslocamento – pilares com ρs = 0.



69

0 -5 -10 -150

-500

-1000

-1500

-2000 Modelo

C0S50

C1S50

C2S50

For

ça (

kN)


Figura 6 - Diagramas força x deslocamento - pilares com ρs = 1%.

0 -5 -10 -15 -200

-500

-1000

-1500

-2000 Modelo

C0S25

C1S25

C2S25

For

ça (

kN)


Figura 7 - Diagramas força x deslocamento - pilares com ρs = 2%.

Foram observados significativos ganhos de capacidade resistente com o aumento do número de camadas de fibras de carbono, para todas as taxas de armadura transversal. Ocorreram também grandes aumentos da deformação última destes pilares. A Tabela 6 apresenta as capacidades resistentes dos pilares e a comparação dos pilares reforçados com os pilares de referência.



70

Tabela 6 - Capacidade resistente dos pilares de seção transversal circular

ρs = 0 ρs = 1% ρs = 2% n Fu (kN) Fu/Fu* Fu (kN) Fu/Fu** Fu (kN) Fu/Fu***0 741,7* 1,000 903,7** 1,000 1291,0*** 1,000 1 1100,5 1,484 1481,5 1,639 1691,5 1,310 2 1507,55 2,033 1854,7 2,052 2097,4 1,625

Fu é a força última do pilar Observou-se menores ganhos de capacidade resistente pelo efeito de confinamento da camisa de reforço para os pilares com taxa de armadura transversal pré existente ρs = 2%. O concreto confinado com elevadas taxas de armadura transversal já apresenta por si só um considerável ganho de resistência em relação ao concreto não confinado. Com o acréscimo das camadas de compósito o ganho relativo de resistência observado foi menor. Outra variável que pode ter influenciado estas comparações de capacidade resistente foi a presença de armaduras apenas nos modelos com ρs = 1% e 2%. Foram significativos os aumentos da deformação última com a aplicação da camisa de reforço para os pilares com menores taxas de armadura transversal e principalmente nos modelos sem armaduras. Para ρs = 2% o aumento da deformação última com o encamisamento foi muito pequeno. Admitindo-se que a deformação última seja um parâmetro indicador da ductilidade, pode-se dizer que para maiores valores de ρs ocorreram menores ganhos de ductilidade com o aumento do numero de camadas de compósito. As deformações foram obtidas dividindo-se o deslocamento total do modelo por seu comprimento (570 mm). A Tabela 7 apresenta a deformação última dos pilares e a comparação entre modelos reforçados e de referência.

Tabela 7 - Comparação da deformação última

Deformação última ρs = 0 ρs = 1% ρs = 2%

N εcc (‰) εcc/εcc* εcc (‰) εcc/εcc** εcc (‰) εcc/εcc***0 2,028* 1,000 8,552** 1,000 15,231*** 1,000 1 11,180 5,513 11,643 1,361 16,482 1,082 2 16,196 7,986 15,837 1,852 19,185 1,260

4.2.2 Resultados dos pilares de seção quadrada Na Tabela 8 são apresentados a força última e o deslocamento último dos pilares de seção quadrada. Apresenta-se também a deformação de ruptura das fibras de carbono adotada do pilar C1. É importante ressaltar que as maiores deformações da camisa foram registradas no meio das faces do pilar e não nos cantos, como observado na literatura. A ruptura da camisa, conseqüentemente, ocorreu no meio das faces laterais dos pilares. No entanto, com a ruptura localizada da camisa de reforço na região da instrumentação não foram obtidas leituras até o final do ensaio. Desta maneira considerou-se adequado utilizar a deformação de ruptura da camisa observada no pilar C1.



71

Tabela 8 - Resultados experimentais

Modelo n Fu (kN) δu εfu

(10-3) Q0 0 512,08 0,840 - Q1 1 770,59 3,724 11,92*Q2 2 1009,32 6,953 11,92*

*Adotados do pilar C1 Por meio dos resultados apresentados na Tabela 8 foram calculadas a resistência à compressão do concreto confinado e a pressão lateral de duas maneiras distintas. Na primeira supõe-se que a pressão lateral seja uniforme ao longo do perímetro do pilar (como em pilares circulares). Calcula-se uma pressão lateral idealizada (fli) por meio da expressão:

ffuli Eb

t2f ⋅ε⋅⋅

= (7)

onde b é a largura do pilar. Na segunda estimou-se uma pressão lateral efetiva (fle) considerando a envoltória de ruptura do concreto confinado, por meio da expressão 8, baseada no modelo de RICHART et al. (1929).

1,4ff

f coccle

−= (8)

A Tabela 9 apresenta as pressões fli e fle, e também um coeficiente de efetividade ke dado por:

li

lee f

fk = (9)

Tabela 9 - Resultados dos pilares de seção quadrada

Modelo fcc (MPa) εfu (10-3)

fli (MPa)

fle (MPa)

ke εcc (‰)

Q0 23,57 - - - - 1,867 Q1 35,47 11,92 4,545 2,902 0,639 8,275 Q2 46,45 11,92 9,091 5,580 0,614 15,453

Como se pode observar o coeficiente de efetividade foi da ordem de 62%. O mesmo procedimento para o cálculo das pressões laterais foi utilizado para comparação com os resultados obtidos por SHEHATA et al. (2001). Os modelos de seção transversal quadrada ensaiados por SHEHATA et al. (2001) possuíam lados de 15 cm e os cantos arredondados com um raio de 1 cm. A Tabela 10 resume os resultados obtidos e as comparações.



72

Tabela 10 - Pilares de seção transversal quadrada, SHEHATA et al (2001)

Nomenclatura fco (MPa) n fcc

(MPa) fli

(MPa)fle

(MPa) ke

1 27,4 7,81 0,90 0,12S1-25 23,7 2 36,5 15,62 3,12 0,201 40,4 7,81 2,66 0,34S2-30 29,5 2 43,7 15,62 3,46 0,22

SHEHATA et al. (2001) relata que a ruptura das camisas dos pilares de seção quadrada ocorreu nos cantos, devido a concentração de tensões nestes pontos. O menor raio de curvatura adotado (1 cm) talvez explique esta forma de ruptura e os menores coeficientes de efetividade obtidos. Os diagramas tensão-deformação dos modelos de seção transversal quadrada apresentaram algumas diferenças em relação aos modelos de seção circular, como se pode observar na Figura 8. Uma das diferenças foi a maior não linearidade no segundo trecho, suposto linear para pilares de seção circular. Outra diferença foi uma zona de transição mais acentuada em relação à observada nos pilares de seção circular.

0 -5 -10 -15 -20 -250

-5

-10

-15

-20

-25

-30

-35

-40

-45

-50

Q0

Q1

Q2

Ten

são

(MP

a)

Deformação axial (./..)

Figura 8 - Diagramas tensão-deformação dos pilares de seção quadrada.

5 SIMULAÇÕES TEÓRICAS

5.1 Confinamento com compósitos

Na Tabela 11 são apresentados os resultados obtidos para o concreto confinado apenas com compósito de fibras de carbono (ρs = 0) em termos de tensões e deformações. Nestes pilares a pressão lateral (fl) foi calculada com as deformações de ruptura das fibras (εfu) registradas nos respectivos ensaios conforme a Expressão 10.



73

c

ffufl D

Ent2f ⋅ε⋅⋅⋅= (10)

Tabela 11 - Resultados experimentais

Modelo n Fu (kN) εfu (‰)

fl (MPa) fcc (MPa) εcc (‰)

C0 0 741,66 - - 26,16 2,028 C1 1 1100,50 11,92 3,571 38,81 11,180C2* 2 1505,08 10,89 6,526 53,08 16,196

*Valores do 1º pico de resistência

Na Tabela 12 são apresentadas a resistência e a deformação última do concreto confinado com compósito obtidas experimentalmente e as previsões dadas por alguns dos modelos teóricos. O módulo de elasticidade tangente do concreto (Eco) obtido do modelo de referência C0 foi de 28,616 GPa. Como este valor foi muito próximo ao obtido com os corpos-de-prova de controle este foi utilizado para as análises e comparações.

Tabela 12 - Comparação: resultados experimentais x modelos teóricos

C1 (1 camada de reforço) C2 (2 camadas de reforço) C0 fco = 26,16 MPa εco = 2,028

fcc (MPa) exp.cc

cc

ff εcc (‰)

exp.cc

cc

εε fcc

(MPa) exp.cc

cc

ff εcc (‰)

exp.cc

cc

εε

Experimental 38,81 - 11,180 - 53,08 - 16,196 - Richart et al. (1929) 40,80 1,051 7,703 0,689 52,92 0,997 12,400 0,766Mander et al. (1988) 45,17 1,164 9,397 0,841 55,94 1,054 13,573 0,838Cusson & Paultrè (1995) 39,79 1,025 9,140 0,818 50,27 0,947 18,801 1,161Razvi &Saatcioglu (1999) 45,43 1,171 9,497 0,849 57,95 1,092 14,349 0,886Miyauchi et al. (1997) 38,61 0,995 12,256 1,096 48,90 0,921 14,835 0,916Saaman et al. (1998) 40,78 1,051 15,431 1,380 48,46 0,913 19,399 1,198

Em geral os modelos teóricos tiveram melhor desempenho na previsão da resistência do que da deformação última do concreto confinado. Os modelos de confinamento para aço de MANDER et al. (1988) e de RAZVI & SAATCIOGLU (1999) superestimaram o ganho de resistência do concreto confinado. Os modelos de RICHART et al. (1929) e CUSSON & PAULTRÈ (1995) obtiveram resistências próximas da experimental. Os modelos de confinamento com compósitos obtiveram previsões mais conservadoras, no entanto satisfatórias. Quanto à deformação última apenas os modelos de confinamento com compósitos deram resultados satisfatórios. Observou-se nos pilares reforçados um diagrama tensão-deformação praticamente bi-linear, concordando com o proposto por alguns modelos teóricos. O aumento do número de camadas do compósito provocou uma alteração significativa na inclinação do segundo trecho do diagrama tensão-deformação.



74

5.2 Confinamento com armaduras transversais

Os modelos C0S50 e C0S25 tiveram apenas o confinamento das armaduras transversais. Na Tabela 13 são apresentadas a resistência e a deformação última do concreto confinado, bem como a pressão lateral, calculada com a Equação 5, admitindo-se o escoamento da armadura transversal. A área de concreto considerada para o cálculo de fcc é a do núcleo confinado.

Tabela 13 - Resultados experimentais - modelos com armadura transversal

Modelo Espaçamento entre espirais

(mm)

ρs (%)

fco (MPa)

Fu (kN)

δu (mm)

fl (MPa)

fcc.exp (MPa)

εcc.exp (‰)

C0S50* 50 1,01 26,16 899,6 4,875 3,831 39,44 8,552 C0S25 25 2,03 28,86 1291,0 8,682 7,661 60,52 15,231*referente ao 2º pico do diagrama No modelo C0S50 a resistência do concreto confinado foi calculada com o resultado do 2º pico do diagrama tensão-deformação (C0S50), onde se sabe que a carga é distribuída apenas na área do núcleo (ver Figura 6). Para o cálculo da tensão no concreto confinado descontou-se a força nas armaduras longitudinais, que após seu escoamento atingiu o valor máximo de 167,3 kN. A área de concreto confinado é de 18567,6 mm2. As Tabelas 14 e 15 apresentam os resultados experimentais e as previsões dos modelos teóricos. São apresentados também os coeficientes ke dos respectivos modelos de confinamento.

Tabela 14 - Pilar C0S50: resultados experimentais x teóricos

C0S50 fco = 26,16 MPa εco = 2,028

ke fle fcc (MPa) exp.cc

cc

ff εcc (‰)

exp.cc

cc

εε

Experimental - - 39,44 - 8,552 - Richart et al. (1929) 1,000 3,831 41,87 1,062 8,116 0,949Mander et al. (1988) 0,869 3,328 44,14 1,119 8,996 1,052Cusson & Paultrè (1995) 0,869 3,328 39,13 0,992 8,337 0,975Razvi & Saatcioglu (1999) 1,000 3,831 46,59 1,181 9,946 1,163Miyauchi et al. (1997) 0,869 3,328 37,76 0,957 11,991 1,402Samaan et al. (1998) 0,869 3,328 40,08 1,016 - - Obs.: Nos modelos para PRFC adotou-se ke de MANDER et al. (1988) As previsões mais próximas dos resultados experimentais do pilar C0S50 foram as de CUSSON & PAULTRÈ (1995). O modelo de RICHART et al. (1929) também obteve bons resultados. Os modelos de MANDER et al. (1988) e de RAZVI & SAATCIOGLU (1999) superestimaram a resistência e a deformação última. As envoltórias de ruptura dos modelos para compósitos deram boas previsões da resistência.



75

Tabela 15 - Pilar C0S25: resultados experimentais x teóricos

C0S25 fco = 28,86 MPa εco = 2,028

ke fle fcc (MPa) exp.cc

cc

ff εcc (‰)

exp.cc

cc

εε

Experimental - - 60,52 - 15,231 - Richart et al. (1929) 1,000 7,661 60,27 0,996 13,064 0,856Mander et al. (1988) 0,951 7,284 61,99 1,024 13,667 0,888Cusson & Paultrè (1995) 0,951 7,284 51,98 0,859 22,246 1,461Razvi & Saatcioglu (1999) 1,000 7,661 65,17 1,077 14,786 0,971Miyauchi et al. (1997) 0,951 7,284 52,24 0,863 14,891 0,978Samaan et al. (1998) 0,951 7,284 52,95 0,875 - - Obs.: Nos modelos para PRFC adotou-se ke de MANDER et al. (1988)

Os modelos de RICHART et al. (1929), MANDER et al. (1988) e RAZVI & SAATCIOGLU (1999) foram os de melhor desempenho na previsão da resistência e deformação última do pilar C0S25. CUSSON & PAULTRÈ (1995) previram resistência inferior à experimental e deformação última exagerada. Os modelos de confinamento com compósitos conduziram a ganhos de resistência inferiores aos obtidos experimentalmente.

5.3 Efeito conjunto de confinamento

Quatro dos pilares ensaiados possuíam armaduras transversais e camisa de reforço. Na Tabela 16 são apresentados os resultados experimentais de capacidade resistente, deslocamento e deformação axial última destes pilares.

Tabela 16 - Resultados experimentais dos modelos encamisados e com armaduras

Modelo n Espaçamento entre espirais (mm) ρs (%) εfu (‰) fco (MPa) Fu (kN) εcc.exp

(‰) C1S50 1 50 1,01 11,00 26,16 1481,5 11,643 C2S50 2 50 1,01 8,78 26,16 1854,7 15,837 C1S25 1 25 2,03 10,63 28,86 1691,5 16,482 C2S25 2 25 2,03 10,65 28,86 2097,4 19,185 Foram realizadas comparações em termos de capacidade resistente dos resultados experimentais com as previsões dos modelos teóricos. Para obter a capacidade resistente por meio dos modelos teóricos calculou-se os ganhos de resistência do concreto devido ao confinamento no núcleo e na região externa ao núcleo. Adotou-se a superposição de pressões laterais de confinamento no núcleo. Adicionou-se aos esforços resistidos pelo concreto o esforço total das armaduras longitudinais (167,3 kN). Na Tabela 17 são apresentados os erros cometidos pelos modelos teóricos na previsão da capacidade resistente.



76

Tabela 17- Comparação - simulações teóricas x resultados experimentais

ρs = 1% ρs = 2% C1S50 C2S50 C1S25 C2S25 Média Modelos teóricos ke espiral Erro (%) ke espiral Erro (%)

Richart et al. (1929) 1,000 6,09 -3,06 1,000 13,89 9,38 6,58 Mander et al. (1988) 0,869 9,97 -2,48 0,951 12,83 4,06 6,10 Cusson & Paultrè (1995) 0,869 -4,60 -17,05 0,951 -2,27 -12,11 -9,01 Razvi & Saatcioglu (1999) 1,000 15,23 4,08 1,000 20,77 13,83 13,48 Miyauchi et al. (1997) 0,869 -2,89 -12,08 0,951 4,02 -1,22 -3,04 Samaan et al. (1998) 0,869 -2,07 -14,55 0,951 -0,60 -10,38 -6,90 Média 4,30 -6,97 Média 8,97 1,12 1,85

A utilização dos modelos teóricos na previsão da capacidade resistente dos pilares ensaiados forneceu bons resultados. Com exceção do modelo de CUSSON & PAULTRÈ (1995), os modelos teóricos desenvolvidos para confinamento com aço obtiveram estimativas um pouco exageradas do ganho de resistência. A utilização de modelos de confinamento para compósitos resultou nas melhores previsões.

6 CONCLUSÕES

Observou-se significativos ganhos de capacidade resistente em todos os pilares reforçados com compósito de fibras de carbono, mesmo naqueles com maiores taxas de armadura transversal. O ganho de capacidade resistente com o encamisamento foi relativamente menor em pilares com maiores taxas de armadura transversal. O aumento da deformação última foi muito elevado nos pilares não armados. Nos pilares armados observou-se que para maiores taxas de armadura transversal ocorreram menores aumentos da ductilidade com o acréscimo do número de camadas de reforço. A deformação de ruptura das fibras de carbono nos pilares foi inferior à dos ensaios de caracterização. Ainda não foi possível identificar todas as variáveis que influenciam a deformação de ruptura das fibras. Observou-se nesta pesquisa que o aumento da taxa de armadura transversal provocou uma redução da deformação de ruptura das fibras, porém seria necessário um número maior de ensaios para comprovar esta influência. A sobreposição das pressões laterais no núcleo confinado demonstrou-se um procedimento adequado, tendo em vista os resultados obtidos com as simulações teóricas. Observou-se que os modelos teóricos desenvolvidos para confinamento com aço tenderam a superestimar o ganho de resistência dos pilares reforçados com compósitos. Existem ainda outros aspectos, como a influência da forma da seção transversal, da excentricidade do carregamento e a deformação de ruptura das fibras, que merecem ser objeto de investigações futuras.



77

7 REFERÊNCIAS

AMERICAN SOCIETY FOR TESTING AND MATERIALS. (1995). ASTM D 3039/ D 3039M - Standard test method for tensile properties of polymer matrix composite materials. Philadelphia.

CARRAZEDO, R. (2002). Mecanismos de confinamento e suas implicações no reforço de pilares de concreto por encamisamento com compósito de fibras de carbono. São Carlos. Dissertação (Mestrado) – Escola de Engenharia de São Carlos – Universidade de São Paulo.

CUSSON, D.; PAULTRÈ, P. (1995). Stress-strain model for confined high- strength concrete. Journal of Structural Engineering, v.121, n.3, p. 468-476, Mar., 1995.

FIORELLI, J.; DIAS, A. A. (2001). Caracterização mecânica de tecido unidirecional de fibras de carbono e fibras de vidro. In: JORNADAS SAM-CONAMET, Possadas - Missiones, Argentina, set.

MANDER, J. B.; PRIETSLEY, M. J. N.; PARK, R. J. T. (1988). Theoretical stress strain model for confined concrete. Journal of Structural Engineering, v.114, p.1804-1827.

MIYAUCHI, K.; NISHIBAYASHI, S.; INOUE, S. (1997). Estimation of strenghtening effects with carbon fiber sheet for concrete column. In: INTERNATIONAL SYMPOSIUM, 3., Tokyo, Japan, Oct. Proceedings… Tokyo, Japan Concrete Institute. v.1, p.217-225.

RAZVI, S. R.; SAATCIOGLU, M. (1999). Confinement model for high-strength concrete. Journal of Structural Engineering, p.281-289, Mar.

RICHART, F. E.; BRADTZAEG, A.; BROWN, R. L. (1929). The failure of plain and spirally reinforced concrete in compression. Bull. n. 190, University of Illinois, Engineering Experimental Station, Urbana, III., 74

SAMAAN, M.; MIRMIRAN, A.; SHAHAWY, M. (1998). Model of concrete confined by fiber composites. Journal of Structural Engineering, v.124, p.1025-1031. SHEHATA, I. A. E. M.; CARNEIRO, L. A. V.; SHEHATA, L. C. D. (2001). Strength of short concrete columns confined with CFRP sheets. Materials and Structures, v. 35.

ISSN 1809-5860


TABULEIRO ORTÓTROPO TRELIÇADO PROTENDIDO TRANSVERSALMENTE PARA

APLICAÇÃO EM PONTES DE MADEIRA Andrés Batista Cheung1 & Carlito Calil Junior2

R e s u m o

Este trabalho apresenta o estudo teórico e experimental do comportamento de placas ortótropas treliçadas protendidas transversalmente, sendo as ligações das barras das treliças com conector de chapas com dentes estampados (CDE), para aplicação em pontes de madeira observando as principais características do sistema como: avaliação do elemento estrutural e do modelo estrutural para verificação dos deslocamentos da placa. Para esta finalidade foram determinadas as propriedades dos materiais, elementos estruturais e níveis de protensão da placa. A avaliação das propriedades elásticas da placa foi realizada utilizando dois modelos numéricos, sendo um baseado no Método dos Elementos Finitos e o segundo em séries de Levy-Nadai. A aferição do modelo proposto foi realizado com o ensaio de um protótipo em escala real. Os resultados indicaram que a placa tem um ótimo comportamento para a utilização em pontes apresentando elevada rigidez e baixo consumo de madeira, e que os modelos propostos apresentaram-se consistentes para aplicação nos sistemas de placas ortótropas treliçadas com ligações de chapas com dentes estampados Palavras-chave: tabuleiro; ortótropo; treliçado; protendido; pontes.

1 INTRODUÇÃO

Para uma adequação da realidade nacional em níveis internacionais de desenvolvimento tecnológico e construção de pontes, é necessária a pesquisa de tecnologias já consagradas em outros países. O sistema protendido transversalmente, originário do Canadá em 1976, vem sendo empregado em países como Austrália, Canadá, EUA, Japão e Europa. No Brasil, os estudos sobre esta nova tecnologia ainda são bastantes recentes e buscam a adaptação tecnológica com madeiras nacionais e de reflorestamento. Porém o sistema laminado protendido transversalmente encontra limitações quanto ao vão (L<10m) devido à dificuldade na obtenção de peças estruturais comerciais com grandes dimensões, e portanto o sistema treliçado protendido

1 Mestre em Engenharia de Estruturas - EESC-USP, [email protected] 2 Professor Titular do Departamento de Engenharia de Estruturas da EESC-USP, [email protected]

Andrés Batista Cheung & Carlito Calil Junior


80

transversalmente torna-se uma alternativa viável na construção de pontes com vãos maiores que 10m. O sistema é leve e de boa característica de resistência e rigidez para uso em pontes industrializadas de madeira. Além destas características, oferece outras vantagens: garantia de segurança, rapidez e economia no custo, possibilitando que os elementos estruturais sejam fabricados em série com produtividade maior que aquela verificada nos sistemas de carpintaria convencionais utilizados nas pontes de madeira no Brasil. Este sistema é constituído por treliças e espaçadores adjacentes uns aos outros que são associados a um sistema de protensão transversal que os mantém unidos apresentando um comportamento de placa ortótropa (Figura 1). Os sistemas protendidos são geralmente constituídos por barras de aço de diâmetros de 16mm à 32mm, laminado a quente de alta resistência (ST 85/105 ou ST 105/125) da Dywidag. Porém outros sistemas de protensão podem ser utilizados como as cordoalhas de aço e fios de fibra de carbono.

TreliçaEspaçador

Barra Dywidag

Figura 1 - Sistema treliçado protendido transversalmente.

Tabuleiro ortótropo treliçado protendido transversalmente para aplicação em pontes...


81

2 OBJETIVOS

Dando continuidade aos estudos já existentes, este trabalho pretende contribuir para o projeto e construção de tabuleiros ortótropos treliçados protendidos transversalmente, investigando o comportamento de placa, por meio de ensaios em protótipo em escala real e ensaios complementares, enfatizando:

1- Comparação dos métodos de classificação em peças com dimensões estruturais;

2- Estudo da rigidez e resistência das ligações de chapas com dentes estampados;

3- Avaliação de esforços e deslocamentos nos elementos estruturais treliçados e proposição de um modelo;

4- Distribuição de carga no tabuleiro treliçado protendido; 5- Elaboração de um protótipo da ponte para a avaliação dos deslocamentos

e esforços; 6- Adequação de um modelo estrutural para a avaliação dos deslocamentos e

dos esforços solicitantes. Para investigar a perda de protensão que é um dos fatores importantes no comportamento da placa ao longo do tempo de serviço, avaliou-se em faixas representativas a influência da chapa com dentes estampados na perda de protensão final do sistema.

3 TABULEIRO TRELIÇADO PROTENDIDO TRANSVERSALMENTE

O sistema treliçado protendido é uma alternativa na construção de pontes de vãos médios de até 15m com seção transversal constante podendo ter várias combinações de geometria. O sistema apresenta elevada rigidez e um comportamento de placa.

Espaçador Treliça

Barras Protensão

CDE

Figura 2 - Arranjo do tabuleiro treliçado protendido transversalmente.

Os estudos de distribuição transversal para pontes treliçadas protendidas não são suficientes para uma formulação mais consistente, afetando principalmente os modelos de análise estrutural que avaliam as tensões dos elementos e deslocamento da estrutura. O modelo sugerido pela AASHTO não apresenta resultados satisfatórios para serem adotados em projetos com este sistema e apresenta-se bastante conservador conforme descrito por RITTER (1992), DAGHER (1995).



82

Evidencia-se nos estudos experimentais admissões de níveis de protensão menores contribuindo para a diminuição da quantidade e diâmetro das barras de protensão. A perda de protensão é uma das desvantagens do sistema e apresenta-se como um importante ponto para a avaliação da estabilização do nível de protensão. Os modelos de Burger e empíricos demonstram-se como os mais adequados para a avaliação da perda de protensão, porém os modelos empíricos são mais aplicáveis devido à facilidade de utilização. O modelo empírico logarítmico é o que representa melhor a estabilização das forças de protensão porque possui a forma da perda de protensão, ou seja, obtêm-se a melhor correlação entre os dados. A industrialização é uma realidade para o sistema com a utilização de espécies de reflorestamento com peças de dimensões comerciais. Os tabuleiros podem ser facilmente pré-fabricados e içados através de guindastes colocando-os sobre os apoios (meso-estrutura).

4 TRELIÇAS COM LIGAÇÕES DE CHAPAS COM DENTES ESTAMPADOS

As ligações com chapas com dentes estampados possuem seu dimensionamento omitido pela NBR 7190:1997 e que confere aos fabricantes o fornecimento e a responsabilidade dos valores de resistência para os diversos modos de ruptura. Porém estabelece métodos de ensaios para determinações destas resistências para três modos de ruptura que são: tração, arrancamento e cisalhamento. Os modelos numéricos que foram utilizados para a consideração da deformabilidade das ligações foram baseados no EUROCODE 5-STEP (1991) e nos ensaios de tração nos conectores. Para a obtenção da rigidez axial (K) tem-se o resultado do ensaio de caracterização da ligação obtida nos ensaios de tração. Para a obtenção da rigidez à rotação é admitida a rigidez por dente de conector e elaborada a proporcionalidade da rigidez a partir de um centro de rotação.

∑=

=n

jjdenteR r.KK

1

2

(1) Considerando a geometria das ligações com CDE, a rigidez rotacional pode ser expressa segundo a expressão de Kessel.

)ee.(KK YYXXdenteR22 µ+µ=

(2)

( )∑=

−=µXm

iYX ,im

1

2504

(3)

( )∑=

−=µYm

jXY ,jm

1

2504

(4)



83

⎥⎦⎤

⎢⎣⎡ +

=2

1YY

nABSm

(5)

C

eX

eY

nY

nX

C

KR K

Figura 3 - Geometria rotacional dos banzos.

C

C

eX

eYnY

nX

KR

Figura 4 - Geometria rotacional das diagonais.

Onde: eX espaçamento dos dentes na direção “x”; ey espaçamento dos dentes na direção “y”; nX número de dentes na direção “x”; ny número de dentes na direção “y”; C centros de rotações.

5 SOLUÇÃO PARA PLACA ORTÓTROPA BI-APOIADA

Para estudar o comportamento do tabuleiro houve a necessidade de investigar a solução de placa ortótropa. É utilizada a solução baseada em séries de Levy-Nadai que foram desenvolvidas por CUSENS & PAMA (1975) para um caso especial de placa bi-apoiada com rigidez na borda livre. A solução apresenta simplicidade sendo utilizada para o desenvolvimento de um programa para a aplicação em pontes treliçadas protendidas transversalmente.



84

6 MODELOS NUMÉRICOS PARA O PROJETO

Pontes treliçadas protendidas transversalmente podem ser modeladas como placa ortótropa, com parâmetros elásticos equivalentes para tamanhos, formas, e materiais constituintes. A complexidade do material anisotrópico de painéis e tabuleiros pode ser reduzida para uma placa equivalente com propriedades elásticas em duas direções principais: paralela (x) e transversal (y) como mostrado na Figura 5. Estas propriedades de placa ortótropa equivalente podem ser diretamente utilizadas no projeto e análise de sistemas de pontes, servindo como simplificação dos modelos segundo ALTIMORRE (1995).

contribuinteEspaçador

Treliça

DY

DX

xy

REAL EQUIVALENTE

DXY

Figura 5 - Transformação da placa em uma equivalente elasticamente.

Porém para a modelagem da placa ortótropa é necessária a obtenção dos parâmetros elásticos equivalentes que são obtidos através da determinação da rigidez da placa ( XYYX DDD ,, ). Uma ótima alternativa é a utilização da transformação da seção caixão multicelular já pesquisada por diversos autores. É importante lembrar que a determinação da rigidez longitudinal seja elaborada com o máximo de refinamento possível, pois a abordagem simplificada do elemento estrutural pode afetar no comportamento global da placa.

A rigidez longitudinal do tabuleiro na direção x é expressa como o somatório da rigidez dos elementos.

TTx DnD = (6)

sendo Tn o número de treliças;

TD a rigidez de cada treliça.

Um valor aproximado para a rigidez na direção transversal, YD , pode ser obtido negligenciando o efeito dos diafragmas transversais e a rigidez obtida pela eq. (7), BROWN (1998).

2

2LthED YY =

(7)

onde YE é o módulo de elasticidade na direção “y”; L é o comprimento da placa; t é a espessura dos banzos;



85

h é a altura da placa entre os centros geométricos da seção. A rigidez torsional da seção multi-celular, GJ, é avaliado pelo fluxo de

cisalhamento em torno da seção transversal de tabuleiros multicelulares. Para uma estrutura onde as diagonais são pequenas quando comparadas as outras dimensões da seção, CUSENS & PAMA (1975) sugerem uma rigidez torsional expressa na eq. (8).

32

322 t)hb(G

hbt.G)bh(GJ XY

XY +++

=

(8) Aplicando a geometria particular do problema pode-se simplifica-la na eq. (9).

32

31 t

b)hb(G

hbt.GbhD XY

XYXY

++

+=

(9)

Para utilizar uma placa equivalente é necessária a obtenção dos novos parâmetros elásticos. Que podem ser obtidos através das eqs. (10), (11) e (12) descritas por TROITSKY (1987) para placa ortotrópica natural ou física.

)(b.t

D)E( YXXYpp

XpX νν−= 112

3

(10)

)(L.t

D)E( YXXYpp

YpY νν−= 112

3

(11)

3

6p

XYpXY t

D)G( =

(12)

Desta forma os parâmetros elásticos pX )E( e pY )E( representam os módulos

elásticos para a placa equivalente ortotrópica, pt é a espessura da placa, pb é a

largura da placa e pL o comprimento da placa.

Assim é proposto como modelo mais adequado para a abordagem do problema a equivalência dos parâmetros elásticos para uma placa de ortotropia natural de solução conhecida. É apresentada a metodologia de transformação adaptada para o caso em questão, resultado de pesquisas de alguns autores como TROITSKY (1987), CUSENS & PAMA. (1975), BROWN (1998) e VELOSO (1999).

7 MATERIAIS E MÉTODOS

Para a utilização de madeiras de reflorestamento neste trabalho houve a necessidade da classificação devido ao alto índice de defeitos contidos nas peças estruturais. Assim foram conduzidos cinco tipos de ensaios de classificações nas



86

peças com dimensões estruturais: classificação visual, estática (MOE), mecânica por tensões (MSR), vibração transversal e ultra-som. Para a avaliação dos elementos estruturais treliçados foi necessário o estudo das ligações com chapas com dentes estampados onde se verificou a rigidez axial e a influência da geometria no modo de ruptura ao arrancamento. Sendo também investigada qualitativamente a deformação lenta dos conectores ao longo do tempo. Também foram efetuados 21 ensaios de flexão de elementos estruturais treliçados para a comparação dos resultados experimentais com os resultados teóricos. Esperando-se propor a melhor modelo para representar os deslocamentos das treliças. Como em todos os sistemas protendidos, os tabuleiros treliçados possuem perdas de protensão sendo uma das desvantagens do sistema. Com isso foram avaliadas através de faixas representativas essas perdas verificando a influência dos conectores na perda de protensão e sugerindo uma expressão de previsão. Como principal objetivo do trabalho foi investigado em uma faixa representativa de escala real diversos fatores como: força de protensão, deslocamentos e distribuição de cargas, através da instrumentação com transdutores de deslocamentos, extensometria e células de carga.

7.1 Classificação das peças com dimensões estruturais

Os lotes da pesquisa passaram por 5 classificações para a avaliação do módulo de elasticidade:

1. classificação visual; 2. classificação mecânica por tensões (MSR); 3. classificação por vibração transversal; 4. classificação por ultra-som; 5. classificação estática.

7.2 Caracterização das ligações

Ensaio dos corpos-de-prova do aço das chapas Os corpos de prova foram realizados com as dimensões sugeridas pela ASTM

E 8/96a para os ensaios de chapas metálicas que é sugerida pela ANSI/TPI (1995). Foi determinada a tensão ao escoamento da chapa, o alongamento total e a resistência dos corpos de prova. Foram ensaiados 20 CP’s, sendo 3 corpos de prova de um outro fabricante que será utilizado para comparação dos resultados.

59, 4

081

59, 4

0

12,5

e

Figura 6 - Corpo de prova do aço do CDE.



87

Ensaio de arrancamento nos conectores ( )oo 00 =β=α e

Para a investigação do comportamento do conector deve-se conhecer a rigidez das ligações e o comportamento quando submetida a diferentes situações. Neste trabalho foram realizados somente ensaios de tração paralela ao eixo com α=0° e β=0°, sendo elaborados 6 ensaios preliminares e 32 ensaios definitivos para avaliar o efeito dimensão do conector na resistência última da ligação. A resistência foi estabelecida para uma deformação específica residual da ligação de 2%o, medida em uma base de referência padronizada, igual ao comprimento da chapa metálica como prescreve a NBR 7190:1997.

7.3 Ensaio dos elementos estruturais

Os testes de flexão estática foram elaborados segundo a norma ASTM D198/84 e a velocidade de 10 Mpa por minuto. Foram determinados os produtos de rigidez (EI) para a caracterização de 21 treliças com banzos paralelos previstos para a confecção da faixa do módulo do protótipo.

cargaCélula de

Cilindro Hidráulico (250kN)

P/2

Rel. 01 Extensômetros

Extensômetros

600

P/2

51

3.812,5

Rel. 02 Rel. 03

Figura 7 - Esquema para flexão estática para determinação do produto de rigidez.

A montagem é apresentada na Figura 8.

(a) (b)

Figura 8 - (a) Prensagem (b) Furação para posterior passagem das barras de protensão.



88

7.4 Ensaio de perda de protensão

Para o entendimento do comportamento final da perda de protensão foi realizado um ensaio em uma faixa para representar a influência da chapa na perda de protensão do tabuleiro protendido treliçado. Foram construídos 5 tabuleiros de 95cmX160cmX20cm na tentativa de controlar melhor as variáveis mais perceptíveis nos corpos de prova de pequena dimensão. Os ensaios foram realizados com Pinus elliotti em uma sala climatizada com umidade de 65% e temperatura de 25ºC com o intuito de fixar as variáveis U e T, representando a classe de umidade 1 da NBR 7190:1997. Foi aplicada uma tensão de 0,7 Mpa e não foram feitas reprotensões para a avaliação da perda protensão total e a tensão de estabilização do tabuleiro.

CP 1

CP 2

Relação (área de contato CDE/área da madeira)0,18

Célula de carga(250kN)

Ø 16mmBarra Dywidag

60

160

20

95

Cél

ula

de c

arga

(25 0

kN)

DT

DT (250kN)Célula de carga

0,074Relação (área de contato CDE/área da madeira)

14.5

19.75

7.2516

20

Controle ( sem chapas )

Célula de carga(250kN)DT

CP 3

Barra DywidagØ 16mm

Ø 16mmBarra Dywidag

DT

DT

DT

Figura 9 - Esquema da instrumentação da faixa de perda de protensão.

Para quantificar a distribuição de carga foi construída e instrumentada uma faixa da ponte em laboratório, para a realização de simulação do trem-tipo com o auxílio de cilindros hidráulicos. A faixa com 143,5cm de largura por 600cm de comprimento, foi composta por 21 treliças e 20 espaçadores. A instrumentação e o esquema de carregamento são apresentados nas Figuras 10, 11 e 12.

EXTENSÔMETROS

147147

(12 e 9)

(11 e 8)

(10 e 7)

147147

(2 e 5)

(3 e 6)

(1 e 4)

Figura 10 - Localização dos extensômetros elétricos.



89

147147

10

11

12

7272

147147

139

54321

876

14

15

TRANSDUTORES DE DESLOCAMENTOS Figura 11 - Posicionamento dos transdutores de deslocamento (DT's).

Figura 12 - Posições de carregamento distribuído, centrado e excêntricos.

8 ANÁLISES DOS RESULTADOS

8.1 Classificação das peças com dimensões estruturais

Os dados da Tabela 1 representam o módulo de elasticidade, sob 4 tipos de tratamentos: Classificação por tensões (MSR), Classificação por Vibração Transversal, Classificação por Ultra-som. A Classificação Visual para efeito de análise não foi analisado, pois é assunto de outra dissertação de mestrado. Tabela 1 - Resumo das classificações

Média 555,8 13,1 13,2 13,1 13,9Desvio Padrão 91,9 5,0 4,0 4,1 4,1

COV (%) 17% 38% 30% 31% 29%

Módulos de Elasticidades (GPa)ρ(kg/m³) MSR Vibração

transversal Estático Ultra-som



90

Tabela 2 - Análise de variância Fonte de Variação SQ gl QM Fcal p

Entre Classificação(Madeira)

0,184 3 0,061 3,350 0,018

Dentro das Classificações(Resíduos) 40,913 2244 0,018

Assim, pode-se testar que as médias dos três tratamentos não são iguais, sendo assim, considerar o seguinte teste de hipóteses, em termos dos efeitos de tratamentos:

⎩⎨⎧

≠τ

=τ==τ=τ

iumamenospeloparaHH

t

k

,0:0:

1

210 L

(13) Portanto, para um nível de significância 05,0=α . A hipótese deve ser rejeitada se calF > tabF , )();1(;05,0 knkcal FF −−> , isto é, a região de rejeição é )();1(;05,0: knkcal FFR −−> , assim da tabela F com (4-1) = 3 graus de liberdade e (2244-3) = 2241 graus de liberdade, tem-se 60222413050 ,F );(;, = , isto é, a região de rejeição é 602,F:R cal > .

Dos dados observados, a estatística do teste, com objetivo de rejeitar ou não a hipótese nula dos tratamentos é dada pela razão calF , isto é:

353018200610 ,

,,=Fcal =

(14)

Decisão estatística: Como 602353 ,,Fcal >= rejeitar 0H ao nível de significância 05,0=α .

De acordo com os dados a um nível de significância de 05,0=α , pode-se concluir que existe evidência estatística de que os 4 tipos de tratamentos produzem resultados de módulos médios diferentes. Observe que, considerando o p-valor da Tabela 12 e um nível 05,0=α , se obtém as mesmas conclusões, para tratamentos, isto é, rejeita-se 0H . Neste caso o p-valor de tratamentos é 0,000. Lembrando que, rejeita-se 0H se o p-valor do teste é menor que um nível α ( 05,001,0 <α< ).

Portanto, para verificar quais são as médias que diferem entre si, utiliza-se o método de Tukey para verificação de todos os tratamentos. a) Teste de Tukey. Em geral, os resultados das comparações múltiplas pareadas ( k médias) são apresentados em uma tabela, tal como é ilustrado na Tabela 3.



91

Tabela 3 - Comparação múltiplas pareadas para as médias

-0,0330

0,0084-0,0210 -0,00880,0203 0,0326

-0,0424* -0,0301 -0,042*-0,0010 0,0112 -0,0007

Vibraçãotransversal

Estático

Ultra-som

IC 95% (yi-yj) MSR Vibraçãotransversal Estático

As diferenças estatisticamente significantes estão destacadas na Tabela 3 com asterisco (*). Isto é, existe diferença estatisticamente significativa da classificação utilizando o ultra-som quando se compara a média do estático com o MSR. Porém percebe-se pelo teste F e pelo teste de Tukey que as médias estão muito próximas e que o limite superior dos intervalos de confiança do ultra-som podem se admitidos como 0 e sendo assim não existe diferença estatisticamente significativa entre as classificações. As análises demonstraram que os métodos apresentam-se como ótima alternativa de classificação de madeiras. O melhor desempenho foi da classificação por vibração transversal apresentando a menor dispersão e o melhor ajuste. Nos ajustes foi necessária a transformação dos dados para a escala logarítmica na base “e” pois os dados não apresentavam normalidade obtendo assim uma normalidade aproximada. Os demais métodos apresentaram resultados satisfatórios e confiáveis, sendo que o ultra-som apresentou resultados melhores que a classificação por tensões (MSR). Determinou-se os intervalos de previsão para um nível de confiança ( )α de

%95 para visualizar as dispersões dos resultados quando comparados com o modelo estatístico proposto.

8.2 Ensaio dos corpos-de-prova do aço das chapas

As chapas da GANG-NAIL apresentaram uma dispersão maior nos resultados possuindo um coeficiente de variação superior aos da chapa da COFAR. As chapas da COFAR apresentaram uma homogeneidade e resistência maior. Contudo o alongamento da chapa COFAR apresentou resultados inferiores (Figura 67) aos recomendados pela ASTM A446 Grau A que é um alongamento superior a 20%. O alongamento é o principal parâmetro na distribuição dos esforços em todos os dentes dando uma homogeneidade na ligação e caracterizando uma ruptura dúctil do elemento estrutural, ou seja, representa a ductibilidade do material. A chapa da GANG-NAIL apresentou as propriedades superiores a exigência da ASTM A446 Grau A, com tensões características MPa,f yk 8257= e

MPa,f média,ruptura 5315= com um alongamento de 21,1%.



92

A chapa da COFAR apresentou as propriedades de resistências superiores a exigência da ASTM A446 Grau A, com tensões características MPa,f yk 0554= e

MPa,f média,ruptura 5558= porém apresentou um alongamento 5,5% inferior ao

recomendado. Contudo o número de corpos-de-prova foi muito pequeno não podendo concluir a respeito das propriedades mecânicas da chapa COFAR. As Figuras 13 e 14.

0

100

200

300

400

500

600

0,00 0,05 0,10 0,15 0,20εmm/mm

σ (M

pa)

GANG-NAIL (G80)

COFAR

Figura 13 - Posições de carregamento distribuído, centrado e excêntricos.

8.3 Ensaio de arrancamento nos conectores ( oo e 00 =β=α )

Os 32 ensaios restantes foram realizados para investigar o fator dimensão na resistência ao arrancamento. Com isso fez-se testes estatísticos (ANOVA) para o estudo das médias comparando conectores de dimensões diferentes em ensaio de tração. Foi utilizada a máquina de tração Metriguard com capacidade de 890 KN com velocidade de carregamento recomendada pela NBR 7190:1997.

(a) (b)

Figura 14 - (a) Máquina de tração em peças estruturais (b) Esquema do ensaio realizado. A análise residual indicou que o modelo da distribuição normal é adequado para análise dos dados, sendo assim, a tabela de análise de variância pode ser utilizada para fazer inferências.



93

Tabela 4 - Análise de variância

Fonte de variação SQ gl QM Fcal p

Entre as ligações 0,01441 1 0,0144 18,03 0,00

Dentro das ligações (Resíduos). 0,02398 30 0,0008

Total 0,03838 31 Com os dados pode-se testar que as médias dos três tratamentos não são iguais, sendo assim, considerar o seguinte teste de hipóteses, em termos dos efeitos de tratamentos:

⎩⎨⎧

≠τ

=τ==τ=τ

iumamenospeloparaHH

t

k

,0:0:

1

210 L

(15) Assim, para um nível de significância 05,0=α . A hipótese deve ser rejeitada se calF > tabF , )();1(;05,0 knkcal FF −−> , isto é, a região de rejeição é )();1(;05,0: knkcal FFR −−> , assim da tabela F com (4-1) = 1 graus de liberdade e (32-1) = 31 graus de liberdade, tem-se 174311050 ,F );(;, = , isto é, a região de rejeição é 174,F:R cal > .

Dos dados observados, a estatística do teste, com objetivo de rejeitar ou não a hipótese nula dos tratamentos é dada pela razão calF , isto é:

031800079001440 ,

,,=Fcal =

(16)

Decisão estatística: Como 1740318 ,,Fcal >= rejeitar 0H ao nível de significância 05,0=α .

De acordo com os dados a um nível de significância de 05,0=α , pode-se concluir que existe evidência estatística de que os 2 tipos de tratamentos produzem resultados de resistências médias diferentes. Observe que, considerando o p-valor da Tabela 4 e um nível 05,0=α , se obtém as mesmas conclusões, para tratamentos, isto é, rejeita-se 0H . Neste caso o p-valor de tratamentos é 0,000. Lembrando que, rejeita-se 0H se o p-valor do teste é menor que um nível α ( 05,001,0 <α< ).

Isto é, a tensão de arrancamento decresce à medida que se aumenta o número de dentes do conector evidenciando o efeito de grupo nos dentes. Os ensaios mostraram que a chapa 10,7x23,8cm apresentou 79,5% da tensão de arrancamento médio da chapa 10,7x13,7cm. Comprovando estatisticamente que existe diferença significativa entre as médias na tensão de arrancamento utilizando o teste estatístico “F” com um nível de significância de 5% e apresenta tensões características de

dente/kN,f k,a 1490= para a chapa 10,7x13,7cm e dente/kN,f k,a 1280= para a chapa 10,7x23,8cm.



94

8.4 Ensaio dos elementos estruturais

Os resultados teóricos obtidos através da modelagem sugerida para a consideração da deformabilidade das ligações mostraram-se como uma ótima alternativa. Na Figura 15 são apresentadas quatro (4) modelagens distintas: banzos contínuos e diagonais articuladas (sem deformabilidade das ligações – Tipo 1), banzos contínuos e diagonais articuladas com ligação dos banzos articuladas (Tipo 2), pórtico (Tipo 3) e banzos contínuos com deformabilidade das ligações (Tipo 4). A Figura 15 indica que a abordagem de treliça ou pórtico sem a influência da deformabilidade das ligações apresenta resultados incompatíveis quando comparados aos resultados experimentais obtidos. Assim, após várias simulações optou-se pelo modelo que computa a rotação das diagonais com relação ao banzo e a deformabilidade axial das emendas dos banzos. Fica evidente que o modelo sugerido avalia os deslocamentos com uma melhor acurácia .

0

2

4

6

8

10

12

14

0 50 100 150 200 250 300 350 400 450 500 550comprimento (cm)

desl

ocam

ento

(mm

)

Tipo 1Tipo 2Tipo 3Tipo 4Experimental

Figura 15 - Deslocamentos experimentais e numéricos da treliça 08.

A investigação indicou que do modelo Tipo 2 (diagonais articuladas e emendas de banzo articuladas) apresentou uma diferença de 20% nos deslocamentos quando comparados com o resultado experimental. Já o modelo proposto apresenta uma diferença de 1,9% nos deslocamentos quando comparados com os resultados experimentais obtidos para a treliça 08, como mostrado na Figura 15. Desta forma, para analisar a importância da deformabilidade nas emendas dos banzos foi elaborado um segundo modelo sem a consideração da mesma, levando em consideração apenas a deformabilidade rotacional das diagonais. Foram realizadas simulações para os quatro tipos de carregamento para todas as 21 treliças confeccionadas. Posteriormente foi aplicado um teste estatístico para comparar os dados. Para verificar a contribuição da deformabilidade nas emendas dos banzos, foi feita uma análise estatística para cada carregamento entre o experimental e os dois modelos utilizados na análise. E ficou evidente que o melhor modelo para o carregamento de 12 kN é o modelo do tipo 2. Assim conclui-se que à medida que a força aumenta o modelo 1 fica menos representativo e o modelo 2 torna-se compatível, ou seja, a deformabilidade axial tem influência significativa para esforços mais elevados. Sendo assim o modelo 2 é mais adequado, pois é a favor da



95

segurança e mesmo não sendo estatisticamente compatível para pequenos esforços apresenta resultados bons para avaliação de deslocamentos em elementos estruturais treliçados (CDE).

8.5 Ensaio de perda de protensão

Os ensaios foram conduzidos em duas etapas devido ao espaço físico na sala climatizada, sendo 5 o total de faixas ensaiadas (2 CP1, 2 CP2 e 1 CP3) conforme descrito no item 7.4. O nível utilizado foi de 0,70 Mpa, pois é recomendado para projetos de sistemas protendidos. As Figuras 16 e 17 apresentam apenas os comportamentos de duas faixas, pois para a análise completa das perdas de protensão serão ajustados através da expressão logarítmica empírica.

b)tln(.aPP

+=0

(17) O método utilizado é o dos mínimos quadrados que consiste em minimizar a

função objetivo eq.(17), sendo a variável dependente a perda de protensão ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

0PP

e a

variável independente (t) o tempo em dias e (d) o desvio, resíduo ou erro.

mínimod...dd n =+++ 222

21

(18)

0,50

0,55

0,60

0,65

0,70

0,75

0,80

0,85

0,90

0,95

1,00

0 10 20 30 40 50 60Dias

P/Po Barra 1

Barra 2

Barra 3

Figura 16 - Avaliação da perda de protensão tipo CP1.



96

0,50

0,55

0,60

0,65

0,70

0,75

0,80

0,85

0,90

0,95

1,00

0 10 20 30 40 50 60Dias

P/Po

Barra 9

Barra 8

Barra 7

Figura 17 - Avaliação da perda de protensão tipo CP2.

A Tabela 5 apresenta resumidamente os 5 ensaios realizados nas faixas, sendo que os ensaios 1 e 2 apresentam CDE’s maiores que os ensaios 3 e 4. Já no ensaio 5 o tabuleiro é protendido sem a presença de CDE’s. Tabela 5 - Resultados da perda de protensão nas faixas representativas

nº TIPO barraPerda de

protensão (3dias)

Desloc. Tabuleiro

tempo: 3 dias (mm)

Perda de protensão

(7dias)

Desloc. Tabuleiro

tempo: 7 dias (mm)

Perda de protensão (60dias)

Desloc. Tabuleiro

tempo: 60 dias (mm)

1 15,90% 19,99% 36,51%2 16,90% 20,97% 34,91%3 14,40% 18,30% 36,46%4 14,80% 17,50% 26,20%5 16,30% 19,20% 27,50%6 11,50% 13,90% 22,60%7 13,44% 16,24% 34,02%8 18,39% 21,34% 36,36%9 18,13% 20,98% 38,38%10 13,90% 16,40% 25,10%11 15,10% 18,10% 26,60%12 10,00% 12,50% 21,80%13 22,40% 25,50% 32,80%14 17,90% 21,20% 26,70%15 18,10% 21,40% 29,00%

(+) Encurtamento do tabuleiro(-) Alongamento do tabuleiro

CP3

1

2

3

4

5

CP1

CP1

CP2

CP2

0,53 0,75 1,90

0,700,44-0,12

-0,35-0,38 0,86

0,36 0,93

0,71 1,02 2,09

0,40

Devido o número de corpos-de-prova ser pequeno, foram analisados os resultados através das médias. Observa-se que a barra central possui uma perda de protensão maior que as barras das extremidades e que quando se compara os ensaios 1,2 e 5 nota-se que as perdas seguem a mesma tendência. A investigação



97

demonstrou que a faixa tem metade de suas perdas nos três primeiros dias, e apresentaram uma perda média de 30% no valor de protensão inicial em 60 dias. Verifica-se que o efeito de deformação lenta no tabuleiro quando submetido a tensões normais é importante na avaliação da perda de protensão, pois todos os tabuleiros apresentaram deslocamentos e que foram determinados através de 2 transdutores de deslocamento. Pode-se visualizar que os ensaios 1 e 3 apresentaram perdas de protensões próximas e deslocamentos também muito próximos. As faixas com conectores apresentaram uma perda de protensão 18,30% maior que a faixa sem conectores, porém o aumento da área de conectores representou um acréscimo da perda de protensão em relação ao ensaio 3 em 0,82% e que pode ser desprezado.

Após o ajustamento das curvas logarítmicas para cada barra, foi realizado um ajustamento com os dados médios dos ensaios 1 e 3 que resultaram na eq. (19).

)(f,)tln(.,PP

ε++−= 879004500

(19)

Onde ( )εf é a função do erro. Para fins práticos de aplicação foi considerado que o erro tem um comportamento normalizado, ou seja, segue uma distribuição normal apesar da não realização de um teste de normalidade devido ao pequeno número de corpos-de-prova. Assim pode-se dizer que como a variância é constante e a média dos resíduos tende a zero ( ) 0=εf . Podendo ser utilizado na estimativa das perdas nos tabuleiros treliçados a eq. (20).

879004500

,)tln(.,PP

+−=

(20)

8.6 Protótipo

A montagem do protótipo é semelhante à montagem do tabuleiro de uma ponte treliçada protendida transversalmente e é apresentada nas Figuras 102,103 e 104, com os detalhes de protensão do protótipo e equipamentos utilizados para instrumentação conforme descrito no item 7.6.

Figura 18 - Montagem por justaposição das treliças e espaçadores.



98

Figura 19 - Aplicação de protensão no protótipo através de bomba manual. Alguns cuidados são fundamentais na elaboração destas etapas:

1. Deve ser mantida a verticalidade dos elementos, para não ocorrer tombamento progressivo dos elementos estruturais;

2. A força de protensão deve ser aplicada de forma gradativa e alternada ao longo do tabuleiro e a estabilização do nível de protensão é um processo iterativo;

3. Deve-se fazer a protensão no sentido centro do vão para extremidades para evitar diminuição das extremidades da placa;

4. As barras de protensão devem ser colocadas na montagem, evitando problemas na passagem das barras posteriormente;

5. É recomendada a proteção das barras por intermédio de bainhas de PVC imersos em graxa, para evitar o contato direto com a madeira tratada;

A furação deve ser adequada para possíveis erros de furação nos banzos, geralmente o furo deve ser de no mínimo BARRA.φ2 .

Foram efetuados 4 tipos de posicionamento de carregamento sendo mostrados na Figura 20 e 21, porém para a análise das variações das forças de protensão serão importantes somente às variações obtidas no carregamento centrado e no carregamento excêntrico.

Figura 20 - (a) Carregamento centrado (b) Carregamento excêntrico.



99

Figura 21 - (a) Carregamento direito (b) Carregamento distribuído. Nível de protensão Em todos os ensaios do protótipo as barras de protensão foram monitoradas com o intuito de controlar e identificar as forças de protensão atuantes, investigando 11 barras de um total de 12 barras devido à limitação na aquisição de dados do sistema. A Tabela 6 mostra os níveis obtidos nos ensaios e o controle da força de protensão nas barras monitoradas com células de carga e observa-se que os níveis obtidos nos ensaios foram muito bons e próximos dos idealizados. Tabela 6 - Níveis de protensão obtidos nos ensaios do protótipo

CondiçãoCarregamento

idealizado 0,000 0,050 0,100 0,150 0,200 0,350 0,500centrada 0,000 0,055 0,110 0,168 0,197 0,363 0,491

direita 0,000 0,055 0,104 0,160 0,195 0,362 0,502esquerda 0,000 0,053 0,103 0,168 0,195 0,360 0,473distribuída 0,000 0,056 0,109 0,168 0,198 0,362 0,482

média 0,000 0,054 0,105 0,163 0,197 0,360 0,490

Nível de protensão(MPa)

A investigação indicou um comportamento de placa ao longo da seção transversal ficando evidente pelos deslocamentos apresentados na Figura 22. Observa-se que os deslocamentos diminuem à medida que se eleva o nível de protensão, porém os ganhos de rigidez tendem a estabilizar com baixas tensões de protensão quando comparados aos tabuleiros protendidos laminados serrados.

A Figura 23 apresenta a diminuição da taxa de distribuição ( iβ ) à medida que se eleva o nível de protensão para os elementos em baixo do carregamento e uma elevação da taxa de distribuição para os elementos afastados do carregamento.



100

0,00

0,05

0,10

0,15

0,20

0,25

0,30

0,35

0 20 40 60 80 100 120 140Distância da borda direita (cm)

βi

0 MPa0,054MPa0,105 MPa0,163 MPa0,197 MPa0,360 MPa0,490 MPa

σpi

-10,0

-9,0

-8,0

-7,0

-6,0

-5,0

-4,0

-3,0

-2,0

-1,0

0,00 20 40 60 80 100 120 140

Distância da borda direita (cm)

Des

loca

men

to n

o m

eio

do v

ão (m

m)

0 MPa0,054MPa0,105 MPa0,163 MPa0,197 MPa0,360 MPa0,490 MPa

262% σpi

(a) (b)

Figura 22 - (a) Distribuição de cargas (b) Deslocamentos com P=50kN para carregamento centrado.

0,12

0,14

0,16

0,18

0,20

0,22

0,24

0,26

0,28

0,30

0,000 0,100 0,200 0,300 0,400 0,500σpi (MPa)

βi

P= 50kNP=100kNP=150kN

0,00

0,02

0,04

0,06

0,08

0,10

0,12

0,14

0,000 0,100 0,200 0,300 0,400 0,500σpi (MPa)

βi

P= 50kNP=100kNP=150kN

(a) (b)

Figura 23 - (a) Taxa de distribuição na posição 71,8cm (b) Taxa de distribuição na posição 35,9cm para carregamento centrado.

Comparação do modelo proposto com os resultados experimentais Para a validade dos modelos propostos, é necessária uma análise mais refinada com o objetivo de comparar os resultados obtidos experimentalmente com os resultados numéricos obtidos através do modelo proposto para avaliação das pontes protendidas através de transformação em placa equivalente. Foram utilizados dois programas para o cálculo dos deslocamentos da placa equivalente (SAP2000N e o AEP2.0). O SAP2000N é um software baseado no método dos elementos finitos, onde o elemento utilizado será o do tipo Shell com ortotropia. O elemento de SHELL é usado para modelar estruturas planas ou tridimensionais com comportamento de casca, membrana ou placas. O elemento de casca é montado a partir de três ou quatro nós que combina separadamente os comportamentos de membrana e de flexão de placas. Os elementos de quatro nós não necessariamente precisam ser co-planares. Para o comportamento de placas à flexão, existe um componente rotacional de rigidez nas duas direções fora do plano, e um componente translacional de rigidez na direção normal do plano do elemento.



101

Para cada elemento de SHELL na estrutura, pode-se escolher entre modela-lo como um elemento puro de membrana, placa ou comportamento total de casca. Normalmente, é recomendado que se use o comportamento de casca, a menos que toda estrutura seja plana e esteja adequadamente restringida. Como em todos elementos, ele possui seu próprio sistema de coordenadas, para definição das propriedades do material e direções das cargas, e interpretação dos resultados. Cada elemento pode ser carregado por gravidade e cargas uniformes em qualquer direção atuando na superfície, além de cargas devido a variações de temperatura. É utilizada uma formulação de integral numérica de 8 (oito) pontos para a rigidez dos elementos.

FACE 1FACE 3

FACE 4

EIXO 2

J3 J1

FACE 2

EIXO 3

J4

EIXO 1

FACE 3

J1

FACE 1

J2 J3

EIXO 2 EIXO 3

FACE 2

EIXO 1

J2

Figura 24 - Sistema local de coordenadas para o elemento tipo SHELL.

Para a simulação foi utilizado o elemento do tipo SHELL com sua formulação baseada em placas (Plate) com influência da cortante (Thick). O AEP 2.0 é um programa baseado na formulação de placa ortótropa de Huber e sua resolução segue a metodologia sugerida por CUSENS & PAMA (1975) descrita no trabalho de CHEUNG (2003). O problema principal consiste em determinar as propriedades elásticas do tabuleiro sem a necessidade da realização de ensaios de placa em laboratório. Assim analisar-se-á primeiramente a obtenção da rigidez longitudinal através dos modelos sugeridos no item 6.

Características geométricas do protótipo

5012

.5

143.5

Figura 25 - Geometria do protótipo.



102

Tabela 7 - Dados geométricos

30,0143,5587,512,537,5

Espessura dos banzosAltura das treliças CG

Geometria (cm)

Comprimento da placa

Espessura da placa equivalenteLargura de placa

Tabela 8 - Coeficientes de rigidez propostos pelo modelo

Parconector geometria K

(kN/mm)Kdente

(kN/mm)KR

(kN/rad)10,7x13,7 fig. 87 101,6 5,6 7206,723,8x10,7 fig. 88 179,6 5,4 19684,7

Rigidez longitudinal ( )XD

Para a análise dos deslocamentos da treliça utilizar-se-á o modelo proposto no item 6.0 e que considera a deformabilidade das ligações. Os coeficientes de rigidez das ligações utilizados serão aqueles obtidos pelos modelos sugeridos e fornecidos na Tabela 7. O módulo de elasticidade dos banzos e das diagonais será a média de todos os banzos utilizados no protótipo e de todas diagonais e é dado pelas eqs. (21) e (22).

MPa ,E )BANZOS(M 014108=

(21)

MPa ,E )DIAGONAIS(M 013994=

(22)

daNFcmu 9,31955,0 =→=∆ (23)

Da eq. (24) obtêm-se TD .

2T daN/cm 094,32ED +=

(24) Aplicando a eq. (6).

2X daN/cm 09E,D += 7690

(25) Para comparar a rigidez obtida pelo modelo utiliza-se o ensaio de carregamento distribuído expresso na Tabela 9.



103

Tabela 9 - Resultados do carregamento distribuído

5000 10000 15000

0 0,265 0,558 0,873 7,98E+100,054 0,226 0,428 0,632 9,34E+100,105 0,216 0,416 0,611 9,77E+100,163 0,216 0,413 0,607 9,77E+100,197 0,228 0,432 0,63 9,25E+100,36 0,232 0,433 0,626 9,11E+100,49 0,242 0,455 0,648 8,71E+10

Média 9,13E+10

Nív

el d

e pr

oten

são σpi

(MPa)Dx

(daN.cm²)

Força (daN)

Deslocamentos (cm)

O valor obtido pelo modelo sugerido é 0,05% menor que o valor médio obtido pelo ensaio de carregamento distribuído ao longo da seção transversal, isto demonstra que o modelo proposto para a avaliação dos deslocamentos da treliça é adequado para a avaliação da rigidez longitudinal do tabuleiro.

Rigidez transversal ( )YD

A rigidez transversal pode ser estimada pela eq. (7), porém para a aplicação da equação é necessária a obtenção do YE . Sugere-se então a expressão obtida por OKIMOTO (1997) em seu trabalho experimental de ensaio de placas, que avalia a rigidez transversal com o nível de protensão do tabuleiro (Tabela 10). Para comparação dos resultados serão sugeridos 3 níveis de protensão utilizados no ensaio do protótipo, e com isso determinar-se-á os coeficientes de rigidez transversais. Tabela 10 - Resultados dos coeficientes de rigidez transversal

σpi(Mpa)

EY(daN/cm²)

DY(daN.cm²)

0,105 231,9 1,20E+090,163 329,3 1,70E+090,197 386,3 1,99E+09

Rigidez torsional ( )XYD

A rigidez torsional pode ser estimada pela eq. (9), porém para a aplicação da equação é necessária a obtenção do XYG . Sugere-se então a expressão obtida por OKIMOTO (1997) em seu trabalho experimental de ensaio de placas, que avalia a rigidez transversal com o nível de protensão do tabuleiro (Tabela 11). Para comparação dos resultados são sugeridos 3 níveis de protensão utilizados no ensaio do protótipo, e com isso determinar-se-á os coeficientes de rigidez torsionais.



104

Tabela 11 - Resultados dos coeficientes de rigidez torsionais

σpi(Mpa)

GXY(daN/cm²)

DXY(daN.cm³/cm²)

0,105 179,6 2,65E+060,163 232,3 3,43E+060,197 263,3 3,89E+06

Transformação dos coeficientes de rigidez em propriedades elásticas equivalentes Para a avaliação dos deslocamentos e esforços na placa é necessária a transformação dos coeficientes de rigidez em propriedades elásticas de uma placa de espessura constante. Esta espessura deve ser escolhida arbitrariamente de forma que na transformação as propriedades transformadas dependerão da espessura adotada. Para transformação serão utilizadas as eqs. (10), (11) e (12) contidas no Capítulo 6, e serão mostradas em forma de tabela variando com o nível de protensão. Tabela 12 - Resultados da placa transformada

σpi(Mpa)

EX(P)(daN/cm²)

EY(P)(daN/cm²)

GXY(P)(daN/cm²)

0,105 281124,5 905,8 588,80,163 281124,5 1286,2 761,90,197 281124,5 1509,2 863,4

Resultados experimentais vs. resultados numéricos (SAP e AEP) Os resultados foram obtidos utilizando 3 carregamentos centrados (50kN,100kN e 150kN) para as simulações com elementos finitos SAP e AEP 2.0 (solução em séries). Para a solução em elementos finitos será apresentada a discretização da placa mostrando os elementos Shell (tipo plate) posicionados.

Figura 24 - Discretização da faixa em elementos finitos do tipo SHELL (elemento plate).



105

Figura 25 - Deformada e diagrama de tensões na direção longitudinal.

Tabela 13 - Resultados das comparações teórico vs. experimental para MPa,pi 1050=σ

0,0 17,9 35,9 53,8 71,8 89,7 107,6 125,6 143,5

Experimental -1,9 -1,9 -2,3 -2,8 -3,0 -2,5 -2,0 -1,5 -1,3SAP2000N -1,5 -1,9 -2,3 -2,7 -2,9 -2,7 -2,3 -1,9 -1,5

AEP 2.0 -1,5 -1,9 -2,4 -2,4 -2,9 -2,4 -2,4 -1,9 -1,5


AEP 2.0 -2,9 -3,9 -4,7 -4,8 -5,9 -4,8 -4,7 -3,9 -2,9


AEP 2.0 -4,4 -5,8 -7,1 -7,2 -8,8 -7,2 -7,1 -5,8 -4,4

P=50kN

P=100kN

P=150kN

Distâncias da borda direita (cm)

Deslocamento vertical transversal (mm)


0,0 17,9 35,9 53,8 71,8 89,7 107,6 125,6 143,5


AEP 2.0 -1,7 -2,0 -2,3 -2,4 -2,8 -2,4 -2,3 -2,0 -1,7


AEP 2.0 -3,3 -4,0 -4,6 -4,8 -5,6 -4,8 -4,6 -4,0 -3,3


AEP 2.0 -5,0 -6,1 -6,9 -7,1 -8,3 -7,1 -6,9 -6,1 -5,0

P=50kN

P=100kN

P=150kN





106


0,0 17,9 35,9 53,8 71,8 89,7 107,6 125,6 143,5


AEP 2.0 -1,8 -2,1 -2,3 -2,4 -2,7 -2,4 -2,3 -2,1 -1,8


AEP 2.0 -3,5 -4,1 -4,5 -4,7 -5,5 -4,7 -4,5 -4,1 -3,5


AEP 2.0 -5,3 -6,2 -6,8 -7,1 -8,2 -7,1 -6,8 -6,2 -5,3

P=50kN

P=100kN

P=150kN



Os modelos numéricos apresentaram-se próximos dos resultados experimentais, sendo que os melhores resultados foram obtidos para um nível de protensão de 0,1 Mpa apresentando diferenças de 5%. Além disso para 0,1 Mpa a rigidez transversal estabiliza com baixos níveis de protensões e a rigidez encontrada no modelo aumenta à medida que se aumenta os parâmetros elásticos YE e XYG que são obtidas pelas expressões sugeridas por OKIMOTO (1997). Portanto conforme pode ser observado os resultados obtidos pelo SAP e pelo AEP são da mesma ordem de grandeza e considerando o trabalho necessário para a modelagem no SAP, recomenda-se a utilização do modelo proposto no AEP 2.0. Portanto, o modelo proposto que foi sugerido e investigado mostra-se como uma ótima alternativa de avaliação de deslocamentos e esforços como pode ser observado nos resultados obtidos e o programa AEP 2.0 mostrou-se como uma das alternativas na avaliação dos deslocamentos.

9 CONCLUSÕES

O sistema em tabuleiros ortótropos treliçados protendidos apresentam-se como uma ótima alternativa na aplicação em pontes utilizando madeiras de reflorestamento para confecção do sistema estrutural. O sistema possui uma modulação que pode ser facilmente utilizada para industrialização das pontes de madeira e uma solução para demanda de reconstrução e substituição destas no Brasil. Como o sistema utiliza-se de madeiras de reflorestamento é necessária uma classificação adequada devido à presença de defeitos. O trabalho mostrou que os métodos de classificação existentes são adequados para a estimativa do módulo de elasticidade em peças estruturais e identificou que a vibração transversal apresenta os melhores resultados quando comparados aos métodos analisados. Porém cada



107

método possui sua característica e vantagem como: automação, praticidade e mobilidade. Os ensaios no protótipo mostraram que o um sistema é bastante rígido o que melhora o desempenho do revestimento do tabuleiro com pavimentos flexíveis ou rígidos eliminando as fissuras evidenciadas nos tabuleiros protendidos serrado e laminado colado (MLC). A perda de protensão no sistema não é um problema de grande preocupação. A influência da chapa na perda de protensão foi percebida mais apresentou pouca variação quando comparada ao tabuleiro de controle (tabuleiros sem conectores). Nas ligações evidenciou-se que o tamanho dos conectores influencia a resistência final ao arrancamento, pois surgem efeitos de grupo e alinhamento dos dentes que reduzem a resistência. O sistema apresentou um comportamento de placa ortótropa e evidenciou a necessidade de um nível menor de protensão devido sua grande rigidez longitudinal e transversal quando submetida a níveis baixos de protensão. Recomenda-se que o nível de projeto para o sistema seja de no mínimo 0,1 Mpa, pois com este nível o sistema já apresenta grande capacidade de distribuição de cargas e mobiliza deslocamentos em toda seção transversal como pode ser visualizado nos ensaios realizados. Desta maneira o sistema apresenta uma economia no número e seção das barras de protensão. É recomendada a utilização de peças de alta densidade nas regiões de ancoragem devido ao problema de empenamento apresentado no protótipo quando este foi submetido a altas tensões de protensão. O modelo proposto para avaliação da rigidez das treliças utilizando CDE’s, computou a deformabilidade das emendas de banzos e das diagonais com os banzos devido à excentricidade das diagonais que convergem no “nó”. O modelo mostrou-se adequado e adota para a estimativa da rotação o modelo sugerido no STEP 5 partindo da rigidez axial avaliada no ensaio de ligação. Os resultados apresentaram diferenças (2-15%) já que a variabilidade da rigidez no nó causa perturbações no modelo, e a rigidez axial foi admitida como sendo a média dos ensaios realizados para cada tipo de conector e que apresentaram coeficientes de variação conector (10,7x23,8cm) CV=21% e (10,7x13,7cm) CV=26%. O modelo proposto para o tabuleiro adota uma transformação da placa real em uma placa equivalente com parâmetros elásticos compatíveis para a equivalência da rigidez da placa. Os resultados apresentaram diferenças (5-10%) quando comparados com os valores experimentais obtidos no ponto central da placa. O programa AEP 2.0 é uma boa alternativa para o cálculo do tabuleiro ortótropo treliçado, pois apresentou resultados compatíveis com os resultados experimentais. O seu desenvolvimento para adequação do sistema tornou-o mais versátil e completo incluindo as transformações necessárias no seu código. Incluiu o perfil transversal de deslocamento automático retirando a entrada de dados de resultados no meio da seção transversal e facilitando a utilização.

10 AGRADECIMENTOS

A Battistella Indústria e Comércio de Madeiras Ltda e a Gang-Nail pela doação de madeiras e conectores para realização deste trabalho.



108

Agradecemos ao Laboratório de Produtos Florestais/IBAMA pela concessão da máquina classificadora. Agradecemos à CAPES e à FAPESP pelo apoio financeiro, sem o qual esta pesquisa não poderia ter sido realizada.

11 REFERÊNCIAS

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109

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ISSN 1809-5860


PILARES DE CONCRETO DE ALTA RESISTÊNCIA CONFINADOS POR ESTRIBOS RETANGULARES E

COM ADIÇÃO DE FIBRAS DE AÇO

Humberto Correia Lima Júnior1 & José Samuel Giongo2

R e s u m o

Neste trabalho apresentam-se os resultados de uma investigação experimental a respeito de pilares de concreto de alta resistência com adição de fibras metálicas e confinados com pequenas taxas de armadura transversais. Foram ensaiados 24 pilares de concreto de alta resistência com resistências à compressão de 68MPa e 91MPa, e 2 pilares de resistência de 40MPa. Os pilares foram ensaiados à compressão centrada em equipamento com controle de deslocamento. As variáveis investigadas foram a taxa de armadura transversal, a taxa volumétrica de adição de fibras metálicas e a resistência do concreto. Os resultados indicam que a adição de fibras de aço não só melhora a ductilidade dos pilares com concretos de alta resistência, como também evita o desprendimento prematuro do cobrimento de concreto. Os resultados mostram ainda que, para se atingir um mesmo índice de ductilidade estabelecido para os pilares de concreto de alta resistência, a quantidade de aço empregada é a mesma quando são utilizados fibras ou estribos. Com base no estudo experimental propõe-se um modelo matemático para modelagem do comportamento dos pilares com concretos de alta resistência com adição de fibras metálicas e confinados com baixas taxas de armadura transversais. Palavras chaves: pilares; confinamento; fibras de aço; concreto de alta resistência; resistência à compressão; modelo matemático.

1 INTRODUÇÃO

A utilização do concreto de alta resistência (CAR) tem crescido nos últimos anos. Esse progresso pode ser explicado pelas melhores propriedades mecânicas deste material quando comparadas com as do concreto de resistência usual. As vantagens da utilização do CAR em elementos estruturais incluem maior capacidade resistente, menores dimensões, economia em fôrmas, menores deslocamentos, menor fluência e etc. Apesar das inúmeras vantagens, o concreto de alta resistência apresenta um comportamento frágil quando atingida a sua resistência, o que tem

1 Professor do Departamento de Engenharia - Unioeste, [email protected] 2 Professor do Departamento de Engenharia de Estruturas da EESC-USP, [email protected]

Humberto Correia Lima Júnior & José Samuel Giongo


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despertado o interesse de estudo de diversos pesquisadores (Bjerkeli et alii, 1990; Ibrahim e MacGregor, 1996; e Cusson e Paultre, 1994). Uma técnica bastante difundida para o aumento da ductilidade de pilares com CAR é o confinamento da seção transversal por meio de estribos metálicos (Samaan et alii, 1998; Razvi e Saatcioglu, 1999; e Lee e Son, 2000). Outra técnica para melhorar a ductilidade do CAR consiste na adição de fibras metálicas à massa do concreto. O maior problema desta última técnica reside na redução de trabalhabilidade do concreto fresco, quando elevadas taxas volumétricas de fibras são utilizadas (Bentur e Mindess, 1990). Este fato tem limitado a utilização de fibras metálicas em estruturas de concretos a taxas volumétricas inferiores a 2%. Para adições de fibras limitadas a este valor, observa-se que os aumentos da resistência, do módulo de elasticidade e da deformação correspondente à resistência do concreto são desprezíveis; contudo, observa-se uma considerável elevação dos índices de ductilidade do CAR, sendo possível garantir a este material os mesmos índices de ductilidade dos concretos de resistências usuais (Taerwe, 1992 e Hsu e Hsu, 1994). A maioria das pesquisas desenvolvidas a respeito da ductilização dos pilares com CAR, objetivava recomendar as normas nacionais e internacionais procedimentos para a aplicação desses elementos em condições de sismos. Entretanto, em países onde a atividade sísmica tem baixa intensidade, como no Brasil, as normas em geral desprezam os efeitos sísmicos nos procedimentos de cálculo e apenas sugerem quantidades mínimas de reforço para assegurar aos pilares uma deformabilidade aceitável. Baseado nesses fatos, uma investigação analítico-experimental tem sido desenvolvida na Universidade de São Paulo – EESC visando estabelecer procedimentos de cálculo que garantam os mesmos índices de ductilidade dos pilares com concretos de resistências usuais aos com concretos de alta resistência. Deste modo, este trabalho relata uma investigação relativa ao comportamento estrutural de pilares com CAR com adição de fibras metálicas e com baixas taxas de confinamento transversal por meio de estribos. Os principais objetivos desta investigação foram: 1 – estudar o comportamento mecânico do reforço do concreto por meio de fibras metálicas e estribos; 2 – estudar a potencialidade do uso de fibras metálicas na substituição dos estribos na ductilização dos pilares com CAR; e 3 – investigar as quantidades mínimas de armadura transversal e taxas de adição de fibras capazes de garantir os mesmos índices de ductilidade dos pilares com concretos de resistências usuais aos com concretos de alta resistência.

2 PROGRAMA EXPERIMENTAL

2.1 Descrição dos pilares e procedimentos utilizados

Na Figura 1 é ilustrada a geometria típica dos pilares ensaiados. Vinte e seis pilares foram moldados e ensaiados sob compressão centrada aplicada de modo monotônico. Os pilares apresentavam altura de 50cm e seção transversal quadrada com dimensão de 15cm. Os pilares foram dimensionados considerando um programa estatístico de experimento, no qual os efeitos de três fatores na ductilidade dos pilares foram avaliados: resistência do concreto; taxa volumétrica de armadura transversal; e índice de reforço pela adição de fibras metálicas. Duas condições de análises com uma réplica foram escolhidas para os dois primeiros fatores e três condições com uma

Pilares de concreto de alta resistência confinados por estribos retangulares e com...


113

réplica para o último fator resultando em uma programação fatorial de 2x2x3x2=24 pilares. Ainda, dois pilares com concreto de resistência usual (43MPa) foram incluídos no estudo com o objetivo de fornecer índices de ductilidade de referência. As resistências dos concretos de alta resistência foram 68 e 91MPa. Todos os pilares possuíam quatro barras, uma em cada canto da seção transversal, compondo a armadura longitudinal. As barras longitudinais tinham diâmetro de 12,5mm, tensão de escoamento do aço de 597MPa e módulo de elasticidade de 198GPa. A armadura transversal foi composta por estribos de 6,3mm de diâmetro, com ganchos dobrados a 135o e comprimento de 10 diâmetros. As barras de aço dos estribos apresentou resistência de escoamento de 656MPa e módulo de elasticidade de 201GPa, respectivamente. Dois espaçamentos entre estribos foram utilizados: 15cm e 5cm. As fibras de aço apresentavam baixo teor de carbono, com ganchos nas extremidades e fornecidas pelo fabricante coladas em grupos de 30 fibras. O fator de forma (ℓ/d) e a tensão de escoamento das fibras eram de 80MPa e 1015MPa, respectivamente. Duas dosagens foram utilizadas: 40kg/m3 e 80kg/m3.

Figura 1 - Detalhes da geometria dos pilares.

Sete dosagens de concretos foram utilizadas e suas proporções são apresentadas na Tabela 1. Os concretos eram constituídos por areia de origem local, agregado graúdo de origem basáltica com diâmetro máximo de 19mm, cimento tipo I segundo a ASTM 150, sílica ativa e super-plastificante. Três corpos-de-prova cilíndricos (150mm x 300mm) foram moldados para cada dosagem e as curvas tensão vs. deformação dos diversos concretos são apresentadas na Figura 2. Na Figura 3 apresentam-se as curvas tensão vs. deformação das armaduras utilizadas. Os pilares foram concretados três a três, na vertical, em fôrma de madeira compensada, escorada por sarrafo de pinus, sendo o concreto lançado através da face superior das mesmas, e vibrado mecanicamente por meio de vibrador de agulha. Após a concretagem, os pilares permaneceram nas fôrmas por um período de 24h. Durante esse período foram dispostas nas extremidades expostas dos pilares espumas umidificadas. Após o período de 24h, os pilares foram retirados das fôrmas e levados à uma câmara úmida, onde permaneceram por sete dias.



114

Tabela 1 - Proporções dos materiais dos concretos

Mistura Água/ cimento Dosagem

Dosagem de Fibras (kg/m3)

Teor de sílica ativa

Super-plastificante/

cimento

Resistência à compressão

(MPa) 1 0,54 1:2,14:2,37 0 0,1 0,025 68 2 0,54 1:2,14:2,37 40 0,1 0,025 68 3 0,54 1:2,14:2,37 80 0,1 0,025 68 4 0,38 1:1,13:1,61 0 0,1 0,025 91 5 0,38 1:1,13:1,61 40 0,1 0,025 91 6 0,38 1:1,13:1,61 80 0,1 0,025 91 7 0,58 1:1,96:2,84 0 - - 43

Figura 2 - Diagramas tensão vs. deformação dos concretos.

Figura 3 - Diagrama tensão vs. deformação da armadura.



115

Os pilares foram nomeados segundo suas propriedades físicas de P-N-X-Y-Z, sendo N correspondente ao número da réplica, X à resistência do concreto, Y ao espaçamento entre estribos e Z à taxa volumétrica de adição de fibras. Deste modo, o pilar com o código P268150, é o segundo pilar com 68MPa de resistência do concreto, com estribos espaçados a cada 15cm e 0% de adição de fibras. Na Tabela 2 são apresentadas as propriedades de todos os pilares ensaiados. Ao término do período de cura, os pilares foram retirados da câmara úmida e tiveram suas extremidades capeadas com enxofre de modo a corrigir pequenas imperfeições e garantir o paralelismo das mesmas. Para garantir que os colapsos dos pilares ocorressem na região de análise, nas extremidades dos pilares foram colocados colares metálicos constituídos por chapas de aço 1020 com 12,5mm de espessura e estribos a cada 2,5cm.

Tabela 2 - Resumo das propriedades dos pilares

Pilar f’c (MPa)

S (mm)

Vf (%)

εc (‰)

σs (MPa)

Ptest (kN)

Po (kN) Ptest/Po

α2 exp IDpós

εh (‰)

P14315 0,783 1,102 0,702P24315 43 150 0,0 2,49

2,73 493,2539,6

983 1016

10331056

0,95 0,96 0,794 1,098 1,338

P168150 0,838 1,051 1,062P268150 68 150 0,0 2,55

2,48 503,5491,2

14801438

14041398

1,05 1,03 0,801 0,927 1,599

P16850 0,871 1,411 0,752P26850 68 50 0,0 2,83

3,25 559,4597,5

15571525

14321450

1,09 1,05 0,837 1,339 1,838

P1681505 0,901 1,125 0,471P2681505 68 150 0,5 2,41

2,80 476,0553,7

16291661

13911429

1,17 1,16 0,904 1,330 0,946

P168505 0,864 1,777 1,097P268505 68 50 0,5 2,62

2,79 517,5551,5

15881799

14111428

1,13 1,26 0,980 1,449 0,798

P168151 0,969 1,304 1,088P268151 68 150 1,0 2,90

2,58 574,3509,4

17411640

14391407

1,21 1,17 0,927 1,446 1,191

P16851 0,939 1,871 1,151P26851 68 50 1,0 2,79

3,96 552,3597,5

16781760

14281303

1,17 1,21 0,979 1,688 3,156

P191150 0,760 0,872 0,656P291150 91 150 0,0 2,57

3,32 508,6597,8

18821924

17191763

1,09 1,09 0,760 0,704 0,665

P19150 0,727 1,390 1,950P29150 91 50 0,0 3,15

3,46 597,5597,5

18531891

17621762

1,05 1,07 0,744 1,313 2,154

P1911505 0,738 1,019 0,934P2911505 91 150 0,5 2,70

2,54 534,1503,3

17931724

17311716

1,04 1,00 0,708 1,031 1,418

P191505 0,835 1,600 1,304P291505 91 50 0,5 3,62

2,78 597,5549,7

20191906

17621739

1,15 1,10 0,781 1,340 2,155

P191151 0,872 1,455 1,120P291151 91 150 1,0 2,97

3,43 586,5597,5

18281748

17571762

1,04 0,99 0,823 1,057 1,121

P19151 0,962 1,451 1,046P29151 91 50 1,0 3,66

3,68 597,5597,5

19931909

17621762

1,13 1,08 0,915 1,383 1,483

A instrumentação dos pilares foi composta por dois extensômetros de resistência, dispostos em dois ramos do estribo e localizados no ponto médio ao longo da altura do modelo; dois extensômetros de resistência posicionados em duas barras da armadura longitudinal, também localizados próximos à seção transversal média ao longo da altura do modelo, como apresentado na Figura 1. Quatro LVDTs foram posicionados, um em cada face dos pilares, presos a colares de aço fixados aos pilares por meio de 4 parafusos de 19mm de aço de alta resistência. O comprimento



116

de avaliação dos deslocamentos foi de 300mm. Os pilares foram ensaiados com controle de deslocamento em uma prensa hidráulica com capacidade de força de 3000kN. O deslocamento foi aplicado de modo quase estático automaticamente a uma taxa de deformação de 0,005mm/m·s até a etapa correspondente a 70% da força máxima, localizado no trecho descendente do diagrama força vs. deformação e de 0,01mm/m.s para o resto do ensaio. As leituras dos instrumentos foram realizadas automaticamente na freqüência de 10Hz. O ensaio era finalizado quando a deformação do pilar atingia cerca de 2%. Na Figura 4 apresentam-se detalhes do modo de ensaio.

2.2 Comportamento geral

Os colares metálicos apresentaram excelente desempenho, em nenhum ensaio foi detectado escorregamento dos mesmos, nem tampouco fissuras e ruína das extremidades dos pilares. Na Figura 5 apresentam-se detalhes dos pilares após ensaio. Todos os pilares apresentaram respostas similares até a força máxima. As primeiras fissuras foram observadas quando as deformações axiais atingiram aproximadamente 2‰. Após esta deformação observou-se que as fissuras propagavam-se verticalmente e suas aberturas aumentavam progressivamente. Nos pilares sem adição de fibras e com espaçamento de 15cm entre estribos observaram-se desprendimentos de grandes massas de concretos, tanto nos pilares com concretos de alta resistência, como nos de resistência usual. Nos pilares sem adição de fibras e com espaçamento entre estribos de 5cm observou-se o completo descolamento do cobrimento logo após ser atingida a força máxima resistida por esses elementos. Entretanto, não foi observado desprendimento de grandes massas de concreto da região do núcleo dos pilares. Ao término dos ensaios, esses pilares apresentavam toda a região do núcleo de concreto íntegra. Finalmente, durante os ensaios dos pilares com adições de fibras não foi observado desprendimento do cobrimento, nem tampouco de grandes massas de concreto do núcleo, mesmo para aqueles com espaçamentos entre estribos de 15cm. Apesar do elevado grau de fissuração, esses pilares permaneceram íntegros após o termino dos ensaios. Os pilares com concreto com resistência de 91MPa rompeu de modo muito mais frágil que os de 68MPa, especialmente aqueles com espaçamento entre estribos de 15cm e sem adição de fibras. Nesses pilares o colapso foi tão brusco que foi impossível obter o completo comportamento pós-pico do pilar P291150. Apenas nos pilares sem adições de fibras foi possível detectar planos de cisalhamento de ruptura definidos, como apresentado na Figura 6. Os pilares com concretos de resistência média de 43MPa apresentaram plano de cisalhamento com inclinação média (α) de 57o e desvio padrão de ±2,5o. Os pilares com concreto de resistência média à compressão de 68MPa e espaçamento entre os estribos de 15cm e 5cm apresentaram ângulos de cisalhamento médios de 57o e 53o, respectivamente e desvios padrão de ±1,8o e ±1,2o, respectivamente. Já os pilares com concreto de resistência média à compressão de 91MPa e espaçamento entre os estribos de 15cm e 5cm apresentaram ângulos de cisalhamento médios de 59o e 50o, respectivamente, e desvios padrão de ±2,8o e ±2,2o, respectivamente. Verificou-se que o ângulo de inclinação do plano de ruptura diminuiu com o aumento da taxa de armadura transversal e que praticamente permanece inalterado com a elevação da resistência à compressão do concreto.



117

Figura 4 - Detalhes do ensaio dos pilares.

a)

b)

Figura 5 - Aparência dos pilares após serem ensaiados: a) Pilares sem adição de fibras e b) Pilares com adição de fibras.



118

Figura 6 - Plano de cisalhante de colapso dos pilares.

As flambagens das barras da armadura longitudinais sempre ocorreram depois de ter sido atingida a força máxima dos pilares, e se mostraram mais críticas nos pilares com espaçamento entre estribos de 15cm. Nos pilares com espaçamento entre estribos de 5cm, as barras longitudinais flambaram apenas para grandes deformações. Nos pilares com adição de fibras, constatou-se que, como não houve perda de massa de concreto, e, deste modo, as barras de aço permaneceram encapsuladas por um período mais longo, as flambagens destas foram retardadas. Finalmente, observou-se uniformidade nas forças máximas resistidas e nos trechos ascendentes do diagrama força vs. deformação entre os pilares gêmeos; contudo, observou-se certa discrepância nos trechos descendentes dos diagramas desses pilares, como evidenciado nas Figuras 7 e 8.

2.3 Análise da força máxima

A grande maioria das normas de dimensionamento de estruturas de concreto armado sugere que a capacidade de resistência de pilares curtos pode ser calculada pela Eq.(1):

sssgco A)AA(fP ⋅+−⋅= σ Eq.(1)

na qual Ag é a área da seção transversal do pilar, As é a área da seção transversal da amadura longitudinal e σs é a tensão na armadura longitudinal correspondente à deformação do pilar no instante em que é atingida a força máxima, e fc é a resistência do concreto na estrutura dada pela Eq.(2):

cc 'ff ⋅= α Eq.(2)



119

a)

b)

Figura 7 - Diagramas força vs. deformação dos pilares ensaiados: a) pilares com concretos com resistência 68MPa e b) pilares com concretos com resistência 91MPa.

na qual f’c é a resistência à compressão média do concreto obtida por meio de ensaio em corpos-de-prova cilíndricos (15cm x 30cm) e α um coeficiente dado pela Eq.(3):

321 αααα ⋅⋅= Eq.(3)

na qual, por sua vez, α1 é um coeficiente que leva em conta o acréscimo de resistência do concreto após 28 dias, α2 é um coeficiente que leva em consideração a estimativa da resistência do concreto nas estruturas quando avaliadas por meio de corpos-de-prova e α3 considera a diminuição da resistência do concreto para ações de longa duração. A maioria das normas internacionais assume α1, α2 e α3 como 1,2, 0,95 e 0,75, respectivamente, resultando α igual a 0,85 (ACI, 1995; CSA, 1994; FIB, 1999 e NBR 6118:2003). Entretanto, como no presente trabalho, especificamente, a resistência do concreto foi avaliada no dia do ensaio e a força foi aplicada de modo quase estático em um curto intervalo de tempo, os valores α1 e α3 foram considerados iguais à unidade. Usualmente, o valor de α2 é assumido constante; contudo, Lima Junior. (2003) mostrou que este coeficiente varia com a resistência do concreto. Assumindo que α1 e α3 são iguais a 1,2 e 0,75, e usando a Eq.(3), o autor (op. cit.) mostrou que os valores mais realistas de α2 são os sugeridos pela Norma Norueguesa (NBR, 1989), os quais podem ser calculados pela Eq.(4):

( )′= − ⋅ +2 c0,136 n f 1,347α l Eq.(4)



120

a)

b)

Figura 8 - Comportamento experimental dos pilares com resistência usual: a) Diagrama força vs. deformação axial e b) Diagrama deformação na armadura transversal vs.

deformação axial. Na Tabela 2 são apresentadas as forças máximas experimentais e teóricas dos pilares calculadas. As forças teóricas foram calculadas com base nas Eq.(1) e Eq.(4). Não foi observado ganho na capacidade resistente dos pilares com a adição de fibras metálica, nem tampouco, com a elevação da taxa de armadura transversal. A discrepância entre as forças experimentais dos pilares gêmeos foi pequena. As relações entre as forças experimentais e teóricas variaram entre 0,95 e 1,26, com valor médio de 1,09. Considerando apenas os pilares sem adição de fibras o valor médio entre as forças experimentais e teóricas foi de 1,04, o que indica excelente concordância entre os valores experimentais e as equações Eq.(1) e Eq.(4). Já considerando apenas os pilares com adição de fibras o valor médio foi de 1,13. Com o intuito de verificar a influência da taxa de adição de fibra (fator X1), da resistência do concreto (fator X2) e da taxa de armadura transversal (fator X3) nos coeficiente α2, foi realizada uma análise de variância com os valores desse coeficiente obtidos experimentalmente. Assim, para calcular os valores experimentais de α2, adotaram-se os seguintes procedimentos: a força última resistida apenas pelo concreto é dada como sendo a força última experimental resistida pelos pilares,



121

menos a parcela resistida pela armadura longitudinal; a tensão última resistida pelo concreto é calculada dividindo-se a força última resistida por este material pela área total da seção transversal dos pilares menos a área da armadura longitudinal; e α2 é calculado dividindo-se o valor obtido para tensão no concreto nos pilares pela resistência à compressão do concreto obtida por meio de corpos-de-prova cilíndricos 15cm x 30cm. Na Tabela 2 apresentam-se os valores experimentais de α2. Para realizar a análise de variância, os graus de significância do efeito de cada fator foram testados para graus de confiabilidade de 95% e 99%, usando-se o F teste (Montgomery, 1984). Na Tabela 3 apresentam-se os resultados da análise de variância realizada. Verifica-se que a taxa de adição de fibras e a resistência do concreto influenciam os valores do coeficiente α2 para um grau de confiabilidade de 99% e a taxa de armadura transversal para um grau de confiabilidade de 95%. Entretanto, os acoplamentos entre esses fatores não mostraram influência significativa nos valores de α2, considerando-se também um grau de confiabilidade de 99% e 95%. Constatou-se ainda que, o fator de maior relevância é a resistência do concreto seguido da taxa de adição de fibras e da taxa de armadura transversal. Com base nesses resultados pode-se afirmar que os valores de α2 são influenciados pelos três fatores analisados; contudo, a grande maioria das normas não considera esta influência.

2.4 Ductilidade

Para avaliação da ductilidade dos concretos dos pilares ensaiados, o índice de ductilidade proposto por Lima Júnior e Giongo (2001) foi usado. Este índice é baseado na análise de todos os pontos do trecho descendente do diagrama tensão vs. deformação do concreto dos pilares, limitados entre a deformação correspondente, a tensão de pico e a deformação igual a três vezes àquela deformação. Deste modo, inicialmente, uma deformação paramétrica é calculada com base na Eq.(5):

c

c

c

c

Pós f

d)(

D∫⋅

=

ε

ε

εεσ3

Eq.(5)

na qual, εc é a deformação correspondente à resistência do concreto na estrutura e σc(ε) é a função que governa o diagrama tensão vs. deformação do concreto na estrutura. O índice de ductilidade pós-pico é definido como sendo a relação entre a deformação paramétrica calculada com base na Eq.(5) e a deformação de pico, e pode ser expressa pela Eq.(6):

c

PósPós

DID

ε= Eq.(6)

Seguindo este modelo de análise de ductilidade, os índices de ductilidade pós-pico dos concretos foram calculados para todos os pilares e são apresentados na Tabela 2. O índice de ductilidade médio para os pilares com concretos com resistência de 43MPa foi de 1,10. Foi observado que quando a resistência do concreto é elevada, o índice de ductilidade do concreto diminui; entretanto, menores espaçamentos e certas taxas de adição de fibras foram capazes de compensar este



122

efeito, garantindo ao concreto o mesmo índice de ductilidade dos concretos com resistência usual.

Tabela 3 - Análise de variância do coeficiente α2

Variável Soma dos quadrados

Graus de liberdade

Média dos quadrados

Fator (Fo)

Mínimo valor requerido para o fator ser significante

(F0.05,n,23) e (F0.01,n,23) Fatores

principais

X1 0,07054 2 0,0353 30,16 3,42 - 5,66 X2 0,05851 1 0,0585 50,03 4,28 - 7,88 X3 0,00781 1 0,0078 6,68 4,28 - 7,88

Interação dos fatores

X1× X2 0,00772 2 0,0039 3,30 3,42 - 5,66 X1 × X3 0,00290 2 0,0015 1,24 3,42 - 5,66 X2 × X3 0,00125 1 0,0012 1,07 4,28 - 7,88

X1 × X2 × X3 0,00584 2 0,0029 2,50 3,42 - 5,66 Erro 0,01400 12 0,0012 - - Total 0,16861 23 - - -

Para verificar a influência da taxa de adição de fibra (fator X1), da resistência do concreto (fator X2) e do espaçamento entre estribos (fator X3) no índice de ductilidade do concreto, realizou-se uma análise de variância com os dados apresentados na Tabela 4. Com base nos resultados desta análise, verifica-se que os três fatores estudados influenciam a ductilidade dos pilares para graus de confiabilidade de 99%. O fator mais influente é a taxa de armadura transversal, seguido pela resistência do concreto e pela taxa de adição de fibras. A taxa de adição de fibras tem praticamente a mesma influência da resistência do concreto, isto significa que a perda de ductilidade com o aumento da resistência do concreto pode ser compensada com adição de fibras metálicas. Não se constatou influencia significativa dos acoplamentos dos fatores analisados para graus de confiabilidade de 99%. Este fato implica que a superposição de efeitos é válida para a avaliação do ganho de ductilidade dos pilares, quando do aumento da taxa de armadura transversal e da taxa de adição de fibras. Com o objetivo de estabelecer uma equação para obtenção das taxas ideais de adição de fibra e de armadura transversal, realizou-se uma regressão polinomial linear com os valores dos índices de ductilidade dos concretos. Obteve-se uma equação polinomial com coeficiente de correlação, r2, de 94,6%. Assim, com base nesta análise, pode-se escrever que o índice de ductilidade pós-pico dos pilares submetidos à compressão centrada pode ser expresso pela Eq.(7):

c3

hpós 'f10762,5R439,0602,0176,1ID ⋅⋅−⋅+⋅+= −ρ Eq.(7)

na qual, ρh é a taxa de armadura transversal dada pela Eq.(8), R é o índice de reforço da adição de fibras metálicas pela Eq.(9):

%)cc(S

)AA(

yx

stystxh 100⋅

+⋅

+=ρ Eq.(8)



123

f

ffVR

φ

l⋅= Eq.(9)

na qual, Astx e Asty são as áreas da seção transversal das armaduras de confinamento paralelas aos eixos x e y, respectivamente; cx e cy são as larguras do núcleo do pilar nas direções x e y, respectivamente; S é o espaçamento entre dois estribos consecutivos, Vf é a taxa volumétrica de fibras de aço; ℓf e φf são o comprimento e o diâmetro da fibra de aço, respectivamente. Para que os concretos de alta resistência dos pilares apresentem o mesmo índice de ductilidade do concreto de resistência usual, a taxa volumétrica de armadura transversal e/ou o índice de reforço da taxa volumétrica de adição fibras de aço devem ser calculados com base na Eq.(7), considerando o índice de ductilidade igual a 1,10. Assim, considerando um pilar com concreto com resistência de 80MPa, com as mesmas propriedades físicas dos pilares ensaiados, é possível utilizar apenas estribos espaçados a cada 8cm ou estribos espaçados a cada 15cm mais uma taxa de adição de fibras de aço de 0,52%. Nos dois casos, a massa de aço utilizada é a mesma, 1,9kg de aço por metro linear de pilar, e o concreto irá apresentar o mesmo índice de ductilidade do concreto com 43MPa.

Tabela 4 - Análise de variância para os índices de ductilidade dos concretos dos pilares


Graus de liberdade


Fator (Fo)

Mínimo valor requerido para o fator ser significante

(F0.05,n,23) e (F0.01,n,23) Fatores

principais

X1 0,447877 2 0,2239 10,997 3,42 - 5,66 X2 0,184275 1 0,1843 9,049 4,28 - 7,88 X3 0,916895 1 0,9169 45,024 4,28 - 7,88


X1× X2 0,016531 2 0,0083 0,406 3,42 - 5,66 X1 × X3 0,038640 2 0,0193 0,949 3,42 - 5,66 X2 × X3 0,000007 1 0,0000 0,000 4,28 - 7,88

X1 × X2 × X3 0,047162 2 0,0236 1,158 3,42 - 5,66 Erro 0,244374 12 0,0204 - - Total 1,895762 23 - - -

2.5 Deformação na armadura transversal

Para analisar as deformações na armadura transversal, utilizou-se a média das duas leituras dos dois extensômetros dispostos no estribo a meia altura dos pilares. Na Tabela 2 apresentam-se as deformações médias do estribo central para a máxima força resistida pelos pilares. A deformação média nos estribos dos pilares de referência foi de aproximadamente de 0,1%, o que corresponde a apenas 31% da resistência de escoamento do aço (εy=3,26‰). Para os pilares com concretos de alta resistência e espaçamento entre estribos de 15cm e 5cm, as deformações médias foram cerca de 31% e 48% da deformação de escoamento do aço, respectivamente.



124

Constata-se, assim, que o valor médio das deformações dos pilares de referência é exatamente igual ao obtido para os pilares com concreto de alta resistência e mesma taxa de armadura transversal. Ainda, observa-se que em nenhum caso foi verificado escoamento da armadura transversal para o instante em que foram atingidas as forças máximas dos pilares.

Nas Figuras 8 e Figuras 9 apresentam-se os diagramas deformação na armadura transversal vs. deformação axial dos pilares. Apenas em quatro pilares os estribos não escoaram: P2681505, P168505, P191151 e P191505. Entretanto, observa-se que os estribos escoaram em todos os respectivos pilares gêmeos. Este fato aparentemente ocorreu de modo aleatório. Finalmente, observa-se que as armaduras transversais apenas atingiram o escoamento para deformação axial média da ordem de 6,5‰, deformação esta igual a, aproximadamente, duas vezes a deformação correspondente à força máxima resistida pelos pilares. Procurando avaliar a influência dos fatores estudados na deformação da armadura transversal, novamente foi realizada uma análise de variância, utilizando-se o mesmo procedimento anterior. Na Tabela 5 apresentam-se os resultados desta análise, na qual constata-se que, tanto a taxa de adição de fibra quanto a resistência do concreto, não influenciam a deformação da armadura transversal no instante em que é atingida a força máxima dos pilares, considerando um grau de confiabilidade de 99%. Ainda, verifica-se que a taxa de armadura transversal interfere nos valores dessas deformações, para um grau de confiabilidade de 95%. Não é verificada influência de nenhum acoplamento entre os fatores, para um grau de confiabilidade de 99%. Estas observações significam que, apesar da adição de fibras de aço aumentarem o coeficiente de Poisson do concreto e do aumento da resistência diminuir o coeficiente de Poisson do concreto, as influências desses dois fatores são insignificantes na deformação da armadura transversal correspondente à máxima força resistida pelos pilares com baixa taxa de confinamento.



125

a)

b)

Figura 9 - Diagrama deformação na armadura transversal vs. deformação axial dos pilares: a) Pilares com concretos de resistência 68MPa e b) Pilares com concretos de

resistência 91MPa.

Tabela 5 - Análise de variância das deformações na armadura transversal


Graus de liberdade


Fator (Fo)

Mínimo valor requerido para o fator ser significante (F0.05,n,23) e (F0.01,n,23)

Fatores principais

X1 0.32752 2 0.1638 0.561 3.42 - 5.66 X2 0.03060 1 0.0306 0.105 4.28 - 7.88 X3 1.82215 1 1.8222 6.243 4.28 - 7.88


X1× X2 1.16604 2 0.5830 1.998 3.42 - 5.66 X1 × X3 0.08172 2 0.0409 0.140 3.42 - 5.66 X2 × X3 0.12658 1 0.1265 0.434 4.28 - 7.88

X1 × X2 × X3 1.31948 2 0.6597 2.261 3.42 - 5.66 Erro 3.50227 12 0.2919 - - Total 8.37638 23 - - -



126

3 MODIFICAÇÃO DO MODELO DE CUSSON E PAULTRE (1995)

Baseado nos resultados experimentais apresentados nos itens anteriores, algumas modificações são propostas para que o modelo de Cusson e Paultre (1995) seja capaz de modelar pilares com CAR e adição de fibras. Deste modo, a resistência do concreto no elemento estrutural deve ser calculada por meio da Eq.(2). Na falta de resultados experimentais pode-se assumir os valores de α1 e α3 iguais a 1,2 e 0,75, respectivamente e α2 calculado segundo a Eq.(4). Para o trecho ascendente do diagrama tensão vs. deformação do concreto confinado e/ou com adição de fibra, continua-se sugerindo a utilização da equação proposta por Popovics (1973) e que pode ser escrita pela Eq.(10):

( )β

εε

β

εε

βσ

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+−

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛⋅

=

ccf

c

ccf

c

ccf

c

f1

Eq.(10)

sendo que, εc é a deformação em um ponto qualquer do diagrama, εccf é a deformação correspondente à tensão máxima do concreto confinado e/ou adição de fibra, e, finalmente, β é um coeficiente expresso pela Eq.(11):

( )ccfccfc

c

fEE

εβ

/−= Eq.(11)

sendo que Ec é o módulo de elasticidade do concreto. Para o trecho descendente do diagrama tensão vs. deformação do concreto confinado e/ou com adição de fibra, sugere-se, também, a equação proposta por Fafitis e Shah (1985), cuja formulação matemática é escrita por meio da Eq.(12):

( )( )2211

kccfc

ccf

c kexpf

εεσ

−⋅= Eq.(12)

na qual k22 é o coeficiente responsável pela curvatura da curva, e k11 responsável pela inclinação da mesma, tendo sido ajustado por meio do ponto (ε0,5ccf, 0,5fccf). Para o cálculo de k22 utilizaram-se os pilares ensaiados por Cusson e Paultre (1993) e os ensaiados no presente trabalho. Para tanto, realizou-se uma análise de regressão não-linear e a equação resultante apresentou coeficiente de correlação, r2, da ordem de 92%. O coeficiente k22 é dado na Eq.(13) e as representações gráficas da variação deste coeficiente com relação ao índice de reforço da taxa de adição das fibras e com relação ao índice de confinamento são apresentadas nas Figuras 10 e 11, respectivamente.

789,02

c

le

c

le22 R525,0

ff455,41

ff864,8344,1k ⋅+⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛⋅+⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛⋅−= Eq.(13)

Na Eq. 13, fle é a pressão efetiva de confinamento.



127

Figura 10 - Variação de k22 em relação ao índice de reforça da adição de fibra de aço.

Figura 11 - Variação de k22 em relação a pressão efetica de confinamento.

O coeficiente k11 pode é expresso pela equação Eq.(14):

( ) 22kccfccf5,0

11)5,0(nk

εε −=

l Eq.(14)

sendo que ε0,5ccf é a deformação no ramo descendente do diagrama tensão vs. deformação correspondente a 50% da tensão máxima. Utilizando os resultados experimentais dos trabalhos de Cusson e Paultre (1993), Nagashima et alii (1992) e deste trabalho, calculou-se o ganho de resistência do concreto confinado realizando-se análise de regressão. Este ganho de resistência é expresso pela Eq.(15) e sua variação com relação ao índice de confinamento é mostrada na Figura 12.

863,0

c

le

c

ccf

ff203,20,1

ff

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛⋅+= Eq.(15)



128

Figura 12 - Variação do ganho de resistência em relação ao índice de confinamento.

Para calcular o ganho de deformação correspondente à tensão máxima, novamente os ensaios de Cusson e Paultre (1993), de Nagashima et alii (1992) e do presente trabalho foram utilizados. Com base na regressão realizada pode-se escrever que o ganho de deformação pode ser expresso pela Eq.(16):

R102,3ff266,0 4

7,1

c

lecoccf ⋅⋅+⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛⋅=− −εε Eq.(16)

A representação gráfica do efeito do índice de reforço da taxa volumétrica de adição de fibras na deformação ε0,5fccf é apresentada na Figura 13. Novamente, os ensaios de Cusson e Paultre (1993), Nagashima et alii (1992) e deste trabalho foram utilizados para determinar o ganho na deformação ε0,5fccf, o qual pode ser dado pela Eq.(17):

701,0

c

1,1

c

lefc5,0ccf5,0 f

R134,0ff175,0 ⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛⋅+⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛⋅=−εε Eq.(17)

Na falta de resultados experimentais, a deformação correspondente à máxima tensão e a 50% da tensão máxima, as equações do FIB (1999) podem ser utilizadas. Deste modo, estas deformações podem ser expressas pelas Eq.(18) e Eq.(19), respectivamente:

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−−=

cmo

cco f

f0010,00017,0ε Eq.(18)

211

21

411

21

21

250

−⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+⋅⋅+⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+⋅⋅=

co

c

co

c

co

fc,

EE

EE

ε

ε Eq.(19)



129

Figura 13 - Variação do ganho de deformação εc0,5fcf em relação ao índice de reforço.

nas quais,

(MPa)f

Eco

cco

ε= Eq.(20)

(MPa)f

Eco

cco

ε= Eq.(21)

[ ] (MPa)ffE cmocec / 31

⋅⋅= βαα Eq.(22)

na qual, por sua vez fcmo é igual a 70MPa, αe é igual a 21500MPa e αβ é um coeficiente que depende do tipo de agregado graúdo que constitui o concreto – para o agregado basáltico, αβ é igual a 1,2. Para o cálculo da deformação na armadura transversal correspondente ao segundo pico de força, sugere-se o procedimento de Cusson e Paultre (1995) sem nenhuma alteração. Deste modo, com base nesse procedimento, a deformação na armadura de confinamento pode ser expressa pela Eq.(23):

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ ⋅−−⋅=

csec

lelecctcc E

ff νενε Eq.(23)

na qual ν é o coeficiente de Poisson do concreto confinado no ponto correspondente à máxima tensão e que pode ser tomado como 0,5; Esecc é o módulo de elasticidade secante no segundo ponto de máxima tensão do concreto confinado; e fle é a pressão efetiva de confinamento, dada pela Eq.(24):

lele fKf ⋅= Eq.(24)

na qual Ke e fl são dados pelas Eq.(25) e Eq.(26), respectivamente:



130

( ) ( )

l

y

t

x

t

yx

i

2i

e 1

c2s1

c2s1

cc6

w1

Kρ

φφ

−

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

⋅−

−⋅⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛⋅−

−⋅⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛

⋅⋅−

=

∑

Eq.(25)

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

+

+⋅=

yx

stystxtccl cc

AAs

ff Eq.(26)

nas quais ftcc é a tensão na armadura transversal de confinamento; s é a distância de centro a centro entre estribos; Astx e Asty são as áreas da seção transversal das armaduras de confinamento, paralelas aos eixos x e y, respectivamente; cx e cy são as larguras do núcleo do pilar, nas direções x e y, respectivamente; wi são os espaços entre as armaduras longitudinais; φt é o diâmetro dos estribos; e ρl é a taxa de armadura longitudinal, em relação ao núcleo do pilar.

3.1 Procedimento para utilização modelo de Cusson e Paultre modificado

Para modelagem do diagrama força vs. deformação dos pilares com concretos de alta resistência, por meio do modelo modificado de Cusson e Paultre (1995) apresentado acima, os pilares devem ser analisados seguindo os seguintes procedimentos:

1) Considera-se a seção transversal resistente do pilar como sendo a

seção íntegra, ignorando-se o efeito do confinamento. 2) Considera-se a seção transversal resistente do pilar como sendo

apenas a seção do núcleo do pilar delimitada pelos ramos mais externos dos estribos, e a pressão lateral de confinamento deve ser calculada considerando a deformação da armadura transversal dada pela Eq.(23).

3) O diagrama resultante será formado pelas linhas externas dos dois diagramas obtidos nos procedimentos 1 e 2. Um exemplo deste procedimento é apresentado na Figura 14.

Na Figura 15 apresentam-se as curvas experimentais e teóricas obtidas com o modelo de Cusson e Paultre modificado, onde são observadas boas correlações entre essas.



131

Figura 14 - Procedimento de modelagem por meio do modelo modificado de Cusson e Paultre.

a)

b)

Figura 15 - Modelagem dos pilares ensaiados: a) Pilares com concretos de 68MPa e b) Pilares com concretos de 91MPa.



132

4 CONCLUSÕES

Com base no que se apresentou no presente trabalho, as seguintes conclusões podem ser tecidas:

1. A adição de fibras ao concreto evita o descolamento prematuro do cobrimento dos pilares e perdas de grandes massas do núcleo dos pilares, mesmo aqueles com espaçamento entre estribos de 15cm. Após serem ensaiados, os pilares com adição de fibras apresentaram-se com elevado grau de fissuração, porém íntegros. Ainda, foi constato que a adição de fibras retardou a flambagem das barras da armadura longitudinal.

2. A formação do núcleo resistente apenas foi observada para os pilares com espaçamento entre estribos de 5cm e sem adição de fibras metálicas. Os pilares sem adição de fibras e espaçamento entre estribos de 15cm apresentaram resposta pós-pico bastante frágil, especialmente os pilares com concretos de 91MPa.

3. O coeficiente α2 que correlaciona a resistência à compressão do concreto na estrutura e as obtidas por meio de corpos-de-prova cilíndricos é significantemente influenciado pela resistência do concreto, pela taxa de armadura transversal e pela taxa volumétrica de adição de fibras. Deste modo, fazem-se necessários mais estudos sobre o assunto.

4. Os três fatores estudados influenciam diretamente os índices de ductilidade dos concretos dos pilares; contudo, a influência dos acoplamentos dos três fatores é insignificante. A adição de fibras metálicas é capaz de aumentar a ductilidade dos pilares com concretos de alta resistência, utilizando-se a mesma quantidade de aço quando estribos metálicos são aplicados.

5. Ficou evidenciado que entre os fatores estudados, apenas a taxa volumétrica de armadura transversal influencia a deformação dos estribos para o instante em que é atingida a força máxima resistida dos pilares com concretos de alta resistência com baixa taxa de confinamento.

6. Finalmente, modificações foram sugeridas para o modelo de Cusson e Paultre (1995), de modo que permitisse ao mesmo tempo analisar pilares com concreto de alta resistência com adição de fibras de aço. Observou-se que as modificações sugeridas mostraram-se consistentes, sendo observada boa concordância entre as curvas força vs. deformação experimental dos pilares e as fornecidas pelo modelo modificado.

5 AGRADECIMENTOS

O trabalho relatado faz parte da tese de doutorado do primeiro autor e foi desenvolvida na Escola de Engenharia de São Carlos da Universidade de São Paulo



133

sob a direção do segundo autor. Esta pesquisa foi financiada pela Fundação de Pesquisa do Estado de São Paulo – FAPESP e pela Coordenação de Aperfeiçoamento do Pessoal do Ensino Superior – CAPES, as quais os autores são gratos.

6 REFERÊNCIAS

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134

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ISSN 1809-5860


ANÁLISE NÃO LINEAR FÍSICA DE PLACAS E CASCAS ANISOTRÓPICAS LAMINADAS

ACOPLADAS OU NÃO COM MEIO CONTÍNUO TRIDIMENSIONAL VISCOELÁSTICO ATRAVÉS DA

COMBINAÇÃO ENTRE O MEC E O MEF Rodrigo Ribeiro Paccola1 & Humberto Breves Coda2

R e s u m o

Uma análise de cascas laminadas ortotrópicas enrijecidas ou não, considerando-se não-linearidade física com lei de fluxo não-associativa e acoplamento com sólido tridimensional viscoelástico é apresentada neste trabalho. Para tanto, são utilizados elementos finitos com 6 graus de liberdade por nó, sendo triangulares planos com aproximação cúbica de variáveis para modelagem das cascas e elementos de barra de mesma aproximação para os enrijecedores. A cinemática de laminados, ou Mindlin geral, é utilizada para ambos com a finalidade de possibilitar a representação de estruturas enrijecidas excentricamente, tornando-se assim a formulação aplicável a um maior número de problemas. Com relação à plasticidade na casca, adota-se o critério de Tsai-Wu para materiais anisotrópicos gerais. Nas barras, critérios uniaxiais são considerados, desprezando-se a contribuição do cisalhamento na plastificação. Para estes elementos, permite-se a utilização de diagrama multilinear para a relação tensão x deformação. Por se tratar de uma formulação de laminados, os elementos podem ser compostos de camadas com diferentes propriedades físicas e espessuras. A modelagem do meio contínuo viscoelástico é realizada utilizando-se elementos de contorno triangulares com aproximação linear de variáveis para solução fundamental de Kelvin e de Mindlin. O acoplamento é realizado utilizando-se técnica de matriz de rigidez equivalente, proporcionando uma contribuição direta das matrizes do MEC na matriz de rigidez do MEF. Exemplos são apresentados para verificação do comportamento da formulação implementada. Palavras-chave: elementos finitos; elementos de contorno; acoplamento MEC/MEF; plasticidade; viscosidade; estruturas laminadas; interação solo-estrutura.

1 Doutor em Engenharia de Estruturas - EESC-USP, [email protected] 2 Professor Associado do Departamento de Engenharia de Estruturas da EESC-USP, [email protected]

Rodrigo Ribeiro Paccola & Humberto Breves Coda


136

1 INTRODUÇÃO

O acoplamento entre elementos finitos laminados de barra e de casca é apresentado neste trabalho. A formulação de estruturas laminadas através da cinemática de Reissner geral, como pode ser visto em alguns autores tais como YANG et al. (1966), MINDLIN (1951) - apud YANG (1966) -, REISSNER & STAVSKY (1961) e posteriormente em WHITNEY & PAGANO (1970), onde foram considerados os efeitos do cisalhamento na deformação, considera a rotação da seção transversal como parâmetro independente da derivada do deslocamento vertical no ponto, diferentemente da cinemática clássica de placas que assume o giro como dependente (mesmo que indiretamente) de tal deslocamento como pode ser visto em REDDY (1993) entre outros. Tal cinemática leva em consideração que os deslocamentos no contínuo são tomados em função de deslocamentos em um plano de referência não necessariamente coincidente com o plano médio do elemento de casca, possibilitando a formulação desses elementos laminados. Desta forma, cada camada que compõe o elemento contribui de forma particular na rigidez do conjunto. A cinemática utilizada é apresentada na seqüência do artigo, sendo que outras informações sobre a formulação do elemento de casca utilizado podem ser encontradas no trabalho de PACCOLA et al. (2003b). Utiliza-se lei de fluxo não-associativa para determinação da direção de retorno das deformações no modelo elastoplástico para o elemento de casca, diferenciando-se assim do que se encontra em geral nos trabalhos existentes na literatura. O critério de plastificação adotado foi o de Tsai-Wu para materiais anisotrópicos, sendo determinadas expressões fechadas para o cálculo do multiplicador plástico, tal como no trabalho de MESQUITA (2002). Para modelagem dos elementos de barra, utilizou-se um elemento finito laminado 3D, PACCOLA et al. (2003a), baseado em deslocamentos, com aproximação cúbica e comportamento elastoplástico para os materiais, baseado também na cinemática de laminados de Reissner geral. Para modelagem do meio contínuo viscoelástico utilizou-se elementos de contorno triangulares com aproximação linear de variáveis para solução fundamental de Kelvin e de Mindlin. A formulação integral e o equacionamento algébrico foi realizado com base no trabalho desenvolvido por SOUZA (2001), que utilizou solução fundamental de Kelvin para meios infinitos, cujas implementações foram utilizadas e adaptadas para solução fundamental de Mindlin de acordo com as necessidades do presente trabalho. Em SOUZA (2001), o contorno é discretizado utilizando-se elementos triangulares planos com aproximação linear e as integrais singulares são desenvolvidas semi-analiticamente, sendo ainda introduzidas na formulação técnicas de integração de contorno considerando-se a eficiência e a precisão para a integral quase singular. Neste artigo, as integrais analíticas para solução fundamental de Mindlin foram obtidas com a utilização da propriedade de movimento de corpo rígido, não se utilizando da integração semi-analítica proposta por SOUZA (2001) para o tratamento da solução fundamental de Kelvin. O acoplamento entre o Método dos Elementos de Contorno e o Método dos Elementos Finitos pode ser realizado de diferentes maneiras, destacando-se a técnica de sub-regiões, tradicionalmente utilizada no acoplamento entre várias regiões

Análise não linear física de placas e cascas anisotrópicas laminadas acopladas ou...


137

modeladas pelo MEC, onde deslocamentos e esforços são compatibilizados na interface do acoplamento entre os diferentes domínios modelados, sendo também esta a idéia geral para as outras formas de acoplamento. Neste trabalho optou-se por aplicar a transformação das matrizes de contorno em matriz de rigidez equivalente ao MEF, de forma similar ao apresentado em BREBBIA & DOMINGUEZ (1992).

2 CINEMÁTICA DE LAMINADOS

2.1 Elementos de barra

Apresenta-se na Figura 1 a cinemática adotada para o elemento finito de barra, baseada na cinemática de laminados de Reissner geral. O sistema de coordenadas no centro da lamina é denominado por x, y e z, e o sistema global por X, Y e Z. O eixo X é localizado no eixo de referência da seção.

zy

x

XY

Z f yf z

X

f zZ f y

Y

x

yz

Figura 1 - Posição de uma fibra geral (retangular ou triangular) inserida no domínio prismático

da barra.

Os 3 deslocamentos de um ponto qualquer de uma fibra geral inserida no domino podem ser escritos em função dos deslocamentos e rotações de um ponto sobre a linha de referência como:

( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )

= − θ + + θ +

= − θ − +

= + θ − +

z YP 0 0 Y 0 Z

XP 0 0 Z Zcc _ cg

XP 0 0 Y Ycc _ cg

u x,y,x u X X .(f y) X .(f z)

v x,y,x v X X .(f f z)

w x,y,x w X X .(f f y)

(1)

Onde cc _ cgzf e

cc _ cgyf são coordenadas do centro de cisalhamento da seção em

relação ao centro de gravidade.

2.2 Elementos de casca

A cinemática de laminados fornece os deslocamentos no plano médio da lâmina em função dos deslocamentos em relação a um plano de referência previamente adotado paralelo, porém excêntrico, ao plano médio do elemento finito. Portanto, tem-se a cinemática expressa na forma apresentada na Eq. (2).



138

( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )( ) ( )

= + θ +

= − θ +

=

YP 0 0 Z

XP 0 0 Z

P 0

u x,y,x u X X .(f z)

v x,y,x v X X .(f z)

w x,y,x w X,Y

(2)

Para facilitar a visualização dos deslocamentos equacionados na cinemática das expressões da Eq. (2), apresenta-se a Figura 2 a seguir:

z=h/2

f

h

z=-h/2

zx

P

Z

zP'

w0uX 0

f+z

X

x

0θ

z

Z Y

Figura 2 - Cinemática para um ponto “P” qualquer.

3 NÃO-LINEARIDADE FÍSICA

3.1 Elementos de barra

Modelos não-lineares foram introduzidos na formulação do elemento de pórtico 3D, considerando apenas um critério de plastificação que leva em consideração somente as tensões normais na seção transversal, ou seja, modelos não-lineares uniaxiais. Não se considera o efeito do cisalhamento na plastificação. O modelo introduzido permite que se adote comportamentos diferentes na tração e na compressão e permite ainda que em cada uma delas este comportamento seja multilinear, ou seja, composto de vários trechos com comportamento plástico diferente. Desta forma possibilita-se uma melhor representação das curvas de plastificação de materiais quaisquer (tanto matriz como reforço) obtidas em ensaios de laboratório.

3.1.1 Modelos elastoplásticos uniaxiais A não-linearidade física pode ser considerada na análise da estrutura segundo 4 modelos elastoplásticos uniaxiais usuais, que são: elastoplasticidade perfeita, elastoplástico com encruamento isotrópico, cinemático ou misto, sendo este último utilizado na formulação e obtido através da combinação do isotrópico e do cinemático. Portanto, dependendo das constantes adotadas na análise do problema, o modelo adotado pode degenerar para qualquer um dos demais modelos citados, pois a elastoplasticidade perfeita é uma particularização do modelo com encruamento isotrópico. A seguir apresenta-se o critério de plastificação para o modelo com encruamento misto como sendo, CHEN & HAN (1988):



139

( ) ( )σ α = σ − − σ + α ≤yf , ,q q k. 0 (3)

Os parâmetros que aparecem na Eq. (3) tem o seguinte significado:

• K é denominado “módulo plástico de encruamento isotrópico”;

• é a evolução da deformação plástica até o instante da análise;

• q define a evolução da tensão de escoamento em cada instante;

• H é o “módulo plástico de encruamento cinemático”.

3.1.2 Multilinearidade do diagrama tensão x deformação Com relação ao comportamento dos materiais, assim como foi dito anteriormente, tem-se implementado no procedimento a possibilidade de se considerar um comportamento multilinear para o diagrama tensão x deformação dos materiais. Isso possibilita uma melhor representação do comportamento real dos materiais em caso de ocorrência de plastificação. Esse comportamento multilinear pode ser melhor visualizado na Figura 3 apresentada a seguir.

σ

ε ε

σ

Ensaio deLaboratório

Aproximaçãoadotada

Figura 3 - Comportamento de um material frágil (concreto por exemplo).

Como pode ser visto Figura 3, a aproximação adotada para o comportamento do material pode ser bem próxima do comportamento encontrado em laboratório. Essa aproximação pode ser cada vez mais próxima da real à medida que um maior número de trechos é introduzido no diagrama aproximado.

3.2 Elementos de casca

Para o caso de materiais ortotrópicos e anisotrópicos, o critério de Tsai-Wu, proposto por TSAI & WU (1971), é tido como o mais completo em termos de consideração da anisotropia geral dos materiais. Trabalhos como os de BRÜNIG (1995), CLOUSTON & LAM (2001) e KOLAKOWSKI (2003) podem ser citados como exemplo da utilização do critério de Tsai-Wu na análise de materiais anisotrópicos gerais. Por este motivo, apesar do fato de se estar considerando materiais ortotrópicos neste trabalho, optou-se por utilizar o presente critério. O critério proposto por TSAI & WU (1971) baseia-se na teoria de ruptura representada por tensores polinomiais sugerida inicialmente por Gol´denblat e Koprov em 1965. Os autores procuraram simplificar e ao mesmo tempo melhorar essa versão



140

sugerida por Gol´denblat e Koprov. A superfície de ruptura no espaço das tensões é descrita pela seguinte expressão:

1+ =i i ij i jL Fσ σ σ ⇒ (i, j = 1,2,...,6) (4)

Expandindo-se a Eq. (4) e considerando-se materiais ortotrópicos tem-se:

1 1 2 2 3 3

2 211 1 12 1 2 13 1 3 22 2 23 2 3

2 2 2 233 3 44 4 55 5 66 6

2 2 2

1

L L L

F F F F F

F F F F

σ σ σ

σ σ σ σ σ σ σ σ

σ σ σ σ

+ + +

+ + + + + +

+ + + + =

(5)

onde as tensões 4 5 6, e σ σ σ são, respectivamente, as tensões de cisalhamento

13 23 12, e τ τ τ . Matricialmente, o critério pode ser representado da seguinte forma:

( )( ) 1 1 0T Tf f F Lσ σ σ σ= − = + − =% (6)

onde F e L assumem a forma descrita em (7):

11 12 13

21 22 23

31 32 33

44

55

66

0 0 00 0 00 0 0

0 0 0 0 00 0 0 0 00 0 0 0 0

F F FF F FF F F

FF

FF

⎡ ⎤⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥

= ⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦

e

1

2

3

000

LLL

L

⎡ ⎤⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥

= ⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦

(7)

Os termos lineares iσ consideram tensões que descrevem rupturas induzidas por diferenças entre tensões positivas e negativas e, em conjunto com os termos quadráticos i jσ σ , definem um elipsóide no espaço de tensões principais. De acordo

com TSAI & WU (1971) os valores dos termos de interação Fij são limitados pela desigualdade:

212 ii jj ijF F F 0− ≥ (8)

condição esta que, geometricamente, assegura que a superfície de ruptura intercepte cada eixo de tensão e que sua forma seja de um elipsóide, Figura 4. A representação gráfica da superfície do critério de Tsai-Wu segundo as direções de tensões principais é apresentada na Figura 4.



141

Figura 4 - Superfície do critério de Tsai-Wu.

Os elementos de Li e Fij são determinados em laboratório através de ensaios de tração e de compressão simples, bem como, de cisalhamento puro. Portanto, os parâmetros de resistência podem ser escritos por:

1 2 3 4 5 6

11 22 33 44 55 66

1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1´ ´ ´ ´ ´ ´

1 1 1 1 1 1´ ´ ´ ´ ´ ´

L L L L L LX X Y Y Z Z Q Q R R S S

F F F F F FX X Y Y Z Z Q Q R R S S

= − = − = − = − = − = −

= = = = = =⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅

(9)

onde X e X´; Y e Y´; Z e Z´ são, respectivamente, as resistências à tração e a compressão nas direções das fibras 1, 2 e 3; Q e Q´; R e R´; S e S´ são, respectivamente, as resistências positiva e negativa ao cisalhamento puro nos planos 1-3, 2-3 e 1-2. Informações mais detalhadas sobre esses ensaios podem ser encontrados em TSAI & WU (1971), SHIH & LEE (1978) e HYER (1998), bem como informações complementares sobre o critério de um modo geral.

4 ELEMENTOS DE CONTORNO

4.1 Equação integral de contorno

As equações integrais de contorno que relacionam deslocamentos de um ponto qualquer do domínio com deslocamentos e esforços no contorno de um determinado corpo através de integrais que envolvem as soluções fundamentais, são a base para a formulação do método dos elementos de contorno. A obtenção dessas equações pode se dar através da aplicação do teorema da reciprocidade de Betti ou da técnica dos resíduos ponderados, utilizando-se a solução fundamental do problema como função ponderadora, tendo sido esta última utilizada no trabalho de SOUZA (2001). Outros trabalhos que utilizaram esta técnica podem ser consultados como CODA (1990), CODA (2000) e VENTURINI (1988).



142

4.2 Equação integral para pontos do domínio e do contorno

Seja considerado um espaço infinito que contenha um sólido tridimensional de domínio Ω e contorno Γ dividido em Γ1 (deslocamentos prescritos) e Γ2 (forças de superfície prescritas).

1em (condições de contorno essenciais)iiu u= Γ

2em (condições de contorno naturais)i ip p= Γ

O traço em cima dos valores ui e pi indica valores prescritos de deslocamentos e forças de superfície respectivamente. Utilizando-se a técnica dos resíduos ponderados e também a solução fundamental como função ponderadora sobre a equação de equilíbrio da estática obtém-se:

0)( *, =⋅+ jjiij ubσ (10)

Efetuando-se as devidas manipulações na equação (10), SOUZA (2001), obtém-se

Ω⋅⋅+Γ⋅⋅−Γ⋅⋅= ∫∫∫ΩΓΓ

dqsuqbdQspQudQsuQpsu ijjijjijji ),()(),()(),()()( *** (11)

Esta equação é chamada de Identidade Somigliana que determina valores de deslocamentos para pontos internos através de deslocamentos e forças de superfície do contorno, uj e pj respectivamente. A equação integral para pontos no contorno (trecho suave) tem o seguinte aspecto:

)(),()(

)(),()()(),()()()(

*

**

qdqSuqb

QdQSuQpQdQSpQuSuSc

ij

ijij

j

jjjij

Ω⋅⋅+

Γ⋅⋅=Γ⋅⋅+⋅

∫

∫∫

Ω

ΓΓ (12)

Onde:

3,2,1,21)( =δ= jiSc ijij (13)

Para pontos externos ao domínio pode-se obter uma expressão semelhante à (11), mas com o coeficiente cij igual a zero. Assim a expressão (12) torna-se uma expressão geral cujo coeficiente cij possui os seguintes valores:

externospontosp/

suavecontornodopontosp/

internospontosp/

0)(21)(

)(

=

δ⋅=

δ=

Sc

Sc

Sc

ij

ijij

ijij

(14)



143

4.3 Equacionamento algébrico

As equações integrais de contorno são transformadas em equações algébricas para serem utilizadas e isso se dá com a discretização do contorno em elementos com determinada aproximação e forma, a fim de que possam ser resolvidas numericamente. Em geral, os elementos utilizados para a discretização de um sólido tridimensional possuem a forma triangular ou quadrangular, podendo ser planos ou curvos. Estes elementos possuem funções interpoladoras, definidas por polinômios que podem ser constantes, lineares, quadráticos ou de ordem superior. Para se escrever o equacionamento algébrico do método é necessário inicialmente escrever as coordenadas cartesianas de um ponto P qualquer de um elemento em função das coordenadas dos nós que o definem. Portanto tem-se:

kiki Xx ⋅Φ= (15)

Onde: xi: coordenadas cartesianas do ponto P

Φk: funções interpoladoras

kiX : coordenadas cartesianas dos nós do elemento

Que em forma matricial pode ser expressa da seguinte forma:

T nx XΦ= (16)

De maneira análoga são determinadas expressões para deslocamentos e forças de superfície:

T n

T n

u Up P

Φ

Φ

=

= (17)

Da mesma forma, as forças volumétricas são dadas pela seguinte expressão:

T ncb BΦ= (18)

Onde:

ceΦ Φ : funções interpoladoras do elemento e da célula, respectivamente.

n nU e P : valores de deslocamentos e forças de superfície nodais do

elemento, respectivamente.

nB : valores de forças volumétricas nodais da célula.

Substituindo-se as aproximações apresentadas sobre a Identidade Somigliana de (11) para um ponto S qualquer, uma discretização do contorno em L elementos e uma discretização do domínio em M células, determina-se a seguinte equação algébrica:



144

i

i

j

L* T N

i 1

L* T N

i 1

M* T N

cj 1

c( S ) u( S ) p ( S ,Q ) ( Q ) d ( Q ) U ( Q )

u ( S ,Q ) ( Q ) d ( Q ) P ( Q )

u ( S ,q ) ( q ) d ( q ) B ( q )

Γ

Γ

Ω

Φ Γ

Φ Γ

Φ Ω

=

=

=

⎡ ⎤⋅ + ⋅ ⋅ ⋅ =⎢ ⎥

⎣ ⎦

⎡ ⎤⋅ ⋅ ⋅⎢ ⎥

⎣ ⎦

⎡ ⎤+ ⋅ ⋅ ⋅⎢ ⎥

⎣ ⎦

∑ ∫

∑ ∫

∑ ∫

(19)

Onde o índice N nos vetores U, P e B indica que se trata dos vetores com os valores de todos os elementos ou células, e não somente do elemento i ou da célula j. Tomando-se o número de pontos fonte igual ao número de nós do contorno, a equação (19) pode-se escrever matricialmente:

ˆCU HU GP DB+ = + (20)

Onde H , G e D : matrizes determinadas através das integrais numéricas sobre os elementos e células, e C é a matriz dos termos livres dados em (14) para as linhas referentes à equação (19).

Adicionando-se a matriz C à matriz H , obtém-se:

HU GP DB= + (21)

O sistema algébrico de equações apresentado em (21) é o sistema para solução do problema elástico tridimensional, utilizando-se soluções fundamentais de Kelvin e Mindlin, adaptando-se para Mindlin a questão da determinação das integrais singulares com a utilização da propriedade do movimento de corpo rígido. Com aplicação das condições de contorno em (21) através da troca de colunas entre as matrizes H e G e dos valores prescritos dos vetores U e P, consegue-se obter um sistema algébrico onde as incógnitas ficam todas do lado esquerdo da igualdade e assim torna-se possível a utilização de procedimentos para resolução de sistemas lineares para se determinar a resposta do problema.

AX F= (22)

Onde:

A : matriz cujas colunas correspondem a valores incógnitos.

X : vetor das incógnitas de deslocamentos e forças de superfície.

F : vetor obtido através da multiplicação da matriz G e o vetor P com os valores já trocados, podendo este ainda ser acrescido da contribuição das forças de volume DB . Os processos de integração utilizados são os apresentados em SOUZA (2001), uma vez que, como dito anteriormente, as implementações relacionadas ao Método dos Elementos de Contorno foram obtidas do referido trabalho e adaptadas para o problema que se deseja tratar.



145

5 ACOPLAMENTO MEC / MEF

Fazendo-se uso da equação algébrica obtida para o MEC no item 4, a menos dos termos de carregamentos de domínio, tem-se:

=HU GP (23)

Para o MEF, a equação de equilíbrio algébrica pode ser escrita por:

=KU F (24)

O vetor dos carregamentos nodais F pode ser escrito em função das forças de superfície P da seguinte forma:

= efF G P (25)

Onde Gef é a matriz originada da integração das funções de forma ao longo dos elementos que transforma forças de superfície em carregamentos nodais concentrados tal como descrito tradicionalmente no MEF, CODA et al. (1999). Fazendo-se uso da relação (25) na sua forma inversa, pode-se escrever o vetor de forças de superfície como:

−= 1efP G F (26)

Substituindo-se (26) em (23), obtém-se a equação de equilíbrio algébrica do MEC escrita em função dos carregamentos nodais concentrados, ou seja:

−= 1efHU GG F (27)

Assumindo-se que 1efG GG−= e multiplicando-se a equação (27) por 1G− nos

dois lados da igualdade, resulta:

− =1G HU F (28)

Deve-se comentar que para problemas infinitos e semi-infinitos (Solução fundamental de Mindlin) as matrizes “G” são sempre pequenas. Com estas manipulações, as equações (23) e (24) puderam ser escritas de forma similar. Efetuando-se uma última simplificação, obtém-se a expressão final do MEC a ser acoplada com as equações de equilibro algébricas do MEF, sendo dadas por:

=KU F (29)

Onde 1K G H−= .

O acoplamento entre as variáveis obtidas pelos métodos se dá de forma direta (somando termos), naturalmente respeitando-se os graus de liberdade existentes em cada uma das formulações independentemente, sendo 3 translações comuns entre ambos e mais 3 rotações para o MEF. Salienta-se que, da maneira que o



146

acoplamento foi implementado, permite-se qualquer combinação dos graus de liberdade que se deseja realizar, por exemplo, acoplando-se somente o grau de liberdade vertical no caso de uma placa apoiada em um solo. Esta flexibilidade torna a formulação um tanto quanto mais geral para realização da combinação entre os métodos. As matrizes do MEC sofreram as modificações apresentadas antes de se efetuar a imposição das condições de contorno através da troca de colunas das matrizes H e G, como tradicionalmente se faz no MEC. As condições de contorno de força e deslocamento serão aplicadas após a realização do acoplamento entre os métodos, fazendo-se uso da técnica de zeros e 1 ou troca de colunas de acordo com o problema que se esteja analisando. A equação de equilíbrio algébrica para o problema acoplado assume portanto a forma estabelecida em (30):

( )+ =K K U F (30)

Introduzindo-se a viscosidade na formulação baseando-se nos estudos apresentados por MESQUITA e CODA (2002) e MESQUITA (2002) utilizando-se de algoritmos de integração temporal, a expressão (30) assume a forma de (31) para o caso mais simples da consideração da viscosidade, ou seja, considerando que todas as camadas e elementos finitos possuam o mesmo parâmetro de viscosidade.

+ + + =KU K U KU K U F. .

γ γ (31)

O vetor de velocidade de deslocamento U.

, adotando-se uma aproximação linear, é dado por:

+ −=

∆t 1 tU UU

t

. (32)

Substituindo-se (32) em (31) e isolando apenas as incógnitas no lado esquerdo da equação, resulta em:

+⎛ ⎞⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞+ + + = + +⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟∆ ∆ ∆ ∆⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎝ ⎠

t 1 t1 K 1 K U F K K Ut t t tγ γ γ γ

(33)

6 EXEMPLOS DE APLICAÇÃO

6.1 Exemplo 01

Neste exemplo, o comportamento elastoplástico de uma placa quadrada engastada e submetida a uma carga concentrada no ponto central é considerado. Aproveitando-se da simetria do problema, ¼ da placa é modelado utilizando-se 10x10 divisões de elementos finitos triangulares e composta de 8 camadas de igual espessura para melhor representação da plasticidade. As características da geometria



147

do problema e grandezas físicas do material isotrópico empregado, bem como parâmetros de plastificação, podem ser verificadas na Figura 5.

Dados gerais para o exemplo: (MN, m) E = 30000.0; G = 11540.0; ν = 0.3; Et = 300.0; σ0x = σ0y = 30.0; τ0xy = τ0xz = τ0yz = 17.32; h = 0.20; L = 6.0; Ptotal = 4.0 – ponto “A”;

Figura 5 - Placa quadrada.

Os resultados são comparados com respostas obtidas por OWEN & FIGUEIRAS (1983) onde foi utilizado o critério de plastificação tridimensional de Huber-Mises no qual as componentes de tensão são modificadas pela introdução de parâmetros anisotrópicos. Os autores utilizaram lei de fluxo associativa para as deformações plásticas e propuseram uma correção das tensões cisalhantes para serem usadas no critério de plastificação em função da adoção de distribuição constante de tensões cisalhantes ao longo da espessura da placa. Para a formulação aqui utilizada, foram analisados dois casos: (a) isotrópico - primeiramente adotando-se os parâmetros utilizados no critério de plastificação idênticos aos apresentados na Figura 5 e retorno na direção elástica, e (b) anisotrópico - onde foram adotados σ0y = 40.0 e τ0xy = 20.0, para diferentes direções de retorno para a superfície do critério de plastificação e diferentes valores para “Ey”. Na Figura 6, são apresentados os valores de deslocamento vertical, no ponto “A”, nó central da placa, em função da carga concentrada aplicada, para o caso de parâmetros de plastificação isotrópicos. Na Figura 7 são apresentados os resultados de OWEN & FIGUEIRAS (1983) com parâmetros plásticos anisotrópicos, porém com constantes elásticas isotrópicas. Nesta figura apresentam-se também os resultados obtidos pela formulação apresentada segundo os mesmos parâmetros de OWEN & FIGUEIRAS (1983), chamado “direção elástica”. Além disso varia-se o módulo de elasticidade na direção “Y” para EY = 40000 e a direção do fluxo plástico conforme informado na própria Figura 7. Isto foi feito visando mostrar a influência dos diversos parâmetros elásticos e elastoplásticos no comportamento geral da placa analisada. As unidades apresentadas para as grandezas do problema foram consideradas iguais as apresentadas na referência utilizada para comparação dos resultados.

Y

X

A L

L Y



148

0.00 0.01 0.02 0.03 0.04 0.05 0.06 0.070.0

0.5

1.0

1.5

2.0

2.5

3.0

3.5

Car

ga "P

"

Deslocamento Vertical no Ponto "A"

OWEN & FIGUEIRAS (1983b)

Presente Trabalho

Figura 6 - Deslocamento vertical “w” em “A” x carga concentrada “P” - isotrópico.

Para a Figura 6, acredita-se que a diferença encontrada nos resultados é devida à distribuição da tensão de cisalhamento adotada constante ao longo da espessura das camadas da placa para este trabalho, bem como da malha utilizada na modelagem do problema e uma significativa diferença entre os critérios de plastificação e lei de fluxo adotados. Os autores OWEN & FIGUEIRAS (1983), como dito anteriormente, propuseram uma correção para as tensões de cisalhamento para serem consideradas no critério de plastificação. Para a Figura 7, observou-se que a direção do fluxo plástico tem pouca influência no comportamento geral da estrutura.

0.00 0.02 0.04 0.06 0.080.0

0.5

1.0

1.5

2.0

2.5

3.0

3.5

4.0

Car

ga "P

"

Deslocamento Vertical no Ponto "A"

OWEN & FIGUEIRAS (1983b) Ret. Dir. Elástica np21 = 0.5 - Ey = 40000 np = 0.0 - Ey = 40000

Figura 7 - Deslocamento vertical “w” em “A” x carga “P” - anisotrópico.



149

6.2 Exemplo 02

Este exemplo apresenta o comportamento de uma placa quadrada e isotrópica, com um enrijecedor no centro e na direção do eixo “y”, submetida a um carregamento uniformemente distribuído, tal como em KOLLI & CHANDRASHEKHARA (1996). Adotou-se como referência para a placa e para a viga o plano médio da placa. A geometria do problema, bem como as demais características da análise, estão apresentadas na Figura 8. Foram utilizadas 16 x 16 divisões de elementos finitos triangulares para modelagem de ½ da placa, sendo que a discretização dos elementos de barra acompanha a divisão da malha triangular.

Dados gerais para o exemplo: (placa e viga) E = 11713 kN/cm2; G = 4505 kN/cm2; ν = 0.3; q = 6.89x10-4 kN/cm2; A = B = 2.54 cm; a = b = 0.0254 cm; c = 0.254 cm;

Figura 8 - Placa isotrópica enrijecida.

Os resultados de deslocamento vertical medidos no centro da placa são apresentados na Tabela 1, comparando-se os valores obtidos com KOLLI & CHANDRASHEKHARA (1996) onde utiliza-se também a cinemática de laminados na formulação e com ROSSOW & IBRAHIMKHAIL (1978) - apud KOLLI & CHANDRASHEKHARA (1996), onde utilizou-se o Método da Restrição para obtenção dos resultados.

Tabela 1 - Deslocamento vertical no centro da placa (x10-4 cm)

Carga Ref.[*] Ref.[**] Ref.[***] Presente Trabalho wcentro 3.472 3.441 3.357 3.538 [*] - ROSSOW & IBRAHIMKHAIL (1978) - apud KOLLI & CHANDRASHEKHARA (1996) [**] - KOLLI & CHANDRASHEKHARA (1996) [***] - ANSYS® - DIAS et al. (2001)

A Figura 9 apresenta a configuração deformada da placa enrijecida, evidenciando um menor deslocamento no centro da placa em função da contribuição do enrijecedor. Os resultados apresentados na Tabela 1 estão totalmente de acordo com aqueles apresentados pelos referidos autores, usando também da teoria de laminados e do Método da Restrição.

y,v

A: u = w = θy = 0 B: v = w = θx = 0

aCorte C-C

c

bC C

x,u

A

B



150

Figura 9 - Configuração deformada da placa enrijecida.

6.3 Exemplo 03

Este exemplo, também obtido em KOLLI & CHANDRASHEKHARA (1996), simula o comportamento de uma placa retangular e isotrópica, submetida a dois casos de carregamento: uniformemente distribuído e concentrado no centro da placa. A placa é ortogonalmente enrijecida por duas nervuras centrais. Novamente, a referência adotada para ambos os elementos, placa e viga, foi a camada central da placa. As características gerias para o problema estão apresentadas na Figura 10.

Figura 10 - Placa retangular ortogonalmente enrijecida.

Analogamente ao exemplo anterior, foram utilizadas 14 x 14 divisões de elementos finitos triangulares para modelagem da placa inteira, sendo que, da mesma forma, a discretização dos elementos de barra acompanha a divisão da malha triangular. São apresentado na Tabela 2 os deslocamentos verticais no centro da placa, comparados aos resultados apresentados em KOLLI & CHANDRASHEKHARA (1996).

y,v

b

a

b

B

A

C

u, w

C D

D

Corte C-C Corte D-D a

A: u = w = θy = 0 B: v = w = θx = 0

a = 0.635 cm; b = 1.27 cm; c = 12.7 cm; d = 7.62 cm;

A = 152.4 cm;

B = 76.2 cm;

c d

E = 20670 kN/cm2;

G = 7950 kN/cm2;

ν = 0.3;

q = 6.89x10-3 kN/cm2;

P = 4.45 kN;



151

Tabela 2 - Deslocamento vertical no centro da placa (x10-4 cm)

Carga Solução em Série - Ref.[*] Ref.[**] Ref.[***] Ref.[****] Presente

Trabalho distribuída 224.790 224.510 221.031 212.000 221.248

concentrada 32.260 32.180 31.500 29.870 32.520 [*] - CHANG (1973) - apud KOLLI & CHANDRASHEKHARA (1996) [**] - ROSSOW & IBRAHIMKHAIL (1978) - apud KOLLI & CHANDRASHEKHARA (1996) [***] - KOLLI & CHANDRASHEKHARA (1996) [****] - ANSYS® - DIAS et al. (2001)

6.4 Exemplo 04

Este exemplo apresenta a simulação do comportamento de um tubo vazado de concreto armado, submetido a um carregamento uniformemente distribuído ao longo da direção do eixo do tubo e do raio. Utiliza-se o elemento de pórtico laminado na modelagem deste exemplo, pois este permite que seja adotado diagrama multilinear para a relação entre tensão e deformação, representando o concreto de forma mais adequada. Os resultados são comparados com a resposta do ensaio experimental obtida em CHAMA NETO (2002). A curva tensão x deformação adotada para o exemplo, Figura 12 e Figura 13, também foi obtida em CHAMA NETO (2002), juntamente com as demais características para o problema. A Figura 11 fornece a configuração de geometria para o exemplo.

Dados gerais para o exemplo: (kN e cm) Econc = 2970.00 e Gconc = 1485.00; Eaço = 21000.00 e Gaço = 10500.00; L = 100; R = 44.5; Recalque de 1.50 na direção da carga q; Área de aço na seção transversal: 3.32;

Figura 11 - Tubo vazado.

A seção transversal do tubo possui uma armadura de área igual 3.32 cm2, posicionada a uma distância de 3.50 cm da face interna do tubo. Para a modelagem, adotou-se uma faixa de aço ao longo da seção transversal, com espessura equivalente para se manter a mesma área de aço do experimento. A parcela referente ao concreto foi subdividida em 50 camadas para melhor representação da plasticidade, enquanto que a de aço manteve-se inalterada. Foram

L

q

z y

x R



152

utilizados 20 elementos de barra de aproximação cúbica na discretização de ½ do tubo. As condições de contorno nas duas extremidades da parte modelada são de engastamento, sendo que na extremidade do carregamento, a exemplo do ensaio laboratorial, aplicou-se um deslocamento de 1.50 cm na direção deste. Para o diagrama tensão x deformação do concreto, foram adotados 4 trechos para a tração e 9 para a compressão, buscando representar o diagrama obtido em laboratório, Figura 12 e Figura 13.

Figura 12 - Curva tensão x deformação para a tração (kN e cm).

A tensão de plastificação adotada para o concreto é de 0.9823 kN/cm2 para a compressão e 0.2210 kN/cm2 para a tração, sendo que para o aço assumiu-se o valor de 78.65 kN/cm2 para ambas.

Figura 13 - Curva tensão x deformação para a compressão (kN e cm).

A Figura 14 apresenta os resultados experimentais encontrados em CHAMA NETO (2002), sendo que a curva em maior destaque é a média das respostas experimentais obtidas. Os resultados apresentados na Figura 15, comparados com o ensaio de laboratório, média dos valores experimentais da Figura 14, mostram uma boa concordância entre as curvas obtidas. O aspecto dentado na curva da resposta numérica se dá devido à característica discreta do posicionamento dos pontos de Gauss na consideração da contribuição do material.

σ (x10-1)

ε

σ (x10-1)

ε



153

Os valores adotados na análise numérica foram obtidos diretamente da referência e utilizados na modelagem sem nenhuma calibração. Portanto, acredita-se que os resultados apresentados são totalmente satisfatórios do ponto de vista de engenharia.

Figura 14 - Deslocamento vertical x carga – resultado experimental.

0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.00

20

40

60

80

100

120

Car

ga A

plic

ada

(kN

)

Deslocamento Vertical (cm)

Numérico Experimental

Figura 15 - Deslocamento vertical x carga aplicada.

6.5 Exemplo 05

Este exemplo serve para verificar o acoplamento entre elementos finitos de casca e elementos de contorno 3D no que diz respeito a transmissão de forças. Neste caso, um sólido engastado e discretizado com elementos de contorno (MEC - Figura



154

16) é acoplado a um conjunto composto por uma placa e uma chapa (MEF - Figura 16) rígidas. Na extremidade livre da chapa de elementos finitos aplica-se um carregamento distribuído “q”. A geometria para o problema, bem como as características físicas dos materiais são apresentadas na Figura 16. Por se tratar de um domínio fechado, utilizou-se solução fundamental de Kelvin na modelagem do contorno.

Dados gerais para o exemplo:

EMEC = 1x105 N/m2; EMEF ≅ ∞; νMEC = νMEF = 0.0;

q = 3.765 N/m;

L1 = L2 = 9 m; A = 3 m

hMEF = 0.3 m

Figura 16 - Sólido tracionado – MEC x MEF.

A Tabela 3 apresenta o resultado de deslocamento na interface do acoplamento entre a região do MEC e do MEF, mostrando a total concordância entre a resposta analítica obtida de forma simples para este exemplo e a resposta numérica.

Tabela 3 - Deslocamento na interface do acoplamento

Deslocamento (m)

Analítico 0.00016

Numérico 0.00016

7 AGRADECIMENTOS

Os autores agradecem à FAPESP – Fundação de Amparo à Pesquisa do Estado de São Paulo – pelo financiamento desta pesquisa.

8 REFERÊNCIAS

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L1

A

A

q L2

MEC

MEF



155

CHAMA NETO, P. J. (2002). Avaliação de desempenho de tubos de concreto reforçados com fibras de aço. São Paulo. Dissertação (Mestrado) - Escola Politécnica - Universidade de São Paulo. CHEN, W. F.; HAN, D. J. (1988). Plasticity for Structural Engineers. New York: Spring Verlag. CLOUSTON P. L.; LAM F. (2001). Computational modeling of strand-based wood composites. Journal of Engineering Mechanics, v. 127, n.8, p.844-851. CODA, H. B. (1990). Análise da vibração livre de meios elásticos bidimensionais pelo método dos elementos de contorno. São Carlos. Dissertação (Mestrado) - Escola de Engenharia de São Carlos – Universidade de São Paulo. CODA, H. B. (2000). Uma contribuição à análise dinâmica de meios contínuos pelo Método dos Elementos de Contorno. (Livre Docência). CODA, H. B.; VENTURINI, W. S.; ALIABADI, M. H. (1999). A general 3D BEM/FEM coupling applied to elastodynamic continua/frame structures interaction analysis. International Journal for Numerical Methods in Engineering, v. 46, n. 5, p. 695-712, Oct. DIAS, R. H.; PAIVA, J. B.; GIONGO, J. S. (2001). Análise numérica de lajes enrijecidas considerando a excentricidade entre nervuras e placa. In: CONGRESSO IBERO LATINO AMERICANO DE MÉTODOS COMPUTACIONAIS PARA ENGENHARIA, 22., Campinas, S.P. 1 CD-ROM. HYER, M. W. (1998). Stress Analysis of fiber-reinforced Composite Materials. New York: McGraw-Hill Publ., 1997, 627 p. KOLAKOWSKI Z. (2003). On some aspects of the modified TSAI-WU criterion in thin-walled composite structures. Thin-Walled Structures, v. 41, p. 357-374. KOLLI, M.; CHANDRASHEKHARA, K. (1996). Finite Element analysis of stiffened laminated plates under transverse loadingnear static and dynamic analysis of stiffened laminated plates. Composite Science and Technology, v. 56, p.1355-1361. MANUAL DO PROGRAMA ANSYS®, 1998, Manual de utilização da Versão 5.5, Swanson Analysis Systems, Inc. Canonsburg. MESQUITA, A. D. (2002), Novas metodologias e formulações para o tratamento de problemas inelásticos com acoplamento MEC/MEF progressivo. São Carlos. Tese (Doutorado) - Escola de Engenharia de São Carlos - Universidade de São Paulo. MESQUITA, A. D.; CODA, H. B. (2002). Alternative Kelvin viscoelastic Model for Finite Elements. Applied Mathematical Modelling, v. 26, p. 501-516. OWEN, D. R. J.; FIGUEIRAS, J. A. (1983). Anisotropic elasto-plastic finite element analysis of thick and thin plates and shells. International Journal for Numerical Methods in Engineering, v. 19, p. 541-566. PACCOLA, R. R.; VANALLI, L.; CODA, H. B. (2003). 3D Laminated frame finite element: Linear analysis. In: CONGRESSO IBERO LATINO AMERICANO DE MÉTODOS COMPUTACIONAIS PARA ENGENHARIA, 24., Ouro Preto, M.G. 1 CD-ROM.



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