ENSINAR MATÉMÁTICA TENDO COMO PONTO DE PARTIDA A

OBSERVAÇÃO E O RECONHECIMENTO DA PROPORÇÃO ÁUREA

Deborah Trindade

GP Linguagens desenhadas e educação

A Matemática está presente em praticamente todas as áreas do conhecimen-

to e o conhecimento matemático se faz cada vez mais necessário em um mundo de cres-

cimento tecnológico constante. Usamos o tempo todo ao contar dinheiro, ao ver as ho-

ras, ao planejar a rotina do dia. Mas ensinar matemática, motivar o aluno, não é tarefa

fácil. A mesma criança que facilmente utiliza cálculos mentais para dar o troco ou so-

mar valores enquanto ajuda o pai na feira, tem grandes dificuldades para realizar os

mesmos cálculos em sala de aula.

O problema perde o significado porque a resolução de proble-

mas na escola tem objetivos que diferem daqueles que nos mo-

vem para resolver problemas de matemática fora da sala de au-

la (CARRAHER et al, 1995).

Assim sendo, grande parte do insucesso no ensino de Matemática se deve à

não observação, por parte do aluno, da aplicação do conceito no seu dia a dia.

A arte, ao contrário, tem grande aceitação por indivíduos de todas as idades,

sendo frequentemente usada como poderoso agente de transformação social. Através da

arte, o ser humano expõe suas crenças, explora novas formas de olhar, emociona e tra-

duz o mundo à sua volta. As formas mais próximas de expressão são, sem dúvida, a

dança e a música, seguida pela pintura. O ser, em seu desenvolvimento natural, se rela-

ciona com estas artes de maneira intuitiva por mera afinidade e facilidade de expressão.

Contudo, esta propensão não é aproveitada em sala de aula. Em todas elas, encontramos

sustento para o olhar matemático aplicado. A Proporção Áurea é um dos muitos cami-

nhos que podem ser explorados para um ensino prazeroso da matemática. Trata-se de

um número presente espontaneamente em quase tudo, é agradável ao olhar e traduz uma

harmonia estética. Esta harmonia foi associada a uma virtude excepcional, o número foi

então chamado de número de ouro ou número áureo. A história deste número perdeu-se

no tempo, sendo encontrado na Matemática de povos antigos como egípcios, babilôni-

cos, maias e astecas. O fascínio por este número vem de longa data, desde antes dos

gregos Pitágoras e Euclides, passando por Fibonacci, Kepler, até os dias atuais, em que

ainda é amplamente utilizado (CONTADOR, 2008). O software Corel Painter traz uma

ferramenta para criar formas na Proporção Áurea, facilitando o trabalho de designers e

atestando a atualidade do número.

Número de ouro e Proporção Áurea

O número de ouro é uma constante algébrica irracional denotado pela letra

grega Φ (Phi) em homenagem ao escultor e arquiteto grego Fídias (490-430 a.C.), res-

ponsável pela construção do Partenon, em Atenas, e quem sempre fez uso da Proporção

Áurea em suas obras (FREITAS, 2008). O número é a expressão numérica de uma rela-

ção particular expressada por 1,61803398875...

Segundo Euclides, duas relações iguais formam uma proporção. No caso do

número de ouro, duas relações iguais que tem o mesmo consciente 1,618 resultam na

denominada proporção divina (FUNCK-HELLET, 1951). Na Idade Média, um talento-

so matemático chamado Leonardo de Pisa ou Fibonacci, deu uma valiosa contribuição

ao criar a Sequência de Fibonacci, que consiste em uma sucessão de números, tais que,

definindo-se os dois primeiros números da sequência como 0 e 1, os números seguintes

serão obtidos por meio da soma dos seus dois antecessores. Portanto, os números são: 0,

1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233,… As sucessivas razões entre um número e

seu antecessor vão-se aproximando, cada vez mais, do número de ouro.

O número de ouro está em toda a parte, na natureza e nas mais belas cria-

ções artísticas. Trabalhar com a Proporção Áurea facilita o processo de ensino-

aprendizagem e traz a Matemática para um plano concreto, onde pode ser identificada e

admirada (QUEIROZ, 2008).

Fig 1: Construção da espiral e Nautilus marinho

Fig. 2: Proporção Áurea em flores e insetos. Fonte: (NETO, 2010).

As proporções do corpo humano também seguem a regra da Proporção Áu-

rea, servindo de orientação para profissionais de odontologia na busca por um sorriso

perfeito. “Marcas da seção áurea” são impressas em papel e ajudam a criar próteses den-

tárias que formam um conjunto harmonioso (QUEIROZ, 2008).

Fig. 3: Proporção da arcada dentária. Fonte: Laboratório Labordental.

Os gregos valorizavam a beleza e as medidas proporcionais mesmo em u-

tensílios domésticos. O amor pelo belo era uma busca constante e a beleza não tinha

preço. Xenofonte, discípulo de Sócrates e responsável pela divulgação de seu pensa-

mento, escreveu, em seu livro sobre economia doméstica: “É belo ver os sapatos arru-

mados em fila... as roupas separadas de acordo com seu uso... as panelas dispostas com

bom senso e simetria.” Os gregos se esforçavam para criar harmonia e imprimir ordem

a qualquer massa desordenada de materiais. Eram dotados de excepcional destreza ma-

nual e visual e seus escultores foram os melhores que a história conheceu. Os padrões

de beleza grega influenciaram toda a produção artística posterior (BOWRA, 1969).

Especialmente no período helenístico, observa-se um crescente naturalismo

nas artes. A escultura fez grandes conquistas, ganhou em complexidade e as figuras

representavam não só a personalidade, mas também emoções e o estado de espírito. Os

êxitos técnicos e estéticos dos artistas gregos contaram com o auxílio fundamental da

observação da regra de ouro, da qual eram profundos estudiosos.

Fig.4: Proporções Áureas detalhadas. Fonte:

A altura do corpo humano é 1,618 maior que a medida dos pés até o umbi-

go; a razão entre as falanges também segue a regra de ouro, assim como outras partes do

corpo. A saber: a) da linha dos lábios até o queixo; b) da ponta do nariz à linha dos lá-

bios; c) a altura do crânio e a medida da mandíbula até o alto da cabeça; d) a medida da

cintura até a cabeça e o tamanho do tórax; e) a medida do ombro à ponta do cotovelo e a

medida do cotovelo à ponta do dedo; d) o tamanho dos dedos e a medida da dobra cen-

tral até a ponta; e) a medida do quadril até o chão e a medida do joelho até o chão; f) a

medida do cotovelo até o pulso e a medida do pé.

Algumas pesquisas indicam que, quanto mais nos aproximamos destas me-

didas, mais atraentes nos tornamos.

Fig 5: Na face relaxada, a linha dos lábios divide o terço inferior da face

nos segmentos da Proporção Áurea. Fonte: Laboratório Labordental.

Fig. 6: Comprimento das falanges.

Policleto, escultor grego nascido em Argos, tendo como base estas medidas,

propôs um modelo matemático em seu famoso Cânon, onde estipulou a medida de sete

cabeças para suas esculturas. Lisipo, outro mestre grego, alongou essa medida para sete

cabeças e meia. Hoje o mais comum é o uso de oito cabeças, o que faz com que a figura

se torne mais alongada e com maior estatura.

Fig 7: Proporções do corpo de Policleto e Lisipo.

A Proporção Áurea foi recentemente recriada pelo Dr. Stephen Marquardt,

que estudou, durante anos, a beleza humana em sua prática da cirurgia oral e maxilofa-

cial. Em suas pesquisas, o Dr. Marquardt descobriu que todos os grupos tiveram as

mesmas percepções de beleza facial e também analisou o rosto humano desde os tempos

antigos aos dias de hoje. Desenvolveu, então, uma máscara que usa o pentágono e decá-

gono a sua fundação, que encarnam o número de ouro em todas as suas dimensões

(MARQUADT BEAUTY ANALYSIS, 2010). Esta máscara pretende orientar em cirur-

gias plásticas, correções da arcada dentária e mesmo em maquilagens.

Fig. 8: Exemplos de máscara que analisam as belezas asiática, negra e cau-

casiana. Fonte: (MARQUADT BEAUTY ANALYSIS, 2010)

A Proporção Áurea, apesar de ter suas origens perdidas no tempo, sua apli-

cação é amplamente utilizada nos dias atuais. Artistas e designers do mundo todo utili-

zam esta regra pra montar suas proporções.

Fig. 9: Cartão de crédito. Fonte: Digital Paper

Fig. 10: iPod. Fonte: Digital Paper

Construindo um segmento áureo em um segmento de reta qualquer

Existem vários métodos para obter a Proporção Áurea e várias ferramentas

foram criadas para facilitar a obtenção desta proporção e, consequentemente, sua utili-

zação. O exemplo aqui mostrado utiliza apenas um compasso e uma um jogo de esqua-

dros.

Para obter o ponto médio do segmento AB, coloque a ponta seca do com-

passo em um extremo, abra-o até o outro extremo e trace um arco para cima e para bai-

xo do segmento de reta AB. Repita este procedimento com o outro extremo da reta, sem

alterar a abertura do compasso. Os pontos onde os arcos se cruzam devem ser unidos

por um segmento de reta (em vermelho) e o ponto onde este segmento cruza o primeiro

segmento AB é o ponto médio de AB;

Agora traçaremos uma reta perpendicular a AB passando por B com a me-

tade do comprimento de AB;

Trace a reta perpendicular a AB usando um esquadro;

Com a ponta seca do compasso em B, abra-o até o ponto médio M e trace

um arco até que este cruze a reta perpendicular a AB;

Temos agora uma nova reta BC perpendicular a AB com exatamente a me-

tade do comprimento de AB;

Una este ponto que acabou de encontrar com o ponto A da primeira reta pa-

ra formar um triângulo ABC;

Coloque a ponta seca do compasso no vértice C do triângulo e abra-o até o

ponto B. Use este raio para marcar o ponto E na hipotenusa do triângulo;

Finalmente, com a ponta seca do compasso no vértice A, abra-o até o novo

ponto E marcado na hipotenusa, e use este raio para marcar o ponto D na primeira reta

AB. Este ponto é o ponto que divide o segmento AB em duas partes, onde o maior seg-

mento é 1,6183....vezes o menor (MATEMÁTICA ESSENCIAL, 2010).

Atividades matemáticas com base na Proporção Áurea

Escolha do representante masculino e feminino da beleza Áurea: Após a e-

leição dos alunos, é possível chamar atenção para a Proporção Áurea presente em diver-

sos segmentos corporais, este é o ponto de partida par trabalhar razão e proporção, mé-

dia aritmética e articular o eixo Números, Operações e Álgebra com o eixo Medidas.

Identificar objetos com Proporção Áurea: Ao identificar objetos do cotidia-

no na forma retangular que apresentam a razão áurea entre suas dimensões ou uma ra-

zão que se aproxima da razão áurea, percebe-se que a matemática esta presente no dia-

a-dia e que pode ser utilizada para proporcionar beleza estética aos objetos do nosso

cotidiano. É possível, então, realizar o embasamento teórico com vários conceitos de

geometria.

Teorema de Pitágoras e o retângulo áureo. Após observação da utilização

do retângulo de ouro na arquitetura e pintura seguir a obtenção do segmento áureo em

uma reta e a aplicação do teorema de Pitágoras.

Estes são alguns exemplos de utilização da Proporção Áurea como fator es-

timulante para o aprendizado da matemática. Esta também pode ser a base para ativida-

des interdisciplinares envolvendo disciplinas como história, matemática e biologia. Sua

importância tanto no passado quanto no presente a qualificam para uma exploração pra-

zerosa em sala de aula, contribuindo para um melhor aproveitamento do currículo de

matemática.

REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS

BOWRA, C. M. Grécia Clássica. Bibl. de Hist. Universal Life. Liv. José Olympio Ed.

Rio de Janeiro. 1969.

CARRAHER, T; CARRAHER, D; SCHLIEMANN, A. L. Na vida dez, na escola zero.

Ed. Cortez. 184p. 1995

CONTADOR, P. R. M. A Matemática na arte e na vida. Ed. Livraria da Física. S

D’AMBROSIO, U. Por que se ensina matemática. Disponível em: http://www.ima.

mat.br/ubi/pdf/uda_004.pdf. Acesso em: 27/04/2010.

D’AMBROSIO, B. S. Como ensinar matemática hoje. Temas e Debates. SBEM. Ano

II. N2. Brasilia. P 15-19. 1989.

DIGITAL PAPER. www.digitalpaperweb.com.br/ezine. 02/05/2010

FREITAS, F. M. A proporção Áurea e curiosidades históricas ligadas ao desenvolvi-

mento da ciência. Disponível em: http://www.africamae.com.br/livros/pdf/ Proporcao-

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FUNCK-HELLET, CH. Las Pinturas del Renascimiento Italiano y el Numero de Oro.

Argentina. Livaria Hachette. 1951.

LABORATORIO LABORDENTAL. Golden Section Divider: Compasso para a deter-

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<http://www.labordental.com.br/GOLDENSECTION.htm>. Acesso em: 02/05/2010.

MATEMÁTICA ESSENCIAL http://www.mat.uel.br/matessencial/alegria/fibonacci/

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MARQUADT BEAUTY ANALYSIS - http://www.beautyanalysis.com/index2_

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QUEIROZ, R. M. Razão Áurea: A beleza de uma razão surpreendente. Trabalho de

Conclusão de Curso do Programa de Desenvolvimento Educacional – UEL/Londrina.

Paraná. 2008.