1 Amintas engenharia. 2 Cálculo Numérico Amintas Paiva Afonso 1. Introdução.
Ensino Superior 1.1 Integral Indefinida Método da Substituição Amintas Paiva Afonso Cálculo 2.
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Ensino Superior
1.1 Integral Indefinida Método da Substituição
Amintas Paiva Afonso
Cálculo 2
Integral Indefinida
Técnicas de Integração (Primitivação)
OBJETIVO: Apresentar técnicas para determinar a função F(x) – conhecida como primitiva – tal que F’(x) = f(x) ou:
F(x)dx f(x)
As principais técnicas de primitivação, conforme visto no curso FUNÇÕES DE UMA VARIÁVEL são:
– INTEGRAÇÃO POR SUBSTITUIÇÃO DE VARIÁVEL
– INTEGRAÇÃO POR PARTES
– INTEGRAÇÃO POR DECOMPOSIÇÃO EM FRAÇÕES PARCIAIS
– INTEGRAÇÃO UTILIZANDO SUBSTITUIÇÕES (POR MEIO DE IDENTIDADES) TRIGONOMÉTRICAS
Integral Indefinida
Integral Indefinida
Integral Indefinida
EXEMPLO 01
Calcular dx2x1)(x 502
Solução
Seja u = x2 + 1
Logo: 2x dx = du
Assim, a integral dada pode ser escrita como:
du(u)50
C51
1)(xC
51
udu(u)
5125150
INTEGRAÇÃO POR SUBSTITUIÇÃO
2xdx
du
Integral Indefinida
EXEMPLO 02
Calcular dx9)sen(x
Solução
Seja u = x + 9
Logo: dx = du
Assim, a integral dada pode ser escrita como:
dusen(u)
C9)cos(xCcos(u)dusen(u)
INTEGRAÇÃO POR SUBSTITUIÇÃO
1dx
du
Integral Indefinida
EXEMPLO 03
Calcular dxcos(x)(x)sen2
Solução
Seja u = sen(x)
Logo: cos(x) dx = du
Assim, a integral dada pode ser escrita como:
duu2
C3
(x)senC
3
uduu
332
cos(x)dx
du
INTEGRAÇÃO POR SUBSTITUIÇÃO
Integral Indefinida
EXEMPLO 04
Calcular dxx
e x
Solução
Entãox2
1
x
1
2
1x
2
1x
dx
d
dx
du
2
12
1
2
1
Seja u = x
Logo: = du dxx2
1
Antes da substituição, a função dada será escrita de outra forma.
INTEGRAÇÃO POR SUBSTITUIÇÃO
Integral Indefinida
Assim, a integral dada pode ser escrita como:
Ce2Ce2due2du2e xuuu
dxx2
12edx
x2
2
1
edx
x
e xxx
du2edxx2
12e ux
Ou seja: Ce2dxx
e xx
du2dxx
1dudx
x2
1
outra maneira de chegar aqui sem manipular a função dada é fazendo (página 08):
Integral Indefinida
EXEMPLO 05
Calcular dx1xx2
Solução
Seja u = x – 1
Logo: dx = du
Se u = x – 1
Então x = u + 1
x2 = (u+1)2
x2 = u2 + 2u + 1
Assim, a integral dada pode ser escrita como:
INTEGRAÇÃO POR SUBSTITUIÇÃO
Integral Indefinida
duu1)2u(u2
ou:
duu2uu
du1uu2uuuduu1)2u(u
2
1
2
3
2
5
2
1
2
1
2
122
12
Portanto:
C1
21u
123u
21
25u
duu2uu
12
11
2
31
2
5
2
1
2
3
2
5
Integral Indefinida
Cu3
2u
5
4u
7
2duu2uu 2
3
2
5
2
7
2
1
2
3
2
5
Finalmente:
Escrevendo em termos de x:
C)1(x3
2)1(x
5
4)1(x
7
2dx1xx 2
3
2
5
2
72
Técnicas de Integração Método da Substituição: A chave do método da substituição é
dividir a função em partes e depois encontrar uma parte da função cuja derivada também faça parte dela.
Exemplo
Podemos dividir a equação acima em duas partes:
sen x.dx e cos x.
Repare que a derivada do cos x é -sen x, portanto,
a derivada do cosseno faz parte da função.
dxx
xcos
sen
Integral Indefinida
Passos: Procure na função pela parte cuja derivada esteja na função.
Se você estiver em dúvida, tente usar a que está no denominador ou alguma expressão que esteja sendo elevada a uma potência;
Chame-a de “u” e tome sua derivada com relação ao diferencial (dx, dy, dt, etc.). Acrescentando esse diferencial;
Use as expressões “u” e “du” para substituir as partes da integral original;
A sua nova integral será mais fácil de ser calculada, mas não esqueça de, ao final, desfazer a substituição.
Integral Indefinida
Exemplo 06:
Use o método de substituição para encontrar a integral:
Solução
Devemos escolher parte da função cuja derivada esteja na função, como a derivada de sen x = cos x e a derivada do cos x = -sen x, e, ambas estão na função, na dúvida... selecionamos a parte que está no denominador, isto é, cos x.
Chamamos u = cos x;
Agora derivamos u com relação a “x”, portanto: du = -sen x.dx;
Como na função original a função seno é positiva, basta multiplicar ambos os lados por –1 para que ela fique positiva;
dxx
xcos
sen
dxxdu .sen
Integral Indefinida
Solução Basta re-escrever a integral original com as expressões
“u” e “du”;
Integral original:
Nova integral:
Que também pode ser re-escrito como:
x
dxx
cos
.sen
u
du
u
du
Integral Indefinida
Solução
Basta calcular: ;
O passo final é desfazer a substituição de u pelo o valor da original:
Cuu
du ||ln
Cxu
du |cos|ln
Integral Indefinida
Exemplo 07
Use o método de substituição para encontrar a integral:
Solução
Chamamos u = 3x; Agora derivamos u com relação a “x”, portanto: du = 3.dx; Basta re-escrever a integral original com as expressões
“u” e “du”; Note que 3.dx não está na equação original, apenas dx.
Para ficar apenas com dx, fazemos:
dxx).3cos(
dxdu
3
Integral Indefinida
Solução Basta re-escrever a integral original com as expressões “u” e
“du”;
Integral original:
Nova integral:
Que também pode ser re-escrita:
dxx).3cos(
3.cosdu
u
duu.cos3
1
Integral Indefinida
Solução Calculando , temos:
Substituindo u pelo seu valor original, teremos:
duu.cos3
1 Cuduu sen.3
1.cos
3
1
Cxduu 3sen.3
1.cos
3
1
Integral Indefinida
Integral Indefinida
Sejam as identidades trigonométricas:
2
cos2x1xcos
2
cos2x1xsen 22
Assim,
dxcos2x2
1dx
2
1dx
2
cos2x1dxxsen2
2
sen2x
2
1
10
x
2
1 10
Cusen2
1
duucos2
1dxcos2x
dx2
du2
dx
du
2xu
dxcos2x
C4
2xsen
2
xxsen2
EXEMPLO 08
INTEGRAÇÃO DE POTÊNCIAS QUADRÁTICAS DASFUNÇÕES TRIGONOMÉTRICAS SEN(X) E COS(X)
Integral Indefinida
Da mesma forma, e utilizando a outra identidade trigonométrica:
C4
2xsen
2
xxcos2
A integraldxxcosxsen 22
pode ser resolvida fazendo:
dxcos2x12
1cos2x1
2
1
dx2xcos14
1 2
dx2
cos2x1
2
cos2x1dxxcosxsen 22
Integral Indefinida
dx2xcos14
1 2
dx2xcos4
1dx1
4
1 2
8
4xsen
2
x
8
2usen
4
u
4
2usen
2
u
2
1duucos
2
1dx2xcos
dx2
du2xu
dx2xcos
22
2
8
sen4x
2
x
4
1
4
x
C32
sen4x
8
x
Integral Indefinida
Solução
EXEMPLO 09
Determinar dx 6)4xsen(x 2)(x 2
Seja u = x2 + 4x – 6
Então:
42xdx
du
dx 2)(x 2 dx 4)(2xdu
INTEGRAÇÃO POR SUBSTITUIÇÃO
Integral Indefinida
Logo, seja: dx 2)(x 2
du
Assim,
du sen(u)2
1
2
dusen(u)dx 6)4xsen(x 2)(x 2
Sabe-se que:
Ccos(u)du sen(u) TABELA
Mas:
dx 6)4xsen(x 2)(x 2
Integral Indefinida
Então:
C)cos(u)(2
1dx 6)4xsen(x 2)(x 2
C6)4xcos(x2
1dx 6)4xsen(x 2)(x 22
Portanto:
Integral Indefinida
Solução
EXEMPLO 10
Determinar dx
1xx
x2
Seja u = x2 + x + 1
Então:
12xdx
du dx 1)(2xdu
Na integral original, fazer:
dx
1xx
112x
2
1dx
1xx
2x
2
1dx
1xx
x222
INTEGRAÇÃO POR SUBSTITUIÇÃO
Integral Indefinida
Mas:
dx
1xx
1
2
1dx
1xx
12x
2
1dx
1xx
112x
2
1222
1 2
uu
21
u
2
1
121
u
2
1du u
2
1du
u
1
2
1 2
12
11
2
1
2
1
C1xxdx 1xx
12x
2
1 2
2
1 INTEGRAÇÃO POR SUBSTITUIÇÃO
du
u
1
2
1dx
1xx
12x
2
12
ver detalhes na página anterior
Integral Indefinida
A segunda integral a ser resolvida está (ou pode ser colocada) na forma acima:
2 TABELA
Cuaulnduua
1 22
22
du au
1
2
1dx
23
21
x
1
2
1dx
1xx
1
2
122222
onde:
2
3a dx du
2
1xu
Integral Indefinida
Portanto:
C2
1x
4
3
2
1xln
2
1dx
1xx
1
2
12
2
Então, finalmente:
C2
1x
4
3
2
1xln
2
11xxdx
1xx
x2
2
2
Bibliografia utilizada: Flemming, D. M. & Gonçalves, M. B. Cálculo A. Person
Education. São Paulo, 1992. Abdounur, O. J. & Hariki, S. Matemática Aplicada. Saraiva.
São Paulo, 2006. Stewart, J. Cálculo. Volume I. Thomson. São Paulo, 2006. Priestley, W. M. Calculus: An Historical Approach.
Springer-Verlag. New York, 1979. Eves, H. Foundations and Fundamental Concepts of
Mathematics. Dover, 1990.
Integral Indefinida