Ensino Superior 1.2. Integral Indefinida Integração por Partes Amintas Paiva Afonso Cálculo 2.
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Ensino Superior
1.2. Integral Indefinida Integração por Partes
Amintas Paiva Afonso
Cálculo 2
Técnicas de Integração Integração por partes:
No Cálculo 1, quando calculávamos a derivada do produto de duas funções aplicávamos uma regra: chamávamos uma das
funções de u, a outra função de v e sua derivada era dada por
u’v + uv’. Exemplo: Seja f(x) = ex . senx. Chamamos u = ex, v = senx e
f’(x) = ex . senx + ex . cosx A integração por partes irá se aplicar a esses casos em que a
função é constituída por um produto e também nos casos em que uma das funções pode ser derivada repetidamente e a outra
pode ser integrada repetidamente.
Integral Indefinida
Técnicas de Integração Integração por partes:
Assim, considere f(x) e g(x) duas funções deriváveis. A regra do produto nos diz que:
Ou, dito de outra maneira:
)(').()().(')().( xgxfxgxfxgxfdx
d
''.'. uvvuvu
Integral Indefinida
Em termos de integrais indefinidas, a equação se torna:
)(').()().(')().( xgxfxgxfxgxfdx
d
dxxgxfxgxfdxxgxfdx
d )(').()().(' )().(
dxxgxfdxxgxfdxxgxfdx
d )(').( )().(' )().(
dxxgxfdxxgxfdxxgxfdx
d )(').( )().(' )().(
Integral Indefinida
Em termos de integrais indefinidas, a equação se torna:
'.'.).( vuvuvudx
d
dxvuvudxuvdx
d )'.'.( )(
dxvudxvudxvudx
d '. '. ).(
dxvudxvudxvudx
d'. '. ).(
Integral Indefinida
Rearranjando os termos, temos:
que é a fórmula da integração por partes.
Essa fórmula é mais facilmente lembrada na forma diferencial. Sejam:
u = f(x) du = f’(x)dx; v = g(x) dv = g’(x)dx.
Usando a regra de substituição, a fórmula acima pode ser simplificada para:
dxxgxfxgxfdxxgxf )().(')().()(').(
vduuvudv
Integral Indefinida
, '..'. dxvuvudxvu
Exemplo 1: Usando o método da integração por partes, determine:
Solução Usamos a fórmula simplificada da integração por partes,
fazendo: u = x, du = dx; v = senx, dv = cosxdx.
Então:
xdxx cos.
vduuvudv
dxsenxsenxxdxxx . cos.
cxsenxxdxxx cos. cos.
Integral Indefinida
Observações O objetivo da integração por partes é passar de uma integral
que não sabemos como calcular para uma integral que podemos calcular.
Geralmente, escolhemos dv primeiro sendo a parte do
integrando, incluindo dx, que sabemos integrar de maneira
imediata; u é a parte restante. Lembre-se de que a integração por partes nem sempre
funciona.
udv
vdu
Integral Indefinida
Integral Indefinida
EXEMPLO 02
Calcular dxex x
Solução
A integral dada deve ser escrita na forma . dvu
Seja, portanto:
dxex x
xu dxedv x
Deste modo:
Cexedxexeduvuvdvudxxe xxxxx a constante C pode ser incluída apenas no final.
INTEGRAÇÃO POR PARTES
dxdu
xxx edxevdxedv
Então:
Integral Indefinida
EXEMPLO 03
Calcular dxex x2
Solução
Seja:2xu dxedv x
Assim:
dx2xdu
xxx edxevdxedv Portanto:
2xdx)e(exduvuvdvudxex xx2x2
INTEGRAÇÃO POR PARTES
Integral Indefinida
A última integral é semelhante à original, com a exceção de que x2 foi substituído por x.
ou:
dxex2exdxex xx2x2 (1)
Outra integração por partes aplicada a
completará o problema.
dxex x
Seja:
xu dxedv x
Integral Indefinida
Assim:
dxdu
xxx edxevdxedv
Portanto:
dx)e(exduvuvdvudxex xxx
ou:
1xxxxx Ceexdxeexdxex (2)
Substituindo (2) em (1) resulta:
Integral Indefinida
1
xxx2
1xxx2
xx2x2
C2e2ex2ex
Ceex2ex
dxex2exdxex
Portanto:
Ce)2x2x(dxex x2x2
Bibliografia utilizada: Flemming, D. M. & Gonçalves, M. B. Cálculo A. Person
Education. São Paulo, 1992. Abdounur, O. J. & Hariki, S. Matemática Aplicada. Saraiva.
São Paulo, 2006. Stewart, J. Cálculo. Volume I. Thomson. São Paulo, 2006. Priestley, W. M. Calculus: An Historical Approach.
Springer-Verlag. New York, 1979. Eves, H. Foundations and Fundamental Concepts of
Mathematics. Dover, 1990.
Integral Indefinida