Equações da reta

1. Equação geral da reta

Podemos estabelecer a equação geral de uma reta a partir da condição de alinhamento de três pontos.

Dada uma reta r, sendo e pontos conhecidos a distintos de r e um ponto

genérico, também de r, estando A, B e P alinhados, podemos escrever:

Fazendo , e , com a e b são simultaneamente nulos , temos:

Essa equação relaciona x e y para qualquer ponto P genérico da reta. Assim, dado o ponto :

Acompanhe os exemplos a seguir:

(I) Vamos determinar a equação geral da reta r que passa por .

(II) Vamos verificar se os pontos pertencem à reta r do exemplo acima.● Substituindo as coordenadas de P em , temos:

, o que torna a igualdade verdadeira, justificando que ;● Substituindo as coordenadas de Q em ,temos:

, o que torna a igualdade falsa, justificando que .

2. Equação segmentária da reta

Considere a reta r não paralela a nenhum dos eixos e que intercepta os eixos nos pontos , com

A equação geral de r é dada por .

Dividindo essa equação por , temos:

, que é a equação segmentária da reta r.

Como exemplo, vamos determinar a equação segmentária da reta que passa por conforme o gráfico a seguir:

3. Equações na forma paramétrica

São equações equivalentes à equação geral da reta, da forma , que relacionam as coordenadas x e y dos pontos da reta com um parâmetro t.Assim, por exemplo, são equações paramétricas de uma reta r.Para obter a equação geral dessa reta a partir das paramétricas, basta eliminar o parâmetro t das duas equações:

Em seguida, substituindo (I) em , temos:

4. Equação reduzida

Considere uma reta r não paralela ao eixo Oy:

● Isolando y na equação geral temos

● Fazendo , chamada de equação reduzida da reta, em que

fornece a inclinação da reta em relação ao eixo Ox.

Assim, por exemplo, se a equação geral da reta r é dada por que:

Mas vale lembrar que, quando a reta é paralela ao eixo Oy, não existe a equação na forma reduzida.