Equações Irracionais & Equações BiquadradasCelso do Rosário Brasil Gonçalves

Equações Irracionais

Uma equação é denominada irracional quando apresenta incógnita sob radical

ou incógnita com expoente fracionário.

Resolução de uma equação irracional

Durante o processo de solução de uma equação irracional com índice do radical

igual a 2 (ou outro qualquer) é necessário elevar ao quadrado (ou em caso de

expoente diferente de 2, eleva-se ao que se fizer necessário) ambos os membros da

equação. Esta operação pode provocar o aparecimento de raízes estranhas, isto é,

valores que realmente não verificam a equação original. Este fato obriga que toda raiz

obtida deve ser substituída na equação original verificando a igualdade.

Exercícios Resolvidos:

1) Determinar as raízes da equação: √ x−5−4=0 .

Logo, S = {21}

2) Determinar as raízes da equação: √ x+4−2=x .

√ x+4=x+2

(√ x+4 )2= ( x+2 )2

x+4=x2+4 x+4x2+3 x=0

As raízes da equação do 2º grau são:

x (x+3 )=0 e x+3=0 x' =0 x ``=-3} {} } } {¿¿

¿

1

√ x−5=4

(√ x−5 )2=42

x−5=16

x=21

Verificação:

√21−5−4=0√16−4=00=0

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Verificando as raízes na equação irracional:

Para x’ = 0

√ x+4−2=x√0+4−2=02−2=00=0

Para

x” = - 3

√−3+4−2=−3√1−2=−31−2≠−3−1≠−3

Portanto, temos como solução: S = {0}

Exercícios Propostos

01) √ x+4=x−2 (resp. 5)

02)√7+x−3=√2 x−4 (resp. 18)

03) x + √25−x ² = 7 (resp. 3 e 4)

04) √7+√4 x−1=2√2 (resp. ½)

05) √ x+√x ²−3x=√3 (resp. 3)

06) √ x+√ 1x=2 (resp. 1)

07) √ x+1+√2 x+9=√7 x+8 (resp. 8)

08) 4√78+3√5 x+1=3 (resp. 0)

09) √ x+2 + √ x−2 = 3 (resp 10/3) √ x+2−√ x−2

Complementares

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Resolva as equações irracionais:

a) x12−4=0

b) √ x+1−2=0

c) x−2 x12=15

d) x−√9−x2=3

e) √√5 x+1=3

f) √2x−1−√ x−1=0

g) √ x+9−√x=√ x−15

h) √2√x−5=√13−x

10) Sabendo que a expressão √ x−√ x+1 é igual a 1, determine os valores reais de “x”. (resp. 3)

11) Determine, no conjunto dos R, o conjunto solução de cada uma das equações abaixo:

a) √ x = √2+√ x+40 (resp. 9) b) √ x+√x+8 = 2 √ x (resp. 1)

12) Qual deve ser o valor real de “y” para que se tenha 2 y−√ y−1=3 y−7.

(resp. y = 5).

13) As expressões √ x ²−9 e √ x+11 apresentam o mesmo valor numérico. Nessas condições, determine os valores reais de “x”. (resp. -4 ou 5).

19) Determine o valor real de “x” para que as expressões 1

√x−1 e 6 √ x

sejam iguais. (resp. 19).

20) Se a um número real “x” adicionarmos o número real √ x+2, vamos obter 10. Qual é o valor de “x”? (resp. 7).

21) O triplo da raiz quadrada de um número real “y” acrescido do próprio número é igual a 10. Qual é o valor de “y”? (resp. 4).

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22) Sabendo que 1

√x+4 = √x−4

3, determine o cubo do número real

“x”. (resp. 125).

23) Se A = √ 2x e B = √ x

2, determine o número real “x” para que se

tenha A – B = 32. (resp.

12).

24) Se “x” é um número real tal que x + √ x−1 = 1, então o valor da potência xx é igual a:

a) 0 e 1 b) 1 e 2 c) -1 e -2 d) 2 e -1 e) -1/2 e 1

25) Sabendo que v = 12 √1+ m

n, calcule “n”, em função de “v” e “m”.

(resp. m

4 v ²−1).

26) Sabendo que −12

= y

√x ²+ y ², calcule y quando x = √3

2. (resp. -

12).

Equações Biquadradas

01) x4−29 x2+100=0 (resp. ±2 e ±5)

02) 36 x4−13 x2+1=0 (resp. ±12, ±

13)

03) x4−5x2−36=0 (resp. ±3)

04) x4−3x2+2=0 (resp. ±√2, ±1)

05) 2 x ² ( x2−2 )=3−2x4 (resp. ±√ 32

)

06) x ²+1

x ²− 1

x2−1=11

12 (resp. ±2)

07) Quais os valores reais de “x” para que a expressão x4−26 x2+26 seja igual a 1? (resp. ± 5 e ±1).

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08) Qual é o conjunto solução da equação (x+2)(x-2)(x+1)(x-1) + 5x² = 20? (resp. ±2)

09) Sejam “a” e “b” as raízes positivas da equação x4−5x2+4=0. Nessas condições, sabendo que a > b, determine o valor da expressão a – b. (resp. 1).

10) Sendo x ≠ 0, determine os valores reais de “x” para que se

tenha: 5 x ²− 3

x2=2. (resp. x = ± 1)

11. Dada a equação x4−29 x2+100=0 e sendo “m” e “n” as raízes

positivas da equação dada, determine a forma decimal da razão mn

,

com m > n. (resp. 2,5).

12) Sabe-se que x² - 7 é igual a x ²+1x ²−4

, com x ≠ ±2. Nessas

condições, determine os valores reais de “x” . (resp. ±3 e ±√3)

13) Determine os valores reais de “x” para que se tenha: (x² + 2)² = 2(x² + 6). (resp. ± √2).

14) As expressões 11x² - 6x² e x² + 4 apresentam valores numéricos iguais para alguns valores reais atribuídos a “x”. Nessas condições, determine esses valores reais de “x”. (resp. ± 1).

15) Encontre os números descritos nos problemas abaixo:

a) A soma do quadrado do quadrado do número com o dobro do quadrado do número é 3. (resp. ±1)

b) O quadrado do sucessor do quadrado do número é igual a 100. (resp. ± 3)

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