Escalado: Arqu´ımedes y un divisor de voltajes - SciELO · ... vol. 40, nº 1, e1702 (2018) ......
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Revista Brasileira de Ensino de F´ ısica, vol. 40, nº 1, e1702 (2018) www.scielo.br/rbef DOI: http://dx.doi.org/10.1590/1806-9126-RBEF-2017-0187 Notes cb Licenc ¸a Creative Commons Escalado: Arqu´ ımedes y un divisor de voltajes Scaling: Archimedes and a voltaje divider C. H. W¨ orner *1 1 Programa de Magister en Did´ actica de las Ciencias Experimentales, Pontificia Universidad Cat´ olica de Valpara´ ıso, Av.Brasil, 2950, Valpara´ ıso, 2340000, Chile Recibida en 12 de Junio, 2017. Aceptado en 07 de Julio, 2017 Se aplica la t´ ecnica de escalonamiento en dos cuestiones, uno de ellas, una demostraci´on geom´ etrica de Arqu´ ımedes y el otro, un circuito atenuador. El contraste de las cuestiones abordadas ambos ejemplos, ilustra la unificaci´ on de t´ ecnicas en ambos casos. Palabras clave: escalado, geometr´ ıa griega, circuitos ´ ohmicos. Scaling techniques are applied to two simple cases. One of them is a Archimedes’ geometrical proof and the other a damped circuit. The contrast between these two cases, shows the unity of the scaling technique. Keywords: Scaling, Greek geometry, ohmic circuits. Aparte del propio contenido de la ciencia que se ense˜ na en la escuela, es necesario contar una especie de “chispa” que detone el inter´ es de los alumnos por el tema que se trate. As´ ı, Ausubel [1, 2] propone o que ´ el denomina “organizadores previos” (advance organizers ). La activi- dad que se describe en esta nota puede ser entendida como una manera de proporcionar al profesor un nuevo elemento que puede ser usado en esta direcci´ on. Tambi´ en merece ser usado como parte de un programa de clubes de ciencia para alumnos m´ as avanzados. La combinaci´ on de un enfoque poco usual y la revisi´on de la historia de las ciencias, puede adem´as ampliar el contexto cultural de la docencia. Arqu´ ımedes, en el desarrollo de una de sus demostra- ciones para la cuadratura de la par´ abola [3] hace uso de la serie geom´ etrica: S = (1/2) 2 + (1/4) 2 + (1/8) 2 + (1/16) 2 + ... ´ El encontr´o el valor de la serie con una demostraci´on geom´ etrica que revela su genio. Se dibuja un cuadrado de lado unidad (ver Fig. 1) y dentro de ´ el se dibujan cuadrados de lados 1 2 1 4 1 8 ,..., como se muestra en la figura. De este modo el cuadrado unidad tiene su superficie trisectada (las dos figuras no coloradas que completan el cuadrado tienen la misma ´area que la superficie de colores azul y amarillo). As´ ı, simplemente: 3 (1/2) 2 + (1/4) 2 + (1/8) 2 + (1/16) 2 + ... =1 y S =1/3 (1) Ah´ ı termina la demostraci´ on de Arqu´ ımedes. * Endere¸co de correspondˆ encia: [email protected]. De otra manera, es posible argumentar de una forma ligeramente diferente. En la figura los cuadrados amari- llos son exactamente similares a la serie de cuadrados originales, s´olo que escalados por un factor (lineal) de 1/2.De este modo la suma se puede escribir: S = (1/2) 2 + (1/2) 2 (1/2) 2 + (1/4) 2 + ... donde el factor que precede al par´ entesis cuadrado es el factor de escala. F´ acilmente: S = (1/2) 2 (1 + S) y finalmente, S = (1/3) que coincide con el resultado expresado en la Ec. 1. Otra cuesti´ on enteramente diferente puede ser resuelta usando el argumento del escalado. Enunciaremos el pro- blema, ya propuesto en la literatura [4], como el estudio de un divisor de voltaje o atenuador compuesto por un conjunto infinito de resistencias ´ ohmicas. Las resistencias son iguales, R, dispuestas como se muestra en la figura 2a. La pregunta es el c´ alculo de la resistencia equivalente de este sistema, es decir qu´ e marcar´ ıa un ´ ohmetro conectado entre los puntos A y B. La topolog´ ıa del circuito en estudio hace que el sistema est´ e escalado (de orden uno). Consideremos la serie infi- nita de resistencias R situadas a la derecha de los puntos C y D. Es f´acil ver que ellas reproducen el sistema de resistencias original, tal como se muestra en la figura 2b. De este modo es f´ acil obtener la ecuaci´ on para el circuito utilizando las reglas de las conexiones serie-paralelo: R 2 eq - RR eq - R 2 =0 La soluci´ on (positiva) de la ecuaci´ on anterior es Copyright by Sociedade Brasileira de F´ ısica. Printed in Brazil.
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Notescb
Licenca Creative Commons
Escalado: Arquımedes y un divisor de voltajesScaling: Archimedes and a voltaje divider
C. H. Worner∗1
1Programa de Magister en Didactica de las Ciencias Experimentales, Pontificia Universidad Catolica de Valparaıso, Av.Brasil,2950, Valparaıso, 2340000, Chile
Recibida en 12 de Junio, 2017. Aceptado en 07 de Julio, 2017
Se aplica la tecnica de escalonamiento en dos cuestiones, uno de ellas, una demostracion geometrica deArquımedes y el otro, un circuito atenuador. El contraste de las cuestiones abordadas ambos ejemplos, ilustra launificacion de tecnicas en ambos casos.Palabras clave: escalado, geometrıa griega, circuitos ohmicos.
Scaling techniques are applied to two simple cases. One of them is a Archimedes’ geometrical proof and theother a damped circuit. The contrast between these two cases, shows the unity of the scaling technique.Keywords: Scaling, Greek geometry, ohmic circuits.
Aparte del propio contenido de la ciencia que se ensenaen la escuela, es necesario contar una especie de “chispa”que detone el interes de los alumnos por el tema quese trate. Ası, Ausubel [1, 2] propone o que el denomina“organizadores previos” (advance organizers ). La activi-dad que se describe en esta nota puede ser entendidacomo una manera de proporcionar al profesor un nuevoelemento que puede ser usado en esta direccion. Tambienmerece ser usado como parte de un programa de clubesde ciencia para alumnos mas avanzados. La combinacionde un enfoque poco usual y la revision de la historia delas ciencias, puede ademas ampliar el contexto culturalde la docencia.
Arquımedes, en el desarrollo de una de sus demostra-ciones para la cuadratura de la parabola [3] hace uso dela serie geometrica:
S = (1/2)2 + (1/4)2 + (1/8)2 + (1/16)2 + ...
El encontro el valor de la serie con una demostraciongeometrica que revela su genio. Se dibuja un cuadradode lado unidad (ver Fig. 1) y dentro de el se dibujancuadrados de lados 1
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18 , . . ., como se muestra en la figura.
De este modo el cuadrado unidad tiene su superficietrisectada (las dos figuras no coloradas que completanel cuadrado tienen la misma area que la superficie decolores azul y amarillo).
Ası, simplemente:
3[(1/2)2 + (1/4)2 + (1/8)2 + (1/16)2 + ...
]= 1
yS = 1/3 (1)
Ahı termina la demostracion de Arquımedes.∗Endereco de correspondencia: [email protected].
De otra manera, es posible argumentar de una formaligeramente diferente. En la figura los cuadrados amari-llos son exactamente similares a la serie de cuadradosoriginales, solo que escalados por un factor (lineal) de1/2.De este modo la suma se puede escribir:
S = (1/2)2 + (1/2)2 [(1/2)2 + (1/4)2 + ...
]donde el factor que precede al parentesis cuadrado es elfactor de escala. Facilmente:
S = (1/2)2(1 + S)
y finalmente,S = (1/3)
que coincide con el resultado expresado en la Ec. 1.Otra cuestion enteramente diferente puede ser resuelta
usando el argumento del escalado. Enunciaremos el pro-blema, ya propuesto en la literatura [4], como el estudiode un divisor de voltaje o atenuador compuesto por unconjunto infinito de resistencias ohmicas. Las resistenciasson iguales, R, dispuestas como se muestra en la figura 2a.La pregunta es el calculo de la resistencia equivalente deeste sistema, es decir que marcarıa un ohmetro conectadoentre los puntos A y B.
La topologıa del circuito en estudio hace que el sistemaeste escalado (de orden uno). Consideremos la serie infi-nita de resistencias R situadas a la derecha de los puntosC y D. Es facil ver que ellas reproducen el sistema deresistencias original, tal como se muestra en la figura 2b.De este modo es facil obtener la ecuacion para el circuitoutilizando las reglas de las conexiones serie-paralelo:
R2eq −RReq −R2 = 0
La solucion (positiva) de la ecuacion anterior es
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e1702-2 Escalado: Arquımedes y un divisor de voltajes
Figura 1: Construccion de Arquımedes. El inserto muestra el dibujo original de Arquımedes.
Figura 2: a)Divisor de voltaje con infinitas resistencia iguales R. b) circuito equivalente.
Req = φR, donde φ = 1 +√
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es la razon aurea o divina [5].Con este pequeno ejercicio, queremos mostrar la ubi-
cuidad los metodo de escalado, que generalmente se des-conocen en la instruccion elemental.
Referencias
[1] D.P. Ausubel, Journal of Educational Psychology 51,267 (1960).
[2] D. Ausubel, Review of Educational Research 48, 251(1978).
[3] Archimedes, The Quadrature of the Parabola, translatedby T.L. Heath (Cambridge University Press, Cambrid-ge, 1897).
[4] M. Alonso y E. Finn, Fundamental University Physics,(Addison-Wesley, Boston, 1967), v. 2; E.M. Purcell, Elec-tricity and Magnetism (McGraw-Hill, New York, 1985),2ªed. Tambien ha sido considerado en la literatura espe-cializada T.P Srinivasan, Am. J. Phys. 60, 461, 1992; B.Denardo, J. Earwood y V. Sazonova, Am. J. Phys. 67,981, 1999.
[5] H.E. Huntley, The Divine Proportion (Dover Publica-tions, Mineola, 1970).
Revista Brasileira de Ensino de Fısica, vol. 40, nº 1, e1702, 2018 DOI: http://dx.doi.org/10.1590/1806-9126-RBEF-2017-0187
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