9 Escoamento em Golfada

O escoamento em golfada tem como característica uma sucessão de golfadas de líquido separadas

por bolhas de dimensões que se aproximam do diâmetro do duto, conforme ilustrado

esquematicamente na Fig. 9.1.

Figura 9.1 Unidade básica num escoamento horizontal em golfada.

A unidade de golfada consiste de uma região de golfada líquida, uma bolha de gás

(bolha de Taylor) e um filme líquido. A golfada líquida desloca-se à velocidade uS, superior à

velocidade do filme uf. A maior parte deste é absorvido pela golfada à medida que esta passa por

aquele, enquanto uma igual parcela de líquido é liberada na parte de trás, regenerando o filme

líquido. Gás existente no filme tende a ser absorvido pela parte frontal da golfada, conforme

mostrado na Fig. 9.1, onde concentra-se uma região de mistura de gás com líquido. A figura

poderia apresentar igualmente uma situação mais complicada, com escoamento reverso no filme

líquido e uma distribuição mais complexa de gás, tanto na golfada quanto no filme.

O comprimento das bolhas de Taylor pode ser equivalente a muitos diâmetros do duto

enquanto a da golfada é normalmente relativamente curta. Em geral, o tamanho das bolhas

depende da vazão, das propriedades dos fluidos e da geometria do duto. Todavia, se não existir

comprimento suficiente para o escoamento se desenvolver, a geometria da golfada poderá

depender também do modo como os fluidos são admitidos no duto. Além disso, o valor da

pressão influencia igualmente o tamanho das bolhas de Taylor; quanto maior aquela, menor o

tamanho das bolhas, e vice-versa. Portanto, na medida que a pressão declina na direção do fluxo,

as bolhas tendem a crescer, e a velocidade aumentar.

A hidrodinâmica do escoamento em golfada é complexa, com características de regime

não-permanente, apresentando distribuições peculiares para a pressão, velocidades e frações

9.1

volumétricas. Portanto, o cálculo da queda de pressão, da fração volumétrica, da transferência

de calor e de massa é extremamente difícil. A aplicação das equações de conservação de massa

e quantidade de movimento para uma geometria tão complexa pode produzir uma quantidade

expressiva de equações de variado grau de complexidade, dependendo do nível de detalhamento

considerado. Neste capítulo faremos uma breve e simples introdução à análise da hidrodinâmica

deste escoamento, iniciando com o escoamento vertical, seguido do escoamento horizontal, sem

entrar em muitos detalhes formais.

9.1 Escoamento em Duto Vertical

9.1.1 Conceitos Gerais

Para melhor compreender a dinâmica do escoamento em golfada comecemos com a identificação

de alguns parâmetros associados à unidade básica de uma célula, conforme mostrado na Fig.

9.1.1. Para um fluxo volumétrico especificado, a velocidade média na golfada líquida é dada por

Figura 9.1.1 Unidade básica num escoamento vertical em golfada.

(9.1.1)

9.2

O perfil de velocidade na golfada dependerá do atrito do fluido com a parede do duto, ou seja,

da rugosidade da parede e do número de Reynolds, assim definido

Portanto, a dinâmica da bolha depende de j (velocidade superficial total), assim como

da geometria do duto e das propriedades do fluido e das forças de corpo, mas não dos fluxos jG

e jL separadamente. Em muitos casos o comprimento da bolha também não é relevante, uma vez

que, em geral, o movimento é dominado pelo fluxo no nariz e na parte de trás da bolha.

Como já observado, a velocidade de deslizamento (drift velocity) é obtida pela diferença

da velocidade da bolha (ub= uG) do fluxo volumétrico global

Por outro lado, se a velocidade da bolha e o fluxo de gás forem conhecidos, a fração

volumétrica pode ser obtida a partir da Eq. (1.1.6)

Por fim, devemos destacar que a queda de pressão ao longo de uma unidade de golfada

pode ser subdividida em três componentes:

• Queda de pressão na golfada líquida

• Queda de pressão nas extremidades da bolha

• Queda de pressão ao longo do corpo da bolha

Normalmente tanto a massa específica quanto a viscosidade do gás são bem inferiores do líquido,

fazendo com que a pressão na bolha tenda a ser quase uniforme e a queda de pressão ao longo

do corpo da bolha é pequena.

9.1.2 Velocidade de Uma Golfada Isolada. Os primeiros estudos referentes ao movimento de

uma bolha de grande dimensão no interior de um tubo foram realizados por Dumitrescu1 e Davis

(9.1.2)

(9.1.3)

(9.1.4)

1 Dumitrescu, D.T., Strömung an einer Luftblase im seukrechteu Rohr, Z. Angew., Math.,Mech., 23, 134, 1943.

9.3

& Taylor2. Os dois trabalhos consideraram o tempo de drenagem de um tubo vertical cheio de

líquido (água) quando a parte inferior é subitamente aberta para a atmosfera (ar). Para o

experimento, os autores consideraram que a viscosidade e a tensão superficial dos dois fluidos

poderiam ser ignorados. Admitiram que a pressão no entorno da bolha de ar em ascensão era

constante encontrando para a velocidade de ascensão

onde D é o diâmetro interno do tubo.

Trabalho posterior de White & Beardmore3, mostrou que, de fato, bolhas em ascensão

obedecem a equação acima quando a viscosidade e a tensão superficial são desprezíveis. Quando

o papel da tensão superficial passa a ser relevante o número de Eötvös Eo= gD2(ñL-ñG)/ó, Eq.

(8.2.8), tende a zero. Na medida em que este se torna inferior a 3,4 (Eo < 3,4), as bolhas param

de movimentar. Ou seja, quando as forças viscosas e de tensão superficial são relevantes o grupo

Nt= ub /[gD(ñL-ñG)/ñL]1/2, Eq. (8.2.2), varia de zero até o valor máximo 0,35, dependendo do valor

dos grupos adimensionais

Uma correlação recomendada por Wallis para a velocidade de ascensão de bolhas no

interior de dutos verticais é

onde Eo é o número de Eötvös e Nì um grupo adimensional para a viscosidade

(9.1.5)

(9.1.6)

(9.1.7)

(9.1.8)

2 Davis, R.M., Taylor, G.I., The Mechanics of Large Bubbles Rising Through ExtendedLiquids and Through Liquids in Tubes, Proc. R. Soc., 200, Ser. A, 75-390, 1950.

3 White, E.T., Baerdmore, R.H., The Velocity of Rise of Single Cylindrical Air Bubbles Through Liquids Contained in Vertical Tubes, Chem. Eng. Sci., 17, 352-361, 1962.

9.4

onde o parâmetro m depende de Nì (número de Reynolds) de acordo com as faixas

Nì < 18 m= 29

18 < Nì < 250 m = 69 Nì-0,35

Nì > 250 m = 10

Com freqüência, os termos exponenciais na Eq. (9.1.7) tendem para zero (baixas viscosidade e

tensão superficial) e a expressão de Wallis assume a forma mais simples

A despeito das hipóteses simplificadoras utilizadas na obtenção dessas equações elas

são surpreendentemente boas para previsão da velocidade de ascensão de bolhas em líquidos de

baixa viscosidade. Destaque-se ainda que o formato da bolha é diferente para cada um dos três

regimes indicados acima. Para fluidos muito viscosos (Nì= Reì < 2) tanto o nariz quanto a parte

traseira da bolha são arredondados e a esteira é laminar, enquanto para fluidos pouco viscosos

(Nì= Reì > 300) a parte de trás é achatada e a esteira turbulenta.

Ao obter a Eq. (9.1.7) foi admitido que o gás no interior da bolha tinha massa específica

nula ou desprezível com relação à do líquido. Quando esta é significativa, Neal 4 sugere que

onde C1 é uma constante com valor próximo de 0,35 e Äñ= ñL - ñG ou, para sistemas líquido-

líquido, Äñ= ñA - ñB, onde A e B representam os dois componentes das fases líquidas.

Trabalhos aplicados em dutos inclinados não permitem obter expressões similares para

a velocidade de ascensão de bolhas para essas condições. Observa-se, todavia, que a velocidade

tem um valor máximo para ângulos em torno de 45º, sendo superior, inclusive, à posição vertical!

O aumento da velocidade da bolha com o ângulo está associado à mudança à sua geometria e a

conseqüente variação do arraste.

(9.1.9)

(9.1.10)

4 Em Govier, G.W., Aziz, K., The Flow of Complex Mixtures in Pipes, Cap 8, Robert KriegerPublishing Co., 1982.

9.5

9.1.3 Velocidade de Bolha no Modelo de Deslizamento (Drift-Flux)

Vimos na Eq. (9.1.3) que a velocidade de deslizamento uGj é função do fluxo volumétrico j, mas

independente da fração volumétrica áG. Por outro lado, ao aplicar o modelo de deslizamento sem

atrito na parede, a velocidade de deslizamento não depende de j, dependendo da fração

volumétrica e da velocidade relativa entre as fases, Eq. (5.2.6).

Para que as duas condições sejam satisfeitas é necessário que uGj seja constante; que pode ser

obtido adotando-se para análise o caso particular da velocidade de ascensão de bolha um num

meio líquido estagnado infinito (áL.1), ver (5.2.7),

e assim, para qualquer valor da fração de gás áG, tem-se

note que um é a velocidade de ascensão da bolha solitária num meio infinito. De ( 9.1.3) e

(9.1.11), a velocidade da bolha num meio em escoamento num duto, por exemplo, é então

Portanto, a fração volumétrica média do escoamento é, de (9.1.4) e (9.1.13),

Estritamente falando, a Eq. (9.1.13) é uma aproximação, uma vez que a velocidade de

deslizamento não é exatamente constante, mas dependente da velocidade da golfada líquida. Esta,

por sua vez, é função do número de Reynolds, definido em (9.1.2), assim como da esteira da

bolha que se encontra à frente. Esses efeitos podem ser considerados aplicando fatores de

correção em (9.1.13). Da definição (5.2.13) e de (9.1.4), pode-se reescrever (9.1.13) na forma

lembrando, de (9.1.11), que u4= uGj.

(9.1.11)

(9.1.12)

(9.1.13)

(9.1.14)

(9.1.15)

9.6

Nicklin5 et al. encontraram para o caso em que a bolha se desloca com velocidade u4 relativa à

velocidade do núcleo turbulento central num tubo circular vertical (Rej > 8000) a seguinte

expressão

onde a constante Co= 1,2 foi introduzida para concordância com dados experimentais, levando

em conta a não uniformidade do perfil de velocidade na frente da bolha. A equação pode ser

escrita numa forma pouco mais geral como

De (9.1.15) obtemos então para a velocidade superficial e a fração volumétrica do gás

o sinal positivo corresponde ao escoamento co-corrente vertical, enquanto o negativo representa

escoamento contracorrente, com o líquido descendo contra a gravidade.

A validade das equações (9.1.16) a (9.1.18) é verificada satisfatoriamente com dados

experimentais para uma faixa razoável dos parâmetros. Todavia, experimentos indicam que a

dependência com o diâmetro sugerido nessas equações tende a desaparecer para dutos com

diâmetros superiores a 100 ou 120 mm. Para diâmetros maiores as bolhas tendem a não crescer,

mas quebrarem, tornando o escoamento mais próximo do regime turbulento caótico (churn).

Queda de Pressão no Escoamento Vertical

A tensão cisalhante na parede do duto pode ser positiva ou negativa, dependendo do sentido do

escoamento do líquido. Um modo de estimar a queda de pressão na unidade de golfada é calcular

a tensão cisalhante na golfada líquida a partir da clássica expressão para escoamento monofásico,

(9.1.16)

(9.1.17)

(9.1.18)

5 Nicklin, D.J., Wilkes, J.O., Davidson, J.F., Two-Phase Flow in Vertical Tubes, Trans. Inst.Chem. Eng., 40, 61-68, 1962.

9.7

(9.1.19)

(9.1.20)

(9.1.21)

(9.1.22)

(9.1.23)

Eq. (5.1.2), onde o fator de atrito de Darcy-Weisbach f é função da rugosidade e do número de

Reynolds ( )

A fração do comprimento da unidade de golfada ocupada pela golfada líquida pode ser

aproximada por áL= 1 - áG. Logo, desprezando a tensão cisalhante no filme em torno da bolha,

a equação de balanço de forças para a golfada líquida no escoamento vertical torna-se

onde j é positivo na direção z (fluxo ascendente), contra a gravidade, portanto.

Griffith e Wallis 6 introduziram uma correção para a tensão cisalhante para a situação

em que bolhas de gás estão presentes na golfada líquida. Admitindo uma mistura homogênea na

região os autores propuseram uma tensão cisalhante monofásica ôwL baseada no escoamento de

líquido com velocidade de mistura

onde fL é o atrito viscoso monofásico correspondente a ReL, definido acima e G= GG+GL é o fluxo

de massa por unidade de área total na golfada. A tensão cisalhante na golfada é então obtida a

partir da expressão

onde ñm é a massa específica da mistura na golfada. O fator multiplicador de ôwL nesta equação

representa a razão da vazão volumétrica de líquido para a vazão volumétrica total. Nesses termos

a equação da queda de pressão na golfada líquida torna-se

6 Griffith, P., Wallis, G.B., Two-Phase Slug Flow, ASME, J. Heat Transfer, Ser. C, 83 (3),307-320, 1961.

9.8

9.2 Escoamento em Duto Horizontal

Como mencionado na introdução, a complexidade do escoamento em golfada torna difícil a

análise deste problema. Uma alternativa consiste em procurar modelos mecanicistas que

permitam caracterizar com razoável confiança esses escoamentos a partir da geometria do duto,

das propriedades dos fluidos e das condições do escoamento. No caso particular do escoamento

em golfada este processo teve início nos idos da década de 70 com os trabalhos de Dukler e

Hubbard 7 e Nicholson, Aziz e Gregory 8. Em anos mais recentes foram introduzidos alguns

avanços, incluindo a generalização para dutos inclinados. Nesta linha destacam-se os trabalhos

de Taitel e Barnea 9 e Felizola e Shoham10. Dedicaremos especial atenção a seguir ao clássico

trabalho de Dukler e Hubbard. Ao considerar o escoamento na unidade de golfada, Dukler e

Hubbard observaram que para calcular a queda de pressão era necessário conhecer a taxa de

absorção e de rejeição de líquido pela golfada líquida.

Definimos as seguintes variáveis:

• ut = velocidade da frente da golfada líquida

• us = velocidade média da golfada líquida

• uf = velocidade do filme líquido

• Gs = fluxo de massa na golfada líquida

• Gf = fluxo de massa do filme líquido absorvido pela golfada

• ásL = fração volumétrica de líquido na golfada

• áfL = fração volumétrica de líquido no filme líquido

• áfLe= fração do duto ocupado pelo filme líquido antes deste ser absorvido

pela golfada

• Lu = comprimento da unidade de golfada

• Ls = comprimento da golfada líquida

• Lf = comprimento do filme líquido

• Lm = comprimento de mistura na golfada

7 Dukler, A. E., Hubbard, M.G., A Model for Gas-Liquid Slug Flow in Horizontal and Near-Horizontal Tubes, Ind. Eng. Chem. Fundam., 14, no.4, 1975.

8 Nicholson, K, Aziz, K., Gregory, G.A., Intermitent Two-Phase Flow in HorizontalPipes Predictive Models, Cnd. J. Chem. Eng., 56, 1978.

9 Taitel, Y., Barnea, D., Two-Phase Slug Flow, Advances in Heat Transfer, 20, pp. 83-132,Academic Press Inc., 1990.

10 Felizola, H., Shoham, O., A Unified Model for Slug Flow in Directional Wells, ASME, J.Energy Resources Technology, 117, 1995.

9.9

(9.2.1)

(9.2.2)

(9.2.3)

Os autores utilizaram as seguintes hipóteses no trabalho: i- não há gás disperso no filme

líquido (entrainment); ii- não há gotículas dispersas na bolha de Taylor; iii- não há deslizamento

na região da golfada líquida, i.e., us= usL= usG ; iv- o regime é permanente.

A Fig. 9.2.1 esquematiza a unidade de golfada para escoamento horizontal com os

principais parâmetros definidos.

Figura 9.2.1 Unidade de golfada no escoamento horizontal.

O balanço de conservação de massa na região da golfada líquida mostra que a

velocidade da frente líquida, ut, é a soma da velocidade média da golfada, us, mais a velocidade

correspondente ao influxo de líquido proveniente do filme, Gf, conforme mostrado na região do

ponto C da figura. Assim, em função do fluxo de massa, temos a seguinte expressão para us

então

que pode ser reescrita como

Utilizando uma distribuição logaritmica clássica para a distribuição da velocidade turbulenta na

região da golfada líquida os autores encontram a relação para â

9.10

(9.2.4)

(9.2.5)

(9.2.6)

(9.2.7)

(9.2.8a)

onde . Para os valores típicos de escoamento bifásico a constante â tem valor

em torno de 0,2 a 0,3, i.e., â . 0,2 a 0,3. Ou seja, de (9.2.3) .

Para baixas velocidades de mistura, Dukler e Fabre11, mostraram que quando a

velocidade superficial total satisfaz a condição

a velocidade da golfada torna-se

onde ud* é a velocidade da bolha (velocidade de deslizamento – drift velocity). Uma expressão

para ud* é

e Eo é o número de Eötvös, Eq. (8.2.8).

O fluxo de massa absorvido pela frente de golfada do filme líquido é

onde é fração do duto ocupado pelo filme líquido antes deste ser absorvido pela golfada.

Aplicando o balanço de massa no filme líquido para um volume de controle entre o

ponto de saída da golfada, ponto A na Fig. 9.2.1, e uma seção genérica entre A e B, obtém-se

11 Dukler, A.E., Fabre, J., Gas-Liquid Slug Flow, Knots and Loose Ends,, 3rd. InternationalWorkshop on Two-Phase Flow Fundamentals, Imperial College, London, 1992.

9.11

(9.2.8b)

(9.2.9)

(9.2.10)

No modelo de Dukler & Hubbard a espessura do filme líquido varia ao longo do filme,

começando com (ponto B na Fig. 9.2.1) e decrescendo até (ponto A na Fig.

9.2.1) onde o filme é absorvido pela golfada.

Os autores utilizaram a Eq. (9.2.8) e a equação de quantidade de movimento para o

filme líquido para estimar o valor de em função do comprimento Lf. Por fim as seguintes

expressões foram obtidas para os comprimentos de mistura Lm , da golfada Ls e queda de pressão

devidas ao atrito viscoso e aceleração

onde o fator de atrito fs é calculado a partir do número de Reynolds, definido em (9.2.4). Bons

resultados comparativos com dados experimentais foram obtidos; todavia, foi necessário

especificar valores para a fração volumétrica na golfada, ásL, assim como para a freqüência da

golfada, ùs. Ou seja, apesar da análise teórica, um modelo completo para golfada em escoamento

horizontal requer informações adicionais obtidas de dados experimentais.

A fração volumétrica na golfada pode ser estimada a partir da expressão sugerida por

Gregory et al.12

12 Gregory, G.A., Nicholson, M.K., Aziz, K., Correlation for Liquid Volume Fraction in theSlug for Horizontal Gas-Liquid Slug Flow, Int. J. Multiphase Flow, 4, 33-30, 1978.

9.12

(9.2.11)

(9.2.12)

enquanto a freqüência da golfada pode ser calculada pela equação de Gregory e Scott13

Nessas equações o Sistema Internacional de unidades SI é utilizado, ou seja: ut em m/s, D em

m, g em m/s2 e ñ em kg/m3.

Apesar da compreensão dos mecanismos do escoamento horizontal em golfada ter tido

significativos avanços em anos recentes, a comparação dos resultados dos modelos com dados

experimentais indica ainda haver considerável incerteza no cálculo de diversos parâmetros do

problema, sobretudo na queda da pressão. Testes tendem a apresentar resultados melhores

quando, por exemplo, a freqüência e/ou a fração volumétrica da golfada, são fornecidas a partir

de informações de campo.

9.3 Golfada Severa

Quando um duto descendente está conectado a um riser vertical, ou quando o duto encontra-se

num terreno em colina, a parte inferior da linha pode acumular líquido e impedir a passagem de

gás. Quando isto ocorre, o gás é comprimido até ultrapassar a pressão no riser. Uma longa

golfada é então formada e empurrada para cima pelo gás em expansão, produzindo o que se

denomina de golfada severa, conforme ilustrado na Fig. 9.3.1. Na Fig. 9.3.1a, a golfada é

formada, enquanto na Fig. 9.3.1b o riser enche-se com o líquido, permitindo o gás atingir a parte

inferior deste e produzindo a descarga, Fig. 9.3.1c. Por fim, Fig. 9.3.1d, o líquido remanescente

no riser cai para o fundo deste, reiniciando o processo.

De acordo com Taitel14, a condição severa acontecerá enquanto a pressão no topo do

riser, ps, for inferior ao seguinte limite

onde é a fração volumétrica de gás na linha descendente de comprimento l, a fração

volumétrica na linha de frente do gás que penetra a coluna de líquido, e hs a altura do riser. O

13 Gregory, G.A., Scott, D.S., Correlation of Liquid Slug Velocity and Frequency in HorizontalCocurrente Gas-Liquid Slug Flow, A.I.Ch.E. J., 15, 933-935, 1969.

14 Taitel, Y., Stability of Severe Slugging, Int. J Multiphase Flow, 12(2), 203-217, 1986.

9.13

(9.2.13)

valor de pode ser calculado do modelo estratificado descrito no capítulo seguinte, enquanto

pode ser obtido conforme descrito no trabalho de Taitel. O modelo de golfada no riser (vertical)

tem início com a Eq. (9.1.16) para cálculo da velocidade do gás. Um balanço de massa para o

líquido relativo a um sistema de coordenadas que se desloca com a velocidade da bolha de

Taylor, , conduz à equação

Figura 9.3.1 Formação de golfada severa: (a) formação da golfada; (b) golfada desloca-se para o

separador; (c) descarga; (d) queda do líquido (Ref. Taitel op. cit.).

onde e representam as frações volumétricas no líquido deslocando-se para baixo no duto

quase horizontal e na golfada no riser, respectivamente. é a velocidade do filme líquido em

torno da bolha de Taylor no riser (positivo quando deslocando-se para cima) e é a velocidade

do líquido na golfada (riser), dado por

9.14

(9.2.14)

(9.2.15)

(9.2.16)

(9.2.17)

O filme em torno da bolha no riser é admitido em estado de queda livre, para o qual a

velocidade de queda pode ser calculada a partir da espessura ä, i.e.

onde k e m são assim especificados

e o número de Reynolds crítico (laminar/turbulento) definido como .

A fração volumétrica do filme pode ser calculada pela equação

Para um valor especificado de podemos resolver as equações (9.1.16) e (9.2.13) a (9.217)

para , , ä e para valores de . A fração volumétrica de líquido no duto quase horizontal

é admitido igual a 0,7, i.e. , enquanto foi sugerido para uma ampla faixa de

velocidades superficiais de líquido e gás no riser (desde 0,1 a 10 m/s), testado num tubo de 50

mm de diâmetro. Isto significa e que a bolha tem uma razão de diâmetros ,

sendo relativamente independente das vazões de líquido e gás.

Podemos destacar ainda as seguintes relações obtidas a partir das equações de

conservação de massa na golfada

9.15

(9.2.18)

onde áL é a fração volumétrica global de líquido na unidade de golfada, Ls é o comprimento da

golfada e Lu o comprimento total da unidade de golfada. Por fim, a Eq. (9.2.12) serve para

determinar a ocorrência ou não da golfada severa, ou para especificar o valor de ps para evitá-la.

9.16