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1/53 ÁREA DEPARTAMENTAL DE ENGENHARIA CIVIL

ESCOLA SUPERIOR DE TECNOLOGIA

UNIVERSIDADE DO ALGARVE

CURSO BIETÁPICO EM ENGENHARIA CIVIL

2º ciclo – Regime Diurno/Nocturno

Disciplina de COMPLEMENTOS DE MATEMÁTICA

Ano lectivo de 2007/2008 - 1º Semestre

Integrais de linha.

1. Utilizando integrais de linha, calcule o perímetro de uma circunferência de raio a . 2. Utilizando integrais de linha, calcule o comprimento da linha formada por um arco da parábola

2y x= de (0,0) a (1,1) e rectilíneo de (1,1) a (1,2) .

3. Calcule 2xy dsγ� para γ dado por tx cos= , ty sen= e

20

π≤≤ t .

4. Calcule f dsγ� onde yxyxf −= 2),( , ao longo dos caminhos:

4.1) Rectilíneo percorrido de )0,0(≡A para )1,1(≡B ;

4.2) Rectilíneo percorrido de )1,1(≡B para )0,0(≡A ;

4.3) 2x yγ ≡ = percorrido de )0,0(≡A para )1,1(≡B .

5. Calcule f dsγ� , para xyyxf =),( com 21 xy −=≡γ , desde )1,0(≡A até )0,1(≡B .

6. Calcule (0,2,3) 2

(2,1,0)( )x y z ds+� , ao longo de um segmento de recta.

7. Calcule (1,0,2 )

(1,0,0)( )x y z ds

π+ +� , ao longo da hélice cilíndrica de equações paramétricas tx cos= ,

ty sen= e tz = .

8. Calcule 2(2,2)

2( 1,1) 1xy y

dsx−

++� , ao longo de xy = .

9. Calcule f dsγ�� com ( ) [ ]{ }2( , ) : 4 2,2x y y x y xγ ≡ = ∨ = ∈ −� e yxyxf −=),( .

10. Calcule f dsγ�� ,para 2),( yxyxf += e ABC∆≡γ , onde )0,2(≡A , )2,0(≡B e )0,0(≡C .

11. Suponha que a configuração de um fio é dada pela equação 225y x= − e que a densidade de

massa do mesmo é ( , ) 15x y yρ = − . Calcule a massa do fio.

ÁREA DEPARTAMENTAL DE ENGENHARIA CIVIL

Integrais de linha

2/53 APONTAMENTOS DE COMPLEMENTOS DE MATEMÁTICA

12. Calcule a massa de um fio circular com equação 29y x= − com 0 3x≤ ≤ se a densidade do

mesmo for dada por ( , )x y x yρ = . 13. Calcule a massa de um fio com forma de um hélice com equações paramétricas 3cosx t= ,

3siny t= e 4z t= com 02

tπ≤ ≤ , sendo a função de densidade 2( , )

1kx

x yy

ρ =+

( 0k > ).

14. Seja γ um fio de um material cuja densidade de massa é dada por 2 2

1( , )

1x y

x yρ =

+ +, com

a configuração de uma espiral descrita pelo caminho [ ]( ) ( cos , sin ) 0,4r t t t t t t π= ∈�� . Calcule a

massa e o centro de massa do fio.

15. Seja 3γ ⊂ � um fio de um material com a configuração de uma hélice cilíndrica descrita pelo

caminho [ ]( ) (cos ,sin , ) 0, 4r t t t t t π= ∈�� , sendo a densidade de massa dada por ( , , )x y z zρ = .

Calcule o momento de inércia de γ relativo ao eixo do z.

16. Calcule o trabalho realizado por )2,(),( 2 yxyxyxF −+= ao longo de um caminho rectilíneo

desde: 16.1) (0,0)A = a (3,1)B = ; 16.2) (3,1)B = a (0,0)A = .

17. Calcule � +

γ

dyxxydx 2 se:

17.1) γ consiste dos segmentos rectilíneos de )1,2( a )1,4( e de )1,4( a )5,4( ;

17.2) γ é o segmento rectilíneo entre )1,2( e )5,4( ;

17.3) γ é dado por 13 −= tx e tty 23 2 −= com 35

1 ≤≤ t .

18. Calcule (0,0) 2 2

( 1,1)( )x y dx ydy

−+ −� , ao longo da curva de equação cartesiana 1)1( 22 =++ yx .

19. Calcule �−

−+−)1,2(

)1,5()2()1( dyxdxy , ao longo da curva 011181694 22 =−−−+ yxyx .

20. Considere o campo vectorial ( )2 2

1 23( , ) (3 2 ) 3F x y xy e x y e= + + −� �.

20.1) Verifique se é um campo conservativo.

20.2) Calcule do trabalho realizado pelo campo vectorial para mover uma partícula ao longo

da curva 24y xγ ≡ = − entre (2,0) e (0, 4) .

20.3) Determine o trabalho realizado pelo campo vectorial para mover uma partícula ao longo

a curva 2 2 4x yγ ≡ + = .


Integrais de linha


21. Mostre que ( ) ( ) 3

22

221 22),,( eyzyxezzxexyzzyxF

�� ++++= é um campo gradiente. Aproveite o

resultado para calcular �− )1,0,1(

)0,5,1(| rdF�

, � −

)1,1,1(

)2,01(| rdF�

e �γ rdF�

| .

22. Calcule �

γ

rdF�

| , com [ ]AB≡γ , )1,1,1(≡A , )3,1,2(≡B e ( )xyzxzyxF ,3,2),,( 2−+= , depois

de demonstrar que o campo a integrar é um campo gradiente.

23. Mostre que ( ) ( )3 21 2( , ) 2 3 4F x y x y e xy e= + + +� �

é um campo conservativo e calcule �)3,2(

)1,0(| rdF�

.

Verifique que o integral não depende da trajectória, calculando-o segundo algumas trajectórias à

escolha.

24. Calcule ( ) ( )� −+−

γ

dyyxdxyx 22 , quando o gráfico do caminho é o OAB∆ com triângulo

)0,0(=O )0,1(=A )2,1(=B e o sentido é o indicado pela sequência dos vértices.

25. Calcule � +

γ

ydyxdx , sabendo que entre )0,0(=O e )1,1(=A o caminho tem a equação

cartesiana 1)1( 22 =+− yx e que é rectilíneo entre A e )0,2(=B e entre B e O , no sentido

horário.

26. Utilizando o teorema de Green no plano, determine a área da região limitada pela elipse de

equação 12

2

2

2

=+by

ax

.

27. Verifique o teorema de Green quando é percorrido, no sentido directo o triângulo [ ]OAB∆ ,

com )0,0(≡O , )0,(aA ≡ , ),0( bB ≡ )0,( >ba e 21),( exeyyxF�� +−= .


Integrais de linha


Caminhos e linhas – resumo da teoria

Seja ( ) : nr t I ⊂ →�� uma função vectorial contínua (todas as suas funções coordenadas são

contínuas) em [ ],I a b= . À medida que a variável independente t percorre I, os correspondentes

valores da função 1 1( ) ( ( ),..., ( ))n nr t x r t x r t= = =� (o vector posição de um ponto P) percorrem um

conjunto de pontos de n� que constituem o seu contradomínio. Se a função tomar valores em 2� ,

ou, em 3� , é possível visualizar geometricamente esse contradomínio (que pode ser considerado

como o gráfico de ( )r t�

).

Exemplo: Seja 2( ) :r t I ⊂ →�

� � , 1 2( ) ( ( ), ( ))r t r t r t=�, com [ ],t I a b∈ = , então, pode imaginar-se

Definição: À função vectorial contínua : nr I ⊂ →�� , [ ],I a b= , 1 1( ) ( ( ),..., ( ))n nr t x r t x r t= = =�

,

chama-se caminho ou trajectória em n� entre dois pontos ( )r a A=� (ponto de inicial ou de partida)

e ( )r b B=� (ponto de chegada ou final) os extremos do caminho.

O contradomínio de um caminho chama-se curva ou linha, γ , descrita pelo caminho, isto é, se

1 1( ) ( ( ),..., ( ))n nr t x r t x r t= = =� e [ ],t a b∈ , chama-se linha ao conjunto de pontos de n� , cujas

coordenadas são definidas pelas equações 1 1( ),..., ( )n nx r t x r t= = ( ( )r t�

, pode ser visto como uma

expressão das coordenadas de γ ).

Diz-se, portanto, que ( )r tγ ≡ � é a linha representada por ( )r t

�, e que ( )r t

� é uma representação

paramétrica da linha γ . As equações 1 1( ),..., ( )n nx r t x r t= = são as equações paramétricas do

caminho (e da linha por ele descrita), t I∈ designa-se por parâmetro da representação paramétrica e

[ ],I a b= é o intervalo paramétrico. Repare-se que ( )A r a= � e ( )B r b= � são pontos da linha

descrita pelo caminho.


Integrais de linha


A equação 1 1( ) ( ) ... ( )n nr t r t e r t e= + +� � � chama-se a equação vectorial do caminho (e da linha por ele

descrita). E as 1n − equações que se obtém do sistema que envolve as equações paramétricas por

eliminação do parâmetro t, são as equações cartesianas.

Exemplo: Seja 2( ) :r t I ⊂ →�

� � a função definida por 2 2 4( ) (1 ,2 )r t t t t= − −� e [0,1]I = . Uma

vez que a função ( )r t�

é contínua em I, o contradomínio de ( )r t�

é a linha descrita por ( )r t�

, para se

fazer a sua representação gráfica, elimina-se o parâmetro t visando a obtenção uma equação

(cartesiana) em x e y. Neste exemplo, uma vez que

2

2 4

( ) 1( )

( ) 2

x t tr t

y t t t

� = −�= �= −��

�, resulta,

22

2

11

2(1 ) (1 )

t xy x

y x x

� = −�� = −�

= − − −��.

Ou seja, a linha descrita por ( )r t�

é a parábola de equação 21y x= − (o contradomínio de ( )r t�

).

Repare-se que ( )r t�

pode ser interpretado como a expressão geral das coordenadas da parábola.

Como, [0,1]t ∈ , o ponto inicial é (0) (1,0)r =�

e o ponto final (1) (0,1)r =�. Portanto, o gráfico de

2 2 4( ) (1 ,2 )r t t t t= − − para [0,1]t ∈ , é a secção do gráfico de 21y x= − entre o ponto inicial (1,0)

e ponto final ( 0,1) . A orientação é feita no sentido crescente de y .

Esta linha admite outras parametrizações, por exemplo, 2( ) ( ,1 )r t t t= −�

e [0,1]t ∈ , neste caso a

orientação é feita no sentido crescente de x.

Repare-se que os caminhos (e a linha por eles descrita) têm orientação segundo o sentido para a

qual o parâmetro está a crescer. �


Integrais de linha


Definição: Um caminho : nr I ⊂ →�� diz-se regular no intervalo [ ],I a b= , se admite derivada

contínua não nula no intervalo aberto ] [,a b .

Definição: Um caminho : nr I ⊂ →�

� � diz-se seccionalmente regular se for possível decompor o

intervalo I num número finito de subintervalos, em cada um dos quais r�

regular.

Definição: Uma linha nγ ⊂ � é regular (seccionalmente regular) se admite uma representação

paramétrica regular (seccionalmente regular), isto é, se existe um caminho regular (seccionalmente

regular) que representa parametricamente γ .

A linha 1 2γ γ γ= � não é regular ( r

� tem derivada nula no ponto 0 0( , )x y ) no entanto γ é

seccionalmente regular, isto é, γ é regular nas secções (troços) 1γ e 2γ .

Definição: Sejam 1 : nr I →�

� e 2 : nr J →�� dois caminhos de n� . Estes caminhos dizem-se

equivalentes se existe uma função : I Jϕ → ( ( )I Jϕ = ), bijectiva e continuamente diferenciável,

tal que ( ) 0tϕ ′ ≠ para t I∈ e [ ]1 2( ) ( )r t r tϕ=� �. Se ( ) 0tϕ ′ > diz-se que os caminhos têm o mesmo

sentido, isto é, ϕ preserva o sentido; se ( ) 0tϕ ′ < diz-se que os caminhos têm sentidos opostos (são

inversos), isto é, ϕ inverte o sentido.

Exemplo: Considere-se um segmento de recta (linha) contido na recta de equação 2 1y x= + . Se o

segmento for percorrido de ( )0,1A para (2,5)B , pode ser descrito pelo caminho [ ] 21 : ,r a b →�

� ,

1( ) ( ) (0,1) (2,4) (2 ,1 4 )r t A t AB A t B A t t t= + = + − = + = +��

, onde AB��

é um vector director da recta

que passa por [ ]AB . Para se calcularem os pontos a (ponto de inicial) e b (ponto final) resolvem-se

as equações,


Integrais de linha


1( ) (2 ,1 4 ) (0,1) 0r a A a a a= ⇔ + = � =�,

e

1 ( ) (2 ,1 4 ) (2,5) 1r b B b b b= ⇔ + = � =�,

tem-se, portanto, [ ] 2

1( ) : 0,1r t →�� pode verificar-se que [ ]AB é a imagem de 1( )r t

� em 2� .

Se este segmento for percorrido em sentido inverso ao anterior, isto é, se estiver orientado de

(2,5)B para ( )0,1A , pode ser parametrizado pelo caminho [ ] 22 : ,r a b →�

� ,

2 ( ) ( ) (2,5) ( 2, 4) (2 2 ,5 4 )r t B tBA B t A B t t t= + = + − = + − − = − −��

. Sendo

2 ( ) (2 2 ,5 4 ) (2,5) 0r a A a a a= ⇔ − − = � =�,

e

2 ( ) (2 2 ,5 4 ) (0,1) 1r b B b b b= ⇔ − − = � =�,

tem-se, portanto, [ ] 2

2 ( ) : 0,1r t →�� pode verificar-se que [ ]AB é a imagem de 2 ( )r t

� em 2� .

Neste exemplo, ilustrou-se a mesma linha (o segmento) descrita por dois caminhos, dependendo da

orientação desejada, por este motivo a um caminho também se costuma chamar linha orientada.


Integrais de linha


Uma vez que,

[ ]1 2

2 2 2 ( )( ) ( ) (2 ,1 4 ) (2 2 ( ),5 4 ( )) ( ) 1

1 4 5 4 ( )t t

r t r t t t t t t tt t

ϕϕ ϕ ϕ ϕ

ϕ= −�

= ⇔ + = − − � � = −� + = −�

� �,

existindo ( )tϕ bijectiva, tal que ( ) 1tϕ ′ = − para [ ]0,1t I∈ = e [ ]1 2( ) ( )r t r tϕ=� �

, os caminhos são

equivalentes, como ( ) 0tϕ ′ < têm sentidos opostos.

Outra parametrização é, por exemplo, 3 ( ) ( , 2 1)r t t t= +�

e [0,2]t ∈ (exercício!). Portanto, os

caminhos 1( )r t�

, 2 ( )r t�

e 3 ( )r t�

são equivalentes (exercício!). �

Definição: Diz-se que o caminho 2 ( )r t

� é inverso a outro caminho 1( )r t

� (ou, que tem sentido ou

orientação opostos ao de 1( )r t�

), quando existe uma correspondência biunívoca completa entre os

pontos de ambas, mas o ponto inicial (final) de um é o ponto final (inicial) do outro. Se γ for a

linha descrita pelos dois caminhos, uma vez que estes são inversos, convenciona-se que γ−

representa a linha orientada em sentido inverso.

Se 1( )r t�

, [ ],t a b∈ define um caminho entre o ponto inicial ( )A r a= � e o ponto final ( )B r b= � , então

o caminho de equação vectorial 2 1( ) ( )r t r a b t= + −� � com [ ],t a b∈ é inverso a 1( )r t

�, contudo, estes

dois caminhos têm o mesmo intervalo paramétrico, sendo 2 1( ) ( )r a r b=� � e 2 1( ) ( )r b r a=� �

(exercício!).

Também é inverso a 1( )r t�

, o caminho 3 1( ) ( )r t r t= −� �, [ ],t b a∈ − − , sendo 3 1( ) ( )r a r a− =� �

e

3 1( ) ( )r b r b− =� � (exercício!).

Definição: Quando ( ) ( )A r a B r b= = =� �

, o caminho e a linha que ele descreve dizem-se fechados.

Se um caminho não é fechado diz-se aberto.

Definição: Um caminho diz-se simples se 1 2( ) ( )r t r t≠� �

, 1 2t t I∀ ≠ ∈ , isto é, se não assume o mesmo

valor em quaisquer dois pontos distintos, excepto, possivelmente, se 1t a= e 2t b= , no caso do

caminho ser fechado. Se 1 2( ) ( ) ... ( )mr t r t r t= = =� � � com 1 2 ... mt t t≠ ≠ ≠ dizemos que o ponto tem

multiplicidade m. Uma linha diz-se simples se existe um caminho simples que a descreve.

Definição: Designa-se por linha de Jordan o contradomínio de um caminho fechado e simples, isto

é, as linhas fechadas e simples recebem o nome de linhas de Jordan.


Integrais de linha


Exemplo: A elipse é uma linha de Jordan, a Lemniscata não é uma linha de Jordan pois, apesar de

ser fechada não é simples. �

Exemplo: Representação gráfica da curva parametrizada por ( ) (3cos ,2sen )r t t t=� para

[0, 2 ]t π∈ .Como 3cosx t= e 2seny t= , da fórmula fundamental da trigonometria, resulta

2 2

2 2cos sen 1 13 2x y

t t � � � �+ = ⇔ + = � � � �

,

que é a equação de uma elipse, centrada na origem com semi-eixos 3a = e 2b = . Como para

0t = e 2t π= , 3x = e 0y = , os pontos inicial e final coincidem (3,0)A B= = . Assim, o gráfico

de ( ) (3cos ,2sen )r t t t=� para [0,2 ]t π∈ é uma elipse com orientação no sentido directo (contrário

aos ponteiros do relógio)

Infelizmente, uma parametrização pode, só por si, não definir uma curva orientada.

Exemplo: Cálculo da equação cartesiana de ( ) (cos 2 ,cos )r t t t=� para [0,2 ]t π∈ . Como cos 2x t=

e cosy t= , da fórmula 2cos 2 2cos ( ) 1t t= − resulta

2 2cos 2 2cos ( ) 1 2 1t t x y= − ⇔ = − ,

que é a equação de uma parábola cujo eixo é o eixo das abcissas e vértice no ponto 1x = − . Como

(0) (1,1)r =�, 2( ) ( 1,0)r π = −�

, ( ) (1, 1)r π = −�, ( )3

2 ( 1,0)r π = −� e (2 ) (1,1)r π =�

, o pontos inicial e final

coincidem (1,1) , como a curva não é fechada, a orientação não está bem definida. Inicia em (1,1)

vai até ( 1,1)− e depois volta a (1,1) .

Como exercício, parametrize esta curva de maneira a que a orientação seja bem definida.�


Integrais de linha


Integrais de linha em campo escalares – resumo da teoria

O integral de linha é uma generalização do integral simples de Riemann. Nestes, o intervalo de

integração [ ],a b é substituído por uma linha e a função integranda é um campo escalar ou vectorial

definido e limitado nessa linha. Caso, o caminho descreva um dos eixos (linha) e a função a integrar

dependa apenas da variável correspondente, os dois integrais se identificam, sem restrições.

Definição: Seja : n

ff D ⊆ →� � um campo escalar, onde fD é um conjunto aberto, e

[ ]: , nr a b →�� um caminho de classe 1C que representa a linha fDγ ⊂ . Define-se integral de linha

do campo escalar f ao longo do caminho r�

, em ordem ao comprimento de arco, como sendo

( ( )) ( )B b

A a

fds fds f r t r t dtγ

′= =� � ��

.

Caso A B= , isto é, ( ) ( )r a r b=� �

(a linha é fechada) e o integral chama-se uma circulação de f ao

longo de γ e representa-se por fdsγ�� e faz-se, no caso de linhas planas e salvo indicação, no

sentido positivo ou directo, isto é, contrário ao dos ponteiros do relógio.

No caso particular de γ ser um segmento de recta unindo ( ,0)a a ( ,0)b , tomando x como

parâmetro, uma parametrização de γ , é

1

2

1( )( )

( ) 00

dxdx dtr t x t dtr t

r t y dydt

� = � =�= =� �= �� = =� � =��

� com [ , ]t a b∈ .

O integral de linha correspondente é

2 2

( ( )) ( ) ( , ) ( ,0) ( ,0)b b b b

a a a a

dx dyfds f r t r t dt f x y dt f t dt f x dx

dt dtγ

� � � �′= = + = = � � � �

� � � � ��

,

ou seja, o integral de linha reduz-se a um integral simples. As propriedades dos integrais de linha em campos escalares são as dos integrais simples. Em

particular:

1. ( )f g ds fds gds

γ γ γ

α β α β+ = +� � � , ,α β∀ (propriedade de linearidade);

2. 1 2 1 2

fds fds fdsγ γ γ γ∪

= +� � � , se 1 2γ γ = ∅� (propriedade de aditividade).


Integrais de linha


Os integrais de linha em campos escalares têm uma série de aplicações. A sua interpretação física

depende da interpretação física da função integranda, por exemplo:

• Comprimento de uma linha Considere-se uma linha regular entre os pontos A e B, representada parametricamente pela equação

vectorial 1 1 2 2( ) ( ) ( ) ... ( )n nr t x t e x t e x t e= + + +� � � � de classe 1C , com [ ],t a b∈ , ( )r a A=�

e ( )r b B=�, o

comprimento ou perímetro da linha γ (e do caminho que a descreve) é

( )b

a

s ds r t dtγ

′= =� ��

desde que 22 2

1 2( ) ... nxx xr t

t t t∂∂ ∂ � �� ′ = + + + ∂ ∂ ∂� � � � � �

�, seja integrável no intervalo [ ],a b (ou seja,

( )r t�

é rectificável, a curva tem comprimento finito).

Portanto, fazendo ( ( )) 1f r t =� o integral de linha fds

γ� representa o comprimento da linha γ .

Um caso particular, é quando ( )y f x= uma f.r.v.r. sendo uma parametrização 1 2( ) ( )r t te f t e= +� � �

e

2( ) 1 ( ( ))r t f t′ ′= +�, o comprimento linha dado por 21 ( ( ))

b

a

s ds f t dtγ

′= = +� � .

• Massa de um fio Supondo que : nDρρ ⊂ →� � representa a densidade de massa por unidade de comprimento de

material que constitui um fio com a configuração de um caminho [ ]: , nr a b →�� , supõe-se que a

linha representa um fio de espessura desprezável. Então, a massa, M, do fio é dada pelo o integral

de linha de ρ ,

( ( )) ( )B b

A a

M ds ds r t r t dtγ

ρ ρ ρ ′= = =� � ��

.

Neste caso, quando ( ) ( )f ρ= =x x densidade, o integral de linha fdsγ� da a massa da linha γ .


Integrais de linha


• Centro de massa Seja : nDρρ ⊂ →� � a densidade de massa por unidade de comprimento de material que

constitui um fio com a configuração de um caminho [ ]: , nr a b →�� e seja

1

( ) ( )if xM

ρ=x x , 1,2,...,i n= .

O centro de massa do fio é o ponto de coordenadas 1 2( , ,..., )nx x x calculadas da seguinte maneira

1 1( ) ( ( )) ( )

b

i i ia

x x ds r t r t r t dtM Mγ

ρ ρ ′= =� ��

, 1,2,...,i n= .

Se a densidade é constante, diz-se que o fio é uniforme (ou homogéneo) e designa-se o centro de

gravidade (de massa) por centroide. Se o fio, além de uniforme, for simétrico em relação a um eixo

ou a um plano, o centroide existe nestes.

• Momento de inércia

O momento de inércia de um fio (da linha γ ) em relação a um dado eixo (ou a um plano ou a um

ponto) é o integral de linha da função 2( ) ( ) ( )f dρ=x x x , ou seja,

2 2( ( )) ( ( )) ( )b

a

I d ds r t d r t r t dtγ

ρ ρ ′= =� ��

,

onde d representa a distância do ponto genérico do fio ao eixo (ao plano ou ao ponto) e ρ é a

densidade. Em particular, os momentos de inércia em relação aos eixos xx´, yy´, ou zz´ e à origem

são, respectivamente,

2 2( )xI y z dsγ

ρ= +� , 2 2( )yI x z dsγ

ρ= +� , 2 2( )zI x y dsγ

ρ= +� e 2 2 20 ( )I x y z ds

γ

ρ= + +� .


Integrais de linha


Integrais de linha em campos escalares – possível resolução dos exercícios

1. Cálculo do perímetro de uma circunferência de raio a, utilizando integrais de linha.

Resolução: O perímetro de uma circunferência é dado pelo integral de linha ( )b

a

ds r t dtγ

′=� ��

. É

intuitivo que o perímetro em questão é independente do centro, assim, considere-se a circunferência 2 2 2x y a+ = , (0,0)C e r a= . Esta circunferência pode ser parametrizada por

1 2 1 2( ) ( ( ) ( ), ( ) ( )) ( cos , sen ) cos senr t r t x t r t y t a t a t a te a te= = = = = +� � � � � [ ]0, 2t π∈� .

donde

1 2( ) sen cos ( sen , cos )r t a te a te a t a t′ = − + = −� � �

e

2 2 2 2( ) cos senr t a t a t a r′ = + = =�.

Consequentemente, o perímetro de uma circunferência de raio a, é

2

2

00

( ) (2 0) 2b

a

ds r t dt adt a t a aπ

π

γ

π π′= = = = − =� � ��

( r a= ).

2. Cálculo do comprimento da linha formada por um arco da parábola 2y x= de (0,0) a (1,1) e

rectilíneo de (1,1) a (1,2) , utilizando integrais de linha.

Resolução: Considerando (0,0)A = , (1,1)B = e (1, 2)B = , o gráfico de γ é o seguinte


Integrais de linha


Como se pode ver a linha não é regular, não se consegue descrevê-la utilizando uma única

parametrização. Contudo, é seccionalmente regular, considerando 1 2γ γ γ= � , é possível descrevê-

la, utilizando uma única parametrização para cada uma das secções (troços). Pelas propriedades dos

integrais de linha, o comprimento de γ pode ser obtido através de 1 2

ds ds dsγ γ γ

= +� � � .

• Troço �AB . A orientação do troço é no sentido crescente de x, considere-se x t= . Assim, uma

parametrização é 2

1 1: ( ) ( , )r t t tγ =� e [0,1]t ∈ ,

donde

( ) (1, 2 )r t t′ =� e 2( ) 1 4r t t′ = +�

.

O comprimento de 1γ , é 1

12

0

1 4 1,4789ds t dtγ

= +� � � . Calcule-se este integral, através da

seguinte mudança de variável

2 22 21 1

1 4 2 1 44 2

u ut t u t t

u u− ++ = + � = � + = , donde

2

2

14

dt udu u

+= −

como

2 2 1 5 21 4 2 1 4 2

0 1t u

t t u u t tt u

� = � = −�+ = + � = + − � �= � =��

vem

( )

2 2 4 21 5 2 122 30 1 5 25 2 1

121

3 25 25 2

1 1 1 2 11 4

2 84

1 2 1 1 1 2 ln

8 8 2 2

1 1 5 ln 5 2 1,4789.

2 4

u u u ut dt du du

u u u

uu du u

u u u

−

−− <

−−

� �+ + + ++ = × − = − = � �

� �= − + + = − + − =� � � ��

= − −

� � �

�

�

• Troço[ ]BC . A orientação do troço é no sentido crescente de y, considere-se y t= . Assim

1 1: ( ) (1, )r t tγ =� e [1,2]t ∈ , donde ( ) (0,1)r t′ =�

e ( ) 1r t′ =�.

O comprimento de 2γ , é 1

1

0

1ds dtγ

= =� � .

Consequentemente, o perímetro da linha γ é

1 2

1,4789 1 2,4789ds ds dsγ γ γ

= + +� � � � � .


Integrais de linha


3. Cálculo de 2xy dsγ� para γ dado por tx cos= , ty sen= e

20

π≤≤ t .

Resolução: A equação 1 2( ) cos sin (cos ,sin ) 0,2

r t te te t t tπ �= + = ∈ � ��

� � �� parametriza a curva γ , que

é, portanto, regular. Considerando a fórmula fundamental da trigonometria, vem

2 2 2 2cos sen 1 1t t x y+ = ⇔ + = , para 0 (0) (1,0)t r= � =�

o ponto de partida e para 2 2( ) (0,1)t rπ π= � =�o ponto de chegada. Assim,

a curva γ descrita por este caminho, é um quarto da circunferência, com (0,0)C e 1r = , situado no

primeiro quadrante, percorrida no sentido directo, graficamente

Como,

2 2( ) (cos ,sen ) ( ) ( sen ,cos ) ( ) sen cos 1r t t t r t t t r t t t′ ′= � = − � = + =� � �

, com 2

0π≤≤ t ,

e

2 2( , ) ( ( )) (cos ,sen ) cos senf x y xy f r t f t t t t= � = = + , vem o integral de linha dado por

3

32 22

0 0

sensen 12

( ( )) ( ) cos sen3 3 3

b

a

tfds f r t r t dt t tdt

π π

γ

π� � � �′= = = = =�

��

� �

No cálculo do integral, considerou-se 2sen senu t u tα= � = , com 2α = , vindo cosu t′ = e

aplicou-se 1

( )1

uP u u

αα

α

+

′ =+

.


Integrais de linha


4.a) Cálculo de �γ

dsf sobre um caminho rectilíneo, percorrido de )0,0(≡A para )1,1(≡B , com

yxyxf −= 2),( .

Resolução: Neste caso, o caminho descreve um segmento de recta orientado de A (origem do

segmento) para B (extremidade do segmento), ilustrado na seguinte figura.

Uma equação vectorial associada pode ser

( ) ( ) (0,0) (1,1) ( , )r t A t AB A t B A t t t= + = + − = + =

�� [ ]0,1t ∈� uma vez que

(0) (0,0)r A= =� a origem,

e

(1) (1,1)r B= =� a extremidade.

Como

( ) (1,1) ( ) 2r t r t′ ′= � =� �,

e ( , ) 2 ( ( )) 2f x y x y f r t t t= − � = −�

, resulta

( )1

21 3

00

4 5 2( ( )) ( ) 2 2 2

3 2 6

b

a

tfds f r t r t dt t t dt t

γ

′= = − = − =��

� � ��

.

Para o cálculo do integral de linha (2 )fds x y dsγ γ

= −� � , calculando ( )ds r t dt′= � , basta substituir

x e y, na função integranda, pelas respectivas expressões ( x t= e y t= , as equações paramétricas).


Integrais de linha


4.b) Cálculo de �γ

dsf sobre um caminho rectilíneo, percorrido de )1,1(≡B para )0,0(≡A , com

yxyxf −= 2),(

Resolução: Nesta alínea, a curva descrita pelo caminho é a mesma que a da alínea anterior, contudo

percorrida em sentido oposto (os caminhos são equivalentes), o segmento de recta é orientado de B

(origem do segmento) para A (extremidade do segmento), como se ilustra na figura.

Uma equação vectorial associada é

( ) ( ) (1,1) ( 1, 1) (1 ,1 )r t B tBA B t A B t t t= + = + − = + − − = − −�� [ ]0,1t ∈� ,

pois

(0) (1,1)r B= =� a origem e (1) (0,0)r A= =�

a extremidade.

Sendo ( ) ( 1, 1) ( ) 2r t r t′ ′= − − � =� �

, e

( , ) 2 ( ( )) 2 1 1f x y x y f r t t t= − � = − − +�,

vem

( )121 3

00

4 5 2( ( )) ( ) 2 2 1 1 2 (1 )

3 2 6

b

a

tfds f r t r t dt t t dt t t

γ

′= = − − + = − − − + =�

��

� �.

Sendo f um campo escalar definido num domínio que contém uma linha γ regular ou

seccionalmente regular de representação paramétrica ( )r t�

, [ ],t a b∈ , e sendo γ− a linha formada

pelos mesmos pontos de γ , mas percorrida em sentido oposto, verificou-se, através desta duas

alíneas, que fds fdsγ γ−

=� � . Esta é uma propriedades dos integrais de linha em campos escalares.

Eliminando o parâmetro das equações paramétricas obtém-se a equação da recta que contém γ

1 11 1

x t t xx y

y t t y

= − = −� �� =� �= − = −� �

.


Integrais de linha


4.c) Cálculo de fds

γ� para 2x yγ ≡ = , desde )0,0(≡A para )1,1(≡B , com yxyxf −= 2),( .

Resolução: O gráfico de γ é

Quer calcular-se o integral de linha ao longo de um arco de parábola (regular). Umas equações

paramétricas são,

[ ]2

2( )( ) ( , 0,1

( )x t t

r t t t ty t t

� =� = ∈� =�

�� (equação vectorial),

(a orientação da curva é no sentido de crescimento da abcissa e da ordenada, pode tomar-se

qualquer uma destas como parâmetro), claro que, (0) (0,0)r =� e (1) (1,1)r =�

(como se tomou y

como parâmetro, este varia entre 0 e 1). Da equação vectorial tem-se

2( ) (2 ,1) ( ) 4 1r t t r t t′ ′= � = +� �

, como

2 2( , ) 2 ( ( )) ( , ) 2f x y x y f r t f t t t t t= − � = = − =�,

resulta

�

32

1 12 21

80 0

111 2 3

21 128 8 3

200

( ( )) ( ) 4 1 8 4 1

(4 1) 5 1 8 (4 1) .

12

b

a

u u

fds f r t r t dt t t dt t t dt

tt t dt

γ

α=

′

′= = + = + =

+ −= + = =��

� � � �

�

� �

�

Obs.: Este exemplo mostra que, em geral, o integral de linha depende do caminho tomado e não

apenas da função a integrar e dos pontos de partida e de chegada.


Integrais de linha


5. Cálculo de fds

γ� , para xyyxf =),( com 2: 1y xγ = − , desde )1,0(≡A até )0,1(≡B .

Resolução: A linha é o arco de parábola representado na figura.

Como a orientação do caminho corresponde ao crescimento da abcissa toma-se x como parâmetro

[ ]22

: ( ) ( ,1 ) 0,11

x tr t t t t

y tγ

=�� = − ∈� = −�

�� ,

como se tomo x, como parâmetro, a abcissa varia de 0 até 1. Ou,

[ ]2

2

( ) ( ,1 ) (0,1) 00,1

( ) ( ,1 ) (1,0) 1

r a A a a at

r b A b b b

�= � − = � = �� ∈�

= � − = � = ��

�

� ,

Sendo

2 2( ) ( ,1 ) ( ) (1, 2 ) ( ) 1 4r t t t r t t r t t′ ′= − � = − � = +� � �,

e uma vez que 2 2( , ) ( ( )) ( ,1 ) (1 )f x y xy f r t f t t t t= � = − = −�

, vem

1 1 12 2 2 3 2

0 0 0

5 11( ( )) ( ) (1 ) 4 1 4 1 4 1 5

24 120

b

a

fds f r t r t dt t t t dt t t dt t t dtγ

′= = − + = + − + = −� � � � ��

12

0

14 1 ( 5 1)

12t t dt+ = −� e

13 2

0

5 14 1 5

24 5t t dt � �+ = −

� �� .

Observe-se o exercício 8 para uma sugestão de resolução do integral.


Integrais de linha


6. Cálculo de ( )ds(0,2,3)

)0,1,2(

2� + zyx , ao longo de um segmento de recta.

Resolução: Neste caso o caminho é um segmento de recta de 3� , com origem em (2,1,0)A = e

extremidade em (0,2,3)B = (indicação dada pela posição dos limites de integração), uma equação

vectorial associada é

( ) ( ) (2,1,0) ((0,2,3) (2,1,0) (2,1,0) ( 2,1,3) (2 2 ,1 ,3 )r t A t AB A t B A t t t t t= + = + − = + − = + − = − +��

.

Para calcular o intervalo de variação de t, basta resolver as equações

( ) (2 2 ,1 ,3 ) (2,1,0) 0r a a a a A a= − + = = � =�, a origem

e ( ) (2 2 ,1 ,3 ) (0,2,3) 1r b b b b B b= − + = = � =�

, a extremidade. Como

( ) ( 2,1,3) ( ) 14r t r t′ ′= − � =� �,

e 2 2 3 2( , , ) ( ( )) (2 2 ,1 ,3 ) (2 2 ) (1 ) 3 4 4 4f x y z x y z f r t f t t t t t t t t t= + � = − + = − + + = − − +�

, resulta

( )1 3 2

0

19 14( ( )) ( ) 14 4 4 4

6

b

afds f r t r t dt t t t dt

γ

′= = − − + =� � ��

.

7. Cálculo de ( )ds)(1,0,2

)0,0,1(� ++π

zyx , ao longo da hélice cilíndrica de equações paramétricas tx cos= ,

ty sen= e tz = . Resolução: Neste caso, o caminho é uma hélice cilíndrica com origem em (1,0,0)A = e

extremidade em (1,0, 2 )B π= (indicação dada pela posição dos limites de integração), uma equação

vectorial é

( ) (cos ,sin , ) ( ) ( sin ,cos ,1) ( ) 2r t t t t r t t t r tγ ′ ′≡ = � = − � =� � �

e [0, 2 ]π (intervalo paramétrico),

( ) (cos ,sin , ) (1,0,0) 0r a A a a a a= � = � =� e ( ) (cos ,sin , ) (1,0, 2 ) 2r b B b b b bπ π= � = � =� (repare-se que a única componente que varia, cresce, é a cota, de 0 para 2π , portanto, o parâmetro).

Como

( , ) ( ( )) (cos ,sin , ) cos sinf x y x y z f r t f t t t t t t= + + � = = + +�,

resulta

( )2 2

0( ( )) ( ) 2 cos sin 2 2

b

afds f r t r t dt t t t dt

π

γ

π′= = + + =� � ��

.


Integrais de linha


8. Cálculo de2(2,2)

2( 1,1) 1xy y

dsx−

++� , ao longo de xy = .

Resolução: Do enunciado, vê-se que | |y xγ ≡ = entre ( 1,1)A − e (2, 2)B , a sua representação

gráfica é ilustrada na seguinte figura.

Vê-se que 1 2γ γ γ= � , que não pode ser descrita por um caminho regular, visto que | |y x= não tem

derivada na origem, mas pela união de dois caminhos regulares, ou seja, a curva é seccionalmente

regular. Tendo em conta que

1 1 1 1: ( ) ( , ) [0,1] ( ) ( 1,1) ( ) 2r t t t t r t r tγ ′ ′− = − ∈ � = − � =� � �� ,

e 2 2 2

2 2( , ) ( , ) 01 1

xy y t tf x y f t t

x t+ − += � − = =+ +

,

vem

1 1

0fds fdsγ γ−

= =� � .

Por outro lado, sendo

2 2 2 2: ( ) ( , ) [0, 2] ( ) (1,1) ( ) 2r t t t t r t r tγ ′ ′= ∈ � = � =� � �� ,

e 2 2 2 2

2 2 2

2( , ) ( , )

1 1 1xy y t t t

f x y f t tx t t

+ += � = =+ + +

,

vem

[ ]2

22 2 2

2 2 00 0

12 2 2 2 1 2 2 arctan 2 2(2 arctan 2)

1 1t

fds dt dt t tt tγ

� �= = − = − = − + +� �� .

Portanto,

1 2

2 2(2 arctan 2)fds fds fdsγ γ γ

= + = −� � � .


Integrais de linha


9. Cálculo de �γ

dsf com ( ) [ ]{ }2: ( , ) : 4 2,2x y y x y xγ = = ∈ −� � e yxyxf −=),( .

Resolução: O gráfico da curva é representado na seguinte figura.

Trata-se, portanto, de uma curva fechada, donde o integral de linha é uma circulação. Como se pode

ver o caminho não é regular (não se consegue associar um caminho regular que descreva toda a

curva), mas sim seccionalmente regular (pode ser parametrizado por secções, troços), 1 2γ γ γ= � .

Como foi visto, neste tipo de integrais tanto dá considerar γ como γ− , o integral é independente

da orientação da linha..

Considere-se, então, os troços (curvas), 1γ e 2γ , pela aditividade dos integrais de linha,

1 2

fds fds fdsγ γ γ

= +� � �� .

• 1γ parte da parábola 2y x= com [ ]2,2x ∈ − , então pode ter-se

[ ] ( ) ( )2 21 2

2, 2 ( ) , ( ) 1, 2 ( ) 1 4x t

t r t t t r t t r ty t

γ=�

′ ′≡ ∈ − � = � = � = +� =�

� � ��

e

( )2 2( , ) ( ( )) ,f x y x y f r t f t t t t= − � = = −�

vindo

1

2 2 22 2 2 2 2

1 22 2 2

( ) 1 4 1 4 1 4fds t t t dt t t dt t t dt I Iγ − − −

= − + = + − + = +� � � �

calcule-se estes integrais separadamente.

� �

2 2 2 1 22 2 2 2 32

122 2 2

1 1 31 4 8 4 1 8 (4 1) (4 1) 0

8 8 4u u

I t t dt t t dt t t dt tα=

−′− − −

= + = + = + = + =�� .


Integrais de linha


22 2

22

1 4I t t dt−

= +� , calcule-se este integral por substituição, considerando

2 22 21 1

1 4 2 1 44 2

u ut t u t t

u u− ++ = + � = � + = , vem,

2

2

14

dt udu u

+= − .

Como 22 2 2 4 6

2 23

1 1 11 4

4 2 32u u u u u

t tu u u

� �− + − − ++ = = � �

,

e

2 2 2 17 41 4 2 1 4 2

2 17 4

t ut t u u t t

t u

� = � = −�+ = + � = + − � �= − � = +��

,

vem 2 4 6 2 8 42 17 4 17 42 2

3 2 52 17 4 17 4

8 4 417 4 17 4 35 517 4 17 4

3

1 1 1 2 11 4

12832 4

1 2 1 1 2 1

128 128

1

128

u u u u u ut t dt du du

u u u

u u udt u du

u u

u

− +

− + −

+ +

− −

� �− − + + − + −+ = × − = − = � �

� �− + − −= − = − − + = � �

= − −

� � �

� �17 4417 4

5 417 417 4

2 1 1 12ln

128 4 4

33 1 17 4 17 ln 16,9424.

8 64 17 4

udu u

u u u

++

−−

� � �+ − = − − + + =

��

� �+= − −� �

�

�

Donde

1

1 2

33 1 17 40 17 ln 16,9424

8 64 17 4fds I I

γ

� �+= + = − − − −� �� .

• 2γ rectilíneo com [ ]2,2x ∈ − . Como o sentido não interessa (porquê?), pode considerar-se como parâmetro a variável x, donde

[ ] ( ) ( )2 2,2 ( ) , 2 ( ) 1,0 ( ) 12

x tt r t t r t r t

yγ

=� ′ ′≡ ∈ − � = � = � =� =�

� � �� ,

e como

( , ) ( ( )) ( , 2) 2f x y x y f r t f t t= − � = = −�,

resulta

2

2

2( 2) 8fds t dt

γ−

= − = −� � .

Finalmente

1 2

16,9424 8 24,9424fds fds fdsγ γ γ

= + − − =� � � �� .


Integrais de linha


10. Cálculo de �γ

dsf , para 2),( yxyxf += e ABC∆≡γ , onde )0,2(≡A , )2,0(≡B e )0,0(≡C .

Resolução: A curva é o triângulo de vértices )0,2(≡A , )2,0(≡B e )0,0(≡C , portanto fechada, como se ilustra na figura.

Repare-se que não se indica a orientação da curva, tal não impede de efectuar o cálculo integral,

uma vez que, fds fdsγ γ−

=� � . De qualquer maneira, caso se quisesse uma orientação, não sendo esta

dada, convenciona-se a directa. Vê-se que a curva não é regular, não há um caminho regular que a

represente, 1 2 3γ γ γ γ= � � , é seccionalmente regular. Considere-se orientação horária.

Como,

1 1 1: ( ) ( ,0) ( ) 1r t t r tγ ′− = ∈ � =� �� e 1( ( ))f r t t=�

vem 1 1

2fds fdsγ γ−

= =� � ,

2 2 2: ( ) ( , 2) [0,2] ( ) 2r t t t t r tγ ′= − + ∈ � =� �� e 2

2( ( )) 3 4f r t t t= − +� vem

2

142

3fds

γ

=� ,

e

3 3 3: ( ) (0, ) [0,2] ( ) 1r t t t r tγ ′= ∈ � =� �� e 2

3( ( ))f r t t=� vem

3

83

fdsγ

=� .

Vem,

1 2 3

14ds ( 2 1)

3f fds fds fds

γ γ γ γ

= + + = +� � � �� .


Integrais de linha


11. Cálculo da massa de um fio. Supondo que a sua configuração é dada pela equação 225y x= −

e que a densidade de massa do mesmo é ( , ) 15x y yρ = − .

Resolução: Um fio dado pela equação 225y x= − tem configuração semicircular, como se ilustra na figura.

A expressão da densidade do fio, ( , ) 15x y yρ = − , significa que o fio tem densidade máxima de 15

unidades na base ( 0y = ) e que esta decresce linearmente com respeito a y até um valor de 10

unidades no extremo ( 5y = ). A massa M do fio pode ser expressa pelo integral de linha

( , ) (15 )M x y ds y ds

γ γ

ρ= = −� � ,

ao longo do semicírculo γ . Para se calcular este integral parametriza-se γ da maneira que se segue

[ ] ( ) ( )5cos0, ( ) 5cos ,5sen ( ) 5sen ,5cos ( ) 5

5senx t

t r t t t r t t t r ty t

γ π=� ′ ′≡ ∈ � = � = − � =� =�

� � ��

donde

0(15 ) 5 (15 5sen ) 75 50 185,6M y ds t dt

π

γ

π= − = − = −� � � unidades de massa.

12. Cálculo da massa de um fio circular com equação 29y x= − com 0 3x≤ ≤ , e densidade dada

por ( , )x y x yρ = . Resolução: A massa M deste fio pode ser expressa pelo integral de linha

( , )M x y ds x ydsγ γ

ρ= =� � , ao longo do semicírculo 2: 9y xγ = − , que se pode parametrizar por

( ) ( )3cos0, ( ) 3cos ,3sen ( ) 3sen ,3cos ( ) 3

3sen 2

x tt r t t t r t t t r t

y tπγ

=� � ′ ′≡ ∈ � = � = − � =� � �= � ��

� � �� .

Vindo


Integrais de linha


1 3 22 22 2

0 00

23

0

( , ) 3 3cos 3sen 9 3 cos (sen ) 6 3 (sen )

6 3 (sen ) 6 3.

M x y ds x yds t tdt t t dt t

t

ππ π

γ γ

π

ρ �= = = = = =��

= =�

��

� � � �

13. Cálculo da massa de um fio com forma de um hélice com equações paramétricas 3cosx t= ,

3seny t= e 4z t= com 02

tπ≤ ≤ , sendo a função de densidade 2( , )

1kx

x yy

ρ =+

( 0k > ).

Resolução: A massa do fio pode ser dada por

2( , )1

kxM x y ds ds

yγ γ

ρ= =+� � .

Como

( ) ( )3cos3sen 0, ( ) 3cos ,3sen , 4 ( ) 3sen ,3cos , 4 ( ) 5

24

x t

y t t r t t t t r t t t r t

z t

πγ=�

� � ′ ′≡ = ∈ � = � = − � =� � �� =�

� � �� .

Vem

( )2 2 2

2 2 00 0

cos 3cos( , ) 15 5 5 arctan(3sen ) 5 arctan 3

1 9sen 1 3sen

t tM x y ds k dt k dt k t k

t t

π π π

γ

ρ = = = = =�+ �+� � � .

Obs.: 2(arctan )1

uu

u′′ =

+.

14. Cálculo da massa e do centro de massa de um fio γ de um material cuja densidade de massa é

2 2

1( , )

1x y

x yρ =

+ +, com a configuração de uma espiral descrita pelo caminho

[ ]( ) ( cos , sen ) 0,4r t t t t t t π= ∈�� .

Resolução: A massa do fio é 4

2

20

1( ( )) ( ) 1 4

1

b

a

M r t r t dt t dtt

π

ρ π′= = + =+� �

� �

uma vez que,

( ) ( cos , sen ) ( ) (cos sen ,sen cos )r t t t t t r t t t t t t t′= � = − +� �,

2 2 2( ) (cos sen ) (sen cos ) 1r t t t t t t t t′ = − + + = +�,


Integrais de linha


e

2 2 2

1 1( , ) ( ( ))

1 1x y r t

x y tρ ρ= � =

+ + +

�.

A coordenada x do centro de massa é

4

0

1 1 0( ( )) ( ) cos 0

4 4

b

a

x x r t r t dt t tdtM

π

ρπ π

′= = = =� ��

,

enquanto que a coordenada y do centro de massa é dada por

4

0

1 1 4( ( )) ( ) sen 1

4 4

b

a

y y r t r t dt t tdtM

π πρπ π

−′= = = = −� ��

,

uma vez que ( ( )) ( ) 1r t r tρ ′ =� �

. Assim o centro de massa da espiral, nestas condições, tem

coordenadas ( , ) (0, 1)x y = − .

15. Cálculo do momento de inércia de um fio 3γ ⊂ � , relativo ao eixo do zz´, de um material com a

configuração de uma hélice cilíndrica descrita pelo caminho [ ]( ) (cos ,sen , ) 0,4r t t t t t π= ∈�� , com

densidade de massa dada por ( , , )x y z zρ = .

Resolução: O momento de inércia de um fio γ , em relação ao eixo zz´, pode ser dado pelo o

integral de linha

2 2 2( )zI d ds x y ds

γ γ

ρ ρ= = +� � ,

onde d representa a distância do ponto genérico do fio ao eixo e ρ é a densidade. Neste exemplo,

4

2 2 2

0

( ) ( ) 2 8 2zI z x y ds tdtπ

γ

γ π= + = =� � ,

é o momento de inércia do fio [ ]: ( ) (cos ,sen , ) 0,4r t t t t tγ π= ∈�

� , relativamente ao eixo zz´, uma

vez que ( ( ))r t tρ =�, 2 2 2 2 2 2( ( )) cos sen 1d x y d r t t t= + � = + =�

e ( ) 2r t′ =�.


Integrais de linha


Integrais de linha em campo vectoriais – resumo da teoria

Uma das mais importantes aplicações dos integrais de linha em campos vectoriais é o cálculo do

trabalho realizado quando o ponto de aplicação de uma força ( )F r�

se move ao longo de uma linha

( )r tγ ≡ � com [ ],t a b∈ .

Definição: Seja : n n

FF D ⊆ →� � um campo vectorial contínuo no conjunto aberto FD , e

[ ]: , nr a b →�� um caminho de classe 1C (regular ou seccionalmente regular) que representa a

linha FDγ ⊂ . Define-se integral de linha do campo vectorial F ao longo do caminho γ , desde o

ponto ( )A r a= � ao ponto ( )B r b= � , ou, trabalho realizado pelo campo F ao longo de γ , como sendo

| | ( ( )) | ( )B b

A a

W F dr F dr F r t r t dtγ

′= = =� � ��

.

Se A B= , isto é, ( ) ( )r a r b=� �

(a linha é fechada) e o integral chama-se uma circulação de F ao longo

de γ e, representa-se por |F drγ�

�� e faz-se, salvo indicação, no sentido positivo ou directo, isto é,

contrário ao dos ponteiros do relógio.

Por outro lado, uma vez que

1 1 2 2( ) ( ) ( ) ... ( )n nF f e f e f e= + + +� � �x x x x ,

onde ( )if x , 1,...,i n= , são as funções coordenadas do campo vectorial F, e porque

1 1 2 2 ... n ndr dx e dx e dx e= + + +� � � �,

visto

1 1 2 2( ) ( ) ( ) ... ( )n nr t x t e x t e x t e= + + +� � � �,

onde ( )ix t , 1,...,i n= , são as equações paramétricas do caminho (componentes da equação vectorial

que representa a linha), vem

1 2 1 2 1 1 2 2| ( ( ), ( ),..., ( )) | ( , ,..., ) ( ) ( ) ... ( )n n n nF dr f f f dx dx dx f dx f dx f dx= = + + +� x x x x x x ,

e, consequentemente,

1 1 2 2| ( ) ( ) ... ( )n nW F dr f dx f dx f dxγ γ

= = + + +� �� x x x .


Integrais de linha


Em particular, dado um campo vectorial 3 3: FF D ⊆ →� � e uma linha regular ou seccionalmente

regular FDγ ⊂ , de representação paramétrica ( )r t�

, [ ],t a b∈ ,

1 2 3|W F dr f dx f dy f dzγ γ

= = + +� ��

,

com 1 2 3( , , ) ( ( , , ), ( , , ), ( , , ))F x y z f x y z f x y z f x y z= .

Tal como nos integrais de linha para campos escalares, tem-se: 1. ( ) | | |F G dr F dr G dr

γ γ γ

α β α β+ = +� � ��

, ,α β∀ (propriedade de linearidade);

2. 1 2 1 2

| | |F dr F dr F drγ γ γ γ∪

= +� � ��

, se 1 2γ γ = ∅� (propriedade de aditividade).

Definição: Seja 1 2 3( , , ) ( , , )F x y z f f f= um campo vectorial, 3 3: FF D ⊂ →� � , diferenciável.

Chama-se rotacional do campo vectorial F, e representa-se por rotF , ao vector dado por

1 2 3

3 32 1 2 1

1 2 3

, ,

e e ef ff f f f

Fx y z y z z x x yf f f

� �∂ ∂∂ ∂ ∂ ∂∂ ∂ ∂∇ = = − − − ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂� �

� � �

� .

Se 1 2( , ) ( , )F x y f f= , 2 2: FF D ⊂ →� � a diferença 2 1f fx y

∂ ∂−∂ ∂

designa-se por rotacional

bidimensional ou escalar do campo vectorial F.

Definição: Diz-se que o conjunto D é conexo quando é possível unir quaisquer dois pontos de D

por uma curva contínua toda contida em D.

(i) Um conjunto é simplesmente conexo se tanto ele como o seu complementar forem

conexos (não apresenta “buracos”);

(ii) Um conjunto é multiplicamente conexo se o seu complementar não for conexo

(apresenta “buracos”).


Integrais de linha


-2

-1

0

1

2

y

-2 -1 1 2x

-2

-1

0

1

2

y

-2 -1 1 2x

-2

-1

0

1

2

y

-3 -2 -1 1 2 3x

Conjunto simplesmente conexo

Conjunto multiplamente conexo Conjunto não conexo

Uma condição necessária, mas não suficiente, para que o campo 1 2 3( , , ) ( , , )F x y z f f f= seja um

campo gradiente é que 0rotF =�

. Uma condição suficiente é dada por:

Teorema: Seja 1 2 3( , , ) ( , , )F x y z f f f= um campo definido num conjunto aberto 3D ⊂ � ,

simplesmente conexo e 1( )F C D∈ . Então é condição necessária e suficiente para que F seja um

campo gradiente, que 0rotF =�

.

Se 1 2( , ) ( , )F x y f f= , 2 2: FF D ⊂ →� � é um campo gradiente com derivadas parciais contínuas,

então

2 1 0f fx y

∂ ∂− =∂ ∂

.

Um campo vectorial F definido num conjunto aberto diz-se conservativo sse F é um campo

gradiente.

campo gradiente (conservativo) 0F rotF� =�

0 não é campo gradiente (conservativo)rotF F≠ ��


Integrais de linha


Teorema: Seja F é campo gradiente contínuo num conjunto aberto D , então existe um campo

escalar : DΦ →� de classe 1C , tal que, F = ∇Φ , designado por função potencial geradora de F.

Teorema: Seja F um campo gradiente, definido num conjunto aberto D de 2� ou 3� , ( )r tγ ≡ � ,

[ ],t a b∈ , uma linha regular ou seccionalmente regular contida nesse domínio, sendo ( )A r a= � (o

ponto inicial) e ( )B r b= � (o ponto final), então

| | | ( ) ( )B

A

W F dr dr dr B Aγ γ

= = ∇Φ = ∇Φ = Φ − Φ� � ��

.

Quer dizer que, nestas condições, o trabalho realizado por aquele campo não depende do caminho,

mas apenas dos pontos inicial e final. Este é o motivo porque se designa o campo gradiente F por

campo conservativo. Claro que se A B≡ , tem-se, | 0F drγ

=��

� .

Os campos gradientes são irrotacionais e por isso os campos conservativos também o são (a sua

matriz jacobiana é simétrica), o recíproco não é verdadeiro: um campo irrotacional pode não ser um

campo conservativo. Considere-se o campo vectorial

1 22 2 2 2( , )y x

F x y e ex y x y

= −+ +� �

,

definido em { }2 \ (0,0)FD = � . Este campo é irrotacional, pois, 0rotF =

�, mas não é um campo

gradiente (o campo não é conservativo), para provar tal facto basta calcular o integral |W F drγ

= ��

�

ao longo de uma circunferência de raio r e centro na origem. Seja

[ ]( ) ( cos , sin ) 0,2r t r t r t tγ π≡ = ∈�

� , então ( ) ( sin , cos )r t r t r tγ ′≡ = −�

donde

2 2 2 2

2 2

2 2 2 2 2 2 2 20 0

|

sin cos ( sin ) ( cos ) 2 .

cos sin cos sin

y xW F dr dx dy

x y x y

r t r tr t dt r t dt dt

r t r t r t r t

γ γ

π π

π

= = − =+ +

� �= − − = − = − + +� �

� �

� �

��


Integrais de linha


Sendo ( )r t�

um caminho fechado, uma vez que, | 2 0W F drγ

π= = − ≠��

� conclui-se que o campo

vectorial F não é um campo gradiente (o campo não é conservativo) em { }2 \ (0,0)� , neste

conjunto não existe a função potencial tal que F = ∇Φ . Note-se que

2 2 arctan ( ) ( , )y x

dx h y x yx y y

= + = Φ+�

para 0y ≠ , e que

( )2 2

arctan( ( , )) ( ( )) ( ( ))0 ( )

xyx y x h y h y

h y cy y x y y y

∂∂ Φ ∂ ∂= = − + � = � =∂ ∂ + ∂ ∂

donde ( , ) arctanx

x y cy

Φ = + (c constante). Isto quer dizer se considerarmos o campo vectorial F

apenas definido no conjunto aberto { }( , ) : 0D x y y= > , então F é um campo gradiente cuja função

potencial geradora é dada por ( , ) arctanx

x y cy

Φ = + . Este exemplo, sugere que a existência de uma

função potencial geradora para um campo vectorial fechado depende da geometria do domínio

considerado. O conjunto { }( , ) : 0D x y y= > é conexo contudo { }2 \ (0,0)FD = � não é conexo.

O teorema de Green estabelece uma relação entre os integrais de linha e os integrais duplos, que

permite, em certas condições, calcular uns em função dos outros

Teorema de Green no plano: Seja 2 2: FF D ⊂ →� � , 1 2( , ) ( , )F x y f f= , 1( )FF C D∈ , sendo FD

um conjunto aberto conexo de 2� . Seja FR D⊂ uma região conexa limitada por uma curva γ ( a

fronteira de R ) simples, fechada (curva de Jordan) regular ou seccionalmente regular e com

orientação positiva (com sentido tal que todo o observador que a tome veja a região R sempre à sua

esquerda, então

2 1|R

f fW F dr dxdy

x yγ

� �∂ ∂= = − ∂ ∂� ��

�� .


Integrais de linha


O teorema de Green é válido, tanto para regiões simplesmente conexas como para regiões

multiplicamente conexas que sejam decompostas num número finito de regiões simplesmente

conexas. Considere-se uma região R do tipo da ilustrada na figura.

A sua fronteira consiste nas duas curvas fechadas simples 1γ e 2γ . Para se verificarem as condições

do teorema de Green temos que considerar 1γ (percorrida no sentido directo) e 2γ− (percorrida no

sentido inverso).

Corolário: Nas condições do teorema de Green a área da região R é dada por

12

A xdy ydx xdy ydxγ γ γ

= = − = −� � � .

Significa que, o trabalho realizado pela força 1 22 2( , ) y xF x y e e= − +� �, quando desloca o seu ponto de

aplicação ao longo de uma linha fechada γ que é fronteira de um região (domínio) R, é

numericamente igual à área de R. Neste caso,

( ) ( )2 1 12 1 ( 1)f f

Rx yR R Rdxdy dxdy dxdy A∂ ∂

∂ ∂− = − − = =�� .


Integrais de linha


Integrais de linha em campos vectoriais – possível resolução dos exercícios 16a) Cálculo do trabalho realizado por )2,(),( 2 yxyxyxF −+= ao longo de um caminho

rectilíneo desde (0,0)A = a (3,1)B = .

Resolução: O trabalho realizado por um campo vectorial ao longo de uma curva é dado pelo

integral

| | ( ( )) | ( )B b

A a

W F dr F dr F r t r t dtγ

′= = =� � ��

.

Sendo o caminho rectilíneo orientado de (0,0)A = a (3,1)B = (a curva, γ , por ele descrita é um

segmento de recta) pode ser parametrizado por ,

( ) ( ) (0,0) (3,1) (3 , ) [0,1]r t A t AB A t B A t t t t= + = + − = + = ∈

�� , vindo ( ) (3,1)r t′ =�

.

Como

2 2( , ) ( , 2 ) ( ( )) (3 , ) (4 ,9 2 )F x y x y x y F r t F t t t t t= + − � = = −�,

vem 1 1

2 2

0 0

(4 ,9 2 ) | (3,1) (9 10 ) 8W t t t dt t t dt= − = + =� � .

A figura seguinte mostra o campo de força e a curva deste exemplo. O trabalho realizado é positivo

porque o campo não impede o movimento ao longo da curva.


Integrais de linha


16b) Cálculo do trabalho realizado por )2,(),( 2 yxyxyxF −+= ao longo de um caminho

rectilíneo desde (3,1)B = a (0,0)A = .

Resolução: Os caminhos rectilíneos apresentados nas duas alíneas são equivalentes, descrevem a

mesma linha, um segmento de recta, contudo, o sentido do caminho para esta alínea é inverso ao da

alínea anterior, o caminho esta orientado em sentido oposto. Sendo o caminho rectilíneo orientado

de )1,2(=B para )0,1(−=A , uma parametrização pode ser,

( ) ( ) (3,1) ( 3, 1) (3 3 ,1 )r t B tBA B t A B t t t= + = + − = + − − = − −

�� e [ ]0,1t ∈ , vindo ( ) ( 3, 1)r t′ = − −�

. Como, 2( ( )) (3 3 ,1 ) (4 4 ,9 16 7)F r t F t t t t t= − − = − − +�

, vem

1 12 2

0 0

(4 4 ,9 16 7) | ( 3, 1) ( 9 28 19) 8W t t t dt t t dt= − − + − − = − + − = −� � .

O trabalho realizado é negativo porque o campo impede o movimento ao longo da curva. Basta

interpretar a figura do exemplo anterior considerando γ− .

Sendo F um campo vectorial definido num domínio que contém uma linha γ regular ou

seccionalmente regular de representação paramétrica ( )r t�

, [ ],t a b∈ , e sendo γ− a linha formada

pelos mesmos pontos de γ , mas percorrida em sentido oposto, verificou-se, através desta duas

alíneas, que | |F dr F drγ γ−

= −� ��

. Isto é, verificou-se que integrais de linha calculados sobre a

mesma linha γ descrita por caminhos equivalentes com sentidos opostos dão resultados simétricos,

o trabalho realizado por um campo vectorial sobre a mesma linha orientada em sentidos opostos dá

resultados simétricos. Uma propriedades dos integrais de linha em campos vectoriais.


Integrais de linha


17a) Cálculo de � +γ

dyxxydx 2 , γ é rectilíneo de )1,2( a )1,4( e de )1,4( a )5,4( .

Resolução: Graficamente, γ é representado na figura. O caminho corresponde ao percurso que vai

de )1,2( a )1,4( e de )1,4( a )5,4( , que não é regular, é seccionalmente regular, 1 2γ γ γ= ∪ ,

considera-se 1γ percorrido de )1,2( a )1,4( e 2γ percorrido de )1,4( a )5,4( .

Vindo

1 2 1 2

2 2 2 2xydx x dy xydx x dy xydx x dy xydx x dyγ γ γ γ γ∪

+ = + = + + +� � � � .

• 1γ pode ser parametrizado por ,

[ ]1 2,41 0

x t dx dtt

y dyγ

= =� �≡ ∈ �� = =� �

� ,

donde

1

42

26xydx x dy tdt

γ

+ = =� � .

• 2γ pode ser parametrizado por ,

[ ]2

4 01,5

x dxt

y t dy dtγ

= =� �≡ ∈ �� = =� �

� ,

donde

2

52

116 64xydx x dy tdt

γ

+ = =� � .

Finalmente

1 2

2 2 2 6 64 70xydx x dy xydx x dy xydx x dyγ γ γ

+ = + + + = + =� � � .


Integrais de linha


17b) Cálculo de � +γ

dyxxydx 2 , γ é o segmento rectilíneo entre )1,2( e )5,4( .

Resolução: O segmento de recta (γ ) percorrido de (2,1)A e (4,5)B (caminho), pode ser

parametrizado por

( ) ( ) (2,1) (2, 4) (2 2 ,1 4 ) [0,1]r t A t AB A t B A t t t t= + = + − = + = + + ∈��

� . As equações paramétricas são

[ ]2 2 20,1

1 4 4x t dx dt

ty t dy dt

γ= + =� �

≡ ∈ �� = + =� �� ,

donde

( ) ( )1 12 2 2

0 0

1702(2 2 )(1 4 ) 4(2 2 ) 32 52 20

3xydx x dy t t t dt t t dt

γ

+ = + + + + = + + =� � �

Por outro lado, uma equação da recta que passa pelos pontos 0 0(2,1) ( , )x y= e 1 1(4,5) ( , )x y= é

0 0( ) 2 3y y m x x y x− = − ⇔ = − , pois um vector director da recta é

1 2(4,5) (2,1) (2,4) ( , )AB B A u u= − = − = =��

,

donde 2

1

2u

mu

= = . Assim outra parametrização da curva (o segmento) γ é

[ ]2,42 3 2

x t dx dtt

y t dy dtγ

= =� �≡ ∈ �� = − =� �

� ,

vindo

( ) ( )4 42 2 2

2 2

170(2 3) 2 4 3

3xydx x dy t t t dt t t dt

γ

+ = − + = − =� � � .

Verificou-se, nesta alínea, que integrais de linha vectoriais calculados sobre a mesma linha γ

descrita por caminhos equivalentes com o mesmo sentido dão o mesmo resultado.

17c) Cálculo de � +γ

dyxxydx 2 , se γ é dado por 13 −= tx e tty 23 2 −= com 35

1 ≤≤ t

Resolução: O gráfico de γ é parte de uma parábola percorrida entre (2,1)A e (4,5)B (caminho),

basta substituir 1t = e 53

t = , nas equações paramétricas 13 −= tx e tty 23 2 −= .

As equações paramétricas são, 2

3 1 35( ) 1,

(6 3)33 2

x t dx dtr t t

dy t dty t tγ

= − =� � �≡ = ∈ �� = −= − � � ��

�� .

Donde


Integrais de linha


( ) ( )5 5

2 2 2 3 23 31 1

3(3 1)(3 2 ) (3 1) (6 3) 81 81 24 2 58xydx x dy t t t t t dt t t t dtγ

+ = − − + − − = − + − =� � � ,

Ou, tomando a equação da parábola 21( 1)

3y x= − com [ ]2, 4x ∈ , vindo

42 3

2

158

3xydx x dy t t dt

γ

� �+ = − = � �

� � .

Nos exercícios 17a), 17b) e 17c), foram obtidos três valores distintos para integrais de linha

calculados para o mesmo campo vectorial, ao longo de três caminhos diferentes unindo (2,1)A a

(4,5)B , portanto, os integrais dependem do caminho percorrido entre os pontos (2,1)A e (4,5)B .

18. Calcule ( )� −−+

)0,0(

)1,1(

22 ydydxyx , ao longo da curva de equação cartesiana 1)1( 22 =++ yx .

Resolução: Pretende-se calcular o trabalho realizado pelo campo vectorial ( )2 2( , ) ,F x y x y y= + ao

longo de 2 2( 1) 1x yγ ≡ + + = (circunferência de centro ( 1,0)C − e raio 1r = ), percorrida de ( 1,1)A −

a (0,0)B (os extremos do integral indicam que o sentido horário), isto é, γ é um quarto de

circunferência. Neste caso, pode parametrizar-se γ− , pois sabe-se, | |F dr F drγ γ−

= −� ��

. Portanto

1 cos 1 cos sin0,

sin sin cos2

x t x t dx tdtt

y t y t dy tdtπγ

+ = = − + = −� � � �− ≡ ∈ �� = = =� �� (sentido directo)

donde

( )

( )( ) ( )

(0,0) 2 2

( 1,1)

2 22 20 0

| |

3 ( 1 cos ) sin ( sin ) sin cos 2sin cos sin .

2

F dr F dr x y dx ydy

t t t t t dt t t t dt

γ γ

π π

−−

= − = − + − =

= − − + + − − = − − + =

� � �

� �

� �

Caso se considera-se γ , 1 sin

( )cos

x tr t

y t

+ =�= � =�

�(sentido horário) (exercício!).

Ou, o sentido do caminho corresponde ao crescimento da abcissa, tomando esta coordenada como

parâmetro, e uma vez que , 2 2 2( 1) 1 1 ( 1)x y y x+ + = ⇔ = − + só interessando esta expressão pois

no 4º quadrante 0y > , vem


Integrais de linha


[ ]2 2

2

1,0 11 ( 1) 2

2

dx dtx t x tt t

dy dty t y t tt t

γ=�= =� �� ≡ ∈ − � − −� � � == − + = − −�� − −�

� �

( ) ( )

( )

2(0,0) 02 2 2 2 2

( 1,1) 1 2

020

11

1| 2 2

2

3 1 .

2 2

tF dr x y dx ydy t t t t t dt

t t

tt dt t

γ− −

−−

� �− −= + − = + − − − − − = − −� �

= − + = − + =�

��

� � �

�

�

19. Cálculo de �−

−+−)1,2(

)1,5()2()1( dyxdxy , ao longo da curva 011181694 22 =−−−+ yxyx .

Resolução: Primeiro deve-se transformar a equação da curva na forma canónica,

2 2 2 2

2 2

22 2

2

4 9 16 18 11 0 4( 4 ) 9( 2 ) 11 0

4(( 2) 4) 9(( 1) 1) 11 0

( 2) ( 4( 2) 9( 1) 36

3

x y x y x x y y

x y

x yx y

+ − − − = ⇔ − + − − = ⇔⇔ − − + − − − = ⇔

− −⇔ − + − = ⇔ +2

2

1)1

2=

uma elipse com centro (2,1)C e semieixos 3a = e 2b = . Pretende-se calcular o integral entre

(5,1)A e (2, 1)B − (sentido horário), portanto, a curva γ é um arco de elipse entre estes pontos como

se ilustra na figura.

Calcule-se, o integral considerando o sentido directo, isto é, de (2, 1)A − a (5,1)B , uma vez que

| |F dr F drγ γ−

= −� ��

, o valor do integral pretendido será o simétrico do obtido.

Caso a elipse seja percorrida no sentido directo, umas equações paramétricas são


Integrais de linha


[ ]2

cos 2 3cos 3sin3: 0,22cos1

sin 1 2sin2

xt x t dx tdt

tdy tdty

t y tγ π

−� = ⇔ = +� = −��− ∈ �� =− �� = ⇔ = +��

� e ( ) (2 3cos ,1 2sin )r t t t= + +�.

Neste caso, os pontos inicial e final são, respectivamente,

2 3cos 2 cos 0( ) (2 3cos ,1 2sin ) (2, 1)

1 2sin 1 sin 1 2

a ar a a a A a

a aπ+ = =� �

= + + = = − � � � = −� �+ = − = −� �

�

e

2 3cos 5 cos 1( ) (2 3cos ,1 2sin ) (5,1) 0

1 2sin 1 sin 0b b

r b b b B bb b

+ = =� �= + + = = � � � =� �+ = =� �

�

donde

(5,1) 0 2 2

(2, 1)2

( 1) ( 2) 6 (cos sin ) 0y dx x dy t t dtπ− −− + − = − =� � .

neste caso não há grande vantagem, em termos heurísticos, uma vez que o valor do integral é zero.

Repare-se que, 2 1 0f fx y

∂ ∂− =∂ ∂

e como o campo vectorial é de classe 1C em 2� (simplesmente

conexo), então é conservativo (gradiente), ou seja, o integral de linha não depende do caminho,

apenas do pontos inicial e final.

Nestes termos, existe Φ tal que F∇Φ = e | ( ) ( )F dr B A

γ

= Φ − Φ��

. Prova-se que

( , ) 2x y xy x y cΦ = − − + (c constante), vindo | 0F drγ

=��

, uma vez que ( ) (2, 1) 2BΦ = Φ − = − e

( ) (5,1) 2AΦ = Φ = − . Para um estudo mais detalhado sobre campos conservativos ver exercícios

seguintes.

20.a) Verificar se o campo vectorial ( )2 2

1 23( , ) (3 2 ) 3F x y xy e x y e= + + −� � é conservativo.

Resolução: Como 2 21 2( , ) ( , ) (3 2 , 3 )F x y f f xy x y= = + − ,

i) 2FD = � aberto e simplesmente conexo;

ii) 1( )FF C D∈ ;

iii) 2 1 2 2 0f f

x xx y

∂ ∂− = − =

∂ ∂.


Integrais de linha


Por i), ii) e iii) conclui-se que o campo F é conservativo.

20. b) Cálculo do trabalho realizado pelo campo vectorial para mover uma partícula ao longo a

curva 24y xγ ≡ = − entre (2,0) e (0, 4) .

Resolução: A equação 24y x= − é uma parábola com a concavidade voltada para baixo e vértice

no ponto (0, 4) . Portanto, a curva γ , é a porção da parábola entre (2,0) e (0, 4) , orientada no

sentido de crescimento da ordenada, como se ilustra na seguinte figura.

Tendo em conta a figura que representa o campo vectorial 2 2( , ) (3 2 , 3 )F x y xy x y= + − , verifica-se

que as “setas” onde se situa γ , apontam no sentido inverso da orientação da curva. Portanto, é de

esperar que o trabalho realizado por F ao longo de γ seja negativo, uma vez que o campo impede o

movimento ao longo da curva. Calcule-se, então o integral de linha . Como a curva está orientada

no sentido de crescimento da ordenada, tome-se esta como parâmetro, ou seja, uma parametrização

da curva é

4: ( ) [0, 4]

x tr t t

y tγ

� = −�= ∈�=��

�� (porque se tomou y como parâmetro).


Integrais de linha


Para calcular o intervalo paramétrico pode fazer-se

( ) ( 4 , ) (2,0) 0r a a a A a= − = = � =� , a origem

e ( ) ( 4 , ) (0,4) 4r b b b B b= − = = � =� , a extremidade.

Assim, 1

( ) ,12 4

r tt

� �−′ = −� �

� e como 2( ( )) (3 2 4 , 3 4)F r t t t t t= + − − − +�

, vem

12

442 2

00

4 4 2

0 0

1 3 2 4| (3 2 4 , 3 4) | ,1 3 4

2 4 2 4

3( (4 ) ) ( 3 2 4) 70.

2

t tW F dr t t t t dt t t dt

t t

t dt t t dt

γ

−

� �� − − − −= = + − − − + = − − + = − −� � � �

= − − + − − + = −

� � �

� �

�

Para evitar as raízes, sabendo que | |F dr F dr

γ γ−

= −� ��

, pode considerar-se

2: ( ) [0,2]

4

x tr t t

y tγ

=�− = ∈� = −�

�� ,

donde, ( )( ) 1, 2r t t′ = −�

e como 3 2( ( )) ( 2 8 3,4 12)F r t t t t= − + + −�, vem

( )2 2

3 4 2 5 3

0 0

| ( 2 8 3, 3 25 48) | 1, 2 (6 52 104 3) 70W F dr t t t t t dt t t t dtγ−

= = − + + − + − − = − + + =� � ��

.

donde | 70W F dr

γ

= = −��

.

Ou então, como o campo é conservativo o integral não depende do caminho apenas dos pontos final

e inicial, pode obter-se a função potencial geradora, 2 3( , ) 3x y x x y y CΦ = + − + , e calcular o

trabalho (exercício!).

20. c) Determinar o trabalho realizado pelo campo vectorial para mover uma partícula ao longo a

curva 2 2 4x yγ ≡ + = .

Resolução:

Como o campo é conservativo o integral não depende do caminho apenas dos pontos final e inicial.

Como, 2 2 4x yγ ≡ + = , uma circunferência, é uma curva fechada, os pontos inicial e final

coincidem, A B= , vindo | 0F drγ

=��

� .


Integrais de linha


21. Cálculo de �− )1,0,1(

)0,5,1(| rdF�

, � −

)1,1,1(

)2,01(| rdF�

e �γ rdF�

| , aproveitando o facto de

( ) ( ) 32

222

1 22),,( eyzyxezzxexyzzyxF�� ++++= ser um campo gradiente.

Resolução: Para nenhum destes integrais foi indicado o caminho percorrido, nem tal é necessário,

uma vez que, sendo o campo gradiente o seu cálculo não depende destes.

Uma condição suficiente para que um campo vectorial seja um campo gradiente é que o seu

rotacional seja um vector nulo, isto é, 0rotF =�

, neste caso,

( )2 23 32 1 2 1, , 2 2,2 2 ,2 2 (0,0,0)f ff f f f

rotF x z x xy xy xz xzy z z x x y

� �∂ ∂∂ ∂ ∂ ∂= − − − = + − − − − = ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂� �,

o campo é irrotacional, como é de classe C∞ em 3� (o seu domínio) um conjunto simplesmente

conexo, conclui-se que F, é um campo gradiente.

Sendo o campo gradiente, existe Φ , que se designa por função potencial geradora (potencial

escalar) de F, tal que F∇Φ = , neste casos o campo vectorial diz-se um campo conservativo. Para

calcular Φ , uma vez que, de

( )2 2 2( , , ) 2 , , 2F x y z xyz x z z x y yz= + + = ∇Φ

vem 2 2

1 22 ,f xyz f x z zx y

∂Φ ∂Φ= = = = +∂ ∂

e 23 2f x y yz

z∂Φ= = +∂

,

considerando, por exemplo,

22 ( , , ) 2 ( , )xyz x y z xyzdx x yz g y zx

∂Φ = � Φ = = +∂ �

onde ( , )g y z uma função de y e z (constante em ordem a x) derivando em ordem y, vem

2 ( , )g y zx z

y y∂Φ ∂= +∂ ∂

,

comparando esta expressão com a 2ª componente do campo vectorial, 2f , vem

2 2

2 2 2 2 2 2

2

( , ) ( , )( , ) ( )

( , )

x z zy g y z g y z

x z x z z z g y z z dy yz h zg y z y y

x zy y

∂Φ� = +� ∂ ∂ ∂�� + = + � = � = = +�∂Φ ∂ ∂ ∂� = +

� ∂ ∂�

�

então


Integrais de linha


2 2 2( , , ) ( , ) ( )x y z x yz g y z x yz yz h zΦ = + = + + onde ( )h z é função de z, derivando em ordem a z, vem

2 ( )2

h zx y yz

z z∂Φ ∂= + +∂ ∂

e comparando esta expressão com 3ª componente do campo vectorial

2

2 2

2

( )2

( ) ( )2 2 0 ( )

2

h zx y yz

h z h zz z x y yz x y yz h z cz z

x y yzz

∂Φ ∂� = + +� ∂ ∂� ∂ ∂ � + + = + � = � =�∂Φ ∂ ∂� = +� ∂�

,

finalmente

2 2 2( , , ) ( , )x y z x yz g y z x yz yz cΦ = + = + + , (c ∈� ). Uma vez que o campo é conservativo o integral de linha não depende do caminho apenas depende

do ponto inicial e final, o trabalho é dado por

| ( ) ( )B

AW F dr B A= = Φ − Φ�

�.

Donde, por um lado,

(1,0, 1)

(1,5,0)| (1,0, 1) (1,5,0) 0F dr

−= Φ − − Φ =��

e (1,1,1)

(01, 2)| (1,1,1) (0,1, 2) 3F dr

−= Φ − Φ − = −��

,

destes dois exemplo, facilmente se vê que | |F dr F dr

γ γ−

= −� ��

, basta para isso, trocar a aposição dos

pontos A e B, em ( ) ( )W B A= Φ − Φ , e, por outro

| ( ) ( ) ( ) ( ) 0F dr B A B Bγ

= Φ − Φ = Φ − Φ =��

� ,

uma vez que numa circulação A B= .

22. Calcule �γ

rdF�

| , com [ ]AB≡γ , )1,1,1(≡A , )3,1,2(≡B e ( )xyzxzyxF ,3,2),,( 2−+= , depois

de demonstrar que o campo a integrar é um campo gradiente. Resolução: Um campo vectorial definido em 3� é um campo gradiente se o seu rotacional for o

vector nulo, isto é, 0rotF =�

, e neste caso o campo é conservativo. Prova-se que 0rotF =�

. Sendo o

campo conservativo, existe Φ , que se designa por função potencial geradora (potencial escalar) de

F, tal que F∇Φ = , isto é,

( )2( , , ) 2 , 3 , ( , , )F x y z x z y x x y z= + − = ∇Φ


Integrais de linha


sendo 2

1 22 , 3f x z f yx y

∂Φ ∂Φ= = + = = −∂ ∂

e 3f xz

∂Φ= =∂

vamos calcular Φ . Considerando, por exemplo, 2f

2 2 33 ( , , ) 3 ( , )y x y z y dy y g x zy

∂Φ = − � Φ = − = − +∂ �

onde ( , )g x z uma função de x e z (constante em ordem a y) derivando em ordem z, vem

( , )g x zz z

∂Φ ∂=∂ ∂

,

comparando esta expressão com a 3ª componente do campo vectorial, 3f , vem

( , )( , ) ( )

( , )

xg x zz x g x z xdz xy h x

g x z zz z

∂Φ� =� ∂� ∂ � = � = = +�∂Φ ∂ ∂� =� ∂ ∂�

�

então 3 3( , , ) ( , ) ( )x y z y g x z y xz h xΦ = − + = − + +

onde ( )h x é função de x, derivando em ordem a x, vem

( )h xz

z x∂Φ ∂= +∂ ∂

e comparando esta expressão com 1ª componente do campo vectorial

2

( )( ) ( )

2 2 ( ) 22

h xz

h z h xx x z x z x h z xdx x cz x

x zx

∂Φ ∂� = +� ∂ ∂� ∂ ∂ � + = + � = � = = +�∂Φ ∂ ∂� = +� ∂�

� , (c ∈� ),

finalmente

2 3( , , )x y z x y xz cΦ = − + + (c ∈� ). Uma vez que o campo é conservativo o integral de linha não depende do caminho apenas depende

do ponto inicial e final

| ( ) ( )B

AF dr B A= Φ − Φ��

(teorema fundamental do cálculo),

vindo

(1,1,1) 2

(2,1,3)| (1,1,1) (2,1,3) 1 1 1 2 1 2 3 8F dr = Φ − Φ = − + − + − × = −��

.


Integrais de linha


23. Mostrar que ( ) ( )3 21 2( , ) 2 3 4F x y x y e xy e= + + +� �

é um campo conservativo e calcular

�)3,2(

)1,0(| rdF�

. Verificar que o integral não depende da trajectória, calculando-o segundo algumas

trajectórias à escolha.

Resolução: Em primeiro lugar, calcula-se o integral pedido segundo duas trajectórias.

• Entre (0,1)A e (2,3)B , por um caminho rectilíneo. Uma equação vectorial pode ser

( ) ( ) (0,1) ((2,3) (0,1)) (0,1) (2,2) (2 ,1 2 )r t A t AB A t B A t t t t= + = + − = + − = + = +

�� [ ]0,1t ∈� , donde umas equações paramétricas são

[ ]22 2

0,11 2 2

2

dxx t dx dtdtty t dy dy dt

dt

� =�= =� ��∈ � �� = + =� �� =��

� ,

vindo

(2,3) (2,3) 1 13 2 3 2

(0,1) (0,1) 0 0| (2 ) (3 4) (4 (1 2 ) )2 (6 (1 2 ) 4)2F dr x y dx xy dy t t dt t t dt= + + + = + + + + + =� � � ��

1 1 13 2 3 2 3 2

0 0 0

14 3 2

0

(16 24 20 2) (48 48 12 8) (64 72 32 10)

16 24 16 10 66.

t t t dt t t t dt t t t dt

t t t t

= + + + + + + + = + + + =

= + + + =�

� � �

Cálculo auxiliar

O desenvolvimento 3(1 2 )t+ , pode ser obtido de 0

( )n

n n k n k nk

k

a b C a b −

=+ =� , onde

!!( )!k

n nC

k k n k� �

= = −� �, são combinações de n, k a k.

3 33 3 3 3 3 3 3 3 2 3 1 3 0

0 1 2 30 0

3 2

(1 2 ) 1 (2 ) (2 ) (2 ) (2 ) (2 ) (2 )

8 12 6 1

k k kk k

k k

t C t C t C t C t C t C t

t t t

− −

= =

+ = = = + + + =

= + + +

� �

• Entre (0,1)A e (2,3)B , onde 2

: 12x

yγ = + , a parábola que passa por A e B .


Integrais de linha


Pode definir-se γ através das equações paramétricas,

[ ]2 0,21

2

x tdx dt

tt dy tdty

=� =�� ∈ �� == + ��

�

3 22 2 6 4 2(2,3) 2 2

(0,1) 0 0

27 5 3

2

0

7 15 9| 2 1 3 1 4 6 1

2 2 8 4 2

3 3 3 66.

8 4 2

t t t t tF dr t t t dt t dt

t t tt t

� �� = + + + + + = + + + + = � � � � � ��

= + + + + =��

� � ��

Verificamos que o valor do integral é o mesmo para as duas trajectórias, o que não é mera

coincidência. De facto, o campo vectorial é conservativo, visto

( )3 21 2( , ) 2 ,3 4 ( , )F x y x y xy f f= + + =

donde 22 1 3 0

f fy rotF

x y∂ ∂= = � =∂ ∂

�

e, uma vez que 2FD = � .Então, existe Φ , a função potencial geradora de F, tal que F∇Φ = .

Considerando

2 2 33 4 ( , ) (3 4) 4 ( )xy x y xy dy xy y g xy

∂Φ = + � Φ = + = + +∂ � ,

donde 3 ( )g x

yx x

∂Φ ∂= +∂ ∂

,

e, como 32x y

x∂Φ = +∂

,

vem, 3 3 2( ) ( )

2 2 ( ) 2g x g x

x y y x g x xdx x cx x

∂ ∂+ = + � = � = = +∂ ∂ � ( c ∈� ).


Integrais de linha


Finalmente

2 3( , ) 4x y x xy y cΦ = + + + ( c ∈� ). Assim

(2,3)

(0,1)| (2,3) (0,1) 66F dr = Φ − Φ =��

.

O facto do campo ser conservativo simplifica o cálculo o integral de linha.

24. Cálculo de ( ) ( )� −+−γ

dyyxdxyx 22 , quando o gráfico do caminho é o triângulo OAB∆ com

vértices )0,0(=O )0,1(=A )2,1(=B e o sentido é o indicado pela sequência dos vértices.

Resolução: A representação gráfica do triângulo, γ , pedido é

A linha, γ , está orientada no sentido indicado pela sequência dos vértices, portanto, o sentido

directo. Pelo que já foi dito esta curva não é regular, não pode ser representada parametricamente,

não é possível encontrar um caminho ( )r t�

que a descreva. É, contudo, a união três linhas regulares

1 2 3γ γ γ γ= ∪ ∪ , ou seja, é seccionalmente regular. Assim

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( )1 2

3

2 2 2 2 2 2

2 2 .

x y dx x y dy x y dx x y dy x y dx x y dy

x y dx x y dy

γ γ γ

γ

− + − = − + − + − + −

+ − + −

� � �

�

�

• [ ]1 OAγ ≡ , o caminho é percorrido sobre o eixo ox no sentido de crescimento das abcissas, pelo

que x pode ser tomado como parâmetro.

[ ]1 0,10 0

x t dx dtt

y dyγ

= =� �≡ ∈ �� = =� �

�


Integrais de linha


donde

( ) ( )1

1

0

12 2

2x y dx x y dy tdt

γ

− + − = =� � .

• [ ]2 ABγ ≡ , o caminho é paralelo ao eixo oy percorrido no sentido de crescimento das ordenadas, tomando y como parâmetro.

[ ]2

1 01,2

x dxt

y t dy dtγ

= =� �≡ ∈ �� = =� �

�

donde

( ) ( )2

2

02 2 (2 ) 2x y dx x y dy t dt

γ

− + − = − =� � .

• [ ]3 BOγ ≡ , o caminho é inverso (sentido directo) ao caminho definido pela equação vectorial

[ ]( ) ( , 2 ) 0,1r t t t t= ∈�� ,

o que pode ser representado por

[ ]3 0,12 2

x t dx dtt

y t dy dtγ

= =� �− ≡ ∈ �� = =� �

�

tendo em conta que | |F dr F dr

γ γ−

= −� ��

vem

( ) ( ) ( ) ( )3 3

1

0

32 2 2 2 ( 3 )

2x y dx x y dy x y dx x y dy t dt

γ γ−

− + − = − − + − = − − =� � � .

Finalmente

( ) ( ) 1 32 2 2 4

2 2x y dx x y dy

γ

− + − = + + =�� .

Ou, uma vez que, se verificam as condições do teorema de Green para o cálculo do integral,

2 11 2|

R

f fF dr f dx f dy dxdy

x yγ γ

� �∂ ∂= + = − ∂ ∂� ��

�� .

Sendo

( )2

1

2( , ) 2 , 2

2

fx

F x y x y x yfy

∂� =� ∂�= − − � �∂� = −∂��

donde 1 2 1

12

00 0 0

| (2 ( 2)) 4 4 2 4 4x

R

F dr dydx dydx xdx xγ

= − − = = = =��

�

Uma vez que, para se determinar a região de integração, R, das variáveis x e y a partir da figura

pode-se verificar que, quando x varia entre 0x = e 1x = , o y varia entre 0y = e 2y x= .


Integrais de linha


25. Cálculo de � +γ

ydyxdx , sabendo que entre )0,0(=O e )1,1(=A o caminho tem a equação

cartesiana 1)1( 22 =+− yx e que é rectilíneo entre A e )0,2(=B e entre B e O, no sentido horário. Resolução: Graficamente o caminho pode ser representado por

E é percorrido em sentido horário (no sentido dos ponteiros do relógio). Como se vê não é regular,

mas seccionalmente regular, donde

1 2 3

xdx ydy xdx ydy xdx ydy xdx ydyγ γ γ γ

+ = + + + + +� � � �� .

• [ ]1 OAγ ≡ , sendo o sentido horário, o caminho é inverso daquele que se define por intermédio

das equação paramétricas,

1

sin1 cos,

sin 2cos

dxtx t dtt

y t dyt

dt

πγ π

� = −�= +� � �− ≡ ∈ �� = � �� =��

� ,

tendo em conta que | |F dr F dr

γ γ−

= −� ��

,

vem

2 2 2 2

(1 cos )( sin ) sin cos sin 1xdx ydy xdx ydy t t dt t tdt tdtπ ππ π

γ γ−

+ = − + = − + − + = =� � � � .

• [ ]2 BAγ ≡ , sendo o sentido horário, é feito no crescimento da abcissa, tomando x como

parâmetro, e uma vez que a recta que passa pelos pontos A e B tem equação 2y x= − , vem


Integrais de linha


[ ]2 0,12

x t dx dtt

y t dy dtγ

= =� �≡ ∈ �� = − = −� �

� ,

donde

2

2

1(2 2) 1xdx ydy t dt

γ

+ = − =� � .

• [ ]3 BOγ ≡ , pelo que foi dito na questão anterior,

[ ]3 0,20 0

x t dx dtt

y dyγ

= =� �− ≡ ∈ �� = =� �

� ,

donde

3

2

02xdx ydy tdt

γ

+ = − = −� � .

Finalmente 1 1 2 0xdx ydy

γ

+ = + − =�� .

Repare-se que 2 1 0f fx y

∂ ∂− =∂ ∂

, logo, pelo teorema de Green

2 1| 0 0R R

f fF dr dxdy dxdy

x yγ

� �∂ ∂= − = = ∂ ∂� ��

�� .

26. Cálculo da área da região limitada pela elipse de equação 12

2

2

2

=+by

ax

, utilizando o teorema de

Green no plano. Resolução: Nas condições do teorema de Green a área da região R é dada por

12

A xdy ydx xdy ydxγ γ γ

= = − = −� � � .

Neste caso a região R é limitada pela elipse de equação 12

2

2

2

=+by

ax

. Uma parametrização da curva

é

[ ]cos sin: 0,2

sin cosx a t dx a tdt

ty b t dy b tdt

γ π= = −� �

∈ �� = =� �� ,

donde 2 2 2 2

0 0

2

0

1 1 1cos ( cos ) sin ( sin ) ( cos sin )

2 2 2

.2

A xdy ydx a t b tdt b t a tdt ab t ab t dt

abdt ab

π π

γ

ππ

= − = − − = + =

= =

� � �

�


Integrais de linha


27. Verificação do teorema de Green (no plano) quando é percorrido, no sentido directo o triângulo

[ ]OAB∆ , com )0,0(≡O , )0,(aA ≡ , ),0( bB ≡ )0,( >ba e 21),( exeyyxF�� +−= .

Resolução: Como se pede para se verificar o teorema de Green devemos calcular o integral pelo

processo usual e depois confirmar o resultado através da aplicação do teorema. Pelo processo usual. Tratando-se γ de um triângulo, não é regular, é seccionalmente regular (por

secções). Vamos considerar as secções rectilíneas [ ] [ ]1 2: , :OA ABγ γ e [ ]3 : BOγ , vindo

1 2 3

1 2| | | |F dr f dx f dy F dr F dr F drγ γ γ γ γ

= + = + +� � � � ��

� � .

• [ ]1 : OAγ , com )0,0(≡O e )0,(aA ≡ , como o sentido é no crescimento da abcissa, podemos

tomar x com parâmetro, assim, uma parametrização desta linha é

[ ]: 0,0 0

x t dx dtt a

y dyγ

= =� �∈ �� = =� �

� ,

vindo

1 1 1

1 2| ( ) 0F dr f dx f dy y dx xdyγ γ γ

= + = − + =� � ��

.

• [ ]2 : ABγ , com )0,(aA ≡ e ),0( bB ≡ , uma equação vectorial (uma parametrização) desta linha

é

( ) ( ) ( ,0) ((0, ) ( ,0)) ( ,0) ( , ) ( , )r t A t AB A t B A a t b a

a t a b at a bt

= + = + − = + − == + − = − +

��

,

donde

[ ]2 : 0,1x at a dx adt

ty bt dy bdt

γ= − + = −� �

∈ �� = =� �� .

Claro, que se podia ter determinado a equação da recta que passa por [ ]2 : ABγ e tínhamos outra

parametrização. Seja 0 0( , ) (0, )x y b= e 1 1( , ) ( ,0)x y a= , vem

0 0( )b

y y m x x y b mx y x ba

− = − ⇔ − = ⇔ = − + ,

uma vez que, 1 0

1 0

y y bx x am −

−= = − . Assim, uma vez que o sentido é no crescimento da ordenada tomando

y como parâmetro, vem

[ ]2 : 0,a a

x t a dx dtt bb b

y t y dtγ

� �= − + = −� �∈ �� = =� �

�


Integrais de linha


vindo

2 2

1 1

0 0| ( ) (( )( ) ( ) )F dr y dx xdy bt a at a b dt ab dt ab

γ γ

= − + = − − + − + = =� � � ��

2 2

0| ( )

bF dr y dx xdy a dt ab

γ γ

= − + = =� � ��

• [ ]3 : BOγ , com ),0( bB ≡ e )0,0(≡O , este caminho é inverso ao caminho que corresponde ao

crescimento da ordenada e a 0x = desde 0y = a y b= , donde

[ ]3

0 0: 0,

x dxt b

y t dy dtγ

= =� �− ∈ �� = =� �

�

e

3 3

0| ( ) 0 0

bF dr y dx xdy dt

γ γ−

= − − + = − =� � ��

.

Finalmente, 1 2|F dr f dx f dy ab

γ γ

= + =� ��

.

Pelo teorema de Green: 2 11 2|

R

f fF dr f dx f dy dxdy

x yγ γ

� �∂ ∂= + = − ∂ ∂� ��

�� .

Sendo 1 2 1 1 2 2( , )F x y y e x e f e f e= − + = +� � � �, vem 2

2 1f

f xx

∂= � =∂

e 11 1

ff y

y∂= − � = −∂

, e

( )2 1| 1 ( 1) 2 2 22R R R

f f abF dr dxdy dxdy dxdy A ab

x yγ

� �∂ ∂= − = − − = = = × = ∂ ∂� ��

�� ,

onde 2

abA =� é a área do triângulo [ ]OAB∆ .

Ou, para se definir R , poderíamos pensar no seguinte: quando x varia entre 0x = e x a= , o y varia

entre 0y = e b

y x ba

= − + , vindo

( )2 1

0 0 0 0

2 2

00

| 1 ( 1) 2

2 2 2 .2 2

b ba x b a x b

a a

R

aa

f fF dr dxdy dydx dydx

x y

b b x b ax b dx bx ab ab

a a a

γ

− + − +∂ ∂� �= − = − − = = ∂ ∂� �

� �� = − − = − − = − × − =� � � � ��

� ��

�

��

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