Integrais triplas
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AM2
Integrais triplos
Definição de integral triplo
generalização definição integral simples e duplo
Integrais triplos num paralelipípedo: integrais iterados
Integrais triplos em regiões mais gerais
Integrais triplos: coordenadas cilíndricas
Integrais triplos: coordenadas esféricas
Transformações genéricas para calcular integrais triplos
AM2
Após integrar,
é uma função de x e y.
Para (x,y) constante, z variaentre
Integrais triplos sobre regiões mais gerais – cálculoz
y
x D
E
AM2
AM2
Exemplo: determinar onde E é a região do 1º octante
que está abaixo do plano 2x + 3y + z = 6
D
ou
AM2
Integrais triplos sobre regiões mais gerais – proj. no plano yz
Para (y,z) constante, x variaentre
Após integrar,
é uma função de y e z.
E
AM2
Exemplo: determinar onde E é o sólido definido por
e . e .
y
z
D
1
1
coordenadaspolares para a projecção.
x
z
y
AM2
Integrais triplos sobre regiões mais gerais - proj. no plano xz
Para (x,z) constante, y variaentre
Após integrar,
é uma função de x e z.
E
AM2
Exemplo: determinar onde E é o sólido limitado por
e pelo plano y=8.
x
z
D
2
2
coordenadaspolares para a projecção
AM2
Integrais triplos – coordenadas cilíndricasP
x
z
yr
z
lugar geométrico dos pontos com
lugar geométrico dos pontos com
lugar geométrico dos pontos com
cilindro
semiplano vertical
plano horizontal
Coordenadas cilíndricas:extensão das coordenadas polares a 3 dimensões
AM2
Exemplo: determinar onde E está limitado por e e z = 4.
x
z
D
2
2
x
y
z
Mudança paracoordenadas cilíndricas
AM2
Integrais triplos – coordenadas esféricas
P
x
z
y
lugar geométrico dos pontos com
lugar geométrico dos pontos com
lugar geométrico dos pontos com
esfera
semiplano vertical
cone
Exemplo: determinar onde E é o sólido definido por
e . e .
AM2
Integrais triplos – coordenadas esféricas
z
y
x
z
1
1Resultado já obtido.Verifique!
“fatia” correspondente aconstante
AM2
Exercício:
1) Considere o integral onde E é o sólido limitado pela metade
superior da esfera e pelo parabolóide Defina os limites de integração para coordenadas cartesianas, cilíndricas e esféricas.
2) Transforme o integral num integral em
coordenadas cilíndricas