Apostila 3 calculo i integrais

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DIFERENCIAIS INTRODUÇÃO AO ESTUDO DAS INTEGRAIS PROFESSORA: MARLEIDE COAN CARDOSO
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  • 1. DIFERENCIAISINTRODUO AO ESTUDO DAS INTEGRAISPROFESSORA: MARLEIDE COAN CARDOSO

2. DIFERENCIAL DE UMA FUNO Dado uma funo y = f(x) derivvel, denomina-se diferencial de umafuno num ponto x e se indica por dy, ao produto de sua derivada nesse pontopelo acrscimo arbitrrio x da sua varivel independente.Seja uma funo y = f(x) admitindo derivada em (a,b), sejam x e y osacrscimos, da varivel e da funo.Chama-se diferencial da funo f(x)correspondente ao acrscimo x ao produto da derivada f (x) pelo acrscimo x e indicamos assim: dy = f (x) . x .Leibniz visualizou dx e dy como sendo infinitsimos, isto , quantidades queembora sejam no-nulas, so menores em magnitude do que qualquerquantidade finita. Ele imaginou que no limite x e y de alguma forma tornam-se quantidades infinitesimais dx e dy, respectivamente de modo que o yquocientetorna-se a derivada dy/dx. Pode-se se reescrever a equao xdy/dx = f (x) como dy = f (x) .dx.ySupe-se dx = x , fica claro que dy uma boa aproximao para desdeque x seja suficientemente pequeno.Observe graficamente a diferena entre dy e y quando dx = x .INTERPRETAO GEOMTRICA 3. Geometricamente a diferencial de f(x) representa a variao sofrida pela retatangente ao grfico, do ponto x ao ponto x + x.Pode-se calcular a diferena entre dy e y a qual denominamos , calculandoa frmula = | y - dy |Exemplo1: 4. EXEMPLOS1) Calcular aproximadamente65 , sabendo que64 8 e f ( x) x .2) Obtenha um valor aproximado para o volume de uma fina coroa cilndrica dealtura 12 m, raio interior 7m e espessura 0,05m. Qual o erro decorrente seresolvermos usando diferenciais.EXERCCIOS1) Calcule um valor aproximado para 365,5 usando diferenciais.2) Use diferenciais para obter o aumento aproximado do volume da esferaquando o raio varia de 3cm a 3,1cm.3) Calcule 4 13 , aproximadamente, usando diferenciais.4)Calcular a variao do lado de um quadrado de l = 3cm, para que sua reasofra uma variao de 1 cm. 5. Introduo ao estudo das integraisSituao 1:Vamos iniciar nossos estudos pensando em como calcular a rea sob aparbola no intervalo[0,2] observada na figura.Que estratgias voc utilizapara determinar est rea?Voc conhece alguma frmulada geometria que permite oclculo desta regio?Situao 2: Vamos pensar um pouco mais se a funo derivada representada pelafuno:dy 3x 2 x 1 que funo primitiva originou esta derivada?dxEstas so apenas algumas situaes que podem envolver o clculo das integrais.Para tanto precisamos ter domnio sobre as diferentes tcnicas de determinao dasintegrais.Ento vamos pensar um pouco sobre:1) O que so as integrais?2) Qual o significado das integrais? 6. Na atualidade, as novas diretrizes da educao para o ensino superior,apresentam-se voltada s discusses relacionadas com a necessidade de atualizao daeducao a fim de impulsionar uma democratizao social e cultural mais efetiva. Nestecontexto, o ensino superior deve preparar o graduando para atuar competentemente emsua rea de formao, proporcionando, durante o tempo de graduao, vivnciasrelacionadas com o contexto de atuao, possibilitando que este se defronte comdiferentes situaes inerentes a sua futura profisso. Portanto, a perspectiva metodolgica est focada na articulao entre as disciplinasevidenciando o equilbrio entre as atividades terico-prticas e nos projetos dedisciplina. Dessa forma, a prtica pedaggica adotada na disciplina de Clculo II,dever propiciar a construo do conhecimento a partir da participao do docente e dodiscente nas atividades de ensino-aprendizagem.Um pequeno recorte histrico:A derivada e a integral definida exprimem-se em termos de certos processos de limite.A noo de limite a idia inicial que separa o clculo das partes mais elementares damatemtica. Isaac Newton(1642 1727) e Gttfried Wilhelm Leibniz ( 1646 1716)descobriram a ligao entre derivadas e integrais. Em razo disto e de suas outrascontribuies para o assunto, so considerados os inventores do clculo. Muitos outrosmatemticos deram inmeras contribuies para o seu desenvolvimento. Assim pode-seconsiderar o clculo como o estudo de limites, derivadas e integrais.Na matemtica aplicada ocorre freqentemente que conhecemos a derivada deuma funo e desejemos encontrar a prpria funo. Por exemplo, podemos conhecer avelocidade ds/dt de uma partcula e precisamos encontrar a equao do movimento s =f(t), ou podemos querer achar a funo lucro de um certo produto quando conhecemos amargem de lucro. As solues desses problemas necessitam que se desfaa a operaode diferenciao, Isto temos que anti diferenciar.Assim, a integrao indefinida basicamente a operao inversa dadiferenciao. No clculo diferencial de uma funo y = f(x), estudou-se a variao da funo aser dado um acrscimo a varivel independente x. No clculo integral, conhecendo-se o diferencial dy = f (x)dx, isto , obtm-se a funoprimitiva atravs da operao chamada integrao indefinida ou antidiferenciao. Observem os grficos das funes f(x) = x - 1g(x) = x e h(x) = x + 1,cujo grfico observado a seguir: 7. Assim o que difere uma funo da outra a constante c, ento vamos derivar estasfunes:dydy 2 x todas tem a mesma derivada ou seja, f (x) = 2xdxdx Mas se temos apenas a derivada da funo como determinar a primitiva?Este processo o que vamos iniciar agora a integrao indefinida ou primitivao deuma funo. Este processo inverso representado pelo smbolo ou sinal de integrao originado da letra S que para Leibniz era somatrio de todos os infinitos e JohnnBernoulli denominava apenas de integrao. Ento a representao: f ( x)dx significa:f(x) a funo integrandodx serve para indicar a varivel de integrao que foi derivada.CONCLUI-SE QUE: De uma mesma diferencial resulta uma diferencial resulta uma famlia deprimitivas (curvas) que s diferem entre si por uma constante arbitrria C.Assim: f ( x)dx F ( x) C O processo de integrao indefinida o processo inverso da derivada , cadaregra ou frmula de diferenciao fornecer uma regra correspondente para aintegrao.Definio:Se F(x) uma primitiva de f(x) , a expresso F(x) + c chamada integral indefinida dafuno f(x) e denotada por: f ( x)dx F ( x) CDa definio da integrai indefinida decorre que:1) f ( x)dx F ( x) C F( x) f ( x) 8. 2) f ( x)dx representa uma famlia de funes, ou seja, a famlia de todas asprimitivas da funo integrando.PROPRIEDADES DAS INTEGRAIS INDEFINIDAS:1) Proposio, sejam f, g : I R e k uma constante ento:a) kf ( x)dx k f ( x)dxProva:Seja F(x) uma primitiva de f(x). Ento, Kf(x) uma primitiva da Kf(x), pois(KF(x))=KF(x)=Kf(x). dessa forma temos que: kf ( x)dx k F ( x) c kF( x) kc colocando k em evidncia temos que1 = k[ F ( x) c ] k f ( x)dx1b) ( f ( x) g ( x))dx f ( x)dx g ( x)dxProva:Se F(x) e G(x) so funes primitivas de f(x) e g(x), respectivamente ento F(x) e G(x) uma primitiva da funo (f(x) + g(x) ), pois [F(x) +G(x)] = F(x) + G(x) = f(x) + g(x)Portanto, ( f ( x) g ( x))dx [F ( x) G( x)] c= [ F ( x) G( x)] c1 c2 onde c = c1 + c2 [ F ( x) c1 ] [G( x) c2 ] f ( x)dx g ( x)dxO processo de integrao exige muita intuio, pois a partir da derivadaprecisamos determinar a primitiva a partir das frmulas de integrao.Inicialmente vamos estudar as integrais imediatas.Exemplos:1) Encontre as primitivas das funes abaixo: 1 2a) ( x 2 1)dxb) ( x 4 x 1)dxc) ( x 2 3x)dx 3 9. Recomendaes importantes para iniciar o processo de integrao:1) Verifique se os expoentes esto todos de forma que podemos somar;2) Identifique o tipo de funo que ser integrada.3) Quando somar mais um no expoente e dividir no denominador no pode maisaparecer o dx e deve aparecer o mais c;4) Quando integrar todos os termos devem ser integrados.Frmula:x n 1 x dx C e n -1 e n R nn 1Se n = -1 temos:du u ln | u | c1dx x dx dx 1 ln | x | c oux xExemplos:1) Encontre a soluo particular da equao diferencial dy = (x +1 ) dx que passapelos pontos: a) P(2,6) b) P(1,-3)2) Determine a lei do movimento s = f(t) a partir dos seguintes dados: a = 2t 1 , v = 3 quando t = 1 e s = 4 10. Outros exemplos:Primeira lista1) Se a taxa de crescimento da populao de uma cidade daqui a x anos pode serconsiderada como f(x)=117+200x e hoje existem 10.000 pessoas na cidade, qual ser onmero total de pessoas da cidade daqui a 5 anos?2) Calcule as integrais abaixo: (x 2 3x 1)dx 35a) (2x x 5x 19)dx b) 3 2 c) ( p 2 )dp d) 3e x dxp25e) (ax 2 b)dx f) (e u 2u 5)dug) ( 2)dx x > 0xx1 1 (w 3 w 4 w 3)dw (2 x (tg ( ) cot g ( ))d3h)i) 3x 2 5)dx j) x 1 6 x 2 2x 1 x 3 dx (2e x ln 2)dx n) (e 3 2)dx x x xl) m)o)xx2 dtdv du dpp) q) r) s) t) e x dx t v up 2 v) 3 x dxx 3dt dv dttu)dt w)z)Segunda lista: y4 2y 11) ( x 2 (2 x) 2 dx2) ()dy 3) ( x 2 x 3 1) dxy4) 15 p 2 q 4 dp5) (q 3 8q 15)dq6) (4 x 3 3x 2 1)dx 1 (t t 2)dta abdx 10) (at b)dt 27) 28) dt9a2 311) (a b)du12) b 2 tdt13 ( x 3 2 5)dxx14 (3x 1)dx 15) (2 x e x )dx16) (sen( x) cos( x)dx 117) (10 x x 0, 4 )dx18) (2t 5) 2 dt19) (3 x )dx x3 x3 220) (5 x 2 3x 0,1 1)dx 21) ()dx 3 11. 122) sec( x)dx 23) cot g ( x)dx 24) (2 x e x 1)dxx x2 125) 2 dxxExerccios livro Diva p.246 12. As integrais definidasSituaes problemas:1)Uma partcula se move sobre um eixo de tal forma que a sua velocidade no instante t v(t ) t 2 2t m/s. Determine:a) a distncia total percorrida pela partcula no intervalo [0,3] esboce o grfico. R.: 8/3m2) (MEC) Considere a rea limitada pelo eixo dos x, pela parbola y = x2 e pela reta x= b, b > 0. O valor de b para que essa rea seja igual a 72 : 13. http://wwwp.fc.unesp.br/~arbalbo/arquivos/integraldefinida.pdfObserve a figura abaixo:Definir a rea S delimitada pelo grfico de uma funo contnua no negativa f, peloeixo dos x e por retas x = a e x = bPara isso fazemos parties do intervalo [a,b]isto dividimos o intervalo [a,b]em n subintervalos.Construmos um retngulo de base x e altura f( c ) conformefiguras: 14. A soma das reas dos n retngulos, que representamos por Sn dada por: nSn = f (c1 )x1 f (c2 )x2 ...+ f (cn )xn = f (c )xi n i i esta soma chamada desoma de Riemann da funo f(x). pode se observar que a medida que n cresce muito ex torna-se muito pequeno, a soma das ares se aproximam da rea S.Definio: seja f(x) uma funo contnua em [a,b]. a rea sob a curva y = f(x) de a atb, definida por:nA lim f (ci )xix 0 i nA integral definida est associada ao limite da definio acima. Ela nasceu com aformalizao matemtica dos problemas das reas.Definio:Seja uma funo f(x) definida e contnua num intervalo real [a, b]. A integral definidade f(x), de a at b, um nmero real, e indicada pelo smbolo:Onde: a o limite inferior de integrao;b o limite superior de integrao;f(x) o integrando.PROPRIEDADES DA INTEGRAL DEFINIDA1) PROPRIEDADE DA HOMOGENEIDADE Seja c uma constante entob a cf ( x)dx = c f ( x)dxba33 Ex.: 12( x 1)dx 2 ( x 1)dx 12) PROPRIEDADE ADITIVASejam as funes f(x) e g(x) duas funes contnuas definidas no intervalo [a,b], ento: bbb [ f ( x) g ( x)]dx aaf ( x)dx g ( x)dx a3) PROPRIEDADE POR COMPARAO Sejam f(x) e g(x) funes contnuas no intervalo [a,b] ento se f(x) g(x) tem-sebb af ( x)dx g ( x)dx a 15. 4) PROPRIEDADE DA ADITIVIDADE GERAL NUM INTERVALOSejam a, b, c trs nmeros arbitrrios tais que a < c < b ento:bcbaf ( x)dx f ( x)dx f ( x)dx ac5) PROPRIEDADESe a > b e f integrvel em [b , a] entobaaf ( x)dx f ( x)dx bObserve os seguintes casos:Se representa a rea entre as curvas, paracb A f ( x)dx [ f ( x)dx]ac 16. ,c bA [ f ( x) g ( x)]dx [ g ( x) f ( x)dx]a cCONCLUINDO: Para calcular a integral definida de uma funo f, no intervalo[a,b], basta determinar sua primitiva F(x) se existir e realizar a operao F(b) F(a).Assim para calcular a rea entre duas curvas f e g contnuas num intervalo dadotem-se: bb bA= a [ f ( x) g ( x)]dx f ( x)dx g ( x)dx conforme figura:a aCLCULO DE INTEGRAIS DEFINIDASO clculo da regio entre curvas fica facilitado se seguirmos alguns passos:1) Esboce a regio e, ento, trace uma reta vertical atravs do ponto de referncia estabelecido;2) A regio ficar delimitada pelas curvas dadas e pelos pontos de referncia que sero os limites;3) Determine os limites de integrao a partir dos pontos de interseco ou dos pontos estabelecidos no problema proposto, conforme o caso.4) Calcule as integrais solicitadas e depois substitua o limite superior menos a substituio do limite inferior. 17. 1) Expresse como integral definida as seguintes reas como integrais definida semresolv-las.Exemplos: 33x (1 x)dx ( x 2 1)dx (t 2t )dt 2a) b) c) 0 10 Calcule as reas das figuras representadas nas figuras abaixo: 1)a) b) c)d) Exerccios: 1)Calcule as integrais definidas abaixo: 2 1 1 13 a) 1(3x 2 2 x)dxb) 1 ( x 3 2 )dxx c) (1 3x 1)dx dx 3 3 1 (3x 1)dx 3x 1dx (x 3)dx 3 d) e)f) g) 220 x203 h) 0xe x dx i) 0 e x dx Outros exerccios 2 x3a) 2x 2 7 x 1dx 3 R : - 6,6672 18. 4b) 0 ( 2x 1) dx R : 8,667 2c) 1 (6x 1)dx R:8 2 81d) 1 x (1 x 3 )dx R: 10APLICAO DA INTEGRAL DEFINIDA As integrais definidas podem ser usadas para determinao de reas de regiesplanas, clculo de volume de slido de revoluo, comprimento de arco, suprimentopara consumo, fluxo de sangue, clculo do trabalho, energia, etc.Ex.:1) Calcular a rea sob a curva f(x) = x no intervalo [0,3], esboce o grfico.2) Calcular a rea delimitada pelas curvas abaixo conforme cada caso especificado.a) y = x 2 e y = x e pelas retas x = 0 e x = 2.b) y = x2 e y = x , x = e x = 1c) y = 4x x2 e o eixo 0x;R.: 32/3d) y = x3 - 4x e y = 0 x=0 e x = 2e) y = cos(x) o eixo 0x de x =0 at x = 2f) y = ex , x = 0, x = 1 e y = 0. R.: e 1g) y = lnx , y = 0 e x = 2;1j) y = x 2 e y = 6R.: 486l) y = x3 x e y = 0 R.: m) y = sen(x) e y = cos(x) [0,2] R .: 4 2