FCTUC – Departamento de Engenharia Civil

2007/2008

Apontamentos de Betão I Esforço Transverso

Betão Armado I 2

f

F F

F[ ]

F f

F F

V

[ ]M

d

3

3 .05 [ ]V 7

h[ ]V 33 .125

3

ESFORÇO TRASNVERSO

1- Estudo do comportamento de Vigas de Betão a) Ensaios experimentais: [ J. Figueiras – FEUP ]

Rotura por flexão Rotura por corte

h = 0.15 m

d = 0.135 m

Vigas ensaiadas até à rotura, modelos diferem apenas:

V7 – Estribos menos espaçados

V3 – Estribos mais espaçados

V7 – Rotura por flexão

V3 – Rotura por corte

Betão Armado I 3

2F

[V 7]

[V 3] Rotura Fragil

Rotura Ductil2 F = 3 1 . 5 K N

2 F = 2 6 . 6 K N

3 1 . 5

2 6 . 6

Diagrama Carga - flecha

Betão Armado I 4

Betão Armado I 5

Betão Armado I 6

F

4

F

12

3

5

FORMAS DE ROTURA DE VIGAS DE BETÃO

1) Rotura por flexão: Efeito exclusivo de [ M ] 2) Rotura por corte/compressão: Devido ao [ M ] e [V] 3) e 4) Rotura por corte/flexão: Devido principalmente a [V]

(3) Rotura de corte, associada a interrupção da armadura antecipada. (4) Rotura por corte ligada à deficiente amarração das armaduras no

apoio.

5) Rotura por esmagamento da alma (Viga T, p.ex.)

Betão Armado I 7

ne

ne

TENSÔES PRINCIPAIS NUMA VIGA (Traçado das Isostáticas)

M σ

Viga σ1 e σ2 (Tensões Principais)

V τ Não Fendilhada

--- Isostáticas de Tracção ─ Isostáticas de Compressão Fendilhada --- a 45º a 45º

Betão Armado I 8

ym ax

b

bw

neG

dA c

m ax

F+ dF

F+ dF

M M + dMz

S 1 S 2

z

F

F

m ax

F F+ dF

dx

TENSÕES TANGENCIAIS DEVIDAS AO ESFORÇO TRANSVERSO

i) Fase não fendilhada – fase elástica

Momento Estático

Momento de Inércia

Tensão Tangencial

Valor Máximo de :

Equação de Equilíbrio

com e

Obtém-se: onde – Largura da alma

– Braço das forças interiores

Betão Armado I 9

F

m ax

+

-

i

m

p

y

x

x

x

i

fenda

m ax

m ax

fenda

mm ax

FORMAÇÃO DE FENDAS

Tensões Principais:

- Tensão principal

com

Neste caso , e então

com

Fibra inferior, i

σ – Tracção

As fendas são verticais Fibra média, m

As fendas estão inclinadas de 45º sobre o eixo da peça.

Betão Armado I 10

x

b

bw

ne

A s

S2

m ax

fenda

F c+ dF c

z

F s+ dF s

F c

z

F s

dx

x

m axS 1

x

b

bw

ne

A s

S 2

m ax

F c+ dF c

z

F s+ dF s

F c

z

F s

d x

x

m axS 1

P

ii) Fase Fendilhada Equilíbrio da zona ponteada:

= =

Abaixo do eixo neutro: (em todas as fibras)

Fendilhação é a 45º A expressão da Tensão Tangencial máxima é válida ainda nos seguintes casos:

a) Diagrama de tensão no betão não linear não altera a expressão de

Equação de Equilíbrio:

; ;

Betão Armado I 11

max

maxm ax

= 0= 0

b) A tensão máxima na alma é também igual a:

= =

No ponto P:

– Fendas a 45º

Betão Armado I 12

V

V

Fs

V

V

Z cotg

M

V

x

1

2

z

V

V

1

2

Fc

d

c

a

Fs

MECANISMOS DE RESISTÊNCIA EM VIGAS SEM ARMADURA TRANSVERAL

O esforço transverso resistente resulta da contribuição de:

Vc – Força de corte do betão comprimido

Va – Componente vertical da força de atrito na fenda

Vd – Efeito de cavilha da armadura longitudinal

Momento na Secção(1) :

em que: Translação

(Fs)Secção2= Fs2

(MA)Secção1= M1

Desprezando a

contribuiçãode Vd

Betão Armado I 13

F F

Fs variavel Fs constante

Fs+ FsFs

zz

F

1.0

1 2 3 4 5 6

E feito de arco

Rotura por flexão (M rf )

E feito de viga

a /d

M r /M rf

F F

atirante

arco

z

TIPO DE MECANISMOS RESISTENTES AO CORTE

Da equação e de Efeito de arco

Vem:

Efeito de viga

EFEITO DE VIGA [PEQUENOS DENTES FLECTIDOS]

EFEITO DE ARCO [FORMA-SE UM ARCO ATIRANTADO]

Braço variavel

A importância de cada mecanismo depende da relação:

Vão de corte

Betão Armado I 14

F

Fs

FsFsFs

A

F cwF sw

Fs

A

Z

Tirante

Banzo inferior

Banzo superior

Z

Fs

Fc

Z

MECANISMO DE RESISTÊNCIA EM VIGAS COM ARMADURA

TRANSVERSAL

Colocando armadura transversal há um aumento a resistência ao corte, sendo

que:

a viga rompe por flexão com carga mais elevada

a viga apresenta uma forma de rotura que não é frágil Armadura transversal melhora o efeito de viga – transformando-o numa treliça.

Equilíbrio do nó

Modelo de treliça simples para

estribos verticais (

Modelo de treliça simples para

estribos inclinados de

Betão Armado I 15

Ab

a

a

b

F

ss/2

z

s/2

V

Aa

a

1

F c3

F c2

F s1

2

3

z M

V

a

a

Ab

b

z M

V

a

a

F c4

F s1

F s5

1

2

5

3 4

FORÇAS NA TRELIÇA, NAS BARRAS DE BETÃO E DE AÇO

(ESTRIBOS VERTCAIS DE 90º)

Treliça Simples

Corte aa: Se vem:

Note-se que: e actuam no corte aa

Logo:

Corte bb:

Nota: se as cargas actuarem nos nós vem: e

Betão Armado I 16

ZZ

Fs

Fc

Z

Fs

Fc

M

V

F c 2

Z /2

V S

A

x

x

V

V .cotg

F c 2=____V

sin

ANALOGIA DA TRELIÇA

Na realidade há mas fendas inclinadas do que as mínimas para formar

uma treliça simples.

Há também mais armaduras transversais e não apenas um varão a formar

a treliça simples.

Viga Real Idealização da treliça simples – estribos

verticais (

A treliça tem uma consequência importante, que é alternar a força na

armadura longitudinal.

Designando por vem:

A força na armadura longitudinal vem aumentada de

(no caso de estribos verticais )

Betão Armado I 17

Ou de outra forma:

Aumentando o momento de ou dando uma translação ao diagrama de

momentos de

Exemplo de translação do diagrama

Betão Armado I 18

z

z cotgz cotg

z cos

F c2

cw

bw

TENSÕES NA ALMA (ESTRIBOS VERTICAIS)

A treliça permite calcular tensões no betão comprimido da alma.

σcw – tensão de compressão na escora inclinada

A tensão na escora inclinada é mínima para:

vem

No EC2 ou

Quando diminui a tensão aumenta:

vem

θ⁰ θ(Rad) σcw

22 0,383972 2,879113

30 0,523599 2,309401

40 0,698132 2,030853

45 0,785398 2

Betão Armado I 19

z

s

z cotg

F s5

a'

a

A sw

s s s s ss

TENSÕES NAS ARMADURAS TRANSVERSAIS

(ESTRIBOS VERTICAIS)

Asw – Soma da área dos dois

ramos do estribo

em que:

Asw – Soma da área dos dois ramos do estribo

– Tensão na armadura transversal – Espaçamento dos estribos

Com área de armadura transversal por unidade de comprimento, ou então:

Com obtém-se a expressão de dimensionamento da armadura

transversais ( θ = 90º estribos verticais)

Betão Armado I 20

Variação de com a :

θ⁰ θ(Rad) σsw

22 0,383972 0,404026

30 0,523599 0,57735

40 0,698132 0,8391

45 0,785398 1

Com onde é a percentagem de armadura e a tensão na

armadura mínima para .

Betão Armado I 21

z

a b

a b

z

a

a

M a

V a

F c2

z

b

b

Fs5 M b

Vb

FORÇAS NA TRELIÇA – ESTRIBOS INCLINADOS DE

Corte aa

– Momento na secção aa

– Esforço transverso na secção aa

Corte bb

– Momento na secção bb

– Esforço transverso na secção bb

Betão Armado I 22

z

F s

F c

F c2

V

A

x

z cotg

Z /2

V

V cotg F c2

V

V cotg

TRANSLAÇÃO

Acréscimo de momento:

Ou translação do diagrama:

Betão Armado I 23

zF c 2cw

z (cotg + cotg )

z (cotg + cotg )

z (cotg + cotg ) sin

z

z (cotg + cotg )

F s5

a

a'

s

TENSÃO NA ALMA

Para: e =45º

e =45º

TENSÃO NA ARMADURA

Para: e

e

θ⁰ α⁰ σsw

22

45

0,406958

30 0,517638

40 0,645243

45 0,707107

Betão Armado I 24

ESFORÇO TRANSVERSO – Dimensionamento de acordo com o EC2

Verificação dos Estados Limites Últimos:

– Valor de cálculo do Esforço Transverso Resistente

– Valor de cálculo do Esforço Transverso Actuante

Esforços Resistentes dados por:

– Esforço transverso resistente da viga sem armadura transversal

– Esforço transverso resistente conferido pela armadura transversal

– Esforço transverso máximo que as escoras comprimidos podem suportar

Dimensionamento (3 hipóteses):

a)

– Dispensa o cálculo de armadura

– Colocar armadura mínima

b)

– Dimensionar armadura transversal

c) Existe esmagamento das escoras

– Aumentar até (faz baixar a tensão )

– Se não for suficiente alterar a secção ou aumentar a classe do betão,

até

Betão Armado I 25

q qq

z

q cotg

z cotg

q cotg

z

q z cotg

z cotg

q z cotg

V

A rm adura

___A sw

s

ARMADURA DE SUSPENSÃO

Quando as cargas actuam na parte inferior da viga, devemos colocar

armadura transversal de suspensão, a somar às outras armaduras já previstas.

Laje de tecto apoiada em viga V

Betão Armado I 26

F db eff

b f

x

x hf

F d

b eff

b wb f b f

a b

a b

x

M

F F + F

h f

ARMADURA NA LIGAÇÃO AOS BANZOS DE SECÇÃO EM T

Há tensões tangenciais devidas ao Esforço Transverso que originam forças

de corte entre o banzo e a alma de vigas en T.

ΔFd – Variação do esforço normal no banzo ao longo do comprimento Δx

Banzo Comprimido

Betão Armado I 27

;

A força de corte por unidade de comprimento, :

[KN/m]

Betão Armado I 28

ff

f

b f

f

b w

b f

f

f

F s

F f

f

MODELO DE TRELIÇA – CALCULO DA TENSÃO BETÃO E NAS

ARMADURAS

– força por unidade de comprimento

Equilíbrio no nó:

Áreas de armadura (área de aço por unidade de comprimento)

Betão Armado I 29

1.0

cf

F f

f

sin f

TENSÃO NA ESCORA DE BETÃO

Condição de não esmagamento do betão

Betão Armado I 30

e n

A sb

C orteA sl

BANZO TRACIONADO

Força de corte por unidade de comprimento, :

Armadura de ligação, :

Substituindo :

Betão Armado I 31

EUROCÓDIGO 2

– Tensão de corte na Secção Longitudinal entre o banzo e a alma.

– Distância não maior do que metade da distância entre secções de

momento nulo e de momento máximo.

Armadura Transversal

Condição de não esmagamento das escoras:

Dispensa de armadura se:

Angulo :

Banzos comprimidos

Banzos traccionados

Betão Armado I 32

d

a v

ACÇÕES JUNTO AOS APOIOS (Cap 6 –6.6.2(6))

A contribuição desta acção para o esforço transverso actuante , pode

ser reduzida multiplicando-a por: da seguinte forma:

usar

usar

Nota 1: É necessário que a armadura longitudinal esteja totalmente amarrada

no apoio.

Nota 2: A dispensa de armadura de esforço transverso é ainda

(calculado com ).

Betão Armado I 33

d

a v

0.75d

ACÇÕES JUNTO AOS APOIOS COM ARMADURA DE ESFORÇO TRANSVERSO

(Cap 6 –6.2.3(8))

Figura X Efectuar também a redução da

contribuição para o esforço transverso

da carga concentrada.

Se usar

Minorar o esforço actuante multiplicando a parcela da carga concentrada por:

Para o cálculo só contam as armaduras

situadas na zona central de

– área total de armadura na zona

central igual a .

com

O valor de sem a minoração de deve satisfazer:

com ( )

Betão Armado I 34

V1

V2

R

h 1

h 2V2

V1

V2

V1 A rm adura de suspensão

÷ 13 h

÷ 13 h1

÷ 12 h1

÷ 12 h

2

2

Apoio Indirecto - Viga apoiada sobre outra viga.

Viga secundária

Viga principal, serve de apoio a

Força de suspensão

e

A armadura de suspensão deve ser distribuída na zona tracejada.

Betão Armado I 35

Vccd

Vtd

VE d

VRd,s VE d

c

t

Fc

Vccdc

Fs

Ftdt

VIGA DE ALTURA VARIAVEL (Cap 6 –6.2.1(1))

– Valor de cálculo da componente de esforço transverso da força de

compressão no banzo comprimido inclinado.

– Valor de cálculo da componente de esforço transverso da força de

tracção no banzo inclinado.

e neste caso positivos. Note-se que têm o sentido do

esforço transverso

O esforço resistente total é:

– Valor de cálculo do esforço transverso equilibrado pela armadura na

tensão de cedência.

Note-se que neste caso a altura variável tem uma contribuição no sentido de

diminuir a força de dimensionamento da armadura transversal.

Betão Armado I 36

M

M

Fs

Fs

MM

M

estribos adicionais

M

FORÇAS DE DESVIO

Nas zonas onde os esforços internos mudam de direcção e na mudança de

direcção das armaduras há que considerar forças de desvio.

Forças de desvio (são dirigidas

para fora da peça)

Betão Armado I 37

a

a

ah= 0.35

bw = 0.40

7 20

8

2(22cm )

ah= 0.35

2(24cm )

+2

(22,3cm )

12 16 2 25 4 20

DISPOSIÇÕES CONSTRUCTIVAS DE BETÃO ARMADO (Cap. 8)

8.2 – Distâncias entre varões:

Distância mínima para permitir, betonagem e compactação em condições

adequadas.

Assegurar uma boa aderência

– dimensão máxima do agregado

Possíveis armaduras para o exercício da aula prática:

Escolha do nº e diâmetro dos varões deve ponderar os seguintes aspectos:

Custos de mão-de-obra menor nº de varões

Condições de betonagem menor nº de varões

Dispensa de armaduras mais fácil maior nº de varões

Controlo da fendilhação mais eficaz maior nº de varões

Betão Armado I 38

1 2

Dfendas

P D

F s

F s

8.2.(3) – Varões em diferentes camadas horizontais colocados em fiadas

verticais.

8.9 – Agrupamento de varões

Varões diferentes, desde que:

Diâmetro do agrupamento:

Se vem

n ≤ 4 varões verticais comprimidos

n ≤ 3 em todas as outras situações

8.3 – Diagramas admissíveis dos mandris para dobragem de varões

a) Não danificar a armadura com fendas

b) Rotura do betão do lado interno da curva na dobra do varão

D – Diâmetro

P – Pressão no betão

Betão Armado I 39

5

b b

F btCorte bb

ab

destacam ento do betão

de recobrim ento

Quadro 8.1N – Diâmetro mínimo do mandril a fim de evitar danos na armadura

Diâmetro do varão Diâmetro mínimo do mandril para

cotovelos, ganchos e laços

Diâmetro mínimo para não esmagamento do betão: Basta usar os valores do Quadro 8.1N e ainda:

Força no varão baixa (dobra perto da extremidade).

O varão não esteja junto ao bordo e exista um varão transversal com

diâmetro no interior da parte curva.

com

Caso contrário, aumentar o diâmetro mínimo do mandril

Betão Armado I 40

Betonagem

da Peça

E spaços vazios ou poros deixados

pelo betão durante o processo de

betonagem .

5

50 m m

10

70 m m

CotoveloG ancho

0.7

2

20 m m

50 m m

1.4

10 m m

8.4 – Amarração de armaduras longitudinais

Tipos de amarração para além da de prolongamento recto (Fig. 8.1)

Condições de boa aderência ou outras condições:

8.5 – Amarração de cintas e de armaduras de esforço transverso (Fig. 8.5)

Recobrimento não inferior a

ou

Betão Armado I 41

lb 1.3 l b

8.9.2 – Amarração de agrupamento de varões

Não é necessário desfasar a interrupção de varões no caso de:

Varões comprimidos

Varões traccionados (com ) interrompidos nos apoios de

extremidade e intermédios.

Varões traccionados com

- Se ( calculado para o varão )

- Se tem de se usar no calculo de o (diâmetro equivalente)

8.7 – Sobreposição de Varões

Realizada por:

Sobreposição de varões com ou sem ganchos e cotovelos

Soldadura

Dispositivos mecânicos

Devem ser tais que:

Assegurem a transmissão de esforços entre verões

Evitem o destacamento do betão

Evitem a ocorrência de fendas largas

Devem ser desfasadas e não ficar localizadas em zonas de

momentos/esforços elevados

Dispostas de maneira simétrica

Betão Armado I 42

l 0

s

10 70 m me

Funcionamento da transferência de tensões na emenda por sobreposição de

varões:

Emendas por sobreposição (Cap. 8.7.2)

Distância livre entre varões a emendar:

Senão for, então :

Distância na longitudinal entre sobreposições adjacentes:

Verificando estas condições então:

podem ser amarrados todos os varões traccionados se estiverem numa única

camada.

50% dos varões, se estes estiverem em diferentes camadas.

todos os varões comprimidos e os de armaduras secundárias (de distribuição

em lajes, p.ex.) podem ser sobrepostos numa única secção.

Betão Armado I 43

l 0

l 0 __ 3

l 0 __ 3

A st

2 ___

F s F s

l 0

A st

2 ___ A st

2 ___

l 0 __ 3

l 0 __ 3

F s F s

8.7.4 – Armadura transversal na zona de sobreposições

a) Varões traccionados

b) Varões comprimidos

Dispensa de armadura: se ou de varões sobrepostos